Cote n° 98 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Schémas de Hilbert. Normes : notes manuscrites (s.d.).
Édition de démonstration

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[Suites spectrales]

titre de l'éditeur, entre crochets : les pages 21 et 23 sont deux feuillets isolés, sans titre, sans lien apparent avec ce qui les entoure.

21\(H^{*}(-/S, \mathbf{G}_m) \Leftarrow\) \(\cdot\ H^2(-/S, \mathbf{G}_m)\)

\[\cdot \to H^2(T/S, \mathbf{G}_m) \to H^2(-/S, \mathbf{G}_m) \to H^0(T/S, \mathcal{H}^2(\mathbf{G}_m)) \xrightarrow{\ d_3\ } H^3(T/S, \mathbf{G}_m) \to H^3(-/S, \mathbf{G}_m)'\] \[\to H^1(T/S, \mathcal{H}^2(\mathbf{G}_m)) \xrightarrow{\ d_3\ } H^4(T/S, \mathbf{G}_m) \to E_4^{4,0} \to 0\] la première ligne est encadrée ; la seconde est écrite sous le cadre et la prolonge. Devant \(E_4^{4,0}\), une flèche double biffée. Le signe \(\mathbf{G}_m\) de \(H^4\) est récrit sur une tache. À gauche, un schéma \(T \leftarrow T \times_S T\) au-dessus de \(S\), sans autre texte.

Au pied de la page, un carré de corps :

\begin{tikzcd}
  k \arrow[r, no head, "\mathrm{rad}"] \arrow[d, no head] & k' \arrow[d, no head] \\
  k'' \arrow[r, no head, "\mathrm{rad}"'] & k'k''
\end{tikzcd}

les quatre côtés sont des traits sans flèche ; les deux côtés horizontaux portent « rad », les verticaux une marque qu'on lit sép. À côté, isolé, \(H^2(\ /k, \mathbf{G}_m)\).

23Leray

\begin{tikzcd}
  F \arrow[r, hook] & X \arrow[d] \\
  & Y
\end{tikzcd}

application fibrée (au sens de […]) générale \[H^{*}(X) \Leftarrow H^p(Y, H^q(F))\]

Leray-Cartan

\begin{tikzcd}
  X \arrow[d] \\
  Y \arrow[d] \\
  B_F
\end{tikzcd}

\(F\) un groupe, fibré principal \(\leftarrow\) d'une fibration générale \[H^{*}(Y) \Leftarrow H^p(B_F, \{H^q(X)\})\] N.B. \(\{H^q(X)\}\) est un système local déterminé par les opérations de \(\pi_0(F)\) sur \(H^q(X)\). « déterminé » est écrit au-dessus d'un mot souligné qu'on ne lit pas.

\begin{tikzcd}
  Y \arrow[d] \\
  B_F \arrow[d] \\
  B_{\struck{X}}
\end{tikzcd}

\(X\) \(Y\) un groupe, \(F\) un s.-groupe, d'une fibration générale \[H^{*}(B_F) \Leftarrow H^p(B_{\struck{X}}, \{H^q(Y)\})\] N.B. \(\{H^q(Y)\}\) est un système défini par les op. de \(\pi_0(X)\) sur \(H^q(X/F)\) […] […] […] \(\pi_0(X)\) sur \(\pi_0(X/F)\). ici, et dans le schéma au-dessus, il écrit \(X\) là où il vient de nommer le groupe \(Y\) ; le \(X\) de \(B_X\) est biffé, celui du N.B. ne l'est pas. Laissé tel quel.

[…] Sch. […] Si \(Y\) est discret, […] […] d'isomorphismes […] […] de \(B_F\), et telle […] de \(B_G\) […] \(F\) […] […] […] : [à […] […] […] \(F\), \(G\) […] discrets] trois lignes serrées, d'écriture rapide, sous une ligne biffée ; seuls les signes mathématiques se lisent. \(G\) apparaît ici pour la première fois.

Hochschild-Serre Leray-Čech

\begin{tikzcd}
  B_F \arrow[d] \\
  B_{\struck{X}} \arrow[d] \\
  B_Y
\end{tikzcd}

\(X\) un groupe, \(F\) un sous-groupe distingué, \(Y\) le groupe quotient, d'une fibration générale \[H^{*}(B_G) \Leftarrow H^p(B_Y, H^q(B_F))\] les quatre intitulés sont écrits en oblique dans la marge gauche, soulignés, chacun en face de son schéma ; le troisième schéma n'en a pas. Le \(B_G\) de la dernière suite est tel quel sur la page.

Familles limitées

« Familles limitées », et au-dessous « cf. SGA 6 XIII », sont ses mots, seuls sur la page 25, qui sert de couverture à ce qui suit.

26Il y a deux variantes : pr[…]

Assez naturel : Si des \(F_i\) sont quotients d'un [\(\ill{} = L\)], et si […], les cycles associés, de dimension \(d\), de degrés bornés, alors les \(F_i\) sont limités ;

Les variantes \(L = \mathcal{O}(-n)^k\) et […]

\(L = \ill{}\), \(E = \ill{}\), lorsque […]

\(F_i\) […] : […] bornée, […] […] la […] de […] […], soit \(l\). Si \(l \le 0\) rien à prouver, […] […] \(l\).

Il faut […] […] Si \(l = 1\), dans les […] […], […] \(F_i\) […] […] l'[…] […] extension de faisceaux […] […] limités.

(e) limités, reste […]

Si \(l = 1\), \(F_i \subset \struck{\ill{}}\ \mathcal{O}_{Z_i}\), \(Z_i\) un cycle borné […] […] de degré […] \(L\). Le résidu […] […] \(\mathcal{O}_Z\).

(d) […] limités, […] […] fini ; ([…] d'un […] […] faisceaux \(L\) dans \(\mathcal{O}_Z\)). On […] […] fini, […] […]

(f) Chow général […] page d'écriture très rapide, sur sa largeur ; les lettres (d), (e), (f) cerclées sont dans la marge gauche, en face des lignes où elles sont données. Seuls les signes mathématiques et quelques mots se lisent.

27faisceaux \(F_i\) quotients d'un faisceau donné \(E\), et […] à \(P_{F_i}\) donnés […] fixés. On […] prouver que les \((F_i)\) sont limités. Réciproque

[…] 4°) Résultat de Chow : les cycles de \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) de degré […] borné sont en nombre limité (i.e. […] fini […] fini fibres d'une […] \(\Gamma \subset \mathbf{P}^n_T \to T\), où \(T\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\)). « cycles » est doublement souligné. Entre \(\mathbf{P}^n\) et la flèche vers \(T\), un indice noirci.

c) récurrence sur \(\sup \dim \operatorname{Supp} F_i = d\), trivial si \(d < 0\). Si \(d \ge 0\) on regarde les […] \[0 \to F''_i \to F_i \to F'_i \to 0\] où \(\dim F''_i < d\) et \(F'_i\) […] cycles […] de dim \(d\) […] de \(L\), dans un nombre fini […]

(d) Les \(F'_i\) sont limités […] \(= L''\) […] \(= L''\) et leurs Hilb. […] […] dans […] […] j'y reviendrai. Dans les conditions \(F_i\) et \(F'_i\) limités, les \(P_{F'_i}\) sont en nb fini ; \(P_{F''_i} = P_{F_i} - P_{F'_i}\) en nb fini ; […] les \(F''_i\) sont quotients d'un […] et Hilb. en nb fini, donc […]

(e) les \(F''_i\) sont limités. (d) et (e) cerclés en marge ; le « c) » qui précède est écrit dans le corps, non cerclé. La lettre (d) répond à celle de la page 26 : les deux pages reprennent le même plan.

[Classes de faisceaux sur les extensions du corps de base]

titre de l'éditeur, entre crochets.

28Définition 1. Soient \(X\) un préschéma Ag sur un corps \(k\), \(F_i\) et \(G_i\) (\(i = 1, 2\)) un faisceau algébrique sur \(X_i = X \otimes_k K_i\), où \(K_i\) ext. de \(k\). On dit \(F_1\), \(F_2\) \(k\)-équivalents s'il existe une extension \(K'\) de \(k\), des \(k\)-homom. \(u_i : K_i \to K'\), tels que les faisceaux algébriques \(F_i \otimes_{K_i} K'\) sur \(X \otimes_k K' \simeq X_i \otimes_{K_i} K'\) soient isomorphes. La classe d'équivalence […] de faisceaux. « \(F_i \otimes_{K_i} K'\) » est interligné. Dans la marge gauche, un petit croquis : une nappe marquée \(X\), des verticales, \(K'\) ; un trait vertical borde la définition.

Les […] géométrique de […]. On vérifie facilement que c'est une relation d'équivalence. Classe d'équivalence de couples \((K, F)\) faisceaux […] : \(K\) ext. de \(k\), \(F\) faisceau algébrique sur \(X \otimes_k K\) […] pour la transitivité […] extension […] des \(K\) […] […] choisie.

Si \(X\) est de type fini sur \(k\),

Proposition 1. Tout faisceau algébrique sur \(X \otimes_k K'\) est équivalent à un faisceau alg. sur \(X \otimes_k K\), où \(K\) sous-ext. de \(K'\) de type fini sur \(k\). Si \(F_1\) sur \(X \otimes_k K_1\) et \(F_2\) sur \(X \otimes_k K_2\) sont deux faisceaux équivalents, […], \(K_i\) de type fini sur \(k\), de déf. […] […]

29dans la définition 1 on peut prendre pour \(K'\) une extension de type fini de \(K\).

Cor. […] résulte de Chap. V, § 1. Question : peut-on prendre \(K'\) […] quelle extension […] universelle ?

Cor. […] l'ens. des classes de faisceaux […], est en bij. canonique avec […] faisceaux « définis » sur des extensions de type fini de \(k\). [qui est un ens. au sens de […]] [[…] dans \(L\) = réunion […] \(k\), \(X\)]. […] \(\mathfrak{F}(X/k)\). \(\mathfrak{F}(X/k)\) est encadré.

Définition. […] corps de base \(k\) en \(K'\). \(E\) […] \(\mathfrak{F}(X/k) \to \ill{}\) […] \(X/k\), par \(k\). bloc barré de trois diagonales ; seuls ces mots s'y lisent. plus bas complété

[…] que l'on \(\mathfrak{F}(X/k)\) […], […] foncteur contravariant […] si \(h\) […] \(k\), il […]

30Corollaire 5. Soit \(\widetilde{K}\) une extension algébriquement close de \(k\) […] transcendance […], et \(\widetilde{X} = X \otimes_k \widetilde{K}\). Alors l'ens. \(\mathfrak{F}(X/k)\) iden s'identifie à un ens. quotient de l'ens. des classes de faisceaux [coh.] \(F\) sur \(\widetilde{X}\) […] relation : […] \(F\) et \(G\) sont \(k\)-équivalents ssi il existe un automorphisme \(\sigma\) de \(\widetilde{K}/k\) tel que (\(\sigma_{\widetilde{X}}\) désignant l'automorphisme \(\mathrm{id}_X \times \sigma\) de \(\widetilde{X}\)) \(F \simeq \sigma_{\widetilde{X}}(G)\). En d'autres termes \(\mathfrak{F}(X/k)\) s'identifie à l'ens. quotient de l'ens. des classes de faisceaux coh. sur \(\widetilde{X}\) par \(\operatorname{Aut}(\widetilde{K}/k)\) y opérant de façon évidente. « coh. » est interligné.

Ceci dit, soit \(\Omega\) une […], et \(\Phi\) une […] de […] \(\mathfrak{F}(X \otimes_k K)\), […] \(X\) […] préschéma algébrique sur un corps alg. clos, quelconque fonction

Supposons \(X\) et \(Y\) sur \(k\) donnés, et pour tt \(K/k\) donné (\(K\) alg. clos), une partie \(\Psi(X \otimes_k K)\) de \(\mathfrak{F}(X \otimes_k K)\) […] extension de base […] note écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche.

31un ensemble \(T(F_1, \ldots, F_n)\) de classes choisies de faisceaux ([…]) sur \(X\), de façon que :

(i) si les \(F_i\) sont remplacés par des faisceaux \(F'_i\) isomorphes, \(T(F'_1, \ldots, F'_n)\) est inchangé : \(T(E\ill{})\) un faisceau \(G \in T(F_1, \ldots, F_n)\) ;

(ii) la compatibilité avec l'extension du corps de base : \(T(F_1 \otimes k', \ldots, F_n \otimes k')\) est (à isomorphie près) l'ens. des faisceaux \(G \otimes k'\) où \(G \in T(F_1, \ldots, F_n)\). (i) Généralisation

Déf. Si alors \(A_i\) sont des parties (\(i = 1, \ldots, n\)) de \(\mathfrak{F}(X/k)\), on désigne par \(\mathfrak{F}(A_1, \ldots, A_n)'\) l'ens. des classes dans \(\mathfrak{F}(X/k)\) des cl. des \(T(F_1, \ldots, F_n)\), où \(F\) sont […] sur \(\widetilde{X}\) et \(\mathrm{cl}_K(F_i) \in A_i\) pour tt \(i\). « Déf. » est encadré et biffé.

On voit […] facilement que la définition ne dépend pas du choix de \(\widetilde{K}\) ; en effet si […] une extension \(\widetilde{K}'\) de \(\widetilde{K}\) […] ayant les mêmes propriétés, et il en […] facile de démontrer […]. D'ailleurs, facile de […] direct de \(\mathfrak{F}(A_1, \ldots, A_n)\) […], [définition […] \(\widetilde{K}\), […] l'un des […]] propriété la page, d'écriture rapide, prolonge la page 30 : le \(T\) est l'opération « de \(n\) faisceaux » annoncée au bas de celle-ci. Une note oblique dans la marge inférieure gauche ne se lit pas.

32\(\mathfrak{F}(F_1, \ldots, F_n)\), où les \(F_i\) sont des faisceaux sur \(\widetilde{X} = X \otimes_k K\), [\(K\) alg. clos,] \(\mathrm{cl}_k F_i \in A_i\). « \(K\) alg. clos » est interligné.

D'ailleurs, si on prend […] […] pour définir des faisceaux \(F_i\) sur des extensions distinctes \(K_i/k\), \(F_i\) de classe \(\xi_i \in \mathfrak{F}(X/k)\), on obtient \(\mathfrak{F}(\xi_1, \ldots, \xi_n)\) en prenant de […] […] qui fait […] une extension composée des \(K_i\) sur \(k\), et désignant \(K\) \(L_\alpha\), et […] l'une des […] en […] de […] de \(\mathfrak{F}(X/k)\), \(\mathfrak{F}(F_1^{(\alpha)}, \ldots, F_n^{(\alpha)})\) […] \(\mathfrak{F}(F_1 \otimes_k L_\alpha, \ldots, F_n \otimes_k L_\alpha)\).

Si \(\mathfrak{F}\) est défini aussi pour des faisceaux sur \(X_K\), seulement \(K\) alg. clos, […] satisfaisant correspondantes des (i) et (ii), […] […] […] […] les […] […] complications précédentes de […] \(K\) alg. clos, et prenant […] ; […] obtenons […] algébriquement un extension, […] correspondants.

pour 2 faisceaux \(F_i\) remplacés […] […] […] […] ! […] \(X_i\) […] […] note oblique dans la marge gauche, presque entièrement illisible.

33Exemples.

a) foncteurs \(\mathcal{H}om\), \(\otimes\), et leurs dérivés. [2 arguments, \(X = Y\)] et leurs conjugués en […]

(d) Si \(F\) et \(G\) sont […] des faisceaux, […] l'ensemble \(N(F, G)\) des […] […] [[…] \(=\) […] […], kif kif, […] […] […] identifié […] précédemment […]]. [2 arg., \(X = Y\)]

(b) F[…] […] […] […] (1 arg., \(f : X \to Y\) donné).

(c) F[…] […] […] et foncteurs dérivés (1 arg., \(f : X \to Y\) […] donné).

(e) Ens. des extensions de \(F\) par \(G\) (2 arg., \(X = Y\)).

(f) Ens. des […] […] : 2 […] […] […], […] ; décroissante, de \(F\) (1 arg., \(X = Y\)).

(f) [\(F\).[…]] Ens. des […] \(\mathcal{O}_{(\mathrm{S}\ill{}\, F)_{\mathrm{red}}}\) (\(K\) alg. clos, 1 arg., \(X = Y\)).

(h) Ens. des […] faisceaux composantes primaires de \(F\) associées aux composantes de son support (\(K\) alg. clos, […], \(X = Y\)).

(i) […] les lettres sont les siennes, dans cet ordre : a, (d), (b), (c), (e), (f), (f), (h) ; (d), (e) et le second (f) sont précédés d'un astérisque, et des traits dans la marge gauche relient (d) à (e) et (b) à (f). La dernière ligne, (i), est entièrement biffée.

[Stabilité des familles limitées ; Tor et changement de base]

titre de l'éditeur, entre crochets.

34(a) Soient \(A, B \subset \mathfrak{F}(X/S)\), \(A\) et \(B\) limités, alors \(A \otimes B\) et \(\mathcal{H}om(A, B)\) sont limités, […] […] […] \(\mathcal{T}or_i(A, B)\) et \(\mathcal{E}xt^i(A, B)\).

Dém. […], supposons \[\begin{cases} A = \struck{\mathfrak{F}}\ \mathcal{E}(F), & F \text{ \uncertain{défini} sur } X \times_S S' \\ B = \mathcal{E}(G), & G \text{ --- } X \times_S S'' \end{cases}\]

[…] […] Avec ces notations, \(H = F \otimes_X G\) sur \(X \times_S S'''\), \(S''' = S' \times_S S''\). Alors tt type d'extension composée d'un \(k(s')\) et \(k(s'')\), sur \(k(s)\), [\(s' \mapsto s\), \(s'' \mapsto s\) ; \(s' \in S'\), \(s'' \in S''\)] provient d'un (unique) \(s''' \in S'''\), \(s''' \mapsto s'\), \(s''' \mapsto s''\) ; […] […] […] \[(F_{s'} \otimes_{k(s')} K) \otimes_{\struck{X}\, X_{s'} \otimes_{k(s)} K} (G_{s''} \otimes_{k(s'')} K) \simeq H_{s'''} .\] dans la marge gauche, les huit sommets d'un cube, \(X\), \(X'\), \(X''\), \(X'''\) au-dessus de \(S\), \(S'\), \(S''\), \(S'''\), reliés par des traits sans flèche.

Comme \(S'''\) est de type fini sur \(S\), la conclusion […] \(\otimes\) s'ensuit, on a bien prouvé \[\struck{\ill{}\ \mathcal{E}(F) \otimes}\ \mathcal{E}_{X/S}(F) \otimes \mathcal{E}_{X/S}(G) \subset \mathcal{E}_{X/S}(H) .\]

Pour \(\mathcal{H}om\), […] […] supposons \(X'\) et \(F\) \(S'\)-plats […] ; \(\bar{F} = F \otimes_{S'} S'''\), \(\bar{G} = G \otimes_{S'} S'''\) et […] […] [[…]] […] on trouve […] une partition […] de \(S'''\) en […] \(\to T_i\) […] ; posant \(F_i = \bar{F} \otimes_{S'''} T_i = F \otimes_{S'} T_i\), \(G_i = \bar{G} \otimes_{S'''} T_i = G \otimes_{S''} T_i\), \(X_i^{*} = X''' \times_{S'''} T_i = X \times_S T_i\), dans \(\bar{G} = G \otimes_{S'} S'''\), l'indice \(S'\) est tel quel sur la page, là où l'on attend \(S''\) (comme dans \(G \otimes_{S''} T_i\) ensuite).

35la formation de \(\mathcal{H}om_{X_i}(F_i, G_i)\) commute à tt changement de base \(T' \to T_i\) […] […] extension de base [pour ceci, écrivons […] […] présentation libre de type fini \(L_1 \to L_0 \to \bar{F} \to 0\), […] […] \(0 \to Z_1 \to L_1 \to Z_0 \to 0\) \[0 \to Z_0 \to L_0 \to \bar{F} \to 0\] et […] […], \(Z_i\) localement libres […] et […] […] […] \(\operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{H}om(L_0, F) \to \mathcal{H}om(L_1, F)\bigr)\) […] […]. la suite \(0 \to Z_0 \to L_0 \to \bar{F} \to 0\) est encadrée.

[…] […] […] […] convenable […] […] […] de \(S'''\) […] […] \(T_i\), dans […] […] […] […] décomposition : \(T_i\), la formation […], je […] […] […] […] […] […] Ker […] […] […] […] base […] composé. […] […] […] […] […].]

Le cas des \(\mathcal{T}or_i\) et \(\mathcal{E}xt^i\) […] […] […], […] […] […] […] […].

Lemme. Soit \(Y\) de type fini sur \(T\) noethérien, \(K^{\bullet}\) un […] […] […] faisceaux cohérents, […] […] […] de degré \(+1\) […] […] […] […] […], \(N\) […] […]. Mais il y a une décomposition de \(T\) en \(T_i\) loc. fermés tels que […] \(L_i\) […] localement […] […] IV, § 3 note oblique dans la marge gauche ; seul « IV, § 3 » se lit sûrement.

36[…] […] posant \(K^{(i)} = K \times_T T_i\), pour […] \(T' \to T_i\), […] […] […] homomorphismes canoniques \[H^q(K^{(i)} \otimes_{T_i} T') \longleftarrow H^q(K^{(i)}) \otimes_{T_i} T'\] soient […] isomorphismes pour \(|q| \le N\).

Démonstration, […] […] […] […] […] nilpotent[…] […] \(T\), […] […] […] […] : […] […] […] […] […] […] […] \(U\) […] […] […] \(T\), \(T\) est réduit […] [ouvert […] […] […] et \(T_i\), ([…] […], […]] […] […] […] […] [choisi […]] tels […] […] […] \(B_i \otimes_T U\) […] \[K^{i-1} \xrightarrow{\ d^{i-1}\ } K^i \to K^{i+2}\] \((\operatorname{Coker} d^i) \times_T U\) […] […] […] […] si \(i \le N+1\) [\(U\) […] […] […] […] […]] \(U\)[…] \(U\)-[…], pour \(|i| \le N+1\) […] la flèche de droite va bien de \(K^i\) à \(K^{i+2}\) sur la page.

(b) Soit \(f : X \to Y\) un \(S\)-morphisme de préschémas de type finis. Soit \(A \subset \mathfrak{F}(Y/S)\) un ensemble limité, alors \(f^{*}(A)\) et les \(\mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_Y}(A, \mathcal{O}_X)\) sont limités.

Il y a un énoncé analogue […] : […] […] […] proposition […] […] le produit, […] \(X\) et \(Z\) sur \(Y\), […] \(A \in \mathfrak{F}(X/S)\), \(B \in \mathfrak{F}(Z/S)\), et les \(\mathcal{T}or_i^{\mathcal{O}_Z}(A, B)\). l'indice de ce dernier \(\mathcal{T}or\) se lit \(\mathcal{O}_Z\) ; on attendrait \(\mathcal{O}_Y\). Laissé tel quel.

37Soient \(X_i\) sur \(Y\) (\(1 \le i \le n\)), des \(F_i\) sur les \(X_i\), […] un changement de base \(Y' \to Y\), […] […] homomorphisme \[\mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n) \otimes_Y Y' \quad\text{et}\quad \mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_{Y'}}(F'_1, \ldots, F'_n)\] dans la marge gauche, en colonnes, les lettres \(X_1\ X_2\), \(X'_1\ X'_2\), \(Y\), \(Y'\), \(S\), \(S'\), sans traits.

On sait […] […] […] […] un homomorphisme canonique du premier dans le second. À quelle condition […] […] […] un isomorphisme ?

C[…] […] […] […] […] […] […] […], limités pour tous ([…] […] […] […]) que \[\mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_S}\bigl(\mathrm{Tor}_q^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n) \otimes_{\ill{}} \ldots, \mathcal{O}_{S'}\bigr)\] il suffit que les \(\mathrm{Tor}_q^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n)\) soient \(Y\)-plats. une ligne entière barrée ; au-dessus, interligné, « de = […] ». Le signe entre les deux \(\mathrm{Tor}\) est surchargé d'une tache.

38Proposition. \(X_i\) (\(1 \le i \le n\)) de type fini sur \(Y\) de type fini sur \(S\) noeth., \(F_i\) coh. sur \(X_i\), \(N\) un entier. Alors il existe un […] ouvert dense \(U\) de \(S\), tel que, posant \(S' = U_{\mathrm{red}}\), \(X'_i = X_i \times_S S'\), \(Y' = Y \times_S S'\), \(F'_i = F_i \otimes_S S'\), on ait ceci : pour tout changement de base \(T \to S'\), les homomorphismes canoniques \[\mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_{S'}}(F'_1, \ldots, F'_n) \otimes_{S'} T \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_T}(F'_{1T}, \ldots, F'_{nT})\] (où \(F'_{\alpha T} = F'_\alpha \otimes_{S'} T\)) soient des isomorphismes pour \(p \le N\). un trait vertical borde l'énoncé. Dans \(S' = U_{\mathrm{red}}\), le \(S\) et les \(S\) des produits fibrés sont récrits sur d'autres lettres noircies. Les \(\mathrm{Tor}\) sont pris sur \(\mathcal{O}_{S'}\) et \(\mathcal{O}_T\) tels qu'écrits.

On utilise […] ceci […] [Avec les notations précédentes mais […] conditions de finitude,] […] […] […] […] l'ajout est interligné et barré avec la ligne qu'il surmonte ; la page 41 (lot 3) reprend « Avec les notations précédentes, mais sans conditions de finitude ».

Faut-il […] ? […] Lemme (Important[…]). Supposons que \(Y\) soit plat sur \(S\), et les \(X_i\) plats sur \(S\), et que les \(\mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n)\) pour \(i \le N\) soient plats sur \(S\). Alors pour […] changement de base \(T \to S\), l'homomorphisme canonique \[\mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_S}(F_1, \ldots, F_n) \times_S T \longrightarrow \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_T}(F_{1(T)}, \ldots, F_{n(T)})\] est un isomorphisme pour \(i \le N\). au-dessus de « Supposons », un ajout interligné illisible. Le premier \(\mathrm{Tor}\) du lemme porte \(\mathcal{O}_Y\), celui de la flèche \(\mathcal{O}_S\) : tels qu'écrits.

39[…] Pour la preuve, on peut supposer […] \(S\), \(Y\), les \(X_i\), affines d'anneaux \(A\), \(B\), \(B_i\), \(A'\), (\(F_i\) définis par \(M\) des \(B_i\)-modules \(M_i\). Soit \(L^{(i)}\) une résolution libre de \(M_i\) par \(B_i\)-modules […], posons \[K = \bigotimes_{\substack{B \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)} .\]

Alors […], les \(L^{(i)}\) sont plats sur \(A\), \(M_i\) est plat sur \(A\), il en résulte que \(L'^{(i)} = L^{(i)} \otimes_A A'\) est une résolution de \(M'_i = M_i \otimes_A A'\), considéré comme \(B'_i\)-module (où \(B'_i = B_i \otimes_A A'\)). D'où la conclusion que \[K' = K \otimes_A A' = \bigotimes_{\substack{B' \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)} \otimes_B B' = \bigotimes_{\substack{B' \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)\prime}\] […] […] que \(\mathrm{Tor}_{*}^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n)\). Or \(K^{\bullet}\) est un complexe \(A\)-plat, on a donc une suite spectrale \[H_{*}(K \otimes_A A') \Longleftarrow \mathrm{Tor}_p^A(H_q(K), A')\] i.e. \[\mathrm{Tor}_{*}^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n) \Longleftarrow \mathrm{Tor}_p^A\bigl(\mathrm{Tor}_q^B(M_1, \ldots, M_n), A'\bigr) .\] Il suffit donc que les \(\mathrm{Tor}_q^{\ill{}}(M_1, \ldots, M_n)\) soient \(A\)-plats pour \(q \le N\), pour l'homomorphisme […] […] […] […] dans la chaîne \(K' = \ldots\), un terme intermédiaire est noirci. Dans la marge gauche, en colonnes, \(M_1\ M_2\), \(M'_1\ M'_2\) ; \(B_1\ B_2\), \(B'_1\ B'_2\) ; \(B\), \(B'\) ; \(A\), \(A'\), cernés d'un trait courbe ; plus bas, une note oblique : « […] […] […] spectrale, i.e. […] […] […] ».

40\[\mathrm{Tor}_p^B(M_1, \ldots, M_n) \otimes_A A' \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n)\] est un isomorphisme pour \(p \le N\). On […] ainsi […] la proposition.

Si […] les conditions de la prop.

Corollaire. Il existe une décomposition de \(S\) en […] loc. fermés \(S_\alpha\) en nombre fini, (\(1 \le i \le n\)) tels que, posant \(X_i^{(\alpha)} = X_i \times_S S_\alpha\), [\(Y^{(\alpha)} = Y \times_S S_\alpha\),] \(F_i^{(\alpha)} = F_i \otimes_S S_\alpha\), on ait […] […] pour […] \(T \to S_\alpha\), l'homomorphisme canonique \[\mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_{S_\alpha}}(F_1^{(\alpha)}, \ldots, F_n^{(\alpha)}) \otimes_{S_\alpha} T \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_T}(F^{(\alpha)}_{1(T)}, \ldots, F^{(\alpha)}_{n(T)})\] soit un isomorphisme pour \(|p| \le N\).

Proposition. \(X\) de type fini sur \(S\) noeth., \(F\) et \(G\) [coh.] faisceaux cohérents sur \(X\). [\(N\) un entier.] Il existe […] un ouvert dense \(U\) de \(S\), telle que, posant \(S' = U_{\mathrm{red}}\), \(X' = X \times_S S'\), \(F' = F \times_S S'\), \(G' = G \times_S S'\), on ait ceci : pour tout changement de base \(T \to S\), l'homomorphisme canonique \[\mathcal{E}xt^p_{\mathcal{O}_{S'}}(F', G') \otimes_{S'} T \longrightarrow \mathcal{E}xt^p_{\mathcal{O}_T}(F'_{(T)}, G'_{(T)})\] soit un isomorphisme pour \(|p| \le N\). « \(N\) un entier » est interligné. Les deux énoncés sont bordés d'un trait vertical. La page 41 (lot 3) continue avec le lemme correspondant pour les \(\mathcal{E}xt\).