Fonds Grothendieck, cote n° 98, pages 21–40

[Suites spectrales]

titre de l'éditeur, entre crochets : les pages 21 et 23 sont deux feuillets isolés, sans titre, sans lien apparent avec ce qui les entoure.

H^{*}(-/S, \mathbf{G}_m) \Leftarrow ~~\cdot\ H^2(-/S, \mathbf{G}_m)~~

\cdot \to H^2(T/S, \mathbf{G}_m) \to H^2(-/S, \mathbf{G}_m) \to H^0(T/S, \mathcal{H}^2(\mathbf{G}_m)) \xrightarrow{\ d_3\ } H^3(T/S, \mathbf{G}_m) \to H^3(-/S, \mathbf{G}_m)' \to H^1(T/S, \mathcal{H}^2(\mathbf{G}_m)) \xrightarrow{\ d_3\ } H^4(T/S, \mathbf{G}_m) \to E_4^{4,0} \to 0 la première ligne est encadrée ; la seconde est écrite sous le cadre et la prolonge. Devant E_4^{4,0}, une flèche double biffée. Le signe \mathbf{G}_m de H^4 est récrit sur une tache. À gauche, un schéma T \leftarrow T \times_S T au-dessus de S, sans autre texte.

Au pied de la page, un carré de corps :

\begin{tikzcd} k \arrow[r, no head, "\mathrm{rad}"] \arrow[d, no head] & k' \arrow[d, no head] \\ k'' \arrow[r, no head, "\mathrm{rad}"'] & k'k'' \end{tikzcd}

les quatre côtés sont des traits sans flèche ; les deux côtés horizontaux portent « rad », les verticaux une marque qu'on lit sép. À côté, isolé, H^2(\ /k, \mathbf{G}_m).

Leray

\begin{tikzcd} F \arrow[r, hook] & X \arrow[d] \\ & Y \end{tikzcd}

application fibrée (au sens de ) générale H^{*}(X) \Leftarrow H^p(Y, H^q(F))

Leray-Cartan

\begin{tikzcd} X \arrow[d] \\ Y \arrow[d] \\ B_F \end{tikzcd}

F un groupe, fibré principal \leftarrow d'une fibration générale H^{*}(Y) \Leftarrow H^p(B_F, \{H^q(X)\}) N.B. \{H^q(X)\} est un système local déterminé par les opérations de \pi_0(F) sur H^q(X). « déterminé » est écrit au-dessus d'un mot souligné qu'on ne lit pas.

\begin{tikzcd} Y \arrow[d] \\ B_F \arrow[d] \\ B_{\struck{X}} \end{tikzcd}

X Y un groupe, F un s.-groupe, d'une fibration générale H^{*}(B_F) \Leftarrow H^p(B_{\struck{X}}, \{H^q(Y)\}) N.B. \{H^q(Y)\} est un système défini par les op. de \pi_0(X) sur H^q(X/F) \pi_0(X) sur \pi_0(X/F). ici, et dans le schéma au-dessus, il écrit X là où il vient de nommer le groupe Y ; le X de B_X est biffé, celui du N.B. ne l'est pas. Laissé tel quel.

Sch. Si Y est discret, d'isomorphismes de B_F, et telle de B_G F : [à F, G discrets] trois lignes serrées, d'écriture rapide, sous une ligne biffée ; seuls les signes mathématiques se lisent. G apparaît ici pour la première fois.

Hochschild-Serre Leray-Čech

\begin{tikzcd} B_F \arrow[d] \\ B_{\struck{X}} \arrow[d] \\ B_Y \end{tikzcd}

X un groupe, F un sous-groupe distingué, Y le groupe quotient, d'une fibration générale H^{*}(B_G) \Leftarrow H^p(B_Y, H^q(B_F)) les quatre intitulés sont écrits en oblique dans la marge gauche, soulignés, chacun en face de son schéma ; le troisième schéma n'en a pas. Le B_G de la dernière suite est tel quel sur la page.

Familles limitées

« Familles limitées », et au-dessous « cf. SGA 6 XIII », sont ses mots, seuls sur la page 25, qui sert de couverture à ce qui suit.

Il y a deux variantes : pr

Assez naturel : Si des F_i sont quotients d'un [\ill{} = L], et si , les cycles associés, de dimension d, de degrés bornés, alors les F_i sont limités ;

~~Les variantes L = \mathcal{O}(-n)^k et~~

~~L = \ill{},~~ E = \ill{}, lorsque

F_i : bornée, la de , soit l. Si l \le 0 rien à prouver, l.

~~Il faut~~ Si l = 1, dans les , ~~F_i~~ l' extension de faisceaux limités.

(e) limités, ~~reste~~

Si l = 1, F_i \subset \struck{\ill{}}\ \mathcal{O}_{Z_i}, Z_i un cycle borné de degré L. ~~Le résidu~~ \mathcal{O}_Z.

(d) limités, fini ; ( d'un faisceaux L dans \mathcal{O}_Z). On fini,

(f) Chow général page d'écriture très rapide, sur sa largeur ; les lettres (d), (e), (f) cerclées sont dans la marge gauche, en face des lignes où elles sont données. Seuls les signes mathématiques et quelques mots se lisent.

faisceaux F_i quotients d'un faisceau donné E, et à P_{F_i} donnés fixés. On prouver que les (F_i) sont limités. ~~Réciproque~~

4°) Résultat de Chow : les cycles de \mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} de degré borné sont en nombre limité (i.e. ~~fini~~ ~~fini~~ fibres d'une \Gamma \subset \mathbf{P}^n_T \to T, où T de type fini sur \mathbf{Z}). « cycles » est doublement souligné. Entre \mathbf{P}^n et la flèche vers T, un indice noirci.

c) récurrence sur \sup \dim \operatorname{Supp} F_i = d, trivial si d < 0. Si d \ge 0 on regarde les 0 \to F''_i \to F_i \to F'_i \to 0 où \dim F''_i < d et F'_i cycles de dim d de L, dans un nombre fini

(d) Les F'_i sont limités = L'' = L'' et leurs Hilb. ~~dans~~ j'y reviendrai. Dans les conditions F_i et F'_i limités, les P_{F'_i} sont en nb fini ; P_{F''_i} = P_{F_i} - P_{F'_i} en nb fini ; les F''_i sont quotients d'un et Hilb. en nb fini, donc

(e) les F''_i sont limités. (d) et (e) cerclés en marge ; le « c) » qui précède est écrit dans le corps, non cerclé. La lettre (d) répond à celle de la page 26 : les deux pages reprennent le même plan.

[Classes de faisceaux sur les extensions du corps de base]

titre de l'éditeur, entre crochets.

Définition 1. Soient X un préschéma Ag sur un corps k, F_i ~~et G_i~~ (i = 1, 2) un faisceau algébrique sur X_i = X \otimes_k K_i, où K_i ext. de k. On dit F_1, F_2 k-équivalents s'il existe une extension K' de k, des k-homom. u_i : K_i \to K', tels que les faisceaux algébriques F_i \otimes_{K_i} K' sur X \otimes_k K' \simeq X_i \otimes_{K_i} K' soient isomorphes. ~~La classe d'équivalence~~ de faisceaux. « F_i \otimes_{K_i} K' » est interligné. Dans la marge gauche, un petit croquis : une nappe marquée X, des verticales, K' ; un trait vertical borde la définition.

Les géométrique de . On vérifie facilement que c'est une relation d'équivalence. Classe d'équivalence de couples (K, F) ~~faisceaux~~ : K ext. de k, F faisceau algébrique sur X \otimes_k K pour la transitivité extension des K choisie.

Si X est de type fini sur k,

Proposition 1. Tout faisceau algébrique sur X \otimes_k K' est équivalent à un faisceau alg. sur X \otimes_k K, où K sous-ext. de K' de type fini sur k. Si F_1 sur X \otimes_k K_1 et F_2 sur X \otimes_k K_2 sont deux faisceaux équivalents, , K_i de type fini sur k, ~~de déf.~~

dans la définition 1 on peut prendre pour K' une extension de type fini de K.

Cor. résulte de Chap. V, § 1. Question : peut-on prendre K' quelle extension universelle ?

Cor. l'ens. des classes de faisceaux , est en bij. canonique avec faisceaux « définis » sur des extensions de type fini de k. [qui est un ens. au sens de ] [ dans L = réunion k, X]. \mathfrak{F}(X/k). \mathfrak{F}(X/k) est encadré.

~~Définition. corps de base k en K'. E \mathfrak{F}(X/k) \to \ill{} X/k, par k.~~ bloc barré de trois diagonales ; seuls ces mots s'y lisent. plus bas complété

que l'on \mathfrak{F}(X/k) , foncteur contravariant si h k, il

Corollaire 5. Soit \widetilde{K} une extension algébriquement close de k transcendance , et \widetilde{X} = X \otimes_k \widetilde{K}. Alors l'ens. \mathfrak{F}(X/k) ~~iden~~ s'identifie à un ens. quotient de l'ens. des classes de faisceaux coh. F sur \widetilde{X} relation : F et G sont k-équivalents ssi il existe un automorphisme \sigma de \widetilde{K}/k tel que (\sigma_{\widetilde{X}} désignant l'automorphisme \mathrm{id}_X \times \sigma de \widetilde{X}) F \simeq \sigma_{\widetilde{X}}(G). En d'autres termes \mathfrak{F}(X/k) s'identifie à l'ens. quotient de l'ens. des classes de faisceaux coh. sur \widetilde{X} par \operatorname{Aut}(\widetilde{K}/k) y opérant de façon évidente. « coh. » est interligné.

Ceci dit, soit \Omega une , et \Phi une de \mathfrak{F}(X \otimes_k K), X préschéma algébrique sur un corps alg. clos, ~~quelconque~~ fonction

Supposons X et Y sur k donnés, et pour tt K/k donné (K alg. clos), une partie \Psi(X \otimes_k K) de \mathfrak{F}(X \otimes_k K) extension de base note écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche.

un ensemble T(F_1, \ldots, F_n) de classes choisies de faisceaux () sur X, de façon que :

(i) si les F_i sont remplacés par des faisceaux F'_i isomorphes, T(F'_1, \ldots, F'_n) est inchangé ~~: T(E\ill{})~~ un faisceau G \in T(F_1, \ldots, F_n) ;

(ii) la compatibilité avec l'extension du corps de base : T(F_1 \otimes k', \ldots, F_n \otimes k') est (à isomorphie près) l'ens. des faisceaux G \otimes k' où G \in T(F_1, \ldots, F_n). (i) Généralisation

~~Déf.~~ Si alors A_i sont des parties (i = 1, \ldots, n) de \mathfrak{F}(X/k), on désigne par \mathfrak{F}(A_1, \ldots, A_n)' l'ens. des classes dans \mathfrak{F}(X/k) des cl. des T(F_1, \ldots, F_n), où F sont sur \widetilde{X} et \mathrm{cl}_K(F_i) \in A_i pour tt i. « Déf. » est encadré et biffé.

On voit facilement que la définition ne dépend pas du choix de \widetilde{K} ; en effet si une extension \widetilde{K}' de \widetilde{K} ayant les mêmes propriétés, et il en facile de démontrer . D'ailleurs, facile de direct de \mathfrak{F}(A_1, \ldots, A_n) , [définition \widetilde{K}, l'un des ] propriété la page, d'écriture rapide, prolonge la page 30 : le T est l'opération « de n faisceaux » annoncée au bas de celle-ci. Une note oblique dans la marge inférieure gauche ne se lit pas.

\mathfrak{F}(F_1, \ldots, F_n), où les F_i sont des faisceaux sur \widetilde{X} = X \otimes_k K, K alg. clos, \mathrm{cl}_k F_i \in A_i. « K alg. clos » est interligné.

D'ailleurs, si on prend pour définir des faisceaux F_i sur des extensions distinctes K_i/k, F_i de classe \xi_i \in \mathfrak{F}(X/k), on obtient \mathfrak{F}(\xi_1, \ldots, \xi_n) en prenant de qui fait une extension composée des K_i sur k, et désignant K L_\alpha, et l'une des en de de \mathfrak{F}(X/k), ~~\mathfrak{F}(F_1^{(\alpha)}, \ldots, F_n^{(\alpha)})~~ \mathfrak{F}(F_1 \otimes_k L_\alpha, \ldots, F_n \otimes_k L_\alpha).

Si \mathfrak{F} est défini aussi pour des faisceaux sur X_K, seulement K alg. clos, satisfaisant correspondantes des (i) et (ii), les complications précédentes de K alg. clos, et ~~prenant~~ ; obtenons algébriquement un extension, correspondants.

pour 2 faisceaux F_i remplacés ! X_i note oblique dans la marge gauche, presque entièrement illisible.

Exemples.

a) foncteurs \mathcal{H}om, \otimes, et leurs dérivés. [2 arguments, X = Y] et leurs conjugués en

(d) Si F et G sont des faisceaux, l'ensemble N(F, G) des [ = , kif kif, identifié précédemment ]. [2 arg., X = Y]

(b) F (1 arg., f : X \to Y donné).

(e) Ens. des extensions de F par G (2 arg., X = Y).

(f) Ens. des : 2 , ; décroissante, de F (1 arg., X = Y).

(f) F. ~~Ens. des~~ \mathcal{O}_{(\mathrm{S}\ill{}\, F)_{\mathrm{red}}} (K alg. clos, 1 arg., X = Y).

(h) Ens. des ~~faisceaux~~ composantes primaires de F associées aux composantes de son support (K alg. clos, , X = Y).

~~(i)~~ les lettres sont les siennes, dans cet ordre : a, (d), (b), (c), (e), (f), (f), (h) ; (d), (e) et le second (f) sont précédés d'un astérisque, et des traits dans la marge gauche relient (d) à (e) et (b) à (f). La dernière ligne, (i), est entièrement biffée.

[Stabilité des familles limitées ; Tor et changement de base]

titre de l'éditeur, entre crochets.

(a) Soient A, B \subset \mathfrak{F}(X/S), A et B limités, alors A \otimes B et \mathcal{H}om(A, B) sont limités, \mathcal{T}or_i(A, B) et \mathcal{E}xt^i(A, B).

~~Dém.~~ , supposons \begin{cases} A = \struck{\mathfrak{F}}\ \mathcal{E}(F), & F \text{ \uncertain{défini} sur } X \times_S S' \\ B = \mathcal{E}(G), & G \text{ --- } X \times_S S'' \end{cases}

Avec ces notations, H = F \otimes_X G sur X \times_S S''', S''' = S' \times_S S''. Alors tt type d'extension composée d'un k(s') et k(s''), sur k(s), [s' \mapsto s, s'' \mapsto s ; s' \in S', s'' \in S''] provient d'un (unique) s''' \in S''', s''' \mapsto s', s''' \mapsto s'' ; (F_{s'} \otimes_{k(s')} K) \otimes_{\struck{X}\, X_{s'} \otimes_{k(s)} K} (G_{s''} \otimes_{k(s'')} K) \simeq H_{s'''} . dans la marge gauche, les huit sommets d'un cube, X, X', X'', X''' au-dessus de S, S', S'', S''', reliés par des traits sans flèche.

Comme S''' est de type fini sur S, la conclusion \otimes s'ensuit, on a bien prouvé \struck{\ill{}\ \mathcal{E}(F) \otimes}\ \mathcal{E}_{X/S}(F) \otimes \mathcal{E}_{X/S}(G) \subset \mathcal{E}_{X/S}(H) .

Pour \mathcal{H}om, ~~supposons X' et F S'-plats~~ ; \bar{F} = F \otimes_{S'} S''', \bar{G} = G \otimes_{S'} S''' et [] on trouve une partition de S''' en \to T_i ; posant F_i = \bar{F} \otimes_{S'''} T_i = F \otimes_{S'} T_i, G_i = \bar{G} \otimes_{S'''} T_i = G \otimes_{S''} T_i, X_i^{*} = X''' \times_{S'''} T_i = X \times_S T_i, dans \bar{G} = G \otimes_{S'} S''', l'indice S' est tel quel sur la page, là où l'on attend S'' (comme dans G \otimes_{S''} T_i ensuite).

la formation de \mathcal{H}om_{X_i}(F_i, G_i) commute à tt changement de base T' \to T_i extension de base [pour ceci, écrivons présentation libre de type fini L_1 \to L_0 \to \bar{F} \to 0, ~~0 \to Z_1 \to L_1 \to Z_0 \to 0~~ 0 \to Z_0 \to L_0 \to \bar{F} \to 0 et , Z_i localement libres et \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{H}om(L_0, F) \to \mathcal{H}om(L_1, F)\bigr) . la suite 0 \to Z_0 \to L_0 \to \bar{F} \to 0 est encadrée.

convenable de S''' T_i, dans décomposition : T_i, la formation , je Ker base composé. .]

Le cas des \mathcal{T}or_i et \mathcal{E}xt^i , .

Lemme. Soit Y de type fini sur T noethérien, K^{\bullet} un faisceaux cohérents, de degré +1 , N . Mais il y a une décomposition de T en T_i loc. fermés tels que L_i localement IV, § 3 note oblique dans la marge gauche ; seul « IV, § 3 » se lit sûrement.

posant K^{(i)} = K \times_T T_i, pour T' \to T_i, homomorphismes canoniques H^q(K^{(i)} \otimes_{T_i} T') \longleftarrow H^q(K^{(i)}) \otimes_{T_i} T' soient isomorphismes pour |q| \le N.

Démonstration, nilpotent T, : U T, T est réduit [ouvert et T_i, ( , ] [choisi ] tels B_i \otimes_T U K^{i-1} \xrightarrow{\ d^{i-1}\ } K^i \to K^{i+2} ~~(\operatorname{Coker} d^i) \times_T U~~ si i \le N+1 ~~[U ]~~ U U-, pour |i| \le N+1 la flèche de droite va bien de K^i à K^{i+2} sur la page.

(b) Soit f : X \to Y un S-morphisme de préschémas de type finis. Soit A \subset \mathfrak{F}(Y/S) un ensemble limité, alors f^{*}(A) et les \mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_Y}(A, \mathcal{O}_X) sont limités.

Il y a un énoncé analogue : proposition le produit, X et Z sur Y, A \in \mathfrak{F}(X/S), B \in \mathfrak{F}(Z/S), et les \mathcal{T}or_i^{\mathcal{O}_Z}(A, B). l'indice de ce dernier \mathcal{T}or se lit \mathcal{O}_Z ; on attendrait \mathcal{O}_Y. Laissé tel quel.

Soient X_i sur Y (1 \le i \le n), des F_i sur les X_i, un changement de base Y' \to Y, homomorphisme \mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n) \otimes_Y Y' \quad\text{et}\quad \mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_{Y'}}(F'_1, \ldots, F'_n) dans la marge gauche, en colonnes, les lettres X_1\ X_2, X'_1\ X'_2, Y, Y', S, S', sans traits.

On sait un homomorphisme canonique du premier dans le second. À quelle condition un isomorphisme ?

C , limités pour tous ( ) que \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_S}\bigl(\mathrm{Tor}_q^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n) \otimes_{\ill{}} \ldots, \mathcal{O}_{S'}\bigr) il suffit que les \mathrm{Tor}_q^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n) soient Y-plats. une ligne entière barrée ; au-dessus, interligné, « de = ». Le signe entre les deux \mathrm{Tor} est surchargé d'une tache.

Proposition. X_i (1 \le i \le n) de type fini sur Y de type fini sur S noeth., F_i coh. sur X_i, N un entier. Alors il existe un ouvert dense U de S, tel que, posant S' = U_{\mathrm{red}}, X'_i = X_i \times_S S', Y' = Y \times_S S', F'_i = F_i \otimes_S S', on ait ceci : pour tout changement de base T \to S', les homomorphismes canoniques \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_{S'}}(F'_1, \ldots, F'_n) \otimes_{S'} T \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_T}(F'_{1T}, \ldots, F'_{nT}) (où F'_{\alpha T} = F'_\alpha \otimes_{S'} T) soient des isomorphismes pour p \le N. un trait vertical borde l'énoncé. Dans S' = U_{\mathrm{red}}, le S et les S des produits fibrés sont récrits sur d'autres lettres noircies. Les \mathrm{Tor} sont pris sur \mathcal{O}_{S'} et \mathcal{O}_T tels qu'écrits.

On utilise ceci Avec les notations précédentes mais conditions de finitude, l'ajout est interligné et barré avec la ligne qu'il surmonte ; la page 41 (lot 3) reprend « Avec les notations précédentes, mais sans conditions de finitude ».

Faut-il ? Lemme (Important). Supposons que Y soit plat sur S, et les X_i plats sur S, et que les \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n) pour i \le N soient plats sur S. Alors pour changement de base T \to S, l'homomorphisme canonique \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_S}(F_1, \ldots, F_n) \times_S T \longrightarrow \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_T}(F_{1(T)}, \ldots, F_{n(T)}) est un isomorphisme pour i \le N. au-dessus de « Supposons », un ajout interligné illisible. Le premier \mathrm{Tor} du lemme porte \mathcal{O}_Y, celui de la flèche \mathcal{O}_S : tels qu'écrits.

Pour la preuve, on peut supposer S, Y, les X_i, affines d'anneaux A, B, B_i, A', (F_i définis par M des B_i-modules M_i. Soit L^{(i)} une résolution libre de M_i par B_i-modules , posons K = \bigotimes_{\substack{B \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)} .

Alors , les L^{(i)} sont plats sur A, M_i est ~~plat~~ sur A, il en résulte que L'^{(i)} = L^{(i)} \otimes_A A' est une résolution de M'_i = M_i \otimes_A A', considéré comme B'_i-module (où B'_i = B_i \otimes_A A'). D'où la conclusion que K' = K \otimes_A A' = \bigotimes_{\substack{B' \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)} \otimes_B B' = \bigotimes_{\substack{B' \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)\prime} que \mathrm{Tor}_{*}^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n). Or K^{\bullet} est un complexe A-plat, on a donc une suite spectrale H_{*}(K \otimes_A A') \Longleftarrow \mathrm{Tor}_p^A(H_q(K), A') i.e. \mathrm{Tor}_{*}^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n) \Longleftarrow \mathrm{Tor}_p^A\bigl(\mathrm{Tor}_q^B(M_1, \ldots, M_n), A'\bigr) . Il suffit donc que les \mathrm{Tor}_q^{\ill{}}(M_1, \ldots, M_n) soient A-plats pour q \le N, pour l'homomorphisme dans la chaîne K' = \ldots, un terme intermédiaire est noirci. Dans la marge gauche, en colonnes, M_1\ M_2, M'_1\ M'_2 ; B_1\ B_2, B'_1\ B'_2 ; B, B' ; A, A', cernés d'un trait courbe ; plus bas, une note oblique : « spectrale, i.e. ».

\mathrm{Tor}_p^B(M_1, \ldots, M_n) \otimes_A A' \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n) est un isomorphisme pour p \le N. On ainsi la proposition.

~~Si les conditions de la prop.~~

Corollaire. Il existe une décomposition de S en loc. fermés S_\alpha en nombre fini, (1 \le i \le n) tels que, posant X_i^{(\alpha)} = X_i \times_S S_\alpha, Y^{(\alpha)} = Y \times_S S_\alpha, F_i^{(\alpha)} = F_i \otimes_S S_\alpha, ~~on ait~~ pour T \to S_\alpha, l'homomorphisme canonique \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_{S_\alpha}}(F_1^{(\alpha)}, \ldots, F_n^{(\alpha)}) \otimes_{S_\alpha} T \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_T}(F^{(\alpha)}_{1(T)}, \ldots, F^{(\alpha)}_{n(T)}) soit un isomorphisme pour |p| \le N.

Proposition. X de type fini sur S noeth., F et G coh. faisceaux cohérents sur X. N un entier. Il existe un ouvert dense U de S, telle que, posant S' = U_{\mathrm{red}}, X' = X \times_S S', F' = F \times_S S', G' = G \times_S S', on ait ceci : pour tout changement de base T \to S, l'homomorphisme canonique \mathcal{E}xt^p_{\mathcal{O}_{S'}}(F', G') \otimes_{S'} T \longrightarrow \mathcal{E}xt^p_{\mathcal{O}_T}(F'_{(T)}, G'_{(T)}) soit un isomorphisme pour |p| \le N. « N un entier » est interligné. Les deux énoncés sont bordés d'un trait vertical. La page 41 (lot 3) continue avec le lemme correspondant pour les \mathcal{E}xt.