Cote n° 94, pages 21–23

Cote n° 94 · batch 2 · pages 21–23 · Transcription · Dualité des modules / Construction de faisceaux de modules : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1965]
Édition de démonstration

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21Remarque 18. Il y a lieu d'appeler un foncteur, satisfaisant aux conditions du th. 12, sauf l'exactitude à gauche (ii), un foncteur constructible. Il faudrait (pour \(X\) sur \(Y\)), définir de même la notion de foncteurs constructibles \(\mathrm{Qcoh}(Y) \to \mathrm{Qcoh}(X)\). Il y aurait une suite : composé de foncteurs constructibles est item, foncteurs \(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}\), \(\underline{\mathrm{Tor}}_{j}\), \(R^{q}f_{*}\) sont constructibles …… (additif ?) « (additif ?) », au crayon dans l'angle supérieur droit, est relié par un trait à « foncteur ». L'exposant de \(R^{q}f_{*}\) est lu \(q\) sans certitude ; le \(f_{*}\) est repassé.

Applications

Théorème 19. Soit \(f \colon X \to S\) morphisme propre et de prés. finie et plat. Alors pour tout \(Z\) affine sur \(X\), \[f_{*}(Z) = \prod_{X/S} Z/X\] est représentable par un schéma affine sur \(S\). Si \(Z/X\) est de prés. finie (resp. de type fini), alors il en est de même de \(\prod_{X/S} Z/X\) sur \(S\). le \(X\) de \(f \colon X \to S\) est écrit en surcharge ; « affine » est souligné trois fois et repassé. « \(f_{*}(Z) =\) » est ajouté dans la marge de gauche devant le produit.

Dém. On peut supposer \(S\) affine, soit donc \(X\) qu.-cpt […]. […] Alors \(Z = \varprojlim Z_i\) (\(\varprojlim\) filt.), \(Z_i\) affines de présentation finie sur \(X\), d'où \(f_{*}(Z) = \varprojlim f_{*}(Z_i)\), et il suffit de prouver pour la première partie que les \(f_{*}(Z_i)\) sont repr. par schémas affines de prés. finie sur \(S\). Pour la deuxième partie, il suffit alors de traiter le cas \(Z\) de t.f. sur \(X\). « donc \(X\) qu.-cpt » est ajouté au-dessus de la ligne, suivi de deux parenthèses serrées contre le bord droit, « (qu.) » et « ([…] par) », non lues. « (\(\varprojlim\) filt.) », au crayon, est inséré en interligne et renvoyé par un trait après « \(Z_i\), » ; il se termine par une petite flèche non identifiée.

22Mais on sait que l'on peut prendre les morphismes de transition \(Z_j \to Z_i\) des immersions fermées, et il suffit de vérifier que les \(f_{*}(Z_j) \to f_{*}(Z_i)\) sont aussi des immers. fermées, car à la limite on aura que \(f_{*}(Z) \hookrightarrow f_{*}(Z_i)\) par imm. fermée, donc \(f_{*}(Z)\) sera de t.f. sur \(S\). On est donc ramené à prouver en même temps le « de transition », au crayon, est inséré en interligne au-dessus du début de la ligne et renvoyé devant « \(Z_j \to Z_i\) » ; « le » est ajouté en interligne au-dessus de « Corollaire ».

Corollaire 20. Si \(Z \to Z'\) est une immers. fermée de \(X\)-schémas affines, alors \(f_{*}(Z) \to f_{*}(Z')\) est une immers. fermée. le numéro 20 est écrit en surcharge d'un autre chiffre ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge.

Pour prouver ceci, on est […], par […] standard, ramené aux cas où \(Z, Z'\) de présentation finie.

Ayant des situations de présentation finie, on est ramené au cas \(S\) de type fini sur \(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}\), donc noeth.

1^er Cas. \(Z\) est un fibré vectoriel \(V(F)\), avec \(F\) cohérent sur \(X\). Alors le th. 12 nous fournit un \(P\) cohérent sur \(S\), tel que \[\underline{\mathrm{Hom}}(F, f^{*}(M)) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(P, M),\] et on voit tout de suite que \(f_{*}(V(F)) \simeq V(P)\).

2^ème Cas. Cas général. On sait qu'on a

23une immersion fermée \[Z \hookrightarrow Z' = V(\underline{F}),\] et il suffit de prouver que \[f_{*}(Z) \to f_{*}(Z')\] est représentable par immersions fermées. (En même temps, on aura prouvé le cor. 20 !). On est ramené à la situation ci-contre :

LaTeX source

\begin{tikzcd}
Z \arrow[r, hook] \arrow[d] & Z' \arrow[dl] \\
X \arrow[ur, bend right=40] \arrow[d, no head] & \\
S &
\end{tikzcd}

le schéma est dessiné dans la marge de gauche ; la page écrit « \(Z \subset Z'\) » sur une ligne, rendu ici par une flèche d'inclusion. La flèche courbe de \(X\) vers \(Z'\) est la section \(s\) ; la lettre n'est pas portée sur la flèche.

une section \(s\) de \(Z'\) sur \(X\), et on veut représenter le ss-foncteur de \(S\) (en \(T/S\) qui […] « fait passer \(s\) par \(Z\) »). Soit \(s^{-1}(Z) = Y \subset X\), sous-schéma fermé de \(X\). On Le foncteur considéré n'est autre que \[f_{*}(Y) = \prod_{X/S} Y/X .\] On sait qu'il est représentable par un sous-schéma fermé de \(S\) par l'exposé Murre, th. 3. « de \(S\) » est ajouté en interligne au-dessus de « ss-foncteur ».

cqfd.

Remarque 21. Soit \(f \colon X \to S\) propre, plat, de prés. finie. Pour tout Module quasi-coh. \(F\) sur \(X\), on peut trouver un Module quasi-coh. \(P\) sur \(S\) tel que \[f_{*}(V(F)) \simeq V(P) :\] on procède par passage à la limite à partir du cas \(F\) de prés. finie. les deux \(V\) de cette ligne sont repassés à l'encre plus foncée.