Fonds Grothendieck, cote n° 94, pages 21–23 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-26

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 94 Dualité des modules / Construction de faisceaux de modules : notes manuscrites (s.d.) Pages 21 à 23 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 2 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1965]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/94.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Première passe de transcription. Export TEI depuis la source LaTeX.

Remarque 18. Il y a lieu d'appeler un foncteur, satisfaisant aux conditions du th. 12, sauf l'exactitude à gauche (ii), un foncteur constructible. Il faudrait (pour X sur Y), définir de même la notion de foncteurs constructibles \mathrm{Qcoh}(Y) \to \mathrm{Qcoh}(X). Il y aurait une suite : composé de foncteurs constructibles est item, foncteurs \underline{\mathrm{Ext}}^{i}, \underline{\mathrm{Tor}}_{j}, R^{q}f_{*} sont constructibles …… (additif ?) « (additif ?) », au crayon dans l'angle supérieur droit, est relié par un trait à « foncteur ». L'exposant de R^{q}f_{*} est lu q sans certitude ; le f_{*} est repassé.

Applications

Théorème 19. Soit f \colon X \to S morphisme propre et de prés. finie et plat. Alors pour tout Z affine sur X, f_{*}(Z) = \prod_{X/S} Z/X est représentable par un schéma affine sur S. Si Z/X est de prés. finie (resp. de type fini), alors il en est de même de \prod_{X/S} Z/X sur S. le X de f \colon X \to S est écrit en surcharge ; « affine » est souligné trois fois et repassé. « f_{*}(Z) = » est ajouté dans la marge de gauche devant le produit.

Dém. On peut supposer S affine, soit donc X qu.-cpt . Alors Z = \varprojlim Z_i (\varprojlim filt.), Z_i affines de présentation finie sur X, d'où f_{*}(Z) = \varprojlim f_{*}(Z_i), et il suffit de prouver pour la première partie que les f_{*}(Z_i) sont repr. par schémas affines de prés. finie sur S. Pour la deuxième partie, il suffit alors de traiter le cas Z de t.f. sur X. « donc X qu.-cpt » est ajouté au-dessus de la ligne, suivi de deux parenthèses serrées contre le bord droit, « (qu.) » et « ( par) », non lues. « (\varprojlim filt.) », au crayon, est inséré en interligne et renvoyé par un trait après « Z_i, » ; il se termine par une petite flèche non identifiée.

Mais on sait que l'on peut prendre les morphismes de transition Z_j \to Z_i des immersions fermées, et il suffit de vérifier que les f_{*}(Z_j) \to f_{*}(Z_i) sont aussi des immers. fermées, car à la limite on aura que f_{*}(Z) \hookrightarrow f_{*}(Z_i) par imm. fermée, donc f_{*}(Z) sera de t.f. sur S. On est donc ramené à prouver en même temps le « de transition », au crayon, est inséré en interligne au-dessus du début de la ligne et renvoyé devant « Z_j \to Z_i » ; « le » est ajouté en interligne au-dessus de « Corollaire ».

Corollaire 20. Si Z \to Z' est une immers. fermée de X-schémas affines, alors f_{*}(Z) \to f_{*}(Z') est une immers. fermée. le numéro 20 est écrit en surcharge d'un autre chiffre ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge.

Pour prouver ceci, on est , par standard, ramené aux cas où Z, Z' de présentation finie.

Ayant des situations de présentation finie, on est ramené au cas S de type fini sur \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}, donc noeth.

1er Cas. Z est un fibré vectoriel V(F), avec F cohérent sur X. Alors le th. 12 nous fournit un P cohérent sur S, tel que \underline{\mathrm{Hom}}(F, f^{*}(M)) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(P, M), et on voit tout de suite que f_{*}(V(F)) \simeq V(P).

2ème Cas. Cas général. On sait qu'on a

une immersion fermée Z \hookrightarrow Z' = V(\underline{F}), et il suffit de prouver que f_{*}(Z) \to f_{*}(Z') est représentable par immersions fermées. (En même temps, on aura prouvé le cor. 20 !). On est ramené à la situation ci-contre :

\begin{tikzcd} Z \arrow[r, hook] \arrow[d] & Z' \arrow[dl] \\ X \arrow[ur, bend right=40] \arrow[d, no head] & \\ S & \end{tikzcd}

le schéma est dessiné dans la marge de gauche ; la page écrit « Z \subset Z' » sur une ligne, rendu ici par une flèche d'inclusion. La flèche courbe de X vers Z' est la section s ; la lettre n'est pas portée sur la flèche.

une section s de Z' sur X, et on veut représenter le ss-foncteur de S (en T/S qui « fait passer s par Z »). Soit s^{-1}(Z) = Y \subset X, sous-schéma fermé de X. On Le foncteur considéré n'est autre que f_{*}(Y) = \prod_{X/S} Y/X . On sait qu'il est représentable par un sous-schéma fermé de S par l'exposé Murre, th. 3. « de S » est ajouté en interligne au-dessus de « ss-foncteur ».

cqfd.

Remarque 21. Soit f \colon X \to S propre, plat, de prés. finie. Pour tout Module quasi-coh. F sur X, on peut trouver un Module quasi-coh. P sur S tel que f_{*}(V(F)) \simeq V(P) : on procède par passage à la limite à partir du cas F de prés. finie. les deux V de cette ligne sont repassés à l'encre plus foncée.