Cote n° 93, pages 221–235

Cote n° 93 · batch 12 · pages 221–235 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

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Intégrales de formes fermées relatives et équations de Picard-Fuchs

2211) Soit $f : X \to S$ un morphisme lisse d'espaces analytiques ⌜[lisses]⌝ (holomorphe), $\omega$ une 1-forme fermée ⌜relative sur $X/S$⌝, $a$ et $b$ deux sections ⌜holomorphes⌝ de $X$ sur $S$, telles que $\forall s \in S$, $a(s)$ et $b(s)$ soient dans la même comp. connexe de $X_s$. Localement sur $S$, on peut trouver un arc diff ⌜(différentiable par morceaux)⌝ $C_s : [0,1] = I \to X_s$, joignant $a(s)$ et $b(s)$, et dépendant continûment de $s$.

Utilisant le fait que $\omega$ est fermée, donc localement de la forme $d_{X/S}\varphi$, on constate que la fonction sur $S$ \[I(s) = \int_{C_s} \omega_s = \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_s\] est holomorphe en $s$. [⌜plus précisément au voisinage de $s_0 \in S$ et […]⌝ En effet, supposons […] […] $a(s_0)$ $a(s_0)$ et $b(s_0)$ sont assez voisins pour que dans un ouvert $U$ contenant $a(s_0)$, $b(s_0)$, on ait $\omega|U = d\varphi$, donc pour $s$ voisin de $s_0$, $I(s) = \varphi(b(s)) - \varphi(a(s))$]. Changeant le […] des $C_s$ variant : le remplaçant par $C'_s = C_s + Z_s$, $Z_s$ un 1-cycle, donc on trouve \[I'(s) = I(s) + \int_{Z_s} \omega_s . \tag{1}\]

Considérons une expression formelle (avec des $\omega_i$ comme $\omega$, et des op. diff. ⌜(rel.)⌝ $D_i$ sur $S$] \[\sum D_{i,s} \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} . \tag{2}\]

222Cette fonction est déterminée, indépendamment du choix de $C_s$, modulo une expression de la forme \[\sum D_{i,s} \int_{Z_s} \omega_{i,s} \quad \text{\struck{$= \int_{Z_s} \sum D_{i,s}\, \omega_{i,s}$}} \tag{3}\] [N.B. Le fait que $Z_s$ est un 1-cycle permet Supposons que les $D_i$, $\omega_i$ soient tels que l'expression précédente soit nulle, quelle que soit la famille continue $s \mapsto Z_s$ de 1-cycles $\Sigma$ définie sur un ouvert de $S$ : Alors l'expression ⌜On dira⌝ que les $\mu = (D_i, \omega_i)_{i \in I}$ définit une équation de Picard-Fuchs sur $X/S$. Alors pour deux sections hol. quelc. $a$, $b$ de $X/S$, l'expression \[\mu(a,b) = \sum_i D_{i,s} \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} \tag{4}\] est bien déterminée, et est une fonction holomorphe sur $S$. Bien sûr on aura \[\mu(a,b) + \mu(b,c) = \mu(a,c) . \tag{5}\] Cherchons une condition suffisante maniable, ⌜sous forme différentielle,⌝ ⌜[…]⌝ […] infinitésimale, et non plus globale, pour que $\mu$ soit de Pic. Fuchs. Notons

223que sur \[\mathscr{F} = f_*(Z\Omega^1_{X/S}) / d f_*(\mathcal{O}_X) , \tag{6}\] la lettre cursive notée ici $\mathscr{F}$ (pp. 223 à 227) est de forme incertaine il y a une connexion intégrable naturelle, grâce à la formule de Cartan … attention, en réalité il faut que $X \to S$ soit steinien Les coeff. définissent les sections $\omega'_i$ de $\mathscr{F}$, et l'on peut former les $D_i \omega'_i$. Je dis qu'il suffit qu'on ait \[\sum D_i \omega'_i = 0 . \tag{7}\] Lorsque $X/S$ est muni d'une connexion intégrable, alors le calcul de $\sum D_i \omega'_i$ ⌜dans $f_*(\Omega^*_{X/S})$ sera aussi stratifié, donc⌝ se fait ainsi : ⌜on dit que⌝ $\overline{D}_i$ se relevant pour la stratification en ⌜opérateurs⌝ $\overline{D}_i$ sur $\underline{\Omega}^*_X$ ⌜commutant à la diff. rel. $d_{X/S}$⌝ et […] qui à une forme fermée] […] une forme

le cadre qui suit, numéroté (8) et (9), est barré de grands traits en croix (8) $\alpha_{\overline{D}_i}\, \omega_i = \alpha_{\overline{D}{}^0_i}\, \omega_i + c_i\, \omega_i$ ; $\overline{D}_i = \overline{D}{}^0_i + c_i\, \mathrm{id}$ [$\overline{D}{}^0_i$ à coeff. cts, $c_i$ section de $\mathcal{O}_X$] ; (9) $\alpha_{\overline{D}_i}\, d\varphi = \alpha_i\, \overline{D}_i \varphi$ tout ce cadre est biffé ; la lettre lue $\alpha$ et le dernier membre de (9) sont incertains

Considérons alors \[\sum \overline{D}_i\, \omega_i = \varpi \tag{8}\] qui est encore une forme fermée. On vérifie alors ⌜aisément⌝ que l'on a

224\[\sum D_i\, \omega'_i = \varpi' \quad \text{dans } \mathscr{F} \tag{9}\] et la condition (7) signifie que l'on a, localement au dessus de $S$, une relation \[\varpi \;(= \textstyle\sum \overline{D}_i\, \omega_i) = d\varphi , \qquad \varphi \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) . \tag{10}\] Pour voir que cette relation implique bien la nullité de (3), il suffit de prouver \[\sum_i D_{i,s} \int_{Z_s} \omega_{i,s} = \int_{Z_s} \varpi \tag{11}\] qui implique, si $\varpi = d\varphi$, que le premier membre est égal à $\int_{\partial Z_s} \varphi = 0$ car $\partial Z_s = 0$.

En fait, (11) provient de la relation générale \[D_s \int_{Z_s} \omega_s = \int_{Z_s} \overline{D}_s\, \omega_s \tag{12}\] valable pour tout op. diff. hol. $D$ sur $S$, et toute forme ⌜holomorphe fermée⌝ $\omega$ sur $X$ [Le fait que $\omega$ est fermée implique que $\int_{Z_s} \omega$ est fonction holomorphe en $s$, et donne un sens au premier membre de (12)]. Pour prouver cette

225dernière, on [peut se ramener, en décomposant $Z_{s_0}$ en ⌜petits⌝ […] chemins $a^0_i \to a^0_{i+1}$, et transportant par horizontalement les $a^0_i$ […]] à prouver la relation plus générale une longue ligne ondulée traverse les deux premières lignes de la page ; biffure possible du passage entre crochets \[D_s \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_s = \int_{a(s)}^{b(s)} (\overline{D}\omega)_s , \tag{13}\] valable pour des chemins d'intégration $a(s)$, $b(s)$, qui sont des sections horizontales pour la connexion. [N.B. Bien entendu, on suppose, pour donner un sens à cette formule, qu'on a choisi les arcs $C_s$ comme dessus, donc (13) s'écrit avec plus de précision \[D_s \int_{C_s} \omega_s = \int_{C_s} (\overline{D}\omega)_s \tag{13 bis}\] ].

Pour prouver (13), on est ramené, en ⌜se plaçant au voisinage de $s_0$ et⌝ décomposant le chemin $\int_{a(s)}^{b(s)}$, au cas où $a(s_0)$, $b(s_0)$ sont assez voisins, de sorte qu'on peut se placer dans un ouvert $U$ où l'on a $\omega = d\varphi$. Mais alors le 1er membre est $D_s\bigl(\varphi(b(s)) - \varphi(a(s))\bigr)$, le

226deuxième est \[\int_{a(s)}^{b(s)} \overline{D}\, d\varphi = \int_{a(s)}^{b(s)} d\, \overline{D}\varphi = (\overline{D}\varphi)(b(s)) - (\overline{D}\varphi)(a(s)) ,\] et les et les deux expressions sont égales, grâce au fait que $a$, $b$ sont des sections horizontales. Notons aussi que inversement, si $a$, $b$ sont des sections horizontales, on aura \[\mu(a,b) = \int_{a(s)}^{b(s)} \Bigl(\sum \overline{D}_i\, \omega_i\Bigr)_s = \varphi(b(s)) - \varphi(a(s)) , \tag{14}\] où $\varphi$ est défini par la relation (10).

Prouvons la suffisance de (7), pour la nullité de (3) en général. On va prouver « plus généralement » qu'on aura alors \[\sum D_{i,s} \int_{C_s} \omega_{i,s} = 0\] lorsque $C_s$ est une 1-chaîne dans $X_s$, variant différentiablement avec $s$, dont le bord est « horizontal » en $s$, ou ce qui revient au même que \[\sum_i D_{i,s} \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} = 0\] si $a$, $b$ sont des sections horizontales de $X$, ⌜sur un ouvert de $S$.⌝ Pour Se plaçant au voisinage d'un

227point $s_0$ de $S$, on est ramené au cas où $a(s_0)$ est proche de $b(s_0)$, de sorte qu'on peut […] se placer dans un ouvert de $X$ assez petit pour qu'il y ait une connexion. Et on gagne.

On peut aussi noter, quitte pour prouver la formule nullité de (3) comme conséquence de (7), que l'on a \[\sum D_{i,s} \int_{Z_s} \omega_i = \int_{Z_s} \Bigl(\sum \overline{D}_i\, \omega'_i\Bigr)_s\] le numéro de cette formule est raturé où le deuxième membre est nul, car $\int_{Z_s} \varpi_s = 0$ si $\varpi$ est un bord, et $(\sum \overline{D}_i\, \omega'_i)_s$ est une forme définie modulo un bord. La formule envisagée […] ⌜[…]⌝ \[\boxed{\; D_s \int_{Z_s} \omega'_s = \int_{Z_s} (\overline{D}\omega')_s \;} \tag{15}\] qui donne la propriété transcendante essentielle de la connexion intégrable canonique sur $\mathscr{F}$. Nous n'allons pas prouver (15) ici, et l'admettrons, mais notons que

228(15) nous donne une réciproque pour la condition envisagée pour que $(D_i, \omega_i)$ soit de Picard-Fuchs : il faut et suffit que l'on ait (7). Cela résulte du th. de De Rham sur les fibres $X_s$ ….

Calcul des $\mu(a,b)$ par voie « algébrique », sans calcul d'intégrales. ⌜C'est local sur $S$.⌝ ⌜La formule (5) nous⌝ ramène à calculer $\mu(a,b)$ ⌜au voisinage de $s_0$,⌝ pour $a(s)$ $a(s_0)$ et $b(s_0)$ assez voisins. Cela nous permet alors de supposer que sur $X/S$ il y a une connexion intégrable. On peut même supposer, par un choix convenable, que les sections $a$, $b$ sont horizontales. Alors on trouve (14) \[\mu(a,b) = \varphi(b(s)) - \varphi(a(s))\] où $\varphi$ est défini par (10).

Il y aurait lieu d'expliciter aussi une formule explicite, sans supposer que $a(s)$ et $b(s)$ soient horizontales. Faisons le calcul au voisinage de $s_0$, et soient $a_0$, $b_0$ les

229sections horizontales au voisinage de $s_0$, telles que \[a_0(s_0) = a(s_0) , \qquad b_0(s_0) = b(s_0) .\] On a \[\mu(a,b) = \mu(a_0, b_0) + \mu(b_0, b) - \mu(a_0, a)\] sous $\mu(a_0,b_0)$, un renvoi raturé, puis « (14) $\varphi(b_0) - \varphi(a_0)$ » donc \[\begin{align*} \mu(a,b)(s_0) &= \bigl[\varphi(b(s_0)) - \varphi(a(s_0))\bigr] \\ &\quad + \Bigl(\sum_i D_{i,s} \int_{b_0(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} - \sum_i D_{i,s} \int_{a_0(s)}^{a(s)} \omega_{i,s}\Bigr)_{s = s_0} \end{align*}\] Il faut calculer les deux termes de […] […], c'est une histoire purement locale.

la suite de la page est barrée de grands traits obliques Notons, grâce à la connexion de $X/S$, \[\text{\struck{$d_a \in \Gamma(S, a^*(\mathscr{V}_{X/S}) \otimes \Omega^1_S)$}}\] d'où, sur contractant avec \[\text{\struck{$a^*(\omega) \in \Gamma(S, a^*(\Omega^1_{X/S}))$}}\] ⌜dual de $a^*(\mathscr{V}_{X/S})$⌝ une section, que nous notons $a^*(\omega)$, \[\text{\struck{$a^*(\omega) \in \Gamma(S, \Omega^1_S)$}}\] Cette section ⌜forme⌝ est encore fermée, [N.B. pour le cas où ⌜on l'étend⌝, définissons $a^*(\omega)$ pour toute forme ($\omega$ de degré quelconque) sur $X$, et notons que, fermée ou non, $a^*$ commute à la différentielle ext.) donner une formule …! la lettre lue $\mathscr{V}_{X/S}$ (faisceau tangent relatif, semble-t-il) et le symbole lu $d_a$ sont incertains

Opérateurs différentiels à coefficients constants

230$S \to T$ schéma relatif] 1) Soit $F \xrightarrow{D} G \xrightarrow{D'} H$ une suite d'op. différentiels ⌜[d'ordre $1$]⌝ qui est « formellement exacte ». Alors pour tout $P$, la suite \[\mathrm{Diff}^i(P,F) \xrightarrow{u \mapsto D \circ u} \mathrm{Diff}^{i+1}(P,G) \xrightarrow{v \mapsto D' \circ v} \mathrm{Diff}^{i+2}(P,H)\] est exacte, et la suite \[\mathrm{Diff}^i(H,P) \xrightarrow{u \mapsto u \circ D'} \mathrm{Diff}^{i+1}(G,P) \xrightarrow{v \mapsto v \circ D} \mathrm{Diff}^{i+2}(F,P)\] est exacte.

2) Supposons que $E$ sur $S$ soit loc. libre stratifié, et que le lemme de Poincaré formel soit vrai pour le complexe \[E \otimes \Omega^*_{S/T} = \Omega^*_{S/T}(E)\] [p.ex. $S$ lisse sur $T$, et caractéristiques de $T$ nulles]. Alors ⌜$\forall P$ quasi-coh. et $i \geq 0$⌝ la suite \[\begin{align*} 0 \leftarrow \mathrm{Hom}(E,P) &\leftarrow \mathrm{Diff}^i(E,P) \xleftarrow{u \mapsto u \circ d^0_E} \\ &\qquad \mathrm{Diff}^{i-1}(E \otimes \Omega^1_{S/T}, P) \xleftarrow{u \mapsto u \circ d^1_E} \cdots \end{align*}\] au-dessus de la première flèche, une étiquette raturée suivie de « $(1)$ » [$\mathrm{Diff}^i(E,P) \simeq \mathrm{Hom}(P^i(E),P) \xrightarrow{u \mapsto u \circ \delta_i} \mathrm{Hom}(E,P)$, où $\delta_i : E \to P^i(E)$ défini par la stratification] est exacte.

N.B. $\mathrm{Ker}\bigl(\mathrm{Diff}^i(E,P) \to \mathrm{Hom}(E,P)\bigr)$ est désigné par $\mathrm{Diff}^i_+(E,P)$, op. diff. « à coeff. cts » nul. ; la stratification

231Donc on trouve

Corollaire \[\mathrm{Diff}^{(i)}_+(E,P) \simeq \mathrm{Diff}^{i-1}(E \otimes \Omega^1_{S/T}, P) / \mathrm{Im}\, \mathrm{Diff}^{i-2}(E \otimes \Omega^2_{S/T}, P)\] Par suite, on a un homom. naturel injectif (?) \[\mathrm{Diff}^{(i)}_+(E,P) \hookrightarrow \mathscr{H}\!om\,\mathrm{add}(\mathrm{Ker}\, d^1_E, P)\] ⌜l'image est apparemment : faisceau des op. diff. de $\mathrm{Ker}\, d^1_E$ dans $P$⌝

Pour $i$ fixé, le $P$ « universel » pour les op. diff. à coeff. constants (d'ordre $\leq i$) sur $E$ est \[P^i(E) / \mathcal{O}_S \cdot \delta_i(E) ,\] où \[\delta_i : E \to P^i(E)\] est défini par la stratification.

3) Supposons maintenant donné un sous-Module $N$ de $E$, on s'intéresse aux homom. « différentiels » $\mathrm{Ker}\, d^1_E \to P$ qui s'annulent sur $d^0_E N$, qui correspondent donc aux […] op. diff. $E \to P$, à coeff. cts, et qui s'annulent sur $N$, donc aux op. diff. $M = E/N \to P$ qui sont […] « proviennent » à coeff. cts sur $E$. Ils correspondent ⌜(pour l'ordre $\leq i$), aux homom.⌝ linéaires \[P^i(M) \to P\] qui s'annulent sur $\rho_i E$, où \[\rho_i : E \to P^i(M)\]

232est l'homom. composé [linéaire pour la structure gauche sur $P^i(M)$] \[E \xrightarrow{\delta_i} P^i(E) \to P^i(M) .\] Donc, pour $P$ variable, c'est représenté par \[\mathscr{P}_i = P^i(M) / \mathcal{O}_S \cdot \rho_i(E) ,\] les $\mathscr{P}_i$ forment un syst. projectif strict, déterminé par la connaissance de $M$ et de \[\rho_\infty : E \to P^\infty(M)\] (linéaire pour la structure gauche de $P^\infty(M)$), défini par les $\rho_i$. Attention, ici $\rho_\infty$ satisfait à des conditions spéciales : son composé $E \to M$ […] avec l'augmentation $P^\infty(M) \to M$ est un épimorphisme, + conditions d'intégrabilité ….

Construction de la connexion canonique en cohomologie de De Rham

233p. « 1 » de l'auteur ; le titre de section est le sien, encadré en tête de page

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\begin{tikzcd}
  X_0 \arrow[d, "f_0"] & X' \arrow[d, "f'"] & X'' \arrow[dl, "{f''}"] \\
  T_0 \arrow[r, hook] & T &
\end{tikzcd}

$T_0 \hookrightarrow T$ immersion 1-nilpotente, $T_0 = V(\underline{I})$ ; \[X' \times_T T_0 \simeq X_0 , \qquad X'' \times_T T_0 \simeq X_0 ,\] $X'$, $X''$ deux prolongements lisses de $X_0/T_0$ sur $T$. schéma relatif formellement lisse (pour $f_0$) ; et, dans une bulle reliée à $f_0$ : conditions de lissité ⌜de $X_0$, $X'$, $X''$⌝ satisfaites par $X'$, $X''$ qui sont loc. $T$-isom. (sur $X_0$).

$\mathscr{P}$ faisceau sur esp. $X_0$ des germes des $T$-isom. $X' \to X''$ ;

$\mathscr{G}$ — $T$-autom. $X'' \to X''$ ;

alors \[\mathscr{G} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Omega^1_{X_0/T_0}, f_0^*(I)) = \mathscr{V}_{X_0/T_0} \otimes f_0^*(\underline{I})\] $\mathscr{P}$ un ⌜$\mathscr{G}$-torseur à droite,⌝ [faisceau principal homogène ⌜à droite⌝ sous $\mathscr{G}$.] \[\mathscr{P} \times \Omega^\bullet_{X'/T} \to \Omega^\bullet_{X''/T} \qquad \text{i.e.}\] \[\begin{align*} \mathscr{P} &\xrightarrow{u} \underline{\mathrm{Isom}}_{\text{de complexes}} (\Omega^\bullet_{X'/T}, \Omega^\bullet_{X''/T}) \subset Z^0\, \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet (\Omega^\bullet_{X'/T}, \Omega^\bullet_{X''/T}) \\ \mathscr{G} &\xrightarrow{v} \underline{\mathrm{Aut}}_{\text{de complexes}} (\Omega^\bullet_{X''/T}) \subset Z^0\, \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet (\Omega^\bullet_{X''/T}, \Omega^\bullet_{X''/T}) \\ \mathscr{G} &\xrightarrow{k} \underline{\mathrm{Hom}}^{(-1)} (\Omega^\bullet_{X''/T}, \Omega^\bullet_{X''/T}) \end{align*}\] par produits intérieurs. On a \[\begin{cases} u(pg) = u(p)\, v(g) \\ v(g) - \mathrm{id} = d\, k(g) + k(g)\, d \end{cases} \qquad \text{si } p \in \Gamma(U, \mathscr{P}),\ g \in \Gamma(U, \mathscr{G})\] « Isom » et « Aut » sont écrits sur un mot raturé ; la lettre lue $\mathscr{V}$ comme p. 229

234p. « 2 » de l'auteur Plus généralement sur un espace ⌜annelé⌝ $X$, soient $K'$, $K''$ deux complexes de Modules, et

$\mathscr{G}$ un faisceau abélien

$\mathscr{P}$ un $\mathscr{G}$-torseur à droite \[\begin{align*} \mathscr{P} &\xrightarrow{u} \underline{\mathrm{Hom}}^0(K', K'') \\ \mathscr{G} &\xrightarrow{v} \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet(K'', K'') \\ \mathscr{G} &\xrightarrow{k} \underline{\mathrm{Hom}}^{-1}(K', K'') , \end{align*}\] les symboles « Hom » de la première et de la troisième ligne sont écrits sur une lettre raturée ; le premier argument de la troisième ligne est lu $K'$ \[\begin{gather*} u(pg) = u(p)\, v(g) \\ v(g + g') = v(g) + v(g') \\ v(g) = d\, k(g) + k(g)\, d \end{gather*}\] On veut un ⌜canonique⌝ homom. dans la cat. dérivée \[K' \to K''\] d'où \[\mathbb{R}\Gamma_X(K') \to \mathbb{R}\Gamma_X(K'')\] (compatible avec la structure de […] $\Gamma_X(\mathcal{O}_X)$ …) [et plus gén. en relativisant par rapport à un morphisme d'espaces annelés $X \to T$ …]

On introduit l'extension $\overline{\mathscr{G}}$ de $\mathbb{Z}$ par $\mathscr{G}$ \[0 \to \mathscr{G} \xrightarrow{i} \overline{\mathscr{G}} \xrightarrow{j} \mathbb{Z} \to 0\] définie en termes de $\mathscr{P}$ par la relation \[j^{-1}(1) \simeq \mathscr{P}\] (isom. de $\mathscr{G}$-is $\mathscr{G}$-torseurs …).

Soit \[\mathscr{H} = \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet(K', K'')\] et soit $\mathscr{L}$ le complexe \[\cdots \to 0 \to \mathscr{G} \to \overline{\mathscr{G}} \to 0 \to 0\] au-dessus de $\mathscr{G}$ et de $\overline{\mathscr{G}}$, les indications de degré, entre guillemets, sont mal lisibles

235On trouve donc un homomorphisme \[\varphi : \mathscr{L}^\bullet \to \mathscr{H}^\bullet\] par

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
  \cdots \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \mathscr{G} \arrow[r, "i"] \arrow[d, "\varphi^{-1}"]
    & \overline{\mathscr{G}} \arrow[r] \arrow[d, "\varphi^0"] & 0 \arrow[r] & \cdots \\
  & \mathscr{H}^{-2} \arrow[r] & \mathscr{H}^{-1} \arrow[r, "\delta"]
    & \mathscr{H}^0 \arrow[r] & \mathscr{H}^1 \arrow[r] & \cdots
\end{tikzcd}

défini par les conditions \[\varphi^{-1} = k , \qquad \varphi^0 | \mathscr{P} = u\] et la commutativité du carré.

[Def. […] par Un homom. de $\overline{\mathscr{G}}$ dans un un faisceau $\mathscr{F}$ = $\{$homom. $v$ de $\mathscr{G}$ dans $\mathscr{F}$, et homom. $u$ de $\mathscr{P}$ dans $\mathscr{F}$, avec condition $u(pg) = u(p)\, v(g)\}$. Donc prenant $\mathscr{F} = \mathscr{H}^0$, et $u$, $v$ comme dessus, on trouve $\varphi^0$, avec $\varphi^0 i = u$. Mais $u = \delta$$\varphi$$k = \delta \varphi^{-1}$ …] ici $\mathscr{F}$ désigne un faisceau quelconque, non celui des pp. 223 à 227 ; les deux « $u$ » de la dernière ligne sont écrits tels quels

Tensorisant avec $\mathcal{O}_X$, on trouve \[\underline{\mathcal{O}}_X \xrightarrow{\ \sim\ } \text{\struck{$\mathscr{L}$}} \ \mathscr{L} \to \mathscr{H} \to \mathbb{R}\,\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'')\] ⌜dans cat. dérivée⌝ On trouve donc [⌜donc⌝ $\underline{\mathcal{O}}_X \to \mathbb{R}\,\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'')$ dans cat. dérivée] la flèche $\simeq$ porte « dans cat. dérivée » ; le terme intermédiaire est écrit sur une rature

Donc \[\text{\struck{\ill{}}}\ \mathbb{R}\Gamma_X(\underline{\mathcal{O}}_X) \to \text{\struck{\ill{}}}\ \mathbb{R}\,\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'') ,\] d'où \[\boxed{\; \mathbb{R}\Gamma_X(\underline{\mathcal{O}}_X) \to \mathbb{R}\,\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'') \;}\] Par suite, faisant passant au $\mathbb{R}\Gamma^0_X$, on trouve ⌜un élément de⌝ $\mathbb{R}^0\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'')$, i.e. un homom. de la ⌜cat. dérivée⌝ la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot