Fonds Grothendieck, cote n° 93, pages 221–235

Intégrales de formes fermées relatives et équations de Picard-Fuchs

1) Soit f : X \to S un morphisme lisse d'espaces analytiques [lisses] (holomorphe), \omega une 1-forme fermée relative sur X/S, a et b deux sections holomorphes de X sur S, telles que \forall s \in S, a(s) et b(s) soient dans la même comp. connexe de X_s. Localement sur S, on peut trouver un arc ~~diff~~ (différentiable par morceaux) C_s : [0,1] = I \to X_s, joignant a(s) et b(s), et dépendant continûment de s.

Utilisant le fait que \omega est fermée, donc localement de la forme d_{X/S}\varphi, on constate que la fonction sur S I(s) = \int_{C_s} \omega_s = \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_s est holomorphe en s. [plus précisément au voisinage de s_0 \in S et En effet, supposons ~~a(s_0)~~ a(s_0) et b(s_0) sont assez voisins pour que dans un ouvert U contenant a(s_0), b(s_0), on ait \omega|U = d\varphi, donc pour s voisin de s_0, I(s) = \varphi(b(s)) - \varphi(a(s))]. Changeant le des C_s variant : le remplaçant par C'_s = C_s + Z_s, Z_s un 1-cycle, donc on trouve I'(s) = I(s) + \int_{Z_s} \omega_s . \tag{1}

Considérons une expression formelle (avec des \omega_i comme \omega, et des op. diff. (rel.) D_i sur S] \sum D_{i,s} \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} . \tag{2}

Cette fonction est déterminée, indépendamment du choix de C_s, modulo une expression de la forme \sum D_{i,s} \int_{Z_s} \omega_{i,s} \quad \text{\struck{$= \int_{Z_s} \sum D_{i,s}\, \omega_{i,s}$}} \tag{3} ~~[N.B. Le fait que Z_s est un 1-cycle permet~~ Supposons que les D_i, \omega_i soient tels que l'expression précédente soit nulle, quelle que soit la famille continue s \mapsto Z_s de 1-cycles ~~\Sigma~~ définie sur un ouvert de S : ~~Alors l'expression~~ On dira que ~~les~~ \mu = (D_i, \omega_i)_{i \in I} définit une équation de Picard-Fuchs sur X/S. Alors pour deux sections hol. quelc. a, b de X/S, l'expression \mu(a,b) = \sum_i D_{i,s} \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} \tag{4} est bien déterminée, et est une fonction holomorphe sur S. Bien sûr on aura \mu(a,b) + \mu(b,c) = \mu(a,c) . \tag{5} Cherchons une condition suffisante maniable, sous forme différentielle, ~~infinitésimale, et non plus globale,~~ pour que \mu soit de Pic. Fuchs. Notons

que sur \mathscr{F} = f_*(Z\Omega^1_{X/S}) / d f_*(\mathcal{O}_X) , \tag{6} la lettre cursive notée ici \mathscr{F} (pp. 223 à 227) est de forme incertaine il y a une connexion intégrable naturelle, grâce à la formule de Cartan … attention, en réalité il faut que X \to S soit steinien Les coeff. définissent les sections \omega'_i de \mathscr{F}, et l'on peut former les D_i \omega'_i. Je dis qu'il suffit qu'on ait \sum D_i \omega'_i = 0 . \tag{7} Lorsque X/S est muni d'une connexion intégrable, alors le calcul de \sum D_i \omega'_i dans f_*(\Omega^*_{X/S}) sera aussi stratifié, donc se fait ainsi : on dit que \overline{D}_i se relevant ~~pour la stratification en~~ opérateurs \overline{D}_i sur \underline{\Omega}^*_X commutant à la diff. rel. d_{X/S} et ~~qui à une forme fermée] une forme~~

le cadre qui suit, numéroté (8) et (9), est barré de grands traits en croix ~~(8)~~ \alpha_{\overline{D}_i}\, \omega_i = \alpha_{\overline{D}{}^0_i}\, \omega_i + c_i\, \omega_i ; \overline{D}_i = \overline{D}{}^0_i + c_i\, \mathrm{id} [\overline{D}{}^0_i à coeff. cts, c_i section de \mathcal{O}_X] ; ~~(9)~~ \alpha_{\overline{D}_i}\, d\varphi = \alpha_i\, \overline{D}_i \varphi tout ce cadre est biffé ; la lettre lue \alpha et le dernier membre de (9) sont incertains

Considérons alors \sum \overline{D}_i\, \omega_i = \varpi \tag{8} qui est encore une forme fermée. On vérifie alors aisément que l'on a

\sum D_i\, \omega'_i = \varpi' \quad \text{dans } \mathscr{F} \tag{9} et la condition (7) signifie que l'on a, localement au dessus de S, une relation \varpi \;(= \textstyle\sum \overline{D}_i\, \omega_i) = d\varphi , \qquad \varphi \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) . \tag{10} Pour voir que cette relation implique bien la nullité de (3), il suffit de prouver \sum_i D_{i,s} \int_{Z_s} \omega_{i,s} = \int_{Z_s} \varpi \tag{11} qui implique, si \varpi = d\varphi, que le premier membre est égal à \int_{\partial Z_s} \varphi = 0 car \partial Z_s = 0.

En fait, (11) provient de la relation générale D_s \int_{Z_s} \omega_s = \int_{Z_s} \overline{D}_s\, \omega_s \tag{12} valable pour tout op. diff. hol. D sur S, et toute forme holomorphe fermée \omega sur X [Le fait que \omega est fermée implique que \int_{Z_s} \omega est fonction holomorphe en s, et donne un sens au premier membre de (12)]. Pour prouver cette

dernière, on [peut se ramener, en décomposant Z_{s_0} en petits chemins a^0_i \to a^0_{i+1}, et transportant ~~par~~ horizontalement les a^0_i ] à prouver la relation plus générale une longue ligne ondulée traverse les deux premières lignes de la page ; biffure possible du passage entre crochets D_s \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_s = \int_{a(s)}^{b(s)} (\overline{D}\omega)_s , \tag{13} valable pour des chemins d'intégration a(s), b(s), qui sont des sections horizontales pour la connexion. [N.B. Bien entendu, on suppose, pour donner un sens à cette formule, qu'on a choisi les arcs C_s comme dessus, donc (13) s'écrit avec plus de précision D_s \int_{C_s} \omega_s = \int_{C_s} (\overline{D}\omega)_s \tag{13 bis} ].

Pour prouver (13), on est ramené, en se plaçant au voisinage de s_0 et décomposant le chemin \int_{a(s)}^{b(s)}, au cas où a(s_0), b(s_0) sont assez voisins, de sorte qu'on peut se placer dans un ouvert U où l'on a \omega = d\varphi. Mais alors le 1er membre est D_s\bigl(\varphi(b(s)) - \varphi(a(s))\bigr), le

deuxième est \int_{a(s)}^{b(s)} \overline{D}\, d\varphi = \int_{a(s)}^{b(s)} d\, \overline{D}\varphi = (\overline{D}\varphi)(b(s)) - (\overline{D}\varphi)(a(s)) , ~~et les~~ et les deux expressions sont égales, grâce au fait que a, b sont des sections horizontales. Notons aussi que inversement, si a, b sont des sections horizontales, on aura \mu(a,b) = \int_{a(s)}^{b(s)} \Bigl(\sum \overline{D}_i\, \omega_i\Bigr)_s = \varphi(b(s)) - \varphi(a(s)) , \tag{14} où \varphi est défini par la relation (10).

Prouvons la suffisance de (7), pour la nullité de (3) en général. On va prouver « plus généralement » qu'on aura alors \sum D_{i,s} \int_{C_s} \omega_{i,s} = 0 lorsque C_s est une 1-chaîne dans X_s, variant différentiablement avec s, dont le bord est « horizontal » en s, ou ce qui revient au même que \sum_i D_{i,s} \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} = 0 si a, b sont des sections horizontales de X, sur un ouvert de S. ~~Pour~~ Se plaçant au voisinage d'un

point s_0 de S, on est ramené au cas où a(s_0) est proche de b(s_0), de sorte qu'on peut se placer dans un ouvert de X assez petit pour qu'il y ait une connexion. Et on gagne.

On peut aussi noter, ~~quitte~~ pour prouver la ~~formule~~ nullité de (3) comme conséquence de (7), que l'on a \sum D_{i,s} \int_{Z_s} \omega_i = \int_{Z_s} \Bigl(\sum \overline{D}_i\, \omega'_i\Bigr)_s le numéro de cette formule est raturé où le deuxième membre est nul, car \int_{Z_s} \varpi_s = 0 si \varpi est un bord, et (\sum \overline{D}_i\, \omega'_i)_s est une forme définie modulo un bord. La formule envisagée \boxed{\; D_s \int_{Z_s} \omega'_s = \int_{Z_s} (\overline{D}\omega')_s \;} \tag{15} qui donne la propriété transcendante essentielle de la connexion intégrable canonique sur \mathscr{F}. Nous n'allons pas prouver (15) ici, et l'admettrons, mais notons que

(15) nous donne une réciproque pour la condition envisagée pour que (D_i, \omega_i) soit de Picard-Fuchs : il faut et suffit que l'on ait (7). Cela résulte du th. de De Rham sur les fibres X_s ….

Calcul des \mu(a,b) par voie « algébrique », sans calcul d'intégrales. C'est local sur S. La formule (5) nous ramène à calculer \mu(a,b) au voisinage de s_0, pour ~~a(s)~~ a(s_0) et b(s_0) assez voisins. Cela nous permet alors de supposer que sur X/S il y a une connexion intégrable. On peut même supposer, par un choix convenable, que les sections a, b sont horizontales. Alors on trouve (14) \mu(a,b) = \varphi(b(s)) - \varphi(a(s)) où \varphi est défini par (10).

Il y aurait lieu d'expliciter aussi une formule explicite, sans supposer que a(s) et b(s) soient horizontales. Faisons le calcul au voisinage de s_0, et soient a_0, b_0 les

sections horizontales au voisinage de s_0, telles que a_0(s_0) = a(s_0) , \qquad b_0(s_0) = b(s_0) . On a \mu(a,b) = \mu(a_0, b_0) + \mu(b_0, b) - \mu(a_0, a) sous \mu(a_0,b_0), un renvoi raturé, puis « (14) \varphi(b_0) - \varphi(a_0) » donc \begin{align*} \mu(a,b)(s_0) &= \bigl[\varphi(b(s_0)) - \varphi(a(s_0))\bigr] \\ &\quad + \Bigl(\sum_i D_{i,s} \int_{b_0(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} - \sum_i D_{i,s} \int_{a_0(s)}^{a(s)} \omega_{i,s}\Bigr)_{s = s_0} \end{align*} Il faut calculer les deux termes de , c'est une histoire purement locale.

la suite de la page est barrée de grands traits obliques ~~Notons, grâce à la connexion de X/S,~~ \text{\struck{$d_a \in \Gamma(S, a^*(\mathscr{V}_{X/S}) \otimes \Omega^1_S)$}} ~~d'où, ~~sur~~ contractant avec~~ \text{\struck{$a^*(\omega) \in \Gamma(S, a^*(\Omega^1_{X/S}))$}} ~~dual de a^*(\mathscr{V}_{X/S}) une section, que nous notons a^*(\omega),~~ \text{\struck{$a^*(\omega) \in \Gamma(S, \Omega^1_S)$}} ~~Cette section~~ forme est encore fermée, [N.B. pour le cas où on l'étend, définissons a^*(\omega) pour toute forme (\omega de degré quelconque) sur X, et notons que, fermée ou non, a^* commute à la différentielle ext.) donner une formule …! la lettre lue \mathscr{V}_{X/S} (faisceau tangent relatif, semble-t-il) et le symbole lu d_a sont incertains

Opérateurs différentiels à coefficients constants

S \to T schéma relatif] 1) Soit F \xrightarrow{D} G \xrightarrow{D'} H une suite d'op. différentiels [d'ordre 1] qui est « formellement exacte ». Alors pour tout P, la suite \mathrm{Diff}^i(P,F) \xrightarrow{u \mapsto D \circ u} \mathrm{Diff}^{i+1}(P,G) \xrightarrow{v \mapsto D' \circ v} \mathrm{Diff}^{i+2}(P,H) est exacte, et la suite \mathrm{Diff}^i(H,P) \xrightarrow{u \mapsto u \circ D'} \mathrm{Diff}^{i+1}(G,P) \xrightarrow{v \mapsto v \circ D} \mathrm{Diff}^{i+2}(F,P) est exacte.

2) Supposons que E sur S soit loc. libre stratifié, et que le lemme de Poincaré formel soit vrai pour le complexe E \otimes \Omega^*_{S/T} = \Omega^*_{S/T}(E) [p.ex. S lisse sur T, et caractéristiques de T nulles]. Alors \forall P quasi-coh. et i \geq 0 la suite \begin{align*} 0 \leftarrow \mathrm{Hom}(E,P) &\leftarrow \mathrm{Diff}^i(E,P) \xleftarrow{u \mapsto u \circ d^0_E} \\ &\qquad \mathrm{Diff}^{i-1}(E \otimes \Omega^1_{S/T}, P) \xleftarrow{u \mapsto u \circ d^1_E} \cdots \end{align*} au-dessus de la première flèche, une étiquette raturée suivie de « (1) » [\mathrm{Diff}^i(E,P) \simeq \mathrm{Hom}(P^i(E),P) \xrightarrow{u \mapsto u \circ \delta_i} \mathrm{Hom}(E,P), où \delta_i : E \to P^i(E) défini par la stratification] est exacte.

N.B. \mathrm{Ker}\bigl(\mathrm{Diff}^i(E,P) \to \mathrm{Hom}(E,P)\bigr) est désigné par \mathrm{Diff}^i_+(E,P), op. diff. « à coeff. cts » nul. ; la stratification

Donc on trouve

Corollaire \mathrm{Diff}^{(i)}_+(E,P) \simeq \mathrm{Diff}^{i-1}(E \otimes \Omega^1_{S/T}, P) / \mathrm{Im}\, \mathrm{Diff}^{i-2}(E \otimes \Omega^2_{S/T}, P) Par suite, on a un homom. naturel injectif (?) \mathrm{Diff}^{(i)}_+(E,P) \hookrightarrow \mathscr{H}\!om\,\mathrm{add}(\mathrm{Ker}\, d^1_E, P) l'image est apparemment : faisceau des op. diff. de \mathrm{Ker}\, d^1_E dans P

Pour i fixé, le P « universel » pour les op. diff. à coeff. constants (d'ordre \leq i) sur E est P^i(E) / \mathcal{O}_S \cdot \delta_i(E) , où \delta_i : E \to P^i(E) est défini par la stratification.

3) Supposons maintenant donné un sous-Module N de E, on s'intéresse aux homom. « différentiels » \mathrm{Ker}\, d^1_E \to P qui s'annulent sur d^0_E N, qui correspondent donc aux op. diff. E \to P, à coeff. cts, et qui s'annulent sur N, donc aux op. diff. M = E/N \to P qui ~~sont~~ « proviennent » à coeff. cts sur E. Ils correspondent (pour l'ordre \leq i), aux homom. linéaires P^i(M) \to P qui s'annulent sur \rho_i E, où \rho_i : E \to P^i(M)

est l'homom. composé [linéaire pour la structure gauche sur P^i(M)] E \xrightarrow{\delta_i} P^i(E) \to P^i(M) . Donc, pour P variable, c'est représenté par \mathscr{P}_i = P^i(M) / \mathcal{O}_S \cdot \rho_i(E) , les \mathscr{P}_i forment un syst. projectif strict, déterminé par la connaissance de M et de \rho_\infty : E \to P^\infty(M) (linéaire pour la structure gauche de P^\infty(M)), défini par les \rho_i. Attention, ici \rho_\infty satisfait à des conditions spéciales : son composé E \to M avec l'augmentation P^\infty(M) \to M est un épimorphisme, + conditions d'intégrabilité ….

Construction de la connexion canonique en cohomologie de De Rham

p. « 1 » de l'auteur ; le titre de section est le sien, encadré en tête de page

\begin{tikzcd} X_0 \arrow[d, "f_0"] & X' \arrow[d, "f'"] & X'' \arrow[dl, "{f''}"] \\ T_0 \arrow[r, hook] & T & \end{tikzcd}

T_0 \hookrightarrow T immersion 1-nilpotente, T_0 = V(\underline{I}) ; X' \times_T T_0 \simeq X_0 , \qquad X'' \times_T T_0 \simeq X_0 , X', X'' deux prolongements lisses de X_0/T_0 sur T. schéma relatif formellement lisse (pour f_0) ; et, dans une bulle reliée à f_0 : conditions de lissité de X_0, X', X'' satisfaites par X', X'' qui sont loc. T-isom. (sur X_0).

\mathscr{P} faisceau sur esp. X_0 des germes des T-isom. X' \to X'' ;

\mathscr{G} — T-autom. X'' \to X'' ;

alors \mathscr{G} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Omega^1_{X_0/T_0}, f_0^*(I)) = \mathscr{V}_{X_0/T_0} \otimes f_0^*(\underline{I}) \mathscr{P} un \mathscr{G}-torseur à droite, [faisceau principal homogène à droite sous \mathscr{G}.] \mathscr{P} \times \Omega^\bullet_{X'/T} \to \Omega^\bullet_{X''/T} \qquad \text{i.e.} \begin{align*} \mathscr{P} &\xrightarrow{u} \underline{\mathrm{Isom}}_{\text{de complexes}} (\Omega^\bullet_{X'/T}, \Omega^\bullet_{X''/T}) \subset Z^0\, \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet (\Omega^\bullet_{X'/T}, \Omega^\bullet_{X''/T}) \\ \mathscr{G} &\xrightarrow{v} \underline{\mathrm{Aut}}_{\text{de complexes}} (\Omega^\bullet_{X''/T}) \subset Z^0\, \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet (\Omega^\bullet_{X''/T}, \Omega^\bullet_{X''/T}) \\ \mathscr{G} &\xrightarrow{k} \underline{\mathrm{Hom}}^{(-1)} (\Omega^\bullet_{X''/T}, \Omega^\bullet_{X''/T}) \end{align*} par produits intérieurs. On a \begin{cases} u(pg) = u(p)\, v(g) \\ v(g) - \mathrm{id} = d\, k(g) + k(g)\, d \end{cases} \qquad \text{si } p \in \Gamma(U, \mathscr{P}),\ g \in \Gamma(U, \mathscr{G}) « Isom » et « Aut » sont écrits sur un mot raturé ; la lettre lue \mathscr{V} comme p. 229

p. « 2 » de l'auteur Plus généralement sur un espace annelé X, soient K', K'' deux complexes de Modules, et

\mathscr{G} un faisceau abélien

\mathscr{P} un \mathscr{G}-torseur à droite \begin{align*} \mathscr{P} &\xrightarrow{u} \underline{\mathrm{Hom}}^0(K', K'') \\ \mathscr{G} &\xrightarrow{v} \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet(K'', K'') \\ \mathscr{G} &\xrightarrow{k} \underline{\mathrm{Hom}}^{-1}(K', K'') , \end{align*} les symboles « Hom » de la première et de la troisième ligne sont écrits sur une lettre raturée ; le premier argument de la troisième ligne est lu K' \begin{gather*} u(pg) = u(p)\, v(g) \\ v(g + g') = v(g) + v(g') \\ v(g) = d\, k(g) + k(g)\, d \end{gather*} On veut un canonique homom. dans la cat. dérivée K' \to K'' d'où \mathbb{R}\Gamma_X(K') \to \mathbb{R}\Gamma_X(K'') (compatible avec la structure de \Gamma_X(\mathcal{O}_X) …) [et plus gén. en relativisant par rapport à un morphisme d'espaces annelés X \to T …]

On introduit l'extension \overline{\mathscr{G}} de \mathbb{Z} par \mathscr{G} 0 \to \mathscr{G} \xrightarrow{i} \overline{\mathscr{G}} \xrightarrow{j} \mathbb{Z} \to 0 définie en termes de \mathscr{P} par la relation j^{-1}(1) \simeq \mathscr{P} (isom. de ~~\mathscr{G}-is~~ \mathscr{G}-torseurs …).

Soit \mathscr{H} = \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet(K', K'') et soit \mathscr{L} le complexe \cdots \to 0 \to \mathscr{G} \to \overline{\mathscr{G}} \to 0 \to 0 au-dessus de \mathscr{G} et de \overline{\mathscr{G}}, les indications de degré, entre guillemets, sont mal lisibles

On trouve donc un homomorphisme \varphi : \mathscr{L}^\bullet \to \mathscr{H}^\bullet par

\begin{tikzcd}[column sep=small] \cdots \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \mathscr{G} \arrow[r, "i"] \arrow[d, "\varphi^{-1}"] & \overline{\mathscr{G}} \arrow[r] \arrow[d, "\varphi^0"] & 0 \arrow[r] & \cdots \\ & \mathscr{H}^{-2} \arrow[r] & \mathscr{H}^{-1} \arrow[r, "\delta"] & \mathscr{H}^0 \arrow[r] & \mathscr{H}^1 \arrow[r] & \cdots \end{tikzcd}

défini par les conditions \varphi^{-1} = k , \qquad \varphi^0 | \mathscr{P} = u et la commutativité du carré.

[~~Def. par~~ Un homom. de \overline{\mathscr{G}} dans un un faisceau \mathscr{F} = \{homom. v de \mathscr{G} dans \mathscr{F}, et homom. u de \mathscr{P} dans \mathscr{F}, avec condition u(pg) = u(p)\, v(g)\}. Donc prenant \mathscr{F} = \mathscr{H}^0, et u, v comme dessus, on trouve \varphi^0, avec \varphi^0 i = u. Mais u = \delta~~\varphi~~k = \delta \varphi^{-1} …] ici \mathscr{F} désigne un faisceau quelconque, non celui des pp. 223 à 227 ; les deux « u » de la dernière ligne sont écrits tels quels

Tensorisant avec \mathcal{O}_X, on trouve \underline{\mathcal{O}}_X \xrightarrow{\ \sim\ } \text{\struck{$\mathscr{L}$}} \ \mathscr{L} \to \mathscr{H} \to \mathbb{R}\,\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'') dans cat. dérivée ~~On trouve donc~~ [donc \underline{\mathcal{O}}_X \to \mathbb{R}\,\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'') dans cat. dérivée] la flèche \simeq porte « dans cat. dérivée » ; le terme intermédiaire est écrit sur une rature

Donc \text{\struck{\ill{}}}\ \mathbb{R}\Gamma_X(\underline{\mathcal{O}}_X) \to \text{\struck{\ill{}}}\ \mathbb{R}\,\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'') , d'où \boxed{\; \mathbb{R}\Gamma_X(\underline{\mathcal{O}}_X) \to \mathbb{R}\,\underline{\mathrm{Hom}}(K', K'') \;} Par suite, ~~faisant~~ passant au \mathbb{R}\Gamma^0_X, on trouve un élément de \mathbb{R}^0\underline{\mathrm{Hom}}(K', K''), i.e. un homom. de la cat. dérivée la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot