Cote n° 93, pages 181–200

Cote n° 93 · batch 10 · pages 181–200 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

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Opération de Cartier en dimension relative un

181La page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient d'avant le lot. … en question […] sur Lie et l'opération des puissances $p$-ièmes (c'est-à-dire dans le livre de Demazure-Gabriel ?). ? L'isom transposé est donné par l'opération de Cartier sur les formes différentielles.

⑦ Cas ⌜lisse⌝ de dim relative un : un accouplement remarquable.

Soit Plus généralement, en dim relative $1$, $Q = f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)/\mathcal{O}_{X^{p/S}}$ supposons que $X$ sur $X^{p/S}$ […], que $\Omega^1_{X/S}$ ($=\Omega^1_{X/X^{p/S}}$) soit lisse de rang 1, ce qui signifie aussi que $X$ a loc. une $p$-base à $1$ élément sur $S$. Posons \[Q = f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)/\operatorname{Im}\mathcal{O}_{X^{p/S}} = f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)/\Lambda \simeq \mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{O}_X^{p}]\] qui est un module loc. libre de rang $p-1$ sur $S$. On va définir un accouplement ⌜$\Lambda$-bilinéaire⌝ canonique \[(*)\qquad Q\times Q \longrightarrow \Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes_{\mathcal{O}_{X^{p/S}}}\Lambda\] ($=\Omega^1_{X^{p/S}/S}$ si p.ex. $X/S$ lisse), ou plutôt, ce qui revient au même, une forme $\Lambda$-bil. \[\varphi : f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)\times f_{X/S*}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes_{\mathcal{O}_{X^{p/S}}}\Lambda\] qui est nulle sur $\Lambda\times f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)$ et sur $f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)\times\Lambda$.

182On prend \[\varphi(f,g) = \widetilde{C}(f\,dg)\] a) $\Lambda$-bilinéaire : clair.

b) nulle si $f$ scalaire de $\Lambda$ $f=1$ ou $g=1$ : clair, car $\widetilde{C}$ est nulle sur les diff. exactes.

c) $\varphi$ est antisymétrique, i.e. $\left\{\begin{array}{l}\text{alterné si } p\neq 2\\ \text{symétrique si } p=2\end{array}\right.$ i.e. $\varphi(f,g)+\varphi(g,f)=0$ i.e. $\widetilde{C}(f\,dg+g\,df)=0$, en effet $f\,dg+g\,df = d(fg) = 0$. Ainsi sur la page ; c'est $\widetilde{C}(d(fg))$ qui est nul.

Proposition. L'accouplement $(*)$ est une dualité parfaite de $\Lambda$-modules.

On peut supposer qu'il existe une $p$-base relative $\{x\}$, et on a une base de $Q$ sur $\Lambda$ formée des $x, x^2, \dots, x^{p-1}$ $x^i$, $1\leq i\leq p-1$. Or on a \[\widetilde{C}(x^i\,dx^j) = \widetilde{C}(j\,x^{i+j-1}\,dx) = \begin{cases} 0 & \text{si } i+j\neq p-1\\ j & \text{si } i+j = p-1\end{cases}\] Ainsi sur la page ; le calcul donne la condition $i+j-1=p-1$, soit $i+j=p$, ce que confirme la matrice antidiagonale qui suit. donc la matrice de la forme $\varphi$ est \[\begin{pmatrix} & & p-1\\ & \cdots & \\ 1 & & \end{pmatrix} \qquad\text{(antidiagonale $1, 2, \dots, p-1$, zéros ailleurs),}\] son déterminant, au signe près, est donc $1.2\dots(p-1)\in\mathbb{F}_p^*$, donc inversible, O.K. $\Delta = -1 \in \mathbb{F}_p^*$

Corollaire. $\det Q$ On a un isom canonique \[Q \xrightarrow{\ \sim\ } \check{Q}\otimes\bigl(\Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda\bigr)\] d'où un isom canonique \[\det Q \simeq \det\check{Q}\otimes \bigl(\Omega^{1\ \otimes(p-1)}_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda\bigr)\]

183et par suite un isom canonique \[(**)\qquad (\det Q)^{\otimes 2} \simeq \Omega^{1\ \otimes(p-1)}_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda\]

Cas 1 $p=2$, on trouve \[\text{\struck{$\det Q^{\otimes}\simeq$}}\ \Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda \simeq (\det Q)^{\otimes 2}\] donc $\Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda$ ⌜et $X$ réduit géom., $\Lambda\simeq\mathcal{O}_{X^{p/S}}$⌝ est un carré, (ceci implique que $\Omega^1_{X/S}$ est lui-même un carré, […] si $S=\operatorname{Spec}(k)$, $k$ […]) […] ⌜[…] si $X$ lisse sur $k$⌝ communique un carré. […] […] comme on voit […] par l'exemple de Serre-Tate-Fröhlich : il suffit de prendre l'exemple d'une courbe ⌜lisse propre⌝ rationnelle sans point rationnel […] – ? […] il y a un […] sur corps imparfait du cas 2. Passage serré, surchargé de ratures et d'ajouts interlinéaires ; seules les lectures indiquées sont proposées.

Cas 2 $p\neq 2$, donc $\frac{p-1}{2}$ est un entier. On aimerait trouver un isom can. \[\psi : \det(Q) \simeq \Omega^{1\ \otimes(\frac{p-1}{2})}_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda \qquad\Bigl[\simeq \Omega^{1\ \otimes(\frac{p-1}{2})}_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X}\Lambda\Bigr].\] qui serait un relèvement de $(**)$ […] de $\mu_2\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [Sinon, il y aurait un revêtement […] de $X^{p/S}$, canoniquement associé à la situation]. Regardons la base de $Q$, $(\dot{x}^i)_{1\leq i\leq p-1}$, et comme d'où une base de $\det Q$, $\dot{x}\wedge\dot{x}^2\wedge\dots\wedge\dot{x}^{p-1}$, et la valeur de l'isom $(**)$, est $\Delta\bigl(d\tilde{x}^{\otimes(p-1)}\otimes\Lambda\bigr)$, où $\Delta$ est le déterminant de la matrice écrite plus haut, savoir \[(-1)^{(p-1)-1}\ 1.2\dots(p-1) = \text{\struck{$-(1.2\dots(p-1))$}}\,.\] Comme $\mathbb{F}_p^*$ est un groupe cyclique d'ordre pair $p-1$, le produit des éléments est $-1$, donc on trouve $\Delta = 1$,

184Ceci suggère d'associer à $\dot{x}$ … $\dot{x}$ de définir $\psi$ par \[(***)\qquad \boxed{\ \Psi(\dot{x}\wedge\dot{x}^2\wedge\dots\wedge\dot{x}^{p-1}) = \widetilde{dx}^{\,\otimes\frac{p-1}{2}}\otimes\Lambda\ }\] Ce qui demande une vérification courte de l'isom $(**)$, et d'autre part que $\psi$ est indépendant du choix de la $p$-base $\{x\}$. […] une autre $p$-base, $y = a_{p-1}x^{p-1}+\dots+a_0$ $(a_i\in\Lambda)$, d'où $dy = [(p-1)a_{p-1}x^{p-2}+\dots+a_1]\,dx$, donc on a $(p-1)a_{p-1}x^{p-2}+\dots+a_1\in B^*$ Ce calcul, depuis « une autre $p$-base », est barré par de longs traits obliques. Or, […] de l'[…] : l'autre […] façon […] complexe ⌜simplicial⌝ des schémas $P$ [[…] $Z$ […] $(X^{p}, \Lambda)$] […] des $p$-bases relatives, dans le revêtement trivial à deux feuillets $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_Z$ de $Z$. […] Or […] $P \to Z$ […] : fibres connexes, et on voit donc que cette application est […] une application est constante […] fibres : fibres, ce qui donne ce qu'on voulait …

Application : la définition cohomologique globale (Serre […] Sém. vol. 1)

? Généralisation des relations précédentes à la dim supérieure ?

185Cas $X\xrightarrow{f}S$ propre ⌜lisse⌝ de dim relative $1$. On a un diagramme autodual [dualité = symétrie p.r. à un centre]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & 0 \arrow[d] & & \\
 & & R^1f_*(\mathcal{O}_{X/S}) & & \\
0 \arrow[r] & R^1f_*(\mathcal{O}_X)^{(p)} \arrow[r, "\alpha"] \arrow[ur, "F\ (\mathrm{Frob})"] & \mathcal{H}^1_{DR} \arrow[r, "\beta"] \arrow[u] & f_*(\Omega^1_{X/S})^{(p)} \arrow[r] & 0\\
 & & f_*(\Omega^1_{X/S}) \arrow[u] \arrow[ur, "C\ (\text{op. de Cartier})"'] & & \\
 & & 0 \arrow[u] & &
\end{tikzcd}

Disposition reproduite d'après la page : la colonne monte de $0$ à $0$ ; la flèche du haut, de $\mathcal{H}^1_{DR}$ vers $R^1f_*(\mathcal{O}_{X/S})$, et la flèche de $0$ vers celui-ci sont des traits sans tête nette sur le manuscrit.

ligne et colonne exactes

$*$) $\mathcal{H}^1_{DR} = \mathcal{H}^1_{DR}(X/S) = R^1f_*(\Omega^{\bullet}_{X/S})$

$**$) colonne : est la filtration de $\mathcal{H}^1$ par $\mathcal{H}^{1,0}$ et $\mathcal{H}^{0,1}$

$***$) $\alpha$ déduit par passage au quotient de $F_{\mathcal{H}^1} : \mathcal{H}^{1(p)}\to\mathcal{H}^1$

$****$) $\beta = {}^t\alpha$, déduit de ${}^tF_{\mathcal{H}^1}$ par restriction

$*****$) $F$ et $C$ sont duaux ⌜transposés⌝ l'un de l'autre via la dualité de Poincaré et Cartier.

L'encadré qui suit est barré par trois longs traits obliques. On a $\beta\alpha = 0$, et on a équivalence entre les conditions

(i) $\alpha$ injectif

(ii) $\beta$ surjectif

(iii) la suite

$0\to R^1f_*(\mathcal{O}_X)^{(p)}\xrightarrow{\alpha}\mathcal{H}^1_{DR}$ $\xrightarrow{\beta} f_*(\Omega^1_{X/S})^{(p)}\to 0$ est exacte

(iii bis) $\operatorname{Ker}\beta = \operatorname{Im}\alpha$, i.e. $\operatorname{Ker}\beta = (\operatorname{Ker}\beta)^{\perp}$ (ou $\supset$) i.e. $\operatorname{Im}\alpha = (\operatorname{Im}\alpha)^{\perp}$ (ou $\subset$)

(iii ter) $\dim\operatorname{Ker}\beta = \dim\operatorname{Im}\alpha$

(iv) $\operatorname{rang}\alpha = g$, i.e. $\operatorname{rang}\beta = g$, i.e. $\operatorname{rang}F_{\mathcal{H}^1} = g$

Pour ceci, il suffit que

NB on a toujours $\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Ker}\alpha = (\operatorname{Im}\beta)^{\perp}\\ \operatorname{Im}\alpha = (\operatorname{Ker}\beta)^{\perp}\end{array}\right.$ […]

186Page entière annulée par trois longs traits courbes.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "f^{(i)}"] & X^{[i]}\\
T_0 \arrow[u, "\varphi_0"] \arrow[r, "i"'] & T \arrow[u, "u"']
\end{tikzcd}

tels que $\left\{\begin{array}{l}\varphi_0\in\mathcal{S}_0\\ i\in\mathcal{N}\end{array}\right.$

Considérons […] plus généralement une famille d'immersions $\Gamma : X\to Z$ ⌜de $(\mathrm{Sch})/S$⌝, et la catégorie analogue formée des

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "\delta"] & Z\\
T_0 \arrow[u, "\varphi_0"] \arrow[r, "i"'] & T \arrow[u, "u"']
\end{tikzcd}

[…] […] […] désignera $C/\delta$. Si $Z_{(n)}$ est le $n$-ième voisinage infinitésimal de $X$ dans $Z$, […] et $\delta_n : X\to Z_{(n)}$, alors $C/\delta$ est la limite des sous-catégories $C/\delta_n$, qui […] […] [si […] des voisins $X$ $\delta_n$, $Z_n\in\mathcal{B}S$] et que $X\hookrightarrow Z_n$ […] loc. […] $X$ […] $(C)$ une restriction sur $X$ ],

Connexions et stratifications intégrables : (suite, problèmes divers)

Titre tiré de la feuille de garde p. 187, de sa main ; la feuille ne porte rien d'autre.

188$X/S$ schéma sur $S$.

Il serait plus naturel à certains égards de travailler avec les PD-connexions [c'est pareil dans cas lisse] 1) Un module ⌜qu. coh.⌝ $E$ sur $X$, avec connexion rel/$S$, est dit trivial si $E\simeq f^*(F)$, $F$ un module ⌜qu. coh.⌝ sur $S$ [isom respectant connexions]. NB Si $X\to S$ est connexe ⌜lisse surjectif⌝ fpqc et à fibres géométriquement connexes, ⌜$S$ de car. $0$, donc⌝ le foncteur $F\mapsto f^*(F)$, des modules qu. coh. sur $S$ dans les modules qu. coh. sur $X$ à connexion rel/$S$, est pleinement fidèle [même aussi si $F$ de présentation finie].

On dit que $E$ est loc. trivial au Zar.-intégrable si $E$ est trivial localement sur $(X\to S)$ pour la topologie de Zariski. On dit que $E$ est intégrable, si la même condition est satisfaite, loc. pour top. ét.

2) Supposons $S$ de car. $p>0$, et que $X$ sur $S$ admette loc. une $p$-base. Alors $E$ est loc. trivial conditions suivantes sur $E$ qu. coh. sont équivalentes :

a) $E$ est Zar. intégrable

b) $E$ est intégrable

c) $E$ est à courbure et $p$-courbure nulle.

d) $E$ est trivial relativement à $X\to\bigl(X^{p/S}, \mathcal{O}_{X^{p/S}}/J\simeq\Lambda\bigr)$

De plus, le foncteur $F\mapsto f'^{*}_{X/S}(F)$ des Modules qu. coh. sur $X'^{/S'} = \bigl(X^{p/S}, \mathcal{O}_{X^{p/S}}/J = \Lambda\bigr)$ dans les modules ⌜qu. coh. sur $X$⌝ à connexion intégrable rel/$S$, est une équivalence de catégories.

1893) Soit $G$ un groupe fini étale sur $S$, et considérons un $G_X$-torseur $P$ sur $X$ (à droite). Pour tout ⌜Considérons une⌝ représentation de $G$ dans un module qu. coh. $F$ sur $S$. Alors $G_X$ opère sur $F_X$, et on constate qu'il opère en laissant invariante la connexion canonique de $F_X$. Comme les Modules à connexion intégrable ⌜rel/$S$⌝ sur des étales de $X$ forment un champ (considéré comme ⌜fibré⌝ au-dessus de $S$), on voit que $G_X$ opère sur la section ⌜$(F_X)$⌝ du dit champ, qui se peut tordre par le $G_X$-torseur $P$. On trouve donc un module à connexion intégrable $P_X\times^{G_X}F_X$.

En fait, si […] un argument, […] une stratification intégrable sur $P_X\times^{G_X}F_X$. Cela revient au […] si $X/S$ lisse et $S$ de car. $0$. Donnons d'abord […] les […]-modules, gerbes […]

Cette façon de construire des connexions ⌜stratifications⌝ intégrables mérite une […] étude […] universelle dans une certaine mesure. $X\to S$ soit plat, […] ⌜lorsque […]⌝ à fibres […], et qu'il ait une section $e$, Supposons ⌜géométriquement […]⌝ Encadré raturé de traits obliques ; on n'en donne que les fragments lisibles.

Supposons $S$ réduit au spectre d'un corps $k$, et que $X$ est géom. connexe et loc. de présentation finie sur $k$, muni d'un pt $x\in X$ […] ⌜rationnel sur⌝ $k$, on peut former le pro-groupe ⌜(strict)⌝ (lorsque $X$ n'est pas normal) proprement dit $\underline{\Pi}_1(X,x)$, et la catégorie des Modules à stratification intégrable sur $X$ doit être équivalente à celle des représentations linéaires de dim finie de $\underline{\Pi}_1(X,x)$. On devrait pouvoir généraliser au cas d'une base quelconque $S$, en se

190donnant un progroupe $\mathbb{L}$ de nbs premiers, et supposons que l'on a un […] ⌜pro-groupe⌝ $\underline{\Pi}_1^{\mathbb{L}}(X,e)$, obtenu à l'aide d'une section $e$ de $X/S$ [plus généralement, une multisection $E$ de $X$ finie, et radiciel surjectif sur $S$] (on suppose $X\to S$ plat de présentation finie, ⌜à fibres géom. connexes,⌝ $S$ loc. noeth. (?)) : la ⌜cat. des⌝ représentations linéaires de $\underline{\Pi}_1^{\mathbb{L}}(X,e)$ dans des modules cohérents sur $S$ doit être équivalente à celle des représentations Modules coh. sur $X$ à strat. ⌜stratif.⌝ intégr. rel/$S$, qui sur chaque fibre ⌜géométrique⌝ correspondent à une représentation du groupe fondamental qui soit se factorise via un $\mathbb{L}$-groupe. Plus généralement, si on a un qu'on se pose pro-(groupe […] ⌜étale⌝) loc. constant strict $\Pi$ sur $S$, et un pro-torseur $P$ sous $\Pi_X$ sur $X$, tel que ⌜sur chaque⌝ fibre géom. fibre $\Pi_{\bar{s}}$ apparaisse comme quotient du groupe fondamental étale de $X_{\bar{s}}$, alors on doit trouve une équivalence entre la catégorie des rep. (continues) de $\Pi$ dans des modules coh. sur $S$, et celle des Modules coh. à stratification intégrable sur $X$ qui, sur chaque fibre géom., restent bien être […] [définis] à $\Pi_{\bar{s}}$ (regardé comme quotient du groupe fondamental de $X_{\bar{s}}$) … ?

191loc. de t.f. suffit ? 4) Soit $X$ de type fini sur un corps, $X$ […] géom. unibranche, on veut étudier les modules inversibles sur $X$ à stratification intégrable, […]. Soit $L$ un module ⌜inversible⌝ stratifié sur $X$. Je dis que la stratification est intégrable ssi $\exists$ entier $n>0$, ⌜(premier à la car.)⌝ tel que $L^{\otimes n}$ soit trivial comme module stratifié [Le « si » est valable sans hyp. géom. unibranche], i.e. ssi $L$ […] $L$ donne un élément d'ordre fini ⌜premier à $p$⌝ dans le groupe des modules inversibles stratifiés. À fortiori, une ⌜premier à $p$⌝ condition nécessaire pour qu'il existe un entier $n>0$ ⌜premier à $p$⌝ tel que $L^{\otimes n}$ admette une section partout $\neq 0$, i.e. que $L$ donne un élément d'ordre fini ⌜premier à $p$⌝ dans $\operatorname{Pic}(X)$. Pour exprimer cette condition […] maintenant, il reste à exprimer que $L^{\otimes n}$ est à stratification ⌜stratification⌝ intégrable. On sait que les ⌜stratifications⌝ […] de rang un correspondent, pour les connexions ⌜celles qui sont⌝ intégrables. Or, si $X/k$ […] sur $\mathcal{O}_X$, […] ⌜de car. nulle⌝ ici de car. $0$ ! correspondent aux stratifications sur $\mathcal{O}_X$ i.e. aux connexions à courbure nulle, i.e. aux formes ⌜différentielles⌝ fermées sur $X$. Dire que la stratification est triviale […], la […] revient à dire que c'est une différentielle logarithmique. Dire qu'elle est intégrable revient donc à dire qu'il y a un entier $n>0$ tel que $n\omega$ soit une différentielle logarithmique. Comme le groupe des différentielles logarithmiques est un groupe isomorphe à un $L=\mathbb{Z}^r$ [d'après Rosenlicht], il est clair

192que lorsqu'il n'est pas nul il n'est pas divisible, […] au groupe des formes fermées, multiples des logarithmiques, i.e. il y a des […] connexions intégrables sur $\mathcal{O}_X$ qui ne sont pas isomorphes à la connexion triviale, [en fait le groupe des classes d'isomorphie de telles connexions intégrables est isomorphe à $L\otimes\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\simeq(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^r$]. Par contre, si $X$ est ⌜tel que⌝ $\Gamma(X,\mathcal{O}_X^*)$ […] ⌜forme des sections horizontales)⌝ complète, […] ⌜une⌝ connexion intégrable sur $\mathcal{O}_X$ est triviale, la une $1$-forme différentielle qui est loc. ét. une différentielle logarithmique, est nulle. La classification des ⌜[…] à courbure nulle, i.e.⌝ Modules inversibles avec connexion ⌜stratification,⌝ […] différentielle […] sur […] […] quelle […] […] localement triviale […] Passage encadré, en partie barré ; lecture fragmentaire.

Revenons au cas où $k$ est de car. quelconque. Je dis […] que si $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)^*$ est formé de sections horizontales, […] p.ex. $X$ propre sur $k$ et séparable sur les $\Lambda$[…], il n'y a aucune autre […] stratification sur $\mathcal{O}_X$ ⌜intégrable⌝ que la structure habituelle. En effet, ⌜([…] de car. $p$)⌝ si $\mathcal{O}_X^{\otimes n} = \mathcal{O}_X$ a une section horizontale $\sigma$ ⌜partout $\neq 0$⌝ […], ⌜pour la⌝ stratification $T^{\otimes n}$, qui est aussi horizontale. Donc la section $\sigma_0 = 1$ de $\mathcal{O}_X$ satisfait $\sigma_0^{\otimes n} = \lambda\sigma$, $\lambda\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)^*$, ⌜[…]⌝ et les ⌜[…]⌝ horizontales, donc $\lambda\sigma$ aussi, donc $\sigma_0^{\otimes n}$ horizontale, donc $\sigma_0$ aussi. Par suite, on voit que la classification des […] Modules inversibles à connexion intégrable identique à celle des […] […], dans ce cas, aux Modules inversibles […] $L$ tels que $\exists\,n>0$, $n$ premier à $p$, avec $L^{\otimes n}\simeq \mathcal{O}_X$ […] La fin de la page déborde sur la suivante : la phrase continue p. 193.

193Questions

$S$ schéma de type fini sur $\mathbb{Z}$, dominant $\mathbb{Z}$, $S$ intègre pt géné. $\eta$

$X$ schéma lisse de type fini sur $S$.

$E$ module localement libre sur $X$, avec connexion à courbure nulle relativement à $S$.

La ⌜connexion⌝ ⌜de $E_\eta$ sur $X_\eta$,⌝ est dite de niveau zéro ⌜ou intégrable⌝ […], sur $X_\eta$, […] lorsqu'il peut trouver une variété finie étale surjective de $X_\eta$ sur laquelle $E_\eta$ devient localement triviale (i.e. « intégrable » au sens (Zar).). Une condition Je veux […] on a […] dire que sur une extension […] définition à […] […] qu'elle […] il faut […] localement trivial (top. étale) […] dans $K$ de $k(\eta)$, $E_K$ sur $X_K$ soit associé à des repr. linéaires des groupes fondamentaux des composantes connexes de $E_K$. Et si on désire $K=\mathbb{C}$, que les représentations des $\pi_1$ ⌜transcendants⌝ des composantes […] connexes, définies par $E_{\mathbb{C}}$, […] se fassent à travers des groupes finis.

Cette notion peut se varier aussi pour n'importe quel schéma en groupes de type f. $G$ sur $S$, en prenant sur $X$ un torseur $P$ sous $G_X$, avec connexion à courbure nulle rel/$S$. La question qui suit peut se poser aussi pour de tels groupes.

Remarquons que si la connexion de $E$ est intégrable, alors

194il existe un ouvert ⌜voisinage⌝ $U\neq\emptyset$ de $S$ de $\eta$ dans $S$, tel que pour tout $s\in U$, ⌜hors de car. $p>0$,⌝ $E_s$ sur $X_s$, avec la connexion relative à $k(s)$ la $p$-courbure de $E_s$ sur $X_s/k(s)$ soit nulle. ou connexion intégrable [Cette dernière condition est d'ailleurs équivalente à la condition analogue, […] où on se limite aux pts fermés de $U$, mais peu importe].

Questions La réciproque est-elle vraie ?

Cas […] où $E$ est de rang 1. Notons que […] $E_\eta$ intégrable signifie que $E$ est associé à une variété […] des $X_\eta$, i.e. […] un module $L$ ), connexion est munie d'une trivialisation de $E^{\otimes n}$, pour $n\geq 1$ convenable. La question précédente se décompose en deux :

a) Si la connexion des $E_s$ ⌜($s\in S$, de car. $>0$)⌝ est intégrable, est-il vrai que l'image de $E_\eta$ dans $\operatorname{Pic}(X_\eta)$ est de torsion ?

b) Si la réponse est affirmative, on est ramené dans le cas où $E\simeq \mathcal{O}_X$ (isom ne respectant pas la connexion, à priori)

b) Si $\omega$ est une $1$-forme différentielle ⌜[fermée]⌝ sur $X/S$, et si les $\omega_s$ sur les $X_s/s$ ($s\in S$, $s$ de car. $>0$) sont loc. des différentielles logarithmiques, alors est-il vrai que ⌜(un multiple entier de)⌝ $\omega_\eta$ est une diff. logarithmique ? ce qui signifie par l'opération de Cartier $\widetilde{C}\omega_s = \widetilde{\omega}_s$ Deux paragraphes portent la lettre b) ; le premier est corrigé à la main sans qu'on puisse dire en quoi.

195(resp. de rang unipotent nul, resp. affine, resp. unipotent).

NB Les cas « ⌜connexe⌝ affine », « unipotent » sont triviaux, et […] triviaux (la dimension, base au moins, […] […] […], plus gén.) (cas les plus […] dans […] autre), grâce au th. de Chevalley. Notons que dans le cas unipotent, l'hypothèse signifie que $\omega(s)$ est dans $p^{n}$ ($p$ = car. de $s$). Le cas « rang unipotent nul » peut se reformuler ainsi, lorsque $E$ est commutatif : supposons qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout pt fermé $s$ de $S$, $\omega(s)$ soit […] dans $(p^N E)(s) = (p^N E_s)(s) = p^N E(s)$, i.e. qu'il soit divisible par $p^N$. Alors $\omega(\eta)$ appartient à un sous-groupe unipotent nul, donc algébrique de $E_\eta$ de rang […] unipotent nul, donc extension d'un $\sigma$-groupe abélien […] par un tore. dans ce cas, on voit que $E_\eta$ […] de rang unipotent nul […] plus […] un extension d'une variété […] V.A. par un tore, et que […] l'existence […] il faut […] telle que […] d'induction

Si ce résultat était acquis, […] les « cas […] groupe » se ramènent au cas où $E$ est déjà une extension d'une schéma abélien $A$ par un tore $T$. L'autre cas extrême […] […] de $E$ […] […] p.ex. $E$ est […] […] d'une variété abélienne $A$ par un tore, […], […], alors il faudrait […] que si $\omega$ […] tel que $\omega(s)$ Passage encadré et barré de traits obliques. […] entraîne aux trois autres cas, ce cas-ci semble également intimement lié au cas supposé $S$ de car. $p>0$ […] !

196Considérons en particulier le cas où $X\to S$ est propre. Dans ce cas $\underline{\omega} = f_*(\Omega^1_{X/S})$ faisceau cohérent sur $S$ et […] […] […], on peut supposer que $\underline{\omega} = f_*(Z^1_{X/S})$ $= \operatorname{Ker}\bigl(f_*(\Omega^1_{X/S})$ $\to f_*(\Omega^2_{X/S})\bigr)$. Encadré barré de traits obliques.

Dans le cas où $X\to S$ est un schéma abélien, […] cette […] marche, plus géné., si $X\to S$ propre et lisse extension universelle du schéma abélien dual $A$, et $E$ la catégorie vectorielle universelle $E$, la question est équivalente à la suivante, […] :

c) Soit $\varphi$ une section de $E$ sur $S$, supposons que pour tout pt fermé $s\in S$, $\varphi(s)\in A_s^{(p(k(s)))}$ ($= pE_s$), […] $p =$ car $k(s)$. Alors […] la ⌜section⌝ $\varphi$ de $\Gamma(S,A_s)$ est-elle d'ordre fini ? [NB a) signifie que l'image de $\varphi$ dans $\Gamma(S,A_s)$ est d'ordre fini, b) signifie que si ⌜[…] de plus que⌝ $\varphi$ est une section de $V = \operatorname{Ker}(E\to A)$, alors $\varphi$ est nulle].

Ceci suggère la question

d) Soit $S$ de type fini sur $\mathbb{Z}$, […] ⌜intègre,⌝ dominant $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, […] $E$ un schéma en groupes […] de tf. sur $S$ (lisse connexe […]), $\omega$ une section de $E$. Supposons que pour tout pt fermé $s\in S$, $\omega(s)$ appartienne […] à un sous-groupe ⌜connexe⌝ de $E_s$ qui est […] ⌜connexe⌝ sur $k(s)$ [resp. ⌜connexe⌝ de rang unipotent nul, resp. ⌜connexe⌝ affine, resp. ⌜connexe⌝ unipotent] alors $\omega(\eta)$ appartient à un sous-groupe de $E_\eta$ qui est […] La phrase se poursuit p. 195, qui commence par « (resp. de rang unipotent nul, resp. affine, resp. unipotent) » : l'ordre des feuillets dans le dossier n'est pas celui de la rédaction.

197La partie a) dans c) suggère la question suivante :

e) Soit $A$ schéma abélien sur $S$, $\omega$ section de $A$, telle que pour tout pt fermé $s\in S$, $\omega(s)$ se remonte à $A_s^{(p)}$ via Verschiebung $A_s^{(p/S)}\to A_s$. Est-il vrai qu'elle est d'ordre fini ?

Dans le cas où $S$ […] est de car. $p>0$ (au lieu de dominer $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$) on dispose de $A^{p/S}\to A$, et l'image […] de $\omega$ dans $A^{p/S}$ est un […]

Fin 1ère partie. Sous ces lignes, la feuille est blanche ; on y voit par transparence l'écriture de la page suivante.

198On suppose donc $f_*(\Omega^1_{X/S}) = f_*(Z^1_{X/S})$ et $\Lambda\simeq\mathcal{O}_{X^{p/S}}$ NB au lieu de $f_*$, on pourrait prendre $R^if_*$ Soit $X$ schéma sur $S$ tel que l'on soit sous les conditions permettant de définir $\widetilde{C} : f_{X/S*}(\Omega^1_{X/S})\to\Omega^1_{X^{p/S}/S}$, d'où \[f_*(\Omega^1_{X/S}) = \underline{\omega} \xrightarrow{\ \mathrm{dfn}\ } g_*(\Omega^1_{X^{p/S}/S}) \simeq f_*(\Omega^1_{X/S})^{(p)} = \underline{\omega}^{(p)}.\] Sous le $\simeq$, de sa main : « sous réserve que … ». Donc on trouve une flèche $\mathcal{O}_S$-linéaire \[\widetilde{C} : \underline{\omega}\longrightarrow\underline{\omega}^{(p)}\] on peut former donc \[\widetilde{C}^{(p^i)} : \underline{\omega}^{(p^i)} \longrightarrow (\underline{\omega}^{(p)})^{(p^i)} = \underline{\omega}^{(p^{i+1})},\] et on trouve un composé $\mathcal{O}_S$-linéaire \[F_*^{(\nu)} = \underbrace{\widetilde{C}^{(p^{\nu-1})}\, \widetilde{C}^{(p^{\nu-2})}\cdots\widetilde{C}^{p}\,\widetilde{C}}_{\nu\ \text{facteurs}} : \underline{\omega}\longrightarrow\underline{\omega}^{(p^\nu)}\] Si $\lambda\mapsto\lambda^{p^\nu}$ sur $\mathcal{O}_S^*$ est l'identité, par exemple si $S$ est au-dessus de $\mathbb{F}_{p^\nu}$, on trouve donc que \[F_*^{(\nu)} : \underline{\omega}\longrightarrow\underline{\omega}\] est un endomorphisme ⌜$\mathcal{O}_S$-linéaire⌝ de $\underline{\omega}$.

Soit $\omega$ une section de $\underline{\omega}$ telle que l'on ait \[\widetilde{C}\omega = \omega^{(p)}\] (ce qui correspond à une section $1$-forme $\omega$ sur $X$ telle que $\widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega}$ i.e. qui est loc. une différentielle logarithmique …). On conclut par récurrence \[\text{\struck{$\widetilde{C}^{(p^\nu)}$}}\ F^{(\nu)}\omega = \omega^{(p^\nu)}\,,\] et dans le cas où $\lambda = \lambda^{p^\nu}$ sur $\mathcal{O}_S^*$, on conclut que l'on a \[\boxed{\ F_*^{(\nu)}\omega = \omega\ }\]

199Soit $X$ schéma sur $S$, tel que $X\to X^{p/S}$ soit un épimorphisme plat (p.ex. $X$ lisse sur $S$, plus géné. […] $X\to S$ […] […] loc. […] […] […] […], et $X/S$, et les fibres géométriques […]) et $\Omega^1_{X/S}$ est loc. libre Seul ce passage, encadré et barré, occupe la page.

200Notons que l'on peut aussi considérer \[f_{X/S} : X\longrightarrow X^{p/S}\] d'où, par itération, des \[f_{X/S}^{p^i/S} : X^{p^i/S}\longrightarrow X^{p^{i+1}/S}\] et par suite un composé \[F_{X/S}^{(\nu)} = f_{X/S}^{(p^{\nu-1})}\,f_{X/S}^{(p^{\nu-2})}\cdots f_{X/S}^{p}\,f_{X/S} : X\longrightarrow X^{(p^\nu/S)}\] et on a, si $X/S$ est lisse de dim relative 1 \[F_*^{(\nu)} = \operatorname{Tr}_{F^{(\nu)}_{X/S}} = \bigl(F^{\nu}_{X/S}\bigr)_*\] Sous « Tr », le mot « Cartier » ; lecture incertaine. en identifiant (en vertu du formalisme de chgt. de base) $g_{\nu*}(\Omega^1_{X^{p^\nu/S}})$ avec $g_{0*}(\Omega^1_{X/S})^{(p^\nu)} = \underline{\omega}^{(p^\nu)}$. En particulier, si $\lambda\mapsto\lambda^{p^\nu}$ est l'identité sur $\mathcal{O}_S^*$, donc $X^{p^\nu/S}\overset{\text{can}}{\simeq}X$, on a \[F^{\nu}_{X/S} : X\longrightarrow X\] est un endomorphisme, qui d'ailleurs n'est autre que l'itéré […] de $F_X$ (remarquer donc que $F_X^{\nu}$ est […] par hyp. $F_S^{\nu} = \mathrm{id}_S$, donc que $F_X^{\nu}$ est bien un $S$-endomorphisme) [En général, sans hyp. sur $S$, on peut dire que le composé

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "F^{(\nu)}_{X/S}"] & X^{(p^\nu/S)} \arrow[r, "\text{can}"] \arrow[d, dashed] & X \arrow[d, dashed]\\
 & S \arrow[r, "F_S^{\nu}"'] & S
\end{tikzcd}

Le carré de droite est marqué « cart » ; les flèches verticales sont pointillées sur la page.

est $F_X^{\nu}$ ] L'argument se poursuit au-delà du lot.