Fonds Grothendieck, cote n° 93, pages 181–200

Opération de Cartier en dimension relative un

La page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient d'avant le lot. … en question sur Lie et l'opération des puissances p-ièmes (c'est-à-dire dans le livre de Demazure-Gabriel ?). ? L'isom transposé est donné par l'opération de Cartier sur les formes différentielles.

⑦ Cas lisse de dim relative un : un accouplement remarquable.

~~Soit~~ Plus généralement, en dim relative 1, ~~Q = f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)/\mathcal{O}_{X^{p/S}}~~ supposons que X sur X^{p/S} , que \Omega^1_{X/S} (=\Omega^1_{X/X^{p/S}}) soit lisse de rang 1, ce qui signifie aussi que X a loc. une p-base à 1 élément sur S. Posons Q = f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)/\operatorname{Im}\mathcal{O}_{X^{p/S}} = f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)/\Lambda \simeq \mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{O}_X^{p}] qui est un module loc. libre de rang p-1 sur S. On va définir un accouplement \Lambda-bilinéaire canonique (*)\qquad Q\times Q \longrightarrow \Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes_{\mathcal{O}_{X^{p/S}}}\Lambda (=\Omega^1_{X^{p/S}/S} si p.ex. X/S lisse), ou plutôt, ce qui revient au même, une forme \Lambda-bil. \varphi : f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)\times f_{X/S*}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes_{\mathcal{O}_{X^{p/S}}}\Lambda qui est nulle sur \Lambda\times f_{X/S*}(\mathcal{O}_X) et sur f_{X/S*}(\mathcal{O}_X)\times\Lambda.

On prend \varphi(f,g) = \widetilde{C}(f\,dg) a) \Lambda-bilinéaire : clair.

b) nulle si ~~f scalaire de \Lambda~~ f=1 ou g=1 : clair, car \widetilde{C} est nulle sur les diff. exactes.

c) \varphi est antisymétrique, i.e. \left\{\begin{array}{l}\text{alterné si } p\neq 2\\ \text{symétrique si } p=2\end{array}\right. i.e. \varphi(f,g)+\varphi(g,f)=0 i.e. \widetilde{C}(f\,dg+g\,df)=0, en effet f\,dg+g\,df = d(fg) = 0. Ainsi sur la page ; c'est \widetilde{C}(d(fg)) qui est nul.

Proposition. L'accouplement (*) est une dualité parfaite de \Lambda-modules.

On peut supposer qu'il existe une p-base relative \{x\}, et on a une base de Q sur \Lambda formée des ~~x, x^2, \dots, x^{p-1}~~ x^i, 1\leq i\leq p-1. Or on a \widetilde{C}(x^i\,dx^j) = \widetilde{C}(j\,x^{i+j-1}\,dx) = \begin{cases} 0 & \text{si } i+j\neq p-1\\ j & \text{si } i+j = p-1\end{cases} Ainsi sur la page ; le calcul donne la condition i+j-1=p-1, soit i+j=p, ce que confirme la matrice antidiagonale qui suit. donc la matrice de la forme \varphi est \begin{pmatrix} & & p-1\\ & \cdots & \\ 1 & & \end{pmatrix} \qquad\text{(antidiagonale $1, 2, \dots, p-1$, zéros ailleurs),} son déterminant, au signe près, est donc 1.2\dots(p-1)\in\mathbb{F}_p^*, donc inversible, O.K. \Delta = -1 \in \mathbb{F}_p^*

Corollaire. ~~\det Q~~ On a un isom canonique Q \xrightarrow{\ \sim\ } \check{Q}\otimes\bigl(\Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda\bigr) d'où un isom canonique \det Q \simeq \det\check{Q}\otimes \bigl(\Omega^{1\ \otimes(p-1)}_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda\bigr)

et par suite un isom canonique (**)\qquad (\det Q)^{\otimes 2} \simeq \Omega^{1\ \otimes(p-1)}_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda

Cas 1 p=2, on trouve \text{\struck{$\det Q^{\otimes}\simeq$}}\ \Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda \simeq (\det Q)^{\otimes 2} donc \Omega^1_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda et X réduit géom., \Lambda\simeq\mathcal{O}_{X^{p/S}} est un carré, (ceci implique que \Omega^1_{X/S} est lui-même un carré, si S=\operatorname{Spec}(k), k ) si X lisse sur k communique un carré. comme on voit par l'exemple de Serre-Tate-Fröhlich : il suffit de prendre l'exemple d'une courbe lisse propre rationnelle sans point rationnel – ? il y a un sur corps imparfait du cas 2. Passage serré, surchargé de ratures et d'ajouts interlinéaires ; seules les lectures indiquées sont proposées.

Cas 2 p\neq 2, donc \frac{p-1}{2} est un entier. On aimerait trouver un isom can. \psi : \det(Q) \simeq \Omega^{1\ \otimes(\frac{p-1}{2})}_{X^{p/S}/S}\otimes\Lambda \qquad\Bigl[\simeq \Omega^{1\ \otimes(\frac{p-1}{2})}_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X}\Lambda\Bigr]. qui serait un relèvement de (**) de \mu_2\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [Sinon, il y aurait un revêtement de X^{p/S}, canoniquement associé à la situation]. Regardons la base de Q, (\dot{x}^i)_{1\leq i\leq p-1}, ~~et comme~~ d'où une base de \det Q, \dot{x}\wedge\dot{x}^2\wedge\dots\wedge\dot{x}^{p-1}, et la valeur de l'isom (**), est \Delta\bigl(d\tilde{x}^{\otimes(p-1)}\otimes\Lambda\bigr), où \Delta est le déterminant de la matrice écrite plus haut, savoir (-1)^{(p-1)-1}\ 1.2\dots(p-1) = \text{\struck{$-(1.2\dots(p-1))$}}\,. Comme \mathbb{F}_p^* est un groupe cyclique d'ordre ~~pair~~ p-1, le produit des éléments est -1, donc on trouve \Delta = 1,

Ceci suggère ~~d'associer à \dot{x} … \dot{x}~~ de définir \psi par (***)\qquad \boxed{\ \Psi(\dot{x}\wedge\dot{x}^2\wedge\dots\wedge\dot{x}^{p-1}) = \widetilde{dx}^{\,\otimes\frac{p-1}{2}}\otimes\Lambda\ } Ce qui demande une vérification courte de l'isom (**), et d'autre part que \psi est indépendant du choix de la p-base \{x\}. ~~une autre p-base,~~ ~~y = a_{p-1}x^{p-1}+\dots+a_0 (a_i\in\Lambda), d'où~~ ~~dy = [(p-1)a_{p-1}x^{p-2}+\dots+a_1]\,dx, donc on a~~ (p-1)a_{p-1}x^{p-2}+\dots+a_1\in B^* Ce calcul, depuis « une autre p-base », est barré par de longs traits obliques. Or, de l' : l'autre façon ~~complexe~~ simplicial des schémas P [ Z (X^{p}, \Lambda)] des p-bases relatives, dans le revêtement trivial à deux feuillets (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_Z de Z. Or P \to Z : fibres connexes, et on voit donc que ~~cette application est~~ une application est constante fibres : fibres, ce qui donne ce qu'on voulait …

Application : la définition cohomologique globale (Serre Sém. vol. 1)

? Généralisation des relations précédentes à la dim supérieure ?

Cas X\xrightarrow{f}S propre lisse de dim relative 1. On a un diagramme autodual [dualité = symétrie p.r. à un centre]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & 0 \arrow[d] & & \\ & & R^1f_*(\mathcal{O}_{X/S}) & & \\ 0 \arrow[r] & R^1f_*(\mathcal{O}_X)^{(p)} \arrow[r, "\alpha"] \arrow[ur, "F\ (\mathrm{Frob})"] & \mathcal{H}^1_{DR} \arrow[r, "\beta"] \arrow[u] & f_*(\Omega^1_{X/S})^{(p)} \arrow[r] & 0\\ & & f_*(\Omega^1_{X/S}) \arrow[u] \arrow[ur, "C\ (\text{op. de Cartier})"'] & & \\ & & 0 \arrow[u] & & \end{tikzcd}

Disposition reproduite d'après la page : la colonne monte de 0 à 0 ; la flèche du haut, de \mathcal{H}^1_{DR} vers R^1f_*(\mathcal{O}_{X/S}), et la flèche de 0 vers celui-ci sont des traits sans tête nette sur le manuscrit.

ligne et colonne exactes

*) \mathcal{H}^1_{DR} = \mathcal{H}^1_{DR}(X/S) = R^1f_*(\Omega^{\bullet}_{X/S})

**) colonne : est la filtration de \mathcal{H}^1 par \mathcal{H}^{1,0} et \mathcal{H}^{0,1}

***) \alpha déduit par passage au quotient de F_{\mathcal{H}^1} : \mathcal{H}^{1(p)}\to\mathcal{H}^1

****) \beta = {}^t\alpha, déduit de {}^tF_{\mathcal{H}^1} par restriction

*****) F et C sont ~~duaux~~ transposés l'un de l'autre via la dualité de Poincaré et Cartier.

L'encadré qui suit est barré par trois longs traits obliques. ~~On a \beta\alpha = 0, et on a équivalence entre les conditions~~

~~(i) \alpha injectif~~

~~(ii) \beta surjectif~~

~~(iii) la suite~~

~~0\to R^1f_*(\mathcal{O}_X)^{(p)}\xrightarrow{\alpha}\mathcal{H}^1_{DR}~~ ~~\xrightarrow{\beta} f_*(\Omega^1_{X/S})^{(p)}\to 0 est exacte~~

~~(iii bis) \operatorname{Ker}\beta = \operatorname{Im}\alpha, i.e.~~ ~~\operatorname{Ker}\beta = (\operatorname{Ker}\beta)^{\perp} (ou \supset)~~ ~~i.e. \operatorname{Im}\alpha = (\operatorname{Im}\alpha)^{\perp} (ou \subset)~~

~~(iii ter) \dim\operatorname{Ker}\beta = \dim\operatorname{Im}\alpha~~

~~(iv) \operatorname{rang}\alpha = g, i.e. \operatorname{rang}\beta = g,~~ ~~i.e. \operatorname{rang}F_{\mathcal{H}^1} = g~~

~~Pour ceci, il suffit que~~

NB on a toujours \left\{\begin{array}{l}\operatorname{Ker}\alpha = (\operatorname{Im}\beta)^{\perp}\\ \operatorname{Im}\alpha = (\operatorname{Ker}\beta)^{\perp}\end{array}\right.

Page entière annulée par trois longs traits courbes.

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "f^{(i)}"] & X^{[i]}\\ T_0 \arrow[u, "\varphi_0"] \arrow[r, "i"'] & T \arrow[u, "u"'] \end{tikzcd}

tels que \left\{\begin{array}{l}\varphi_0\in\mathcal{S}_0\\ i\in\mathcal{N}\end{array}\right.

Considérons plus généralement une famille d'immersions \Gamma : X\to Z de (\mathrm{Sch})/S, et la catégorie analogue formée des

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "\delta"] & Z\\ T_0 \arrow[u, "\varphi_0"] \arrow[r, "i"'] & T \arrow[u, "u"'] \end{tikzcd}

désignera C/\delta. Si Z_{(n)} est le n-ième voisinage infinitésimal de X dans Z, et \delta_n : X\to Z_{(n)}, alors C/\delta est la limite des sous-catégories C/\delta_n, qui [si des voisins X \delta_n, Z_n\in\mathcal{B}S] ~~et que X\hookrightarrow Z_n loc.~~ ~~X (C) une restriction sur X~~ ],

Connexions et stratifications intégrables : (suite, problèmes divers)

Titre tiré de la feuille de garde p. 187, de sa main ; la feuille ne porte rien d'autre.

X/S schéma sur S.

Il serait plus naturel à certains égards de travailler avec les PD-connexions [c'est pareil dans cas lisse] 1) Un module qu. coh. E sur X, avec connexion rel/S, est dit trivial si E\simeq f^*(F), F un module qu. coh. sur S [isom respectant connexions]. NB Si X\to S est ~~connexe~~ lisse surjectif fpqc et à fibres géométriquement connexes, S de car. 0, donc le foncteur F\mapsto f^*(F), des modules qu. coh. sur S dans les modules qu. coh. sur X à connexion rel/S, est pleinement fidèle [même aussi si F de présentation finie].

On dit que E est loc. trivial au Zar.-intégrable si E est trivial localement sur (X\to S) pour la topologie de Zariski. On dit que E est intégrable, si la même condition est satisfaite, loc. pour top. ét.

2) Supposons S de car. p>0, et que X sur S admette loc. une p-base. Alors ~~E est loc. trivial~~ conditions suivantes sur E qu. coh. sont équivalentes :

a) E est Zar. intégrable

b) E est intégrable

c) E est à courbure et p-courbure nulle.

d) E est trivial relativement à X\to\bigl(X^{p/S}, \mathcal{O}_{X^{p/S}}/J\simeq\Lambda\bigr)

De plus, le foncteur F\mapsto f'^{*}_{X/S}(F) des Modules qu. coh. sur X'^{/S'} = \bigl(X^{p/S}, \mathcal{O}_{X^{p/S}}/J = \Lambda\bigr) dans les modules qu. coh. sur X à connexion intégrable rel/S, est une équivalence de catégories.

3) Soit G un groupe ~~fini~~ étale sur S, et considérons un G_X-torseur P sur X (à droite). ~~Pour tout~~ Considérons une représentation de G dans un module qu. coh. F sur S. Alors G_X opère sur F_X, et on constate qu'il opère en laissant invariante la connexion canonique de F_X. Comme les Modules à connexion intégrable rel/S sur des étales de X forment un champ (considéré comme fibré au-dessus de S), on voit que G_X opère sur la section (F_X) du dit champ, qui se peut tordre par le G_X-torseur P. On trouve donc un module à connexion intégrable P_X\times^{G_X}F_X.

En fait, si un argument, une stratification intégrable sur P_X\times^{G_X}F_X. Cela revient au si X/S lisse et S de car. 0. Donnons d'abord les -modules, gerbes

Cette façon de construire des ~~connexions~~ stratifications intégrables mérite une étude universelle dans une certaine mesure. ~~X\to S soit plat, lorsque à fibres , et qu'il ait une section e,~~ ~~Supposons~~ géométriquement Encadré raturé de traits obliques ; on n'en donne que les fragments lisibles.

Supposons S réduit au spectre d'un corps k, et que X est géom. connexe et loc. de présentation finie sur k, muni d'un pt x\in X rationnel sur k, on peut former le pro-groupe (strict) (lorsque X n'est pas normal) proprement dit \underline{\Pi}_1(X,x), et la catégorie des Modules à stratification intégrable sur X doit être équivalente à celle des représentations linéaires de dim finie de \underline{\Pi}_1(X,x). On devrait pouvoir généraliser au cas d'une base quelconque S, en se

donnant un progroupe \mathbb{L} de nbs premiers, et supposons que l'on a un pro-groupe \underline{\Pi}_1^{\mathbb{L}}(X,e), obtenu à l'aide d'une section e de X/S [plus généralement, une multisection E de X finie, et radiciel surjectif sur S] (on suppose X\to S plat de présentation finie, à fibres géom. connexes, S loc. noeth. (?)) : la cat. des représentations linéaires de \underline{\Pi}_1^{\mathbb{L}}(X,e) dans des modules cohérents sur S doit être équivalente à celle des ~~représentations~~ Modules coh. sur X à ~~strat.~~ stratif. intégr. rel/S, qui sur chaque fibre géométrique correspondent à une représentation du groupe fondamental qui ~~soit~~ se factorise via un \mathbb{L}-groupe. Plus généralement, si on a un ~~qu'on se pose~~ pro-(groupe étale) ~~loc. constant~~ strict \Pi sur S, et un pro-torseur P sous \Pi_X sur X, tel que sur chaque fibre géom. ~~fibre~~ \Pi_{\bar{s}} apparaisse comme quotient du groupe fondamental étale de X_{\bar{s}}, alors on ~~doit~~ trouve une équivalence entre la catégorie des rep. (continues) de \Pi dans des modules coh. sur S, et celle des Modules coh. à stratification intégrable sur X qui, sur chaque fibre géom., restent bien être [définis] à \Pi_{\bar{s}} (regardé comme quotient du groupe fondamental de X_{\bar{s}}) … ?

loc. de t.f. suffit ? 4) Soit X de type fini sur un corps, X géom. unibranche, on veut étudier les modules inversibles sur X à stratification intégrable, . Soit L un module inversible stratifié sur X. Je dis que la stratification est intégrable ssi \exists entier n>0, (premier à la car.) tel que L^{\otimes n} soit trivial comme module stratifié [Le « si » est valable sans hyp. géom. unibranche], i.e. ssi L L donne un élément d'ordre fini premier à p dans le groupe des modules inversibles stratifiés. À fortiori, une premier à p condition nécessaire pour qu'il existe un entier n>0 premier à p tel que L^{\otimes n} admette une section partout \neq 0, i.e. que L donne un élément d'ordre fini premier à p dans \operatorname{Pic}(X). Pour exprimer cette condition maintenant, il reste à exprimer que L^{\otimes n} est à ~~stratification~~ stratification intégrable. On sait que les stratifications de rang un correspondent, pour les ~~connexions~~ celles qui sont intégrables. Or, si X/k sur \mathcal{O}_X, de car. nulle ici de car. 0 ! correspondent aux stratifications sur \mathcal{O}_X i.e. aux connexions à courbure nulle, i.e. aux formes différentielles fermées sur X. Dire que la stratification est triviale ~~, la~~ revient à dire que ~~c'est~~ une différentielle logarithmique. Dire qu'elle est intégrable revient donc à dire qu'il y a un entier n>0 tel que n\omega soit une différentielle logarithmique. Comme le groupe des différentielles logarithmiques est un groupe isomorphe à un L=\mathbb{Z}^r [d'après Rosenlicht], il est clair

que lorsqu'il n'est pas nul il n'est pas divisible, au groupe des formes fermées, multiples des logarithmiques, i.e. il y a des connexions intégrables sur \mathcal{O}_X qui ne sont pas isomorphes à la connexion triviale, [en fait le groupe des classes d'isomorphie de telles connexions intégrables est isomorphe à L\otimes\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\simeq(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^r]. Par contre, si X est tel que \Gamma(X,\mathcal{O}_X^*) forme des sections horizontales) complète, une connexion intégrable sur \mathcal{O}_X est triviale, la une 1-forme différentielle qui est loc. ét. une différentielle logarithmique, est nulle. ~~La classification des~~ à courbure nulle, i.e. ~~Modules inversibles avec connexion~~ stratification, différentielle sur quelle localement triviale Passage encadré, en partie barré ; lecture fragmentaire.

Revenons au cas où k est de car. quelconque. Je dis que si \Gamma(X,\mathcal{O}_X)^* est formé de sections horizontales, p.ex. X propre sur k et séparable sur les \Lambda, il n'y a aucune autre stratification sur \mathcal{O}_X intégrable que la structure habituelle. En effet, ( de car. p) si \mathcal{O}_X^{\otimes n} = \mathcal{O}_X a une section horizontale \sigma partout \neq 0 , pour la stratification T^{\otimes n}, ~~qui est aussi horizontale~~. Donc la section \sigma_0 = 1 de \mathcal{O}_X satisfait \sigma_0^{\otimes n} = \lambda\sigma, \lambda\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)^*, et les horizontales, donc \lambda\sigma aussi, donc \sigma_0^{\otimes n} horizontale, donc \sigma_0 aussi. Par suite, on voit que la classification des Modules inversibles à connexion intégrable identique à celle des , dans ce cas, aux Modules inversibles L tels que \exists\,n>0, n premier à p, avec L^{\otimes n}\simeq \mathcal{O}_X La fin de la page déborde sur la suivante : la phrase continue p. 193.

Questions

S schéma de type fini sur \mathbb{Z}, dominant \mathbb{Z}, S intègre pt géné. \eta

X schéma lisse de type fini sur S.

E module localement libre sur X, avec connexion à courbure nulle relativement à S.

La connexion de E_\eta sur X_\eta, est dite de niveau zéro ou intégrable , ~~sur X_\eta,~~ lorsqu'il peut trouver une variété finie étale surjective de X_\eta sur laquelle E_\eta devient localement triviale (i.e. « intégrable » au sens (Zar).). ~~Une condition~~ Je veux on a dire que sur une extension définition à qu'elle il faut localement ~~trivial~~ (top. étale) dans K de k(\eta), E_K sur X_K soit associé à des repr. linéaires des groupes fondamentaux des composantes connexes de E_K. Et si on désire K=\mathbb{C}, que les représentations des \pi_1 transcendants ~~des composantes~~ connexes, définies par E_{\mathbb{C}}, se fassent à travers des groupes finis.

Cette notion peut se varier aussi pour n'importe quel schéma en groupes de type f. G sur S, en prenant sur X un torseur P sous G_X, avec connexion à courbure nulle rel/S. La question qui suit peut se poser aussi pour de tels groupes.

Remarquons que si la connexion de E est intégrable, alors

il existe un ~~ouvert~~ voisinage ~~U\neq\emptyset de S~~ de \eta dans S, tel que pour tout s\in U, hors de car. p>0, ~~E_s sur X_s, avec la connexion relative à k(s)~~ la p-courbure de E_s sur X_s/k(s) soit nulle. ou connexion intégrable [Cette dernière condition est d'ailleurs équivalente à la condition analogue, où on se limite aux pts fermés de U, mais peu importe].

Questions La réciproque est-elle vraie ?

Cas où E est de rang 1. Notons que E_\eta intégrable signifie que E est associé à une variété des X_\eta, i.e. ~~un module~~ L ), connexion est munie d'une trivialisation de E^{\otimes n}, pour n\geq 1 convenable. La question précédente se décompose en deux :

a) Si la connexion des E_s (s\in S, de car. >0) est intégrable, est-il vrai que l'image de E_\eta dans \operatorname{Pic}(X_\eta) est de torsion ?

b) Si la réponse est affirmative, on est ramené dans le cas où E\simeq \mathcal{O}_X (isom ne respectant pas la connexion, à priori)

b) Si \omega est une 1-forme différentielle [fermée] sur X/S, et si les \omega_s sur les X_s/s (s\in S, s de car. >0) sont loc. des différentielles logarithmiques, alors est-il vrai que (un multiple entier de) \omega_\eta est une diff. logarithmique ? ce qui signifie par l'opération de Cartier \widetilde{C}\omega_s = \widetilde{\omega}_s Deux paragraphes portent la lettre b) ; le premier est corrigé à la main sans qu'on puisse dire en quoi.

(resp. de rang unipotent nul, resp. affine, resp. unipotent).

NB Les cas « connexe affine », « unipotent » sont triviaux, et triviaux ~~(la dimension, base au moins, , plus gén.)~~ (cas les plus dans autre), grâce au th. de Chevalley. Notons que dans le cas unipotent, l'hypothèse signifie que \omega(s) est dans p^{n} (p = car. de s). Le cas « rang unipotent nul » peut se reformuler ainsi, lorsque E est commutatif : supposons qu'il existe un entier N tel que, pour tout pt fermé s de S, \omega(s) soit dans (p^N E)(s) = (p^N E_s)(s) = p^N E(s), i.e. qu'il soit divisible par p^N. Alors \omega(\eta) appartient à un sous-groupe unipotent nul, donc algébrique de E_\eta de rang unipotent nul, donc extension d'un \sigma-groupe abélien par un tore. dans ce cas, on voit que E_\eta de rang unipotent nul plus un extension d'une variété V.A. par un tore, et que l'existence il faut telle que d'induction

Si ce résultat était acquis, les « cas groupe » se ramènent au cas où E est déjà une extension d'une schéma abélien A par un tore T. ~~L'autre cas extrême de E p.ex. E est d'une variété abélienne A par un tore, , , alors il faudrait que si \omega tel que \omega(s)~~ Passage encadré et barré de traits obliques. entraîne aux trois autres cas, ce cas-ci semble également intimement lié au cas supposé S de car. p>0 !

~~Considérons en particulier le cas où X\to S est propre. Dans ce cas \underline{\omega} = f_*(\Omega^1_{X/S}) faisceau cohérent sur S et , on peut supposer que~~ ~~\underline{\omega} = f_*(Z^1_{X/S}) = \operatorname{Ker}\bigl(f_*(\Omega^1_{X/S}) \to f_*(\Omega^2_{X/S})\bigr).~~ Encadré barré de traits obliques.

Dans le cas où X\to S est un schéma abélien, cette marche, plus géné., si X\to S propre et lisse extension universelle du schéma abélien dual A, et E la catégorie vectorielle universelle E, la question est équivalente à la suivante, :

c) Soit \varphi une section de E sur S, supposons que pour tout pt fermé s\in S, \varphi(s)\in A_s^{(p(k(s)))} (= pE_s), p = car k(s). Alors la section \varphi de \Gamma(S,A_s) est-elle d'ordre fini ? [NB a) signifie que l'image de \varphi dans \Gamma(S,A_s) est d'ordre fini, b) signifie que si de plus que \varphi est une section de V = \operatorname{Ker}(E\to A), alors \varphi est nulle].

Ceci suggère la question

d) Soit S de type fini sur \mathbb{Z}, intègre, dominant \operatorname{Spec}\mathbb{Z}, E un schéma en groupes de tf. sur S (lisse ~~connexe~~ ), \omega une section de E. Supposons que pour tout pt fermé s\in S, \omega(s) appartienne à un sous-groupe connexe de E_s qui est connexe sur k(s) [resp. connexe de rang unipotent nul, resp. connexe affine, resp. connexe unipotent] alors \omega(\eta) appartient à un sous-groupe de E_\eta qui est La phrase se poursuit p. 195, qui commence par « (resp. de rang unipotent nul, resp. affine, resp. unipotent) » : l'ordre des feuillets dans le dossier n'est pas celui de la rédaction.

La partie a) dans c) suggère la question suivante :

e) Soit A schéma abélien sur S, \omega section de A, telle que pour tout pt fermé s\in S, \omega(s) se remonte à A_s^{(p)} via Verschiebung A_s^{(p/S)}\to A_s. Est-il vrai qu'elle est d'ordre fini ?

~~Dans le cas où S est de car. p>0 (au lieu de dominer \operatorname{Spec}\mathbb{Z}) on dispose de A^{p/S}\to A, et l'image de \omega dans A^{p/S} est un~~

Fin 1ère partie. Sous ces lignes, la feuille est blanche ; on y voit par transparence l'écriture de la page suivante.

On suppose donc f_*(\Omega^1_{X/S}) = f_*(Z^1_{X/S}) et \Lambda\simeq\mathcal{O}_{X^{p/S}} NB au lieu de f_*, on pourrait prendre R^if_* Soit X schéma sur S tel que l'on soit sous les conditions permettant de définir \widetilde{C} : f_{X/S*}(\Omega^1_{X/S})\to\Omega^1_{X^{p/S}/S}, d'où f_*(\Omega^1_{X/S}) = \underline{\omega} \xrightarrow{\ \mathrm{dfn}\ } g_*(\Omega^1_{X^{p/S}/S}) \simeq f_*(\Omega^1_{X/S})^{(p)} = \underline{\omega}^{(p)}. Sous le \simeq, de sa main : « sous réserve que … ». Donc on trouve une flèche \mathcal{O}_S-linéaire \widetilde{C} : \underline{\omega}\longrightarrow\underline{\omega}^{(p)} on peut former donc \widetilde{C}^{(p^i)} : \underline{\omega}^{(p^i)} \longrightarrow (\underline{\omega}^{(p)})^{(p^i)} = \underline{\omega}^{(p^{i+1})}, et on trouve un composé \mathcal{O}_S-linéaire F_*^{(\nu)} = \underbrace{\widetilde{C}^{(p^{\nu-1})}\, \widetilde{C}^{(p^{\nu-2})}\cdots\widetilde{C}^{p}\,\widetilde{C}}_{\nu\ \text{facteurs}} : \underline{\omega}\longrightarrow\underline{\omega}^{(p^\nu)} Si \lambda\mapsto\lambda^{p^\nu} sur \mathcal{O}_S^* est l'identité, par exemple si S est au-dessus de \mathbb{F}_{p^\nu}, on trouve donc que F_*^{(\nu)} : \underline{\omega}\longrightarrow\underline{\omega} est un endomorphisme \mathcal{O}_S-linéaire de \underline{\omega}.

Soit \omega une section de \underline{\omega} telle que l'on ait \widetilde{C}\omega = \omega^{(p)} (ce qui correspond à une section 1-forme \omega sur X telle que \widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega} i.e. qui est loc. une différentielle logarithmique …). On conclut par récurrence \text{\struck{$\widetilde{C}^{(p^\nu)}$}}\ F^{(\nu)}\omega = \omega^{(p^\nu)}\,, et dans le cas où \lambda = \lambda^{p^\nu} sur \mathcal{O}_S^*, on conclut que l'on a \boxed{\ F_*^{(\nu)}\omega = \omega\ }

~~Soit X schéma sur S, tel que X\to X^{p/S} soit un épimorphisme plat (p.ex. X lisse sur S, plus géné. X\to S loc. , et X/S, et les fibres géométriques ) et \Omega^1_{X/S} est loc. libre~~ Seul ce passage, encadré et barré, occupe la page.

Notons que l'on peut aussi considérer f_{X/S} : X\longrightarrow X^{p/S} d'où, par itération, des f_{X/S}^{p^i/S} : X^{p^i/S}\longrightarrow X^{p^{i+1}/S} et par suite un composé F_{X/S}^{(\nu)} = f_{X/S}^{(p^{\nu-1})}\,f_{X/S}^{(p^{\nu-2})}\cdots f_{X/S}^{p}\,f_{X/S} : X\longrightarrow X^{(p^\nu/S)} et on a, si X/S est lisse de dim relative 1 F_*^{(\nu)} = \operatorname{Tr}_{F^{(\nu)}_{X/S}} = \bigl(F^{\nu}_{X/S}\bigr)_* Sous « Tr », le mot « Cartier » ; lecture incertaine. en identifiant (en vertu du formalisme de chgt. de base) g_{\nu*}(\Omega^1_{X^{p^\nu/S}}) avec g_{0*}(\Omega^1_{X/S})^{(p^\nu)} = \underline{\omega}^{(p^\nu)}. En particulier, si \lambda\mapsto\lambda^{p^\nu} est l'identité sur \mathcal{O}_S^*, donc X^{p^\nu/S}\overset{\text{can}}{\simeq}X, on a F^{\nu}_{X/S} : X\longrightarrow X est un endomorphisme, qui d'ailleurs n'est autre que l'itéré de F_X (remarquer donc que F_X^{\nu} est par hyp. F_S^{\nu} = \mathrm{id}_S, donc que F_X^{\nu} est bien un S-endomorphisme) [En général, sans hyp. sur S, on peut dire que le composé

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "F^{(\nu)}_{X/S}"] & X^{(p^\nu/S)} \arrow[r, "\text{can}"] \arrow[d, dashed] & X \arrow[d, dashed]\\ & S \arrow[r, "F_S^{\nu}"'] & S \end{tikzcd}

Le carré de droite est marqué « cart » ; les flèches verticales sont pointillées sur la page.

est F_X^{\nu} ] L'argument se poursuit au-delà du lot.