Cote n° 93, pages 101–120

Cote n° 93 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

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101p. 5 de l'auteur (« 5 » cerclé en haut à droite). Dans sa numérotation, cette feuille fait suite à la page 105 du fonds (sa p. 4) ; ses pp. 2, 2 bis, 3 et 4 sont les pages 102 à 105. Sa p. 1 n'est pas dans ce lot : l'argument commence avant lui. \[\frac{dt}{ds}=\frac{1}{ds/dt}=\frac{1}{s'} \qquad ds=s'\,dt\] \[\text{\struck{$d\frac{1}{s}$}}\quad d\,\frac{dt}{ds}=-\frac{s''}{s'^2}\,dt \qquad ds\,d\,\frac{dt}{ds}=-\frac{s''}{s'}\,dt^2\] \[c_{D_s}=c_{D_t}-2\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)'dt^2+\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2dt^2\] \[\boxed{c_{D_s}=c_{D_t}+\Bigl[-2\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)'+\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\Bigr]dt^2}\] \[\Bigl[\;s'=\frac{ds}{dt},\quad s''=\frac{ds'}{dt},\quad \Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)'=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)\Bigr]\] \[[\;\;]=-2\,\frac{s'''s'-s''^2}{s'^2}+\frac{s''^2}{s'^2}=\frac{3s''^2-2s's'''}{s'^2}\] \[\boxed{c_{D_s}=c_{D_t}+\frac{3s''^2-2s's'''}{s'^2}\,dt^2}\]

Objection : $c_{D_s}=c_{D_t}$ ssi ou bien $s''\equiv0$ i.e. $s$ fonction […] affine, ou \[3s''^2=2s's'''\quad\text{i.e.}\quad 2\,\frac{s'''}{s''}=3\,\frac{s''}{s'}\] après le $3$ du second membre, un $/2$ biffé. \[\text{i.e.}\quad (2\log s'')'=(3\log s')'\] i.e. (cas $\neq0$) \[2\log s''=3\log s'+\mathrm{c}^{\mathrm{te}},\qquad \log\frac{s''^2}{s'^3}=\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\] \[\frac{s''^2}{s'^3}=\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\quad\text{i.e.}\quad s''^2=Cs'^3,\qquad s''=Cs'^{3/2}\] entouré, dans la marge gauche : « $s$ fonction homographique de $t$ »

\[s=\frac{at+b}{ct+d}=u_M(t)\qquad M\ \text{la matrice}\ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\] \[D_{u_M(t)}=D_t\] […] peut […] […] […].

$3$ types d'homographies : $t\mapsto t+a$, $t\mapsto bt$, $t\mapsto\frac{1}{t}$. \[s=\frac1t,\quad s'=-\frac{1}{t^2},\quad s''=+\frac{2}{t^3},\quad s'''=-\frac{6}{t^4}\] \[3s''^2-2s's'''=\frac{12}{t^6}-\frac{12}{t^6}=0\]

102p. 2 de l'auteur (« 2 » cerclé). \[\underline{\omega}+\mathcal{O}_X\xi_0+\underline{\omega}^{-1}v_{s_0}\] \[s=s_0+a_1=(\exp\theta_{-a_1})s_0=s_0+[-a_1,s_0]=\dots\] \[\Bigl[\;v_s=(\exp\theta_{-a_1}\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})v_{s_0} =v_{s_0}+\underbrace{[-a_1,v_{s_0}]}_{-2a_1 s_0}+\tfrac12\bigl[-a_1,\underbrace{[-a_1,v_{s_0}]}_{-2a_1}\bigr]\] \[v_s=\underbrace{-a_1^2}_{2}-\underbrace{2a_1}_{1}+\underbrace{1}_{0}\;\Bigr]\] devant $-a_1^2$, un terme biffé (« $4a$ » ?) ; sous l'accolade de droite, « $-\frac12 a_1^2$ », lecture incertaine. Les indices $2,1,0$ sous les termes sont les degrés.

Je fais calculer, pour avoir l'équation d'horizontalité sur $s$ (ou sur $a_1$) relativement à $c$, la coeff. de ⌜composante⌝ dans $\underline{\omega}^2$ (premier coeff.) de \[(\exp(\theta_{a_1})\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})(c(s))\] et l'égaler à $0$.

Ox. […] $c(s)=c(s_0)+c(a_1)$ […] […] pour laquelle un splitting […] horizontal passage biffé en zigzag, à peine lisible. \[c(s_0)=\text{\struck{\ill{}}}\;\varpi_2+v_{s_0}\] \[(\exp\theta_{a_1}\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})(c(s)) =(\exp\theta_{a_1}\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})(c(a_1))+\dots\] \[c(s_0)+c(a_1)=-\varpi_2+c(a_1)+v_{s_0}\] la dernière ligne est entre crochets ; le signe devant $\varpi_2$ est surchargé.

[…] […] composantes […] […] $\underline{\omega}^2$, et […] \[c(a_1)=\text{\struck{\ill{}}}\;\underbrace{\mathcal{D}_1(a_1)}_{2}-\underbrace{2a_1}_{1}\;\text{\struck{$v_{s_0}$}}\;(\text{\struck{\ill{}}}\dots\] sous $\mathcal{D}_1(a_1)$ : « op. diff. d'ordre $1$, $\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2$ » ; à droite : « […] […] splitting […] convenable […] […] […] […] $\delta$ de $\omega_1$ […] $\mathcal{D}_1(\delta)=0$, i.e. $\mathcal{D}_1(\lambda\delta)=\delta\,d\lambda$ ».

Et on obtient \[(\exp(\theta_{a_1})\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})(c(s))\|=\varpi_2+\underbrace{\mathcal{D}_1(a_1)}_{2}-\underbrace{2a_1}_{1}-\underbrace{2[a_1,a_1]}_{+2a_1a_1}\] \[\text{\struck{$+2a$}}\;\underbrace{-a_1^2}_{2}+2a_1+1\]

L'équation est donc \[\boxed{\mathcal{D}_1(a_1)+a_1^2=\varpi_2}\] devant $\varpi_2$, un signe surchargé (« $=$ » sur « $-$ ») ; après $\varpi_2$, un indice biffé. à droite de l'encadré : « équation d'horizontalité de la section de $P$ différente de $\sigma$, définie par la $1$-forme $a_1$ » à gauche : « facteur $2$ qui manque — erreur de calcul ? »

Si on choisit convenablement une base de $\underline{\omega}$ (p. ex. $\delta=dt$) on peut supposer $\mathcal{D}_1(\delta)=0$ ; dans l'équation en termes de $a_1=\lambda\delta$ est \[(d\lambda)\delta+\lambda^2\delta^2=0\] en coordonnée, si $\delta=dt$ i.e. $a_1=\lambda\,dt$ : \[\boxed{\frac{d\lambda}{dt}+\lambda^2=A}\] « T.S.V.P. » en bas à droite.

103p. « 2 bis » de l'auteur ; le reste de la feuille est blanc. Conclusion. — changer de connexion projective revient simplement à ⌜à⌝ changer le second membre de l'équation.

104p. 3 de l'auteur (« 3 » cerclé). \[\text{Sections de }P-\sigma(X)=\text{connexions sur }\underline{\omega}\] $=$ op[érateurs] [diff. d'ordre $1$] $\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2$ satisfaisant $D(f\omega)=fD\omega+\omega\,df$ ; forment torseur sous $\underline{\omega}$.

À toute telle section correspond une connexion projective particulière $c_D$ — l'unique connexion projective pour laquelle cette section est horizontale. ⌜Une section de $P-\sigma(X)$, i.e. une section du torseur des connexions $D_1:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2$, i.e. un splitting de $\mathcal{L}$.⌝ Si on se fixe une section (p. ex. si on se donne une connexion sur $\underline{\omega}$, […] […] […]), soit $D_0$, […] lien : […] \[\boxed{c_{D_0+\omega_1}=c_{D_0}+2D_0(\omega_1)+\omega_1^2}\] sous $\omega_1$ : « $\hookrightarrow$ conn[exion] » ; devant le second membre, un essai biffé illisible.

[Vérification] \[c_{D_0+\omega_1+\varpi_1}=c_{D_0+\omega_1}+2(D_0+\omega_1)(\varpi_1)+\varpi_1^2\] \[=\underbrace{c_{D_0}+2D_0\omega_1+\omega_1^2}+2D_0(\varpi_1)+2\omega_1\varpi_1+\varpi_1^2\] \[=c_{D_0}+2D_0(\omega_1+\varpi_1)+\omega_1^2+\varpi_1^2+2\omega_1\varpi_1 =c_{D_0}+2D_0(\omega_1+\varpi_1)+(\omega_1+\varpi_1)^2\] « OK ».

Équation d'horizontalité de $D_0+\omega_1$ pour une connexion proj. $c_{D_0}+\varpi_2$ : \[c_{D_0}+\varpi_2=c_{D_0+\omega_1}\quad\text{i.e.}\quad \boxed{2D_0(\omega_1)+\omega_1^2=\varpi_2}\]

Considérons la connexion \[D_t(\lambda\,dt)=\frac{d\lambda}{dt}\,dt^2\quad\text{i.e.}\quad D_t(\omega)=\Bigl(\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\omega}{dt}\Bigr)\Bigr)dt^2\] On a $D_0(f\lambda\,dt)$ $=\bigl[d\bigl(\frac{\omega}{dt}\bigr)\bigr]dt$.

On a bien $D_t(f\omega)=fD_t(\omega)+$

Dans la moitié inférieure droite, écrit tête-bêche et traversé par trois traits, un calcul séparé de l'action d'un élément $a=\alpha_1+\alpha_{-1}$ sur une base $\omega_1,\lambda,\omega_{-1}$ ; coupé par le bord, il n'est que partiellement lisible : \[\begin{array}{l} \alpha_1+\alpha_{-1}=a\\ \rho_a\,\omega_1=\text{\struck{$\omega_1\alpha_{-1}$}}\;\dots\;+\lambda\alpha_{-1}\;\dots\\ \rho_a\,\lambda=\lambda\alpha_1+\lambda\alpha_{-1}\qquad \rho_a\,\omega_{-1}=\alpha_1\omega_{-1}\;\dots\\ (\rho_a)^2\omega_1=(\alpha_{-1}\alpha_1)\omega_1+(\alpha_{-1})^2\omega_2\;\dots\\ (\rho_a)^2\lambda=2\alpha_1\alpha_{-1}\lambda\\ (\rho_a)^2\omega_{-1}=(\alpha_1^2)\omega_{-1}+(\alpha_1\alpha_{-1})\omega_{-1}\\ (\rho_a)^3\omega_1=2\alpha_{-1}^2\alpha_1\omega_1\\ (\rho_a)^3\lambda=2\alpha_1^2\alpha_{-1}\lambda+2\alpha_1\alpha_{-1}^2\lambda \end{array}\] sous ce tableau, la mention « $\underline{\omega}\ \ \underline{\omega}^0\ \ \underline{\omega}^{-1}$ » ; transcription des indices incertaine.

105p. 4 de l'auteur (chiffre cerclé, lu « 4 »). \[D_t(f\omega)=(\text{\struck{\ill{}}}f)D_t\omega+f\omega\,df\] il veut sans doute $\omega\,df$ ; le $f$ devant $\omega\,df$ est d'une écriture rapide. \[\left[\; \begin{aligned} &d\Bigl(\frac{f\omega}{dt}\Bigr)dt &&\qquad f\Bigl(d\frac{\omega}{dt}\Bigr)dt+\omega\,df\\ &\Bigl(f\,d\frac{\omega}{dt}+df\cdot\frac{\omega}{dt}\Bigr)dt\\ &f\,dt\,d\frac{\omega}{dt}+df\,\omega \end{aligned} \;\right]\] les lignes de gauche sont reliées par des « $\|$ » verticaux (égalités successives).

L'équation d'horizontalité pour une section connexion $D_t+\lambda\,dt$, relativement à une connexion projective $c_{(D_t)}+\varpi_2$, $\varpi_2=\mu\,dt^2$ : \[\text{\struck{$2\lambda'+\lambda^2$}}\qquad \boxed{2\frac{d\lambda}{dt}+\lambda^2=\mu}\]

Comparons les connexions projectives $c_{D_t}$ et $c_{D_s}$ quand $ds$ et $dt$ sont bases de $\underline{\omega}$. \[\text{\struck{$D_s(\omega)=ds\,d\frac{\omega}{ds}=\dots=\varpi_1\frac{dt}{dt}$}} \qquad \text{\struck{$D_t(\omega)=\omega\,d\frac{\omega}{dt}$}}\] \[\text{\struck{$D_s(\omega)-D_t(\omega)=\omega\,d\bigl(\frac{\omega}{ds}-\frac{\omega}{dt}\bigr)$}}\] \[D_s\omega=ds\,d\frac{\omega}{ds}=\frac{ds}{dt}\,dt\,d\Bigl(\frac{\omega}{dt}\,\frac{dt}{ds}\Bigr) =dt\Bigl[\frac{ds}{dt}\frac{dt}{ds}\,d\frac{\omega}{dt}+\frac{ds}{dt}\,\frac{\omega}{dt}\,d\frac{dt}{ds}\Bigr]\] \[=\underbrace{dt\,d\frac{\omega}{dt}}_{D_t(\omega)}+\text{\struck{\ill{}}}\;\frac{ds}{dt}\,d\frac{dt}{ds}\] \[D_s\omega=D_t\omega+\omega\,\frac{ds}{dt}\,\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{dt}{ds}\Bigr)\qquad\text{donc}\qquad s'\,d\frac{1}{s'}=-\frac{ds'}{s'}\] \[\text{\struck{$c_{D_s\omega}=c_{D_t\omega}+2D$}}\qquad D_s=D_t+\frac{ds\,d\frac{dt}{ds}}{dt}\quad\text{donc}\] \[c_{D_s}=c_{D_t}+2\,dt\,d\Bigl(\frac{ds\,d\frac{dt}{ds}}{dt^2}\Bigr)+\Bigl(\frac{ds\,d\frac{dt}{ds}}{dt}\Bigr)^2\] la suite est p. 101 du fonds (sa p. 5).

106\[c_{D_0+\omega_1}=c_{D_0}+2D_0(\omega_1)+\omega_1^2\]

N.B. $\omega_1\mapsto 2D_0(\omega_1)+\omega_1^2$ définit un morphisme de faisceaux (ni linéaire, ni « semi-linéaire »…) $\underline{\omega}\to\underline{\omega}^{\otimes2}$ ; si on remplace $D_0$ par $D_0'=D_0+\varpi_1$, $\varpi_1\in\Gamma(\underline{\omega})$, cela équivaut à $\omega_1\mapsto\omega_1-\varpi_1$. la cible de $\omega_1\mapsto$ est écrite « $\omega_1\overline{\varpi}$ », avec un trait sur le signe ; lecture incertaine.

Considérons maintenant une section $\sigma'$ de $P$ sur $X$, donnée (⌜en termes de $D_0$⌝) par une $\omega_1$ rationnelle (pouvant avoir des pôles) — on se demande s'il existe une connexion projective rendant $\sigma'$ plate — laquelle sera unique, on devra avoir ⌜$c_{\omega_1}$⌝ $=$ égal […] $2D_0(\omega_1)+\omega_1^2$. Donc une telle conn. projective existe ssi \[2D_0(\omega_1)+\omega_1^2\ \text{reste régulière}\] aux pôles de $\omega_1$. Si $D_0=d_t$, et $\omega_1=\lambda\,dt$, cela signifie que \[2\frac{d\lambda}{dt}+\lambda^2\ \text{reste}\] régulière aux pôles de $\lambda$ — cela implique que la partie polaire de $\lambda$ en un pôle ($t=0$ disons…) est donnée par \[\lambda=\frac{2}{t}+\text{termes d'ordre}\geqslant1\] (le terme constant devant être nul !) dans $\frac{2}{t}$, le $2$ est surchargé (sur un $1$) ; au-dessus du « $+$ », un signe biffé.

107Sections horizontales de $P(\underline{P}^1_{X/S}(\omega))$ pour $c_{D_t}$ — i.e. connexions $D_t+\omega_1$ ($\omega_1=\lambda\,dt$) horizontales pour $c_{D_t}$, i.e. telles que \[2\lambda'+\lambda^2=0\] Connaissant $D_t$ $\to$ l'uniformisation de la connexion projective canonique sur $\mathbb{P}^1_S$ — […] pour l'uniformisation globale $f:X\to E^1_S\subset\mathbb{P}^1_S$ — […] existe bien qu'il n'y ait pas de connexion partout définie de $\Omega^1_{\mathbb{P}^1_S/S}$ !) en termes des solutions, ce qui revient aussi des sections horizontales de $\mathbb{P}_{\mathbb{P}^1_S/S}$ — reste de la feuille blanc.

108Une liste de descriptions équivalentes d'une même structure sur $X/S$ ; les lettres sont cerclées par l'auteur.

(a) $(P,\sigma,c)$ : $P$ fibré en droites projectives sur $X$, $c$ connexion sur $P$, rel. $/S$, $\sigma$ section partout transversale au stationnaire […].

(a') triples $(P,\sigma,\varphi)$, $(P,\sigma)$ comme dessus, $\varphi$ iso […] $\underline{\mathcal{O}}_{(\widehat{P},\sigma)}\simeq P^\infty_{X/S}$ d'Alg. augm. tel que la connexion transportée sur $\mathcal{O}_{(\widehat{P},\sigma)}$ pour se globalise à $P$.

(b) Algèbres de Lie de type $\mathfrak{sl}(2)$, quasi-scindée $\mathcal{L}_{-1}=\Omega\subset\mathcal{L}\subset\mathcal{U}_X$ ($\underline{\text{NB}}$ $\mathcal{L}/\Omega\simeq\underline{\mathcal{O}}_X$), $\mathcal{U}\simeq\mathrm{Sym}^2(\mathcal{L})\otimes\Omega^{-1}$, munie de connexion $c:\mathcal{U}\to\mathcal{U}\otimes\underline{\omega}$ (nécessairement $c(\Omega)\subset\mathcal{L}\otimes\underline{\omega}$) telle que le composé $\Omega\xrightarrow{c_\Omega}\mathcal{L}\otimes\omega\to\omega$ soit un iso. ($\underline{\text{NB}}$ Il suffit de se donner $c$ sur $\mathcal{L}$ […], ou $\mathcal{L}\xrightarrow{c_{\mathcal{L}}}\mathrm{Sym}\,\mathcal{L}\otimes\Omega^{-1}\otimes\omega\simeq\mathrm{Sym}^2\mathcal{L}$ — « compatible au crochet » i.e. …).

(b') Sur l'Algèbre de Lie quasi-scindée $\mathcal{U}_X$ $\simeq\mathrm{Sym}^2(P^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1})\otimes\underline{\omega}^{-1}$ $\simeq\mathrm{Sym}^2(P^1_{X/S}(\underline{\omega}))\otimes\underline{\omega}^{-3}$, une connexion (avec $\mathcal{L}\subset P^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1}$, $\Omega\simeq\underline{\omega}^2\otimes\underline{\omega}^{-1}\simeq\underline{\omega}$), une connexion $c$ d'Algèbre de Lie […] $c:\mathcal{U}_X\to\mathcal{U}_X\otimes\underline{\omega}$ qui, sur $\underline{\omega}$, soit $d^1_{X/S,\underline{\omega}}:\underline{\omega}\to P^1_{X/S}(\underline{\omega})$.

(c) Posant $\mathbb{P}_X=\mathbb{P}(P^1_{X/S}(\underline{\omega}))$, muni de $\sigma_X$, et dlt. iso canon. $\underline{\mathcal{O}}_{\mathbb{P}_X}/\mathcal{J}^3\overset{\varphi_2}{\simeq}P^2_{X/S}$, un iso \[\underline{\mathcal{O}}_{\mathbb{P}_X}/\mathcal{J}^4\overset{\varphi_3}{\simeq}P^3_{X/S}\] qui le prolonge.

(d) Une équa. diff. ⌜du $3^{\text{e}}$ ordre rel. $X$⌝ rel. $X$ sur $\mathbb{P}^1_S\times_S X\simeq\mathbb{P}^1_X$ (à ne pas confondre avec $\mathbb{P}_X$ !), invariant par $\mathrm{GP}(1)_X$ opérant sur $\mathbb{P}^1_X$, — équa. par rapport aux jets d'ordre $3$ de sections […] isomorphismes $X\to\mathbb{P}^1_S$ qui […] des iso les […] d'ordre $3$ la phrase s'arrête au bas de la feuille.

109(e) (Si $S=\operatorname{Spec}(\mathbb{C})$) ⌜$X^{\mathrm{an}}$ compact […]⌝ Faisceau d'applications analytiques de $X^{\mathrm{an}}$ dans $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, qui soit un torseur (à gauche) ⌜le faisceau envisagé⌝ sous $\mathrm{GP}(1,\mathbb{C})_X$, et formé d'iso. locaux analytiques.

On déduit ces structures équivalentes connexions ⌜différentes⌝ (à base de $X/S$) en termes de d) à e) en prenant les faisceaux des germes de solutions de l'équa. diff., on trouve que ce sont des solutions locales nécessairement (la forme unique bien sûr) par op. de $\mathrm{GP}(1,\mathbb{C})$. On passe de e) à a) en considérant le torseur à gauche ⌜correspondant⌝ (sur $X^{\mathrm{an}}$, du groupe $\mathrm{GP}(1,\mathbb{C})=\mathrm{GP}(1)_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}}$, déduit du torseur […] ⌜de (e)⌝, et transformant en torseur de droites par opération symplectique, et prenant le fibré projectif associé. On trouve fibré en droites projectives $P^{\mathrm{an}}$ sur $X^{\mathrm{an}}$ avec connexion analytique — est une classe d'équivalence des couples $(f,y)$, $f$ germe de section de $\mathcal{U}$ en $x$, $y$ pt de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, avec \[\text{\struck{$(gf,y)\simeq(f,g^{-1}y)$}}\qquad (f,y)\simeq(\gamma\circ f,\gamma(y))\ \text{pour}\ \forall\,\gamma\in\mathrm{GP}(1,\mathbb{C}).\] la ligne biffée et la ligne retenue diffèrent par le côté où opère le groupe. Mais dans les couples $(f,\delta f(x))$ ($f\in\mathcal{U}_x$) sont tous conjugués, d'où on trouve une section canonique de $\mathbb{P}^{\mathrm{an}}_x$, d'où une section de $P^{\mathrm{an}}$ sur $X^{\mathrm{an}}$, d'où — un […] $\forall$ de suite — qui elle est analytique et nulle part stationnaire puisque les $f\in\mathcal{U}_x$ sont écrits locaux […] ⌜[…]⌝. \[P|\mathcal{U}\simeq\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\times\mathcal{U},\quad\text{la section s'identifie à}\] l'application $f:\mathcal{U}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ au voisinage de $x$. On termine par GAGA.

On passe de a) à e) en utilisant la connexion $c^{\mathrm{an}}$ de $\mathbb{P}^{\mathrm{an}}$ sur $X^{\mathrm{an}}$ pour identifier […] $X^{\mathrm{an}}|\mathcal{U}$, ($\mathcal{U}$ près voisinage d'un $x\in X^{\mathrm{an}}$) la phrase se poursuit p. 110.

110suite de la phrase de la p. 109. à un produit $\mathcal{U}^{\mathrm{an}}\times\mathbb{P}^{\mathrm{an}}_x$, donc […] s'identifie à une application $\mathcal{U}^{\mathrm{an}}\to\mathbb{P}^{1\,\mathrm{an}}_X$ dans les composés avec les iso. $\mathbb{P}^1_X\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ donnent les germes d'applications […] ⌜locales⌝ du faisceau $\mathcal{U}$.

Quelle est l'interprétation des sections horizontales ⌜locales⌝ (de $P^{\mathrm{an}}$) dans la description (e) ? Pour le fibré principal (torseur) $\mathcal{T}$ sur $X$ [donnant \[P^{\mathrm{an}}=\underline{\mathrm{Isom}}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})_{X^{\mathrm{an}}},P)\ ]\] $P^{\mathrm{an}}$ sur $X^{\mathrm{an}}$, il faut prendre les sections horizontales de $P^{\mathrm{an}}$ et les appliquer aux pts de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ pour trouver sections horizontales de $P$ ; la section horizontale qui passe par […] $p\in P_{x_0}$ s'obtient en choisissant un […] élément $f_{x_0}$ de $\mathcal{T}^{\mathrm{an}}_{x_0}$ ) d'où […] pt $p_0$ de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})_{X^{\mathrm{an}}}$ [tel que $f_{x_0}$ : $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ […] $\xrightarrow{\ \sim\ }P_x(\ni p)$ ], et définissant l'iso \[\text{pr.}\;x\mapsto\widetilde{f}_{x_0}(x),\qquad\text{où}\ \widetilde{f}_{x_0}\ \text{est la section}\] horizontale (de $P^{\mathrm{an}}$) passant par $f_{x_0}$. Or

$P$ s'interprète comme $\mathcal{T}/B$ ($B\subset\mathrm{GP}(1)_{\mathbb{C}}$, Borel). Les sections horizontales ⌜de $P^{\mathrm{an}}$⌝ sont les sections horizontales de $\mathcal{T}^{\mathrm{an}}$ mod action de $B^{\mathrm{an}}$ — i.e. sections de $\mathcal{U}_x\subset\underline{\mathrm{Hol}}(X^{\mathrm{an}},\mathbb{P}^{1\,\mathrm{an}})$, mod action de $B^{\mathrm{an}}$, i.e. sections de $\mathcal{U}/B^{\mathrm{an}}$. Interprétation du $P$ disposant de $\sigma$ comme fournissant une connexion ⌜$D$⌝ sur $\underline{\omega}$ ⌜$D:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2$⌝, (on doit prendre les connexions $D$ telles que $c_D=c_0$ (la connexion projective donnée). Celles ⌜(conj. horizontales)⌝ sont les sections de $\mathcal{T}/B_u$, et quel est la phrase se poursuit p. 111.

111suite de la phrase de la p. 110. le fibré $\mathcal{T}/B_u$ ⌜sur $P$⌝ ? C'est le fibré […] ⌜principal associé⌝ : à $\Omega^1_{P/X}$ (ou encore des « éléments de contact projectifs d'ordre $1$ ») ⌜restreint⌝ à une section en dessus de $\sigma$ est donc une trivialisation de $\omega$ un couple d'un quotient inversible $L$ de $P^1_{X/S}(\underline{\omega})$ (qui donne $\sigma$) — i.e. une […] ⌜[…]⌝ de $\mathcal{U}$. \[D:\underline{\omega}\to L\] […] ⌜d'ordre $1$⌝ engendrant $L$, plus le dernier membre est souligné ; la ligne suivante est en partie biffée. une trivialisation $\varphi$ de $\mathcal{N}\otimes L^{-1}$, où $\mathcal{N}=\operatorname{Ker}(P^1_{X/S}(\underline{\omega})\to L)$, […] $\simeq L^{-2}\otimes\underline{\omega}^3$ donc $\varphi:L^2\simeq\underline{\omega}^3$ — i.e. $L$ est une « racine carrée de $\underline{\omega}^3$ » ou $\mathcal{N}\otimes L\simeq\det P^1_{X/S}(\underline{\omega})\simeq\underline{\omega}^3$ donc $D:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2$ engendrant $\underline{\mathcal{O}}_X$ passage biffé, lecture partielle.

Le cas où $\sigma$ disjoint de $\Gamma$ ⌜cf.⌝ correspond aux couples $(D,\varphi)$ d'une connexion ⌜sur $\underline{\omega}$⌝ $D:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2$, et d'une trivialisation $\varphi$ de $\underline{\omega}^2$, $\varphi\in\Gamma(\underline{\omega})$. Comment […] Condition d'horizontalité ? […] horizontale […] […] ⌜[…] autre trivialisation⌝ ⌜triviale la connexion $D$ sur $\omega$⌝ […] i.e. $D\varphi=0$.

Tendance de la connexion projective $c_0$, quel est le faisceau $\mathcal{U}\subset\underline{\mathrm{Apphol}}(X^{\mathrm{an}},\mathbb{C}^{\mathrm{an}})$ ? C'est le faisceau des ⌜germes⌝ […] ⌜étales⌝ d'applications $t:X^{\mathrm{an}}\to\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})$ telles que $t^*(\mathcal{P})=c_0$, où $c_0$ est la connexion projective (et unique !) sur $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$.

$\underline{\text{NB}}$ […] $t^*(c)=c_{D_t}$, […] question est donc $c_{D_t}=c_0$. […] Si $\xi:X'\to\mathbb{E}^1(\mathbb{C})\subset\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, est stable, on peut considérer la connexion ⌜sur $\underline{\omega}$⌝ $\xi^*(D)$ […], où $D$ est la connexion canonique sur $\Omega^1_{\mathbb{P}^1(\mathbb{C})/\mathbb{C}}$ (la connexion $D_T$, où $T$ est la coordonnée…). C'est aussi $D_\xi$. On peut alors, […] pour une connexion […] $D:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2$ donnée, […] ⌜$D$⌝ regarder les $t$ telles que $D=D_t$. […] Soit $t$ une uniformisante, telle […] […] donc \[D=D_t+\varpi\quad(\varpi\in\Gamma(\underline{\omega})),\ \text{et l'équation sur }s\mapsto D_s=D_t+\varpi,\ \text{on a vu que}\] \[D_s=D_t+s'\,d\frac{1}{s'}\qquad s'=\frac{ds}{dt},\qquad s'\,d\frac{1}{s'}=-\frac{ds'}{s'}\] Donc l'équation est \[-\frac{ds'}{s'}=\varpi\] sous $s'\,d\frac{1}{s'}$, l'auteur a d'abord écrit $-\frac{ds'}{s'^2}$, surchargé.

112En coordonnée, on pose $\varpi=\lambda(t)\,dt$ $\Rightarrow$ \[\frac{s''}{s'}=-\lambda(t)\qquad\text{i.e.}\qquad(\log s')'=-\lambda(t)\] \[\text{i.e.}\quad \log s'=-\Lambda(t)+\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\qquad(\Lambda(t)\ \text{une primitive de}\ \lambda(t))\] \[s'=\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\exp\Lambda(t)\qquad s=\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\int\exp-\Lambda(t)\,dt+\mathrm{c}^{\mathrm{te}}.\] sous la première constante de $s'$ : « $\neq0$ ». Les signes de $\Lambda$ dans les deux formules ne concordent pas sur la page.

Donc les solutions existent (analytiques) et forment un torseur (sous le groupe affine de $\mathrm{Aut}(\mathbb{E}^1(\mathbb{C}))=(\mathrm{Aut}\,\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}})^{\mathrm{an}}$ : c'est le […] […] […]) transformant du torseur […] sous $B(\mathbb{C})^{-1}$ […] d'images inverses dans $\mathcal{T}$ des sections donnant $\sigma'$ de $P$. Le torseur quotient de celui-ci par $B_u^{\mathrm{an}}\simeq\mathbb{G}_a^{\mathrm{an}}$ est le suivant : un section au-dessus de $\sigma'$ définie par $D$ est […] fournie de l'une des $1$-formes $\varphi$ de la forme $d\xi$, où $D_\xi=D$, i.e. des $\exists$ formes $\varphi$ telles que $\underline{D\varphi=0}$, $\varphi$ ne s'annulant pas. dans $D\varphi=0$, le $0$ est écrit sur un $\varphi$ biffé.

dans la marge gauche, en face des deux lignes suivantes : « analytique » et « $\mathrm{NB}$ » Sections ⌜$\simeq\mathcal{T}/B$,⌝ analytiques de $P$ horizontales disjointes de $\sigma$ : connexions ⌜sur $\underline{\omega}$⌝ telles que $c_D=c_0$ […] $\simeq$ régulières de $\mathcal{T}/B_u$ horizontales, ou encore

dans la marge gauche, le long de l'accolade : « analytique — transcendante » Sections analytiques de sections $\sigma'$ disjointes de $\sigma$ : couples […] $(D,\varphi)$, $D$ connexion ⌜analyt. sur $\underline{\omega}$⌝ telle que $c_D=c_0$, $\varphi\in\Gamma^{\mathrm{an}}(\underline{\omega})$ telle que $D\varphi=0$ ⌜telle que $\varphi$ s'annule pas⌝.

Sections analytiques de $\mathcal{T}$ horizontales : uniformisantes $t$ telles que $\xi:X\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}}$ telles que $s^*(\mathcal{C})=c_0$, i.e. $c_{D_t}=c_0$. \[t\longmapsto(D_t,dt)\longmapsto D_t\qquad\text{les applications canoniques}\] \[\text{correspondent :}\qquad \mathcal{T}\to\mathcal{T}/B_u\to\mathcal{T}/B\]

113feuille double écrite en deux colonnes ; la colonne de gauche est transcrite d'abord. Équations explicites, en termes d'un paramètre local $t:X\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}}$ de sorte que \[c_0=c_{D_t}+\varpi_2\qquad\varpi_2\in\Gamma(\underline{\omega}^2),\quad\varpi_2=\mu(t)\,dt^2\]

a) Sections horizontales $\sigma'$ de $P=\mathcal{T}/B$ ⌜disjointes de $\sigma$⌝, correspondant aux conn. $D$ sur $\underline{\omega}$ telles que $c_D=c_0$, i.e. (posant $D=D_t+\omega$) aux $1$-formes $\omega$ telles que $c_{D_t+\omega}=c_0$ i.e. (puisque $c_{D_t+\omega}=c_{D_t}+2D_t\omega+\omega^2$, $c_0=c_{D_t}+\varpi_2$) \[2D_t\omega+\omega^2=\varpi_2\] ou encore, posant $\omega=\lambda(t)\,dt$ \[(1)\qquad\boxed{2\lambda'(t)+\lambda(t)^2=\mu(t)}\qquad\Bigl(\text{où }\lambda'=\frac{d}{dt}\lambda\Bigr)\]

b) Sections horizontales de $\mathcal{T}/B_u$, au-dessus d'une section $\sigma'$ de $\mathcal{T}/B$ disjointe de $\sigma$. Couples $(D,\varphi)$, avec $D$ comme dessus, $\varphi\in\Gamma(\underline{\omega})^*$, $D\varphi=0$. Posant $\varphi=\alpha(t)\,dt$, on a \[D\varphi=D_t\varphi+\omega\varphi=(\alpha'(t)+\alpha(t)\lambda(t))\,dt^2\] donc \[(2)\qquad\boxed{\alpha'(t)+\alpha(t)\lambda(t)=0}\qquad\Bigl(\text{où }\alpha'=\frac{d\alpha}{dt}\Bigr)\qquad\text{i.e.}\quad\frac{\alpha'}{\alpha}=-\lambda\] \[\text{i.e.}\quad\frac{\alpha'(t)}{\alpha(t)}=-\lambda(t),\quad\text{ou}\quad\log\alpha(t)=-\int\lambda(t)\,dt,\] \[\text{ou}\quad\alpha(t)=c\exp-\int\lambda(t)\,dt\qquad c\ \mathrm{c}^{\mathrm{te}}\neq0\]

d) Sections horizontales de $\mathcal{T}$, […] correspondant à une section $\sigma'$ de $\mathcal{T}/B$ disjointe de $\sigma$ : $\xi:X^{\mathrm{an}}\to\mathbb{E}^1(\mathbb{C})$ telle que $c_{D_\xi}=c_0$, i.e. \[c_{D_t}\;\text{\struck{$-\frac{ds'}{s'}\,dt$}}=c_{D_t}+\varpi_2\] i.e. (déjà) \[2D_t\Bigl(-\frac{ds'}{s'}\Bigr)+\Bigl(-\frac{ds'}{s'}\Bigr)^2=\varpi_2\qquad\Bigl(s'=\frac{ds}{dt}\Bigr)\] qui s'explicite aussi en (4) : $-\dfrac{ds'}{s'}=-\dfrac{s''}{s'}=\lambda(t)\,dt$. le passage d) est encadré d'un trait ; devant $-\frac{ds'}{s'}$, un premier essai biffé.

c) Sections horizontales de $\mathcal{T}/B_u$ […] au-dessus de $\sigma'$ définie par $D$ ($=D_t+\omega=D_t+\lambda(t)\,dt$, où $\lambda(t)$ solution de (1) i.e. $\omega$ solution de $\alpha$) : les $s:X^{\mathrm{an}}\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}$ telles que $D_s=D$, i.e. (posant $s=s(t)$) avec $\frac{ds'}{s'}=-\omega$ ($s'=\frac{ds}{dt}$) \[(3)\qquad\frac{s''}{s'}=-\lambda(t)\qquad s'=\frac{ds}{dt},\quad s''=\frac{ds'}{dt}\] Pour passer de b') à b) : poser $\varphi=ds=s'\,dt$, i.e. $\boxed{\alpha=s'}$. les lettres a) à e) ne suivent pas exactement l'ordre de la p. 112 ; la colonne de gauche les donne dans l'ordre a), b), d), c).

\[2\Bigl(-\frac{s''}{s'}\Bigr)'+\Bigl(-\frac{s''}{s'}\Bigr)^2=\mu(t)\] \[\text{i.e.}\quad -2\,\frac{s'''s'-s''^2}{s'^2}+\frac{s''^2}{s'^2}=\mu\] \[\frac{3s''^2-2s's'''}{s'^2}=-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\] \[(4)\qquad\boxed{G_t(s)\overset{\mathrm{dfn}}{=}-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2=\mu(t)}\] au-dessus de l'encadré, un essai biffé : « $s''=-2s'\mu(t)$ », lecture incertaine. où $s'=\frac{ds}{dt}$, $s''=\frac{ds'}{dt}$, $s'''=\frac{ds''}{dt}$.

Pour passer de d) à c) : $s\longmapsto(ds,\ \lambda=-\frac{s''}{s'})$

de d) à b) : $s\longmapsto(\alpha=s',\ \lambda=-\frac{s''}{s'})$

de d) à a) : $s\longmapsto\lambda=-\frac{s''}{s'}$

$\underline{\text{NB}}$ La propriété essentielle de l'expression différentielle $G_t(s)=-2\frac{s'''}{s'}+3\bigl(\frac{s''}{s'}\bigr)^2$ $(=(D_s-D_t)/dt^2$ ($=(c_{D_s}-c_{D_t})/dt^2$) est son invariance par le groupe homographique : si \[\text{\struck{$\overline{s}=as$}}\qquad\overline{s}=\frac{as+b}{cs+d}\qquad a,b,c,d\ \text{constantes},\] alors $G_t(\overline{s})=G_t(s)$ … De plus, si $\tau$ est une autre uniformisante, on a \[G_\tau(s)=G_t(s)\,\tau'^2\] le facteur $\tau'^2$ suit un signe surchargé illisible ; la formule n'est pas corrigée ici.

$\underline{\text{Th}}$ Soit $X$ courbe alg. complète sur $\mathbb{C}$, $t$ une uniformisante sur un ouvert $\mathcal{U}$ de $X$, i.e. morphisme étale $t:\mathcal{U}\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}}$. Il existe alors une unique section $\mu$ de $\underline{\omega}_{\mathcal{U}}$ ayant la propriété suivante : Considérons l'équation […] différentielle sur $\mathcal{U}^{\mathrm{an}}$, en la fonction analytique inconnue $s:\mathcal{U}\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}}$ \[G_t(s)\overset{\mathrm{dfn}}{=}-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2=\mu(t)\] Alors les solutions de cette équation, sur tout la phrase se poursuit p. 114.

114suite de l'énoncé de la p. 113. ouvert ⌜$V$⌝ de $\mathcal{U}^{\mathrm{an}}$, sont des restrictions, à $V$, de fonctions uniformisantes ⌜[…]⌝ sur $X^{\mathrm{an}}$ (et […] ⌜[…]⌝ cor. exactement toutes les fonctions uniformisantes […]).

Corollaire Si $X$ est […] complète, […] le […] […] seul $\mathcal{D}(\mu)$ tel que $\mu(t)$ est restriction d'une section analytique de $\underline{\omega}_{\mathcal{U}}$. […] […] ⌜Est-elle⌝ algébrique ? Premier cas douteux : $X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}-$ trois pts, où $X$ = courbe elliptique moins un point.

Autre question Quand $X$ (supposée complète disons), varie avec un paramètre algébrique parcourant une variété algébrique $S$, int. […] $X\to S$, est-ce donc $\mu$ des fonctions analytiques sur […] de $X$, algébriques sur les fibres. Sont-elles algébriques ? Ou bien (si non), est-elle une signification transcendante algébrique, indépendante de la top. des corps […] $S$ ou $\mathcal{C}$ — dans laquelle un […] plus fin que $S$ est une relation […] de […] celle ?).

115mise au net, d'une écriture soignée, de la théorie de la dérivée schwarzienne. Soit $\mathcal{X}$ une « courbe analytique » i.e. espace […] analytique régulier partout de dim. $1$. Soit \[t:\mathcal{X}\to\mathbb{C}\] une « uniformisante » i.e. une application analytique étale de $X$ dans $\mathbb{C}=\mathbb{E}^1(\mathbb{C})$, i.e. une section $t$ de $\underline{\mathcal{O}}_X$ telle que $dt\in\Gamma(X,\underline{\Omega}^1_{X/\mathbb{C}})$ soit partout $\neq0$ (i.e. soit une base de $\underline{\Omega}^1_{X/\mathbb{C}}$). Soit $s\in\Gamma(\mathcal{X},\underline{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}})$ — […] une autre uniformisante, et posons \[G(t,s)=\Bigl(-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\Bigr)dt^2\in\Gamma(\mathcal{X},\underline{\omega}^{\otimes2})\] où $s'=\frac{ds}{dt}$, $s''=\frac{ds'}{dt}$, $s'''=\frac{ds''}{dt}$. On […] vérifie facilement, si $a\in\mathbb{C}^*$, $b\in\mathbb{C}$ que si $a,b$ sont des constantes, $a\neq0$ et \[(1)\qquad \left\{ \begin{aligned} &G(t,s+b)=G(t,s) &&\text{a)}\\ &G(t,as)=G(t,s) &&\text{b)}\\ &G\bigl(t,\tfrac1s\bigr)=G(t,s) &&\text{c)} \end{aligned} \right.\] où, dans la dernière équation, on suppose que $\frac1s$ est aussi uniformisant, i.e. $s$ ne prend pas de zéros sur $\mathcal{X}$. On vérifie de plus que, si $t,s,r$ sont trois uniformisantes, \[(2)\qquad G(t,s)+G(s,r)=G(t,r)\] Enfin, ⌜(3)⌝ la formation de $G(t,s)$ commute à la restriction à un ouvert. En

De (1) et (3), résulte qu'on peut prolonger l'expression $G(t,s)$ au cas où $s$, au lieu d'être une « uniformisante » i.e. une application étale $\mathcal{X}\to\mathbb{E}^1(\mathbb{C})$, est une application étale \[\mathcal{X}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\] i.e. une fonction méromorphe n'ayant que des pôles simples, et uniformisante en dehors de ceux-ci — (dans ce cas, ⌜on vérifie que dans⌝ voisinage des $s$ où $s$ a un pôle $G(t,s)=G(t,\frac1s)$), et dans (1) […] ⌜reste vraie avec $s$ méromorphe⌝ […] ⌜[…]⌝ reste valable, et (plus généralement) \[G\Bigl(t,\frac{as+b}{cs+d}\Bigr)=G(t,s)\qquad a,b,c,d\in\mathbb{C},\quad ad-bc\in\mathbb{C}^*\]

116D'autre part, faisant $t=r$ dans (2), on trouve \[G(t,t)=0\qquad(t\ \text{uniformisante})\] et faisant $r=t$, on trouve \[G(t,s)+G(s,t)=0,\quad\text{i.e.}\quad G(t,s)=-G(s,t)\qquad(s,t\ \text{uniformisantes})\] Donc on peut prolonger l'expression $G(t,s)$, définie […] au cas où $t:\mathcal{X}\to\mathbb{E}^1(\mathbb{C})$, $s:\mathcal{X}\to\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})$, au cas aussi où […] […] des pôles, […] passage encadré et biffé ; dans la marge gauche, en oblique, une phrase biffée elle aussi : « au cas où $t$ […] c'est […] […] $\mathcal{X}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ ». d'où \[(1\,\text{bis})\qquad \left\{ \begin{aligned} &G(at,s)=G(t,s)\\ &G(t+b,s)=G(t,s)\\ &G\bigl(\tfrac1t,s\bigr)=G(t,s)\qquad\bigl(t,\tfrac1t\ \text{unif}^{\text{tes}}\bigr) \end{aligned} \right.\] ce qui permet de faire la généralisation pour les $t$, comme pour les $s$, d'où finalement \[s,t:\mathcal{X}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\qquad\text{morphismes étales}\] \[(4)\qquad \left\{ \begin{aligned} &G\Bigl(\frac{at+b}{ct+d},s\Bigr)=G(t,s)\qquad a,b,c,d\in\mathbb{C}\ \text{avec}\ ad-bc\in\mathbb{C}^*\\ &\text{de plus,}\quad G\Bigl(t,\frac{as+b}{cs+d}\Bigr)=G(t,s)\qquad\text{id.} \end{aligned} \right.\]

De plus, on a Soit $\mathcal{P}_X$ le faisceau des morphismes ⌜analytiques⌝ étales \[\mathcal{X}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C}),\] sur lequel opère le groupe \[H=\mathrm{Aut}_{\mathbb{C}}\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\simeq\mathrm{GP}(1,\mathbb{C})=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\Bigm|ad-bc\in\mathbb{C}^*\Bigr\}\] (mod. matrices diagonales). On a donc trouvé un morphisme de faisceaux \[\underline{G}:\mathcal{P}_X\times\mathcal{P}_X\to\underline{\omega}_X^{\otimes2}\] satisfaisant les deux conditions :

I)$G$ invariant par $H\times H$ i.e. \[G(g\cdot t,g'\cdot s)=G(t,s)\quad\text{si }g,g'\in H\]
II)$G(t,s)+G(s,r)=G(t,r)$

En particulier $G(t,t)=0$, $G(t,s)=-G(s,t)$.

En fait, le théorème des équations différentielles (donne, pour $t$ fixé), donne aisément une réciproque : I), savoir la phrase se poursuit p. 117.

117suite de la phrase de la p. 116.

I')
a) si $s,t\in\Gamma(\mathcal{U},\mathcal{P}_X)$, ⌜$\mathcal{U}$ connexe⌝ […] et $G(t,s)=0$, alors $\exists$ […] $g\in H$ tel que $t=g\cdot s$.

b) Pour $t$ fixé, le morphisme \[s\longmapsto G(t,s)\qquad\mathcal{P}_X\to\underline{\omega}_X^{\otimes2}\] (qui induit un homom. injectif $\mathcal{P}_X/H$ \[H\backslash\mathcal{P}_X\hookrightarrow\underline{\omega}_X^{\otimes2}\] d'après a)) est surjectif (i.e. \[H\backslash\mathcal{P}_{\mathcal{X}}\xrightarrow{\ \sim\ }\underline{\omega}_X^{\otimes2}\qquad s\longmapsto G(t,s)=\Bigl(-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\Bigr)dt^2\ \bigr)\]

D'autre part, grâce à II, on peut donner une forme plus simple et intrinsèque à l'expression $G(t,s)$.

Proposition (presque formelle à partir de (II)) On peut, de façon unique : trouver un torseur $\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}$ sous $\underline{\omega}_{\mathcal{X}}^{\otimes2}$, et un morphisme de faisceaux \[t\longmapsto c_t:\ \mathcal{P}_X\xrightarrow{\ c^X\ }\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}\] tels que l'on ait, pour $s,t\in\Gamma(\mathcal{U},\mathcal{P}_X)$ \[\boxed{G(t,s)=c_s-c_t}\]

Le faisceau $\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}$ est appelé le faisceau des connexions projectives (analytiques complexes) sur $\mathcal{X}$. Une section de ce dernier est appelée connexion projective (analytique) de $\mathcal{X}$. […] Le morphisme $c^X$ est invariant par $H$ et définit un iso. canon. : \[c^X:H\backslash\mathcal{P}_{\mathcal{X}}\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}\] une flèche relie « $\mathcal{P}_X$ » au mot « une uniformisante étale ». Une uniformisante étale \[f:\mathcal{X}'\to\mathcal{X}\] définit des iso \[\mathcal{P}_{\mathcal{X}'}\simeq f^{-1}(\mathcal{P}_{\mathcal{X}})\qquad\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}'}\simeq f^{-1}(\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}})\] et on trouve un […] diagramme commutatif

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\mathcal{P}_{\mathcal{X}'} \arrow[r, "c^{\mathcal{X}'}"] \arrow[d, "\wr"'] & \mathrm{Conn}_{\mathcal{X}'} \arrow[d, "\wr"] \\
f^{-1}(\mathcal{P}_{\mathcal{X}}) \arrow[r, "c^{\mathcal{X}}"'] & f^{-1}(\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}})
\end{tikzcd}

sur la flèche du haut, un premier label biffé.

118Notons que si $\mathcal{X}_0=\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ il y a le faisceau $H\backslash\mathcal{P}_{\mathcal{X}_0}$ est le faisceau final ; et que il y a une conn. projective can. ⌜$\mathcal{C}$⌝ sur $\mathcal{X}_0$, savoir $c_t$ pour $t=\mathrm{id}_{\mathcal{X}_0}$ ! C'est la seule conn. projective sur $\mathcal{X}_0$, car $H^0(\mathcal{X}_0,\underline{\omega}^{\otimes2}_{\mathcal{X}_0})=0$ ($\underline{\omega}$ est de degré $-2$, donc $\underline{\omega}^{\otimes2}$ de degré $-4$ !).

Revenant au cas d'une $\mathcal{X}$ générale, on voit donc que \[c_t=t^*(\mathcal{C})=\text{image inverse par }t\text{ de la conn.\ projective can.\ }\mathcal{C}\] (et unique conn. proj.) sur $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$.

Extension à la géom. alg. Soit maintenant $X$ schéma formel. Lisse ⌜ou plus⌝ de dimension relative $1$ sur un schéma $S$. Si $t,s$ […] \[t,s:X\to\mathbb{E}^1_S\] étales sont ⌜[…]⌝ étales, on définit comme plus haut $G(t,s)\in\Gamma(X,(\underline{\Omega}^1_{X/S})^{\otimes2})$ ⌜$\simeq\underline{\omega}^{\otimes2}$⌝, et on vérifie bien vite (1) et (2) pour $s=$ […] […] que dans le cas analytique, — qui permet d'étendre $G(t,s)$ au cas de (uniformisantes étales) \[t,s:X\to\mathbb{P}^1_S\] […], de façon à satisfaire encore $t,s:X\to$ \[\text{(\uncertain{groupe} }H_S=\underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathbb{P}^1_S))\] \[G(gt,g's)=G(t,s)\qquad(g,g'\in\Gamma(S,H))\] et : définissant ainsi, si $\mathcal{P}_{X/S}$ est le faisceau ⌜(étale)⌝ des uniformisantes étales $X\to\mathbb{P}^1_S$, des […] \[G:\mathcal{P}_{X/S}\times\mathcal{P}_{X/S}\to\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}\] dans la marge gauche, en oblique : « en car. nulle […] ou […] […] […] […] […] […] $\geqslant3$, i.e. que $P^3_{X/S}(\underline{\omega})$ […] […] $S$ […] $\geqslant3$ »

119invariante sous l'action de $f^{-1}(H_S)$ i.e. telle que \[G(g\cdot s,g'\cdot t)=G(s,t)\quad\text{si}\quad \left\{ \begin{aligned} &s,t\in\Gamma(\mathcal{U},\mathcal{P}_X)\\ &g,g'\in\Gamma(V,H_V) \end{aligned} \right.\] où

LaTeX source

\begin{tikzcd}
U \arrow[r, "\text{ét}"] \arrow[d] & X \arrow[d, "f"] \\
V \arrow[r, "\text{ét}"'] & S
\end{tikzcd}

le carré est marqué commutatif par une flèche courbe entre les deux verticales. et satisfaisant \[G(s,t)+G(t,r)=G(s,r).\]

Cela permet donc de définir le faisceau (étale) $\mathrm{Conn}_{X/S}$ des connexions projectives sur $X$ rel. à $S$, qui est un torseur sous $\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}$, et d'interpréter $G(t,s)$, à l'aide d'une uniformisante canonique \[c^X:\mathcal{P}_{X/S}\to\mathrm{Conn}_{X/S}\] par \[G(t,s)=c^X(s)-c^X(t)\]

Enfin, par construction, la formation de $\mathcal{P}_{X/S}$, $\mathrm{Conn}_{X/S}$ et $c^X$ commute à la loc. étale. Cela permet d'interpréter comme \[c^X(t)=t^*(\mathcal{C})\] où $\mathcal{C}$ est l'unique connexion sur $\mathbb{P}^1_S$.

Plus généralement, pour $\mathcal{X}_0$ un fibré en droites projectives $\mathcal{X}_0$ sur $S$, il y a une unique conn. proj. $c_{\mathcal{X}_0}$ sur $\mathcal{X}_0$, et si $t,s:X\to\mathcal{X}_0$ sont étales, on peut définir \[G(t,s)=c(s)-c(t)=s^*(c_{\mathcal{X}_0})-t^*(c_{\mathcal{X}_0})\] satisfaisant aux conditions analogues : celles du cas $\mathcal{X}_0=\mathbb{P}^1_S$, que le lecteur (sic) écrira… une flèche relie la formule $G(t,s)=\dots$ à « conditions analogues ».

120feuille double écrite en deux colonnes ; la colonne de gauche est transcrite d'abord. Si $S$ est de car. $0$, alors si $X$ est ⌜(lisse$/S$ ?)⌝ à fibres géom. connexes non vides, on peut montrer que pour $s,t:X\to\mathcal{X}_0$ (fibré en droites projectives sur $S$) étales, tels que $G(t,s)=0$ i.e. $t^*(c_{\mathcal{X}_0})=s^*(c_{\mathcal{X}_0})$, il existe \[g\in\mathrm{Aut}(\mathcal{X}_0)\quad\text{tel que}\quad s=g\circ t\] dans la marge gauche, contre ces lignes, barré d'un trait oblique : « unicité ! » Donc, pour $t$ fixé, $s$ variable, le morphisme \[f^{-1}(H_S)\backslash\mathcal{P}_X\to\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}\qquad s\longmapsto G(t,s)\] est injectif, ou encore (indépendamment) le morphisme \[{}_H\backslash\mathcal{P}_X\xrightarrow{\ c^X\ }\mathrm{Conn}_{X/S}\] défini par passage au quotient par $c^X$, est injectif. […] Mais bien sûr ces deux morphismes ne sont plus bijectifs surjectifs. Une conn. proj. qui est contenue dans dans l'image de ${}_H\backslash\mathcal{P}_X$ est dite « intégrable par fonctions algébriques ».

Si $S$ est de car. $p>0$, alors l'injectivité n'est plus valable non plus. Introduisons $X^{(p/S)}$ et \[X\xrightarrow{\ F_X\ }X^{(p/S)}\qquad(\text{Frobenius})\] les deux schémas sont reliés à $S$ par deux traits obliques, formant un triangle. On trouve que […] […] […] le groupe des $H(X^{(p/S)})$, qui est égal de façon évidente, sur $\mathcal{P}_X$, $\Gamma(X,\mathcal{P}_X)=\mathrm{Et}_S(X,\mathbb{P}^1_S)$, laisse invariant l'expression $G(t,s)$, et le mieux qu'on puisse espérer, c'est d'avoir \[F_X^{-1}(H_{X^{(p/S)}})\backslash\mathcal{P}_X\hookrightarrow\mathrm{Conn}_{X/S}\] dans la marge gauche, en oblique : « si $2$ et $3$ inversibles, […] […] ! cf. plus bas »

Introduisons (pour $s,t$ […] uniformisantes) l'expression \[D^{(n)}_tf=\frac{1}{n!}\,\frac{d^nf}{dt^n}\] (qui a un sens sans restriction de car. nulle…, dès que $X/S$ est diff. lisse de […] rel. dim. $1$) on trouve alors (pour toutes uniformisantes) \[G(t,s)=12\Bigl(-\frac{D^{(3)}_ts}{D^{(1)}_ts}+\Bigl(\frac{D^{(2)}_ts}{D^{(1)}_ts}\Bigr)^2\Bigr)=12\,G_0(t,s)\] où \[G_0(t,s)=-\frac{D^{(3)}_ts}{D^{(1)}_ts}+\Bigl(\frac{D^{(2)}_ts}{D^{(1)}_ts}\Bigr)^2\] Cela montre que si $12\cdot1_S$ $\neq0$, dans toutes les conn. projectives de la forme $c_t$ sont égales, donc il y a une conn. proj. canonique sur $X$ rel. $S$, à laquelle on peut infirmer toutes les autres. Cela montre aussi (sans restriction de car. telle $12\cdot1_S=0$ !) que le torseur […] $\mathrm{Conn}_{X/S}$ est déduit moyennant le changement de groupe déf. \[\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}\xrightarrow{\ 12\,\mathrm{id}\ }\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S},\] d'un torseur plus fin $\mathrm{Conn}_{0,X/S}$, sous $\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}$, avec un morphisme \[\mathcal{P}_{X/S}\xrightarrow{\ c^X_0\ }\mathrm{Conn}_{0,X/S}\] tel que \[c^X_0(s)-c^X_0(t)=G_0(t,s)\] Bien entendu, les assertions plus haut sur ⌜l'expression⌝ $G(t,s)$ et les constructions la phrase se poursuit au-delà du lot.