Fonds Grothendieck, cote n° 93, pages 101–120

p. 5 de l'auteur (« 5 » cerclé en haut à droite). Dans sa numérotation, cette feuille fait suite à la page 105 du fonds (sa p. 4) ; ses pp. 2, 2 bis, 3 et 4 sont les pages 102 à 105. Sa p. 1 n'est pas dans ce lot : l'argument commence avant lui. \frac{dt}{ds}=\frac{1}{ds/dt}=\frac{1}{s'} \qquad ds=s'\,dt \text{\struck{$d\frac{1}{s}$}}\quad d\,\frac{dt}{ds}=-\frac{s''}{s'^2}\,dt \qquad ds\,d\,\frac{dt}{ds}=-\frac{s''}{s'}\,dt^2 c_{D_s}=c_{D_t}-2\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)'dt^2+\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2dt^2 \boxed{c_{D_s}=c_{D_t}+\Bigl[-2\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)'+\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\Bigr]dt^2} \Bigl[\;s'=\frac{ds}{dt},\quad s''=\frac{ds'}{dt},\quad \Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)'=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)\Bigr] [\;\;]=-2\,\frac{s'''s'-s''^2}{s'^2}+\frac{s''^2}{s'^2}=\frac{3s''^2-2s's'''}{s'^2} \boxed{c_{D_s}=c_{D_t}+\frac{3s''^2-2s's'''}{s'^2}\,dt^2}

Objection : c_{D_s}=c_{D_t} ssi ou bien s''\equiv0 i.e. s fonction affine, ou 3s''^2=2s's'''\quad\text{i.e.}\quad 2\,\frac{s'''}{s''}=3\,\frac{s''}{s'} après le 3 du second membre, un /2 biffé. \text{i.e.}\quad (2\log s'')'=(3\log s')' i.e. (cas \neq0) 2\log s''=3\log s'+\mathrm{c}^{\mathrm{te}},\qquad \log\frac{s''^2}{s'^3}=\mathrm{c}^{\mathrm{te}} \frac{s''^2}{s'^3}=\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\quad\text{i.e.}\quad s''^2=Cs'^3,\qquad s''=Cs'^{3/2} entouré, dans la marge gauche : « s fonction homographique de t »

s=\frac{at+b}{ct+d}=u_M(t)\qquad M\ \text{la matrice}\ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} D_{u_M(t)}=D_t peut .

3 types d'homographies : t\mapsto t+a, t\mapsto bt, t\mapsto\frac{1}{t}. s=\frac1t,\quad s'=-\frac{1}{t^2},\quad s''=+\frac{2}{t^3},\quad s'''=-\frac{6}{t^4} 3s''^2-2s's'''=\frac{12}{t^6}-\frac{12}{t^6}=0

p. 2 de l'auteur (« 2 » cerclé). \underline{\omega}+\mathcal{O}_X\xi_0+\underline{\omega}^{-1}v_{s_0} s=s_0+a_1=(\exp\theta_{-a_1})s_0=s_0+[-a_1,s_0]=\dots \Bigl[\;v_s=(\exp\theta_{-a_1}\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})v_{s_0} =v_{s_0}+\underbrace{[-a_1,v_{s_0}]}_{-2a_1 s_0}+\tfrac12\bigl[-a_1,\underbrace{[-a_1,v_{s_0}]}_{-2a_1}\bigr] v_s=\underbrace{-a_1^2}_{2}-\underbrace{2a_1}_{1}+\underbrace{1}_{0}\;\Bigr] devant -a_1^2, un terme biffé (« 4a » ?) ; sous l'accolade de droite, « -\frac12 a_1^2 », lecture incertaine. Les indices 2,1,0 sous les termes sont les degrés.

Je fais calculer, pour avoir l'équation d'horizontalité sur s (ou sur a_1) relativement à c, la ~~coeff. de~~ composante dans \underline{\omega}^2 (premier coeff.) de (\exp(\theta_{a_1})\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})(c(s)) et l'égaler à 0.

~~Ox. c(s)=c(s_0)+c(a_1) pour laquelle un splitting horizontal~~ passage biffé en zigzag, à peine lisible. c(s_0)=\text{\struck{\ill{}}}\;\varpi_2+v_{s_0} (\exp\theta_{a_1}\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})(c(s)) =(\exp\theta_{a_1}\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})(c(a_1))+\dots c(s_0)+c(a_1)=-\varpi_2+c(a_1)+v_{s_0} la dernière ligne est entre crochets ; le signe devant \varpi_2 est surchargé.

composantes \underline{\omega}^2, et c(a_1)=\text{\struck{\ill{}}}\;\underbrace{\mathcal{D}_1(a_1)}_{2}-\underbrace{2a_1}_{1}\;\text{\struck{$v_{s_0}$}}\;(\text{\struck{\ill{}}}\dots sous \mathcal{D}_1(a_1) : « op. diff. d'ordre 1, \underline{\omega}\to\underline{\omega}^2 » ; à droite : « splitting convenable \delta de \omega_1 \mathcal{D}_1(\delta)=0, i.e. \mathcal{D}_1(\lambda\delta)=\delta\,d\lambda ».

Et on obtient (\exp(\theta_{a_1})\otimes\mathrm{id}_{\underline{\omega}})(c(s))\|=\varpi_2+\underbrace{\mathcal{D}_1(a_1)}_{2}-\underbrace{2a_1}_{1}-\underbrace{2[a_1,a_1]}_{+2a_1a_1} \text{\struck{$+2a$}}\;\underbrace{-a_1^2}_{2}+2a_1+1

L'équation est donc \boxed{\mathcal{D}_1(a_1)+a_1^2=\varpi_2} devant \varpi_2, un signe surchargé (« = » sur « - ») ; après \varpi_2, un indice biffé. à droite de l'encadré : « équation d'horizontalité de la section de P différente de \sigma, définie par la 1-forme a_1 » à gauche : « facteur 2 qui manque — erreur de calcul ? »

Si on choisit convenablement une base de \underline{\omega} (p. ex. \delta=dt) on peut supposer \mathcal{D}_1(\delta)=0 ; dans l'équation en termes de a_1=\lambda\delta est (d\lambda)\delta+\lambda^2\delta^2=0 en coordonnée, si \delta=dt i.e. a_1=\lambda\,dt : \boxed{\frac{d\lambda}{dt}+\lambda^2=A} « T.S.V.P. » en bas à droite.

p. « 2 bis » de l'auteur ; le reste de la feuille est blanc. Conclusion. — changer de connexion projective revient simplement à à changer le second membre de l'équation.

p. 3 de l'auteur (« 3 » cerclé). \text{Sections de }P-\sigma(X)=\text{connexions sur }\underline{\omega} = op[érateurs] [diff. d'ordre 1] \underline{\omega}\to\underline{\omega}^2 satisfaisant D(f\omega)=fD\omega+\omega\,df ; forment torseur sous \underline{\omega}.

À toute telle section correspond une connexion projective particulière c_D — l'unique connexion projective pour laquelle cette section est horizontale. Une section de P-\sigma(X), i.e. une section du torseur des connexions D_1:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2, i.e. un splitting de \mathcal{L}. Si on se fixe une section (p. ex. si on se donne une connexion sur \underline{\omega}, ), soit D_0, ~~lien :~~ \boxed{c_{D_0+\omega_1}=c_{D_0}+2D_0(\omega_1)+\omega_1^2} sous \omega_1 : « \hookrightarrow conn[exion] » ; devant le second membre, un essai biffé illisible.

[Vérification] c_{D_0+\omega_1+\varpi_1}=c_{D_0+\omega_1}+2(D_0+\omega_1)(\varpi_1)+\varpi_1^2 =\underbrace{c_{D_0}+2D_0\omega_1+\omega_1^2}+2D_0(\varpi_1)+2\omega_1\varpi_1+\varpi_1^2 =c_{D_0}+2D_0(\omega_1+\varpi_1)+\omega_1^2+\varpi_1^2+2\omega_1\varpi_1 =c_{D_0}+2D_0(\omega_1+\varpi_1)+(\omega_1+\varpi_1)^2 « OK ».

Équation d'horizontalité de D_0+\omega_1 pour une connexion proj. c_{D_0}+\varpi_2 : c_{D_0}+\varpi_2=c_{D_0+\omega_1}\quad\text{i.e.}\quad \boxed{2D_0(\omega_1)+\omega_1^2=\varpi_2}

Considérons la connexion D_t(\lambda\,dt)=\frac{d\lambda}{dt}\,dt^2\quad\text{i.e.}\quad D_t(\omega)=\Bigl(\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\omega}{dt}\Bigr)\Bigr)dt^2 On a ~~D_0(f\lambda\,dt)~~ =\bigl[d\bigl(\frac{\omega}{dt}\bigr)\bigr]dt.

On a bien ~~D_t(f\omega)=fD_t(\omega)+~~

Dans la moitié inférieure droite, écrit tête-bêche et traversé par trois traits, un calcul séparé de l'action d'un élément a=\alpha_1+\alpha_{-1} sur une base \omega_1,\lambda,\omega_{-1} ; coupé par le bord, il n'est que partiellement lisible : \begin{array}{l} \alpha_1+\alpha_{-1}=a\\ \rho_a\,\omega_1=\text{\struck{$\omega_1\alpha_{-1}$}}\;\dots\;+\lambda\alpha_{-1}\;\dots\\ \rho_a\,\lambda=\lambda\alpha_1+\lambda\alpha_{-1}\qquad \rho_a\,\omega_{-1}=\alpha_1\omega_{-1}\;\dots\\ (\rho_a)^2\omega_1=(\alpha_{-1}\alpha_1)\omega_1+(\alpha_{-1})^2\omega_2\;\dots\\ (\rho_a)^2\lambda=2\alpha_1\alpha_{-1}\lambda\\ (\rho_a)^2\omega_{-1}=(\alpha_1^2)\omega_{-1}+(\alpha_1\alpha_{-1})\omega_{-1}\\ (\rho_a)^3\omega_1=2\alpha_{-1}^2\alpha_1\omega_1\\ (\rho_a)^3\lambda=2\alpha_1^2\alpha_{-1}\lambda+2\alpha_1\alpha_{-1}^2\lambda \end{array} sous ce tableau, la mention « \underline{\omega}\ \ \underline{\omega}^0\ \ \underline{\omega}^{-1} » ; transcription des indices incertaine.

p. 4 de l'auteur (chiffre cerclé, lu « 4 »). D_t(f\omega)=(\text{\struck{\ill{}}}f)D_t\omega+f\omega\,df il veut sans doute \omega\,df ; le f devant \omega\,df est d'une écriture rapide. \left[\; \begin{aligned} &d\Bigl(\frac{f\omega}{dt}\Bigr)dt &&\qquad f\Bigl(d\frac{\omega}{dt}\Bigr)dt+\omega\,df\\ &\Bigl(f\,d\frac{\omega}{dt}+df\cdot\frac{\omega}{dt}\Bigr)dt\\ &f\,dt\,d\frac{\omega}{dt}+df\,\omega \end{aligned} \;\right] les lignes de gauche sont reliées par des « \| » verticaux (égalités successives).

L'équation d'horizontalité pour une ~~section~~ connexion D_t+\lambda\,dt, relativement à une connexion projective c_{(D_t)}+\varpi_2, \varpi_2=\mu\,dt^2 : \text{\struck{$2\lambda'+\lambda^2$}}\qquad \boxed{2\frac{d\lambda}{dt}+\lambda^2=\mu}

Comparons les connexions projectives c_{D_t} et c_{D_s} quand ds et dt sont bases de \underline{\omega}. \text{\struck{$D_s(\omega)=ds\,d\frac{\omega}{ds}=\dots=\varpi_1\frac{dt}{dt}$}} \qquad \text{\struck{$D_t(\omega)=\omega\,d\frac{\omega}{dt}$}} \text{\struck{$D_s(\omega)-D_t(\omega)=\omega\,d\bigl(\frac{\omega}{ds}-\frac{\omega}{dt}\bigr)$}} D_s\omega=ds\,d\frac{\omega}{ds}=\frac{ds}{dt}\,dt\,d\Bigl(\frac{\omega}{dt}\,\frac{dt}{ds}\Bigr) =dt\Bigl[\frac{ds}{dt}\frac{dt}{ds}\,d\frac{\omega}{dt}+\frac{ds}{dt}\,\frac{\omega}{dt}\,d\frac{dt}{ds}\Bigr] =\underbrace{dt\,d\frac{\omega}{dt}}_{D_t(\omega)}+\text{\struck{\ill{}}}\;\frac{ds}{dt}\,d\frac{dt}{ds} D_s\omega=D_t\omega+\omega\,\frac{ds}{dt}\,\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{dt}{ds}\Bigr)\qquad\text{donc}\qquad s'\,d\frac{1}{s'}=-\frac{ds'}{s'} \text{\struck{$c_{D_s\omega}=c_{D_t\omega}+2D$}}\qquad D_s=D_t+\frac{ds\,d\frac{dt}{ds}}{dt}\quad\text{donc} c_{D_s}=c_{D_t}+2\,dt\,d\Bigl(\frac{ds\,d\frac{dt}{ds}}{dt^2}\Bigr)+\Bigl(\frac{ds\,d\frac{dt}{ds}}{dt}\Bigr)^2 la suite est p. 101 du fonds (sa p. 5).

c_{D_0+\omega_1}=c_{D_0}+2D_0(\omega_1)+\omega_1^2

N.B. \omega_1\mapsto 2D_0(\omega_1)+\omega_1^2 définit un morphisme de faisceaux (ni linéaire, ni « semi-linéaire »…) \underline{\omega}\to\underline{\omega}^{\otimes2} ; si on remplace D_0 par D_0'=D_0+\varpi_1, \varpi_1\in\Gamma(\underline{\omega}), cela équivaut à \omega_1\mapsto\omega_1-\varpi_1. la cible de \omega_1\mapsto est écrite « \omega_1\overline{\varpi} », avec un trait sur le signe ; lecture incertaine.

Considérons maintenant une section \sigma' de P sur X, donnée (en termes de D_0) par une \omega_1 rationnelle (pouvant avoir des pôles) — on se demande s'il existe une connexion projective rendant \sigma' plate — laquelle sera unique, on devra avoir c_{\omega_1} = égal 2D_0(\omega_1)+\omega_1^2. Donc une telle conn. projective existe ssi 2D_0(\omega_1)+\omega_1^2\ \text{reste régulière} aux pôles de \omega_1. Si D_0=d_t, et \omega_1=\lambda\,dt, cela signifie que 2\frac{d\lambda}{dt}+\lambda^2\ \text{reste} régulière aux pôles de \lambda — cela implique que la partie polaire de \lambda en un pôle (t=0 disons…) est donnée par \lambda=\frac{2}{t}+\text{termes d'ordre}\geqslant1 (le terme constant devant être nul !) dans \frac{2}{t}, le 2 est surchargé (sur un 1) ; au-dessus du « + », un signe biffé.

Sections horizontales de P(\underline{P}^1_{X/S}(\omega)) pour c_{D_t} — i.e. connexions D_t+\omega_1 (\omega_1=\lambda\,dt) horizontales pour c_{D_t}, i.e. telles que 2\lambda'+\lambda^2=0 Connaissant D_t \to l'uniformisation de la connexion projective canonique sur \mathbb{P}^1_S — pour l'uniformisation globale f:X\to E^1_S\subset\mathbb{P}^1_S — existe bien qu'il n'y ait pas de connexion partout définie de \Omega^1_{\mathbb{P}^1_S/S} !) en termes des solutions, ce qui revient aussi des sections horizontales de \mathbb{P}_{\mathbb{P}^1_S/S} — reste de la feuille blanc.

Une liste de descriptions équivalentes d'une même structure sur X/S ; les lettres sont cerclées par l'auteur.

(a) (P,\sigma,c) : P fibré en droites projectives sur X, c connexion sur P, rel. /S, \sigma section partout transversale au stationnaire .

(a') triples (P,\sigma,\varphi), (P,\sigma) comme dessus, \varphi iso \underline{\mathcal{O}}_{(\widehat{P},\sigma)}\simeq P^\infty_{X/S} d'Alg. augm. tel que la connexion transportée sur \mathcal{O}_{(\widehat{P},\sigma)} ~~pour~~ se globalise à P.

(b) Algèbres de Lie de type \mathfrak{sl}(2), quasi-scindée \mathcal{L}_{-1}=\Omega\subset\mathcal{L}\subset\mathcal{U}_X (\underline{\text{NB}} \mathcal{L}/\Omega\simeq\underline{\mathcal{O}}_X), \mathcal{U}\simeq\mathrm{Sym}^2(\mathcal{L})\otimes\Omega^{-1}, munie de connexion c:\mathcal{U}\to\mathcal{U}\otimes\underline{\omega} (nécessairement c(\Omega)\subset\mathcal{L}\otimes\underline{\omega}) telle que le composé \Omega\xrightarrow{c_\Omega}\mathcal{L}\otimes\omega\to\omega soit un iso. (\underline{\text{NB}} Il suffit de se donner c sur \mathcal{L} , ou \mathcal{L}\xrightarrow{c_{\mathcal{L}}}\mathrm{Sym}\,\mathcal{L}\otimes\Omega^{-1}\otimes\omega\simeq\mathrm{Sym}^2\mathcal{L} — « compatible au crochet » i.e. …).

(b') Sur l'Algèbre de Lie quasi-scindée \mathcal{U}_X \simeq\mathrm{Sym}^2(P^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1})\otimes\underline{\omega}^{-1} \simeq\mathrm{Sym}^2(P^1_{X/S}(\underline{\omega}))\otimes\underline{\omega}^{-3}, ~~une connexion~~ (avec \mathcal{L}\subset P^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1}, \Omega\simeq\underline{\omega}^2\otimes\underline{\omega}^{-1}\simeq\underline{\omega}), une connexion c d'Algèbre de Lie c:\mathcal{U}_X\to\mathcal{U}_X\otimes\underline{\omega} qui, sur \underline{\omega}, soit d^1_{X/S,\underline{\omega}}:\underline{\omega}\to P^1_{X/S}(\underline{\omega}).

(c) Posant \mathbb{P}_X=\mathbb{P}(P^1_{X/S}(\underline{\omega})), muni de \sigma_X, et dlt. ~~iso~~ canon. \underline{\mathcal{O}}_{\mathbb{P}_X}/\mathcal{J}^3\overset{\varphi_2}{\simeq}P^2_{X/S}, un iso \underline{\mathcal{O}}_{\mathbb{P}_X}/\mathcal{J}^4\overset{\varphi_3}{\simeq}P^3_{X/S} qui le prolonge.

(d) Une équa. diff. du 3^{\text{e}} ordre rel. X ~~rel. X~~ sur \mathbb{P}^1_S\times_S X\simeq\mathbb{P}^1_X (à ne pas confondre avec \mathbb{P}_X !), invariant par \mathrm{GP}(1)_X opérant sur \mathbb{P}^1_X, — équa. par rapport aux jets d'ordre 3 de sections isomorphismes X\to\mathbb{P}^1_S qui des iso les d'ordre 3 la phrase s'arrête au bas de la feuille.

(e) (Si S=\operatorname{Spec}(\mathbb{C})) X^{\mathrm{an}} compact Faisceau d'applications analytiques de X^{\mathrm{an}} dans \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), qui soit un torseur (à gauche) le faisceau envisagé sous \mathrm{GP}(1,\mathbb{C})_X, et formé d'iso. locaux analytiques.

On déduit ces structures équivalentes ~~connexions~~ différentes (à base de X/S) en termes de d) à e) en prenant les faisceaux des germes de solutions de l'équa. diff., on trouve que ce sont des solutions locales nécessairement (la forme unique bien sûr) par op. de \mathrm{GP}(1,\mathbb{C}). On passe de e) à a) en considérant le torseur à gauche correspondant (sur X^{\mathrm{an}}, du groupe \mathrm{GP}(1,\mathbb{C})=\mathrm{GP}(1)_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}}, déduit du torseur de (e), et transformant en torseur de droites par opération symplectique, et prenant le fibré projectif associé. On trouve fibré en droites projectives P^{\mathrm{an}} sur X^{\mathrm{an}} avec connexion analytique — est une classe d'équivalence des couples (f,y), f germe de section de \mathcal{U} en x, y pt de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), avec \text{\struck{$(gf,y)\simeq(f,g^{-1}y)$}}\qquad (f,y)\simeq(\gamma\circ f,\gamma(y))\ \text{pour}\ \forall\,\gamma\in\mathrm{GP}(1,\mathbb{C}). la ligne biffée et la ligne retenue diffèrent par le côté où opère le groupe. Mais dans les couples (f,\delta f(x)) (f\in\mathcal{U}_x) sont tous conjugués, d'où on trouve une section canonique de \mathbb{P}^{\mathrm{an}}_x, d'où une section de P^{\mathrm{an}} sur X^{\mathrm{an}}, d'où — un \forall de suite — qui elle est analytique et nulle part stationnaire puisque les f\in\mathcal{U}_x sont écrits locaux . P|\mathcal{U}\simeq\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\times\mathcal{U},\quad\text{la section s'identifie à} l'application f:\mathcal{U}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) au voisinage de x. On termine par GAGA.

On passe de a) à e) en utilisant la connexion c^{\mathrm{an}} de \mathbb{P}^{\mathrm{an}} sur X^{\mathrm{an}} pour identifier X^{\mathrm{an}}|\mathcal{U}, (\mathcal{U} près voisinage d'un x\in X^{\mathrm{an}}) la phrase se poursuit p. 110.

suite de la phrase de la p. 109. à un produit \mathcal{U}^{\mathrm{an}}\times\mathbb{P}^{\mathrm{an}}_x, donc s'identifie à une application \mathcal{U}^{\mathrm{an}}\to\mathbb{P}^{1\,\mathrm{an}}_X dans les composés avec les iso. \mathbb{P}^1_X\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) donnent les germes d'applications locales du faisceau \mathcal{U}.

Quelle est l'interprétation des sections horizontales locales (de P^{\mathrm{an}}) dans la description (e) ? Pour le fibré principal (torseur) \mathcal{T} sur X [donnant P^{\mathrm{an}}=\underline{\mathrm{Isom}}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})_{X^{\mathrm{an}}},P)\ ] P^{\mathrm{an}} sur X^{\mathrm{an}}, il faut prendre les sections horizontales de P^{\mathrm{an}} et les appliquer aux pts de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) pour trouver sections horizontales de P ; la section horizontale qui passe par p\in P_{x_0} s'obtient en choisissant un élément f_{x_0} de \mathcal{T}^{\mathrm{an}}_{x_0} ) d'où pt p_0 de \mathbb{P}^1(\mathbb{C})_{X^{\mathrm{an}}} [tel que f_{x_0} : \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \xrightarrow{\ \sim\ }P_x(\ni p) ], et définissant l'iso \text{pr.}\;x\mapsto\widetilde{f}_{x_0}(x),\qquad\text{où}\ \widetilde{f}_{x_0}\ \text{est la section} horizontale (de P^{\mathrm{an}}) passant par f_{x_0}. Or

P s'interprète comme \mathcal{T}/B (B\subset\mathrm{GP}(1)_{\mathbb{C}}, Borel). Les sections horizontales de P^{\mathrm{an}} sont les sections horizontales de \mathcal{T}^{\mathrm{an}} mod action de B^{\mathrm{an}} — i.e. sections de \mathcal{U}_x\subset\underline{\mathrm{Hol}}(X^{\mathrm{an}},\mathbb{P}^{1\,\mathrm{an}}), mod action de B^{\mathrm{an}}, i.e. sections de \mathcal{U}/B^{\mathrm{an}}. Interprétation du P disposant de \sigma comme fournissant une connexion D sur \underline{\omega} D:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2, (on doit prendre les connexions D telles que c_D=c_0 (la connexion projective donnée). Celles (conj. horizontales) sont les sections de \mathcal{T}/B_u, et quel est la phrase se poursuit p. 111.

suite de la phrase de la p. 110. le fibré \mathcal{T}/B_u sur P ? C'est le fibré principal associé : à \Omega^1_{P/X} (ou encore des « éléments de contact projectifs d'ordre 1 ») restreint à une section en dessus de \sigma est ~~donc~~ ~~une trivialisation de \omega~~ un couple d'un quotient inversible L de P^1_{X/S}(\underline{\omega}) (qui donne \sigma) — i.e. une de \mathcal{U}. D:\underline{\omega}\to L d'ordre 1 engendrant L, plus le dernier membre est souligné ; la ligne suivante est en partie biffée. une trivialisation \varphi de \mathcal{N}\otimes L^{-1}, où \mathcal{N}=\operatorname{Ker}(P^1_{X/S}(\underline{\omega})\to L), ~~\simeq L^{-2}\otimes\underline{\omega}^3 donc \varphi:L^2\simeq\underline{\omega}^3~~ — i.e. L est une « racine carrée de \underline{\omega}^3 » ~~ou \mathcal{N}\otimes L\simeq\det P^1_{X/S}(\underline{\omega})\simeq\underline{\omega}^3 donc D:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2 engendrant \underline{\mathcal{O}}_X~~ passage biffé, lecture partielle.

Le cas où \sigma disjoint de \Gamma cf. correspond aux couples (D,\varphi) d'une connexion sur \underline{\omega} D:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2, et d'une trivialisation \varphi de \underline{\omega}^2, \varphi\in\Gamma(\underline{\omega}). ~~Comment~~ Condition d'horizontalité ? ~~horizontale~~ autre trivialisation triviale la connexion D sur \omega i.e. D\varphi=0.

Tendance de la connexion projective c_0, quel est le faisceau \mathcal{U}\subset\underline{\mathrm{Apphol}}(X^{\mathrm{an}},\mathbb{C}^{\mathrm{an}}) ? C'est le faisceau des germes étales d'applications t:X^{\mathrm{an}}\to\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}) telles que t^*(\mathcal{P})=c_0, où c_0 est la connexion projective (et unique !) sur \mathbb{P}^1(\mathbb{C}).

\underline{\text{NB}} t^*(c)=c_{D_t}, question est donc c_{D_t}=c_0. Si \xi:X'\to\mathbb{E}^1(\mathbb{C})\subset\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), est stable, on peut considérer la connexion sur \underline{\omega} \xi^*(D) , où D est la connexion canonique sur \Omega^1_{\mathbb{P}^1(\mathbb{C})/\mathbb{C}} (la connexion D_T, où T est la coordonnée…). C'est aussi D_\xi. On peut alors, pour une connexion D:\underline{\omega}\to\underline{\omega}^2 donnée, D regarder les t telles que D=D_t. Soit t une uniformisante, telle donc D=D_t+\varpi\quad(\varpi\in\Gamma(\underline{\omega})),\ \text{et l'équation sur }s\mapsto D_s=D_t+\varpi,\ \text{on a vu que} D_s=D_t+s'\,d\frac{1}{s'}\qquad s'=\frac{ds}{dt},\qquad s'\,d\frac{1}{s'}=-\frac{ds'}{s'} Donc l'équation est -\frac{ds'}{s'}=\varpi sous s'\,d\frac{1}{s'}, l'auteur a d'abord écrit -\frac{ds'}{s'^2}, surchargé.

En coordonnée, on pose \varpi=\lambda(t)\,dt \Rightarrow \frac{s''}{s'}=-\lambda(t)\qquad\text{i.e.}\qquad(\log s')'=-\lambda(t) \text{i.e.}\quad \log s'=-\Lambda(t)+\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\qquad(\Lambda(t)\ \text{une primitive de}\ \lambda(t)) s'=\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\exp\Lambda(t)\qquad s=\mathrm{c}^{\mathrm{te}}\int\exp-\Lambda(t)\,dt+\mathrm{c}^{\mathrm{te}}. sous la première constante de s' : « \neq0 ». Les signes de \Lambda dans les deux formules ne concordent pas sur la page.

Donc les solutions existent (analytiques) et forment un torseur (sous le groupe affine de \mathrm{Aut}(\mathbb{E}^1(\mathbb{C}))=(\mathrm{Aut}\,\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}})^{\mathrm{an}} : c'est le ) transformant du torseur sous B(\mathbb{C})^{-1} d'images inverses dans \mathcal{T} des sections donnant \sigma' de P. Le torseur quotient de celui-ci par B_u^{\mathrm{an}}\simeq\mathbb{G}_a^{\mathrm{an}} est le suivant : un section au-dessus de \sigma' définie par D est fournie de l'une des 1-formes \varphi de la forme d\xi, où D_\xi=D, i.e. des \exists formes \varphi telles que \underline{D\varphi=0}, \varphi ne s'annulant pas. dans D\varphi=0, le 0 est écrit sur un \varphi biffé.

dans la marge gauche, en face des deux lignes suivantes : « analytique » et « \mathrm{NB} » Sections \simeq\mathcal{T}/B, ~~analytiques~~ de P horizontales disjointes de \sigma : connexions sur \underline{\omega} telles que c_D=c_0 \simeq régulières de \mathcal{T}/B_u horizontales, ou encore

dans la marge gauche, le long de l'accolade : « analytique — transcendante » Sections analytiques de sections \sigma' disjointes de \sigma : couples (D,\varphi), D connexion analyt. sur \underline{\omega} telle que c_D=c_0, \varphi\in\Gamma^{\mathrm{an}}(\underline{\omega}) telle que D\varphi=0 telle que \varphi s'annule pas.

Sections analytiques de \mathcal{T} horizontales : uniformisantes ~~t telles que~~ \xi:X\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}} telles que s^*(\mathcal{C})=c_0, i.e. c_{D_t}=c_0. t\longmapsto(D_t,dt)\longmapsto D_t\qquad\text{les applications canoniques} \text{correspondent :}\qquad \mathcal{T}\to\mathcal{T}/B_u\to\mathcal{T}/B

feuille double écrite en deux colonnes ; la colonne de gauche est transcrite d'abord. Équations explicites, en termes d'un paramètre local t:X\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}} de sorte que c_0=c_{D_t}+\varpi_2\qquad\varpi_2\in\Gamma(\underline{\omega}^2),\quad\varpi_2=\mu(t)\,dt^2

a) Sections horizontales \sigma' de P=\mathcal{T}/B disjointes de \sigma, correspondant aux conn. D sur \underline{\omega} telles que c_D=c_0, i.e. (posant D=D_t+\omega) aux 1-formes \omega telles que c_{D_t+\omega}=c_0 i.e. (puisque c_{D_t+\omega}=c_{D_t}+2D_t\omega+\omega^2, c_0=c_{D_t}+\varpi_2) 2D_t\omega+\omega^2=\varpi_2 ou encore, posant \omega=\lambda(t)\,dt (1)\qquad\boxed{2\lambda'(t)+\lambda(t)^2=\mu(t)}\qquad\Bigl(\text{où }\lambda'=\frac{d}{dt}\lambda\Bigr)

b) Sections horizontales de \mathcal{T}/B_u, au-dessus d'une section \sigma' de \mathcal{T}/B disjointe de \sigma. Couples (D,\varphi), avec D comme dessus, \varphi\in\Gamma(\underline{\omega})^*, D\varphi=0. Posant \varphi=\alpha(t)\,dt, on a D\varphi=D_t\varphi+\omega\varphi=(\alpha'(t)+\alpha(t)\lambda(t))\,dt^2 donc (2)\qquad\boxed{\alpha'(t)+\alpha(t)\lambda(t)=0}\qquad\Bigl(\text{où }\alpha'=\frac{d\alpha}{dt}\Bigr)\qquad\text{i.e.}\quad\frac{\alpha'}{\alpha}=-\lambda \text{i.e.}\quad\frac{\alpha'(t)}{\alpha(t)}=-\lambda(t),\quad\text{ou}\quad\log\alpha(t)=-\int\lambda(t)\,dt, \text{ou}\quad\alpha(t)=c\exp-\int\lambda(t)\,dt\qquad c\ \mathrm{c}^{\mathrm{te}}\neq0

d) Sections horizontales de \mathcal{T}, correspondant à une section \sigma' de \mathcal{T}/B disjointe de \sigma : \xi:X^{\mathrm{an}}\to\mathbb{E}^1(\mathbb{C}) telle que c_{D_\xi}=c_0, i.e. c_{D_t}\;\text{\struck{$-\frac{ds'}{s'}\,dt$}}=c_{D_t}+\varpi_2 i.e. (déjà) 2D_t\Bigl(-\frac{ds'}{s'}\Bigr)+\Bigl(-\frac{ds'}{s'}\Bigr)^2=\varpi_2\qquad\Bigl(s'=\frac{ds}{dt}\Bigr) qui s'explicite aussi en (4) : -\dfrac{ds'}{s'}=-\dfrac{s''}{s'}=\lambda(t)\,dt. le passage d) est encadré d'un trait ; devant -\frac{ds'}{s'}, un premier essai biffé.

c) Sections horizontales de \mathcal{T}/B_u au-dessus de \sigma' définie par D (=D_t+\omega=D_t+\lambda(t)\,dt, où \lambda(t) solution de (1) i.e. \omega solution de \alpha) : les s:X^{\mathrm{an}}\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}}=\mathbb{C} telles que D_s=D, i.e. (posant s=s(t)) avec \frac{ds'}{s'}=-\omega (s'=\frac{ds}{dt}) (3)\qquad\frac{s''}{s'}=-\lambda(t)\qquad s'=\frac{ds}{dt},\quad s''=\frac{ds'}{dt} Pour passer de b') à b) : poser \varphi=ds=s'\,dt, i.e. \boxed{\alpha=s'}. les lettres a) à e) ne suivent pas exactement l'ordre de la p. 112 ; la colonne de gauche les donne dans l'ordre a), b), d), c).

2\Bigl(-\frac{s''}{s'}\Bigr)'+\Bigl(-\frac{s''}{s'}\Bigr)^2=\mu(t) \text{i.e.}\quad -2\,\frac{s'''s'-s''^2}{s'^2}+\frac{s''^2}{s'^2}=\mu \frac{3s''^2-2s's'''}{s'^2}=-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2 (4)\qquad\boxed{G_t(s)\overset{\mathrm{dfn}}{=}-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2=\mu(t)} au-dessus de l'encadré, un essai biffé : « s''=-2s'\mu(t) », lecture incertaine. où s'=\frac{ds}{dt}, s''=\frac{ds'}{dt}, s'''=\frac{ds''}{dt}.

Pour passer de d) à c) : s\longmapsto(ds,\ \lambda=-\frac{s''}{s'})

de d) à b) : s\longmapsto(\alpha=s',\ \lambda=-\frac{s''}{s'})

de d) à a) : s\longmapsto\lambda=-\frac{s''}{s'}

\underline{\text{NB}} La propriété essentielle de l'expression différentielle G_t(s)=-2\frac{s'''}{s'}+3\bigl(\frac{s''}{s'}\bigr)^2 ~~(=(D_s-D_t)/dt^2~~ (=(c_{D_s}-c_{D_t})/dt^2) est son invariance par le groupe homographique : si \text{\struck{$\overline{s}=as$}}\qquad\overline{s}=\frac{as+b}{cs+d}\qquad a,b,c,d\ \text{constantes}, alors G_t(\overline{s})=G_t(s) … De plus, si \tau est une autre uniformisante, on a G_\tau(s)=G_t(s)\,\tau'^2 le facteur \tau'^2 suit un signe surchargé illisible ; la formule n'est pas corrigée ici.

\underline{\text{Th}} Soit X courbe alg. complète sur \mathbb{C}, t une uniformisante sur un ouvert \mathcal{U} de X, i.e. morphisme étale t:\mathcal{U}\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}}. Il existe alors une unique section \mu de \underline{\omega}_{\mathcal{U}} ayant la propriété suivante : Considérons l'équation différentielle sur \mathcal{U}^{\mathrm{an}}, en la fonction analytique inconnue s:\mathcal{U}\to\mathbb{E}^1_{\mathbb{C}} G_t(s)\overset{\mathrm{dfn}}{=}-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2=\mu(t) Alors les solutions de cette équation, sur tout la phrase se poursuit p. 114.

suite de l'énoncé de la p. 113. ouvert V de \mathcal{U}^{\mathrm{an}}, sont des restrictions, à V, de fonctions uniformisantes sur X^{\mathrm{an}} (et cor. exactement toutes les fonctions uniformisantes ).

Corollaire Si X est complète, le seul \mathcal{D}(\mu) tel que \mu(t) est restriction d'une section analytique de \underline{\omega}_{\mathcal{U}}. Est-elle algébrique ? Premier cas douteux : X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}- trois pts, où X = courbe elliptique moins un point.

Autre question Quand X (supposée complète disons), varie avec un paramètre algébrique parcourant une variété algébrique S, int. X\to S, est-ce donc \mu des fonctions analytiques sur de X, algébriques sur les fibres. Sont-elles algébriques ? Ou bien (si non), est-elle une signification transcendante algébrique, indépendante de la top. des corps S ou \mathcal{C} — dans laquelle un plus fin que S est une relation de celle ?).

mise au net, d'une écriture soignée, de la théorie de la dérivée schwarzienne. Soit \mathcal{X} une « courbe analytique » i.e. espace analytique régulier partout de dim. 1. Soit t:\mathcal{X}\to\mathbb{C} une « uniformisante » i.e. une application analytique étale de X dans \mathbb{C}=\mathbb{E}^1(\mathbb{C}), i.e. une section t de \underline{\mathcal{O}}_X telle que dt\in\Gamma(X,\underline{\Omega}^1_{X/\mathbb{C}}) soit partout \neq0 (i.e. soit une base de \underline{\Omega}^1_{X/\mathbb{C}}). Soit s\in\Gamma(\mathcal{X},\underline{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}) — une autre uniformisante, et posons G(t,s)=\Bigl(-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\Bigr)dt^2\in\Gamma(\mathcal{X},\underline{\omega}^{\otimes2}) où s'=\frac{ds}{dt}, s''=\frac{ds'}{dt}, s'''=\frac{ds''}{dt}. On vérifie facilement, si a\in\mathbb{C}^*, b\in\mathbb{C} ~~que si a,b sont des constantes, a\neq0 et~~ (1)\qquad \left\{ \begin{aligned} &G(t,s+b)=G(t,s) &&\text{a)}\\ &G(t,as)=G(t,s) &&\text{b)}\\ &G\bigl(t,\tfrac1s\bigr)=G(t,s) &&\text{c)} \end{aligned} \right. où, dans la dernière équation, on suppose que \frac1s est aussi uniformisant, i.e. s ne prend pas de zéros sur \mathcal{X}. On vérifie de plus que, si t,s,r sont trois uniformisantes, (2)\qquad G(t,s)+G(s,r)=G(t,r) Enfin, (3) la formation de G(t,s) commute à la restriction à un ouvert. En

De (1) et (3), résulte qu'on peut prolonger l'expression G(t,s) au cas où s, au lieu d'être une « uniformisante » i.e. une application étale \mathcal{X}\to\mathbb{E}^1(\mathbb{C}), est une application étale \mathcal{X}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) i.e. une fonction méromorphe n'ayant que des pôles simples, et uniformisante en dehors de ceux-ci — (dans ce cas, on vérifie que dans voisinage des s où s a un pôle G(t,s)=G(t,\frac1s)), et dans (1) reste vraie avec s méromorphe reste valable, et (plus généralement) G\Bigl(t,\frac{as+b}{cs+d}\Bigr)=G(t,s)\qquad a,b,c,d\in\mathbb{C},\quad ad-bc\in\mathbb{C}^*

D'autre part, faisant t=r dans (2), on trouve G(t,t)=0\qquad(t\ \text{uniformisante}) et faisant r=t, on trouve G(t,s)+G(s,t)=0,\quad\text{i.e.}\quad G(t,s)=-G(s,t)\qquad(s,t\ \text{uniformisantes}) ~~Donc on peut prolonger l'expression G(t,s), définie au cas où t:\mathcal{X}\to\mathbb{E}^1(\mathbb{C}), s:\mathcal{X}\to\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}), au cas aussi où des pôles,~~ passage encadré et biffé ; dans la marge gauche, en oblique, une phrase biffée elle aussi : « au cas où t c'est \mathcal{X}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) ». d'où (1\,\text{bis})\qquad \left\{ \begin{aligned} &G(at,s)=G(t,s)\\ &G(t+b,s)=G(t,s)\\ &G\bigl(\tfrac1t,s\bigr)=G(t,s)\qquad\bigl(t,\tfrac1t\ \text{unif}^{\text{tes}}\bigr) \end{aligned} \right. ce qui permet de faire la généralisation pour les t, comme pour les s, d'où finalement s,t:\mathcal{X}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\qquad\text{morphismes étales} (4)\qquad \left\{ \begin{aligned} &G\Bigl(\frac{at+b}{ct+d},s\Bigr)=G(t,s)\qquad a,b,c,d\in\mathbb{C}\ \text{avec}\ ad-bc\in\mathbb{C}^*\\ &\text{de plus,}\quad G\Bigl(t,\frac{as+b}{cs+d}\Bigr)=G(t,s)\qquad\text{id.} \end{aligned} \right.

~~De plus, on a~~ Soit \mathcal{P}_X le faisceau des morphismes analytiques étales \mathcal{X}\to\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), sur lequel opère le groupe H=\mathrm{Aut}_{\mathbb{C}}\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\simeq\mathrm{GP}(1,\mathbb{C})=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\Bigm|ad-bc\in\mathbb{C}^*\Bigr\} (mod. matrices diagonales). On a donc trouvé un morphisme de faisceaux \underline{G}:\mathcal{P}_X\times\mathcal{P}_X\to\underline{\omega}_X^{\otimes2} satisfaisant les deux conditions :

I)G invariant par H\times H i.e. G(g\cdot t,g'\cdot s)=G(t,s)\quad\text{si }g,g'\in H II)G(t,s)+G(s,r)=G(t,r)

En particulier G(t,t)=0, G(t,s)=-G(s,t).

En fait, le théorème des équations différentielles (donne, pour t fixé), donne aisément une réciproque : I), savoir la phrase se poursuit p. 117.

suite de la phrase de la p. 116.

I')

a) si s,t\in\Gamma(\mathcal{U},\mathcal{P}_X), \mathcal{U} connexe et G(t,s)=0, alors \exists g\in H tel que t=g\cdot s.

b) Pour t fixé, le morphisme s\longmapsto G(t,s)\qquad\mathcal{P}_X\to\underline{\omega}_X^{\otimes2} (qui induit un homom. injectif ~~\mathcal{P}_X/H~~ H\backslash\mathcal{P}_X\hookrightarrow\underline{\omega}_X^{\otimes2} d'après a)) est surjectif (i.e. H\backslash\mathcal{P}_{\mathcal{X}}\xrightarrow{\ \sim\ }\underline{\omega}_X^{\otimes2}\qquad s\longmapsto G(t,s)=\Bigl(-2\,\frac{s'''}{s'}+3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\Bigr)dt^2\ \bigr)

D'autre part, grâce à II, on peut donner une forme plus simple et intrinsèque à l'expression G(t,s).

Proposition (presque formelle à partir de (II)) On peut, de façon unique : trouver un torseur \mathrm{Conn}_{\mathcal{X}} sous \underline{\omega}_{\mathcal{X}}^{\otimes2}, et un morphisme de faisceaux t\longmapsto c_t:\ \mathcal{P}_X\xrightarrow{\ c^X\ }\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}} tels que l'on ait, pour s,t\in\Gamma(\mathcal{U},\mathcal{P}_X) \boxed{G(t,s)=c_s-c_t}

Le faisceau \mathrm{Conn}_{\mathcal{X}} est appelé le faisceau des connexions projectives (analytiques complexes) sur \mathcal{X}. Une section de ce dernier est appelée connexion projective (analytique) de \mathcal{X}. Le morphisme c^X est invariant par H et définit un iso. canon. : c^X:H\backslash\mathcal{P}_{\mathcal{X}}\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}} une flèche relie « \mathcal{P}_X » au mot « une uniformisante étale ». Une uniformisante étale f:\mathcal{X}'\to\mathcal{X} définit des iso \mathcal{P}_{\mathcal{X}'}\simeq f^{-1}(\mathcal{P}_{\mathcal{X}})\qquad\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}'}\simeq f^{-1}(\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}) et on trouve un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} \mathcal{P}_{\mathcal{X}'} \arrow[r, "c^{\mathcal{X}'}"] \arrow[d, "\wr"'] & \mathrm{Conn}_{\mathcal{X}'} \arrow[d, "\wr"] \\ f^{-1}(\mathcal{P}_{\mathcal{X}}) \arrow[r, "c^{\mathcal{X}}"'] & f^{-1}(\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}) \end{tikzcd}

sur la flèche du haut, un premier label biffé.

Notons que si \mathcal{X}_0=\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) ~~il y a le~~ faisceau H\backslash\mathcal{P}_{\mathcal{X}_0} est le faisceau final ; ~~et que~~ il y a une conn. projective can. \mathcal{C} sur \mathcal{X}_0, savoir c_t pour t=\mathrm{id}_{\mathcal{X}_0} ! C'est la seule conn. projective sur \mathcal{X}_0, car H^0(\mathcal{X}_0,\underline{\omega}^{\otimes2}_{\mathcal{X}_0})=0 (\underline{\omega} est de degré -2, donc \underline{\omega}^{\otimes2} de degré -4 !).

Revenant au cas d'une \mathcal{X} générale, on voit donc que c_t=t^*(\mathcal{C})=\text{image inverse par }t\text{ de la conn.\ projective can.\ }\mathcal{C} (et unique conn. proj.) sur \mathbb{P}^1(\mathbb{C}).

Extension à la géom. alg. Soit maintenant X schéma formel. Lisse ou plus de dimension relative 1 sur un schéma S. Si ~~t,s~~ t,s:X\to\mathbb{E}^1_S étales sont étales, on définit comme plus haut G(t,s)\in\Gamma(X,(\underline{\Omega}^1_{X/S})^{\otimes2}) \simeq\underline{\omega}^{\otimes2}, et on vérifie bien vite (1) et (2) pour s= que dans le cas analytique, — qui permet d'étendre G(t,s) au cas de (uniformisantes étales) t,s:X\to\mathbb{P}^1_S , de façon à satisfaire encore ~~t,s:X\to~~ \text{(\uncertain{groupe} }H_S=\underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathbb{P}^1_S)) G(gt,g's)=G(t,s)\qquad(g,g'\in\Gamma(S,H)) et : définissant ainsi, si \mathcal{P}_{X/S} est le faisceau (étale) des uniformisantes étales X\to\mathbb{P}^1_S, ~~des~~ G:\mathcal{P}_{X/S}\times\mathcal{P}_{X/S}\to\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S} dans la marge gauche, en oblique : « en car. nulle ou \geqslant3, i.e. que P^3_{X/S}(\underline{\omega}) S \geqslant3 »

invariante sous l'action de f^{-1}(H_S) i.e. telle que G(g\cdot s,g'\cdot t)=G(s,t)\quad\text{si}\quad \left\{ \begin{aligned} &s,t\in\Gamma(\mathcal{U},\mathcal{P}_X)\\ &g,g'\in\Gamma(V,H_V) \end{aligned} \right. où

\begin{tikzcd} U \arrow[r, "\text{ét}"] \arrow[d] & X \arrow[d, "f"] \\ V \arrow[r, "\text{ét}"'] & S \end{tikzcd}

le carré est marqué commutatif par une flèche courbe entre les deux verticales. et satisfaisant G(s,t)+G(t,r)=G(s,r).

Cela permet donc de définir le faisceau (étale) \mathrm{Conn}_{X/S} des connexions projectives sur X rel. à S, qui est un torseur sous \underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}, et d'interpréter G(t,s), à l'aide d'une uniformisante canonique c^X:\mathcal{P}_{X/S}\to\mathrm{Conn}_{X/S} par G(t,s)=c^X(s)-c^X(t)

Enfin, par construction, la formation de \mathcal{P}_{X/S}, \mathrm{Conn}_{X/S} et c^X commute à la loc. étale. Cela permet d'interpréter comme c^X(t)=t^*(\mathcal{C}) où \mathcal{C} est l'unique connexion sur \mathbb{P}^1_S.

Plus généralement, pour \mathcal{X}_0 un fibré en droites projectives \mathcal{X}_0 sur S, il y a une unique conn. proj. c_{\mathcal{X}_0} sur \mathcal{X}_0, et si t,s:X\to\mathcal{X}_0 sont étales, on peut définir G(t,s)=c(s)-c(t)=s^*(c_{\mathcal{X}_0})-t^*(c_{\mathcal{X}_0}) satisfaisant aux conditions analogues : celles du cas \mathcal{X}_0=\mathbb{P}^1_S, que le lecteur (sic) écrira… une flèche relie la formule G(t,s)=\dots à « conditions analogues ».

feuille double écrite en deux colonnes ; la colonne de gauche est transcrite d'abord. Si S est de car. 0, alors si X est (lisse/S ?) à fibres géom. connexes non vides, on peut montrer que pour s,t:X\to\mathcal{X}_0 (fibré en droites projectives sur S) étales, tels que G(t,s)=0 i.e. t^*(c_{\mathcal{X}_0})=s^*(c_{\mathcal{X}_0}), il existe g\in\mathrm{Aut}(\mathcal{X}_0)\quad\text{tel que}\quad s=g\circ t dans la marge gauche, contre ces lignes, barré d'un trait oblique : « unicité ! » Donc, pour t fixé, s variable, le morphisme f^{-1}(H_S)\backslash\mathcal{P}_X\to\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}\qquad s\longmapsto G(t,s) est injectif, ou encore (indépendamment) le morphisme {}_H\backslash\mathcal{P}_X\xrightarrow{\ c^X\ }\mathrm{Conn}_{X/S} défini par passage au quotient par c^X, est injectif. Mais bien sûr ces deux morphismes ne sont plus ~~bijectifs~~ surjectifs. Une conn. proj. qui est ~~contenue dans~~ dans l'image de {}_H\backslash\mathcal{P}_X est dite « intégrable par fonctions algébriques ».

Si S est de car. p>0, alors l'injectivité n'est plus valable non plus. Introduisons X^{(p/S)} et X\xrightarrow{\ F_X\ }X^{(p/S)}\qquad(\text{Frobenius}) les deux schémas sont reliés à S par deux traits obliques, formant un triangle. On trouve que le groupe des H(X^{(p/S)}), qui est égal ~~de façon évidente~~, sur \mathcal{P}_X, \Gamma(X,\mathcal{P}_X)=\mathrm{Et}_S(X,\mathbb{P}^1_S), laisse invariant l'expression G(t,s), et le mieux qu'on puisse espérer, c'est d'avoir F_X^{-1}(H_{X^{(p/S)}})\backslash\mathcal{P}_X\hookrightarrow\mathrm{Conn}_{X/S} dans la marge gauche, en oblique : « si 2 et 3 inversibles, ! cf. plus bas »

Introduisons (pour s,t uniformisantes) l'expression D^{(n)}_tf=\frac{1}{n!}\,\frac{d^nf}{dt^n} (qui a un sens sans restriction de car. nulle…, dès que X/S est diff. lisse de rel. dim. 1) on trouve alors (pour toutes uniformisantes) G(t,s)=12\Bigl(-\frac{D^{(3)}_ts}{D^{(1)}_ts}+\Bigl(\frac{D^{(2)}_ts}{D^{(1)}_ts}\Bigr)^2\Bigr)=12\,G_0(t,s) où G_0(t,s)=-\frac{D^{(3)}_ts}{D^{(1)}_ts}+\Bigl(\frac{D^{(2)}_ts}{D^{(1)}_ts}\Bigr)^2 Cela montre que si 12\cdot1_S ~~\neq0~~, dans toutes les conn. projectives de la forme c_t sont égales, donc il y a une conn. proj. canonique sur X rel. S, à laquelle on peut infirmer toutes les autres. Cela montre aussi (sans restriction de car. telle 12\cdot1_S=0 !) que le torseur \mathrm{Conn}_{X/S} est déduit moyennant le changement de groupe déf. \underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}\xrightarrow{\ 12\,\mathrm{id}\ }\underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}, d'un torseur plus fin \mathrm{Conn}_{0,X/S}, sous \underline{\omega}^{\otimes2}_{X/S}, avec un morphisme \mathcal{P}_{X/S}\xrightarrow{\ c^X_0\ }\mathrm{Conn}_{0,X/S} tel que c^X_0(s)-c^X_0(t)=G_0(t,s) Bien entendu, les assertions plus haut sur l'expression G(t,s) et les constructions la phrase se poursuit au-delà du lot.