Cote n° 93 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

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81feuille de calculs, en deux parties séparées par un trait horizontal ; la première est un schéma de flèches entre faisceaux quotients de \(\mathcal{E}_X\), la seconde une liste d'« écarts » suivie d'une seconde version du même schéma. Les flèches courbes verticales du schéma sont décrites plutôt que redessinées.

« écart additif » \[A_1(f,g) = dg/df = \frac{g'}{f'}, \qquad A_n(f,g) = \Bigl(\frac{dg}{df}\Bigr)^n = \Bigl(\frac{g'}{f'}\Bigr)^n\]

« écart affine » \[A_{\mathrm{af}}(f,g) = D_{dg} - D_{df} = \frac{d\,\frac{dg}{df}}{dg/df} = \frac{d\,\frac{g'}{f'}}{g'/f'} = \frac{dg'}{g'} - \frac{df'}{f'} = \Bigl(\frac{g''}{g'} - \frac{f''}{f'}\Bigr)dt, \qquad c_{\mathrm{af}}(f) = D_{df}\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{E}_X \arrow[r] \arrow[d, "\exp"'] & \mathcal{E}_X/\mathbb{G}_a(\mathbb{C}) \overset{\sim}{\rightarrow} \underline{\omega}^{1*}_X \arrow[r, "\varphi\mapsto\varphi^n"] & \mathcal{E}_X/(\mu_n\cdot\mathbb{G}_a)(\mathbb{C}) \overset{\sim}{\rightarrow} \underline{\omega}^{n}_X \arrow[r, "{\psi\mapsto -\frac{1}{n}\frac{d\psi}{\psi}}"] & \mathcal{E}_X/(\mathbb{G}_m\cdot\mathbb{G}_a)(\mathbb{C}) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathrm{Conn}(\underline{\omega}^1_X) \arrow[d, "D\mapsto c_D"] \\
\mathcal{E}^*_X \arrow[r] & \mathcal{E}^*_X/\mathbb{G}_m(\mathbb{C}) \overset{\sim}{\rightarrow} \underline{\omega}^{1*}_X \arrow[r, "\varphi\mapsto\varphi^2"] & \mathcal{E}^*_X/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cdot\mathbb{G}_m)(\mathbb{C}) \simeq \underline{\omega}^{2*}_X & \mathcal{E}_X/\mathrm{GP}(1,\mathbb{C}) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathrm{Connproj}(X)
\end{tikzcd}

sous chaque quotient il écrit le groupe qui opère : \(\underline{\omega}^{1*}_X\) et \(\underline{\omega}^{n}_X\) « torseur sous \(\underline{O}^*_X\) » (\(n\neq 0\)), \(\mathrm{Conn}(\underline{\omega}^1_X)\) « torseur sous \(\underline{\omega}^1_X\) », \(\mathrm{Connproj}(X)\) « (\(\underline{\omega}^2_X\) torseur sous) », \(\underline{\omega}^{1*}_X\) (ligne du bas) « torseur sous \(\underline{O}^*_X\) », \(\underline{\omega}^{2*}_X\) « torseur sous \(\underline{O}^{*}_X\) ». Les applications de classe sont notées sur les flèches : \(c_a(f) = df\), \(c_{a,n}(f) = (df)^n\), \(c_m(f) = \frac{df}{f}\), \(c_{\mathrm{pr}}(f) = c_{D_{df}}\). Deux flèches courbes, marquées « 2 » et « id », descendent de \(\underline{\omega}^{1*}_X\) (ligne du haut) vers la ligne du bas. Le groupe \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) est une lecture probable d'un tracé qui ressemble à « \(\mathbb{Z}.n\mathbb{Z}\) » ; la lettre de \(\mathcal{E}_X/\mathrm{GP}(1,\mathbb{C})\) est d'un tracé différent des autres \(\mathcal{E}\).

Dans un cadre : \[c_{D+\omega_1} = c_D + 2D\omega_1 + \omega_1^2 .\]

\[\exp(\pm f + b) = \exp b\,(\exp f)^{\pm 1}\] le signe devant \(f\) est une lecture probable.

\[\begin{aligned} \text{Écad}(f,g) &= \frac{dg}{df} = \frac{g'}{f'} \in \Gamma\,\underline{O}^*_X\\ \text{Écaf}_n(f,g) &= \Bigl(\frac{dg}{df}\Bigr)^n = \Bigl(\frac{g'}{f'}\Bigr)^n \in \Gamma(\underline{O}^*_X)\\ \text{Écaf}(f,g) &= \frac{d(dg/df)}{dg/df} = \frac{d(g'/f')}{g'/f'} = \frac{dg'}{g'} - \frac{df'}{f'}\\ &= \Bigl(\frac{g''}{g'} - \frac{f''}{f'}\Bigr)dt \in \Gamma(\underline{\omega}^1_X)\\ \text{Écmu}(f,g) &= \frac{dg/g}{df/f} = \frac{g'/g}{f'/f} \in \Gamma(\underline{O}^*_X)\\ \text{Écmu}_2(f,g) &= \Bigl(\frac{dg/g}{df/f}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{g'/g}{f'/f}\Bigr)^2 \in \Gamma(\underline{O}^*_X)\\ \text{Écpr}(f,g) &= -2\,\frac{d^3g/df^3}{dg/df} + 3\Bigl(\frac{d^2g/df^2}{dg/df}\Bigr)^2\\ &= \Bigl[\Bigl(-2\frac{g'''}{g'} + 3\Bigl(\frac{g''}{g'}\Bigr)^2\Bigr) - \Bigl(-2\frac{f'''}{f'} + 3\Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^2\Bigr)\Bigr]dt^2\\ &\in \Gamma(\underline{\omega}^2_X) \end{aligned}\]

Seconde version du schéma :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{E}_X \arrow[r, "d"] \arrow[d, "\exp"'] & {[\mathcal{E}_X/\mathbb{G}_a(\mathbb{C}) \overset{\sim}{\rightarrow} \underline{\omega}^{1*}_X]} \arrow[r, "\alpha_n"] & {[\mathcal{E}_X/(\mu_n\cdot\mathbb{G}_a)(\mathbb{C}) \overset{\sim}{\rightarrow} \underline{\omega}^{n*}_X]} \arrow[r, "\beta_n"] & {[\mathcal{E}_X/(\mathbb{G}_m\cdot\mathbb{G}_a)(\mathbb{C}) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathrm{Conn}(\underline{\omega}^1_X)]} \arrow[d, "\gamma"] \\
\mathcal{E}^*_X \arrow[r] & {[\mathcal{E}^*_X/\mathbb{G}_m(\mathbb{C}) \simeq \underline{\omega}^{1*}_X]} \arrow[r, "\alpha'_2"] & {[\mathcal{E}^*_X/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cdot\mathbb{G}_m)(\mathbb{C}) \simeq \underline{\omega}^{2*}_X]} & {[\mathcal{O}_X/\mathrm{GP}(1)(\mathbb{C}) \simeq \mathrm{Conn}(X)]}
\end{tikzcd}

sous la ligne du haut, les groupes opérants et leurs flèches : \(\underline{O}^*_X \xrightarrow{\varphi\mapsto\varphi^n} \underline{O}^*_X \xrightarrow{\psi\mapsto -\frac{1}{n}\frac{d\psi}{\psi}} \underline{\omega}^1_X\) ; sous la ligne du bas, \(\underline{O}^*_X \xrightarrow{\varphi\mapsto\varphi^2} \underline{O}^*_X \to \underline{\omega}^2_X\). Des flèches verticales « id », « 2 », « id (\(n=2\)) » relient les deux étages, et une longue flèche courbe \(\delta\) part de la ligne du bas vers \(\underline{\omega}^2_X\). Le terme \([\mathcal{O}_X/\mathrm{GP}(1)(\mathbb{C}) \simeq \mathrm{Conn}(X)]\) est une lecture douteuse.

\[\begin{aligned} \alpha_n(\omega_1) &= \omega_1^n\\ \beta_n(\underset{\substack{\|\\ f\,dt^n}}{\omega_n}) &= \beta_1(\omega_n^{1/n}) = \beta_1(f^{1/n}\,dt) = D_{dt} + \frac{1}{n}\frac{df}{f} = D_{dt} + \frac{1}{n}\frac{f'}{f}\,dt\\ \gamma(D_{dt} + \underset{\substack{\|\\ f\,dt}}{\omega_1}) &= \underset{\substack{\|\\ c_{\mathrm{pr}}(t)}}{\gamma(D_{dt})} + 2D_{dt}(\omega_1) + \omega_1^2\\ &= c_{\mathrm{pr}}(t) + 2\frac{df}{dt}\,dt + f^2\,dt^2 = c_{\mathrm{pr}}(t) + (2f' + f^2)\,dt^2\\ \gamma\beta_n(\omega_n) &= c_{\mathrm{pr}}(t) + \Bigl(2\Bigl(\frac{1}{n}\frac{f'}{f}\Bigr)' + \Bigl(\frac{1}{n}\frac{f'}{f}\Bigr)^2\Bigr)dt^2\\ &= c_{\mathrm{pr}}(t) + \frac{1}{n^2}\Bigl(-2n\frac{f''}{f}\ \ldots\ \Bigl(\frac{f'}{f}\Bigr)^2\Bigr)dt^2\\ &= c_{\mathrm{pr}}(t) + \Bigl(-2\frac{f''}{f} + 3\Bigl(\frac{f'}{f}\Bigr)^2\Bigr)dt^2\\ \gamma\beta_1\,d(f) &= c_{\mathrm{pr}}(t) + \Bigl(-2\frac{f'''}{f'} + 3\Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^2\Bigr)dt^2 \end{aligned}\] la deuxième ligne de \(\gamma\beta_n(\omega_n)\) est surchargée (un coefficient du type « \(2n+1\) » est écrit par-dessus) et n'est lue qu'en partie : […]. Une ligne « \(\gamma\beta_1(\omega_1)\) » est commencée puis laissée, et un terme […] est biffé dans la dernière ligne.

Encadré à droite : \[\begin{aligned} \delta(\omega_2) &= \gamma\beta_2(\omega_2) + \omega_2\\ &= c_{\mathrm{pr}}(t) + \Bigl[\ldots\frac{f''}{f} + \frac{5}{4}\Bigl(\frac{f'}{f}\Bigr)^2\Bigr]dt^2\\ \delta\alpha'_2(\omega_1) &= \gamma\beta_1(\omega_1) + \omega_1^2\\ &= c_{\mathrm{pr}}(t) + \Bigl[f^2 - 2\frac{f''}{f} + 3\Bigl(\frac{f'}{f}\Bigr)^2\Bigr]dt^2 \end{aligned}\] encadré très surchargé : le premier coefficient de \(\delta(\omega_2)\) est […], le \(\frac{5}{4}\) est douteux, et la dernière ligne n'est lue que approximativement.

82feuille isolée, sur les invariants de Postnikov ; elle ne se rattache pas visiblement aux calculs qui l'entourent.

\(\uncertain{X} = \Omega Y\)

\[\begin{aligned} &k_1 \in H^3(\pi_1(X), \pi_2(X)) \overset{?}{=} 0\\ &\qquad\uparrow \qquad\qquad \uparrow\\ \exists\ &k_1' \in H^4(K(\pi_1(X),2), \pi_2(X))\\ &\qquad\qquad \uparrow\\ &k_1'' \quad H^5(K(\pi_1(X),3), \pi_2(X))\\ &\qquad\qquad \simeq\\ &\qquad H^{5+i}(K(\pi_1(X),3+i), \pi_2(X)) \end{aligned}\]

\(S^1\wedge\) \(K(\pi_1(X),1) \longrightarrow K(\pi_1(X),2)\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Y' \arrow[d] & \\
K(\pi_1(X),2) \arrow[r, "k_1'"] & K(\pi_2(X),4)
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X = \Omega Y \arrow[d] & \\
K(\pi_1(X),1) \arrow[r, "k_1"] & K(\pi_2(X),3)
\end{tikzcd}

83donc \[\Bigl(\frac{df}{f}\Bigr)^2 = \frac{(df)^2}{f^2} = \Bigl(\frac{f'}{f}\Bigr)^2 dt^2\] On a a) b) c) d) e) … On prend donc \[E(f,g) = \Bigl(\frac{dg}{g}\Bigr)^2 \Big/ \Bigl(\frac{df}{f}\Bigr)^2 = \frac{\bigl(\frac{dg}{df}\bigr)^2}{(g/f)^2}\]

\(\mathcal{E}_X/\mathbb{G}_a(\mathbb{C})\)

85§ Schémas.

1.1. Données équivalentes

• a)fibré en droites projectives \(P\) sur \(X\) (fibré de Br.-Sev. de rang 1) \(f : P \to X\)
• b)« […] Module loc. libre ⌜de rang 2 \(E\)⌝ mod. tensorisation par un module inversible » sur \(X\)
• c)Algèbre d'Azumaya ⌜\(M\)⌝ de rang 4
• d)Algèbre de Lie \(\mathfrak{g}\) forme ⌜(tordue)⌝ de \(\mathfrak{gp}(1)_X\)
• d')… \(\mathfrak{g}'\) … \(\mathfrak{sl}(1)_X\)
• e)forme \(G\) de \(\mathrm{GP}(1)_X\)
• e')… \(G'\) de \(\mathrm{SL}(2)_X\)

en regard de d) et d') : si 2 inv. sur \(X\) les traits horizontaux de d') et e') sont ses « idem » ; l'indice de \(\mathfrak{sl}(1)_X\) et de \(\mathrm{SL}(2)_X\) est incertain (« 1 » et « 2 » se confondent ici).

Si on a \(P\), on en déduit \[E = f_*(L),\] \(L\) module inv. sur \(P\) de degré 1 sur ⌜les fibres⌝ (\(L\) défini loc. ⌜sur \(X\)⌝, à tensorisation près par \(f^*(\mathcal{L})\), \(\mathcal{L}\) inv. sur \(X\)), \[M = \check{E}\otimes E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E) \simeq E\otimes E\otimes(\textstyle\bigwedge^2 E)^{-1}\] ext. de \(\underline{O}_X\ (\simeq \bigwedge^2E\otimes(\bigwedge^2E)^{-1})\) par \(\Gamma^2E\otimes(\bigwedge^2E)^{-1}\)

ext. de \(\underbrace{\mathrm{Sym}^2(E)\otimes(\bigwedge^2E)^{-1}}_{f_*(L^{\otimes 2})\otimes(\bigwedge^2E)^{-1} \simeq f_*(L^{\otimes 2}\otimes\bigwedge^2E^{-1})}\) par \(\underline{O}_X\ (\simeq \bigwedge^2E\otimes(\bigwedge^2E)^{-1})\), où \(L^{\otimes 2}\otimes\bigwedge^2E^{-1} = \underline{t}_{P/X}\).

\[M \overset{?}{\simeq} f_*(\mathrm{P}^1_{P/X}(\underline{t}_{P/X}))\quad \text{\uncertain{addition}\,?}\]

\(\mathfrak{g} = M/\underline{O}_X\) avec crochet déduit du crochet ⌜\((xy - yx)\)⌝ dans \(M\) [NB \(\underline{O}_X\) est dans le centre] \[\simeq f_*(\underline{t}_{P/X})\] [avec crochet provenant des crochets dans \(\underline{t}_{P/X}\)]

\(\mathfrak{g}' \subset M^{\mathrm{tr}=0}\)exposant « \(\mathrm{tr}=0\) » douteux sous-algèbre des éléments de trace nulle (\(\mathfrak{g}' \to \mathfrak{g}\) iso si 2 inv. sur \(X\))

\(\|\)

\(\mathfrak{g}' \subset \check{E}\otimes E\) sous-algèbre des éléments de trace nulle

\(G = \mathrm{Aut}_X P\), \(G' = \widetilde{G}\) (rev. univ. de Chevalley) \(= \underline{\mathrm{SL}}(E)\) Aut […]

\(P = \mathbb{P}(E) =\) schéma des Idéaux à gauche loc. facteurs directs qui sont « spéciaux » i.e. « […] » … […]

\(=\) schéma des sous-alg. de Borel de \(\mathfrak{g}\) ⌜\(/\ \mathfrak{g}'\)⌝

\(=\) … gr. de Borel de \(G\) ⌜\(/\ G'\)⌝

\(G \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(E)/\mathbb{G}_{m,X} \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(M) \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{g}) \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{g}')\) — ! attention à la car. (notamment car. 2 !)

explication [[…]] : \(\mathrm{Sym}^2E\otimes\mathrm{Sym}^2E \to \mathrm{Sym}^2E\otimes\bigwedge^2E\), \(\Gamma^2E\otimes\Gamma^2E \to \Gamma^2E\otimes\bigwedge^2E\) ; […] formes de Killing \(\mathrm{Sym}^2E\otimes\mathrm{Sym}^2E \to (\bigwedge^2E)^{\otimes 2}\), \(\Gamma^2E\otimes\Gamma^2E\to\ldots\)

86\(E =\) module d'une « rep. vraie » de […] \(M\), de \(\mathfrak{g}\), de \(\mathfrak{g}'\), de \(G\), de \(G'\).

\(\mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Lie}}\,G\)

\(\mathfrak{g}' = \mathrm{Lie}\,G'\)

1.2. Données équivalentes

• a)fibré […] ⌜en droites⌝ proj. \(P\) sur \(X\), avec section unique \(\sigma\)
• b)Structure d'extension \[0 \to \Omega \to \mathcal{L} \to \underline{O}_X \to 0,\] \(\Omega\) inversible
• c)Algèbre d'Azumaya de rang 4 \(M\), avec idéal à gauche « spécial » […] \(\mathfrak{a}\)
• d)\(\mathfrak{g}\) avec ss.-alg. de Borel \(\mathcal{L}\)
• d')\(\mathfrak{g}'\) … \(\mathcal{L}'\)
• e)\(G\) … gr. … \(B\)
• e')\(G'\) … gr. … \(B'\) tel qu'il
• f)Une […] \(\underline{O}_X\)-Algèbre augmentée \(\mathcal{B}_2\) […] nilpotente d'échelon 2, de « rang » 2 ⌜à \(\underline{O}_X\)⌝ et associée \(\underline{L} = \underline{L}'\) faisceau inv. de degré relatif 1 rigidifié par \(\sigma^*(\underline{L}) \simeq \underline{O}_X\). Alors

l'alinéa f) est écrit plus serré et en partie par-dessus e') ; sa lecture est incertaine et le passage de f) à « Alors \(\mathcal{L} = f_*(\ldots)\) » ne se suit pas.

\(\mathcal{L} = f_*(\underline{L})\), avec structure d'ex. évidente \[\simeq f_*(\underline{L}/\mathcal{J}\underline{L}) \qquad (\mathcal{J} = \text{Idéal de } \sigma(X) \text{ dans } P)\] \[\simeq \sigma^*(\mathrm{P}^1(\underline{L}))\] \(P = \mathbb{P}(\mathcal{L})\) avec section provenant des quotients inv. \(\underline{O}_X\) de \(\mathcal{L}\)

\(=\) classifiant ⌜proj.⌝ […] des torseurs sous \(W(\Omega)\) défini par l'extension

\(M = \underline{\mathrm{End}}\,\mathcal{L}\), avec idéal annulateur de \(\Omega\) (données de splitting)

\[\mathfrak{g} = M/\underline{O}_X \simeq \mathrm{Sym}^2(\mathcal{L})\otimes\Omega^{-1} \qquad (\textit{NB}\ \det\mathcal{L}\simeq\Omega)\] Or \(\mathrm{Sym}^2\mathcal{L}\) est filtré par ⌜(décr.)⌝ \(\underline{O}_X, \Omega, \Omega^2\), donc \(\mathrm{Sym}^2\mathcal{L}\otimes\Omega^{-1}\) filtré par (…) \[\begin{array}{ccc} \Omega & \underline{O}_X & \Omega^{-1}\\ \| & \| & \|\\ \mathrm{Fil}_1 & \mathrm{Fil}_2/\mathrm{Fil}_1 & \mathrm{Fil}_3/\mathrm{Fil}_2\\ \| & \| & \|\\ \mathrm{gr}_1 & \mathrm{gr}_2 & \mathrm{gr}_3 \end{array}\] expliquer aussi par \(\mathfrak{g}\), \(\mathrm{P}^1(\mathcal{L})\) … \(0 \to \Omega \to \mathcal{L} \to \underline{O}_X \to 0\) … (\(\Omega = \mathcal{L}\ldots\))

où \(\mathrm{Fil}_2 \simeq \Omega^{-1}\otimes(\underbrace{\mathrm{Ker}\,\mathrm{Sym}^2\mathcal{L} \to \mathrm{Sym}^2 O}_{\simeq\ \Omega\otimes\mathcal{L}}) \simeq \mathcal{L}\)

donc on a \[\underbrace{\Omega \subset \overbrace{\mathcal{L}}^{\underline{O}_X} \subset \mathfrak{g}}_{} \qquad \text{(gradués : } \Omega,\ \underline{O}_X,\ \Omega^{-1})\] et \(\mathcal{L}\) est une ss-alg. de Borel (\(\Omega\) son prod. unipotent) \(\{\)NB pour forme de Killing, \(\Omega\) et \(\mathcal{L}\) orth. l'un de l'autre\(\}\)

NB \(\mathfrak{g}/\Omega \simeq \mathcal{L}^{\vee}\) (vérifier) car Killing … \(\mathcal{L}\otimes\mathcal{L} \to \ldots\) non dégénérée

On n'explicite pas \((\mathfrak{g}', \mathcal{L}')\) (\(\simeq(\mathfrak{g}, \mathcal{L})\) si 2 inv.), non plus \((G,B)\), \((G',B')\) …

\(G' = \underline{\mathrm{SL}}_{\underline{O}_S}\mathcal{L}\), \(B'\) ⌜\(\subset G'\)⌝ \(=\) stabilisateur de \(\Omega\)

\(G, B\) déduits par passage au quotient par centre …

plus bas [1.4. Supposons \(X/S\), et considérons des connexions ⌜rel. \(S\)⌝ sur les objets du type envisagé dans 1.1, mais auxquels on a ajouté ⌜la donnée de⌝ l'un des structures 1.2. Ainsi, on considère des couples … \[(P, \sigma, c)\] \[\begin{cases} P \text{ fibré en droites projectives sur } X\\ \sigma \text{ section}\\ c \text{ connexion de } P \text{ rel. à } S \end{cases}\] (mais où on suppose pas … plat)

Il nous sera particulièrement commode de l'expliciter en termes de \((\mathcal{L},\Omega)\) i.e. \[0 \to \Omega \to \mathcal{L} \to \underline{O}_X \to 0\] (qui donne \((P,\sigma)\), ⌜donc \((\mathfrak{g},\mathcal{L})\), comme expliqué⌝, et d'une connexion de \(\mathfrak{g}\). On notera que …]

87Splittings

1.3.

fibré en droites projectives sur \(X\) avec deux sections disjointes \(\sigma, \sigma'\)

\(\updownarrow\)

fibré inversible \(\Omega\) (\(P = \mathbb{P}(\Omega + \underline{O}_X) \simeq \overline{W(\Omega)}\) clôture projective ⌜de \(W(\Omega)\)⌝, avec \(\sigma =\) section à l'\(\infty\), \(\sigma' =\) section nulle)

\(\updownarrow\)

[\(M\) somme directe de deux Idéaux spéciaux …]

\(\updownarrow\)

\(\mathfrak{g}\) ⌜munie⌝ […] ⌜d'une sous-alg. \(\mathcal{L}\)⌝ […] de Cartan, rang 1 (cf. SGA 3), soit d'une graduation en […] \[\mathfrak{g} \simeq \underset{\substack{\|\\ \mathcal{L}_{-}}}{\Omega} + \underset{\substack{\|\\ \underline{O}_X}}{\underline{O}^0_X} + \Omega^{-1}, \qquad \mathcal{L} = \Omega + \underline{O}^0_X\] \[\begin{aligned} [\omega_1, \lambda] &= -[\lambda, \omega_1] = -\lambda\omega_1\\ [\omega_{-1}, \lambda] &= -[\lambda, \omega_{-1}] = \lambda\omega_{-1}\\ [\omega_1, \omega_{-1}] &= -[\omega_{-1}, \omega_1] = 2\omega_1\omega_{-1} \end{aligned}\] soit \(\mathfrak{g}\) avec \(\mathfrak{t}\subset\mathfrak{g}\) sous-alg. de Cartan, et le choix d'une des deux sous-algèbres nilpotentes ⌜\(\mathfrak{t}_{\mathfrak{g}}\)⌝ normalisées par \(\mathfrak{t}\), \(\Omega, \Omega'\) … ce qui fixe l'iso \(\mathfrak{t} \simeq \underline{O}_X\) (\(\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}_S}(\Omega,\Omega)\)) […] \(\mathfrak{g}'\) … sauf car. \(\neq 2, 3\) … modulo […]

\(\updownarrow\) \(\mathfrak{g}'\) avec données analogues (Mais dans la table de multiplication, dans ce cas, il faut … \[-2\lambda\omega_1,\quad 2\lambda\omega_{-1},\quad \omega_1\omega_{-1}\ )\]

\(\updownarrow\) \(G\) avec couple de Killing

\(\updownarrow\) \(G'\) avec couple de Killing « couple de Killing » est une lecture probable des deux dernières lignes.

88

1.4 suite

Choisissons d'abord un splitting de \(\mathfrak{g}\), ⌜rel. \(\mathcal{L}\) i.e. un⌝ \[\mathfrak{g} \simeq \Omega + \underset{\substack{\|\\ \underline{O}_X}}{\Omega^0} + \Omega^{-1}\] d'où, posant \(\omega = \underline{\Omega}^1_{X/S}\), \[\mathfrak{g}\otimes\omega \simeq \Omega\otimes\omega + \omega + \Omega^{-1}\otimes\omega\] […]

Choisissons-en loc. une section \(\delta\) de \(\Omega\) comme base. Une connexion (sans courbure) \(c_0\) en obtenue par \[\mathfrak{g} \xrightarrow{\ c_0\ } \mathfrak{g}\otimes\omega\] \[c_0(\delta) = c_0(1) = c_0(\delta^{-1}) = 0\] i.e. \[c_0(\underbrace{\lambda\delta + \mu\cdot 1 + \nu\delta^{-1}}_{\substack{\updownarrow\\ (\lambda,\mu,\nu)}}) = \underbrace{\delta\,d\lambda + 1\,d\mu + \delta^{-1}d\nu}_{\substack{\updownarrow\\ (d\lambda,\,d\mu,\,d\nu)}}\] Une connexion générale s'obtient alors en ajoutant une section de \[\mathrm{Der}(\mathfrak{g},\mathfrak{g})\otimes\omega \simeq \mathfrak{g}\otimes\omega\] (NB toute dérivation de \(\mathfrak{g}\) est intérieure !)

Soit \(\varpi = \varpi_2 + \varpi_1 + \varpi_0 \in \Gamma\,\mathfrak{g}\otimes\omega\) i.e. \[\begin{aligned} \varpi_2 &\in \Gamma(\Omega\otimes\omega)\\ \varpi_1 &\in \Gamma(\omega)\\ \varpi_0 &\in \Gamma(\Omega^{-1}\otimes\omega) \end{aligned}\] on aura donc pour connexion \(c_{\varpi}\) alors par \(c_0\) et \(\varpi\) \[c_{\varpi}(\underbrace{\lambda\delta + \mu\cdot 1 + \nu\delta^{-1}}_{(\lambda,\mu,\nu)}) \overset{?}{=} \text{\struck{\ill{}}}\]

89\[\begin{aligned} c_{\varpi}(\underset{\substack{\|\\ \omega_0}}{\lambda\delta}) &= \underbrace{\delta\,d\lambda}_{\text{poids } 2} + \lambda\bigl[\underset{\substack{\|\\ 0}}{[\varpi_2,\lambda\delta]} + [\varpi_1,\lambda\delta] + [\varpi_0,\lambda\delta]\bigr]\\ &\qquad + \underbrace{\varpi_1(\lambda\delta)}_{\text{poids } 2}\ \ 2\varpi_0(\lambda\delta) \end{aligned}\] la première ligne est surchargée ; l'indice de \(\omega_0\) sous \(\lambda\delta\) et le signe devant \(2\varpi_0(\lambda\delta)\) sont incertains.

\[\begin{aligned} c_{\varpi}(\underset{\substack{\|\\ \lambda\delta}}{\omega_1}) &= \overset{2}{\delta\,d\lambda} + \omega_1(\overset{2}{\varpi_1} - \overset{1}{2\varpi_0})\\ c_{\varpi}(\underset{\substack{\|\\ \mu\cdot 1}}{\omega_0}) &= \overset{1}{d\mu} + \omega_0(-\overset{2}{\varpi_2} + \overset{0}{\varpi_0})\\ c_{\varpi}(\underset{\substack{\|\\ \nu\delta^{-1}}}{\omega_{-1}}) &= \overset{0}{\delta^{-1}d\nu} + \omega_{-1}(\overset{1}{2\varpi_2} - \overset{0}{\varpi_1}) \end{aligned}\] les petits chiffres au-dessus des termes sont ses indices de filtration (« poids ») ; leur position exacte est approximative.

Encadré : \[\mathfrak{g} : \Omega,\ \underset{\substack{\|\\ \underline{O}_X}}{\Omega^0},\ \Omega^{-1} \qquad\qquad \mathfrak{g}\otimes\underline{\omega} : \Omega\otimes\underline{\omega},\ \underline{\omega},\ \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}\]

On trouve la condition suivante (indépendante du choix des splittings … !)

\(\{\) La connexion \(c\) satisfait \(c(\mathrm{Fil}_i\,\mathfrak{g}) \subset \mathrm{Fil}_{i+1}(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega})\)

\(\{\) par passage au quotient, il induit \[c_{i,i+1} : \mathrm{gr}_i\,\mathfrak{g} \to \mathrm{gr}_{i+1}(\mathfrak{g}\otimes\omega) \simeq \mathrm{gr}_{i+1}(\mathfrak{g})\otimes\omega\] qui est linéaire, de façon précise \[\begin{aligned} c_{1,2} &: \mathrm{gr}_1 \to \mathrm{gr}_2,\quad \Omega \to \omega && \text{i.e. } c_{12} \in \Gamma\,\Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}\\ c_{2,3} &: \mathrm{gr}_2 \to \mathrm{gr}_3,\quad \underline{O}_X \to \Omega^{-1}\otimes\omega && \text{i.e. } c_{23} \in \Gamma\,\Omega^{-1}\otimes\underline{\omega} \end{aligned}\] on a \([\,c_{12} = -2\varpi_0,\ c_{2,3} = \varpi_0\), donc\(\,]\) \[\boxed{c_{1,2} = -2\,c_{2,3}}\]

NB On déduit que la connexion respecte la filtration ssi \(\underset{\sim}{c_{2,3}} = 0\) (d'où \(c_{1,2} = 0\)) [cela signifie \(\varpi_0 = 0\)] […] ⌜ce sont aussi⌝ celles qui respectent la Borel \(\mathcal{L}\subset\mathfrak{g}\), ou encore […] qui respectent la section \(\sigma\) de \(P\), i.e. pour lesquelles \(\sigma\) est horizontale. Elles sont déterminées modulo section de \(\mathcal{L}\otimes\underline{\omega}\).

[…]

Re NB On pourrait aussi considérer \[c^{\Omega} : \underset{\substack{\wr\\ \mathcal{L}'\simeq\mathcal{L}\otimes\Omega^{-1}}}{\mathfrak{g}/\Omega} \longrightarrow \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}\] induit par \(c\), […] (bilinéaire) sur \(\Omega^0 \simeq \underline{O}_X \subset \mathcal{L}\otimes\Omega^{-1}\) ; sa connaissance est équivalente à celle de \(c_{\Omega}\) si 2 inv., etc. dans le cas général (précisément car. 2 ? C'est peut-être plus précis …)

NB Les connexions sur \(\mathfrak{g}\) compatibles avec crochet […] (si 2 inv. — sinon il faut parler des connexions sur \(P\), ou \(G\) etc.) forment un torseur sous \(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega}\). Or \[\text{on a}\quad \mathfrak{g}\otimes\underline{\omega} \to \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}\] d'où un torseur sous \(\Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}\). Le dernier est splitté canoniquement, i.e. on a \[\underline{\mathrm{Conn}} \xrightarrow{\ \varpi_0\ } \Omega^{-1}\otimes\omega\] compatible avec \(\varpi_0\), et si \(c\) section de \(\underline{\mathrm{Conn}}\), \(\varpi_0(c)\) détermine les homs \(\mathrm{gr}_i(\mathfrak{g}) \to \mathrm{gr}_{i+1}(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega})\) \[\begin{aligned} \Omega = \mathrm{gr}_1(\mathfrak{g}) &\xrightarrow[-2\varpi_0]{} \omega \simeq \mathrm{gr}_2(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega})\\ \Omega^0 \simeq \underline{O}_X = \mathrm{gr}_2\,\mathfrak{g} &\xrightarrow[\varpi_0]{} \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega} = \mathrm{gr}_3(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega}) \end{aligned}\] Si on considère les \(c\) pour lesquelles \(\varpi_0(c) \in \Gamma\,\underset{\substack{\|\\ \mathrm{Hom}(\Omega,\underline{\omega})}}{\Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}}\) est donnée \(i\), on trouve une restriction du gr. struct. de \(\underline{\mathrm{Conn}}\) : \(\mathcal{L}\otimes\underline{\omega}\), d'où torseur \(\underline{\mathrm{Conn}}_i\) sous \(\mathcal{L}\otimes\underline{\omega}\). Or on a \[\mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega}\] d'où un torseur induit sous \(\underline{\omega}\) : les conn. sur \(\mathfrak{g}\) compatibles avec \(i\), modulo ⌜op. d'⌝ ajouter une section de \(\Omega\otimes\underline{\omega} \subset \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \subset \mathfrak{g}\otimes\underline{\omega}\). C'est aussi ([…]) le torseur des restrictions à \(\Omega\) des conn. compatibles avec \(i\), ou encore des homs additifs op. diff. d'ordre 1 (rel. \(S\)) \[\Omega \xrightarrow{\ c_{\Omega}\ } \mathcal{L}\otimes\omega\] telles que la composée […] \(\Omega \to \mathcal{L}\otimes\omega \to \omega\) soit linéaire (*) (et égale à \(-2i\)), et qu'on ait \[(**)\quad c_{\Omega}(f\omega) - f\,c_{\Omega}(\omega) = \omega\otimes df \qquad \omega\in\Gamma\,\Omega,\ f\in\Gamma\,\underline{O}_X\] TSVP

90La donnée d'un tel \(c_{\Omega}\) équivaut à une restriction du groupe structural de \(\underline{\mathrm{Conn}}_i\) à \(\Omega\otimes\underline{\omega}\), ou encore (indépendant de la donnée de ⌜de⌝ \(i\)) la donnée d'un \(c_{\Omega}\) pour lequel (*) est linéaire et (**) est vraie, équivaut à une restriction du groupe structural de \(\mathfrak{g}\otimes\omega\) à \(\underline{\mathrm{Conn}}\) … \(\Omega\otimes\underline{\omega}\) …

On s'intéresse au cas où \(\underline{\mathrm{Conn}}_i\) est trivial, i.e. \(c_{\Omega}\) est tel que le composé \[(-2i) : \Omega \longrightarrow \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega}\] (ce qui exige que 2 inv.) […]

soit un iso. Alors les triples \[(\mathfrak{g}, \mathcal{L}, c_{\Omega}) \quad (\text{où, ce qui revient au même,}\ (\mathcal{L}\supset\Omega,\ c_{\Omega}))\] sont définis, à iso unique près, par \(X/S\) (et avant tout \(\underline{\omega} = \underline{\Omega}^1_{X/S}\) est inversible) comme \[\mathcal{L} \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1} \qquad (\text{d'où } \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega}))\] et \[c_{\Omega} : \Omega \simeq \underline{\omega} \longrightarrow \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\] n'est autre que \(d^1_{X/S,\underline{\omega}}\) …

91Interprétation de \(c_{23}\) comme \[c_{2,3} : \Omega \longrightarrow \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S}\] … une fois qu'on a noté, compte tenu de \[\Omega \simeq \sigma^*(\underline{\Omega}^1_{P/X})\] la division relative à la connexion \(c\) de la section \(\sigma\) ; on dit que \(\sigma\) est loc. (… i.e. \(\mathcal{L}\subset\mathfrak{g}\)) est nulle part stationnaire pour \(c\), si \(c_{2,3}\) est « partout non nulle ». Appliquer … ⌜Il faut …⌝ dire local du \(\omega\).

On suppose par la suite qu'il en est ainsi, i.e. que \(\omega\) est inversible, et supposons par \(c_{2,3} : \Omega \to \underline{\omega}\) est un iso. On appellera les connexions « transverses à \(\sigma\) (ou à \(\mathcal{L}\subset\mathfrak{g}\)) ». On identifie \(\Omega\simeq\underline{\omega}\) par \(c_{23}\), et de façon précise, on suppose donné un iso \[\Omega \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ i\ } \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S}\] et on se borne aux conn. pour lesquelles \(c_{2,3} = i\). […] ⌜Les […]⌝ sections d'un torseur sous \(\mathcal{L}\otimes\underline{\omega}\) [soit \(\underline{\mathrm{Conn}}(\mathfrak{g}, i)\) ⌜transverses⌝].

Considérons la restriction d'une connexion \(c\) à \(\Omega \simeq \underline{\omega} = \mathrm{Fil}_1\mathfrak{g}\) \[c|\underset{\substack{\|\\ \mathrm{Fil}_1\mathfrak{g}}}{\Omega} : \Omega \longrightarrow \underbrace{\mathcal{L}\otimes\omega}_{\Omega\otimes\omega,\ \omega} \ldots\] la page s'arrête sur cette formule inachevée.

92Je sais que son composé avec \(\mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega}\) est \(-2i\ldots\). Considérons Comme \(c|\Omega\) ⌜\(c|\underline{\omega}\)⌝ est op. diff. d'ordre \(\leq 1\), on trouve qu'il se factorise en \[\underline{\Omega} \xrightarrow[\substack{\text{op. diff.}\\ \text{con.}\\ \text{d'ordre } 1}]{\ d^1_{\underline{\omega}}\ } \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\Omega}) \xrightarrow[\text{lin.}]{\ \gamma\ } \mathcal{L}\otimes\underline{\omega}\] et comme le composé \(c|\underline{\omega}\) \[\underline{\Omega} \xrightarrow{\ c|\underline{\omega}\ } \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega}\] est linéaire (de valeur \(-2i\)) on trouve que \(\gamma\) définit une […] linéaire d'extensions \[\begin{array}{ccccccccc} 0 \to & \Omega\otimes\omega & \to & \mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega) & \to & \Omega & \to & 0\\ & \downarrow{\scriptstyle \gamma_0 = ?} & & \downarrow{\scriptstyle \gamma} & & \downarrow{\scriptstyle -2i} & &\\ 0 \to & \Omega\otimes\omega & \to & \mathcal{L}\otimes\omega & \to & \omega & \to & 0 \end{array}\] On va déterminer \(\gamma_0\), quels que soient les splittings \(i\) et section \(\delta_0\) de \(\Omega\), en termes de \(\varpi_0 = i\), \(\varpi_1\), \(\varpi_2\) ci-dessus, […] ⌜En fait […]⌝ \(\mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega) \simeq \Gamma\,\mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{O}_X)\) […] … op. diff. loc. libre … \(\Omega\), …

les deux dernières lignes de l'alinéa sont serrées, en partie biffées, et lues pour l'essentiel […].

avec \[\gamma(\underset{\substack{\cap\\ \Gamma\Omega}}{\omega_1}\otimes \underset{\substack{\cap\\ \Gamma\underline{O}_X}}{df}) = c(f\omega_1) - f\,c(\omega_1)\] Si \(\omega_1 = \lambda\delta\), on trouve donc \[\begin{aligned} \gamma(\lambda\delta\otimes df) &= \delta\,[d(f\lambda) - f\,d(\lambda)]\\ &= \delta\,[\lambda\,df] = \lambda\delta\otimes df \end{aligned}\] donc \(\gamma = \mathrm{id}\). Donc

Remarque. Si \(c\) connexion transverse ⌜et 2 inv. sur \(X\)⌝, alors \(\gamma_0\) est un iso d'extensions de \(\mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega)\) … la phrase se poursuit à la page suivante.

93et \(\mathcal{L}\otimes\underline{\omega}\), induisant \(-2i\) et \(\mathrm{id}\). Donc un iso \[\mathcal{L} \xrightarrow[\gamma^{-1}\otimes\mathrm{id}_{\omega^{-1}}]{\ \sim\ } \mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega)\otimes\omega^{-1} \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\otimes\omega^{-1}\] Corr.

induisant un diagramme d'extensions

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \underline{\omega} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & \mathcal{L} \arrow[r] \arrow[d] & \underline{O}_X \arrow[r] \arrow[d, "-2\,\mathrm{id}"] & 0\\
0 \arrow[r] & \underline{\omega} \arrow[r] & \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\otimes\omega^{-1} \arrow[r] & \underline{O}_X \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

ou encore, en multipliant par \(-\frac{1}{2}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \underline{\omega} \arrow[r] \arrow[d, "-\frac{1}{2}\mathrm{id}_{\underline{\omega}}"] & \mathcal{L} \arrow[r] \arrow[d] & \underline{O}_X \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}_{\underline{O}_X}"] & 0\\
0 \arrow[r] & \underline{\omega} \arrow[r] & \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\otimes\omega^{-1} \arrow[r] & \underline{O}_X \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

(Dans le torseur sous \(\underline{\omega} \simeq \Omega\) défini par l'ext. \(\mathcal{L}\) est déduit du torseur défini ⌜par \(\underline{\omega}\)⌝ l'ext. \(\mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1}\) de \(\underline{O}_X\) par \(\underline{\omega}\) (ou \(\mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\) de \(\underline{\omega}\) par \(\underline{\omega}^2\)) par multiplication par \(-2\).)

Utilisant cette identification, \(c|\Omega \simeq \underline{\omega}\) s'identifie à l'op. diff. universel \[c\,|\,\underset{\substack{\|\\ \mathrm{Fil}_1\mathfrak{g}\\ \|\\ \mathcal{L}^{\perp}}}{\Omega \simeq \underline{\omega}} \quad \underset{d^1_{\underline{\omega},X/S}}{=} \quad \underset{\substack{\wr\\ \omega}}{\Omega} \xrightarrow{\ c\ } \mathcal{L}\otimes\omega \simeq \mathrm{P}^1(\omega)\] l'exposant de \(\mathcal{L}\) sous \(\mathrm{Fil}_1\mathfrak{g}\) est lu « orth. » (orthogonal).

NB On utilise d'ici ⌜ici⌝ ces mêmes identifications et on se borne aux conn. de \(\mathfrak{g}\), […] dont la restriction à \(\Omega \simeq \underline{\omega} = \mathcal{L}\) est la \(d^1_{\underline{\omega},X/S}\). Elles sont déterminées ⌜donc⌝ modulo faisant ⌜sections⌝ dans de \(\Omega\otimes\omega \simeq \underline{\omega}^{\otimes 2}\).

94Donc pour la suite on se donne d'abord l'extension \[0 \to \Omega \to \mathcal{L} \to \underline{O}_X \to 0\] (\(\Omega\) inversible), puis l'op. diff. d'ordre \(\leq 1\) \[\Omega \xrightarrow{\ c_{\Omega}\ } \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \qquad \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S}\] tel que

• a)le composé avec \(\mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega}\) soit un \(\Omega \to \underline{\omega}\) linéaire et un iso (qui servira à identifier \(\Omega \simeq \underline{\omega}\) puis utiliser plus … \(-2i\), \(i : \Omega \simeq \ldots\) pour identifier).
• b)[…] On a (si \(\omega\in\Gamma\Omega\), \(f\in\Gamma\underline{O}_X\)) \[c_{\Omega}(f\omega) - f\,c_{\Omega}(\omega) = \omega\otimes df\] (\(\omega\) fixe, c'est bien linéaire \(\Omega \to \Omega\otimes\omega\))

cela équivaut vraiment ici …

[Les conditions définissent le splitting de l'ext. \(\mathcal{L}\) et l'op. diff. \(c_{\Omega}\) à iso unique près — et ce pour types […] … si \(\underline{\omega} = \Omega^1_{X/S}\) est bien inversible)

On forme \(\mathfrak{g}\), et on considère les connexions [⌜sur \(\mathfrak{g}\)⌝] d'alg. de Lie \(\underline{\mathrm{Conn}}\) sur \(\mathfrak{g}\) qui prolongent \(c_{\Omega}\). Elles forment les sections d'un torseur sous \(\Omega^2\otimes\underline{\omega}\) \(\simeq \underline{\omega}^{\otimes 2}\). On […] … qu'elles …

Le donnée de \(c_{\underline{\omega}}\) revient à […] d'un iso. des […] de \(\Omega\) … \(\sigma(X)\) de \(X\times_S X\) … voisinage … \(\sigma(X) \ldots\) … voisinage … \(\ldots\) […] … note marginale écrite verticalement, dans un cadre, en partie biffée ; elle n'est lue que par fragments.

Faire le lien avec la description \((P,\sigma,c)\) et les deux familles \[\underline{O}_{\hat{P}} \simeq \mathrm{P}^{\infty}_{X/S}\] (si \(X/S\) diff[érentiellemen]t lisse …).

95

1.5. Sections horizontales de \(P\)

Pour quelles connexions \(\mathfrak{g}\) admissibles sur \(X/S\) (avec \(\underline{\omega}_{X/S}\) inversible) y a-t-il des sections horizontales de \(P\), et quelles sont-elles ? On a étudié déjà les sections horizontales de \(P\) là où elles sont disjointes de la section donnée \(\sigma\). Elles correspondent donc à une décomposition de \(\mathfrak{g}\) en somme directe, … de \(\mathfrak{g}\) en \[\mathfrak{g} \simeq \Omega \oplus \Omega^0 \oplus \Omega^{-1} \qquad (\Omega\simeq\omega)\] Si le […] Une connexion \(c\) admet la section \(\sigma'\) horizontale \(c(\Omega^{-1})\subset\) ssi \(c(\Omega^{-1}) \subset (\Omega^0 + \Omega^{-1})\otimes\underline{\omega}\) ⌜ou \(c(\Omega^0)\subset(\Omega^0+\Omega^{-1})\otimes\underline{\omega}\)⌝, … comme on le trouve en termes d'une section ⌜base⌝ \(\delta\) de \(\Omega\), permettant de décrire \(c\) par trois formes \(\varpi_2, \varpi_1, \varpi_0\), sections de \(\Omega\otimes\underline{\omega}\), \(\Omega^0\otimes\underline{\omega} = \underline{\omega}\) et \(\Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}\) : \[-2\varpi_2 = 0\] donc si 2 inversible cela signifie \(\varpi_2 = 0\) et pour […] obtenir ainsi une […] de connexions modulo \(\Gamma(\Omega\otimes\omega)\) et donc … p. ex. […] par sa restriction à \(\Omega\) — puis on obtient des … unique en convergeant \(c\) par adjonction d'une \(\omega_2\in\Gamma\,\Omega\otimes\underline{\omega}\). \(2\) inv. !

Donc

Prop. Pour le splitting de ⌜l'ext.⌝ \(\mathcal{L}\) (\(\simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1}\) dans le cas « canonique ») il y a une et une seule conn. admissible sur \(\mathfrak{g}\) (ou \(P\ldots\)) pour laquelle la section correspondante de \(P\) soit horizontale. Donc correspondance … bien ⌜[…]⌝ … l'ensemble des sections de \(P - \sigma(X)\) […] ⌜affines⌝ à … ⌜i.e. des splittings de \(\mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\)⌝ sur \(X\), […] ⌜et⌝ des connexions […] ⌜affines⌝ sur \(X\), ayant comme … que celles qui admettent une section hor. disjointe de \(\sigma\) ; la fin de la page est très surchargée de biffures et d'ajouts interlinéaires ; la lecture n'en est que partielle.

96Quelles connexions sont obtenues ainsi ? Choisissons (loc.) une uniformisante \(t\) de \(X\), d'où une base \(dt\) de \(\omega\simeq\Omega\), et un splitting de \(\mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega) \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) \simeq \mathrm{P}^1(\underline{O}_X)\) (par le dual de la base \(dt\)), d'où une connexion ⌜régulière⌝, correspondante. On va supposer \(\mathfrak{g}\) splitté localement, avec base \(\delta\) de \(\Omega\), et une connexion d'origine \(c_0\) donnée par \[\begin{aligned} c_0(\underset{\substack{\|\\ \lambda\delta}}{\omega_1}) &= \delta\,d\lambda + \omega_1(-2\varpi_0) \qquad\qquad \varpi_0\in\Gamma\,\Omega^{-1}\otimes\omega\\ c_0(\underset{\substack{\|\\ \mu\cdot 1}}{\omega_0}) &= 1\,d\mu + \omega_0(\varpi_0)\\ c_0(\underset{\substack{\|\\ \nu\delta^{-1}}}{\omega_{-1}}) &= \delta^{-1}d\nu \quad \text{\struck{\ill{}}} \end{aligned}\] Considérons une section \(s\) de \(\mathcal{L}\) s'envoyant sur la section \(1_X\) de \(\underline{O}_X\) \[s = s_0 + \omega_1 \qquad (s_0 = (0,1))\] Soit \[\begin{cases} \text{\struck{$\ldots$}} : \underline{O}_X \to \mathcal{L}\\ v_s : \Omega^{-1} \to \mathfrak{g} \end{cases} \qquad \text{i.e. } v_s \in \Gamma(\mathfrak{g}\otimes\Omega)\] les ⌜les⌝ […] correspondants. de On a \[\begin{aligned} s &= \exp\Theta_{\omega_1} s_0 \quad \text{\struck{$= s_0 + [-\omega_1, s_0] + [-\omega_1 \ldots$}}\\ v_s &= \exp\Theta_{\omega_1} v_{s_0} = v_{s_0} + \underbrace{[-\omega_1, v_{s_0}]}_{-2\omega_1 v_{s_0}} + \tfrac{1}{2}\underbrace{[-\omega_1,[-\omega_1, v_{s_0}]]}_{\omega_1^2 v_{s_0}} \end{aligned}\] pour \(v_{s_0} = \ldots\)

d'où la question est de \(c(v_s)\) est de calculer la composante ⌜\(\varpi_2(s) = \varphi(\omega_1)\)⌝ de \(c(s)\) suivant le […] ⌜\(\Omega\otimes\omega\)⌝ de la décomposition \[\mathfrak{g} \simeq \Omega + \text{\struck{$\exp\Theta_{\ldots}$}}\,\underline{O}_X\cdot s + v_s(\Omega^{-1})\] i.e. \((\exp\Theta_{\omega_1})\otimes\mathrm{id}_{\omega}(c(s))\) et la forme … (pour …) \(\varpi_2(s) = \varphi(\omega_1)\), … \[c(v_s) = \underbrace{\varpi_2(s)}_{\Omega\otimes\omega} + \text{\struck{\ill{}}}\ s\otimes\varpi_1(\ldots) + \underbrace{(v_s\ldots)(\varpi_0)}_{\Omega^{-1}\otimes\omega}\] \[= \text{composante de } \exp\Theta_{+\omega_1}(c(s))\] ce bloc est entouré, traversé de biffures et de flèches de renvoi ; sa lecture est en grande partie incertaine.

Sauf erreur, on trouve \[s = s_0 + \omega_1 \longmapsto c_0 + \Bigl(\delta\,d\bigl(\tfrac{\omega_1}{\delta}\delta^{-1}\bigr) + \omega_1^2\Bigr)\] Prenons \(\delta\) de façon que son image dans \(\omega\) soit \(dt\), \(t\) une uniformisante, on trouve sauf erreur de calcul \[s_0 + \lambda\,dt \longmapsto c_0 + \Bigl(\frac{d\lambda}{dt} + \lambda^2\Bigr)(dt)^2\] facteur 2 ?

Donc quand une conn. proj. sur \(X/S\) est définie par l'opération de la […] conn. proj. de réf. \(c_0\)) par une 2-forme \(\varphi(dt)^2\), la question s'il y a possibilité de trouver une section horizontale de \(P\) disjointe de la section donnée ⌜\(\sigma\)⌝ revient à celle de trouver des solutions \(\lambda\) de l'équation \[\frac{d\lambda}{dt} + \lambda^2 = \varphi\] (équation diff. non lin. du 1er ordre). On sait, si \(X\) courbe lisse sur corps […] de car. nulle, qu'il y a au plus une solution ayant une valeur et une dérivée données en un pt ; et il y en a une formelle, mais transcendante (!), en […] générale — les pôles de ⌜l'unique⌝ \(\lambda\) correspondant […] ⌜seuls⌝ à des pts de rencontre de \(\sigma\) (défini par \(\lambda\)) et de \(\sigma'\ldots\)

1.6.

Intrinsèquement, le \(P\) canonique est \(\simeq \mathbb{P}(\mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega}))\), où \(\underline{\omega} = \Omega^1_{X/S}\). Donc une section de \(P\) […] s'identifie à un couple \[(L, \sigma)\] \(L\) Module inversible sur \(X\), et \[\sigma : \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) \to L \quad \text{épi. lin.}\] Or un hom. ⌜lin.⌝ \(\sigma : \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) \to L\) équivaut à … la phrase se poursuit à la page suivante.

97un op. 1-diff. (rel. : \(X/S\)) \[D : \underline{\omega} \longrightarrow L,\] satisfaisant et la restriction de \(\sigma\) à \(\underline{\omega}\otimes\underline{\omega} = \underline{\omega}^2 \subset \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\) \[\sigma_0 : \underline{\omega}^2 \to L \qquad \text{i.e. } \sigma_0 \in \Gamma(L\otimes\omega^{-2})\] est ainsi défini par \[D(f\omega) - f\,D(\omega) = \sigma_0(\omega\cdot df)\] (\(\omega\in\Gamma\underline{\omega}\), \(f\in\Gamma\underline{O}_X\)). Les pts où la section \(\sigma\) canonique sont ceux où \(\sigma_0\) s'annule, i.e. les pts de dégénérescence de l'op. diff. \(D\). On notera qu'alors l'ordre de dég., il est automatiquement pas tel que \(\sigma\) est épi — que ce soit épi en ce pt signifie aussi que \(L\) est engendré comme module par les \(D(\omega)\) (\(\omega\) section loc. de \(\underline{\omega}\)) si on peut vrai, donc (si \(X\) courbe alg. sur corps de base \(k\)) il y a une […] […] finie \(L'\subset L\) maximale pour laquelle la […] les lignes 9 à 11 de la page sont pâles et serrées : lecture fragmentaire.

… se factorise \(D\) (la plus petite …) par […], et quelle que soit laquelle la condition est vérifiée…

On voit donc (via les telles équations … associées, sur l'ouvert des pts non de dégénérescence), une connexion projective singulière qui […] rend horizontale … Question : si \(\exists\) connexion le bas de la page est lu par fragments ; la dernière ligne est biffée.

98Pour que la section donnée \(\sigma\) de \(P\) soit horizontale pour une conn. projective admissible et (a …) que l'ouvert \(U\) des pts où \(D\) est non dég. soit dense (en chaque fibre de \(X\) sur \(S\) et b) que la section qui vient de définir ⌜sur \(U\)⌝ […] — la section […] du torseur \(\underline{\mathrm{Conn}}_{\mathrm{proj}}\) sous \(\underline{\omega}^2\) — […] « soit régulière sur tt \(X\) » (i.e. se prolonge ⌜en section régulière⌝ sur tt \(X\) (laquelle sera unique)). Cette condition est une condition purement locale en les pts de régularité, et signifie ⌜[…]⌝ dégénérescence, et signifie qu'en tant que […] scindage de \(\mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\), \(\sigma\) […] doit avoir une singularité polaire au plus d'ordre 1, et la partie polaire et la principale polaire à l'ordre 1 près ([…]) […] sections nulles au pt envisagé doit être déterminée (écrire que \(\lambda^2 + \frac{d\lambda}{dt}\) n'a pas de pôle en un pt où \(\lambda\) […] ⌜en a un⌝ !). Donc, le long de la section canonique \(\sigma\) de \(P\), il y a un champ d'éléments de section d'ordre 2 transverses à \(\sigma\), et les sections \(\sigma'\) de \(P\) ⌜sur \(X\)⌝ lesquelles il y a une connexion projective de \(X\) rendant \(\sigma'\) horizontale (laquelle sera unique) sont celles qui, en un pt ⌜commun⌝ d'intersection avec \(\sigma\), ont un pt d'ordre 2 celui du champ. [NB des éléments de contact con. d'ordre 1 à traverser de façon précise qu'on prend un \(\Omega\) inversible, … la section de \(\mathbb{P}(\mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega))\) définie par la … la fin de la page se poursuit à la page suivante ; plusieurs mots courts du passage ne sont lus que par conjecture.

99structure d'extension de \(\mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega)\), … — plus gén., chaque fois qu'on a une ext. de \(\Omega\) inv. par \(\Omega\otimes\underline{\omega}\), \(\underline{\omega} = \Omega^1_{X/S}\) inversible aussi…]

Si l'op. diff. \[\omega \longrightarrow \underbrace{L \simeq \underline{O}_X}_{\text{\uncertain{trivialisé}}}\] est \[D(f\,dt) = a\frac{df}{dt} + b\] la condition invariante principale est \(\frac{b}{a} = \lambda_t\) (ne dépend que du choix de l'uniformisante \(t\)) et la condition, en un pôle de \(\lambda\) i.e. zéro de \(a\) (qui donne au droit par des zéros de \(b\), car \(a\) et \(b\) ne divisent pas tous simultanément) est

• a)\(\lambda_t\) n'a que pôles simples
• b)[…] \(\lambda_t\) a comme développement formel en \(t\) \[\lambda_t = \frac{2}{t}\,(+\ \text{pas de termes constants}) + \text{termes d'ordre} \geq 1\]

la parenthèse « \(+\) pas de termes constants » est une lecture probable ; le reste de la page est blanc.

100feuille de brouillon, numérotée par lui « 1 » (cerclé) en haut à droite ; la note du coin supérieur gauche est biffée de traits obliques.

\(\mathcal{M}^{\uncertain{q}}_g \to \mathcal{M}_g\), \(\mathcal{M}_g \subset\) bien connu … (net à […] finies)

\[P = \mathbb{P}(\mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})),\ \sigma,\ c \longmapsto \sigma,\ c + \varpi_2 \qquad (\varpi_2 \neq 0)\] automorphisme de \(P\) transformant \(c\) en \(c+\varpi_2\)

cas Unique … automorphismes ? Quels sont les automorphismes \(u\) de \(P\) tels que \(u(\sigma)\) […] de la forme \(c+\varpi_2\) ??

\(\ldots\ \omega \subset \mathcal{L} \subset \mathfrak{g}\ldots\)

Sections de \(P\) disjointes de \(\sigma\) \(=\) splittings de \(\mathcal{L}\) \[\begin{aligned} &= \text{splittings de } \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\\ &= \text{connexions sur } \omega \end{aligned}\] ou op. diff. ⌜d'ordre 1⌝ sur \(\omega\), forme … ⌜sur \(\omega\)⌝ à valeurs dans \(\omega\otimes\omega = \omega^2\) Connexions, projectives, s'interprétant comme satisfaisant \[D(f\omega) - f\,D(\omega) = \omega\otimes df\] \[D(f\,dt) = f\,\underbrace{D(dt)}_{\lambda} + dt\,df\] sections de \(P\) non disjointes de \(\sigma\) \(=\) connexions de \(\omega\) avec points singularités polaires.

Connexions projectives de \(P\) \(=\) conditions différentielles du premier ordre sur sections de \(P\) i.e. sur connexions de \(\omega\), de la forme … ?

\[0 \to \underbrace{\omega}_{} \subset \mathcal{L} \subset \mathfrak{g} \to 0 \qquad \begin{aligned} &v_s : \omega^{-1} \to \mathfrak{g}\\ &v_s \in \Gamma\,\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega} = \underline{\omega}^2\oplus\underline{\omega}\oplus\underline{\omega}^0 \end{aligned}\] à droite, d'une écriture très fine, « \(\deg = 0+0+1\) » (?). \[\underline{\omega} + \underline{O}_X\cdot s + v_s(\underline{\omega}^{-1}) \qquad c(s) \subset s\otimes\omega + v_s\cdot\underline{O}_X\ ?\] \[\omega_a + \underline{O}_s + \omega' \qquad \text{\struck{$\lambda$}}\ c(s) = \varphi_2 + s\otimes\varphi_1 + v_s\cdot\varphi_0 \quad \text{avec } \varpi_0 = 0\ ?\] \[s = s_0 + a_1 \quad (a_1\in\Gamma\underline{\omega})\] \[\begin{aligned} (\exp(\Theta_{a_1})\otimes\mathrm{id}_{\omega})(c(s)) &= \varphi_2 + (\exp\Theta_{a_1} s)\otimes\varphi_1 + (\exp\Theta_{a_1} v_s)\,\varphi_0\\ &= \varphi_2 + s_0\otimes\varphi_1 + \varphi_0 \end{aligned}\] les dernières lignes sont surchargées ; les indices de \(\Theta\) et le dernier facteur de la troisième ligne (« \((\varphi_0 / s)\) ») sont incertains. L'argument se poursuit au-delà de cette page.