1.1. Données équivalentes a)fibré en droites projectives P sur X (fibré de Br.-Sev. de rang 1) f : P \to X b)« Module loc. libre de rang 2 E mod. tensorisation par un module inversible » sur X c)Algèbre d'Azumaya M de rang 4 d)Algèbre de Lie \mathfrak{g} forme (tordue) de \mathfrak{gp}(1)_X d')… \mathfrak{g}' … \mathfrak{sl}(1)_X e)forme G de \mathrm{GP}(1)_X e')… G' de \mathrm{SL}(2)_X

en regard de d) et d') : si 2 inv. sur X les traits horizontaux de d') et e') sont ses « idem » ; l'indice de \mathfrak{sl}(1)_X et de \mathrm{SL}(2)_X est incertain (« 1 » et « 2 » se confondent ici).

Si on a P, on en déduit E = f_*(L), L module inv. sur P de degré 1 sur les fibres (L défini loc. sur X, à tensorisation près par f^*(\mathcal{L}), \mathcal{L} inv. sur X), M = \check{E}\otimes E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E) \simeq E\otimes E\otimes(\textstyle\bigwedge^2 E)^{-1} ext. de \underline{O}_X\ (\simeq \bigwedge^2E\otimes(\bigwedge^2E)^{-1}) par \Gamma^2E\otimes(\bigwedge^2E)^{-1}

ext. de \underbrace{\mathrm{Sym}^2(E)\otimes(\bigwedge^2E)^{-1}}_{f_*(L^{\otimes 2})\otimes(\bigwedge^2E)^{-1} \simeq f_*(L^{\otimes 2}\otimes\bigwedge^2E^{-1})} par \underline{O}_X\ (\simeq \bigwedge^2E\otimes(\bigwedge^2E)^{-1}), où L^{\otimes 2}\otimes\bigwedge^2E^{-1} = \underline{t}_{P/X}.

M \overset{?}{\simeq} f_*(\mathrm{P}^1_{P/X}(\underline{t}_{P/X}))\quad \text{\uncertain{addition}\,?}

\mathfrak{g} = M/\underline{O}_X avec crochet déduit du crochet (xy - yx) dans M [NB \underline{O}_X est dans le centre] \simeq f_*(\underline{t}_{P/X}) [avec crochet provenant des crochets dans \underline{t}_{P/X}]

\mathfrak{g}' \subset M^{\mathrm{tr}=0}exposant « \mathrm{tr}=0 » douteux sous-algèbre des éléments de trace nulle (\mathfrak{g}' \to \mathfrak{g} iso si 2 inv. sur X)

\|

\mathfrak{g}' \subset \check{E}\otimes E sous-algèbre des éléments de trace nulle

G = \mathrm{Aut}_X P, G' = \widetilde{G} (rev. univ. de Chevalley) = \underline{\mathrm{SL}}(E) Aut

P = \mathbb{P}(E) = schéma des Idéaux à gauche loc. facteurs directs qui sont « spéciaux » i.e. « » …

= schéma des sous-alg. de Borel de \mathfrak{g} /\ \mathfrak{g}'

= … gr. de Borel de G /\ G'

G \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(E)/\mathbb{G}_{m,X} \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(M) \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{g}) \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{g}') — ! attention à la car. (notamment car. 2 !)

explication [] : \mathrm{Sym}^2E\otimes\mathrm{Sym}^2E \to \mathrm{Sym}^2E\otimes\bigwedge^2E, \Gamma^2E\otimes\Gamma^2E \to \Gamma^2E\otimes\bigwedge^2E ; formes de Killing \mathrm{Sym}^2E\otimes\mathrm{Sym}^2E \to (\bigwedge^2E)^{\otimes 2}, \Gamma^2E\otimes\Gamma^2E\to\ldots

E = module d'une « rep. vraie » de M, de \mathfrak{g}, de \mathfrak{g}', de G, de G'.

\mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Lie}}\,G

\mathfrak{g}' = \mathrm{Lie}\,G'

1.2. Données équivalentes a)fibré en droites proj. P sur X, avec section unique \sigma b)Structure d'extension 0 \to \Omega \to \mathcal{L} \to \underline{O}_X \to 0, \Omega inversible c)Algèbre d'Azumaya de rang 4 M, avec idéal à gauche « spécial » \mathfrak{a} d)\mathfrak{g} avec ss.-alg. de Borel \mathcal{L} d')\mathfrak{g}' … \mathcal{L}' e)G … gr. … B e')G' … gr. … B' tel qu'il f)Une \underline{O}_X-Algèbre augmentée \mathcal{B}_2 nilpotente d'échelon 2, de « rang » 2 à \underline{O}_X et associée \underline{L} = \underline{L}' faisceau inv. de degré relatif 1 rigidifié par \sigma^*(\underline{L}) \simeq \underline{O}_X. Alors

l'alinéa f) est écrit plus serré et en partie par-dessus e') ; sa lecture est incertaine et le passage de f) à « Alors \mathcal{L} = f_*(\ldots) » ne se suit pas.

\mathcal{L} = f_*(\underline{L}), avec structure d'ex. évidente \simeq f_*(\underline{L}/\mathcal{J}\underline{L}) \qquad (\mathcal{J} = \text{Idéal de } \sigma(X) \text{ dans } P) \simeq \sigma^*(\mathrm{P}^1(\underline{L})) P = \mathbb{P}(\mathcal{L}) avec section provenant des quotients inv. \underline{O}_X de \mathcal{L}

= classifiant proj. des torseurs sous W(\Omega) défini par l'extension

M = \underline{\mathrm{End}}\,\mathcal{L}, avec idéal annulateur de \Omega (données de splitting)

\mathfrak{g} = M/\underline{O}_X \simeq \mathrm{Sym}^2(\mathcal{L})\otimes\Omega^{-1} \qquad (\textit{NB}\ \det\mathcal{L}\simeq\Omega) Or \mathrm{Sym}^2\mathcal{L} est filtré par (décr.) \underline{O}_X, \Omega, \Omega^2, donc \mathrm{Sym}^2\mathcal{L}\otimes\Omega^{-1} filtré par (…) \begin{array}{ccc} \Omega & \underline{O}_X & \Omega^{-1}\\ \| & \| & \|\\ \mathrm{Fil}_1 & \mathrm{Fil}_2/\mathrm{Fil}_1 & \mathrm{Fil}_3/\mathrm{Fil}_2\\ \| & \| & \|\\ \mathrm{gr}_1 & \mathrm{gr}_2 & \mathrm{gr}_3 \end{array} expliquer aussi par \mathfrak{g}, \mathrm{P}^1(\mathcal{L}) … 0 \to \Omega \to \mathcal{L} \to \underline{O}_X \to 0 … (\Omega = \mathcal{L}\ldots)

où \mathrm{Fil}_2 \simeq \Omega^{-1}\otimes(\underbrace{\mathrm{Ker}\,\mathrm{Sym}^2\mathcal{L} \to \mathrm{Sym}^2 O}_{\simeq\ \Omega\otimes\mathcal{L}}) \simeq \mathcal{L}

donc on a \underbrace{\Omega \subset \overbrace{\mathcal{L}}^{\underline{O}_X} \subset \mathfrak{g}}_{} \qquad \text{(gradués : } \Omega,\ \underline{O}_X,\ \Omega^{-1}) et \mathcal{L} est une ss-alg. de Borel (\Omega son prod. unipotent) \{NB pour forme de Killing, \Omega et \mathcal{L} orth. l'un de l'autre\}

NB \mathfrak{g}/\Omega \simeq \mathcal{L}^{\vee} (vérifier) car Killing … \mathcal{L}\otimes\mathcal{L} \to \ldots non dégénérée

On n'explicite pas (\mathfrak{g}', \mathcal{L}') (\simeq(\mathfrak{g}, \mathcal{L}) si 2 inv.), non plus (G,B), (G',B') …

G' = \underline{\mathrm{SL}}_{\underline{O}_S}\mathcal{L}, B' \subset G' = stabilisateur de \Omega

G, B déduits par passage au quotient par centre …

plus bas [1.4. Supposons X/S, et considérons des connexions rel. S sur les objets du type envisagé dans 1.1, mais auxquels on a ajouté la donnée de l'un des structures 1.2. Ainsi, on considère des couples … (P, \sigma, c) \begin{cases} P \text{ fibré en droites projectives sur } X\\ \sigma \text{ section}\\ c \text{ connexion de } P \text{ rel. à } S \end{cases} (mais où on suppose pas … plat)

Il nous sera particulièrement commode de l'expliciter en termes de (\mathcal{L},\Omega) i.e. 0 \to \Omega \to \mathcal{L} \to \underline{O}_X \to 0 (qui donne (P,\sigma), donc (\mathfrak{g},\mathcal{L}), comme expliqué, et d'une connexion de \mathfrak{g}. On notera que …]

Splittings

1.3.

fibré en droites projectives sur X avec deux sections disjointes \sigma, \sigma'

\updownarrow

fibré inversible \Omega (P = \mathbb{P}(\Omega + \underline{O}_X) \simeq \overline{W(\Omega)} clôture projective de W(\Omega), avec \sigma = section à l'\infty, \sigma' = section nulle)

\updownarrow

[M somme directe de deux Idéaux spéciaux …]

\updownarrow

\mathfrak{g} munie d'une sous-alg. \mathcal{L} de Cartan, rang 1 (cf. SGA 3), soit d'une graduation en \mathfrak{g} \simeq \underset{\substack{\|\\ \mathcal{L}_{-}}}{\Omega} + \underset{\substack{\|\\ \underline{O}_X}}{\underline{O}^0_X} + \Omega^{-1}, \qquad \mathcal{L} = \Omega + \underline{O}^0_X \begin{aligned} [\omega_1, \lambda] &= -[\lambda, \omega_1] = -\lambda\omega_1\\ [\omega_{-1}, \lambda] &= -[\lambda, \omega_{-1}] = \lambda\omega_{-1}\\ [\omega_1, \omega_{-1}] &= -[\omega_{-1}, \omega_1] = 2\omega_1\omega_{-1} \end{aligned} soit \mathfrak{g} avec \mathfrak{t}\subset\mathfrak{g} sous-alg. de Cartan, et le choix d'une des deux sous-algèbres nilpotentes \mathfrak{t}_{\mathfrak{g}} normalisées par \mathfrak{t}, \Omega, \Omega' … ce qui fixe l'iso \mathfrak{t} \simeq \underline{O}_X (\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}_S}(\Omega,\Omega)) \mathfrak{g}' … sauf car. \neq 2, 3 … modulo

\updownarrow \mathfrak{g}' avec données analogues (Mais dans la table de multiplication, dans ce cas, il faut … -2\lambda\omega_1,\quad 2\lambda\omega_{-1},\quad \omega_1\omega_{-1}\ )

\updownarrow G avec couple de Killing

\updownarrow G' avec couple de Killing « couple de Killing » est une lecture probable des deux dernières lignes.

1.4 suite

Choisissons d'abord un splitting de \mathfrak{g}, rel. \mathcal{L} i.e. un \mathfrak{g} \simeq \Omega + \underset{\substack{\|\\ \underline{O}_X}}{\Omega^0} + \Omega^{-1} d'où, posant \omega = \underline{\Omega}^1_{X/S}, \mathfrak{g}\otimes\omega \simeq \Omega\otimes\omega + \omega + \Omega^{-1}\otimes\omega

Choisissons-en loc. une section \delta de \Omega comme base. Une connexion (sans courbure) c_0 en obtenue par \mathfrak{g} \xrightarrow{\ c_0\ } \mathfrak{g}\otimes\omega c_0(\delta) = c_0(1) = c_0(\delta^{-1}) = 0 i.e. c_0(\underbrace{\lambda\delta + \mu\cdot 1 + \nu\delta^{-1}}_{\substack{\updownarrow\\ (\lambda,\mu,\nu)}}) = \underbrace{\delta\,d\lambda + 1\,d\mu + \delta^{-1}d\nu}_{\substack{\updownarrow\\ (d\lambda,\,d\mu,\,d\nu)}} Une connexion générale s'obtient alors en ajoutant une section de \mathrm{Der}(\mathfrak{g},\mathfrak{g})\otimes\omega \simeq \mathfrak{g}\otimes\omega (NB toute dérivation de \mathfrak{g} est intérieure !)

Soit \varpi = \varpi_2 + \varpi_1 + \varpi_0 \in \Gamma\,\mathfrak{g}\otimes\omega i.e. \begin{aligned} \varpi_2 &\in \Gamma(\Omega\otimes\omega)\\ \varpi_1 &\in \Gamma(\omega)\\ \varpi_0 &\in \Gamma(\Omega^{-1}\otimes\omega) \end{aligned} on aura donc pour connexion c_{\varpi} alors par c_0 et \varpi c_{\varpi}(\underbrace{\lambda\delta + \mu\cdot 1 + \nu\delta^{-1}}_{(\lambda,\mu,\nu)}) \overset{?}{=} \text{\struck{\ill{}}}

\begin{aligned} c_{\varpi}(\underset{\substack{\|\\ \omega_0}}{\lambda\delta}) &= \underbrace{\delta\,d\lambda}_{\text{poids } 2} + \lambda\bigl[\underset{\substack{\|\\ 0}}{[\varpi_2,\lambda\delta]} + [\varpi_1,\lambda\delta] + [\varpi_0,\lambda\delta]\bigr]\\ &\qquad + \underbrace{\varpi_1(\lambda\delta)}_{\text{poids } 2}\ \ 2\varpi_0(\lambda\delta) \end{aligned} la première ligne est surchargée ; l'indice de \omega_0 sous \lambda\delta et le signe devant 2\varpi_0(\lambda\delta) sont incertains.

\begin{aligned} c_{\varpi}(\underset{\substack{\|\\ \lambda\delta}}{\omega_1}) &= \overset{2}{\delta\,d\lambda} + \omega_1(\overset{2}{\varpi_1} - \overset{1}{2\varpi_0})\\ c_{\varpi}(\underset{\substack{\|\\ \mu\cdot 1}}{\omega_0}) &= \overset{1}{d\mu} + \omega_0(-\overset{2}{\varpi_2} + \overset{0}{\varpi_0})\\ c_{\varpi}(\underset{\substack{\|\\ \nu\delta^{-1}}}{\omega_{-1}}) &= \overset{0}{\delta^{-1}d\nu} + \omega_{-1}(\overset{1}{2\varpi_2} - \overset{0}{\varpi_1}) \end{aligned} les petits chiffres au-dessus des termes sont ses indices de filtration (« poids ») ; leur position exacte est approximative.

Encadré : \mathfrak{g} : \Omega,\ \underset{\substack{\|\\ \underline{O}_X}}{\Omega^0},\ \Omega^{-1} \qquad\qquad \mathfrak{g}\otimes\underline{\omega} : \Omega\otimes\underline{\omega},\ \underline{\omega},\ \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}

On trouve la condition suivante (indépendante du choix des splittings … !)

\{ La connexion c satisfait c(\mathrm{Fil}_i\,\mathfrak{g}) \subset \mathrm{Fil}_{i+1}(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega})

\{ par passage au quotient, il induit c_{i,i+1} : \mathrm{gr}_i\,\mathfrak{g} \to \mathrm{gr}_{i+1}(\mathfrak{g}\otimes\omega) \simeq \mathrm{gr}_{i+1}(\mathfrak{g})\otimes\omega qui est linéaire, de façon précise \begin{aligned} c_{1,2} &: \mathrm{gr}_1 \to \mathrm{gr}_2,\quad \Omega \to \omega && \text{i.e. } c_{12} \in \Gamma\,\Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}\\ c_{2,3} &: \mathrm{gr}_2 \to \mathrm{gr}_3,\quad \underline{O}_X \to \Omega^{-1}\otimes\omega && \text{i.e. } c_{23} \in \Gamma\,\Omega^{-1}\otimes\underline{\omega} \end{aligned} on a [\,c_{12} = -2\varpi_0,\ c_{2,3} = \varpi_0, donc\,] \boxed{c_{1,2} = -2\,c_{2,3}}

NB On déduit que la connexion respecte la filtration ssi \underset{\sim}{c_{2,3}} = 0 (d'où c_{1,2} = 0) [cela signifie \varpi_0 = 0] ce sont aussi celles qui respectent la Borel \mathcal{L}\subset\mathfrak{g}, ou encore qui respectent la section \sigma de P, i.e. pour lesquelles \sigma est horizontale. Elles sont déterminées modulo section de \mathcal{L}\otimes\underline{\omega}.

Re NB On pourrait aussi considérer c^{\Omega} : \underset{\substack{\wr\\ \mathcal{L}'\simeq\mathcal{L}\otimes\Omega^{-1}}}{\mathfrak{g}/\Omega} \longrightarrow \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega} induit par c, (bilinéaire) sur \Omega^0 \simeq \underline{O}_X \subset \mathcal{L}\otimes\Omega^{-1} ; sa connaissance est équivalente à celle de c_{\Omega} si 2 inv., etc. dans le cas général (précisément car. 2 ? C'est peut-être plus précis …)

NB Les connexions sur \mathfrak{g} compatibles avec crochet (si 2 inv. — sinon il faut parler des connexions sur P, ou G etc.) forment un torseur sous \mathfrak{g}\otimes\underline{\omega}. Or \text{on a}\quad \mathfrak{g}\otimes\underline{\omega} \to \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega} d'où un torseur sous \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}. Le dernier est splitté canoniquement, i.e. on a \underline{\mathrm{Conn}} \xrightarrow{\ \varpi_0\ } \Omega^{-1}\otimes\omega compatible avec \varpi_0, et si c section de \underline{\mathrm{Conn}}, \varpi_0(c) détermine les homs \mathrm{gr}_i(\mathfrak{g}) \to \mathrm{gr}_{i+1}(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega}) \begin{aligned} \Omega = \mathrm{gr}_1(\mathfrak{g}) &\xrightarrow[-2\varpi_0]{} \omega \simeq \mathrm{gr}_2(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega})\\ \Omega^0 \simeq \underline{O}_X = \mathrm{gr}_2\,\mathfrak{g} &\xrightarrow[\varpi_0]{} \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega} = \mathrm{gr}_3(\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega}) \end{aligned} Si on considère les c pour lesquelles \varpi_0(c) \in \Gamma\,\underset{\substack{\|\\ \mathrm{Hom}(\Omega,\underline{\omega})}}{\Omega^{-1}\otimes\underline{\omega}} est donnée i, on trouve une restriction du gr. struct. de \underline{\mathrm{Conn}} : \mathcal{L}\otimes\underline{\omega}, d'où torseur \underline{\mathrm{Conn}}_i sous \mathcal{L}\otimes\underline{\omega}. Or on a \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega} d'où un torseur induit sous \underline{\omega} : les conn. sur \mathfrak{g} compatibles avec i, modulo op. d' ajouter une section de \Omega\otimes\underline{\omega} \subset \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \subset \mathfrak{g}\otimes\underline{\omega}. C'est aussi () le torseur des restrictions à \Omega des conn. compatibles avec i, ou encore des homs additifs op. diff. d'ordre 1 (rel. S) \Omega \xrightarrow{\ c_{\Omega}\ } \mathcal{L}\otimes\omega telles que la composée \Omega \to \mathcal{L}\otimes\omega \to \omega soit linéaire (*) (et égale à -2i), et qu'on ait (**)\quad c_{\Omega}(f\omega) - f\,c_{\Omega}(\omega) = \omega\otimes df \qquad \omega\in\Gamma\,\Omega,\ f\in\Gamma\,\underline{O}_X TSVP

La donnée d'un tel c_{\Omega} équivaut à une restriction du groupe structural de \underline{\mathrm{Conn}}_i à \Omega\otimes\underline{\omega}, ou encore (indépendant de la donnée de de i) la donnée d'un c_{\Omega} pour lequel (*) est linéaire et (**) est vraie, équivaut à une restriction du groupe structural de \mathfrak{g}\otimes\omega à \underline{\mathrm{Conn}} … \Omega\otimes\underline{\omega} …

On s'intéresse au cas où \underline{\mathrm{Conn}}_i est trivial, i.e. c_{\Omega} est tel que le composé (-2i) : \Omega \longrightarrow \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega} (ce qui exige que 2 inv.)

soit un iso. Alors les triples (\mathfrak{g}, \mathcal{L}, c_{\Omega}) \quad (\text{où, ce qui revient au même,}\ (\mathcal{L}\supset\Omega,\ c_{\Omega})) sont définis, à iso unique près, par X/S (et avant tout \underline{\omega} = \underline{\Omega}^1_{X/S} est inversible) comme \mathcal{L} \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1} \qquad (\text{d'où } \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})) et c_{\Omega} : \Omega \simeq \underline{\omega} \longrightarrow \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega}) n'est autre que d^1_{X/S,\underline{\omega}} …

Interprétation de c_{23} comme c_{2,3} : \Omega \longrightarrow \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S} … une fois qu'on a noté, compte tenu de \Omega \simeq \sigma^*(\underline{\Omega}^1_{P/X}) la division relative à la connexion c de la section \sigma ; on dit que \sigma est loc. (… i.e. \mathcal{L}\subset\mathfrak{g}) est nulle part stationnaire pour c, si c_{2,3} est « partout non nulle ». Appliquer … Il faut … dire local du \omega.

On suppose par la suite qu'il en est ainsi, i.e. que \omega est inversible, et supposons par c_{2,3} : \Omega \to \underline{\omega} est un iso. On appellera les connexions « transverses à \sigma (ou à \mathcal{L}\subset\mathfrak{g}) ». On identifie \Omega\simeq\underline{\omega} par c_{23}, et de façon précise, on suppose donné un iso \Omega \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ i\ } \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S} et on se borne aux conn. pour lesquelles c_{2,3} = i. Les sections d'un torseur sous \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} [soit \underline{\mathrm{Conn}}(\mathfrak{g}, i) transverses].

Considérons la restriction d'une connexion c à \Omega \simeq \underline{\omega} = \mathrm{Fil}_1\mathfrak{g} c|\underset{\substack{\|\\ \mathrm{Fil}_1\mathfrak{g}}}{\Omega} : \Omega \longrightarrow \underbrace{\mathcal{L}\otimes\omega}_{\Omega\otimes\omega,\ \omega} \ldots la page s'arrête sur cette formule inachevée.

Je sais que son composé avec \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega} est -2i\ldots. Considérons Comme c|\Omega c|\underline{\omega} est op. diff. d'ordre \leq 1, on trouve qu'il se factorise en \underline{\Omega} \xrightarrow[\substack{\text{op. diff.}\\ \text{con.}\\ \text{d'ordre } 1}]{\ d^1_{\underline{\omega}}\ } \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\Omega}) \xrightarrow[\text{lin.}]{\ \gamma\ } \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} et comme le composé c|\underline{\omega} \underline{\Omega} \xrightarrow{\ c|\underline{\omega}\ } \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega} est linéaire (de valeur -2i) on trouve que \gamma définit une linéaire d'extensions \begin{array}{ccccccccc} 0 \to & \Omega\otimes\omega & \to & \mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega) & \to & \Omega & \to & 0\\ & \downarrow{\scriptstyle \gamma_0 = ?} & & \downarrow{\scriptstyle \gamma} & & \downarrow{\scriptstyle -2i} & &\\ 0 \to & \Omega\otimes\omega & \to & \mathcal{L}\otimes\omega & \to & \omega & \to & 0 \end{array} On va déterminer \gamma_0, quels que soient les splittings i et section \delta_0 de \Omega, en termes de \varpi_0 = i, \varpi_1, \varpi_2 ci-dessus, En fait \mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega) \simeq \Gamma\,\mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{O}_X) … op. diff. loc. libre … \Omega, …

les deux dernières lignes de l'alinéa sont serrées, en partie biffées, et lues pour l'essentiel .

avec \gamma(\underset{\substack{\cap\\ \Gamma\Omega}}{\omega_1}\otimes \underset{\substack{\cap\\ \Gamma\underline{O}_X}}{df}) = c(f\omega_1) - f\,c(\omega_1) Si \omega_1 = \lambda\delta, on trouve donc \begin{aligned} \gamma(\lambda\delta\otimes df) &= \delta\,[d(f\lambda) - f\,d(\lambda)]\\ &= \delta\,[\lambda\,df] = \lambda\delta\otimes df \end{aligned} donc \gamma = \mathrm{id}. Donc

Remarque. Si c connexion transverse et 2 inv. sur X, alors \gamma_0 est un iso d'extensions de \mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega) … la phrase se poursuit à la page suivante.

et \mathcal{L}\otimes\underline{\omega}, induisant -2i et \mathrm{id}. Donc un iso \mathcal{L} \xrightarrow[\gamma^{-1}\otimes\mathrm{id}_{\omega^{-1}}]{\ \sim\ } \mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega)\otimes\omega^{-1} \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\otimes\omega^{-1} Corr.

induisant un diagramme d'extensions

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & \underline{\omega} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & \mathcal{L} \arrow[r] \arrow[d] & \underline{O}_X \arrow[r] \arrow[d, "-2\,\mathrm{id}"] & 0\\ 0 \arrow[r] & \underline{\omega} \arrow[r] & \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\otimes\omega^{-1} \arrow[r] & \underline{O}_X \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

(R) en regard du diagramme ; -2\,\mathrm{id} est cerclé.

ou encore, en multipliant par -\frac{1}{2}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & \underline{\omega} \arrow[r] \arrow[d, "-\frac{1}{2}\mathrm{id}_{\underline{\omega}}"] & \mathcal{L} \arrow[r] \arrow[d] & \underline{O}_X \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}_{\underline{O}_X}"] & 0\\ 0 \arrow[r] & \underline{\omega} \arrow[r] & \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega)\otimes\omega^{-1} \arrow[r] & \underline{O}_X \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

(RR) en regard du second diagramme ; -\frac{1}{2}\mathrm{id}_{\underline{\omega}} est cerclé.

(Dans le torseur sous \underline{\omega} \simeq \Omega défini par l'ext. \mathcal{L} est déduit du torseur défini par \underline{\omega} l'ext. \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1} de \underline{O}_X par \underline{\omega} (ou \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) de \underline{\omega} par \underline{\omega}^2) par multiplication par -2.)

Utilisant cette identification, c|\Omega \simeq \underline{\omega} s'identifie à l'op. diff. universel c\,|\,\underset{\substack{\|\\ \mathrm{Fil}_1\mathfrak{g}\\ \|\\ \mathcal{L}^{\perp}}}{\Omega \simeq \underline{\omega}} \quad \underset{d^1_{\underline{\omega},X/S}}{=} \quad \underset{\substack{\wr\\ \omega}}{\Omega} \xrightarrow{\ c\ } \mathcal{L}\otimes\omega \simeq \mathrm{P}^1(\omega) l'exposant de \mathcal{L} sous \mathrm{Fil}_1\mathfrak{g} est lu « orth. » (orthogonal).

NB On utilise d'ici ici ces mêmes identifications et on se borne aux conn. de \mathfrak{g}, dont la restriction à \Omega \simeq \underline{\omega} = \mathcal{L} est la d^1_{\underline{\omega},X/S}. Elles sont déterminées donc modulo faisant sections dans de \Omega\otimes\omega \simeq \underline{\omega}^{\otimes 2}.

Donc pour la suite on se donne d'abord l'extension 0 \to \Omega \to \mathcal{L} \to \underline{O}_X \to 0 (\Omega inversible), puis l'op. diff. d'ordre \leq 1 \Omega \xrightarrow{\ c_{\Omega}\ } \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \qquad \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S} tel que

a)le composé avec \mathcal{L}\otimes\underline{\omega} \to \underline{\omega} soit un \Omega \to \underline{\omega} linéaire et un iso (qui servira à identifier \Omega \simeq \underline{\omega} puis utiliser plus … -2i, i : \Omega \simeq \ldots pour identifier). b) On a (si \omega\in\Gamma\Omega, f\in\Gamma\underline{O}_X) c_{\Omega}(f\omega) - f\,c_{\Omega}(\omega) = \omega\otimes df (\omega fixe, c'est bien linéaire \Omega \to \Omega\otimes\omega)

cela équivaut vraiment ici …

[Les conditions définissent le splitting de l'ext. \mathcal{L} et l'op. diff. c_{\Omega} à iso unique près — et ce pour types … si \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S} est bien inversible)

On forme \mathfrak{g}, et on considère les connexions [sur \mathfrak{g}] d'alg. de Lie \underline{\mathrm{Conn}} sur \mathfrak{g} qui prolongent c_{\Omega}. Elles forment les sections d'un torseur sous \Omega^2\otimes\underline{\omega} \simeq \underline{\omega}^{\otimes 2}. On … qu'elles …

Le donnée de c_{\underline{\omega}} revient à d'un iso. des de \Omega … \sigma(X) de X\times_S X … voisinage … \sigma(X) \ldots … voisinage … \ldots … note marginale écrite verticalement, dans un cadre, en partie biffée ; elle n'est lue que par fragments.

Faire le lien avec la description (P,\sigma,c) et les deux familles \underline{O}_{\hat{P}} \simeq \mathrm{P}^{\infty}_{X/S} (si X/S différentiellement lisse …).

1.5. Sections horizontales de P

Pour quelles connexions \mathfrak{g} admissibles sur X/S (avec \underline{\omega}_{X/S} inversible) y a-t-il des sections horizontales de P, et quelles sont-elles ? On a étudié déjà les sections horizontales de P là où elles sont disjointes de la section donnée \sigma. Elles correspondent donc à une décomposition de \mathfrak{g} en somme directe, … de \mathfrak{g} en \mathfrak{g} \simeq \Omega \oplus \Omega^0 \oplus \Omega^{-1} \qquad (\Omega\simeq\omega) Si le Une connexion c admet la section \sigma' horizontale c(\Omega^{-1})\subset ssi c(\Omega^{-1}) \subset (\Omega^0 + \Omega^{-1})\otimes\underline{\omega} ou c(\Omega^0)\subset(\Omega^0+\Omega^{-1})\otimes\underline{\omega}, … comme on le trouve en termes d'une section base \delta de \Omega, permettant de décrire c par trois formes \varpi_2, \varpi_1, \varpi_0, sections de \Omega\otimes\underline{\omega}, \Omega^0\otimes\underline{\omega} = \underline{\omega} et \Omega^{-1}\otimes\underline{\omega} : -2\varpi_2 = 0 donc si 2 inversible cela signifie \varpi_2 = 0 et pour obtenir ainsi une de connexions modulo \Gamma(\Omega\otimes\omega) et donc … p. ex. par sa restriction à \Omega — puis on obtient des … unique en convergeant c par adjonction d'une \omega_2\in\Gamma\,\Omega\otimes\underline{\omega}. 2 inv. !

Donc

Prop. Pour le splitting de l'ext. \mathcal{L} (\simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\otimes\underline{\omega}^{-1} dans le cas « canonique ») il y a une et une seule conn. admissible sur \mathfrak{g} (ou P\ldots) pour laquelle la section correspondante de P soit horizontale. Donc correspondance … bien … l'ensemble des sections de P - \sigma(X) affines à … i.e. des splittings de \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) sur X, et des connexions affines sur X, ayant comme … que celles qui admettent une section hor. disjointe de \sigma ; la fin de la page est très surchargée de biffures et d'ajouts interlinéaires ; la lecture n'en est que partielle.

Quelles connexions sont obtenues ainsi ? Choisissons (loc.) une uniformisante t de X, d'où une base dt de \omega\simeq\Omega, et un splitting de \mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega) \simeq \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) \simeq \mathrm{P}^1(\underline{O}_X) (par le dual de la base dt), d'où une connexion régulière, correspondante. On va supposer \mathfrak{g} splitté localement, avec base \delta de \Omega, et une connexion d'origine c_0 donnée par \begin{aligned} c_0(\underset{\substack{\|\\ \lambda\delta}}{\omega_1}) &= \delta\,d\lambda + \omega_1(-2\varpi_0) \qquad\qquad \varpi_0\in\Gamma\,\Omega^{-1}\otimes\omega\\ c_0(\underset{\substack{\|\\ \mu\cdot 1}}{\omega_0}) &= 1\,d\mu + \omega_0(\varpi_0)\\ c_0(\underset{\substack{\|\\ \nu\delta^{-1}}}{\omega_{-1}}) &= \delta^{-1}d\nu \quad \text{\struck{\ill{}}} \end{aligned} Considérons une section s de \mathcal{L} s'envoyant sur la section 1_X de \underline{O}_X s = s_0 + \omega_1 \qquad (s_0 = (0,1)) Soit \begin{cases} \text{\struck{$\ldots$}} : \underline{O}_X \to \mathcal{L}\\ v_s : \Omega^{-1} \to \mathfrak{g} \end{cases} \qquad \text{i.e. } v_s \in \Gamma(\mathfrak{g}\otimes\Omega) les les correspondants. de On a \begin{aligned} s &= \exp\Theta_{\omega_1} s_0 \quad \text{\struck{$= s_0 + [-\omega_1, s_0] + [-\omega_1 \ldots$}}\\ v_s &= \exp\Theta_{\omega_1} v_{s_0} = v_{s_0} + \underbrace{[-\omega_1, v_{s_0}]}_{-2\omega_1 v_{s_0}} + \tfrac{1}{2}\underbrace{[-\omega_1,[-\omega_1, v_{s_0}]]}_{\omega_1^2 v_{s_0}} \end{aligned} pour v_{s_0} = \ldots

d'où la question est de c(v_s) est de calculer la composante \varpi_2(s) = \varphi(\omega_1) de c(s) suivant le \Omega\otimes\omega de la décomposition \mathfrak{g} \simeq \Omega + \text{\struck{$\exp\Theta_{\ldots}$}}\,\underline{O}_X\cdot s + v_s(\Omega^{-1}) i.e. (\exp\Theta_{\omega_1})\otimes\mathrm{id}_{\omega}(c(s)) et la forme … (pour …) \varpi_2(s) = \varphi(\omega_1), … c(v_s) = \underbrace{\varpi_2(s)}_{\Omega\otimes\omega} + \text{\struck{\ill{}}}\ s\otimes\varpi_1(\ldots) + \underbrace{(v_s\ldots)(\varpi_0)}_{\Omega^{-1}\otimes\omega} = \text{composante de } \exp\Theta_{+\omega_1}(c(s)) ce bloc est entouré, traversé de biffures et de flèches de renvoi ; sa lecture est en grande partie incertaine.

Sauf erreur, on trouve s = s_0 + \omega_1 \longmapsto c_0 + \Bigl(\delta\,d\bigl(\tfrac{\omega_1}{\delta}\delta^{-1}\bigr) + \omega_1^2\Bigr) Prenons \delta de façon que son image dans \omega soit dt, t une uniformisante, on trouve sauf erreur de calcul s_0 + \lambda\,dt \longmapsto c_0 + \Bigl(\frac{d\lambda}{dt} + \lambda^2\Bigr)(dt)^2 facteur 2 ?

Donc quand une conn. proj. sur X/S est définie par l'opération de la conn. proj. de réf. c_0) par une 2-forme \varphi(dt)^2, la question s'il y a possibilité de trouver une section horizontale de P disjointe de la section donnée \sigma revient à celle de trouver des solutions \lambda de l'équation \frac{d\lambda}{dt} + \lambda^2 = \varphi (équation diff. non lin. du 1er ordre). On sait, si X courbe lisse sur corps de car. nulle, qu'il y a au plus une solution ayant une valeur et une dérivée données en un pt ; et il y en a une formelle, mais transcendante (!), en générale — les pôles de l'unique \lambda correspondant seuls à des pts de rencontre de \sigma (défini par \lambda) et de \sigma'\ldots

1.6.

Intrinsèquement, le P canonique est \simeq \mathbb{P}(\mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})), où \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S}. Donc une section de P s'identifie à un couple (L, \sigma) L Module inversible sur X, et \sigma : \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) \to L \quad \text{épi. lin.} Or un hom. lin. \sigma : \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) \to L équivaut à … la phrase se poursuit à la page suivante.

un op. 1-diff. (rel. : X/S) D : \underline{\omega} \longrightarrow L, satisfaisant et la restriction de \sigma à \underline{\omega}\otimes\underline{\omega} = \underline{\omega}^2 \subset \mathrm{P}^1_{X/S}(\omega) \sigma_0 : \underline{\omega}^2 \to L \qquad \text{i.e. } \sigma_0 \in \Gamma(L\otimes\omega^{-2}) est ainsi défini par D(f\omega) - f\,D(\omega) = \sigma_0(\omega\cdot df) (\omega\in\Gamma\underline{\omega}, f\in\Gamma\underline{O}_X). Les pts où la section \sigma canonique sont ceux où \sigma_0 s'annule, i.e. les pts de dégénérescence de l'op. diff. D. On notera qu'alors l'ordre de dég., il est automatiquement pas tel que \sigma est épi — que ce soit épi en ce pt signifie aussi que L est engendré comme module par les D(\omega) (\omega section loc. de \underline{\omega}) si on peut vrai, donc (si X courbe alg. sur corps de base k) il y a une finie L'\subset L maximale pour laquelle la les lignes 9 à 11 de la page sont pâles et serrées : lecture fragmentaire.

… se factorise D (la plus petite …) par , et quelle que soit laquelle la condition est vérifiée…

On voit donc (via les telles équations … associées, sur l'ouvert des pts non de dégénérescence), une connexion projective singulière qui rend horizontale … Question : si \exists connexion le bas de la page est lu par fragments ; la dernière ligne est biffée.

Pour que la section donnée \sigma de P soit horizontale pour une conn. projective admissible et (a …) que l'ouvert U des pts où D est non dég. soit dense (en chaque fibre de X sur S et b) que la section qui vient de définir sur U — la section du torseur \underline{\mathrm{Conn}}_{\mathrm{proj}} sous \underline{\omega}^2 — « soit régulière sur tt X » (i.e. se prolonge en section régulière sur tt X (laquelle sera unique)). Cette condition est une condition purement locale en les pts de régularité, et signifie dégénérescence, et signifie qu'en tant que scindage de \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega}), \sigma doit avoir une singularité polaire au plus d'ordre 1, et la partie polaire et la principale polaire à l'ordre 1 près () sections nulles au pt envisagé doit être déterminée (écrire que \lambda^2 + \frac{d\lambda}{dt} n'a pas de pôle en un pt où \lambda en a un !). Donc, le long de la section canonique \sigma de P, il y a un champ d'éléments de section d'ordre 2 transverses à \sigma, et les sections \sigma' de P sur X lesquelles il y a une connexion projective de X rendant \sigma' horizontale (laquelle sera unique) sont celles qui, en un pt commun d'intersection avec \sigma, ont un pt d'ordre 2 celui du champ. [NB des éléments de contact con. d'ordre 1 à traverser de façon précise qu'on prend un \Omega inversible, … la section de \mathbb{P}(\mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega)) définie par la … la fin de la page se poursuit à la page suivante ; plusieurs mots courts du passage ne sont lus que par conjecture.

structure d'extension de \mathrm{P}^1_{X/S}(\Omega), … — plus gén., chaque fois qu'on a une ext. de \Omega inv. par \Omega\otimes\underline{\omega}, \underline{\omega} = \Omega^1_{X/S} inversible aussi…]

Si l'op. diff. \omega \longrightarrow \underbrace{L \simeq \underline{O}_X}_{\text{\uncertain{trivialisé}}} est D(f\,dt) = a\frac{df}{dt} + b la condition invariante principale est \frac{b}{a} = \lambda_t (ne dépend que du choix de l'uniformisante t) et la condition, en un pôle de \lambda i.e. zéro de a (qui donne au droit par des zéros de b, car a et b ne divisent pas tous simultanément) est

a)\lambda_t n'a que pôles simples b) \lambda_t a comme développement formel en t \lambda_t = \frac{2}{t}\,(+\ \text{pas de termes constants}) + \text{termes d'ordre} \geq 1

la parenthèse « + pas de termes constants » est une lecture probable ; le reste de la page est blanc.

feuille de brouillon, numérotée par lui « 1 » (cerclé) en haut à droite ; la note du coin supérieur gauche est biffée de traits obliques.

\mathcal{M}^{\uncertain{q}}_g \to \mathcal{M}_g, \mathcal{M}_g \subset bien connu … (net à finies)

P = \mathbb{P}(\mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})),\ \sigma,\ c \longmapsto \sigma,\ c + \varpi_2 \qquad (\varpi_2 \neq 0) automorphisme de P transformant c en c+\varpi_2

cas Unique … automorphismes ? Quels sont les automorphismes u de P tels que u(\sigma) de la forme c+\varpi_2 ??

\ldots\ \omega \subset \mathcal{L} \subset \mathfrak{g}\ldots

Sections de P disjointes de \sigma = splittings de \mathcal{L} \begin{aligned} &= \text{splittings de } \mathrm{P}^1_{X/S}(\underline{\omega})\\ &= \text{connexions sur } \omega \end{aligned} ou op. diff. d'ordre 1 sur \omega, forme … sur \omega à valeurs dans \omega\otimes\omega = \omega^2 Connexions, projectives, s'interprétant comme satisfaisant D(f\omega) - f\,D(\omega) = \omega\otimes df D(f\,dt) = f\,\underbrace{D(dt)}_{\lambda} + dt\,df sections de P non disjointes de \sigma = connexions de \omega avec points singularités polaires.

Connexions projectives de P = conditions différentielles du premier ordre sur sections de P i.e. sur connexions de \omega, de la forme … ?

0 \to \underbrace{\omega}_{} \subset \mathcal{L} \subset \mathfrak{g} \to 0 \qquad \begin{aligned} &v_s : \omega^{-1} \to \mathfrak{g}\\ &v_s \in \Gamma\,\mathfrak{g}\otimes\underline{\omega} = \underline{\omega}^2\oplus\underline{\omega}\oplus\underline{\omega}^0 \end{aligned} à droite, d'une écriture très fine, « \deg = 0+0+1 » (?). \underline{\omega} + \underline{O}_X\cdot s + v_s(\underline{\omega}^{-1}) \qquad c(s) \subset s\otimes\omega + v_s\cdot\underline{O}_X\ ? \omega_a + \underline{O}_s + \omega' \qquad \text{\struck{$\lambda$}}\ c(s) = \varphi_2 + s\otimes\varphi_1 + v_s\cdot\varphi_0 \quad \text{avec } \varpi_0 = 0\ ? s = s_0 + a_1 \quad (a_1\in\Gamma\underline{\omega}) \begin{aligned} (\exp(\Theta_{a_1})\otimes\mathrm{id}_{\omega})(c(s)) &= \varphi_2 + (\exp\Theta_{a_1} s)\otimes\varphi_1 + (\exp\Theta_{a_1} v_s)\,\varphi_0\\ &= \varphi_2 + s_0\otimes\varphi_1 + \varphi_0 \end{aligned} les dernières lignes sont surchargées ; les indices de \Theta et le dernier facteur de la troisième ligne (« (\varphi_0 / s) ») sont incertains. L'argument se poursuit au-delà de cette page.