Cote n° 93, pages 21–40

Cote n° 93 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

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21Tapuscrit d'un autre auteur, non transcrit : « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate, mis au goût du jour par P. Deligne » (titre porté en tête du tapuscrit, première page du dossier), sans date ; pages 17 à 19 de la dactylographie, fin du § 6 et § 7 « Anneau des formes modulaires entières ». Les annotations à l'encre bleue sont de la même main que celles de la page de titre, qui distinguent elles-mêmes les « corrections de Grothendieck » : elles ne sont pas transcrites. Le texte vient du lot précédent.

22Verso portant une seule ligne manuscrite à l'encre bleue, de la main de l'annotateur du tapuscrit (non de Grothendieck), sur les invariants de Hasse-Witt ; non transcrite.

23Suite du même tapuscrit (P. Deligne, d'après J. Tate), s.d. : Propositions 7.1 et 7.2 sur l'anneau des formes modulaires en caractéristiques 2 et 3 ; non transcrit.

24Fin du même tapuscrit (p. 19 de la dactylographie), s.d. ; non transcrit.

Orientation

Le titre est le seul mot, de sa main, d'un feuillet blanc qui précède les pages suivantes.

27Tiré à part, non transcrit : Marcus Wanderley, « Théorie axiomatique de l'orientation des variétés topologiques à bord », note présentée par Henri Cartan, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 292, série I, p. 213–215, 19 janvier 1981. Les pages 27 à 29 en sont les trois pages ; elles ne portent pas d'annotation de sa main.

28Suite du même tiré à part (M. Wanderley, 1981) ; non transcrit.

29Fin du même tiré à part (M. Wanderley, 1981) ; non transcrit.

30$\overline{\mathcal{V}}$ = catégorie des var. top. ⌜à bord,⌝ avec immersions ouvertes

$\mathcal{V}^{*}$ = vcatégorie des variétés topologiques sans bord

$\partial : \overline{\mathcal{V}} \to \mathcal{V}$ foncteur bord topologique, $X$ $X \mapsto \operatorname{Int}(X)$ ⌜($= X - \partial X$)⌝ $: \overline{\mathcal{V}} \to \mathcal{V}$ foncteur « pts intérieurs »

$\overline{\mathcal{V}}_{\leq n}$, $\mathcal{V}_{\leq n}$, $\overline{\mathcal{V}}_{n}$, $\mathcal{V}_{n}$ ss-catégories des variétés de dim $\leq n$ (resp. purement de dim $n$)

Une théorie de l'orientation des variétés topologiques consiste en

(i) Un foncteur \[\Omega : \mathcal{V}^{\circ} \longrightarrow (\mathrm{Ens})\] On note $\Omega_{n} = \Omega \mid \mathcal{V}_{n}$ ; $\Omega(X)$ = ensemble des orientations de $X$

(ii) Un morphisme élément de $\omega^{+} \in \Omega(e)$ ($e$ la variété ponctuelle)

(iii) […] Un hom de foncteurs sur $\overline{\mathcal{V}}^{\circ}$ \[\Omega(\operatorname{int} X) \longrightarrow \Omega(\partial X),\] ces données satisfaisant aux conditions suivantes

notion locale 1°) $\Omega$ est un faisceau [i.e. $\forall X \in \operatorname{Ob} \overline{\mathcal{V}}$, la restriction ⌜$\Omega_{X}$⌝ de $\Omega$ à la catégorie des ouverts de $X$ est un faisceau (faisceau d'orientation de $X$)], […] les $\Omega_{X} \to X$ sont revêtements […] les variétés […] localement une orientation

hyp. de […] des revêtements (normalisation) 2°) $\operatorname{card}(\Omega(e)) = 2$. [L'élément de $\Omega(e)$ distinct de $\omega^{+}$ est noté $\omega^{-}$. On définit une bijection \[\Omega(e) \simeq \{+1, -1\} \subset \mathbb{Z} \quad\text{par}\quad \omega^{+} \mapsto +1,\ \omega^{-} \mapsto -1 :\] multiplication ([…] à $+1$ ou $-1$) d'une […] orientation]

⌜catégorie $\vec{\mathcal{V}}$ $(\Omega)$ des variétés top. « orientées » (i.e. $\Omega$-orientées)⌝

Un petit signe hachuré, dans la marge, marque l'alinéa suivant. Pour tte $X \in \operatorname{Ob} \vec{\mathcal{V}}$ et $Y$ sous-variété de codim $1$, le faisceau $\rho^{(X,\omega)}_{Y/X}$ des « rives » de $Y$ dans $X$ (qui est un rev. étale d'ordre $2$ de $X$) est envoyé, grâce à la donnée (iii), dans le faisceau d'orientation $\Omega_{Y}$. On trouve donc, pour tout $X \in$ $\Omega(X) \to \operatorname{Hom}(\rho_{Y/X}, \Omega_{Y})$, et par faisceautisation \[\Omega_{X} \mid Y \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}(\rho_{Y/X}, \Omega_{Y})\] ou encore \[\Omega_{X} \times \rho_{Y/X} \longrightarrow \Omega_{Y}\]

32Suite immédiate de la page 30 : la liste des conditions continue.

hyp. d'induction 3°) L'hom can. \[\Omega_{X} \mid Y \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}(\rho_{Y/X}, \Omega_{Y})\] est injectif [une orientation de $X$ en $y \in Y$ est connue quand on sait comment ⌜au vois. de $y$⌝ une rive ⌜de $Y$⌝ […] détermine une orientation de $Y$]

hyp. de non trivialité Cette note marginale est reliée par une accolade à 4°) et 5°). 4°) Pour tte $\omega \in \Gamma(X)$, l'hom correspondant \[\rho_{Y/X} \longrightarrow \Omega_{Y}\] est injectif [deux rives différentes définissent des orientations différentes de $Y$]

5°) Pour tout $X \in \operatorname{Ob} \mathcal{V}$, $\Omega(X) \to X$ est surjectif (il existe localement des orientations de $X$ ; ou encore : $\forall n \geq 1$, $\Omega(\mathbb{R}^{n})$ est non vide)

[…] prolongement des identités Cette note marginale est reliée par une accolade à 6°). 6°) Pour $\forall X \in \operatorname{Ob} \mathcal{V}$] $\Omega(X)$ interprété comme un espace étalé sur $X$ est séparé sur $X$, ou encore : une orientation d'une $X \in \operatorname{Ob} \mathcal{V}$ est connue en un pt quand on la connaît en des pts arbitrairement voisins. (Il suffit de l'exiger pour $\mathbb{R}^{n}$, $n \geq 1$, en fait, il sera vrai a posteriori qu'une orientation de $\mathbb{R}^{n}$, ⌜ou de $\forall X$ connexe,⌝ est connue quand on la connaît en un seul point …)

La page s'arrête ici ; les dernières lignes de 6°) sont d'une autre encre, ajoutées après coup.

35Feuille de calculs, sans texte suivi ; une partie (en bas et à droite) est écrite la feuille retournée. On transcrit d'abord la partie à l'endroit. \[g = \exp f \qquad f' = \varphi = \psi^{1/2}\] \[g' = (\exp f) f' \quad \text{\struck{$= (\exp f)\varphi$}}\] \[g'' = (\exp f) f'^{2} + (\exp f) f'' = (\exp f)(f'^{2} + f'')\] \[\begin{aligned} g''' &= (\exp f) f'(f'^{2} + f'') + (\exp f)(2f'f'' + f''') \\ &= (\exp f)(f'^{3} + 3f'f'' + f''') \end{aligned}\] \[\frac{g'''}{g'} = f'^{2} + 3f'' + \frac{f'''}{f'}\] \[\frac{g''}{g'} = f' + \frac{f''}{f'} \qquad \Bigl(\frac{g''}{g'}\Bigr)^{2} = f'^{2} + \Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^{2} + 2f''\] \[\begin{aligned} -2\frac{g'''}{g'} + 3\Bigl(\frac{g''}{g'}\Bigr)^{2} &= -2f'^{2} \text{\struck{$- 6f''$}} - 2\frac{f'''}{f'} \\ &\quad + 3f'^{2} + 3\Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^{2} \text{\struck{$+ 6f''$}} \end{aligned}\] $= -2\dfrac{f'''}{f'} + 3\Bigl(\dfrac{f''}{f'}\Bigr)^{2} +$ […] $f'^{2}$ Le coefficient de $f'^{2}$ (et plus bas celui de $df^{2}$) est un petit symbole superposé que je ne lis pas ; par $3 - 2$ on attendrait $1$. Dans les deux lignes suivantes il écrit $3(df)^{2}$. \[C(t, \exp f) = C(t, f) + 3(df)^{2}\] \[-c_{t} + c_{\exp f} = -c_{t} + c_{f} + 3(df)^{2}\] encadré : $c_{\exp f} = c_{f} +$ […] $df^{2}$

$c_{\exp f} = c_{f} +$ […] $df^{2} = c_{f} + \omega^{\otimes 2}$

\[\varphi = \exp t \qquad \varphi' = \exp t \qquad \varphi'' = \exp t \qquad \varphi''' = \exp t\] \[\Bigl(-2\frac{\varphi'''}{\varphi'} + 3\Bigl(\frac{\varphi''}{\varphi'}\Bigr)^{2}\Bigr) dt^{2} = dt^{2}\]

Partie écrite la feuille retournée, lue de haut en bas dans ce sens : \[\text{\struck{$\ell$}}\ C(z, f) = \Bigl(-2\frac{f'''}{f'} + 3\Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^{2}\Bigr) dz^{2}\] Dans une bulle reliée à $f$ par une flèche : invariance par $\pi$ […] « transformations hyperboliques » Sous une accolade embrassant le second membre : $\dfrac{df}{dz}$ forme inv. par $\pi$

$c_{f} + \omega$ $\int$ […] \[C(f, z)\ \text{\struck{$df^{2}$}} = 0 \qquad \frac{d^{3}z}{df^{3}} \ldots\] À droite de cette dernière ligne, une expression entre parenthèses en $f'$, $f''$, $f'''$, en partie masquée par une tache, que je ne lis pas. \[C(f, z) = \ldots \qquad C(\gamma z, f) = \ldots\] \[\gamma.\,C(z, f) = C(\gamma.z, \gamma.f) = C(\gamma z, f) = C(z, f) \ldots\] Les seconds membres de ces dernières égalités, en colonne à droite, sont en grande partie illisibles ; on y devine des expressions en $f'(z)$.

V Programme de la Théorie (Cristaux)

Titre de sa main, en tête d'un verso de listing d'ordinateur (page 36) qui ne porte rien d'autre ; le chiffre romain est souligné.

37Nouveau chapitre $\mathbb{D}^{*}$ Tapuscrit de sa main dactylographié, avec ses corrections manuscrites. Le numéro « 1) » est corrigé à la main sur un autre chiffre. 1) Programme de la théorie de Dieudonné sur une base ⌜$S$⌝ où $p$ est localement nilpotent.

a) Foncteur de Dieudonné. On va définira un foncteur \[\underline{D}^{*} : \mathrm{BT}(S)^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Crisloclib}(S),\] compatible aux images inverses (donc foncteur cartésien sur la catégorie fibrée des groupes de BT sur des bases où $p$ est loc. nilp.). Si $S_{0} = \operatorname{Var}(p)$ on a une équivalence de catégories (cf. plus haut) la référence est laissée en blanc. \[\mathrm{Crisloclib}(S) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Crisloclib}(S_{0})\] de sorte que la donnée de $\underline{D}^{*}$ équivaut à la donnée de \[\underline{D}^{*} : \mathrm{BT}(S_{0})^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Crisloclib}(S_{0}),\] i.e. on est ramené à la car. p au cas $S$ de car. $p$. Pour connaître, d Dans le cas général, $\underline{D}^{*}(G)$ ne dépend que de […] $G_{0} = G \times_{S} S_{0}$.

[…] Plaçons nous sur $S_{0}$ de car. $p$. Utilisant $\underline{f}_{G}$ et $\underline{v}_{G}$ et la compatibilité de $\underline{D}^{*}$ aux images inverses, on voit que le foncteur $\underline{D}^{*}(G_{0})$ ⌜$= M$⌝ peut est naturellement muni de morphismes $F_{M}, V_{M}$ satisfaisant

LaTeX source

\begin{tikzcd}
{M^{(p)} = \underline{f}_{S}^{*}(M)} \arrow[r, "F_{M}", bend left=15] & M \arrow[l, "V_{M}", bend left=15]
\end{tikzcd}

Les deux flèches et leurs noms, ainsi que « $= \underline{f}_{S}^{*}(M)$ », sont ajoutés à la main.

satisfaisant \[V_{M} F_{M} = p\, \mathrm{id}_{M}, \qquad F_{M} V_{M} = p\, \mathrm{id}_{M^{(p)}} .\] On appelle un tel triple $(M, F_{M}, V_{M})$ un F-V-cristal ⌜ou cristal de Dieudonné⌝, et on a donc un foncteur \[\underline{D}^{*} : \mathrm{BT}(S_{0}) \longrightarrow \text{F-V-Cris}(S_{0}) .\] C'est ce foncteur qui mérite le nom de foncteur de Dieudonné. On […] voit que sa formation commute à tout changement de base. De plus, on prouve que pour $S_{0}$ spectre d'un corps parfait, il coïncide avec à isomorphisme canonique près avec le foncteur de Dieudonné habituel, qui est alors une équivalence de catégories, de sorte que dans ce cas la

38connaissance de $\underline{D}^{*}(G_{0})$ permet de réconstituer $G_{0}$. Ainsi, dans le cas général, la connaissance de $\underline{D}^{*}(G_{0}) = M$ comme F-V-cristal sur $S_{0}$ permet de retrouver les fibres de $G_{0}$ en des corps parfaits au dessus de $S_{0}$ ; cela justifie donc le sentiment que pour l'essentiel, on a saisi avec le cristal $M = \underline{D}^{*}(G_{0})$ la famille des $G_{0\bar{s}}$. Une question importante ⌜en ce sens⌝ que je n'ai pas résolue est :

Problème 1 : Le foncteur de Dieudonné sur une base $S_{0}$ de car. $p$ est-il pleinement fidèle ? Quel est Son image essentielle est-elle formée des F-V-cristaux « admissibles » définis plus bas ?

Pour résoudre cette question, il me semble qu'il faudrait arriver à formuler une théorie de Dieudonné sur des bases de car p $S_{0}$ pour des schémas en ⌜$p$-⌝groupes finis localement libres sur $S_{0}$ quelconques, ou du moins pour ceux plats sur un $\Lambda_{n}$, en trouvant une équivalence entre cette la catégorie des ces groupes sur $S_{0}$, et une catégorie de F-V-cristaux sur $S_{0}$ muni de structures supplémentaires⌜(1)⌝ que je n'ai pas réussi à dégager encore, et qui très probablement impliqueront la donnée d'une filtration sur un objet ⌜convenable⌝ d'une catégorie dérivée …

(1) sans doute inutile si $S_{0}$ est parfait Le $\Lambda$ de « $\Lambda_{n}$ » est tracé à la main dans un blanc du tapuscrit, ici et page 39.

39Problème 2. Développer une telle théorie de Dieudonné pour des $p$-Groupes finis localement libres sur une base $S_{0}$ de car. $p$ $0$. Si $S_{0}$ est parfait établir une ⌜anti-⌝équivalence entre la catégorie des Groupes finis localement libres sur $S_{0}$ qui sont plats sur $\Lambda_{n} = \underline{\mathbb{Z}}/p^{n}\underline{\mathbb{Z}}$ (cf. ), et la catégorie des $\underline{W}_{n}(\underline{O}_{S})$-Modules localement libres $M$, muni de $F_{M}$ et $V_{M}$ […] satisfaisant les conditions habituelles. « car. p 0 » : un signe manque entre « p » et « 0 » dans la frappe ; la référence après « cf. » est laissée en blanc.

Une solution affirmative à ce dernier problème devrait évidemment impliquer une solution affirmative au problème 1 dans le cas où $S_{0}$ est un schéma parfait.

40b) Filtrations associées aux cristaux de Dieudonné. Revenons au cas d'un $S$ général (sur lequel $p$ soit loc. nilp.). On définira alors, pour tout $G \in \operatorname{Ob} \mathrm{BT}(S)$, une filtration […] du Module localement libre $\underline{D}^{*}(G)_{S}$ sur $S$ par un sous-Module localement facteur direct (donc localement libre de t.f.) ⌜$\operatorname{Fil}^{1} =$⌝ $\underline{\omega}_{G}$, donnant lieu à une suite exacte \[(*) \qquad 0 \longrightarrow \underline{\omega}_{G} \longrightarrow \underline{D}^{*}(G) \longrightarrow \underline{t}_{G^{*}} \longrightarrow 0 ,\] où en fait $\underline{\omega}_{G}$ est le module des différentielles invariantes sur le groupe formel $\overline{G} \subset G$ associé à $G$ (qui sera construit plus bas), et $\underline{t}_{G} = \underline{\omega}_{G^{*}}^{\vee}$ est l'Algèbre de Lie associée au groupe de BT dual $G^{*}$ de $G$ (définition à reporter aux généralités sur les goupes de BT). Cette filtr suite exacte est fonctorielle ⌜en $G$,⌝ et compatible aux images inverses par un $S' \to S$.

Le marqueur « $(*)$ » de la suite exacte est ajouté à la main. Le chapitre continue au-delà de la page 40, dans le lot suivant.