Fonds Grothendieck, cote n° 93, pages 21–40

Tapuscrit d'un autre auteur, non transcrit : « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate, mis au goût du jour par P. Deligne » (titre porté en tête du tapuscrit, première page du dossier), sans date ; pages 17 à 19 de la dactylographie, fin du § 6 et § 7 « Anneau des formes modulaires entières ». Les annotations à l'encre bleue sont de la même main que celles de la page de titre, qui distinguent elles-mêmes les « corrections de Grothendieck » : elles ne sont pas transcrites. Le texte vient du lot précédent.

Verso portant une seule ligne manuscrite à l'encre bleue, de la main de l'annotateur du tapuscrit (non de Grothendieck), sur les invariants de Hasse-Witt ; non transcrite.

Suite du même tapuscrit (P. Deligne, d'après J. Tate), s.d. : Propositions 7.1 et 7.2 sur l'anneau des formes modulaires en caractéristiques 2 et 3 ; non transcrit.

Fin du même tapuscrit (p. 19 de la dactylographie), s.d. ; non transcrit.

Orientation

Le titre est le seul mot, de sa main, d'un feuillet blanc qui précède les pages suivantes.

Tiré à part, non transcrit : Marcus Wanderley, « Théorie axiomatique de l'orientation des variétés topologiques à bord », note présentée par Henri Cartan, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 292, série I, p. 213–215, 19 janvier 1981. Les pages 27 à 29 en sont les trois pages ; elles ne portent pas d'annotation de sa main.

Suite du même tiré à part (M. Wanderley, 1981) ; non transcrit.

Fin du même tiré à part (M. Wanderley, 1981) ; non transcrit.

\overline{\mathcal{V}} = catégorie des var. top. à bord, avec immersions ouvertes

\mathcal{V}^{*} = vcatégorie des variétés topologiques sans bord

\partial : \overline{\mathcal{V}} \to \mathcal{V} foncteur bord topologique, X X \mapsto \operatorname{Int}(X) (= X - \partial X) : \overline{\mathcal{V}} \to \mathcal{V} foncteur « pts intérieurs »

\overline{\mathcal{V}}_{\leq n}, \mathcal{V}_{\leq n}, \overline{\mathcal{V}}_{n}, \mathcal{V}_{n} ss-catégories des variétés de dim \leq n (resp. purement de dim n)

Une théorie de l'orientation des variétés topologiques consiste en

(i) Un foncteur \Omega : \mathcal{V}^{\circ} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) On note \Omega_{n} = \Omega \mid \mathcal{V}_{n} ; \Omega(X) = ensemble des orientations de X

(ii) Un ~~morphisme~~ élément de \omega^{+} \in \Omega(e) (e la variété ponctuelle)

(iii) Un hom de foncteurs sur \overline{\mathcal{V}}^{\circ} \Omega(\operatorname{int} X) \longrightarrow \Omega(\partial X), ces données satisfaisant aux conditions suivantes

notion locale 1°) \Omega est un faisceau [i.e. \forall X \in \operatorname{Ob} \overline{\mathcal{V}}, la restriction \Omega_{X} de \Omega à la catégorie des ouverts de X est un faisceau (faisceau d'orientation de X)]~~, les \Omega_{X} \to X sont revêtements les variétés localement une orientation~~

hyp. de des revêtements (normalisation) 2°) \operatorname{card}(\Omega(e)) = 2. [L'élément de \Omega(e) distinct de \omega^{+} est noté \omega^{-}. On définit une bijection \Omega(e) \simeq \{+1, -1\} \subset \mathbb{Z} \quad\text{par}\quad \omega^{+} \mapsto +1,\ \omega^{-} \mapsto -1 : multiplication ( à +1 ou -1) d'une orientation]

catégorie \vec{\mathcal{V}} (\Omega) des variétés top. « orientées » (i.e. \Omega-orientées)

Un petit signe hachuré, dans la marge, marque l'alinéa suivant. Pour tte X \in \operatorname{Ob} \vec{\mathcal{V}} et Y sous-variété de codim 1, le faisceau \rho^{(X,\omega)}_{Y/X} des « rives » de Y dans X (qui est un rev. étale d'ordre 2 de X) est envoyé, grâce à la donnée (iii), dans le faisceau d'orientation \Omega_{Y}. On trouve donc, ~~pour tout X \in~~ \Omega(X) \to \operatorname{Hom}(\rho_{Y/X}, \Omega_{Y}), et par faisceautisation \Omega_{X} \mid Y \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}(\rho_{Y/X}, \Omega_{Y}) ou encore \Omega_{X} \times \rho_{Y/X} \longrightarrow \Omega_{Y}

Suite immédiate de la page 30 : la liste des conditions continue.

hyp. d'induction 3°) L'hom can. \Omega_{X} \mid Y \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}(\rho_{Y/X}, \Omega_{Y}) est injectif [une orientation de X en y \in Y est connue quand on sait comment au vois. de y une rive de Y détermine une orientation de Y]

hyp. de non trivialité Cette note marginale est reliée par une accolade à 4°) et 5°). 4°) Pour tte \omega \in \Gamma(X), l'hom correspondant \rho_{Y/X} \longrightarrow \Omega_{Y} est injectif [deux rives différentes définissent des orientations différentes de Y]

5°) Pour tout X \in \operatorname{Ob} \mathcal{V}, \Omega(X) \to X est surjectif (il existe localement des orientations de X ; ou encore : \forall n \geq 1, \Omega(\mathbb{R}^{n}) est non vide)

prolongement des identités Cette note marginale est reliée par une accolade à 6°). 6°) Pour \forall X \in \operatorname{Ob} \mathcal{V}] \Omega(X) interprété comme un espace étalé sur X est séparé sur X, ou encore : une orientation d'une X \in \operatorname{Ob} \mathcal{V} est connue en un pt quand on la connaît en des pts arbitrairement voisins. (Il suffit de l'exiger pour \mathbb{R}^{n}, n \geq 1, en fait, il sera vrai a posteriori qu'une orientation de \mathbb{R}^{n}, ou de \forall X connexe, est connue quand on la connaît en un seul point …)

La page s'arrête ici ; les dernières lignes de 6°) sont d'une autre encre, ajoutées après coup.

Feuille de calculs, sans texte suivi ; une partie (en bas et à droite) est écrite la feuille retournée. On transcrit d'abord la partie à l'endroit. g = \exp f \qquad f' = \varphi = \psi^{1/2} g' = (\exp f) f' \quad \text{\struck{$= (\exp f)\varphi$}} g'' = (\exp f) f'^{2} + (\exp f) f'' = (\exp f)(f'^{2} + f'') \begin{aligned} g''' &= (\exp f) f'(f'^{2} + f'') + (\exp f)(2f'f'' + f''') \\ &= (\exp f)(f'^{3} + 3f'f'' + f''') \end{aligned} \frac{g'''}{g'} = f'^{2} + 3f'' + \frac{f'''}{f'} \frac{g''}{g'} = f' + \frac{f''}{f'} \qquad \Bigl(\frac{g''}{g'}\Bigr)^{2} = f'^{2} + \Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^{2} + 2f'' \begin{aligned} -2\frac{g'''}{g'} + 3\Bigl(\frac{g''}{g'}\Bigr)^{2} &= -2f'^{2} \text{\struck{$- 6f''$}} - 2\frac{f'''}{f'} \\ &\quad + 3f'^{2} + 3\Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^{2} \text{\struck{$+ 6f''$}} \end{aligned} = -2\dfrac{f'''}{f'} + 3\Bigl(\dfrac{f''}{f'}\Bigr)^{2} + f'^{2} Le coefficient de f'^{2} (et plus bas celui de df^{2}) est un petit symbole superposé que je ne lis pas ; par 3 - 2 on attendrait 1. Dans les deux lignes suivantes il écrit 3(df)^{2}. C(t, \exp f) = C(t, f) + 3(df)^{2} -c_{t} + c_{\exp f} = -c_{t} + c_{f} + 3(df)^{2} encadré : c_{\exp f} = c_{f} + df^{2}

c_{\exp f} = c_{f} + df^{2} = c_{f} + \omega^{\otimes 2}

\varphi = \exp t \qquad \varphi' = \exp t \qquad \varphi'' = \exp t \qquad \varphi''' = \exp t \Bigl(-2\frac{\varphi'''}{\varphi'} + 3\Bigl(\frac{\varphi''}{\varphi'}\Bigr)^{2}\Bigr) dt^{2} = dt^{2}

Partie écrite la feuille retournée, lue de haut en bas dans ce sens : \text{\struck{$\ell$}}\ C(z, f) = \Bigl(-2\frac{f'''}{f'} + 3\Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^{2}\Bigr) dz^{2} Dans une bulle reliée à f par une flèche : invariance par \pi « transformations hyperboliques » Sous une accolade embrassant le second membre : \dfrac{df}{dz} forme inv. par \pi

c_{f} + \omega \int C(f, z)\ \text{\struck{$df^{2}$}} = 0 \qquad \frac{d^{3}z}{df^{3}} \ldots À droite de cette dernière ligne, une expression entre parenthèses en f', f'', f''', en partie masquée par une tache, que je ne lis pas. C(f, z) = \ldots \qquad C(\gamma z, f) = \ldots \gamma.\,C(z, f) = C(\gamma.z, \gamma.f) = C(\gamma z, f) = C(z, f) \ldots Les seconds membres de ces dernières égalités, en colonne à droite, sont en grande partie illisibles ; on y devine des expressions en f'(z).

V Programme de la Théorie (Cristaux)

Titre de sa main, en tête d'un verso de listing d'ordinateur (page 36) qui ne porte rien d'autre ; le chiffre romain est souligné.

Nouveau chapitre \mathbb{D}^{*} Tapuscrit de sa main dactylographié, avec ses corrections manuscrites. Le numéro « 1) » est corrigé à la main sur un autre chiffre. 1) Programme de la théorie de Dieudonné sur une base S où p est localement nilpotent.

a) Foncteur de Dieudonné. On va définira un foncteur \underline{D}^{*} : \mathrm{BT}(S)^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Crisloclib}(S), compatible aux images inverses (donc foncteur cartésien sur la catégorie fibrée des groupes de BT sur des bases où p est loc. nilp.). Si S_{0} = \operatorname{Var}(p) on a une équivalence de catégories (cf. plus haut) la référence est laissée en blanc. \mathrm{Crisloclib}(S) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Crisloclib}(S_{0}) de sorte que la donnée de \underline{D}^{*} équivaut à la donnée de \underline{D}^{*} : \mathrm{BT}(S_{0})^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Crisloclib}(S_{0}), i.e. on est ramené ~~à la car. p~~ au cas S de car. p. ~~Pour connaître, d~~ Dans le cas général, \underline{D}^{*}(G) ne dépend que de G_{0} = G \times_{S} S_{0}.

Plaçons nous sur S_{0} de car. p. Utilisant \underline{f}_{G} et \underline{v}_{G} et la compatibilité de \underline{D}^{*} aux images inverses, on voit que ~~le foncteur~~ \underline{D}^{*}(G_{0}) = M ~~peut~~ est naturellement muni de morphismes F_{M}, V_{M} ~~satisfaisant~~

\begin{tikzcd} {M^{(p)} = \underline{f}_{S}^{*}(M)} \arrow[r, "F_{M}", bend left=15] & M \arrow[l, "V_{M}", bend left=15] \end{tikzcd}

Les deux flèches et leurs noms, ainsi que « = \underline{f}_{S}^{*}(M) », sont ajoutés à la main.

satisfaisant V_{M} F_{M} = p\, \mathrm{id}_{M}, \qquad F_{M} V_{M} = p\, \mathrm{id}_{M^{(p)}} . On appelle un tel triple (M, F_{M}, V_{M}) un F-V-cristal ou cristal de Dieudonné, et on a donc un foncteur \underline{D}^{*} : \mathrm{BT}(S_{0}) \longrightarrow \text{F-V-Cris}(S_{0}) . C'est ce foncteur qui mérite le nom de foncteur de Dieudonné. On voit que sa formation commute à tout changement de base. De plus, on prouve que pour S_{0} spectre d'un corps parfait, il coïncide ~~avec~~ à isomorphisme canonique près avec le foncteur de Dieudonné habituel, qui est alors une équivalence de catégories, de sorte que dans ce cas la

connaissance de \underline{D}^{*}(G_{0}) permet de réconstituer G_{0}. Ainsi, dans le cas général, la connaissance de \underline{D}^{*}(G_{0}) = M comme F-V-cristal sur S_{0} permet de retrouver les fibres de G_{0} en des corps parfaits au dessus de S_{0} ; cela justifie donc le sentiment que pour l'essentiel, on a saisi avec le cristal M = \underline{D}^{*}(G_{0}) la famille des G_{0\bar{s}}. Une question importante en ce sens que je n'ai pas résolue est :

Problème 1 : Le foncteur de Dieudonné sur une base S_{0} de car. p est-il pleinement fidèle ? ~~Quel est~~ Son image essentielle est-elle formée des F-V-cristaux « admissibles » définis plus bas ?

Pour résoudre cette question, il me semble qu'il faudrait arriver à formuler une théorie de Dieudonné sur ~~des bases de car p~~ S_{0} pour des schémas en p-groupes finis localement libres sur S_{0} quelconques, ou du moins pour ceux plats sur un \Lambda_{n}, en trouvant une équivalence entre ~~cette~~ la catégorie des ces groupes sur S_{0}, et une catégorie de F-V-cristaux sur S_{0} muni de structures supplémentaires(1) que je n'ai pas réussi à dégager encore, et qui très probablement impliqueront la donnée d'une filtration sur un objet convenable d'une catégorie dérivée …

(1) sans doute inutile si S_{0} est parfait Le \Lambda de « \Lambda_{n} » est tracé à la main dans un blanc du tapuscrit, ici et page 39.

Problème 2. Développer une telle théorie de Dieudonné pour des p-Groupes finis localement libres sur une base S_{0} de car. p 0. Si S_{0} est parfait établir une anti-équivalence entre la catégorie des Groupes finis localement libres sur S_{0} qui sont plats sur \Lambda_{n} = \underline{\mathbb{Z}}/p^{n}\underline{\mathbb{Z}} (cf. ), et la catégorie des \underline{W}_{n}(\underline{O}_{S})-Modules localement libres M, muni de F_{M} et V_{M} satisfaisant les conditions habituelles. « car. p 0 » : un signe manque entre « p » et « 0 » dans la frappe ; la référence après « cf. » est laissée en blanc.

Une solution affirmative à ce dernier problème devrait évidemment impliquer une solution affirmative au problème 1 dans le cas où S_{0} est un schéma parfait.

b) Filtrations associées aux cristaux de Dieudonné. Revenons au cas d'un S général (sur lequel p soit loc. nilp.). On définira alors, pour tout G \in \operatorname{Ob} \mathrm{BT}(S), une filtration du Module localement libre \underline{D}^{*}(G)_{S} sur S par un sous-Module localement facteur direct (donc localement libre de t.f.) \operatorname{Fil}^{1} = \underline{\omega}_{G}, donnant lieu à une suite exacte (*) \qquad 0 \longrightarrow \underline{\omega}_{G} \longrightarrow \underline{D}^{*}(G) \longrightarrow \underline{t}_{G^{*}} \longrightarrow 0 , où en fait \underline{\omega}_{G} est le module des différentielles invariantes sur le groupe formel \overline{G} \subset G associé à G (qui sera construit plus bas), et \underline{t}_{G} = \underline{\omega}_{G^{*}}^{\vee} est l'Algèbre de Lie associée au groupe de BT dual G^{*} de G (définition à reporter aux généralités sur les goupes de BT). Cette ~~filtr~~ suite exacte est fonctorielle en G, et compatible aux images inverses par un S' \to S.

Le marqueur « (*) » de la suite exacte est ajouté à la main. Le chapitre continue au-delà de la page 40, dans le lot suivant.