Cote n° 91 · batch 8 · pages 141–142 · Transcription · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

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141la page s'ouvre sur une liste dont le début n'est pas dans ce lot ; l'argument vient vraisemblablement des pages précédentes du dossier.

\(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{2}\)

[…] […] […] \(\mathcal{T}^{0}_{B/A_{0}} \otimes V_{1}\)

[…] […] […] \(\mathcal{T}^{0}_{B_{0}/A_{0}} \otimes V_{2}\)

à la ligne suivante, un trait horizontal tient lieu des mots, comme un « idem ».

\(\mathcal{T}^{0}_{B_{0}/A_{0}} \otimes V_{3}\) \(\mathcal{T}_{V_{0}}/\)

la lettre lue \(\mathcal{T}\) est un V cursif dont le jambage droit descend en crochet ; la lecture comme faisceau tangent est une conjecture, suggérée par les produits tensoriels \(\otimes V_{i}\) et les exposants \(0\). Les trois premiers mots de chacune des deux premières lignes, très abrégés, n'ont pu être lus.

\(\mathbb{G}_{A,n}\) = groupe pro-algébrique sur \(k\) des changements de base de […] […] \[\begin{cases} f_{i} = a_{i} + \sum_{j} b_{ij}\, t_{j} + \sum_{2 \leq |p| \leq N} c_{i,p}\, t^{p}, \qquad a_{i},\, b_{ij},\, c_{i,p} \in A, \\ a_{i} \in \mathfrak{m}, \quad \det(b_{ij}) \notin \mathfrak{m}. \end{cases}\]

\(\mathbb{G}_{n}\) groupe sur \(\mathbb{Z}\) des changements de […] \[\begin{cases} f_{i} = a_{i} + \sum b_{ij}\, t_{j} + \sum_{2 \leq |p| \leq N} c_{i,p}\, t_{1}^{p_{1}} \cdots t_{n}^{p_{n}}, \\ \det(b_{ij}) \neq 0 \end{cases}\] i.e. des automorphismes de […]

\(a + t\) \(a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2}\)

\(a'_{0} + a'_{1}(a_{0} + a_{1} t)\) […] \(=\) \[a'_{0} + a'_{1}(a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2}) + a'_{2}(a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2})^{2}\] dans le carré, il souligne \(a_{0} + a_{1} t\) et surligne \(a_{1} t + a_{2} t^{2}\), repères pour le développement.

\(k[t]/(t^{3})\) \[\begin{aligned} &= (a'_{0} + a'_{1} a_{0} + a'_{2} a_{0}^{2}) \\ &\quad + (a'_{1} a_{1} + 2 a'_{2} a_{0} a_{1})\, t \\ &\quad + (a'_{1} a_{2} + a'_{2} a_{1}^{2} + 2 a'_{2} a_{0} a_{2})\, t^{2} \\ &\quad + 2 a'_{2} a_{1} a_{2}\, t^{3} \\ &\quad + a'_{2} a_{2}^{2}\, t^{4} \end{aligned}\] les trois premières lignes (jusqu'au terme en \(t^{2}\)) sont encadrées, avec en regard « \(k[t]/(t^{3})\) » : c'est la composition des deux polynômes modulo \(t^{3}\). Le facteur \(2\) de \(2 a'_{2} a_{0} a_{1}\) est ajouté par lui au-dessus du \(+\) ; dans \(2 a'_{2} a_{0} a_{2}\) l'indice du \(a'\) est mal formé et pourrait se lire \(1\), la valeur \(2\) est celle que demande le calcul. La page s'arrête sur ce développement ; la suite, s'il y en a une, n'est pas dans ce lot.