Cote n° 91, pages 121–140

Cote n° 91 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

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la p. 121 reprend un énoncé commencé avant le lot : les hypothèses sur $X$ et la numérotation (i)–(iii) s'y enchaînent sans titre.

121$X$ schéma compact, [i.e. quasi-compact et séparé⌜topologiquement⌝]

(i) $X$ est tot. discontinu, i.e. si $x, y \in X$, $x \neq y$, alors il existe une partie ouverte et fermée de $X$ qui contient $x$ et non $y$. En effet, […] $U$, $V$ des ouverts, $U \ni x$, $V \ni y$, $U \cap V = \emptyset$. i.e. tout $x \in X$ a un syst. fond. de voisinages qui sont à la fois ouverts et fermés.

[En fait, il y a un syst. fond. de voisinages ouverts quasi-compacts]

(ii) $X$ est affine. En effet, ⌜on recouvre $X$ par des⌝ […] […] ouverts affines […] finis, soit $X_i$ ($1 \leq i \leq n$) affines […] […] qui se […] […]. Ils sont ouverts et fermés. Posons \[X'_i = X_i - X_i \cap \bigcup_{j<i} X_j ,\] Alors $X'_i$ est une partie ouverte et fermée de $X_i$, donc affine puisque $X_i$ l'est (un ouvert p. ex. […] […] […] […] […]). Donc $X$ […] est somme des $X'_i$, il est affine.

(iii) Les parties constructibles de $X$ sont les parties ouvertes et fermées. [Donc ⌜En effet⌝ car $X \to x$ est un […] bon] Donc la page s'arrête sur « Donc » ; la suite n'est pas dans le lot.

123Greenberg – Néron seul mot de la feuille, en haut à droite : un titre de sa main pour les feuillets qui suivent.

125Soit $\mathfrak{X} = (X_i)_{i \in I}$ un système projectif de préschémas, ensemblistement stationnaire [i.e. $\exists\, i_0$, $\forall\, i \geq i_0$, […] […]]. Alors $X = \varprojlim_i X_i$ existe, $\operatorname{Top} X = \varprojlim_i \operatorname{Top}(X_i)$ —.

Soit $x \in X$, on dit que $x$ est épais si

(Ep) $\exists\, i$ t.q. $\forall\, j \geq i$, $x_j$ est maximal dans $\varphi_{ij}^{-1}(x_i)$, donc si $k \geq j \geq i$, $x_k$ est maximal dans $\varphi_{jk}^{-1}(x_j)$.

Sous quelles conditions est-ce équivalent à :

(Ep)$'$ $\exists\, i$, […] un voisinage ouvert non vide $U_i$ de $\bar{x}_i$, t.q. $\forall\, j \geq i$, $\varphi_{ij}^{-1}(U_i) \subset \bar{x}_j$ (donc la même chose pour tout $i' \geq i$).

$=$ propriété […] […] […] : $\varphi_{ij}^{-1}(U_i)$ est irréductible, de pt générique $x_j$, et donc (Ep)$'$ implique (Ep) !

Conditions suffisantes :

(Ep)$''$ $\bar{x}$ entouré : $\bar{x} = \varprojlim \bar{x}_i$ est une partie constructible de $X$. ⌜(si les $X_i$ sont noethériens)⌝

Ceci équivaut à : $\bar{x} = \varphi_i^{-1}(\bar{x}_i)$ pour $i$ grand

Cons. : pour $i$ […] constructible […] (dès que $i' \geq i$)

(Ep)$'''$ $\exists$ une partie constructible ⌜ouverte non vide⌝ […] de $\bar{x}$, soit $U$. i.e. $\exists\, U_i$ la phrase s'arrête là ; elle reprend en haut de la p. 127 (la p. 126 est étrangère).

127$x_i$ maximal dans $\varphi_{ji}^{-1}($[…]$)$

encadré de sa main ; les implications sont des flèches doubles. Transcrit en liste.

(Ep)$'$ $\Longrightarrow$ (Ep) $+$ (unicité : […] […] de $X$) ;
(Ep)$''$ $\Longrightarrow$ (Ep)$'$, la flèche portant « M.L. et $\Sigma = \mathbf{N}$ » ;
(Ep)$''$ $\Longrightarrow$ (Ep)$'''$, la flèche portant « 4 » ; (Ep)$'''$ ;
(Ep)$'''$ $\Longrightarrow$ (Ep)$'$ si $\forall x$ […] $X'_i$, $\exists$ un ouvert $\neq \emptyset$ $U_i \subset \bar{x}_i$ t.q. les $\varphi_{ij}^{-1}(U_i) \times X'_j = \varphi_j(X)$ ???

[…] pt épais $\longleftarrow$ parties constructibles ⌜irréductibles⌝

\[U_j \cap X'_j \subset \bar{x}_j \qquad\qquad X'_i \longleftarrow X'_j\] \[U_i \subset \bar{x}_i\] \[x \in Z \subset \bar{x} \qquad x \in U_0 \cap Z_0 \qquad \bar{x}\] $x \in$ $\bar{x}$ $\bigcup_i U_i \cap Z_i$

$x \in U_0 \cap Z_0 \subset \bar{x}$ $\bar{x} = \overline{U_0 \cap Z_0} \subset Z_0$

$x \in \ldots \in Z_0$

Donc $f_1 \ldots f_n$ […] […] $x$

$f_1 \ldots f_n \in \mathfrak{p}$ $g$

si $g \notin \mathfrak{q}$ $\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p} \Longleftrightarrow \mathfrak{q} \supset f_1 \ldots f_n$

deux flèches descendent de $\mathfrak{X}$ et de $\mathfrak{X}_\xi$ et convergent vers un même point, sans but écrit.

$\mathcal{O}_{X,x}$ $\mathfrak{m}_x$ […] au bas de la page, autour de $\mathcal{O}_{X,x}$ et $\mathfrak{m}_x$, quelques signes épars, illisibles.

130$V$ anneau de valuation discrète, corps résiduel $k$, parfait, corps des fractions $K$.

Pour tout préschéma $X$ sur $V$, on définit $\bar{X}$ par Greenberg. \[\bar{X}(k') \simeq X(V_{k'}) \qquad \text{\struck{$\to X$}}\] ($k'$ alg. sur $k$, $V_{k'}$ alg. correspondante étale sur $V$)

Si $k'$ est parfait, $V_{k'}$ est un anneau de valuation discrète, si $K_{k'} = K'$ son corps des fractions, […]. \[\bar{X}(k') \simeq X(V_{k'}) \longrightarrow X(K')\] Soit […] $\to Y$ un morphisme de $V$-préschémas, ⌜propre sur $V$,⌝ et soit \[\varphi : X_K \longrightarrow Y_K\] un morphisme de $K$-préschémas, […] […] un morphisme […] […]

en biais : si $Y$ n'est pas propre sur $V$, […] […] […] […] « application […] » […] $\bar{X} \to \bar{Y}$, ayant des propriétés […]

On définit une application ensembliste \[\bar{\varphi} : \bar{X} \longrightarrow \bar{Y}\] Soit en effet $\bar{x} \in \bar{X}$, soit $k' = \tilde{k}(\bar{x})$ « la » clôture parfaite de $k(\bar{x})$, alors $\bar{x}$ définit un pt $\bar{x}' \in \bar{X}(k')$, d'où un pt, […] $\alpha_X(\bar{x}') \in X(V_{k'}) \subset X(K_{k'})$ et appliquant $\varphi$ un point \[\varphi(\alpha_X(\bar{x}')) \in Y(K_{k'}) \xleftarrow{\ \sim\ } Y(V_{k'}) \overset{\alpha_Y}{\simeq} \bar{Y}(k')\] le $Y$ de $Y(K_{k'})$ porte des traits au-dessus (barre et flèches) ; lecture incertaine. donc la localité […] […] $\bar{\varphi}(x)$. On a […] […] par construction un […] homomorphisme \[k(\varphi(\bar{x})) \longrightarrow \widetilde{k(\bar{x})}\] (où $\widetilde{\phantom{k}}$ désigne la clôture ⌜séparable⌝ parfaite).

Par la suite, $X$, $Y$ de type fini sur $K$, et ⌜séparés⌝ intègres.

Proposition 1 Supposons $\bar{x} \in \bar{X}$ épais et $\varphi$ dominant génér.t ⌜excité, et⌝ ⌜en $x$⌝ séparable [i.e. […] […] […]]. Alors ⌜(si)⌝ $\bar{y} = \varphi(\bar{x})$ est épais, $k(\bar{y}) \subset k(\bar{x})$, et l'application ponctuelle $\bar{x}_{\mathrm{red}} \to \bar{y}_{\mathrm{red}}$ définie […] provient d'un morphisme d'indice fini constructible dans un $U \in \bar{x}$, [d'image un […] ⌜ouvert⌝ constructible de $\bar{y}_{\mathrm{red}}$]. l'énoncé est marqué d'un trait vertical en marge gauche ; la lecture de « dominant génér.t » et de ses corrections interlinéaires est incertaine.

131Corollaire Fonctorialité ⌜(en $X_K$)⌝ de l'ensemble $\operatorname{Ép}(\bar{X})$ des points […] épais de $\bar{X}$ [[…] […] […] […] corps résiduels —-], par des ⌜applications rationnelles⌝ morphismes $X_K \to Y_K$ dominantes génér.t séparables de $K$-schémas propres

Proposition 2 Soit $S$ une partie constructible de $\bar{X}$, $X_K$ intègre, [tel que $(V, x)$ y soit bonne], et tel que $\bar{\varphi}(S)$ existe [ex. $Y$ propre sur $V$] et soit $Y_K$-simple. Alors $\bar{\varphi}(S)$ est constructible. De plus, il y a une ⌜bonne⌝ partition $S = \coprod_i S_i$, les $S_i$ des sous-schémas irréductibles constructibles de $X$, telles que $\varphi$ soit morphique d'indice fini sur chaque $S_i$, [et $\varphi(S_i)$ constructible irréductible …] […] alors […] […] […]

Corollaire Fonctorialité de en $X_K$ variant comme dessus, et de plus simple sur $K$, de l'ens $\operatorname{Cons}(\bar{X})$ des parties constructibles de $\bar{X}$.

133Condition de finitude d'anneaux [ou de préschémas quasi-compacts] \[\Gamma : A \rightsquigarrow A((t))^{*} = \bigl(A[[t]]_t\bigr)^{*} \qquad (t \text{ une indéterminée})\] Ce foncteur est ind-représentable par un \[\mathcal{G} = \varinjlim_n (\mathcal{G}_n)\] $\varinjlim$ par […] de […] où $\mathcal{G}_n$ représente le sous-foncteur $\Gamma_n$ de $\Gamma$, […] \[\text{\struck{$A \rightsquigarrow A((t))^{*}$}}\] formé des séries formelles $\sum_{-\infty}^{+\infty} a_i t^i$ ⌜qui ont un inverse $\sum_{-\infty}^{+\infty} b_j t^j$, […] dans $\Gamma_n$ […]⌝ $a_i = 0$, $b_i = 0$ pour $i < -n$. $\mathcal{G}_n$ est affine […] […] un sous-schéma fermé de $\operatorname{Spec} \mathbf{Z}[(a_i, b_i)_{i \geq -n}]$, [défini par les relations exprimant \[\Bigl(\sum_i a_i t^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j t^j\Bigr) = 1 ,\] savoir $a_{-n} b_{-n} = 0$, … ]

En […] Soit, $\Gamma_0$ est le foncteur \[\Gamma_0 : A \rightsquigarrow A[[t]]^{*}\] qui est représenté par \[\mathcal{G}_0 = \mathbf{G}_m \times \operatorname{Spec} \mathbf{Z}[(a_i)_{i \geq 1}]\] Considérons le schéma \[\mathcal{G}' = \mathbf{Z}_{\mathbf{Z}} \times \mathcal{G}_0\] qui représente un foncteur ind-représentable \[\mathcal{G}' = \varinjlim_n \mathcal{G}'_n , \qquad \mathcal{G}'_n = [-n, n]_{\mathbf{Z}} \times \mathcal{G}_0 .\] On a un morphisme canonique \[\mathcal{G}' \longrightarrow \mathcal{G}\]

134correspondant : un morphisme \[\mathcal{G}'_n \longrightarrow \mathcal{G}_n\] […] […] […] famille […] […], correspondant par composantes, à \[\varphi_n^{\nu} : \mathcal{G}_0 \longrightarrow \mathcal{G}_n \qquad \nu \in [-n, +n]\] donnés par sur les foncteurs par \[\varphi_n^{\nu}\Bigl(\text{\struck{$\Sigma$}}\, a_i t^i_{\ i \geq 0}\Bigr) = t^{\nu} \sum a_i t^i\] Ceci posé, on a

Th (i) Le morph. $\varphi_n : \mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}_n$ est une immersion fermée surjective.

(ii) Elle induit une immersion ouverte sur $\mathcal{G}_0 \times \{\nu\}$ pour $\nu = \pm n$, mais pour $-n < \nu < +n$, le morphisme induit n'est pas une immersion [[…] même ouverte […] […] […] dès […] $S \to \operatorname{Spec} \mathbf{Z}$, $S \neq \emptyset$].

(iii) Soit $\mathcal{G}_n^i$ le sous-schéma ouvert ⌜induit⌝ et fermé de $\mathcal{G}_n$ […] sur l'image ensembliste […] $\varphi_n(\mathcal{G}_0 \times \{i\})$, avec $|i| \leq n$. en biais : donc $\mathcal{G}_n$ est réunion disjointe d'ouverts $\mathcal{G}_n^i$ ($i \in [-n, +n]$), d'ailleurs isomorphes aux images des $\varphi_n^i$

Pour $n$ […], […] […] […] un système […] ⌜d'immersions⌝ inductif de préschémas. […] $n' \geq n \geq |i|$, les morphismes \[\mathcal{G}_n^i \longrightarrow \mathcal{G}_{n'}^i\] induits […] […] isomorphismes, et […] […] […] […] $S \neq \emptyset$ quelc. [[…] […] […] […] […] corps premiers …].

135le schéma ci-dessous redresse le dessin : les signes $\cup$ entre les lignes (« sous-catégorie pleine ») sont rendus par des inclusions, et chaque catégorie est glosée à droite.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
 & \operatorname{Pro}(\mathrm{Sch}_{/S}) \\
 (\mathrm{Sch}_{/S}) & \operatorname{Pro}'(\mathrm{Sch}_{/S}) \arrow[l, "\varprojlim"'] \arrow[u, hook, "\text{sous-catégorie pleine}"'] \\
 & \operatorname{Pro}''(\mathrm{Sch}_{/S}) \arrow[u, hook, "\text{sous-catégorie pleine}"'] \arrow[ul, "\text{foncteur pleinement fidèle}"]
\end{tikzcd}

$\operatorname{Pro}(\mathrm{Sch}_{/S})$ : pro-préschémas

$\operatorname{Pro}'(\mathrm{Sch}_{/S})$ : pro-préschémas $(X_i)_{i \in I}$, t.q. $\exists\, i$, $u_{ji}$ affine pour $j \geq i$

$\operatorname{Pro}''(\mathrm{Sch}_{/S})$ : pro-préschémas $(X_i)_{i \in I}$ t.q. \[\begin{cases} \forall\, i \text{ grand}, X_i \text{ est qu.-compact et de présentation finie sur } S \\ \exists\, i \text{ t.q. } j \geq i \text{ implique } u_{ji} \text{ affine} \end{cases}\] au-dessus, une première rédaction biffée : $\exists\, i$, [$X_i$ […] qu.-compact et […] présentation finie ; $u_{ji}$ affine de prés. finie].

Soient $\mathfrak{X} \in \operatorname{Ob} \operatorname{Pro}''(\mathrm{Sch}_{/S})$, $\mathcal{Y} \in \operatorname{Ob} \operatorname{Pro}'(\mathrm{Sch}_{/S})$ alors ⌜($\mathcal{Y} = (Y_j)$, les $Y_j$ quasi-compacts)⌝ \[\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathrm{Sch}_{/S})}(\mathcal{Y}, \mathfrak{X}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}\bigl(\varprojlim \mathcal{Y}, \varprojlim \mathfrak{X}\bigr) ,\] [En particulier, la catégorie ⌜Si […] […] […] base $S$⌝ \[\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathrm{Sch}_{/S})}(\mathcal{Y}, \mathfrak{X}) \simeq \operatorname{Hom}_S\bigl(\varprojlim \mathcal{Y}, \varprojlim \mathfrak{X}\bigr)\] Dans les propriétés de Serre

Remarque Dans Serre et Néron, on utilise des ⌜(compléments)⌝ systèmes projectifs de schémas ⌜(de particuliers types)⌝ qui sont $\in \operatorname{Pro}''(\mathrm{Sch})$. D Il y a avantage à les « interpréter » comme étant de véritables schémas sur $k$, […] au lieu de pro-objets ……

137$a_{i0}$ $a_i, b_{ij}, c_{ip} \in A$ \[\begin{cases} f_i = a_i + \displaystyle\sum_{1 \leq j \leq n} b_{ij}\, t_j + \sum_{|p| \geq 2} c_{ip}\, t^p \\ 1 \leq i \leq n \end{cases} \qquad \begin{cases} a_i \in \mathfrak{m} \\ \det(b_{ij}) \notin \mathfrak{m} \end{cases}\] \[(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathfrak{m}^{(n)} \xmapsto{\ \lambda_{(f = (f_1, \ldots, f_n))}\ } \bigl(f_1(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \ldots, f_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\bigr)\] Si $A$ est d'échelon fini $N$, alors $\lambda_f$ est connu quand on connaît $f \bmod (t_1, \ldots, t_n)^{N+1}$, donc quand on connaît les polynômes les […] de degré $\leq N$. \[\boxed{\, f_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = a_i + \sum_j b_{ij}\, \lambda_j + \sum_{2 \leq |p| \leq N} c_{ip}\, \lambda_1^{p_1} \cdots \lambda_n^{p_n} \,}\] \[\begin{array}{c} B \simeq A[[t_1, \ldots, t_n]] \\ \uparrow \\ A \end{array} \qquad \begin{array}{l} V_1 \; [\; \mathfrak{m}^{?},\ \mathfrak{m}^2 \\ V_2 \; [\; \mathfrak{m}^3 \\ \quad\ \vdots \\ \phantom{V_N} \; [\; \mathfrak{m}^{N_1},\ \mathfrak{m}^{N_?} \\ V_N \; [\; \mathfrak{m}^{N_?} = 0 \end{array}\] à droite du diagramme $B \leftarrow A$, une échelle de puissances de $\mathfrak{m}$ découpée en tranches $V_1, \ldots, V_N$ par des crochets ; les exposants notés « ? » sont illisibles, seule la fin $= 0$ est sûre.

139\[G_{n,N} = \underline{\operatorname{Aut}}_{\text{algèbres augmentées}} \mathbf{Z}[t_1, \ldots, t_n]/(t_1, \ldots, t_n)^{N+1}\] $\Gamma_n = \operatorname{Grb}(G_{n,N})$ groupe algébrique sur $k$ des changements de coordonnées \[\begin{cases} f_i(t_1, \ldots, t_n) = \displaystyle\sum_j b_{ij}\, t_j + \sum_{2 \leq |p| \leq N} c_{ip}\, t_1^{p_1} \cdots t_n^{p_n} \\ b_{ij}, c_{ip} \in A \qquad \det(b_{ij}) \notin \mathfrak{m} \end{cases}\] l'indice de $\Gamma_n$ est surchargé d'une tache ; « $\operatorname{Grb}$ » est lu comme le foncteur de Greenberg.

Ce groupe opère sur $\mathfrak{m}^n \simeq \underline{A}^n$ si l'échelon infinitésimal est $\leq N$. Donc

$g \in \Gamma_n$, $a \in \mathfrak{m}^n$ $x \mapsto T_g(x) \dotplus a$ \[\text{\struck{$T_g$}}\ b \dotplus T_g\bigl(\text{\struck{$T$}}\, a \dotplus T_f(x)\bigr)\] \[b \dotplus T_g(a) \dotplus\] \[T_{g'}(a + b) \qquad\qquad g(x + y) = g(x)\] \[\text{\struck{$T_i$}} \qquad \text{\struck{$g$}}\ g(a + b) = g(a) + g'\] \[g(x + y) =\] le calcul de la moitié inférieure s'interrompt sans conclusion ; « $\dotplus$ » rend une addition marquée d'un point au-dessus, lecture incertaine.