Fonds Grothendieck, cote n° 91, pages 121–140

la p. 121 reprend un énoncé commencé avant le lot : les hypothèses sur X et la numérotation (i)–(iii) s'y enchaînent sans titre.

X schéma compact, [i.e. quasi-compact et séparétopologiquement]

(i) X est tot. discontinu, ~~i.e. si x, y \in X, x \neq y, alors il existe une partie ouverte et fermée de X qui contient x et non y. En effet, U, V des ouverts, U \ni x, V \ni y, U \cap V = \emptyset.~~ i.e. tout x \in X a un syst. fond. de voisinages qui sont à la fois ouverts et fermés.

[En fait, il y a un syst. fond. de voisinages ouverts quasi-compacts]

(ii) X ~~est~~ affine. En effet, on recouvre X par des ouverts affines finis, soit X_i (1 \leq i \leq n) ~~affines qui se~~ . Ils sont ouverts et fermés. Posons X'_i = X_i - X_i \cap \bigcup_{j<i} X_j , Alors X'_i est une partie ouverte et fermée de X_i, donc affine puisque X_i l'est (un ouvert p. ex. ). Donc X est somme des X'_i, il est affine.

(iii) Les parties constructibles de X sont les parties ouvertes et fermées. [~~Donc~~ En effet car X \to x est un bon] Donc la page s'arrête sur « Donc » ; la suite n'est pas dans le lot.

Greenberg – Néron seul mot de la feuille, en haut à droite : un titre de sa main pour les feuillets qui suivent.

Soit \mathfrak{X} = (X_i)_{i \in I} un système projectif de préschémas, ensemblistement stationnaire [i.e. \exists\, i_0, \forall\, i \geq i_0, ]. Alors X = \varprojlim_i X_i existe, \operatorname{Top} X = \varprojlim_i \operatorname{Top}(X_i) —.

Soit x \in X, on dit que x est épais si

(Ep) \exists\, i t.q. \forall\, j \geq i, x_j est maximal dans \varphi_{ij}^{-1}(x_i), donc si k \geq j \geq i, x_k est maximal dans \varphi_{jk}^{-1}(x_j).

Sous quelles conditions est-ce équivalent à :

(Ep)' \exists\, i, un voisinage ouvert non vide U_i de \bar{x}_i, t.q. \forall\, j \geq i, \varphi_{ij}^{-1}(U_i) \subset \bar{x}_j (donc la même chose pour tout i' \geq i).

= propriété : \varphi_{ij}^{-1}(U_i) est irréductible, de pt générique x_j, et donc (Ep)' implique (Ep) !

Conditions suffisantes :

(Ep)'' \bar{x} entouré : \bar{x} = \varprojlim \bar{x}_i est une partie constructible de X. (si les X_i sont noethériens)

Ceci équivaut à : \bar{x} = \varphi_i^{-1}(\bar{x}_i) pour i grand

~~Cons. : pour i constructible~~ (dès que i' \geq i)

(Ep)''' \exists une partie constructible ouverte non vide de \bar{x}, soit U. i.e. \exists\, U_i la phrase s'arrête là ; elle reprend en haut de la p. 127 (la p. 126 est étrangère).

x_i maximal dans \varphi_{ji}^{-1}()

encadré de sa main ; les implications sont des flèches doubles. Transcrit en liste.

(Ep)' \Longrightarrow (Ep) + (unicité : de X) ; (Ep)'' \Longrightarrow (Ep)', la flèche portant « M.L. et \Sigma = \mathbf{N} » ; (Ep)'' \Longrightarrow (Ep)''', la flèche portant « 4 » ; ~~(Ep)'''~~ ; (Ep)''' \Longrightarrow (Ep)' si ~~\forall x~~ X'_i, \exists un ouvert \neq \emptyset U_i \subset \bar{x}_i t.q. les \varphi_{ij}^{-1}(U_i) \times X'_j = \varphi_j(X) ???

pt épais \longleftarrow parties constructibles irréductibles

U_j \cap X'_j \subset \bar{x}_j \qquad\qquad X'_i \longleftarrow X'_j U_i \subset \bar{x}_i x \in Z \subset \bar{x} \qquad x \in U_0 \cap Z_0 \qquad \bar{x} x \in ~~\bar{x}~~ \bigcup_i U_i \cap Z_i

x \in U_0 \cap Z_0 \subset \bar{x} \bar{x} = \overline{U_0 \cap Z_0} \subset Z_0

~~x \in \ldots \in Z_0~~

Donc f_1 \ldots f_n x

f_1 \ldots f_n \in \mathfrak{p} g

si g \notin \mathfrak{q} \mathfrak{q} \supset \mathfrak{p} \Longleftrightarrow \mathfrak{q} \supset f_1 \ldots f_n

deux flèches descendent de \mathfrak{X} et de \mathfrak{X}_\xi et convergent vers un même point, sans but écrit.

\mathcal{O}_{X,x} \mathfrak{m}_x au bas de la page, autour de \mathcal{O}_{X,x} et \mathfrak{m}_x, quelques signes épars, illisibles.

V anneau de valuation discrète, corps résiduel k, parfait, corps des fractions K.

Pour tout préschéma X sur V, on définit \bar{X} par Greenberg. \bar{X}(k') \simeq X(V_{k'}) \qquad \text{\struck{$\to X$}} (k' alg. sur k, V_{k'} alg. correspondante étale sur V)

Si k' est parfait, V_{k'} est un anneau de valuation discrète, si K_{k'} = K' son corps des fractions, . \bar{X}(k') \simeq X(V_{k'}) \longrightarrow X(K') Soit \to Y un morphisme de V-préschémas, propre sur V, et soit \varphi : X_K \longrightarrow Y_K un morphisme de K-préschémas, un morphisme

en biais : si Y n'est pas propre sur V, « application » \bar{X} \to \bar{Y}, ayant des propriétés

On définit une application ensembliste \bar{\varphi} : \bar{X} \longrightarrow \bar{Y} Soit en effet \bar{x} \in \bar{X}, soit k' = \tilde{k}(\bar{x}) « la » clôture parfaite de k(\bar{x}), alors \bar{x} définit un pt \bar{x}' \in \bar{X}(k'), d'où un pt, \alpha_X(\bar{x}') \in X(V_{k'}) \subset X(K_{k'}) et appliquant \varphi un point \varphi(\alpha_X(\bar{x}')) \in Y(K_{k'}) \xleftarrow{\ \sim\ } Y(V_{k'}) \overset{\alpha_Y}{\simeq} \bar{Y}(k') le Y de Y(K_{k'}) porte des traits au-dessus (barre et flèches) ; lecture incertaine. donc la localité \bar{\varphi}(x). On a par construction un homomorphisme k(\varphi(\bar{x})) \longrightarrow \widetilde{k(\bar{x})} (où \widetilde{\phantom{k}} désigne la clôture séparable parfaite).

Par la suite, X, Y de type fini sur K, et séparés intègres.

Proposition 1 Supposons \bar{x} \in \bar{X} épais et \varphi ~~dominant génér.t~~ excité, et en x séparable [i.e. ]. Alors (si) \bar{y} = \varphi(\bar{x}) est épais, k(\bar{y}) \subset k(\bar{x}), et l'application ponctuelle \bar{x}_{\mathrm{red}} \to \bar{y}_{\mathrm{red}} définie provient d'un morphisme d'indice fini constructible dans un U \in \bar{x}, [d'image un ouvert constructible de \bar{y}_{\mathrm{red}}]. l'énoncé est marqué d'un trait vertical en marge gauche ; la lecture de « dominant génér.t » et de ses corrections interlinéaires est incertaine.

Corollaire Fonctorialité (en X_K) de l'ensemble \operatorname{Ép}(\bar{X}) des points épais de \bar{X} [ corps résiduels —-], par des applications rationnelles ~~morphismes~~ X_K \to Y_K dominantes génér.t séparables de K-schémas propres

Proposition 2 Soit S une partie constructible de \bar{X}, X_K intègre, [tel que (V, x) y soit bonne], et tel que \bar{\varphi}(S) existe [ex. Y propre sur V] et soit Y_K-simple. Alors \bar{\varphi}(S) est constructible. De plus, il y a une bonne partition S = \coprod_i S_i, les S_i des sous-schémas irréductibles constructibles de X, telles que \varphi soit morphique d'indice fini sur chaque S_i, [et \varphi(S_i) constructible irréductible …] alors

Corollaire Fonctorialité de en X_K variant comme dessus, et de plus simple sur K, de l'ens \operatorname{Cons}(\bar{X}) des parties constructibles de \bar{X}.

Condition de finitude d'anneaux [ou de préschémas quasi-compacts] \Gamma : A \rightsquigarrow A((t))^{*} = \bigl(A[[t]]_t\bigr)^{*} \qquad (t \text{ une indéterminée}) Ce foncteur est ind-représentable par un \mathcal{G} = \varinjlim_n (\mathcal{G}_n) \varinjlim par de où \mathcal{G}_n représente le sous-foncteur \Gamma_n de \Gamma, \text{\struck{$A \rightsquigarrow A((t))^{*}$}} formé des séries formelles \sum_{-\infty}^{+\infty} a_i t^i qui ont un inverse \sum_{-\infty}^{+\infty} b_j t^j, dans \Gamma_n a_i = 0, b_i = 0 pour i < -n. \mathcal{G}_n est affine un sous-schéma fermé de \operatorname{Spec} \mathbf{Z}[(a_i, b_i)_{i \geq -n}], [défini par les relations exprimant \Bigl(\sum_i a_i t^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j t^j\Bigr) = 1 , savoir a_{-n} b_{-n} = 0, … ]

En Soit, \Gamma_0 est le foncteur \Gamma_0 : A \rightsquigarrow A[[t]]^{*} qui est représenté par \mathcal{G}_0 = \mathbf{G}_m \times \operatorname{Spec} \mathbf{Z}[(a_i)_{i \geq 1}] Considérons le schéma \mathcal{G}' = \mathbf{Z}_{\mathbf{Z}} \times \mathcal{G}_0 qui représente un foncteur ind-représentable \mathcal{G}' = \varinjlim_n \mathcal{G}'_n , \qquad \mathcal{G}'_n = [-n, n]_{\mathbf{Z}} \times \mathcal{G}_0 . On a un morphisme canonique \mathcal{G}' \longrightarrow \mathcal{G}

correspondant : un morphisme \mathcal{G}'_n \longrightarrow \mathcal{G}_n ~~famille~~ , correspondant par composantes, à \varphi_n^{\nu} : \mathcal{G}_0 \longrightarrow \mathcal{G}_n \qquad \nu \in [-n, +n] donnés ~~par~~ sur les foncteurs par \varphi_n^{\nu}\Bigl(\text{\struck{$\Sigma$}}\, a_i t^i_{\ i \geq 0}\Bigr) = t^{\nu} \sum a_i t^i Ceci posé, on a

Th (i) Le morph. \varphi_n : \mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}_n est une immersion fermée surjective.

(ii) Elle induit une immersion ouverte sur \mathcal{G}_0 \times \{\nu\} pour \nu = \pm n, mais pour -n < \nu < +n, le morphisme induit n'est pas une immersion [ même ouverte dès S \to \operatorname{Spec} \mathbf{Z}, S \neq \emptyset].

(iii) Soit \mathcal{G}_n^i le sous-schéma ouvert induit et fermé de \mathcal{G}_n sur l'image ensembliste \varphi_n(\mathcal{G}_0 \times \{i\}), avec |i| \leq n. en biais : donc \mathcal{G}_n est réunion disjointe d'ouverts \mathcal{G}_n^i (i \in [-n, +n]), d'ailleurs isomorphes aux images des \varphi_n^i

Pour n , un système d'immersions inductif de préschémas. n' \geq n \geq |i|, les morphismes \mathcal{G}_n^i \longrightarrow \mathcal{G}_{n'}^i induits isomorphismes, et S \neq \emptyset quelc. [ corps premiers …].

le schéma ci-dessous redresse le dessin : les signes \cup entre les lignes (« sous-catégorie pleine ») sont rendus par des inclusions, et chaque catégorie est glosée à droite.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}] & \operatorname{Pro}(\mathrm{Sch}_{/S}) \\ (\mathrm{Sch}_{/S}) & \operatorname{Pro}'(\mathrm{Sch}_{/S}) \arrow[l, "\varprojlim"'] \arrow[u, hook, "\text{sous-catégorie pleine}"'] \\ & \operatorname{Pro}''(\mathrm{Sch}_{/S}) \arrow[u, hook, "\text{sous-catégorie pleine}"'] \arrow[ul, "\text{foncteur pleinement fidèle}"] \end{tikzcd}

\operatorname{Pro}(\mathrm{Sch}_{/S}) : pro-préschémas

\operatorname{Pro}'(\mathrm{Sch}_{/S}) : pro-préschémas (X_i)_{i \in I}, t.q. \exists\, i, u_{ji} affine pour j \geq i

\operatorname{Pro}''(\mathrm{Sch}_{/S}) : pro-préschémas (X_i)_{i \in I} t.q. \begin{cases} \forall\, i \text{ grand}, X_i \text{ est qu.-compact et de présentation finie sur } S \\ \exists\, i \text{ t.q. } j \geq i \text{ implique } u_{ji} \text{ affine} \end{cases} au-dessus, une première rédaction biffée : ~~\exists\, i, [X_i qu.-compact et présentation finie ; u_{ji} affine de prés. finie]~~.

Soient \mathfrak{X} \in \operatorname{Ob} \operatorname{Pro}''(\mathrm{Sch}_{/S}), \mathcal{Y} \in \operatorname{Ob} \operatorname{Pro}'(\mathrm{Sch}_{/S}) alors (\mathcal{Y} = (Y_j), les Y_j quasi-compacts) \operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathrm{Sch}_{/S})}(\mathcal{Y}, \mathfrak{X}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}\bigl(\varprojlim \mathcal{Y}, \varprojlim \mathfrak{X}\bigr) , ~~[En particulier, la catégorie~~ Si base S \operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathrm{Sch}_{/S})}(\mathcal{Y}, \mathfrak{X}) \simeq \operatorname{Hom}_S\bigl(\varprojlim \mathcal{Y}, \varprojlim \mathfrak{X}\bigr) ~~Dans les propriétés de Serre~~

Remarque Dans Serre et Néron, on utilise des (compléments) systèmes projectifs de schémas (de particuliers types) qui sont \in \operatorname{Pro}''(\mathrm{Sch}). D Il y a avantage à les « interpréter » comme étant de véritables schémas sur k, au lieu de pro-objets ……

~~a_{i0}~~ a_i, b_{ij}, c_{ip} \in A \begin{cases} f_i = a_i + \displaystyle\sum_{1 \leq j \leq n} b_{ij}\, t_j + \sum_{|p| \geq 2} c_{ip}\, t^p \\ 1 \leq i \leq n \end{cases} \qquad \begin{cases} a_i \in \mathfrak{m} \\ \det(b_{ij}) \notin \mathfrak{m} \end{cases} (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathfrak{m}^{(n)} \xmapsto{\ \lambda_{(f = (f_1, \ldots, f_n))}\ } \bigl(f_1(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \ldots, f_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\bigr) Si A est d'échelon fini N, alors \lambda_f est connu quand on connaît f \bmod (t_1, \ldots, t_n)^{N+1}, donc quand on connaît ~~les~~ ~~polynômes~~ les de degré \leq N. \boxed{\, f_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = a_i + \sum_j b_{ij}\, \lambda_j + \sum_{2 \leq |p| \leq N} c_{ip}\, \lambda_1^{p_1} \cdots \lambda_n^{p_n} \,} \begin{array}{c} B \simeq A[[t_1, \ldots, t_n]] \\ \uparrow \\ A \end{array} \qquad \begin{array}{l} V_1 \; [\; \mathfrak{m}^{?},\ \mathfrak{m}^2 \\ V_2 \; [\; \mathfrak{m}^3 \\ \quad\ \vdots \\ \phantom{V_N} \; [\; \mathfrak{m}^{N_1},\ \mathfrak{m}^{N_?} \\ V_N \; [\; \mathfrak{m}^{N_?} = 0 \end{array} à droite du diagramme B \leftarrow A, une échelle de puissances de \mathfrak{m} découpée en tranches V_1, \ldots, V_N par des crochets ; les exposants notés « ? » sont illisibles, seule la fin = 0 est sûre.

G_{n,N} = \underline{\operatorname{Aut}}_{\text{algèbres augmentées}} \mathbf{Z}[t_1, \ldots, t_n]/(t_1, \ldots, t_n)^{N+1} \Gamma_n = \operatorname{Grb}(G_{n,N}) groupe algébrique sur k des changements de coordonnées \begin{cases} f_i(t_1, \ldots, t_n) = \displaystyle\sum_j b_{ij}\, t_j + \sum_{2 \leq |p| \leq N} c_{ip}\, t_1^{p_1} \cdots t_n^{p_n} \\ b_{ij}, c_{ip} \in A \qquad \det(b_{ij}) \notin \mathfrak{m} \end{cases} l'indice de \Gamma_n est surchargé d'une tache ; « \operatorname{Grb} » est lu comme le foncteur de Greenberg.

Ce groupe opère sur \mathfrak{m}^n \simeq \underline{A}^n si l'échelon infinitésimal est \leq N. Donc

g \in \Gamma_n, a \in \mathfrak{m}^n x \mapsto T_g(x) \dotplus a \text{\struck{$T_g$}}\ b \dotplus T_g\bigl(\text{\struck{$T$}}\, a \dotplus T_f(x)\bigr) b \dotplus T_g(a) \dotplus T_{g'}(a + b) \qquad\qquad g(x + y) = g(x) \text{\struck{$T_i$}} \qquad \text{\struck{$g$}}\ g(a + b) = g(a) + g' g(x + y) = le calcul de la moitié inférieure s'interrompt sans conclusion ; « \dotplus » rend une addition marquée d'un point au-dessus, lecture incertaine.