Cote n° 91, pages 101–120

Cote n° 91 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

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Topologie constructible

103la page commence par une définition numérotée 1 ; rien n'indique ici une suite d'un argument antérieur au lot Définition 1. Soit $X$ un espace topologique. On appelle topologie constructible de $X$, […] la topologie ayant pour ouverts les réunions quelconques de parties loc. constructibles [donc une base d'ouverts formée par les parties loc. constructibles]. Partition […] $=$ […] finie de $X^{\mathrm{cons}}$ $=$ recouvrement […] par des parties loc. constructibles.

Prop. 1. Supposons que […] $X$ admette une base ⌜$(U_i)_{i\in I}$⌝ d'ouverts […] rétrocompacts. Alors

(0)Les parties constructibles de $X$ forment une base d'ouverts de $X^{\mathrm{cons}}$.
(i)La topologie constructible de $X$ est plus fine que la topologie initiale, i.e. $X^{\mathrm{cons}}\to X$ est continue.
(ii)[…] Si $X$ satisfait en plus $T_0$, alors $X^{\mathrm{cons}}$ est séparé [totalement discontinu] et régulier […].
(iii)Si $E$ est une partie quelconque de $X$, […] topologique partie localement constructible en $X$, munie de la topologie induite $T_E$, alors la topologie constructible […] : $T_E^{\mathrm{cons}}$ est induite par $T^{\mathrm{cons}}$ sur $E$.

(0) Une partie loc. constructible $E$ est réunion finie de parties constructibles en $X$ par $0_{\mathrm{III}}$ 9.1.8 [loc]renvoi probable à EGA, chap. $0_{\mathrm{III}}$, 9.1.8 ; seule la cote « $0_{\mathrm{III}}$ 9.1.8 » est lisible, […] par les $U_i$ qui sont constructibles. (i) Résulte du fait […] […] pour $T^{\mathrm{cons}}$. Pour (ii), soient $x,y\in X$, il existe […] un ouvert […] contenant $x$, et non $y$ […] : $U\ni x$, $U\not\ni y$. On peut supposer, grâce à l'hyp., $U$ rétrocompact, donc [loc.] constructible⌜, donc ouvert⌝, et $X-U=V$ l'est aussi, donc $U\cap V=\emptyset$, $U\cup V=X$, $U\ni x$, $V\ni y$, $U$, $V$ ouverts pour $T^{\mathrm{cons}}$. Pour (iii), on note que la topologie induite […] $T^{\mathrm{cons}}$ sur $E$ a une base d'ouverts les $E\cap F$, $F$ ⌜loc.⌝ constructible dans $X$, or […] les $G\subset E$ loc. constructibles dans $E$, […]

104[…] […]

Lemme. a) Soit $F$ (loc.) constructible dans $X$, alors $F\cap E$ est (loc.) constructible dans $E$ ⌜($E$ loc. const.)⌝. b) Soit $F\subset E$, ⌜$E$ (loc.) constructible⌝ alors $F$ est (loc.) const. dans $E$ ssi il l'est dans $X$.

$E$, $f^{-1}(F)\cap U$ ; $f$ ; $X$, $F$notation griffonnée dans la marge gauche, en face de la démonstration ; lecture et rôle incertains

Dém. Pour a), on note que si $F$ est ouvert rétrocompact en $X$, alors $F\cap E$ est rétrocompact dans $E$, […] […] que $A$ […] quasi-compact ⌜$U$⌝ […] $E$ est […] par un ouvert $V$ de $X$, quasi-compact […] [[…] : l'hyp. préliminaire de la prop.] supposons quasi-compact, d'où $f^{-1}(F)\cap U=f^{-1}(F\cap V)=$ […] […] d'un quasi-compact, […] […] […] […] $E$ est […] rétrocompact en $X$. […] ⌜$0_{\mathrm{III}}$ 9.1.13⌝ […] […] « localement » […] […], utilisons le fait que $E$ est […] […] $E\cap U$ constructible dans tout $U$ […].

Pour b), on suppose $F\subset E$ constructible dans $E$ ⌜constr.⌝, prouvons […], que $F$ l'est dans $X$. On […] $F$ […] ⌜ouvert⌝ dans $E$, rétrocompact en $E$, donc $F=U\cap \complement V$, $U$ et $V$ rétrocompacts dans $X$ ⌜qui sont constructibles⌝ […]

[Or $E=\bigcup E_i$ ; […] […] […], […] $F\cap E_i$ […] […] $E$ […] […], donc $E_i\cap F$ const. […] $E_i$ […] […], […] […] […] […] : […] […] qu'ils sont constructibles dans $X$, […] […] $F=\bigcup E_i\cap F$. $0_{\mathrm{III}}$ 9.1.8 (i)$\Rightarrow$(ii)renvoi probable à EGA $0_{\mathrm{III}}$ 9.1.8 ; un « (ii) » est cerclé juste au-dessous

Remplaçons $X$ […] $U$, […] […] […] $E$, […] $F$ […] […] […] dans […] […] […] […] $X=U$ [$E\subset$ […] const. dans $U$, $F$ […]] $F=E\cap W$, $W$ […] dans $X$, […] de même dans $U$, donc dans $X$] la fin de la page est très raturée ; plusieurs lignes se chevauchent et la ponctuation n'est pas sûre

dans la marge inférieure gauche, un ovale traversé par un trait oblique

105Dans […] […] supposons $E=\complement V$, $V$ […] ouvert rétrocompact, et […] […] […] […] $E-F=\complement$ […] […] Il suffit de prouver ⌜la […]⌝ $E-F$ const. en $X$, i.e. \[X-(E-F)=V\cup F \quad \text{rétrocompact dans } X,\] ce qui est […] […] […] $V$ et $F$ le sont évidemment … $\complement V$ ; $F$dans la marge gauche, un segment oblique gradué de deux tirets, marqué $\complement V$ en haut et $F$ au milieu

Le cas « local » résulte aussitôt de ce lemme.

Corollaire 1. Supposons que […] […] plus, toute partie $U_i$ soit quasi-compacte […] […] [pour la topologie] constructible [donc […] […] […] compacte pour la top. constructible, donc […] […] […] […] $X$ i.e. satisfaisant à la condition : […] […] […] séparée $(T_0)$], $A$ […] […]

(iv)Les $U_i^{\mathrm{cons}}$ sont quasi-compacts, et […] […] $X$ […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] [[…] $X$ […] […] […] […] […]] deux lignes biffées, avec une accolade ondulée, avant (v)
(v)Soit $E$ une partie loc. constructible de […] […] $X^{\mathrm{cons}}$ [p. ex. une partie loc. constructible ⌜(fermée quasi-compacte)⌝ […]] de $X$] dans $X^{\mathrm{cons}}$. […] $E$ compacte quasi-compacte dans $X^{\mathrm{cons}}$ $\iff$ $E$ quasi-compact dans $X$ $\iff$ $E\subset$ réunion finie des $U_i$.
(vi)Si […] que $X^{\mathrm{cons}}$ soit loc. compact [compact] il faut et suffit que $X$ satisfasse $(T_0)$ [compact $T_0$, et soit quasi-compact].

(iv) Résulte de (i) trivialement. Évidemment \[E^{\mathrm{cons}} \text{ qu.-cpte} \Longrightarrow E \text{ qu.\ cpct} \quad \text{(i)}\] \[\Longrightarrow E \text{ est contenu dans une réunion finie des } U_i\] par définition de qu. cpct,dans ces deux lignes, « contenu » et « réunion finie » sont des lectures incertaines ; trois mots illisibles suivent « qu. cpct » dans la première donc $E$ fermé dans $\bigcup U_i^{\mathrm{cons}}$ ⌜$V^{\mathrm{cons}}$ [par la top. induite par $X^{\mathrm{cons}}$]⌝, et les $U_i^{\mathrm{cons}}$ étant quasi-compacts […] […] il s'ensuit que $E$ l'est, OK. (vi) En résulte trivialement.

N.B. Les hypothèses faites impliquent que […] […] des points […] de $X$ […] […] quasi-compacts, […] […] donc $(T_0)$ […] quelconques […]note écrite en oblique dans la marge gauche, à hauteur des énoncés (iv)–(v) ; lecture très incomplète

106Corollaire 2. […] les conditions des corollaires Supposons $X$ […] quasi-compact ⌜et $(T_0)$⌝, et que la partie $X$ ait une base formée d'ouverts […] rétrocompacts, qui soient quasi-compacts pour la topologie constructible. Soit $E$ une partie de $X$. Conditions équivalentes :

a)$E$ est fermé pour la top. constructible [i.e. est intersection […] de parties constructibles]
b)$E$ est compact pour la top. constructible, i.e. pour toute famille de parties constructibles $(E_i)_{i\in I}$ de $X$, avec $E\subset\bigcup_{i\in I}E_i$, il existe une partie finie $J\subset I$, telle que $E\subset\bigcup_{i\in J}E_i$.

Notion locale ?? ; Sous-familles finies […] ; partie ensembliste intersection de localement […] […]notes obliques dans la marge gauche, en partie barrées ; les « ?? » sont de l'auteur

$X$ […] En effet, $X^{\mathrm{cons}}$ est compact, donc a)$\iff$b).

On en conclut ⌜donc⌝ que […] $E$ est une partie ensembliste fermée dans $X$. On peut […] que $X$ […] […] […] […] plus précis ici [mais seulement fermé […] […] […] deux top] ⌜dans $X^{\mathrm{cons}}$⌝

$E$ fermé [i.e. intersection de parties loc. constructibles] \[\Updownarrow\] $E$ loc. compact pour la top. constructible i.e. pour tout […] $U_i$, $E\cap U_i$ satisfait la condition b) relativement à $U_i$.

Corollaire 3. Sous les conditions du corollaire 2, conditions équivalentes :

a)$E$ et $X-E$ sont ensemblistes constructibles ⌜ouverts dans $X^{\mathrm{cons}}$⌝
b)$E$ est constructible.

107c)$\Rightarrow$a)$\iff$b) trivial, prouvons la réciproque a)$\Rightarrow$c), alors soit $E$ et $X-E=F$ clos […] en $X^{\mathrm{cons}}$ ; ce sont réunions […] […] filtrantes d'ouverts constructibles $E_i$ resp. $F_j$, donc $X$ est réunion filtrante des $E_i\cup F_j$, donc est égal à l'un des $E_i\cup F_j$, d'où $E=E_i$, […] $F=F_j$ pour un $i,j$, donc $E$, $F$ constructibles.

Proposition 2. Soit $f:X\to Y$ une application continue d'espaces topologiques, telles que $Y$ admette une base formée d'ouverts ⌜$V$ rétrocompacts en $U$⌝, $V\subset U\subset Y$, rétrocompacts dans $Y$, tels que $f^{-1}(V)$ soit rétrocompact dans $f^{-1}(U)$. Alors (i) Pour tout […] $Y'$ de $Y$, […] $X'=f^{-1}(Y')$, $f':X'\to Y'$ satisfait la […] ⌜hyp. par $f$.⌝

(i)Pour toute partie constructible [loc. constructible] $E$ de $Y$, $f^{-1}(E)$ est une partie constructible [loc. constructible].
(ii)$f$ est continue de $X^{\mathrm{cons}}$ dans $Y^{\mathrm{cons}}$, i.e. l'image inverse d'une partie ⌜loc.⌝ ensembliste

de $Y$ est une partie ⌜loc.⌝ ensembliste de $X$. hyp. trop restrictive ; […] […] préalables […]note oblique de l'auteur dans la marge gauche, en face de l'hypothèse de la proposition 2 $Y'\subset Y$

(i) est immédiat pour « constructible ». Pour loc. constructible, […] […] […] […] $Y=\bigcup Z_i$, les $E_i=E\cap Z_i$ constructibles ⌜dans $Z_i$⌝, […] $Z_i$ ouvert, $f_i:X_i\to Z_i$ induit, $X_i=f^{-1}(Z_i)$, [$U$ et $\complement V$ […] […]] […] […] que $f_i^{-1}(E_i)$ est constructible dans $X_i$ ; […] […] […] que $X_i\to Z_i$ satisfait l'hypp. de $f:X\to Y$, […] OK. (ii) Résulte trivialement de (i). $f'$

108la première moitié de la page (corollaire 1 et sa démonstration) est barrée de deux longs traits obliques Corollaire 1. Supposons que […] $X$ et $Y$, […] admettent une […] […] d'ouverts ⌜$X_i$ resp. $Y_j$⌝ rétrocompacts quasi-compacts. […] […] […] […] Mais l'hyp. préliminaire de la prop. signifie […] […] que pour tout […] $Y_j$, $f^{-1}(Y_j)$ est rétrocompact en $X$, […] […] […] tout ouvert […] $Y'$ ⌜[rétrocompact]⌝ quasi-compact de $Y$, $X'=f^{-1}(Y')$ est […] rétrocompact dans $X$, […] […] […] les $X_i\cap f^{-1}(Y_j)$ sont qu. cpcts.

[Prop. Soit $X$ un espace topologique, ayant une base d'ouverts $U_i$ qui sont quasi-compacts. Alors pour toute partie $E$ de $X$, […] […] pour une application continue $f:X'\to X$, il revient […] […] […] […] […] que $f$ est qu. cpct, i.e. que les $f^{-1}(U_i)$ sont q. cpcts. Dans ce cas $X'\subset X$ sous-espace top., $X'$ est rétrocompact en $X$ ssi les $X'\cap U_i$ sont qu. cpcts.

Cor. Soit Supposons ⌜Pour que⌝ de plus les $U_i$ rétrocompacts ⌜(il suffit que)⌝ dans $X$, […] toutes parties quasi-compactes ouvertes de $X$ soient rétrocompactes en $X$.

Cor. S'il en est ainsi, pour une application continue $f:X'\to X$, il revient au même de dire :

(a)que pour tout ouvert $U\subset X$ ⌜[…]⌝ quasi-compact, $f^{-1}(U)$ est rétrocompact ;
(b)Pour tout $U_i$, $f^{-1}(U_i)$ est rétrocompact dans $X'$ ;
(c)[Si $X'$ a une base d'ouverts quasicompacts $U'_j$] les $f^{-1}(U_i)\cap U'_j$ sont […] quasi-cpcts.]

$U\subset X$ ouvert rétrocompact […] ; si $U'\subset X'$ […] q. cpct

b)$\Rightarrow$a), $E=U$, $f^{-1}(U)\cap V'$ $\subset f^{-1}(f(V'))$, $=f^{-1}(U\cap$ […]$\cap$ et $f(V')$ est q. cpct, est contenu dans une réunion finie des $U_i$, $i\in J$, donc $f^{-1}(U)\cap V'=f^{-1}(\bigcup U\cap U_i)\cap V'$ et chaque $U\cap U_i$ est ⌜$i\in J$⌝ réunion finie d'un $U_j$ … ce calcul, écrit dans la marge gauche sous une note entourée, se poursuit vers le bas de la page et s'interrompt

Cor. Si $f:X'\to X$ […] quasi-compacts […] […] […] […] […]note oblique dans la marge gauche, raturée par un trait ondulé

109Corollaire 1. Supposons que $X$, ⌜$Y$⌝ […] […] soient des espaces $(T_0)$, schématiques ou admettant des bases d'ouverts formées d'quasi-compacts ouverts rétrocompacts et quasi-compacts pour la top. constructible [donc compacts pour la […]]. Conditions ⌜Conditions⌝ équivalentes :

a)$f:X\to Y$ soit une telle que ⌜est⌝ quasi-compacte
b)Alors ⌜(b)⌝ $f^{\mathrm{cons}}$ est une […] [$f$ compact […] $X$] application propre d'espaces loc. cpcts, […] partie […] i.e. $f$ […] […] [[…] […] pour partie […]] […] […] […] […] […] lignes biffées et entourées en milieu de page

[N.B. $f$ est propre ssi l'image réciproque d'une partie compacte est compacte.] les parties constructibles en parties ⌜[…]⌝ […] […] […] […] fermées $f^{\mathrm{cons}}$ […], i.e. une transformée […]

c) $f$ transforme parties ensemblistes en parties ensemblistes, et les fibres de $f$ sont quasi-compactes [cf. Bourbaki, […] I, § 10, 2, Prop. 1]note oblique de l'auteur dans la marge gauche, séparée du texte par un trait courbe

Corollaire 2. Soient les conditions précédentes ⌜[…] vérifiées,⌝ supposons $Y$ et $X$ quasi-cpcts, de $X^{\mathrm{cons}}$, $Y^{\mathrm{cons}}$ compacts. Conditions équivalentes :

(a)$f$ transforme les parties constructibles en parties […] [i.e. transforme « […] […] » en « […] […] »]
(b)$f$ transforme les parties ensemblistes en […] parties constructibles [[…] « […] […] » en « […] »]
(c)$f^{\mathrm{cons}}$ est une application ouverte. […] […] […]

Les conditions sont vérifiées si $f$ est bijective.

Cor. 3. Sous les conditions du Cor. 1 ou supposons, alors ([…]) […] […] (ii) pour toute partie ⌜$E$⌝ de $f(X)$, […] dont $f^{-1}(E)$ l'est… (iii) Si $f$ est surjective, une partie […] […] […] constructible ssi $f^{-1}(Y)$ l'est. la fin du corollaire 3, serrée au bas de la page et en partie raturée, n'est lue que par fragments

110Examiner […] plus de près les parties ensemblistes ⌜(et loc. constructibles)⌝ de $X$, quand […] […] suppose pas $X$ qu. cpct…

Th. Soit $X$ un schéma affine. Alors $X^{\mathrm{cons}}$ est compact.

Corollaire 1. Soit $X$ un préschéma. […] Alors $X$ ⌜qu. séparé⌝ est $T_0$, admet une base formée d'ouverts rétrocompacts et compacts pour la topologie constructible. En particulier, $X^{\mathrm{cons}}$ est loc. compact.

Corollaire 2. Supposons de plus $X$ [quasi-compact et quasi-séparé] quasi-noethérien. Alors Alors

(i)$X^{\mathrm{cons}}$ est compact.
(ii)Les parties constructibles de $X$ sont les parties ouvertes et fermées de $X^{\mathrm{cons}}$.
(iii)Les parties […] ensemblistes de $X$ sont les parties ⌜$E$⌝ telles qu'il existe un morphisme quasi-compact ⌜de⌝ $f:X'\to X$, d'image $E$. [N.B. […]] On peut prendre $X$ $X'\to X$ un monomorphisme…
(iv)Si $E$ et $X-E$ sont qu. cpct…, ils sont constructibles…

Applications constructibles et espaces schématiques

112Soient $X$, $Y$ deux préschémas. Application géométrique de $E\subset X$ dans $Y$ : morphisme des ⌜[…] supposés $E$ loc. constructibles⌝ $\mathrm{Dis}(E,X)=\coprod_{x\in E}\mathrm{Spec}\,k(x)$, dans $\mathrm{Dis}(Y)$. [Une application géométrique est dite constructible si tout $x\in X$ a un voisinage ⌜[…]⌝ ouvert $U$, et une partition de $U\cap E$ en parties loc. fermées $Z_i$, telle que $f\,|\,Z_i$ soit un morphisme $Z_i\to Y$. Il revient aussi […] […] […] dire que

Ex : une appl. qui est […] morphisme. Si […]… ensembles […] […] définie par un […] […] […] partie loc.

$E=\bigcup_{i\in I}E_i$ famille […] […] $f:E\to Y$ […] est […] constructible, alors pour tout $i$, $f\,|\,E_i$ l'est ; la réciproque ⌜[…] […] est vraie […] […] si […] […] fini⌝ […] constituant une partition si $E$ est quasi-compact ⌜[…] partition en parties $Z_i$ constructibles⌝ possible de $E$ en […] loc. fermées, telles que les $f\,|\,Z_i$ soient des morphismes.

La définition de $\mathrm{App\,cons}((X,E),(Y,F))$, […].

⌜(Cons Aff)⌝ajout de l'auteur au-dessus de la ligne, rattaché par un trait Catégorie des ensembles constructibles affines : objets les Affines […] […] […] […], […] les schémas affines (ou quasi-compacts […]) et morphismes les applications constructibles. Si $X$ $E$ est une partie loc. […] préschéma […] […] constructible d'un préschéma $X$, on lui associe un foncteur \[\mathrm{Cons}(X,E) : (\mathrm{Cons\,Aff})^{\circ}\longrightarrow(\mathrm{Ens})\] la page s'arrête sur cette définition ; la suite manque sur ce feuillet

113Posons \[\mathrm{Cons}(X,E)(Y)=\mathrm{App\,cons}(Y,(X,E)).\] […] […] Si […]… $(X,E)$ et $(X',E')$ ; on a… \[\mathrm{App\,cons}((X,E),(X',E'))\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{Hom}(\mathrm{Cons}(X,E),\mathrm{Cons}(X',E'))\]

On obtient ainsi des foncteurs pleinement fidèles

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
(\mathrm{Cons\,Aff}) \arrow[r] \arrow[rr, bend right=25, "\text{canonique}"'] \arrow[rrr, bend right=35, "\mathrm{can}"'] & (\mathrm{Complexes}(X,E)) \arrow[r] & \mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,Aff})' \arrow[r] \arrow[r, bend right=40, "\mathrm{can}"'] & \underline{\mathrm{Hom}}((\mathrm{Cons\,Aff})^{\circ},\mathrm{Ens})
\end{tikzcd}

sous $(\mathrm{Complexes}(X,E))$ : « $E$ loc. constr. dans $X$ quasi-sép. » ; sous $\mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,Aff})'$ : « systèmes inductifs […]… ». Au-dessus de la flèche $(\mathrm{Cons\,Aff})\to(\mathrm{Complexes}(X,E))$, une note de l'auteur, en partie lisible : « équivalence avec les ens. schématiques quasi-compacts… ». Les trois arcs courbes sont redessinés d'après leurs extrémités apparentes ; le départ de l'arc court marqué « can » (sous $\mathrm{Ind}$ ou sous $\mathrm{Complexes}$) est incertain le reste de la page est blanc

114Soit $A$ $A$ un anneau commutatif, $X$ le schéma affine qu'il définit, \[A^{\mathrm{cons}}=\varinjlim_{\mathfrak{P}} A_{\mathfrak{P}}\] $\mathfrak{P}$ parcourant les « partitions ordinaires » de $X$ en ens. constructibles loc. fermés, affines, et pour une telle $\mathfrak{P}=(X_i)_{i\in I}$, \[A_{\mathfrak{P}} \text{ désigne } A\Bigl(\coprod X_{i\,\mathrm{red}}\Bigr)=\prod A(X_{i\,\mathrm{red}}).\] après « désigne », un mot biffé illisible. Le $\mathfrak{P}$ est une lettre gothique majuscule, sans doute un P ; lecture de la lettre incertaine Les homom. de transition sont injectifs. Considérons \[\widetilde{X}=\mathrm{Spec}(A^{\mathrm{cons}}).\] On a \[\mathrm{Top}(\widetilde{X})=\varprojlim_{\mathfrak{P}}\mathrm{Top}\,\mathrm{Spec}(A_{\mathfrak{P}}).\] En particulier \[\mathrm{Ens}(\widetilde{X})=\varprojlim_{\mathfrak{P}}\mathrm{Ens}\underbrace{\mathrm{Spec}\,A_{\mathfrak{P}}}_{\coprod X_i}\] et comme les homéomorphismes ⌜bijections⌝ morphismes de transition sont des […] ⌜bijections⌝, on trouve \[\mathrm{Ens}\,\widetilde{X}\simeq\mathrm{Ens}\,X.\] Cette bijection est compatible avec les topologies de $\widetilde{X}$ et de $X^{\mathrm{cons}}$, comme on voit aisément sur la description d'une base d'ouverts de $\widetilde{X}$…

115toute la page est barrée de grands traits obliques croisés ; un signe $\emptyset$ cerclé et barré se trouve dans la marge gauche, en face du N.B. Soit $X$ un espace topologique, dont chaque point $x$ a un […] ⌜admettant une base d'ouverts⌝ […]. […]mot isolé de l'auteur en marge gauche, en face de la première ligne […] […] […] […] […] que $U$ ayant les propriétés suivantes :

(i)$U$ rétrocompact dans $X$, et $U$ quasi-compact
(ii)Toute […] famille $(E_i)_{i\in I}$ de parties […] constructibles de $U$, recouvrant $U$, il y a une sous-famille finie recouvrant $U$.

Pour exprimer (ii), introduisons [dans tout espace topologique $U$] la topologie dont les ouverts sont les ⌜réunions quelconques des⌝ ⌜parties⌝ loc. constructibles [c'est bien stable par intersections finies et réunions quelc.] dans la topologie initiale, appelée la topologie des parties constructibles ($U$ est quasi-compact, et donc on a une base d'ouverts formée de parties constructibles. Lorsque […] […] […] admet […] ouverts rétrocompacts, « loc. constructible » et d'ailleurs toujours ouverts « constructibles » ; lorsque (ii), les $U$ ouverts rétrocompacts dans […] X) forment donc une […] de la […] […]

au précédent. N.B. ⌜[…]⌝ Il en est […] ainsi […] [c'est le cas des préschémas] dans l'axiome $T_0$, alors une telle topologie est séparée, ⌜[…]⌝ et a totalement discontinue [pour deux pts $x\neq y$, il existe des ouverts $V\ni x$, $W\ni y$, $V\cap W=\emptyset$, $V\cup W=U$]. L'hyp. (ii) exprime qu'elle est quasi-compacte, donc compacte [dans l'espace …] totalement discontinu et …, […]]. la plus grande partie des liaisons de cette page biffée est conjecturale ; seuls les énoncés (i), (ii) et la condition de séparation $V\cap W=\emptyset$, $V\cup W=U$ sont lus avec quelque assurance

117plan numéroté, écrit sur le verso d'une feuille dactylographiée sans rapport (le texte tapé transparaît, à l'envers)

N° 1Préschémas compacts et loc. compacts. Anneaux flasques.
N° 2Systèmes projectifs ⌜Proschémas⌝ flasques de préschémas et […] […] […] espaces schématiques compacts
N° 3Espaces schématiques […] Ind […] Espaces schématiques. [Catégorie […] par les […] ouverts…]
N° 4Opérations sur ces, […] et lim […] des espaces schématiques ⌜[…] des proschémas $\simeq$ […] des compacts⌝
N° 5[…] Espaces quasi-schématiques…

Morphismes quasi-compacts, opérations propresnote de l'auteur dans la marge gauche, reliée par un trait au N° 3–4

entre N° 5 et N° 6, un premier diagramme est biffé de boucles et de traits ; on y lit : (Préschémas quasi-compacts quasi-séparés) $\xrightarrow{\alpha}$ (Ens. schématiques compacts) $\xrightarrow{\text{épais.}}$ (Pro(Sch) limites quasi-compacts) $\xrightarrow{\text{fid., \uncertain{surjectif}}}$ (Schémas compacts réduits), avec une flèche de retour « pl. fid. $\delta$ » et une autre marquée « pl. fid. »

N° 6 Pb d'espaces. Espaces de Néron. […]

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\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[r, "\alpha"] \arrow[rr, bend left=30, "{\gamma\ [\mathrm{Cons\ cpct}]}"] & Y \arrow[r, "\beta=\varprojlim"] & K \arrow[l, bend left=35, "{\beta'\ \text{pl. fid.}}"] \arrow[ll, bend left=55, "{\gamma'\ \text{pl. fid.}}"]
\end{tikzcd}

sur la page, $X$ désigne la catégorie (Préschémas quasi-compacts quasi-séparés), $Y$ la catégorie ($\mathrm{Pro(Sch)}$ flasques), $K$ la catégorie (schémas compacts réduits) ; les lettres sont écrites sous les noms des catégories. L'étiquette de $\gamma'$ se poursuit par un mot lu « immersion » sous la flèche $\alpha$ : « subjectif [fidèle sur les réduits] » ; sous $\beta$ : « surjectif fidèle ». Les flèches $\beta'$ et $\gamma'$ reviennent de $K$ en arcs sous la ligne ; $\gamma$ part de $X$ en arc au-dessus. En marge à droite : « $\rho$ [pleinement fidèle, […] […] […] […] […]…] »

\[\mathrm{Hom}(K,\gamma X)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{Hom}(\gamma' K,X)\] \[\mathrm{Hom}(K,\beta Y)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{Hom}(\beta' K,Y)\] \[\mathrm{Hom}(K,\beta(\alpha X))=\mathrm{Hom}(\beta' K,\alpha X)\] $\beta'(K)=$ système projectif des […] définis par $K$. les flèches $\gamma'$ et $\beta'$ de ces formules sont écrites $\gamma^{\cdot}$, $\beta^{\cdot}$ avec un point ou un accent ; lecture du signe incertaine

119

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\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
(\text{Préschémas quasi-séparés}) \arrow[r, "\overline{\alpha}"] \arrow[rr, bend left=30, "\overline{\gamma}"] & \mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,cpct})\text{ flasques} \arrow[r, "\overline{\beta}", "\text{surjectif}"'] & (\text{schémas loc.\ cpcts réduits}) \arrow[l, bend left=35, "{\overline{\beta}'\ \text{pl. fid.}}"] \arrow[ll, bend left=50, "{\overline{\gamma}'\ \text{pl. fid.}}"]
\end{tikzcd}

l'arc $\overline{\gamma}$, au-dessus de la ligne, n'a pas de pointe visible ; son départ (au-dessus de $\mathrm{Ind}$ ou de la première parenthèse) est incertain. Sous $\mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,cpct})$, un « (Cons) » surmonté d'un tréma, lecture incertaine ; « surjectif » sous $\overline{\beta}$ est une lecture incertaine aussi

\[\begin{align*} \mathrm{Hom}(\overline{K},\overline{\beta}\,\overline{Y}) &\simeq \mathrm{Hom}(\overline{\beta}'(K),\overline{Y}) \simeq \varprojlim_{\lambda}\varinjlim_{\mu}\mathrm{Hom}(\overline{K}_{\lambda},\beta(\overline{Y}_{\mu}))\\ &\simeq \varprojlim_{\lambda}\varinjlim_{\mu}\mathrm{Hom}(\beta'(\overline{K}_{\lambda}),\overline{Y}_{\mu}) \end{align*}\] \[\text{\struck{$\mathrm{Hom}(\overline{K},\overline{\gamma}(X))\simeq$}}\] \[\begin{align*} \mathrm{Hom}(K,\overline{\gamma}(X)) &\simeq \mathrm{Hom}(\overline{\gamma}'K,X)\\ &\simeq \varprojlim_{\lambda}\varinjlim_{\mu}\mathrm{Hom}(K_{\lambda},\gamma(X_{\mu}))\\ &\simeq \varprojlim_{\lambda}\varinjlim_{\mu}\mathrm{Hom}(\gamma' K_{\lambda},X_{\mu}) \end{align*}\] un trait courbe relie la deuxième ligne de droite ($\beta'(\overline{K}_{\lambda})$) à la formule en $\overline{\gamma}$ ; dans la dernière ligne, un caractère est écrasé devant $X_{\mu}$ ; le premier $\overline{K}$ porte une double barre, peut-être une flèche

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
(\mathrm{Cons}) \arrow[r, "\text{pl. fid.}"] & \underline{\mathrm{Hom}}((\mathrm{Cons\,cpct})^{\circ},(\mathrm{Ens}))
\end{tikzcd}

fin de la page et du lot ; le développement sur les espaces schématiques (« Ind » d'ensembles constructibles compacts) se poursuit vraisemblablement au-delà de la page 120