Fonds Grothendieck, cote n° 91, pages 101–120 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-10-03

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 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 91 Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967). Pages 101 à 120 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 6 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1964-vers 1970]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/91.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

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Topologie constructible

la page commence par une définition numérotée 1 ; rien n'indique ici une suite d'un argument antérieur au lot Définition 1. Soit X un espace topologique. On appelle topologie constructible de X, la topologie ayant pour ouverts les réunions quelconques de parties loc. constructibles [donc une base d'ouverts formée par les parties loc. constructibles]. Partition = finie de X^{\mathrm{cons}} = recouvrement par des parties loc. constructibles.

Prop. 1. Supposons que X admette une base (U_i)_{i\in I} d'ouverts rétrocompacts. Alors

Les parties constructibles de X forment une base d'ouverts de X^{\mathrm{cons}}. La topologie constructible de X est plus fine que la topologie initiale, i.e. X^{\mathrm{cons}}\to X est continue. Si X satisfait en plus T_0, alors X^{\mathrm{cons}} est séparé [totalement discontinu] et régulier . Si E est une partie quelconque de X, topologique partie localement constructible en X, munie de la topologie induite T_E, alors la topologie constructible : T_E^{\mathrm{cons}} est induite par T^{\mathrm{cons}} sur E.

(0) Une partie loc. constructible E est réunion finie de parties constructibles en X par 0_{\mathrm{III}} 9.1.8 [loc]renvoi probable à EGA, chap. 0_{\mathrm{III}}, 9.1.8 ; seule la cote « 0_{\mathrm{III}} 9.1.8 » est lisible, par les U_i qui sont constructibles. (i) Résulte du fait pour T^{\mathrm{cons}}. Pour (ii), soient x,y\in X, il existe un ouvert contenant x, et non y : U\ni x, U\not\ni y. On peut supposer, grâce à l'hyp., U rétrocompact, donc [loc.] constructible, donc ouvert, et X-U=V l'est aussi, donc U\cap V=\emptyset, U\cup V=X, U\ni x, V\ni y, U, V ouverts pour T^{\mathrm{cons}}. Pour (iii), on note que la topologie induite T^{\mathrm{cons}} sur E a une base d'ouverts les E\cap F, F loc. constructible dans X, or les G\subset E loc. constructibles dans E,

Lemme. a) Soit F (loc.) constructible dans X, alors F\cap E est (loc.) constructible dans E (E loc. const.). b) Soit F\subset E, E (loc.) constructible alors F est (loc.) const. dans E ssi il l'est dans X.

E, f^{-1}(F)\cap U ; f ; X, Fnotation griffonnée dans la marge gauche, en face de la démonstration ; lecture et rôle incertains

Dém. Pour a), on note que si F est ouvert rétrocompact en X, alors F\cap E est rétrocompact dans E, que A quasi-compact U E est par un ouvert V de X, quasi-compact [ : l'hyp. préliminaire de la prop.] supposons quasi-compact, d'où f^{-1}(F)\cap U=f^{-1}(F\cap V)= d'un quasi-compact, E est rétrocompact en X. 0_{\mathrm{III}} 9.1.13 « localement » , utilisons le fait que E est E\cap U constructible dans tout U .

Pour b), on suppose F\subset E constructible dans E constr., prouvons , que F l'est dans X. On F ouvert dans E, rétrocompact en E, donc F=U\cap \complement V, U et V rétrocompacts dans X qui sont constructibles

[Or E=\bigcup E_i ; , F\cap E_i E , donc E_i\cap F const. E_i , : qu'ils sont constructibles dans X, F=\bigcup E_i\cap F. 0_{\mathrm{III}} 9.1.8 (i)\Rightarrow(ii)renvoi probable à EGA 0_{\mathrm{III}} 9.1.8 ; un « (ii) » est cerclé juste au-dessous

Remplaçons X U, E, F dans X=U [E\subset const. dans U, F ] F=E\cap W, W dans X, de même dans U, donc dans X] la fin de la page est très raturée ; plusieurs lignes se chevauchent et la ponctuation n'est pas sûre

dans la marge inférieure gauche, un ovale traversé par un trait oblique

Dans supposons E=\complement V, V ouvert rétrocompact, et E-F=\complement Il suffit de prouver la E-F const. en X, i.e. X-(E-F)=V\cup F \quad \text{rétrocompact dans } X, ce qui est V et F le sont évidemment … \complement V ; Fdans la marge gauche, un segment oblique gradué de deux tirets, marqué \complement V en haut et F au milieu

Le cas « local » résulte aussitôt de ce lemme.

Corollaire 1. Supposons que plus, toute partie U_i soit quasi-compacte [pour la topologie] constructible [donc compacte pour la top. constructible, donc X i.e. satisfaisant à la condition : séparée (T_0)], A

Les U_i^{\mathrm{cons}} sont quasi-compacts, et X [ X ] deux lignes biffées, avec une accolade ondulée, avant (v) Soit E une partie loc. constructible de X^{\mathrm{cons}} [p. ex. une partie loc. constructible (fermée quasi-compacte) ] de X] dans X^{\mathrm{cons}}. E compacte quasi-compacte dans X^{\mathrm{cons}} \iff E quasi-compact dans X \iff E\subset réunion finie des U_i. Si que X^{\mathrm{cons}} soit loc. compact [compact] il faut et suffit que X satisfasse (T_0) [compact T_0, et soit quasi-compact].

(iv) Résulte de (i) trivialement. Évidemment E^{\mathrm{cons}} \text{ qu.-cpte} \Longrightarrow E \text{ qu.\ cpct} \quad \text{(i)} \Longrightarrow E \text{ est contenu dans une réunion finie des } U_i par définition de qu. cpct,dans ces deux lignes, « contenu » et « réunion finie » sont des lectures incertaines ; trois mots illisibles suivent « qu. cpct » dans la première donc E fermé dans \bigcup U_i^{\mathrm{cons}} V^{\mathrm{cons}} [par la top. induite par X^{\mathrm{cons}}], et les U_i^{\mathrm{cons}} étant quasi-compacts il s'ensuit que E l'est, OK. (vi) En résulte trivialement.

N.B. Les hypothèses faites impliquent que des points de X quasi-compacts, donc (T_0) quelconques note écrite en oblique dans la marge gauche, à hauteur des énoncés (iv)–(v) ; lecture très incomplète

Corollaire 2. les conditions des corollaires Supposons X quasi-compact et (T_0), et que la partie X ait une base formée d'ouverts rétrocompacts, qui soient quasi-compacts pour la topologie constructible. Soit E une partie de X. Conditions équivalentes :

E est fermé pour la top. constructible [i.e. est intersection de parties constructibles] E est compact pour la top. constructible, i.e. pour toute famille de parties constructibles (E_i)_{i\in I} de X, avec E\subset\bigcup_{i\in I}E_i, il existe une partie finie J\subset I, telle que E\subset\bigcup_{i\in J}E_i.

Notion locale ?? ; Sous-familles finies ; partie ensembliste intersection de localement notes obliques dans la marge gauche, en partie barrées ; les « ?? » sont de l'auteur

X En effet, X^{\mathrm{cons}} est compact, donc a)\iffb).

On en conclut donc que E est une partie ensembliste fermée dans X. On peut que X plus précis ici [mais seulement fermé deux top] dans X^{\mathrm{cons}}

E fermé [i.e. intersection de parties loc. constructibles] \Updownarrow E loc. compact pour la top. constructible i.e. pour tout U_i, E\cap U_i satisfait la condition b) relativement à U_i.

Corollaire 3. Sous les conditions du corollaire 2, conditions équivalentes :

E et X-E sont ensemblistes constructibles ouverts dans X^{\mathrm{cons}} E est constructible.

c)\Rightarrowa)\iffb) trivial, prouvons la réciproque a)\Rightarrowc), alors soit E et X-E=F clos en X^{\mathrm{cons}} ; ce sont réunions filtrantes d'ouverts constructibles E_i resp. F_j, donc X est réunion filtrante des E_i\cup F_j, donc est égal à l'un des E_i\cup F_j, d'où E=E_i, F=F_j pour un i,j, donc E, F constructibles.

Proposition 2. Soit f:X\to Y une application continue d'espaces topologiques, telles que Y admette une base formée d'ouverts V rétrocompacts en U, V\subset U\subset Y, rétrocompacts dans Y, tels que f^{-1}(V) soit rétrocompact dans f^{-1}(U). Alors (i) Pour tout Y' de Y, X'=f^{-1}(Y'), f':X'\to Y' satisfait la hyp. par f.

Pour toute partie constructible [loc. constructible] E de Y, f^{-1}(E) est une partie constructible [loc. constructible]. f est continue de X^{\mathrm{cons}} dans Y^{\mathrm{cons}}, i.e. l'image inverse d'une partie loc. ensembliste

de Y est une partie loc. ensembliste de X. hyp. trop restrictive ; préalables note oblique de l'auteur dans la marge gauche, en face de l'hypothèse de la proposition 2 Y'\subset Y

(i) est immédiat pour « constructible ». Pour loc. constructible, Y=\bigcup Z_i, les E_i=E\cap Z_i constructibles dans Z_i, Z_i ouvert, f_i:X_i\to Z_i induit, X_i=f^{-1}(Z_i), [U et \complement V ] que f_i^{-1}(E_i) est constructible dans X_i ; que X_i\to Z_i satisfait l'hypp. de f:X\to Y, OK. (ii) Résulte trivialement de (i). f'

la première moitié de la page (corollaire 1 et sa démonstration) est barrée de deux longs traits obliques Corollaire 1. Supposons que X et Y, admettent une d'ouverts X_i resp. Y_j rétrocompacts quasi-compacts. Mais l'hyp. préliminaire de la prop. signifie que pour tout Y_j, f^{-1}(Y_j) est rétrocompact en X, tout ouvert Y' [rétrocompact] quasi-compact de Y, X'=f^{-1}(Y') est rétrocompact dans X, les X_i\cap f^{-1}(Y_j) sont qu. cpcts.

[Prop. Soit X un espace topologique, ayant une base d'ouverts U_i qui sont quasi-compacts. Alors pour toute partie E de X, pour une application continue f:X'\to X, il revient que f est qu. cpct, i.e. que les f^{-1}(U_i) sont q. cpcts. Dans ce cas X'\subset X sous-espace top., X' est rétrocompact en X ssi les X'\cap U_i sont qu. cpcts.

Cor. Soit Supposons Pour que de plus les U_i rétrocompacts (il suffit que) dans X, toutes parties quasi-compactes ouvertes de X soient rétrocompactes en X.

Cor. S'il en est ainsi, pour une application continue f:X'\to X, il revient au même de dire :

que pour tout ouvert U\subset X quasi-compact, f^{-1}(U) est rétrocompact ; Pour tout U_i, f^{-1}(U_i) est rétrocompact dans X' ; [Si X' a une base d'ouverts quasicompacts U'_j] les f^{-1}(U_i)\cap U'_j sont quasi-cpcts.]

U\subset X ouvert rétrocompact ; si U'\subset X' q. cpct

b)\Rightarrowa), E=U, f^{-1}(U)\cap V' \subset f^{-1}(f(V')), =f^{-1}(U\cap \cap et f(V') est q. cpct, est contenu dans une réunion finie des U_i, i\in J, donc f^{-1}(U)\cap V'=f^{-1}(\bigcup U\cap U_i)\cap V' et chaque U\cap U_i est i\in J réunion finie d'un U_j … ce calcul, écrit dans la marge gauche sous une note entourée, se poursuit vers le bas de la page et s'interrompt

Cor. Si f:X'\to X quasi-compacts note oblique dans la marge gauche, raturée par un trait ondulé

Corollaire 1. Supposons que X, Y soient des espaces (T_0), schématiques ou admettant des bases d'ouverts formées d'quasi-compacts ouverts rétrocompacts et quasi-compacts pour la top. constructible [donc compacts pour la ]. Conditions Conditions équivalentes :

f:X\to Y soit une telle que est quasi-compacte Alors (b) f^{\mathrm{cons}} est une [f compact X] application propre d'espaces loc. cpcts, partie i.e. f [ pour partie ] lignes biffées et entourées en milieu de page

[N.B. f est propre ssi l'image réciproque d'une partie compacte est compacte.] les parties constructibles en parties fermées f^{\mathrm{cons}} , i.e. une transformée

c) f transforme parties ensemblistes en parties ensemblistes, et les fibres de f sont quasi-compactes [cf. Bourbaki, I, § 10, 2, Prop. 1]note oblique de l'auteur dans la marge gauche, séparée du texte par un trait courbe

Corollaire 2. Soient les conditions précédentes vérifiées, supposons Y et X quasi-cpcts, de X^{\mathrm{cons}}, Y^{\mathrm{cons}} compacts. Conditions équivalentes :

f transforme les parties constructibles en parties [i.e. transforme « » en « »] f transforme les parties ensemblistes en parties constructibles [ « » en « »] f^{\mathrm{cons}} est une application ouverte.

Les conditions sont vérifiées si f est bijective.

Cor. 3. Sous les conditions du Cor. 1 ou supposons, alors () (ii) pour toute partie E de f(X), dont f^{-1}(E) l'est… (iii) Si f est surjective, une partie constructible ssi f^{-1}(Y) l'est. la fin du corollaire 3, serrée au bas de la page et en partie raturée, n'est lue que par fragments

Examiner plus de près les parties ensemblistes (et loc. constructibles) de X, quand suppose pas X qu. cpct…

Th. Soit X un schéma affine. Alors X^{\mathrm{cons}} est compact.

Corollaire 1. Soit X un préschéma. Alors X qu. séparé est T_0, admet une base formée d'ouverts rétrocompacts et compacts pour la topologie constructible. En particulier, X^{\mathrm{cons}} est loc. compact.

Corollaire 2. Supposons de plus X [quasi-compact et quasi-séparé] quasi-noethérien. Alors Alors

X^{\mathrm{cons}} est compact. Les parties constructibles de X sont les parties ouvertes et fermées de X^{\mathrm{cons}}. Les parties ensemblistes de X sont les parties E telles qu'il existe un morphisme quasi-compact de f:X'\to X, d'image E. [N.B. ] On peut prendre X X'\to X un monomorphisme… Si E et X-E sont qu. cpct…, ils sont constructibles…
Applications constructibles et espaces schématiques

Soient X, Y deux préschémas. Application géométrique de E\subset X dans Y : morphisme des supposés E loc. constructibles \mathrm{Dis}(E,X)=\coprod_{x\in E}\mathrm{Spec}\,k(x), dans \mathrm{Dis}(Y). [Une application géométrique est dite constructible si tout x\in X a un voisinage ouvert U, et une partition de U\cap E en parties loc. fermées Z_i, telle que f\,|\,Z_i soit un morphisme Z_i\to Y. Il revient aussi dire que

Ex : une appl. qui est morphisme. Si … ensembles définie par un partie loc.

E=\bigcup_{i\in I}E_i famille f:E\to Y est constructible, alors pour tout i, f\,|\,E_i l'est ; la réciproque est vraie si fini constituant une partition si E est quasi-compact partition en parties Z_i constructibles possible de E en loc. fermées, telles que les f\,|\,Z_i soient des morphismes.

La définition de \mathrm{App\,cons}((X,E),(Y,F)), .

(Cons Aff)ajout de l'auteur au-dessus de la ligne, rattaché par un trait Catégorie des ensembles constructibles affines : objets les Affines , les schémas affines (ou quasi-compacts ) et morphismes les applications constructibles. Si X E est une partie loc. préschéma constructible d'un préschéma X, on lui associe un foncteur \mathrm{Cons}(X,E) : (\mathrm{Cons\,Aff})^{\circ}\longrightarrow(\mathrm{Ens}) la page s'arrête sur cette définition ; la suite manque sur ce feuillet

Posons \mathrm{Cons}(X,E)(Y)=\mathrm{App\,cons}(Y,(X,E)). Si … (X,E) et (X',E') ; on a… \mathrm{App\,cons}((X,E),(X',E'))\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{Hom}(\mathrm{Cons}(X,E),\mathrm{Cons}(X',E'))

On obtient ainsi des foncteurs pleinement fidèles

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}] (\mathrm{Cons\,Aff}) \arrow[r] \arrow[rr, bend right=25, "\text{canonique}"'] \arrow[rrr, bend right=35, "\mathrm{can}"'] & (\mathrm{Complexes}(X,E)) \arrow[r] & \mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,Aff})' \arrow[r] \arrow[r, bend right=40, "\mathrm{can}"'] & \underline{\mathrm{Hom}}((\mathrm{Cons\,Aff})^{\circ},\mathrm{Ens}) \end{tikzcd}

sous (\mathrm{Complexes}(X,E)) : « E loc. constr. dans X quasi-sép. » ; sous \mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,Aff})' : « systèmes inductifs … ». Au-dessus de la flèche (\mathrm{Cons\,Aff})\to(\mathrm{Complexes}(X,E)), une note de l'auteur, en partie lisible : « équivalence avec les ens. schématiques quasi-compacts… ». Les trois arcs courbes sont redessinés d'après leurs extrémités apparentes ; le départ de l'arc court marqué « can » (sous \mathrm{Ind} ou sous \mathrm{Complexes}) est incertain le reste de la page est blanc

Soit A A un anneau commutatif, X le schéma affine qu'il définit, A^{\mathrm{cons}}=\varinjlim_{\mathfrak{P}} A_{\mathfrak{P}} \mathfrak{P} parcourant les « partitions ordinaires » de X en ens. constructibles loc. fermés, affines, et pour une telle \mathfrak{P}=(X_i)_{i\in I}, A_{\mathfrak{P}} \text{ désigne } A\Bigl(\coprod X_{i\,\mathrm{red}}\Bigr)=\prod A(X_{i\,\mathrm{red}}). après « désigne », un mot biffé illisible. Le \mathfrak{P} est une lettre gothique majuscule, sans doute un P ; lecture de la lettre incertaine Les homom. de transition sont injectifs. Considérons \widetilde{X}=\mathrm{Spec}(A^{\mathrm{cons}}). On a \mathrm{Top}(\widetilde{X})=\varprojlim_{\mathfrak{P}}\mathrm{Top}\,\mathrm{Spec}(A_{\mathfrak{P}}). En particulier \mathrm{Ens}(\widetilde{X})=\varprojlim_{\mathfrak{P}}\mathrm{Ens}\underbrace{\mathrm{Spec}\,A_{\mathfrak{P}}}_{\coprod X_i} et comme les homéomorphismes bijections morphismes de transition sont des bijections, on trouve \mathrm{Ens}\,\widetilde{X}\simeq\mathrm{Ens}\,X. Cette bijection est compatible avec les topologies de \widetilde{X} et de X^{\mathrm{cons}}, comme on voit aisément sur la description d'une base d'ouverts de \widetilde{X}…

toute la page est barrée de grands traits obliques croisés ; un signe \emptyset cerclé et barré se trouve dans la marge gauche, en face du N.B. Soit X un espace topologique, dont chaque point x a un admettant une base d'ouverts . mot isolé de l'auteur en marge gauche, en face de la première ligne que U ayant les propriétés suivantes :

U rétrocompact dans X, et U quasi-compact Toute famille (E_i)_{i\in I} de parties constructibles de U, recouvrant U, il y a une sous-famille finie recouvrant U.

Pour exprimer (ii), introduisons [dans tout espace topologique U] la topologie dont les ouverts sont les réunions quelconques des parties loc. constructibles [c'est bien stable par intersections finies et réunions quelc.] dans la topologie initiale, appelée la topologie des parties constructibles (U est quasi-compact, et donc on a une base d'ouverts formée de parties constructibles. Lorsque admet ouverts rétrocompacts, « loc. constructible » et d'ailleurs toujours ouverts « constructibles » ; lorsque (ii), les U ouverts rétrocompacts dans X) forment donc une de la

au précédent. N.B. Il en est ainsi [c'est le cas des préschémas] dans l'axiome T_0, alors une telle topologie est séparée, et a totalement discontinue [pour deux pts x\neq y, il existe des ouverts V\ni x, W\ni y, V\cap W=\emptyset, V\cup W=U]. L'hyp. (ii) exprime qu'elle est quasi-compacte, donc compacte [dans l'espace …] totalement discontinu et …, ]. la plus grande partie des liaisons de cette page biffée est conjecturale ; seuls les énoncés (i), (ii) et la condition de séparation V\cap W=\emptyset, V\cup W=U sont lus avec quelque assurance

plan numéroté, écrit sur le verso d'une feuille dactylographiée sans rapport (le texte tapé transparaît, à l'envers)

Préschémas compacts et loc. compacts. Anneaux flasques. Systèmes projectifs Proschémas flasques de préschémas et espaces schématiques compacts Espaces schématiques Ind Espaces schématiques. [Catégorie par les ouverts…] Opérations sur ces, et lim des espaces schématiques des proschémas \simeq des compacts Espaces quasi-schématiques…

Morphismes quasi-compacts, opérations propresnote de l'auteur dans la marge gauche, reliée par un trait au N° 3–4

entre N° 5 et N° 6, un premier diagramme est biffé de boucles et de traits ; on y lit : (Préschémas quasi-compacts quasi-séparés) \xrightarrow{\alpha} (Ens. schématiques compacts) \xrightarrow{\text{épais.}} (Pro(Sch) limites quasi-compacts) \xrightarrow{\text{fid., \uncertain{surjectif}}} (Schémas compacts réduits), avec une flèche de retour « pl. fid. \delta » et une autre marquée « pl. fid. »

N° 6 Pb d'espaces. Espaces de Néron.

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}] X \arrow[r, "\alpha"] \arrow[rr, bend left=30, "{\gamma\ [\mathrm{Cons\ cpct}]}"] & Y \arrow[r, "\beta=\varprojlim"] & K \arrow[l, bend left=35, "{\beta'\ \text{pl. fid.}}"] \arrow[ll, bend left=55, "{\gamma'\ \text{pl. fid.}}"] \end{tikzcd}

sur la page, X désigne la catégorie (Préschémas quasi-compacts quasi-séparés), Y la catégorie (\mathrm{Pro(Sch)} flasques), K la catégorie (schémas compacts réduits) ; les lettres sont écrites sous les noms des catégories. L'étiquette de \gamma' se poursuit par un mot lu « immersion » sous la flèche \alpha : « subjectif [fidèle sur les réduits] » ; sous \beta : « surjectif fidèle ». Les flèches \beta' et \gamma' reviennent de K en arcs sous la ligne ; \gamma part de X en arc au-dessus. En marge à droite : « \rho [pleinement fidèle, …] »

\mathrm{Hom}(K,\gamma X)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{Hom}(\gamma' K,X) \mathrm{Hom}(K,\beta Y)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{Hom}(\beta' K,Y) \mathrm{Hom}(K,\beta(\alpha X))=\mathrm{Hom}(\beta' K,\alpha X) \beta'(K)= système projectif des définis par K. les flèches \gamma' et \beta' de ces formules sont écrites \gamma^{\cdot}, \beta^{\cdot} avec un point ou un accent ; lecture du signe incertaine

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}] (\text{Préschémas quasi-séparés}) \arrow[r, "\overline{\alpha}"] \arrow[rr, bend left=30, "\overline{\gamma}"] & \mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,cpct})\text{ flasques} \arrow[r, "\overline{\beta}", "\text{surjectif}"'] & (\text{schémas loc.\ cpcts réduits}) \arrow[l, bend left=35, "{\overline{\beta}'\ \text{pl. fid.}}"] \arrow[ll, bend left=50, "{\overline{\gamma}'\ \text{pl. fid.}}"] \end{tikzcd}

l'arc \overline{\gamma}, au-dessus de la ligne, n'a pas de pointe visible ; son départ (au-dessus de \mathrm{Ind} ou de la première parenthèse) est incertain. Sous \mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,cpct}), un « (Cons) » surmonté d'un tréma, lecture incertaine ; « surjectif » sous \overline{\beta} est une lecture incertaine aussi

\begin{align*} \mathrm{Hom}(\overline{K},\overline{\beta}\,\overline{Y}) &\simeq \mathrm{Hom}(\overline{\beta}'(K),\overline{Y}) \simeq \varprojlim_{\lambda}\varinjlim_{\mu}\mathrm{Hom}(\overline{K}_{\lambda},\beta(\overline{Y}_{\mu}))\\ &\simeq \varprojlim_{\lambda}\varinjlim_{\mu}\mathrm{Hom}(\beta'(\overline{K}_{\lambda}),\overline{Y}_{\mu}) \end{align*} \text{\struck{$\mathrm{Hom}(\overline{K},\overline{\gamma}(X))\simeq$}} \begin{align*} \mathrm{Hom}(K,\overline{\gamma}(X)) &\simeq \mathrm{Hom}(\overline{\gamma}'K,X)\\ &\simeq \varprojlim_{\lambda}\varinjlim_{\mu}\mathrm{Hom}(K_{\lambda},\gamma(X_{\mu}))\\ &\simeq \varprojlim_{\lambda}\varinjlim_{\mu}\mathrm{Hom}(\gamma' K_{\lambda},X_{\mu}) \end{align*} un trait courbe relie la deuxième ligne de droite (\beta'(\overline{K}_{\lambda})) à la formule en \overline{\gamma} ; dans la dernière ligne, un caractère est écrasé devant X_{\mu} ; le premier \overline{K} porte une double barre, peut-être une flèche

\begin{tikzcd}[column sep=large] (\mathrm{Cons}) \arrow[r, "\text{pl. fid.}"] & \underline{\mathrm{Hom}}((\mathrm{Cons\,cpct})^{\circ},(\mathrm{Ens})) \end{tikzcd}

fin de la page et du lot ; le développement sur les espaces schématiques (« Ind » d'ensembles constructibles compacts) se poursuit vraisemblablement au-delà de la page 120