Cote n° 91 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

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41la page s'ouvre au milieu d'un argument commencé avant ce lot (sur la représentabilité de \(f_{*}(X/T)\), cf. p. 43 et suivantes).

d'où l'hypothèse […] \((f^{-1}(U_i))\) […] \(T\) ; pour tout \(s\in S\), il existe un \(i(s)\) tel que \(\varphi(T_s)\subset U_{i(s)}\), il en résulte […] (précision) que l'on peut trouver un voisinage \(V(s)\) de \(s\) tel que \(\varphi(T|V(s))\subset U_i\). Cela […] se traduit par un homomorphisme \(V(s)\to H_i\), d'où \(V(s)\to H\). […] pas […] veut. (l'on […] […] — .) Je laisse […] straight-forward […].

Théorème. Les hypothèses sont […] \(T\) fini et loc. libre sur \(S\) et \(X/S\) quasi-projectif. […] […] Les hypothèses […] […] […] […] […]

1. (i)\(T\to S\) […] […] fini et loc. libre ;
2. (ii)pour tout \(t\in S\), toute partie finie de \(X_s\) au-dessus de \(T_s\), définie sur une extension finie de \(k(s)\), soit contenue dans un ouvert affine de \(X\). [[…] […] […]]

\(k(s)\) \(k(t)\) […] […] […] […] \(f_{*}(X/T)\) existe et est représentable […] […] \(f_{*}(U_i/T)\), où \(U_i\) parcourt […] ouverts affines de \(X\). les lignes (i)–(ii) sont reprises dans une rédaction très surchargée : une première formulation biffée est encerclée et reportée par des traits ; l'ordre ci-dessus est celui que les traits indiquent, à titre de proposition.

42Cor. 1. Les conditions du Théor. ci-dessus sont satisfaites dans chacun des cas suivants :

1. (i)\(T/S\) […] […] […] […] ;
2. (ii)\(S=\bigcup S_i\) […] tels que pour tout \(i\), \(X|S_i\) soit contenu dans un […] affine [c'est le cas si \(X\) quasi-proj. sur \(S\)].

au-dessus de (ii), une ligne interlinéaire biffée et encadrée : pour chaque […] […].

Cor. 2. Sous les conditions du Théor., soit \(X'\) un sous-schéma […] de \(X\), ⌜posons \(f'=f|X'\)⌝. Alors \(f'_{*}(X')\) existe, et est un ss-schéma […] de \(f_{*}(X)\).

43

\begin{tikzcd}
  & X \arrow[d] \\
  S & T \arrow[l, "f"']
\end{tikzcd}

\(f_{*}(X/T)\), \(T\) fini sur \(S\).

Si \(X/T\) est affine, \(f_{*}(X/T)\) aussi ;

" projectif, propre ———— pourvu que \(f\) séparable (*) ;

" quasi-projectif, ————. les deux tirets reprennent « \(f_{*}(X/T)\) aussi » ; une accolade réunit les lignes « projectif, propre » et « quasi-projectif » devant la condition sur \(f\).

\(f_{*}\) est exact à gauche, mais […] […] […] ⌜en particulier […]⌝ \[f_{*}(T/T)=S,\qquad f_{*}(X\times_T Y/T)=f_{*}(X/T)\times_S f_{*}(Y/T),\] \[f_{*}(X\times_Z Y/T)=f_{*}(X/T)\times_{f_{*}(Z/T)}f_{*}(Y/T).\] \(f_{*}\) transforme immersions en immersions, […] […] […]. […] immersions […], [[…] […]] \[f_{*}(X/T)=\bigcup_i f_{*}(U_i/T),\] […] les \(U_i\) […] […] \(X\)]. […] […] […] [N.B. cette […] doit pouvoir […] […] […] démontrer.] ⌜[…] \(=\) immersion et immersion […]⌝

De même, \(f_{*}\) transforme […] morphismes affines en morphismes affines [[…] […] […] \(\varphi\colon X\to Y\) affine, […] […] ⌜on se ramène au cas où⌝ \(Y\) est affine et \(X\subset Y\otimes_T Z\), ⌜\(Z/T\) affine⌝ […] […], […] \(X=Y\otimes_T Z\) […] […] […]] il transforme morphismes projectifs en morphismes projectifs si \(T/S\) séparable, et il transforme morphismes quasi-projectifs en morphismes quasi-projectifs ⌜si \(X/T\to Y/T\) […]⌝. [Même méthode, en utilisant […] […] \(Y\) est […]. […] […] proj. […] de type fini sur \(T\) dans un faisceau […] sur \(Y\) […] […] d'un […] de \(T\) ; […] […] […], […] […] […] qu'un […] la suite à la p. 44.

(*) \(f\) soit pour descente : si \(Y/S\) est tel que \(f^{*}(Y)/S'\) soit propre resp. projectif, alors \(Y/S\) l'est. [Dans ce dernier cas, on suppose \(T/S\) fini et plat sur \(S\) loc. noeth., (i) faudrait dans le cas actuel pouvoir l'exorciser, […] […] recouvrement en projectifs types, […] travailler sur […] […] en effet, il faut prouver ceci : si un faisceau loc. libre inversible \(\underline{L}\) sur \(X\) est \(T\)-ample, alors \(f_{*}(\underline{L})\) [qui est un faisceau loc. libre […] sur \(f_{*}(X/T)\) […] […] […]] donne \(\det f_{*}(\underline{L})\) […] \(S\)-ample. Dans le premier cas, on utilise […] critère de Chow, en notant que si \(X'\to X\) est surjectif, alors \(f_{*}(X')\to f_{*}(X)\) l'est aussi […], […] […] […] […] \(S=\) ([…]), […] […] […] descente… Ici il faut \(S\) loc. noeth.]

Question. Si \(T/S\) est fidèlement plat […], et \(Y/S\) […] […], et si \(Y\times_S T/T\) soit propre, est-il vrai que \(Y/S\) l'est ? — Oui […] dans le cas \(S\) loc. noeth., car […] utiliser […] […] critère de Chow. les deux paragraphes précédents occupent la colonne de gauche de la page, sous le diagramme ; le premier est l'appel de l'astérisque. Une note marginale verticale, en partie biffée, longe le diagramme : […].

44prouver le dit […] faisceau descendu, on trouve […] ; fonction […] […] faisceau […] […] sur \(X/Y\), […] faisceau […] sur \(f_{*}(X/T)/f_{*}(Y/T)\) etc]. Kif-kif […] […] […].

Proposition. Soit \(g\colon X/T\to Y/T\) un morphisme, et soit \(\underline{L}\) un faisceau inversible dans \(X\) ample […] (resp. très ample) relativement à \(g\). Alors \(\det f_{*}(\underline{L})\) est un faisceau ample (resp. très ample) pour \[f_{*}(X/T)\to f_{*}(Y/T).\] \(f_{*}(\ill{})\to f_{*}\mathcal{O}(X/T)\)

Démonstration (2). On peut supposer \(Y\) affine, l'on […] […] […] (c'est une notion locale). (1) […] […] […] « […] » […]. […] on se ramène […] à prouver ceci : si \(X=\mathbf{P}^{n}_{Y}\), et \(\underline{L}\) le faisceau […], […] alors \(f_{*}(\underline{L})/T\) est […] immersion projective […] de \(f_{*}(\mathbf{P}^{n}_{Y})\) dans \(f_{*}(Y/T)\). Mais utilisant la […] de \(f_{*}\) […], […] […] […] […] \(Y=T\). Dans ce cas, […] […] […] […] \(S\) affine \(=\operatorname{Spec}(A)\), \[T=\operatorname{Spec}(B),\] \(B\) étant libre de type fini (rang \(\nu\)) sur \(A\).

[…] […] […] à deux vérifications :

A) Détermination […] […] […] grassmannienne, i.e. d'une immersion […] […] […] de la droite.

(2) […] remarques […] […] […] N.B. Pour […] […] […] […] (i) \(f_{*}(\underline{L})\) […] […] […] […] (ii) […] […] […] […] […] […] la marge gauche porte, d'en bas en haut et dans un cadre irrégulier, une note N.B. à deux points (i), (ii), presque entièrement illisible ; elle concerne \(f_{*}(\underline{L})\). La « Démonstration » est appelée « (2) » ; son renvoi « (1) » n'a pas de texte lisible.

45B) Étude de la situation suivante : […] […] […] […] […] \(G\) […] […] […] […] […] […] (question) […] faisceau loc. libre de rang \(\nu\) […] d'algèbres \(\underline{A}\) sur \(G\) (l'image inverse […] \(f(e_T)\))] […] faisceau loc. libre de \(\underline{A}\) […] […] […] \(\underline{F}\), […] […] […] faisceau de \(\underline{O}_G\)[…]-modules, ⌜tel que \(\underline{F}/\underline{F}_1\) soit⌝ \(\underline{F}_1\), loc. libre de rang \(k\). […] […] […] […] […] […] […] […].

[…] […] […] […] \(G'\) sur \(G_T\) [exemple \(G\times_S S'\)] […] \(\underline{F}'_1/\underline{F}'\) est loc. libre […] \(\underline{F}'_1\subset\underline{F}'\) […] […] […] […] sur \(\underline{A}'\). On veut […] représenter […] […] \(G_{*}\) de \(G\) […] […] […] et […] universel : […] […] \(G'\to G\) se factorise par \(G_{*}\).

[…] la […] ⌜question⌝ […] […] […] \(G'\) ([…] de la représentabilité d'un foncteur !),

[…] […] supposons :

1. (i)\(G\) affine d'anneau \(A\) ;
2. (ii)\(\underline{A}\) libre […] […] […] \(A\)-algèbre \(B\) ayant une base \(b_1,\dots,b_\nu\) ;
3. (iii)\(\underline{F}\) […] […] […] \(B^{n}\), d'où […] […] base \(b^{(i)}_{\alpha}\) \(\bigl(\begin{smallmatrix}1\le i\le n\\ 1\le\alpha\le\nu\end{smallmatrix}\bigr)\) ;
4. (iv)\(\underline{F}_1\) a une base \((c_\lambda)_{1\le\lambda\le(n-k)\nu}\), qui se […] […] […] […] […] base d'un […] supplémentaire \((d_j)_{1\le j\le k\nu}\).

\(\underline{F}=\underline{A}^{n}\), \(\underline{F}_1=\) la formule biffée ci-dessus est barrée d'un zigzag, à droite de « supposons ».

Les […] […] […] conditions […] et coefficients […]

46pour que \(\underline{F}_1\) soit […] […] dites. […]

1°) \(\underline{F}_1\) stable par multiplication par \(\underline{B}\), i.e. […] […] […] \(b_i c_\lambda\) s'exprime […] […] […] \(\varphi_{i\lambda\mu}\in A\)), doivent être nulles, […] […] […] […] équations, \[\varphi_{i\lambda\mu}=0\qquad \begin{bmatrix}1\le i\le\nu\\ 1\le\lambda\le(n-k)\nu\\ 1\le\mu\le k\nu\end{bmatrix}\] Soit \(G_1\) le ss-schéma […] […] défini […] […] […] […] […] la note marginale, encerclée, renvoie par un trait à « équations ».

2°) Le quotient […] \(F/F_1=M\) doit être projectif […] de rang […]. […] […] […] à la base \((m_i)_{1\le i\le k\nu}\) ⌜des images des […]⌝ de \(M\). Soient \(\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)\) […] éléments de \(M\). Pour que […] […] base […] \(B\), il […] […] […] […] […] \[B^{k}\xrightarrow{\;u_\xi\;}M\] défini […] soit bijectif]. Or, […] […] […] \(B^{k}\) […] \(M\) […] […] […], […] condition […] que \(\det(u_\xi)\) soit inversible. […] […] […] […] […] […], pour que […] […] \(x\in\operatorname{Spec}(A)\), \(M_x\) soit libre sur \(B_x\), il faut et il suffit qu'il existe \(\xi\in(M_x)^{k}\) tel que \(\det(u_\xi)\) soit inversible dans \(A_x\). […] […] […] à prendre […] \(\xi\in M^{k}\). […] […] \(\xi\in M^{k}\), soit \(U_\xi\) l'ouvert […] […] […] \(\det(u_\xi)\). Soit \(U=\bigcup U_\xi\). ([…] […] […] […], […] […] conditions […] […] […] la page s'arrête sur une parenthèse ouverte ; la suite est p. 47.

47l'ouvert cherché [N.B. le localisé […] de \(M\) […] […] […] condition locale, […] compatibilité […] […] […] extensions […] […] corps de base \(k(x)\) […]]

deux traits horizontaux séparent ce qui précède de ce qui suit.

Sous les réserves habituelles, si \(g\colon X/T\to Y/T\) est de type fini, alors \(f_{*}(g)\) est de type fini. [\(S\) loc. noeth.] […] […] […] […] au cas où \(Y=T\), \(X\) affine ⌜[…]⌝. […] […] […] […] \(X\) […] localisation d'un […] ⌜[…] \(U\)⌝ […] […] \(T\). […] […] hypothèses, […] […] […] \(X_s\) […] […] \(T_s\to\) […] […] […] […] […] […]. […], fini […] […] […] […] […] affine […] […]. […] […] […] […] […], […] […] \[X^{\nu}=\underbrace{X\times_S\cdots\times_S X}_{\nu},\] […] […] […] affine […] \(U\) de \(X\), soit \(U^{\nu}=\underbrace{U\times_S\cdots\times_S U}_{\nu}\), \(U^{\nu}\to\) […] […] […] de \(X^{\nu}\). […] […] […] […] […] \(X^{\nu}\to\) […] utilisation, il contient […] […] fini […] affines \(U_i\) tels que \[\bigcup U_i^{\nu}=\bigcup U^{\nu}.\] Soit \((x_1,\dots,x_\nu)\) […] […] […] […] \(U\). Alors […] \(x\in X\) […] la forme […] \(x_i\). Mais […] \(x_i\) […] […] […] […] affine […] […] […] […] […] la page se termine en cours de phrase ; la suite est p. 48.

48\(U\) ssi \(x\in U^{\nu}\), […] soit […] \(x\in U_i^{\nu}\) pour un \(i\) convenable i.e. les \(x_\alpha\in U_i\). Cqfd.

Cela est ainsi […] […] dans le cas où \(X\) est affine sur \(Y\). Mais alors […] […] […] […] \(X=\operatorname{Spec}(\underline{F})\), […] faisceau loc. libre de rang […] […] […] sur \(T\). Alors \[f_{*}(X/T)=\operatorname{Spec}\bigl(f_{*}(\underline{F})\bigr).\]

[…] […]

Remarque. Il n'est pas vrai […] […] […] que la […] de \(f_{*}(X/T)/S\) soit […] fois la dimension de \(X/T\). Ex. : \(S=\operatorname{Spec}(k)\), \(T\) \(=\operatorname{Spec} k[E]/\ill{}\) est […] radiciel sur \(S\), \(X=T\times_S T\) i.e. \(f_{*}(X/T)=\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,T)\). Ce dernier […] […] […] dimension ⌜\(>0\)⌝ […] sur \(k\). Exemple : le […] des automorphismes […] la \(k\)-algèbre […] est […] de dim \(>0\). […] […] […] […]

49

(A)

\begin{tikzcd}
  f_{*}(X/T) \arrow[r] & f_{*}(Y/T) \\
  S'_1 \arrow[u] \arrow[r, hook] & S' \arrow[u] \arrow[ul, dashed]
\end{tikzcd}

(B)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & T & & Y & \\
  S & & T' \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[rr, dashed] \arrow[dl] & & X \arrow[ul] \\
  & S' \arrow[ul] & & T'_1 \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[dl] & \\
  & & S'_1 \arrow[ul] & &
\end{tikzcd}

dans (B), le trait entre \(T\) et \(S\) est appuyé et porte une pointe vers \(S\), et celui entre \(S'\) et \(S\) est sans pointe lisible ; on les a rendus \(T\to S\) et \(S'\to S\). Les flèches \(T'_1\to T'\) et \(T'\to S'\) sont lues comme sur la page, sans en vérifier la cohérence.

Proposition \(\{\)Théorème ?\(\}\) Soit \(X/T\xrightarrow{g}Y/T\) un morphisme ⌜de type fini⌝ étale de \(T\)-préschémas, \(T\) […] sur \(S\) loc. noeth. ⌜sur \(S\) ([…] fini […]) *⌝. Les hypothèses que \(f_{*}(X/T)\) et \(f_{*}(Y/T)\) existent et […] sur \(S\), […] […] \(f_{*}(X/T)\to f_{*}(Y/T)\) ⌜[…]⌝ \(S\) et \(T\) […] loc. noeth.

1. 1.loc. de type fini ⌜loc. de type fini sur⌝ […] ;
2. (i)Si […] \(T/S\) […] […], si \(X/T\xrightarrow{g}Y/T\) est lisse, il en est de même de \(f_{*}(g)\) ;
3. (ii)Si \(T/S\) […] ⌜de type fini⌝, si \(S\) […] stable, \(f_{*}(g)\) est étale.

Démonstration. (i) Il faut prouver […] […] […] […] le diagramme (A), […] \(S'_1\to S'\) affine, ⌜[…] de type fini \(/S\)⌝ \(S'_1\) […] […] \(S\) ss-schéma […] \(=\) […] […]. […] […] : […] condition […] […] […] que […] diagramme […] (B), ([…] […]), […] \(T\) affine, \(T'\) […] […] […], et \(T'_1\to T'\) […] […] immersion […] […] […]. […] \(T'_1\) […] […] […] \(T'\) […] \(=\) ss-schéma […] […] Cela suppose \(S\) […] la phrase se poursuit à la p. 50.

50(ii) Ce raisonnement vaut […] […] supposer \(T/S\) étale, si \(g\) est étale, […] étale, \(f_{*}(g)\) est non ramifié. Pour prouver qu'il est étale, il suffit de prouver (par […] libre, […] […] ⌜fini⌝ ensuite) […] […] […]. On se ramène au cas où \(S=\operatorname{Spec}(k)\), \(k\) alg. clos, et prouver […] pour si \(k'\to\) […] Dans le cas non fini

\begin{tikzcd}
  & f_{*}(X) \arrow[d, leftrightarrow] \\
  \operatorname{Spec}(k') \arrow[r] & f_{*}(Y)
\end{tikzcd}

à gauche du diagramme, « \(k\) » au-dessus de \(\operatorname{Spec}(k')\) et « \(T\) » au-dessus de la colonne \(f_{*}\) ; la flèche verticale porte des pointes aux deux bouts, ou une pointe surchargée.

extension nilpotente de \(k\), alors il […] […] … qui se relève en \(k'\)-point […] \(f_{*}(X)\) au-dessus d'un \(k'\)-point […] \(f_{*}(Y)\), i.e. que […] […] […] qui […] […] fini […] section. […] \(X'/T'\) qui relève une section donnée de \(Y'/T'\). [[…] […] […] […]. La solution est […]] Or \(T'\) […] nilpotent […] [de type fini sur \(k'\)] […] donc […] les […] composantes. Donc […] […] que […] \(T'\) connexe. Alors […] […] comme […] lorsque […] réduit […] […] l'image d'un pt. Cela démontre […] […].

Corollaire 1. Soit \(\nu\) le maximum des rangs […] des anneaux […] […] locaux […] \(T_s\) (\(s\in S\)), et soit […] \(n\) le maximum atteint par […] \(X/Y\). Alors le maximum la page s'arrête en cours de phrase ; la suite est p. 51.

51atteint par les fibres de \(f_{*}(X/T)\to f_{*}(Y/T)\) est \(\le n\nu\). Corollaire [Si \(T/S\) est […] fini]

Corollaire 1. Soit […] […] […]

[…] […] […]

Soit \(d=\sup_{y\in Y}\dim g^{-1}(y)\), et

\(d'=\sup_{\bar y\in f_{*}(X/T)}\dim f_{*}(g)^{-1}(\bar y)\).

Soit \(n=\deg(T/S)\).

Alors […] […] \(d'=nd\).

On a égalité si

si […] […] les fibres

On a égalité si

\(\deg_{\text{sép}}(T/S,s)\)

est indépendant de

\(s\) (égal à \(\nu\)) ]

si les fibres de \(f\) […]

toutes les dimensions […] […]

de \(X\), toutes égales,

il en est de même de

celles […] \(=\). tout ce passage, du premier « Corollaire 1 » au « \(=\) » qui le termine, est biffé par de longs traits et enfermé dans un contour ; on l'a rendu biffé ligne à ligne.

Corollaire 2. Supposons \(T/S\) fini et de degré \(n\) constant. Supposons […] […] […], les conditions (i). Soit […] […] \(s\in S\), soit \(D(s)\) l'ens. des dimensions des fibres composantes des fibres de \(X_s\to Y_s\) ; […] soit \(D'(s)\) l'ens. […] […] pour \(f_{*}(X/T)_s\to f_{*}(Y/T)_s\). Alors \(D(s)=n\,D'(s)\).ainsi sur la page ; la conclusion qui suit (dimension \(nd\) pour \(f_{*}(g)\)) demanderait plutôt \(D'(s)=n\,D(s)\). En particulier, […] […] les composantes de toutes les fibres de \(g\) […] \(=\) dimension \(d\), toutes les composantes de toutes les fibres de \(f_{*}(g)\) […] \(=\) dimension \(nd\). dans la marge gauche, en regard de l'énoncé : \(X_s\to Y_s\), puis \(k(s)\) et \(T_s\).

52Démonstration. Les deux membres supposés […] \(S=\operatorname{Spec}(k)\), De plus, on peut supposer \(k\) alg. clos. Ensuite, d'après \[\Bigl(\coprod f_i\Bigr)_{*}(X/T)=\prod_i f_{i*}(X_i/T_i),\] on se ramène au cas où \(T\) est local, i.e. \(T\to S\) radiciel et surjectif. On peut aussi supposer \(X\) et \(Y\) affines, et \(X\xrightarrow{g}Y\) se factorisant en \[X\xrightarrow{g_1}Y[t_1,\dots,t_d]\xrightarrow{g_2}Y,\] \(X\to X\) où \(g_1\) est étale et \(g_2\) la projection canonique. D'où \(f_{*}(g)=f_{*}(g_2)\,f_{*}(g_1)\) et \(f_{*}(g_1)\) étale, et il suffit de prouver que les fibres de \(f_{*}(g)\) sont de dimension \(nd\). Comme \(f_{*}(g)=f_{*}(g_2)\,f_{*}(g_1)\), et \(f_{*}(g_1)\) est étale (et […] […] surjectif), on est ramené au cas où \[X=Y[t_1,\dots,t_d]=Y\times_T\overline{T}[t_1,\dots,t_d]\] i.e. \(2\cdot T[t]\) On est ramené (grâce à (i)) : prouver que les fibres de \[f_{*}\bigl(T[t_1,\dots,t_d]/T\bigr)\] sont de dim \(nd\), ce qui est trivial…. le \(\overline{T}\) (une barre au-dessus d'un \(T\) biffé) est une lecture douteuse.

53

\begin{tikzcd}[column sep=small]
  X_s \arrow[r] & Y_s & & X'_s \arrow[r] & Y'_s \\
  k(s)=k \quad T_s & & k' & T'_s \arrow[u] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

sous \(T_s\), un premier essai biffé : \(X'_s\) […] \(T'_s\).

Nb de comp. connexes géométriques de \(T_s\) : \(\nu_s\) \[\begin{cases} \nu=\sup_s\nu_s\\ n=\deg T/S\\ d=\dim.\ \text{fibres de } g\\ \lambda=\deg X/Y \end{cases}\] ces quatre définitions, en haut à droite, sont réunies par une accolade et un chevron.

Corollaire 1 bis. Sous les conditions du corollaire 1, Supposons de plus \(T/S\) fini, Alors et supposons que le morphisme étale […] \(g\colon X\to Y\) soit propre et de degré \(\lambda\). Alors \(f_{*}(g)_s\colon f_{*}(X/T)_s\to f_{*}(Y/T)_s\) est propre et de degré \(\lambda^{\nu_s}\) […] (\(\nu_s=\deg_{\text{sép}}T_s/k(s)\)).

On rappelle le raisonnement du cor. 1, [analogue cor. 3 et cor. 1 […] […] […] immédiat]. Je veux le prouver pour le cas […] exact : \(\lambda^{\nu_s}\) points dans […] \(\lambda\) […] […] fibre de \(f_{*}(Y/T)\), lorsque […] […] ici seulement (sous les conditions […] […] […]). […] […] […] […] […] […] […] \(\lambda\) […] […] \(\lambda\) […]

Corollaire 3 (\(T/S\) fini ⌜du cor. 1⌝). Conditions équivalentes :

1. (i)\(\nu(s)\to\) ⌜loc.⌝ constant ;
2. (ii)\(X\mapsto f_{*}(X/T)\) transforme morphismes étales finis ⌜étales⌝ finis en morphismes étales finis ;
3. (iii)si \(T'\) est étale fini sur \(T\), alors \(f_{*}(T'/T)\) est étale fini ;
4. (iv)\(f_{*}(T\amalg T)=\) \(\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S'\amalg S)\) est étale fini sur \(S\).

dans la marge, des flèches relient (i), (ii), (iii), (iv) : (i) \(\Rightarrow\) (ii) \(\Rightarrow\) (iii) \(\Rightarrow\) (iv) et un arc de retour (iv) \(\Rightarrow\) (i). La marge gauche porte aussi une note écrite en travers, […].

54On voit donc que le morphisme […] fini \(T\to S\) est tel que \(\nu(s)\) est loc. constant ⌜dans le cas⌝ si c'est un morphisme fini qui est composé d'un morphisme étale fini et d'un morphisme radiciel [dans le cas des variétés] induisant par composition des morphismes, extension de la base [triviale sur (i), par la définition].

Corollaire

Proposition. Soient […] \(T,S,X,Y\) comme dans […] Prop. précédente. Supposons que […] génériquement. Alors pour que \(X\) de \(f\) soit fibrés principaux de ce début de proposition est barré de traits obliques et enfermé dans un contour ; la dernière ligne (« fibrés principaux de … ») est en plus rayée horizontalement.

Cor. 4. Supposons les conditions de (i) remplies, \(T/S\) fini, et que \(f\) soit si \(g\) est surjectif fini et […] […]. Alors \(f_{*}(g)\) est surjectif.

Proposition. Le foncteur \(f_{*}\) transforme fibrés principaux sur un \(Y/T\) ⌜de groupe d'une certaine restriction \(G\) de constante⌝ […] […] en fibrés principaux. Je dis que les fibrés principaux […] […] fibrés principaux […] simplement en fibrés principaux […] homogènes, à condition que \(T/S\) soit fini. Il transforme […] […] fibrés principaux […] groupes […] […] fermés séparables […] […] […] Prendre plutôt la notion de fibré principal homogène la phrase se poursuit à la p. 55.

55fibrés de \(=\) groupe, pourvu que l'extension sur \(S\), sans nécessairement que \(T\to S\) soit homogène.

En particulier, si \(G\) est un groupe fini ordinaire, un […] revêtement […] principal de groupe \(G\) de \(Y/T\) est transformé en un […] fibré principal homogène sur \(f_{*}(Y/T)\), de groupe \[f_{*}(Y/T)\times_S f_{*}(T\times G/T).\] dans la dernière formule, un mot biffé et illisible précède \(T\times G\).

Cela conduit à l'intéressante question de déterminer, pour un ens. fini \(I\) ordinaire, la variété ⌜étale⌝ \[f_{*}(T\times I/T)=\varphi(I)\] qui est telle que donc \(\varphi(T)(I)\) est un foncteur covariant en \(I\) / qui ne dépend que de la nature étale de \(S\). Plaçons nous dans le cas où on a sur \(S\), supposé connexe, un point géométrique fixé \(a\), de sorte que le foncteur \(I\mapsto\varphi_a(T)(I)\) (Ens finis) dépend de la donnée du groupe \(\pi_1(S,a)\) opérant. Et étant donné un foncteur à valeurs dans les ens. finis, il est de la forme \(\operatorname{Hom}_{\text{Ens.f}}(A_a(T),I)\), [petit raisonnement […]], et comme \(\pi_1(S,a)\) opère dans ce foncteur, il opère dans \(A_a(T)\), qui est un ainsi défini. depuis « qui est telle que », tout le bas de la page est barré de deux longues diagonales ; une note marginale oblique, à gauche, renvoie par un trait à ce passage : […]. Le \(\varphi_a(T)(I)\) porte un \(I\) surchargé.

56de \(f\) sur naturelle un revêtement étale [\(T_{\text{sép}}\) […] […] […] \(S\), rapporté […]] \(\underline{A}(T)\) de \(f^{\text{ét}}_{*}(T)\), qui dépend fonctoriellement de \(T\), et transforme le foncteur \(f^{\text{ét}}_{*}\) en fonctions d'ailleurs […] […] […] produits sommes. On va définir un \(S\)-morphisme \[T\to\overline{T}\] i.e. un élément de \(\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,\overline{T})\), i.e. une section de \(\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,T)\). depuis le début de la page jusqu'ici, le texte est barré d'une longue diagonale et cerné d'un trait ; seuls « \(f^{\text{ét}}_{*}(T)\) » et la suite semblent avoir été gardés après la rature de l'en-tête encadré. Le partage entre biffé et conservé est proposé, non assuré.

Plus généralement, si \(T\) est donné, \(S'\mapsto \underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S')\) est un foncteur des revêtements étales de \(S\) dans les rev. étales de \(S\), exact à gauche. Si l'on suppose seulement donné un foncteur de \(S\), supposé connexe […] […] […] […] foncteur déterminé par un élément fini à prouver que le foncteur est de la forme lim \(\underline{\operatorname{Hom}}(\) Fixons un point géométrique de \(S\) supposé connexe (ce qu'on devrait pas nécessairement) Alors le foncteur la donnée (i.e. la fonctorialité ([…]) suppose un élément du foncteur \(S'\mapsto\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S')\)) le bas de la page est un enchevêtrement de ratures (traits horizontaux, diagonales, boucles) ; la note marginale oblique est rattachée par un trait pointillé à la ligne « Fixons ». La phrase continue p. 57.

57d'un foncteur Ens \(\varphi_{T,a}(E)\) des \(\pi_1(S,a)\)-ensembles finis en, ensembles finis, foncteur qui est exact à gauche. Je dis qu'un tel foncteur est nécessairement de la forme \(\underline{\operatorname{Hom}}_{\pi_1}(A,E)\), où \(A\) est […] un ens., dépendant fonctoriellement du foncteur \(\varphi_{T,a}\) qui lui donne naissance [il suffit d'avoir fonctoriellement en fonction de finis au lieu de finis en nombre]. On posera \(A=A(T)\), On et on dénotera par \(f^{\text{ét}}_{*}(T)\) le revêtement équivalent ⌜étale⌝ de \(S\) correspondant. On a donc un isom. de bifoncteurs \[(*)\qquad \underline{\operatorname{Hom}}_S\bigl(f^{\text{ét}}_{*}(T),S'\bigr) =\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S')\] [sur \(\operatorname{Rev\,\acute{e}t}(T)\times\operatorname{Rev\,\acute{e}t}(S)\)]. D'autre part pour tout \(T\), le foncteur en \(S'\) est représentable. Prenons donc \(S'=T\), et ces deux lignes sont encadrées et barrées de traits obliques. Le morphisme […] les notations, on dénote tous, on trouve un \[\underline{\operatorname{Hom}}_S\bigl(f^{\text{ét}}_{*}(T),S'\bigr)\simeq\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S')\] d'où, en faisant \(S'=f^{\text{ét}}_{*}(T)\), un homomorphisme à distinguer de l'intérieur […] […] de ces objets, qu'il faut établir, pour un […] […] précédemment (*) […] […] […] définie la note marginale, écrite en oblique et appelée par (*), longe toute la partie gauche de la page ; la phrase continue p. 58.

58canonique : \[T\longrightarrow f^{\text{ét}}_{*}(T)\] tel que pour tout \(S'\), l'homomorphisme correspondant \[\underline{\operatorname{Hom}}_S\bigl(f^{\text{ét}}_{*}(T),S'\bigr)\longrightarrow\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S')\] […] soit un isom. pour tout \(S'\) (Précisions …). Il en résulte que pour tout \(s\in S\), changement de base \(\underline{\operatorname{Hom}}_{k(s)}(\overline{T}_s,S'_s)\to\) [base (pt géom. \(k(s)\)) \(S\) : \(\operatorname{Spec}(k(\bar s))\)] la construction commute aux changements de base…

En faisant \(S'=S\times I\) (\(I\) ens. fini) on voit d'abord que \[T\to f^{\text{ét}}_{*}(T)\] est surjectif et ⌜(si \(T/S\) est fini)⌝ à fibres géométriques connexes (on considère ⌜les fibres des⌝ fibres géom. pour \(\bar s\in S\)). Il en résulte, si \(T\to\overline{T}\) est un morphisme surjectif et fini injectif de \(T\) (fini ⌜étale⌝ sur \(S\)) sur \(\overline{T}\) rev. étale de \(S\), alors on a \[\underline{\operatorname{Hom}}_S(\overline{T},S')=\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S')\] pour tout \(S'\) rev. étale fini sur \(S\) [démonstration […]] et par conséquent le \(\overline{T}\) dont il est question se trouve vrai pour cat. de la base, ⌜\((S)\)⌝ ce qui donne […] \[\underline{\operatorname{Hom}}_S(\overline{T},S')\simeq\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S'),\] i.e. \(\overline{T}=f^{\text{ét}}_{*}(T)\). le « \(=\) » et le « \(\simeq\) » des deux formules sont lus tels quels ; la seconde semble porter une double flèche (\(\rightrightarrows\)) plutôt qu'un \(\simeq\), lecture incertaine.

60

(1) Sit up optimal

titre souligné, en haut de la page, précédé de « (1) » ; lecture très incertaine. La page ouvre une nouvelle rédaction, qui se poursuit au-delà de ce lot.

Soit \(S\) un préschéma. […] Soit \(\underline{W}\) un foncteur covariant de la catégorie des \(S\)-préschémas dans la catégorie des \(E\)-préschémas. On suppose \(\underline{W}\) « de nature locale », i.e.

1. (i)Si \(i\colon T\to T'\) est une immersion ouverte, alors \(\underline{W}(i)\colon\underline{W}(T)\to\underline{W}(T')\) est une immersion ouverte. [Donc si \(U\) ouvert dans \(T\), on identifie \(\underline{W}(U)\) à un ouvert de \(\underline{W}(T)\)] ;
2. (ii)\(\underline{W}(\bigcup U_i)=\bigcup_i\underline{W}(U_i)\) pour une famille d'ouverts de \(T\) ;
3. (iii)\(\underline{W}(U\cap V)=\underline{W}(U)\cap\underline{W}(V)\).

[…] infinitésimale […] […] la note marginale oblique est rattachée par une accolade aux conditions (ii)–(iii).

Exemple I. Soit \(S'\) un \(S\)-préschéma. Posons \(\underline{W}_{S'}(T)=T\times_S S'\) ; on obtient ainsi un foncteur covariant de nature locale des \(S\)-préschémas dans les ⌜\(S'\)⌝-préschémas (le foncteur de changement de base). Cas I\('\) : \(S'\) est fini et loc. libre sur \(S\).

Exemple II. Soit \(W\) un \(A\)-préschéma en […] commutatifs sur \(S\), supposé plat pour tout \(T/S\), le faisceau d'anneaux \(\Gamma(W_T/T)\) sur \(T\) forme de \(T\) un préschéma (cf exemple plus bas). On a ainsi annulé en anneaux locaux la note marginale, en bas à gauche, renvoie par un cercle au mot « préschéma ». La phrase « On a ainsi » est coupée en bas de page ; l'argument continue au-delà de ce lot.