Fonds Grothendieck, cote n° 91, pages 41–60 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-10-03

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 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 91 Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967). Pages 41 à 60 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 3 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1964-vers 1970]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/91.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

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Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

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la page s'ouvre au milieu d'un argument commencé avant ce lot (sur la représentabilité de f_{*}(X/T), cf. p. 43 et suivantes).

d'où l'hypothèse (f^{-1}(U_i)) T ; pour tout s\in S, il existe un i(s) tel que \varphi(T_s)\subset U_{i(s)}, il en résulte (précision) que l'on peut trouver un voisinage V(s) de s tel que \varphi(T|V(s))\subset U_i. Cela se traduit par un homomorphisme V(s)\to H_i, d'où V(s)\to H. pas veut. (l'on — .) Je laisse straight-forward .

Théorème. Les hypothèses sont T fini et loc. libre sur S et X/S quasi-projectif. Les hypothèses

T\to S fini et loc. libre ; pour tout t\in S, toute partie finie de X_s au-dessus de T_s, définie sur une extension finie de k(s), soit contenue dans un ouvert affine de X. [ ]

k(s) k(t) f_{*}(X/T) existe et est représentable f_{*}(U_i/T), où U_i parcourt ouverts affines de X. les lignes (i)–(ii) sont reprises dans une rédaction très surchargée : une première formulation biffée est encerclée et reportée par des traits ; l'ordre ci-dessus est celui que les traits indiquent, à titre de proposition.

Cor. 1. Les conditions du Théor. ci-dessus sont satisfaites dans chacun des cas suivants :

T/S ; S=\bigcup S_i tels que pour tout i, X|S_i soit contenu dans un affine [c'est le cas si X quasi-proj. sur S].

au-dessus de (ii), une ligne interlinéaire biffée et encadrée : pour chaque .

Cor. 2. Sous les conditions du Théor., soit X' un sous-schéma de X, posons f'=f|X'. Alors f'_{*}(X') existe, et est un ss-schéma de f_{*}(X).

\begin{tikzcd} & X \arrow[d] \\ S & T \arrow[l, "f"'] \end{tikzcd}

f_{*}(X/T), T fini sur S.

Si X/T est affine, f_{*}(X/T) aussi ;

" projectif, propre ———— pourvu que f séparable (*) ;

" quasi-projectif, ————. les deux tirets reprennent « f_{*}(X/T) aussi » ; une accolade réunit les lignes « projectif, propre » et « quasi-projectif » devant la condition sur f.

f_{*} est exact à gauche, mais en particulier f_{*}(T/T)=S,\qquad f_{*}(X\times_T Y/T)=f_{*}(X/T)\times_S f_{*}(Y/T), f_{*}(X\times_Z Y/T)=f_{*}(X/T)\times_{f_{*}(Z/T)}f_{*}(Y/T). f_{*} transforme immersions en immersions, . immersions , [ ] f_{*}(X/T)=\bigcup_i f_{*}(U_i/T), les U_i X]. [N.B. cette doit pouvoir démontrer.] = immersion et immersion

De même, f_{*} transforme morphismes affines en morphismes affines [ \varphi\colon X\to Y affine, on se ramène au cas où Y est affine et X\subset Y\otimes_T Z, Z/T affine , X=Y\otimes_T Z ] il transforme morphismes projectifs en morphismes projectifs si T/S séparable, et il transforme morphismes quasi-projectifs en morphismes quasi-projectifs si X/T\to Y/T . [Même méthode, en utilisant Y est . proj. de type fini sur T dans un faisceau sur Y d'un de T ; , qu'un la suite à la p. 44.

(*) f soit pour descente : si Y/S est tel que f^{*}(Y)/S' soit propre resp. projectif, alors Y/S l'est. [Dans ce dernier cas, on suppose T/S fini et plat sur S loc. noeth., (i) faudrait dans le cas actuel pouvoir l'exorciser, recouvrement en projectifs types, travailler sur en effet, il faut prouver ceci : si un faisceau loc. libre inversible \underline{L} sur X est T-ample, alors f_{*}(\underline{L}) [qui est un faisceau loc. libre sur f_{*}(X/T) ] donne \det f_{*}(\underline{L}) S-ample. Dans le premier cas, on utilise critère de Chow, en notant que si X'\to X est surjectif, alors f_{*}(X')\to f_{*}(X) l'est aussi , S= (), descente… Ici il faut S loc. noeth.]

Question. Si T/S est fidèlement plat , et Y/S , et si Y\times_S T/T soit propre, est-il vrai que Y/S l'est ? — Oui dans le cas S loc. noeth., car utiliser critère de Chow. les deux paragraphes précédents occupent la colonne de gauche de la page, sous le diagramme ; le premier est l'appel de l'astérisque. Une note marginale verticale, en partie biffée, longe le diagramme : .

prouver le dit faisceau descendu, on trouve ; fonction faisceau sur X/Y, faisceau sur f_{*}(X/T)/f_{*}(Y/T) etc]. Kif-kif .

Proposition. Soit g\colon X/T\to Y/T un morphisme, et soit \underline{L} un faisceau inversible dans X ample (resp. très ample) relativement à g. Alors \det f_{*}(\underline{L}) est un faisceau ample (resp. très ample) pour f_{*}(X/T)\to f_{*}(Y/T). f_{*}(\ill{})\to f_{*}\mathcal{O}(X/T)

Démonstration (2). On peut supposer Y affine, l'on (c'est une notion locale). (1) « » . on se ramène à prouver ceci : si X=\mathbf{P}^{n}_{Y}, et \underline{L} le faisceau , alors f_{*}(\underline{L})/T est immersion projective de f_{*}(\mathbf{P}^{n}_{Y}) dans f_{*}(Y/T). Mais utilisant la de f_{*} , Y=T. Dans ce cas, S affine =\operatorname{Spec}(A), T=\operatorname{Spec}(B), B étant libre de type fini (rang \nu) sur A.

à deux vérifications :

A) Détermination grassmannienne, i.e. d'une immersion de la droite.

(2) remarques N.B. Pour (i) f_{*}(\underline{L}) (ii) la marge gauche porte, d'en bas en haut et dans un cadre irrégulier, une note N.B. à deux points (i), (ii), presque entièrement illisible ; elle concerne f_{*}(\underline{L}). La « Démonstration » est appelée « (2) » ; son renvoi « (1) » n'a pas de texte lisible.

B) Étude de la situation suivante : G (question) faisceau loc. libre de rang \nu d'algèbres \underline{A} sur G (l'image inverse f(e_T))] faisceau loc. libre de \underline{A} \underline{F}, faisceau de \underline{O}_G-modules, tel que \underline{F}/\underline{F}_1 soit \underline{F}_1, loc. libre de rang k. .

G' sur G_T [exemple G\times_S S'] \underline{F}'_1/\underline{F}' est loc. libre \underline{F}'_1\subset\underline{F}' sur \underline{A}'. On veut représenter G_{*} de G et universel : G'\to G se factorise par G_{*}.

la question G' ( de la représentabilité d'un foncteur !),

supposons :

G affine d'anneau A ; \underline{A} libre A-algèbre B ayant une base b_1,\dots,b_\nu ; \underline{F} B^{n}, d'où base b^{(i)}_{\alpha} \bigl(\begin{smallmatrix}1\le i\le n\\ 1\le\alpha\le\nu\end{smallmatrix}\bigr) ; \underline{F}_1 a une base (c_\lambda)_{1\le\lambda\le(n-k)\nu}, qui se base d'un supplémentaire (d_j)_{1\le j\le k\nu}.

\underline{F}=\underline{A}^{n}, \underline{F}_1= la formule biffée ci-dessus est barrée d'un zigzag, à droite de « supposons ».

Les conditions et coefficients

pour que \underline{F}_1 soit dites.

1°) \underline{F}_1 stable par multiplication par \underline{B}, i.e. b_i c_\lambda s'exprime \varphi_{i\lambda\mu}\in A), doivent être nulles, équations, \varphi_{i\lambda\mu}=0\qquad \begin{bmatrix}1\le i\le\nu\\ 1\le\lambda\le(n-k)\nu\\ 1\le\mu\le k\nu\end{bmatrix} Soit G_1 le ss-schéma défini la note marginale, encerclée, renvoie par un trait à « équations ».

2°) Le quotient F/F_1=M doit être projectif de rang . à la base (m_i)_{1\le i\le k\nu} des images des de M. Soient \xi=(\xi_1,\dots,\xi_k) éléments de M. Pour que base B, il B^{k}\xrightarrow{\;u_\xi\;}M défini soit bijectif]. Or, B^{k} M , condition que \det(u_\xi) soit inversible. , pour que x\in\operatorname{Spec}(A), M_x soit libre sur B_x, il faut et il suffit qu'il existe \xi\in(M_x)^{k} tel que \det(u_\xi) soit inversible dans A_x. à prendre \xi\in M^{k}. \xi\in M^{k}, soit U_\xi l'ouvert \det(u_\xi). Soit U=\bigcup U_\xi. ( , conditions la page s'arrête sur une parenthèse ouverte ; la suite est p. 47.

l'ouvert cherché [N.B. le localisé de M condition locale, compatibilité extensions corps de base k(x) ]

deux traits horizontaux séparent ce qui précède de ce qui suit.

Sous les réserves habituelles, si g\colon X/T\to Y/T est de type fini, alors f_{*}(g) est de type fini. [S loc. noeth.] au cas où Y=T, X affine . X localisation d'un U T. hypothèses, X_s T_s\to . , fini affine . , X^{\nu}=\underbrace{X\times_S\cdots\times_S X}_{\nu}, affine U de X, soit U^{\nu}=\underbrace{U\times_S\cdots\times_S U}_{\nu}, U^{\nu}\to de X^{\nu}. X^{\nu}\to utilisation, il contient fini affines U_i tels que \bigcup U_i^{\nu}=\bigcup U^{\nu}. Soit (x_1,\dots,x_\nu) U. Alors x\in X la forme x_i. Mais x_i affine la page se termine en cours de phrase ; la suite est p. 48.

U ssi x\in U^{\nu}, soit x\in U_i^{\nu} pour un i convenable i.e. les x_\alpha\in U_i. Cqfd.

Cela est ainsi dans le cas où X est affine sur Y. Mais alors X=\operatorname{Spec}(\underline{F}), faisceau loc. libre de rang sur T. Alors f_{*}(X/T)=\operatorname{Spec}\bigl(f_{*}(\underline{F})\bigr).

Remarque. Il n'est pas vrai que la de f_{*}(X/T)/S soit fois la dimension de X/T. Ex. : S=\operatorname{Spec}(k), T =\operatorname{Spec} k[E]/\ill{} est radiciel sur S, X=T\times_S T i.e. f_{*}(X/T)=\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,T). Ce dernier dimension >0 sur k. Exemple : le des automorphismes la k-algèbre est de dim >0.

(A)

\begin{tikzcd} f_{*}(X/T) \arrow[r] & f_{*}(Y/T) \\ S'_1 \arrow[u] \arrow[r, hook] & S' \arrow[u] \arrow[ul, dashed] \end{tikzcd}

(B)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & T & & Y & \\ S & & T' \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[rr, dashed] \arrow[dl] & & X \arrow[ul] \\ & S' \arrow[ul] & & T'_1 \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[dl] & \\ & & S'_1 \arrow[ul] & & \end{tikzcd}

dans (B), le trait entre T et S est appuyé et porte une pointe vers S, et celui entre S' et S est sans pointe lisible ; on les a rendus T\to S et S'\to S. Les flèches T'_1\to T' et T'\to S' sont lues comme sur la page, sans en vérifier la cohérence.

Proposition \{Théorème ?\} Soit X/T\xrightarrow{g}Y/T un morphisme de type fini étale de T-préschémas, T sur S loc. noeth. sur S ( fini ) *. Les hypothèses que f_{*}(X/T) et f_{*}(Y/T) existent et sur S, f_{*}(X/T)\to f_{*}(Y/T) S et T loc. noeth.

loc. de type fini loc. de type fini sur ; Si T/S , si X/T\xrightarrow{g}Y/T est lisse, il en est de même de f_{*}(g) ; Si T/S de type fini, si S stable, f_{*}(g) est étale.

Démonstration. (i) Il faut prouver le diagramme (A), S'_1\to S' affine, de type fini /S S'_1 S ss-schéma = . : condition que diagramme (B), ( ), T affine, T' , et T'_1\to T' immersion . T'_1 T' = ss-schéma Cela suppose S la phrase se poursuit à la p. 50.

(ii) Ce raisonnement vaut supposer T/S étale, si g est étale, étale, f_{*}(g) est non ramifié. Pour prouver qu'il est étale, il suffit de prouver (par libre, fini ensuite) . On se ramène au cas où S=\operatorname{Spec}(k), k alg. clos, et prouver pour si k'\to Dans le cas non fini

\begin{tikzcd} & f_{*}(X) \arrow[d, leftrightarrow] \\ \operatorname{Spec}(k') \arrow[r] & f_{*}(Y) \end{tikzcd}

à gauche du diagramme, « k » au-dessus de \operatorname{Spec}(k') et « T » au-dessus de la colonne f_{*} ; la flèche verticale porte des pointes aux deux bouts, ou une pointe surchargée.

extension nilpotente de k, alors il … qui se relève en k'-point f_{*}(X) au-dessus d'un k'-point f_{*}(Y), i.e. que qui fini section. X'/T' qui relève une section donnée de Y'/T'. [ . La solution est ] Or T' nilpotent [de type fini sur k'] donc les composantes. Donc que T' connexe. Alors comme lorsque réduit l'image d'un pt. Cela démontre .

Corollaire 1. Soit \nu le maximum des rangs des anneaux locaux T_s (s\in S), et soit n le maximum atteint par X/Y. Alors le maximum la page s'arrête en cours de phrase ; la suite est p. 51.

atteint par les fibres de f_{*}(X/T)\to f_{*}(Y/T) est \le n\nu. Corollaire [Si T/S est fini]

Corollaire 1. Soit

Soit d=\sup_{y\in Y}\dim g^{-1}(y), et

d'=\sup_{\bar y\in f_{*}(X/T)}\dim f_{*}(g)^{-1}(\bar y).

Soit n=\deg(T/S).

Alors d'=nd.

On a égalité si

si les fibres

On a égalité si

\deg_{\text{sép}}(T/S,s)

est indépendant de

s (égal à \nu) ]

si les fibres de f

toutes les dimensions

de X, toutes égales,

il en est de même de

celles =. tout ce passage, du premier « Corollaire 1 » au « = » qui le termine, est biffé par de longs traits et enfermé dans un contour ; on l'a rendu biffé ligne à ligne.

Corollaire 2. Supposons T/S fini et de degré n constant. Supposons , les conditions (i). Soit s\in S, soit D(s) l'ens. des dimensions des fibres composantes des fibres de X_s\to Y_s ; soit D'(s) l'ens. pour f_{*}(X/T)_s\to f_{*}(Y/T)_s. Alors D(s)=n\,D'(s).ainsi sur la page ; la conclusion qui suit (dimension nd pour f_{*}(g)) demanderait plutôt D'(s)=n\,D(s). En particulier, les composantes de toutes les fibres de g = dimension d, toutes les composantes de toutes les fibres de f_{*}(g) = dimension nd. dans la marge gauche, en regard de l'énoncé : X_s\to Y_s, puis k(s) et T_s.

Démonstration. Les deux membres supposés S=\operatorname{Spec}(k), De plus, on peut supposer k alg. clos. Ensuite, d'après \Bigl(\coprod f_i\Bigr)_{*}(X/T)=\prod_i f_{i*}(X_i/T_i), on se ramène au cas où T est local, i.e. T\to S radiciel et surjectif. On peut aussi supposer X et Y affines, et X\xrightarrow{g}Y se factorisant en X\xrightarrow{g_1}Y[t_1,\dots,t_d]\xrightarrow{g_2}Y, X\to X où g_1 est étale et g_2 la projection canonique. D'où f_{*}(g)=f_{*}(g_2)\,f_{*}(g_1) et f_{*}(g_1) étale, et il suffit de prouver que les fibres de f_{*}(g) sont de dimension nd. Comme f_{*}(g)=f_{*}(g_2)\,f_{*}(g_1), et f_{*}(g_1) est étale (et surjectif), on est ramené au cas où X=Y[t_1,\dots,t_d]=Y\times_T\overline{T}[t_1,\dots,t_d] i.e. 2\cdot T[t] On est ramené (grâce à (i)) : prouver que les fibres de f_{*}\bigl(T[t_1,\dots,t_d]/T\bigr) sont de dim nd, ce qui est trivial…. le \overline{T} (une barre au-dessus d'un T biffé) est une lecture douteuse.

\begin{tikzcd}[column sep=small] X_s \arrow[r] & Y_s & & X'_s \arrow[r] & Y'_s \\ k(s)=k \quad T_s & & k' & T'_s \arrow[u] \arrow[ur] & \end{tikzcd}

sous T_s, un premier essai biffé : X'_s T'_s.

Nb de comp. connexes géométriques de T_s : \nu_s \begin{cases} \nu=\sup_s\nu_s\\ n=\deg T/S\\ d=\dim.\ \text{fibres de } g\\ \lambda=\deg X/Y \end{cases} ces quatre définitions, en haut à droite, sont réunies par une accolade et un chevron.

Corollaire 1 bis. Sous les conditions du corollaire 1, Supposons de plus T/S fini, Alors et supposons que le morphisme étale g\colon X\to Y soit propre et de degré \lambda. Alors f_{*}(g)_s\colon f_{*}(X/T)_s\to f_{*}(Y/T)_s est propre et de degré \lambda^{\nu_s} (\nu_s=\deg_{\text{sép}}T_s/k(s)).

On rappelle le raisonnement du cor. 1, [analogue cor. 3 et cor. 1 immédiat]. Je veux le prouver pour le cas exact : \lambda^{\nu_s} points dans \lambda fibre de f_{*}(Y/T), lorsque ici seulement (sous les conditions ). \lambda \lambda

Corollaire 3 (T/S fini du cor. 1). Conditions équivalentes :

\nu(s)\to loc. constant ; X\mapsto f_{*}(X/T) transforme morphismes étales finis étales finis en morphismes étales finis ; si T' est étale fini sur T, alors f_{*}(T'/T) est étale fini ; f_{*}(T\amalg T)= \underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S'\amalg S) est étale fini sur S.

dans la marge, des flèches relient (i), (ii), (iii), (iv) : (i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (iv) et un arc de retour (iv) \Rightarrow (i). La marge gauche porte aussi une note écrite en travers, .

On voit donc que le morphisme fini T\to S est tel que \nu(s) est loc. constant dans le cas si c'est un morphisme fini qui est composé d'un morphisme étale fini et d'un morphisme radiciel [dans le cas des variétés] induisant par composition des morphismes, extension de la base [triviale sur (i), par la définition].

Corollaire

Proposition. Soient T,S,X,Y comme dans Prop. précédente. Supposons que génériquement. Alors pour que X de f soit fibrés principaux de ce début de proposition est barré de traits obliques et enfermé dans un contour ; la dernière ligne (« fibrés principaux de … ») est en plus rayée horizontalement.

Cor. 4. Supposons les conditions de (i) remplies, T/S fini, et que f soit si g est surjectif fini et . Alors f_{*}(g) est surjectif.

Proposition. Le foncteur f_{*} transforme fibrés principaux sur un Y/T de groupe d'une certaine restriction G de constante en fibrés principaux. Je dis que les fibrés principaux fibrés principaux simplement en fibrés principaux homogènes, à condition que T/S soit fini. Il transforme fibrés principaux groupes fermés séparables Prendre plutôt la notion de fibré principal homogène la phrase se poursuit à la p. 55.

fibrés de = groupe, pourvu que l'extension sur S, sans nécessairement que T\to S soit homogène.

En particulier, si G est un groupe fini ordinaire, un revêtement principal de groupe G de Y/T est transformé en un fibré principal homogène sur f_{*}(Y/T), de groupe f_{*}(Y/T)\times_S f_{*}(T\times G/T). dans la dernière formule, un mot biffé et illisible précède T\times G.

Cela conduit à l'intéressante question de déterminer, pour un ens. fini I ordinaire, la variété étale f_{*}(T\times I/T)=\varphi(I) qui est telle que donc \varphi(T)(I) est un foncteur covariant en I / qui ne dépend que de la nature étale de S. Plaçons nous dans le cas où on a sur S, supposé connexe, un point géométrique fixé a, de sorte que le foncteur I\mapsto\varphi_a(T)(I) (Ens finis) dépend de la donnée du groupe \pi_1(S,a) opérant. Et étant donné un foncteur à valeurs dans les ens. finis, il est de la forme \operatorname{Hom}_{\text{Ens.f}}(A_a(T),I), [petit raisonnement ], et comme \pi_1(S,a) opère dans ce foncteur, il opère dans A_a(T), qui est un ainsi défini. depuis « qui est telle que », tout le bas de la page est barré de deux longues diagonales ; une note marginale oblique, à gauche, renvoie par un trait à ce passage : . Le \varphi_a(T)(I) porte un I surchargé.

de f sur naturelle un revêtement étale [T_{\text{sép}} S, rapporté ] \underline{A}(T) de f^{\text{ét}}_{*}(T), qui dépend fonctoriellement de T, et transforme le foncteur f^{\text{ét}}_{*} en fonctions d'ailleurs produits sommes. On va définir un S-morphisme T\to\overline{T} i.e. un élément de \underline{\operatorname{Hom}}_S(T,\overline{T}), i.e. une section de \underline{\operatorname{Hom}}_S(T,T). depuis le début de la page jusqu'ici, le texte est barré d'une longue diagonale et cerné d'un trait ; seuls « f^{\text{ét}}_{*}(T) » et la suite semblent avoir été gardés après la rature de l'en-tête encadré. Le partage entre biffé et conservé est proposé, non assuré.

Plus généralement, si T est donné, S'\mapsto \underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S') est un foncteur des revêtements étales de S dans les rev. étales de S, exact à gauche. Si l'on suppose seulement donné un foncteur de S, supposé connexe foncteur déterminé par un élément fini à prouver que le foncteur est de la forme lim \underline{\operatorname{Hom}}( Fixons un point géométrique de S supposé connexe (ce qu'on devrait pas nécessairement) Alors le foncteur la donnée (i.e. la fonctorialité () suppose un élément du foncteur S'\mapsto\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S')) le bas de la page est un enchevêtrement de ratures (traits horizontaux, diagonales, boucles) ; la note marginale oblique est rattachée par un trait pointillé à la ligne « Fixons ». La phrase continue p. 57.

d'un foncteur Ens \varphi_{T,a}(E) des \pi_1(S,a)-ensembles finis en, ensembles finis, foncteur qui est exact à gauche. Je dis qu'un tel foncteur est nécessairement de la forme \underline{\operatorname{Hom}}_{\pi_1}(A,E), où A est un ens., dépendant fonctoriellement du foncteur \varphi_{T,a} qui lui donne naissance [il suffit d'avoir fonctoriellement en fonction de finis au lieu de finis en nombre]. On posera A=A(T), On et on dénotera par f^{\text{ét}}_{*}(T) le revêtement équivalent étale de S correspondant. On a donc un isom. de bifoncteurs (*)\qquad \underline{\operatorname{Hom}}_S\bigl(f^{\text{ét}}_{*}(T),S'\bigr) =\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S') [sur \operatorname{Rev\,\acute{e}t}(T)\times\operatorname{Rev\,\acute{e}t}(S)]. D'autre part pour tout T, le foncteur en S' est représentable. Prenons donc S'=T, et ces deux lignes sont encadrées et barrées de traits obliques. Le morphisme les notations, on dénote tous, on trouve un \underline{\operatorname{Hom}}_S\bigl(f^{\text{ét}}_{*}(T),S'\bigr)\simeq\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S') d'où, en faisant S'=f^{\text{ét}}_{*}(T), un homomorphisme à distinguer de l'intérieur de ces objets, qu'il faut établir, pour un précédemment (*) définie la note marginale, écrite en oblique et appelée par (*), longe toute la partie gauche de la page ; la phrase continue p. 58.

canonique : T\longrightarrow f^{\text{ét}}_{*}(T) tel que pour tout S', l'homomorphisme correspondant \underline{\operatorname{Hom}}_S\bigl(f^{\text{ét}}_{*}(T),S'\bigr)\longrightarrow\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S') soit un isom. pour tout S' (Précisions …). Il en résulte que pour tout s\in S, changement de base \underline{\operatorname{Hom}}_{k(s)}(\overline{T}_s,S'_s)\to [base (pt géom. k(s)) S : \operatorname{Spec}(k(\bar s))] la construction commute aux changements de base…

En faisant S'=S\times I (I ens. fini) on voit d'abord que T\to f^{\text{ét}}_{*}(T) est surjectif et (si T/S est fini) à fibres géométriques connexes (on considère les fibres des fibres géom. pour \bar s\in S). Il en résulte, si T\to\overline{T} est un morphisme surjectif et fini injectif de T (fini étale sur S) sur \overline{T} rev. étale de S, alors on a \underline{\operatorname{Hom}}_S(\overline{T},S')=\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S') pour tout S' rev. étale fini sur S [démonstration ] et par conséquent le \overline{T} dont il est question se trouve vrai pour cat. de la base, (S) ce qui donne \underline{\operatorname{Hom}}_S(\overline{T},S')\simeq\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,S'), i.e. \overline{T}=f^{\text{ét}}_{*}(T). le « = » et le « \simeq » des deux formules sont lus tels quels ; la seconde semble porter une double flèche (\rightrightarrows) plutôt qu'un \simeq, lecture incertaine.

(1) Sit up optimal

titre souligné, en haut de la page, précédé de « (1) » ; lecture très incertaine. La page ouvre une nouvelle rédaction, qui se poursuit au-delà de ce lot.

Soit S un préschéma. Soit \underline{W} un foncteur covariant de la catégorie des S-préschémas dans la catégorie des E-préschémas. On suppose \underline{W} « de nature locale », i.e.

Si i\colon T\to T' est une immersion ouverte, alors \underline{W}(i)\colon\underline{W}(T)\to\underline{W}(T') est une immersion ouverte. [Donc si U ouvert dans T, on identifie \underline{W}(U) à un ouvert de \underline{W}(T)] ; \underline{W}(\bigcup U_i)=\bigcup_i\underline{W}(U_i) pour une famille d'ouverts de T ; \underline{W}(U\cap V)=\underline{W}(U)\cap\underline{W}(V).

infinitésimale la note marginale oblique est rattachée par une accolade aux conditions (ii)–(iii).

Exemple I. Soit S' un S-préschéma. Posons \underline{W}_{S'}(T)=T\times_S S' ; on obtient ainsi un foncteur covariant de nature locale des S-préschémas dans les S'-préschémas (le foncteur de changement de base). Cas I' : S' est fini et loc. libre sur S.

Exemple II. Soit W un A-préschéma en commutatifs sur S, supposé plat pour tout T/S, le faisceau d'anneaux \Gamma(W_T/T) sur T forme de T un préschéma (cf exemple plus bas). On a ainsi annulé en anneaux locaux la note marginale, en bas à gauche, renvoie par un cercle au mot « préschéma ». La phrase « On a ainsi » est coupée en bas de page ; l'argument continue au-delà de ce lot.