Cote n° 91, pages 21–40

Cote n° 91 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

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21le haut de la page achève un argument commencé avant ce lot. Pb Simplifier les ⌜démonstrations⌝ raisonnements, en éliminant les hypothèses de propreté sur $X$, $Z$ et le […] résultat délicat de l'existence de $M_{\ill{}}$, $M_{\ill{}}$, en imposant l'hypothèse de régularité suivante? : \[\operatorname{Hom}\bigl(\omega^{\circ}(\Omega^{1}_{Y_0/S_0}), \mathcal{O}_{X_0}\otimes G\bigr) \longrightarrow \operatorname{Hom}\bigl(\omega^{\circ}(\Omega^{1}_{X_0/S_0}), \mathcal{O}_{Z_0}\otimes G\bigr)\] injectif pour tout $G$ quasi-cohérent sur $S_0$.

toute la suite de la page est biffée de deux longs traits obliques ; on en donne ce qui se lit. En marge, au crayon et entouré : « SGA 3 III 4.2 ».

Prop. Le ⌜critère⌝ […] géométrique, on a […] : ceci. $S$ étant […] local […] point générique $y$, $S_0$ […] d'un idéal $I$ de carré nul, […] […] ([…]), disons $S_0 = V(J)$, et $u_0 : X_0 \to Y_0$ avec $v_0 = u_0\varphi_0$, […] […] […] pour que […] cette condition, prenons […] […] d'un voisinage […] l'obstruction […] […] $S'_{0_s} \supset S_{0_s}$ donné, […] condition ([…] […]) $v$ étant […] la question […] […] immédiate, […] obstruction [cf. $\operatorname{Ext}^{1}_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0; \underline{I}_{\Gamma_0}, \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J)$]

22$S$ ⌜unité⌝ muni d'un idéal ⌜loc. nilp.⌝ de carré nul $J$, $Z \xrightarrow{v} X, Y$ sur $S$ d'où $v_0 : Z_0 \to X_0, Y_0$ sur $S_0$ le petit ajout entouré « d'où $v_0 : Z_0 \to X_0, Y_0$ sur $S_0$ » est écrit en haut à droite, sous $Z \to X, Y$.

$S_0 = V(J)$,

$u_0 : X_0 \to Y_0$ tel que $u_0\varphi_0 = v_0$.

On va étudier l'obstruction à relever $u_0$ en $u : X \to Y$ [tel que $u\varphi = v$]. À priori, l'obstruction à relever ⌜les relèvements de⌝ $u_0$ […] […] […] comme […], condition supplémentaire $u\varphi = v$) […], correspondant aux splittings d'une extension sur $P_0$ cf. l'obstruction […] ce que […] revient à l'idée d'un $u : J \to G$, […] puis localisation … \[0 \to \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J \to E \to \underline{I}_{\Gamma_0} \to 0 .\] SGA 3 III 4.2 la référence « SGA 3 III 4.2 », au crayon et entourée, est reliée par un trait à « les relèvements » de la ligne suivante. Les relèvements fixant $v_0$ correspondent […] aux splittings d'une extension […] sur $P'_0 = Z_0 \times_{S_0} Y_0$ \[0 \to \mathcal{O}_{\Gamma'_0}\otimes_{S_0} J \to E' \to \underline{I}_{\Gamma'_0} \to 0 .\] D'ailleurs, on a évidemment un homomorphisme d'extensions, compatible […] $P'_0 \to P_0$

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J \arrow[r] \arrow[d] & E \arrow[r] \arrow[d] & \underline{I}_{\Gamma_0} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & \mathcal{O}_{\Gamma'_0}\otimes_{S_0} J \arrow[r] & E' \arrow[r] & \underline{I}_{\Gamma'_0} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

(en fait, $E'$ se déduit de $E$ par extension de la base par $P'_0 \to P_0$ […] […]

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\begin{tikzcd}[row sep=small]
 & P_0 \arrow[d] \\
Z \arrow[r] & X
\end{tikzcd}

; il faut préciser […] $\varphi$ […]]. Conditions, puisque […] ⌜D'ailleurs, la⌝ […] signifie que l'image d'un splitting, […] la relation […] les splittings de la première compatibles […] celui donné pour la seconde.

23Ceci fait, regardons, pour $G$ quasi-cohérent variable sur $S_0$, les foncteurs $\underline{\operatorname{Ext}}^{1}(\ , \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} G)$, $q'_{*}\underline{\operatorname{Ext}}^{1}(\ , \mathcal{O}_{\Gamma'_0}\otimes_{S_0} G)$ relatifs aux deux lignes, on trouve […] ⌜(via les théorèmes de représentabilité)⌝ un diagramme commutatif de suites exactes (D)

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\begin{tikzcd}
 & L \arrow[r, "i"] & M \arrow[r, "j"] & N \arrow[r] & 0 \\
0 \arrow[r] & L' \arrow[r, "i'"] \arrow[u, leftrightarrow, "\alpha"'] & M' \arrow[r, "j'"] \arrow[u, leftrightarrow, "\beta"'] & N' \arrow[r] \arrow[u, "\gamma"'] & 0
\end{tikzcd}

les flèches verticales $\alpha$ et $\beta$ portent une pointe à chaque bout : une pointe vers le bas semble surchargée d'une pointe vers le haut ; $\gamma$ monte. On garde les deux pointes.

de plus, […] […] un homomorphisme can. $\sigma$

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\begin{tikzcd}[row sep=small]
 & & L \arrow[dll, "\sigma"'] \\
J \arrow[d, dashed, "\lambda"'] & & L' \arrow[u, "\alpha"'] \\
G & &
\end{tikzcd}

$J$, $L$, $L'$ et la flèche $\sigma$ sont entourés d'un même trait ; la flèche pointillée $J \to G$ est ajoutée en dessous, et la lettre près de $J$ (lue $\lambda$) est surchargée.

correspondant à l'identité $\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J \to \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J$ ($J$ ⌜$= G$⌝), et un splitting ⌜$M' \xrightarrow{\pi'} L'$⌝ de la deuxième ligne

\[L' \xleftarrow{\ \pi'\ } M' .\]

Ceci étant, pour un $\lambda : J \to G$ donné […] […], les relations […] i.e. tels que les relations […] […] […], les homom. $M \xrightarrow{\mu} G$ qui ⌜relèvent⌝ […] i.e. $\boxed{\mu i = \lambda\sigma}$ […] $L \xrightarrow{\lambda\sigma} G$, et tels que \[\mu\beta = (\lambda\sigma\alpha)\pi' .\] […] Pour […] qu'il en existe un, condition de non ramification de $u_0$ il f. et s. que

1°)
$(\lambda\sigma)(\operatorname{Ker} i) = 0$ i.e. $\lambda(R_1) = 0$, où $R_1 = \sigma(\operatorname{Ker} i)$ Alors on peut remplacer $L$ par $L/\operatorname{Ker} i$

[i.e. $\lambda$ se factorise […] […] […] $\bar\lambda : \bar J = J/R_1 \to G$]
2°)[Tenant compte que […] $\gamma$ est injectif] $\lambda\sigma\alpha\pi'$ nulle sur $\operatorname{Ker}\beta$, i.e. $\lambda(R_2) = 0$, où $R_2 = \sigma\alpha\pi'(\operatorname{Ker}\beta)$.

la suite (une éventuelle troisième condition) passe à la page suivante.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\operatorname{Ker} i \arrow[rr, dashed] \arrow[d] & & L \arrow[dll, dashed] & \\
J & & L' \arrow[ll, dashed] \arrow[u, dashed, "?"'] & M' \arrow[l, dashed] \\
 & & & \operatorname{Ker}\beta \arrow[u, dashed] \arrow[ulll, bend left=10]
\end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche pointillée $L' \to L$ est peu lisible (« 2 » ?).

le diagramme suivant est encadré, à droite du précédent.

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\begin{tikzcd}
L + M' \arrow[r, two heads, "{(i,\beta)}"] \arrow[d, "{(\sigma,\, \sigma\alpha\pi') = \rho}"'] & M \arrow[ddl, dashed, "\mu"] \\
J \arrow[d, "\lambda"'] & \\
G &
\end{tikzcd}

Surj. (entouré, sous $(i,\beta)$) : condition de non ramification. Le foncteur en $G$ est repr. par $\operatorname{Coker}\rho$, dont la formation commute à tout chgt de base.

En résumé, […] opération qui précède […] $\lambda$ sur $R = R_1 + R_2$, l'annulation de $\lambda$ sur […] revient à la factorisation de $\lambda$ par $J/R \to G$. D'ailleurs, la formation des quotients ainsi obtenus $J/R$ de $J$ commute à l'extension plate de la base $S$ [ou générale : à la localisation]. Ceci donne la validité des conditions 7° ⌜7°⌝ et 8°. « 7° » est récrit par-dessus un premier chiffre ; ces numéros renvoient à une liste de conditions qui n'est pas dans ce lot.

ici une ligne biffée, illisible, puis un trait horizontal.

Corollaire Soient $P/X/k$ sur $k$ alg. clos(déjà non trivial !), $X$ propre sur $k$, $P/X$ loc. de présentation ⌜type⌝ fini. Alors $\prod_{X/k} P/X$ représentable par préschéma loc. de type fini. […]

Si $P/X$ quasi-projectif ⌜à fibres qu.-pr.⌝ ou seulement à fibres quasi-projectives, alors $\prod_{X/k} P/k$ […] essentiellement quasi-projectif [i.e. ses composantes connexes sont quasi-projectif sur $k$], dès que $\forall x \in$ […] $\mathcal{O}_X$, $\exists y \in \bar{x}$ tel que ⌜il suffit que la fibre $P_y$ soit quasi-projective⌝. la fin de la page est surchargée : un ajout interlinéaire (« il suffit que la fibre $P_y$ soit quasi-projective ») semble remplacer la fin de la phrase.

25Corollaire 1 : est contenu dans le suivant :

Théorème $X$ propre et plat de prés. finie sur $S$ localement, $P/X$ loc. de présentation finie sur $X$, $Z_1, \ldots, Z_n$ des sous-préschémas ⌜fermés⌝ de $X$, plats et de présentation finie sur $S$. On suppose

(a)Pour tout $i$, $\prod_{Z_i/S} P_{Z_i}/Z_i$ représentable [p. ex. $Z_i/S$ radiciels, ou $Z_i/S$ et $P_{Z_i}/Z_i$ projectifs]
(b)Pour tout $i$, $X$ est normalement plat le long de $Z_i$ [p. ex. $Z_i$ simples$/S$ et $X/S$ simple au voisinage de $Z_i$]
(c)Pour tout $s \in S$, et tout $x \in$ Ass $\mathcal{O}_{X_{\bar s}}$, il existe $i$ tel que $Z_{i\bar s} \cap \bar{x} \neq \emptyset$, i.e. $(\bigcup Z_i)_{\bar s} \cap \bar{x} \neq \emptyset$ [$\bar s = \operatorname{Spec}$ $k(\bar s)$]

Sous ces conditions,

(i)$\prod_{X/S} P/X$ est représentable par un préschéma loc. de type ⌜présentation⌝ finie et séparé sur $S$
(ii)Si de plus Pour toute partie ⌜ouverte⌝ quasi-compacte $U$ de $\prod_{X/S} P/X$, ⌜(qui est quasi-séparé)⌝ […] […] […], le morphisme \[U \longrightarrow \prod_{1\le i\le n} \text{\struck{\ill{}}} \prod_{Z_i/S} P_{Z_i}/Z_i\] est quasi-affine.
(iii)Par suite, si les $\prod_{Z_i/S} P_{Z_i}/Z_i$ sont ⌜sur $S$⌝ […] quasi-projectifs, p. ex. $Z_i/S$ finis et $P_{Z_i}/Z_i$ projectifs, alors toute partie quasi-compacte de $\prod_{X/S} P/X$ est quasi-projective sur $S$ [de façon précise, il existe un Module inversible $L$ sur $\prod_{X/S} P/X$ qui est […] ample […] […]$/S$]

le mot ajouté au-dessus de « quasi-compacte » au (ii), lu « ouverte », et l'ajout entouré « quasi-séparé » sont peu sûrs ; une ligne biffée suit dans l'interligne. Au bas de la page, quelques mots serrés, illisibles, achèvent le crochet du (iii).

26Pb Les composantes connexes de $\prod_{X/k} P/X$ […] sont-elles de type fini sur $k$ ?

Corollaire 2 Supposons, ⌜pour⌝ $P/X/k$, $X$ propre sur $k$, […] […], $P/X$ loc. de type fini, $k$ corps (pas nécessairement alg. clos) que pour tout $x_i \in \operatorname{Ass}\mathcal{O}_X$, $\exists\, x'_i \in \bar{x}$ tels que $k(x'_i)/k$ radiciel. ⌜[plus généralement, tels que $\prod_{k(x'_i)/k} P_{x'_i}/k(x'_i)$ représentable]⌝ Alors $\prod_{X/k} P/X$ représentable. P. ex. si $X$ lisse réduit […] ⌜irréductible aux⌝ irréductible géométriquement, et a un point $x$ rationnel sur $k$ […], $\prod_{X/k} P/X$ existe. Si les $P_{x_i}$ sont quasi-projectifs, alors $\prod_{X/k} P/X$ est essentiellement quasi-projectif.

Corollaire 3 $P/X/k$ […] $X/k$ comme dessus. Alors $\exists\, k'/k$ extension finie séparable, telle que $\prod_{X'/k'} P'/X'$ représentable. les deux derniers corollaires sont encadrés à droite d'un long crochet.

Corollaire 4 Si $P/X$ à fibres quasi-projectives, et $X/k$ propre […], dans $\prod_{X/k} P/X$ existe et est ess. qu.-proj. (Comparer : Cor. 1) […]

Corollaire 5 $P/X/S$, $X$ propre et plat sur $S$ noeth. intègre, $P/X$ loc. de type fini. Alors $\exists$ voisinage […] […] $U \neq \emptyset$, et morphisme fini étale surjectif $U' \to U$, tel que $\prod_{X_{U'}/U'} P_{U'}/X_{U'}$ représentable. Si $X$ géométriquement […] […] la condition énoncée dans Cor. 2, […] peut […] prendre $U' = U$ […]

la marge gauche porte, en travers, des notes serrées et en partie biffées, qu'on ne lit que par fragments : « […] […] […] $P/X$ […] […] ??? » et « […] $P/X$ […] […] simple ?? » ; dans la marge du haut, un petit tableau de traits verticaux et de mots (« différents […] ») reste illisible.

27Corollaire 6 $P/X/S$, avec $X \to S$ propre plat : fibres géométriques intègres. Supposons qu'il existe une section $\sigma$ de $X/S$ et $P/X$ […] […] […] […] le long de laquelle $X/S$ […] ⌜lisse⌝. Alors $\prod_{X/S} P/X$ représentable. Si $P \times_X (S,\sigma)$ est quasi-projectif, $\prod_{X/S} P/X$ est essentiellement quasi-projectif. le chiffre de « Corollaire 6 » est écrit par-dessus un « 5 ».

Corollaire 7 $P/X/S$, avec $X \to S$ simple propre [Comme dessus, $P/X$ […] […] […] fibres géométriques intègres] ⌜Alors⌝ […] $\prod_{X/S} P/X$ est localement ⌜représentable⌝ pour la topologie étale.

Remarque sur la top. étale pour 2 top. […] (fid. plat quasi-fini), le résultat demeure […] valable sans supposer $X \to S$ simple, mais seulement propre, plat, à fibres géométriquement intègres ⌜sans cycles⌝ immergés, par essentiellement la même démonstration.

Corollaire 8 $X$ et $Y$ propres sur corps $k$. Alors $\underline{\operatorname{Isom}}_k(X,Y)$ est représentable. En particulier, $\underline{\operatorname{Aut}}_k(X)$ est représentable.

28Corollaire 9 Soit $X/S$ propre et plat sur $S$ noethérien intègre. Alors $\exists\, U$ non vide, ⌜et $U' \to U$ fini étale surjectif⌝ et $U' \to U$ fini […] […] […] tel que $\underline{\operatorname{Aut}}_S(X) \times_S U'$ soit représentable.

cf. Raynaud Il est plausible qu'on puisse même prendre $U' = U$, c'est-à-dire à une question d'effectivité de descente …. la note « cf. Raynaud » est au crayon, dans la marge gauche ; le reste de la page est blanc.

30pp. 30–31 : lettre dactylographiée, en anglais, à Anantharaman, datée à la main « 11.9.1967 » ; on la transcrit telle qu'elle est tapée, fautes de frappe comprises, et sans la signature, absente.

11.9.1967

Dear Anantharaman,

Matsumura proved that if $X$ is proper over a field $k$, then $\underline{\operatorname{Aut}}_{X/k}$ is representable by a group scheme locally of finite type over $k$. I think I can systematize the key step of his argument in the following way. Consider a scheme $S$, and a morphism \[\phi : Z \longrightarrow X\] of $S$-schémes which are proper, flat and of finite presentation. Let $Y$ be locally of finite presentation and separated over $S$, then $\phi$ induces a homomorphisme of functors $u \rightsquigarrow u\phi$ : \[\phi' : \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_S(Z,Y) .\] Then one can define a subfunctor of $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$ where $\phi'$ is ``unramified'' in a rather obvious sense, and this turns out to be an ``open subfunctor'', say $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y;\phi)$. Now look at the induced homomorphism \[\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y;\phi) \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_S(Z,Y) .\] Using the main result of Murre's talk, one can prove that the latter morphism is representable by unramified separated morphisms locally of finite presentation; as a consequence, if $\underline{\operatorname{Hom}}_S(Z,Y)$ is representable, so is $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y;\phi)$.

To get, given $X$ and $Y$, a representability theorem for $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$, onge one tries to find morphisms $\phi_i : Z_i \to X$ as above, such that the open subfunctors $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y;\phi_i)$ cover $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$ (as a fpqc sheaf), and such that the functors $\underline{\operatorname{Hom}}_S(Z_i,Y)$ are all representable. If for instance $S$ is the spectrum of a field $k$, and if $X$ has ``enough'' points radicial over $k$ (which is always true if $k$ is alg. closed) then we can take for $Z_i$ all finite subschemes of $X$ whose points are radicial over $k$, and we get

31that $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$ is representable (any $Y$ locally of finite presentation ⌜and separated⌝ over $k$); if we do not make any assumption on $X$ except properness over $k$, the previous assumption becomes true after finite ground-field extension $k'/k$, so that we get that for every $Y$ as above, $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) \times_S \operatorname{Spec}(k')$ is representable. From this Matsumura's theorem stated at the beginning follows in a standart way by descebt arguments. The result holds too for $\underline{\operatorname{Isom}}_k(X,Y)$ instead of $\underline{\operatorname{Aut}}_k(X)$, but as you probably know, $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$ is not always representable, even if $X$ is a quadratic extension of $S = \operatorname{Spec} k$, $Y$ being proper non projective.

Over an arbitrary base $S$, one can give a fairly general statement of a representability theorem, the points radicial over $k$ used above being replaced by suitable flat subschemes of $X$. As applications ⌜particular cases⌝, we get for instance that if $X$ has integral geometric fibers and a section ⌜along which $X$ is smooth,⌝ then $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$ is representable; and if $X$ has reduced geometric fibers, then $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$ is representable locally for the étale topology over $S$. Also, if $Y$ is quasi-projective over $S = \operatorname{Spec} k$, then $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$ is representable.

To fix the ideas, I gave the statements for $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$, but one has quite analoguous resultst of course for the $\prod_{X/S} P/X$ fonctors, which I guess will imply rather formally the other ones.

If you are interested, I can send you a photocopy of the statement of the general theorem of representability I alluded to above, and a couple of corollaries (I already listed here the most striking ones).

Sincerely your's « and separated » est ajouté à l'encre ; « particular cases » et « along which $X$ is smooth, » sont tapés dans l'interligne et reliés au texte par un trait.

Schémas Hom ⌜etc⌝ et […] […]

1.Formalisme des $\underline{\operatorname{Hom}}$ et $\prod_{S'/S}$
2.[…] […] de Greenberg ⌜Généralités […]⌝ Foncteurs de Serre-Lang ⌜et⌝ de Greenberg. Extension […] $\underline{W}^{\cdot}(X)$ :
3.Cas […] […] $\underline{W}^{\circ}(X)$ Th.
4.Existence : Résultats Th.
5.Application aux immersions, morphismes de type fini, […] Atiyah(?)
6.Cas des morphismes quasi-projectifs Th.
9.Ap Cas de $\prod_{S'/S}$, […] $S' \to S$ étale. reporter à la fin
7.Cas des morphismes simples, et des morphismes étales. Th.
[8]Application aux morphismes $S' \to S$ quasi-étales [i.e. […] loc. […]]. Th.
[10]Compléments dans le cas de Greenberg [platitude […] […] $\underline{W}$].

plan d'un exposé. Une flèche part du « 9 » et descend jusqu'après le [10] : la rubrique 9 est sans doute à reporter en fin de plan. Le « 7 » est récrit sur un autre chiffre. « Th. » en fin de ligne semble marquer les rubriques qui comportent un théorème.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
 & X \arrow[d] \arrow[dl, dashed, "\varphi"'] & Y \arrow[dl] & \\
S & T \arrow[l, "f"'] & T \times_S T \arrow[l, bend right=15, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[l, bend left=15, "\mathrm{pr}_2"] \arrow[ll, bend left=40, "g"] &
\end{tikzcd}

dans l'original la flèche $X \to T$ et la flèche pointillée $\varphi : X \to S$ partent toutes deux de $X$ ; $Y$ descend sur $T$ ; $g : T\times_S T \to S$ est un arc passant sous $T$.

\[\begin{align*} f_*(X/T) &= \underline{\operatorname{Hom}}_{T/S}(T/S, X/S) \\ f_*(X/T) &= \underline{\operatorname{Hom}}_S(T,X) \times_{\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,T)} S \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{T/S}(X/T, Y/T) &= f_*\bigl(\underline{\operatorname{Hom}}_T(X,Y)\bigr) \\ \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) &= \varphi_*(X \times Y / X) \\ \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) &= \underline{\operatorname{Hom}}_{S/S}(X/S, Y/S) \end{align*}\]

Si $X$ est muni d'une donnée de descente : $S$ [et si on veut, les conditions d'unicité …], et si $f_*(X)$ existe, alors l'objet descendu $X_0$ existe aussi, et on aura \[X_0 = f_*(X) \times_{g_*(X \times_S T)} f_*(X) .\]

Contre-exemple de Nagata : schéma algébrique simple $X$ ⌜distinctes⌝ sur un corps alg. clos $k$, avec groupe $G \simeq \mathbb{Z}/2$ opérant sans point fixe, tel que $X/G$ n'existe pas. Soit $L$ une extension de $k$ sur laquelle $G$ opère fidèlement, pt fixe $K = L^G$, faisant opérer $G$ diagonalement sur $X \otimes_k L / L$, […] […] […] sur $X \otimes_k L/L$ une donnée de descente relativement par $L/K$. Je dis que la question n'existe pas, i.e. la donnée n'est pas effective. En effet, si le quotient existait il existerait un […] […] conservation des […] ⌜de $K$⌝ […] $L$, \[\text{\struck{$(X\otimes_k L)\otimes_K L = X\otimes_k(L\otimes_K L)$}} = X\otimes_k L\] fin de page très surchargée : ratures et traits de renvoi entremêlés ; la suite passe à la page 35.

35il y a deux […] de une trajectoire $\Gamma$ fermée de $G$ dans $X$ qui n'est pas contenue dans un ouvert affine. Les ouverts affines invariants de $X$ contenant une trajectoire des distinctes ou deux à deux […] […] $X \otimes_k L = X_L$ formeraient une […] ⌜[…]⌝ famille […] […] n'ont aucun […] […] […]. Ce n'est une trajectoire sous $G \times 1$. De plus, un […] […] $L \times G$ opérant […] […], ses opérations […] diagonales de $G$ […] […] […] […] $G \times 1$.

Corollaire $\underline{\operatorname{Hom}}_{\struck{\ill{}}/K}(\operatorname{Spec}(L), X_{(L)})$ n'existe pas. A fortiori $\underline{\operatorname{Hom}}_K(\operatorname{Spec}(L), X_{(L)})$ n'existe pas.

On peut étendre par ceci cet exemple […] $K$ […]. page rapide : les formules et le corollaire se lisent, la prose qui les relie à peine ; le bas de la page est blanc.

36nouveau plan, numéroté par paragraphes. En haut à gauche, un cadre barré de hachures croisées contient « $\dim Y/X = d$, $\dim X/S = \delta$ » et, en bas, « $x_1 \ldots x_\delta$, $y_1 \ldots y_d$ » ; la marge gauche porte, en travers, des notes serrées qu'on ne lit que par fragments.

§ 1Descente ⌜d'objets plats⌝ par morphismes quelconques
§ 2Descente d'objets quelconques par morphismes plats. intervertir ? une accolade réunit § 2 et § 3.
§ 3Application ⌜du § 1⌝ aux morphismes non ramifiés
§ 4Cas particuliers élémentaires : Espaces $X/G$, descente galoisienne non ramifiée, le contre-exemple de Nagata. Interprétation de la descente plate finie par opérateurs différentiels. Cas de Cartier.
§ 5$\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$ et $f_*(X)$ : formalisme général, cas d'existence pour $X$ fini et plat sur $S$. [Est lié : la descente par […] deux conditions a) Existence de $\underline{\operatorname{Hom}}$ si $X \to S$ est fini localement libre ? […] fini et plat — b) Relations entre l'existence de $f_*(X)$, $\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y)$, et la possibilité de descente.] Notations : $\check{\mathbb{V}}(\mathcal{F})$ etc.
§ 6Application aux schémas $\underline{\operatorname{Hom}}$ : la géométrie différentielle, les Picard, Greenberg, l'algèbre commutative etc.
§ 7Hypo[…]thèses sur $S$. Critère de représentabilité. [y inclus aussi le critère général d'existence : par théorie des modules formels]
§ 8([…]) ⌜Théorème⌝ fondamental d'existence A) Théorie formelle des modules. Extension des solutions … B) $f_*(X)$ si $X$ projectif sur $Y$, $Y$ plat et propre sur $S$. C) Picard.
§ 9[Critères de simplicité, de propreté, de platitude ?]
§ 10numéro sans intitulé.

« § 8 » est récrit sur un « 9 » ; une accolade réunit § 8 à § 10, avec en marge « ensemble ? ». Les numéros § 9 et § 10 sont alignés à gauche de B) et C) ; leur rattachement exact à ces lignes n'est pas sûr.

37Proposition Soit $f : T \to S$ un morphisme fini localement libre, et soit […] $\mathcal{F}$ un faisceau ⌜qu. coh.⌝ localement libre sur $T$, de sorte que $f_*(\mathcal{F})$ est un faisceau ⌜qu. coh.⌝ localement libre sur $S$. Alors, on a un isomorphisme fonctoriel \[\boxed{\, f_*\bigl(\check{\underline{\mathbb{V}}}(\mathcal{F})\bigr) = \check{\underline{\mathbb{V}}}\bigl(f_*(\mathcal{F})\bigr) \,}\] [cet isomorphisme est compatible avec les opérations de ⌜restriction⌝ image inverse, ⌜localisation⌝]. le reste de la page est blanc.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"] \\
Y = \operatorname{Spec}(\mathcal{O})
\end{tikzcd}

$f$ ⌜plat et⌝ propre, $Y$ schéma noethérien local, $F$ cohérent sur $Y$, $F = \widetilde{M}$, $F' = f^*(F)$, $F'_1 \subset F'$ un sous-faisceau cohérent. […] Je dis qu'il y a un plus petit sous-faisceau ⌜cohérent⌝ $F_1$ de $F$ tel que $f^*(F_1) \supset F'_1$. une flèche relie « $F'_1 \subset F'$ » à « sous-faisceau cohérent ».

Mais si $f^*(F_1)$ et $f^*(F_2) \supset F'_1$, alors $f^*(F_1 \cap F_2) = f^*(F_1) \cap f^*(F_2) \supset F'_1$ platitude de $f$ « platitude de $f$ » est écrit sous l'égalité, reliée à elle par une accolade. Les $F_i \subset F$ tels que $f^*(F_i) \supset F'_1$ […] forment un ensemble filtrant décroissant. […] Il suffit de prouver que si $F_1 = \bigcap F_i$, alors $f^*(F_1) \supset F'_1$, i.e. l'image de $F'_1$ dans $F' / f^*(F_1) = f^*(F/F_1)$ est nulle. Remplaçant $F$ par $F/F_1$, on peut supposer que $\bigcap F_i = 0$, alors que les faisceaux […] ⌜images⌝ de $F'_1$ contenus dans $\bigcap f^*(F_i)$ sont nuls [est-il vrai que $\bigcap f^*(F_i) = 0$ ?] $\bigcap f^*(F_i) = 0$ ($f$ propre […], les $F_i$ forment décroissant dans $F$ cohérent, $Y$ local et noethérien). Comme $f$ […], les $F'_1 = \bigcap f^*(\ill{})$ de Plat $S$ une section […]

$F'_1$ est fermé, il suffit de prouver qu'il est nul sur $f^{-1}(y)$ ($y$ = point fermé de $Y$) donc de prouver que si $s$ est une section de $F'_1$ sur un ouvert $U$, […] […] […] […] ([…] $x \in f^{-1}(y)$). $\mathcal{O}_x$ […] […] […] $\bigcap M_i = 0$, en $M_i$ tendant vers $0$ dans $M$ (?)

la marge gauche porte, en travers et dans un cadre arrondi, une note « N.B. » : « Faut-il supposer $M$, […] […] […] $M_i \subset M$, […] […] […], $\bigcap M_i =$ […] […] […] … […] [il suffit […] […]] $f^*(\bigcap F_i) = \bigcap f^*(F_i)$ ? » ; dessous, « Avec plus de conditions » et une flèche. La lecture n'en est que fragmentaire.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X \arrow[d] & \\
S & T \arrow[l, "f"'] & X \times_S S' \arrow[ul] \arrow[dl] \\
S' \arrow[u] & S' \times_S T = T' \arrow[l, "f'"] \arrow[u] \arrow[ur, bend right=20] &
\end{tikzcd}

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X_s \arrow[d] & \\
s & T_s \arrow[l, no head] & \\
 & & X'_{s'} \arrow[uul] \arrow[dl] \\
s' & T'_{s'} \arrow[l, no head] \arrow[uu] &
\end{tikzcd}

deux schémas en marge gauche, redessinés ici sans garantie sur toutes les pointes ; dans le premier, une flèche $S' \to S$ et l'arc $T' \to X\times_S S'$ sont surchargés.

Proposition 2 Supposons que $f_*(X/T)$ existe, et que pour tout $s \in S$, […] toute réalisation de $X_s/T_s$ ⌜sur⌝ définie sur une extension finie [quelconque] de $k(s)$, soit « contenue » dans un […] $U_i$ des $U_i$ ($U_i$, famille […] […] […]). Alors $f_*(X/T) \to$ réunion des $f_{i*}(U_i/T)$ ($f_i = f|U_i$) dans le cas « fini » [on suppose $T$ et $X$ de type fini sur $S$ ?]

En effet, soit il suffit de montrer que […] tout […] ⌜point⌝ de $f_*(X/T)$ est dans un des $f_{i*}(U_i/T)$, et il suffit de le voir sur un pt fermé […] […] […] défini sur un corps $K$ sur un $k(s)$, et une ⌜réalisation⌝ section définie sur $K$ de $X_s$ sur $T_s$. On peut définie sur […] $K$ fini sur $k(s)$, vu les hyp. de finitude précédentes. […] […] […] […] comme des hyp. […] […] cas.

[…] Il provient donc […] […] par les réalisations ⌜multi⌝.

Corollaire ⌜Proposition 2 bis⌝ remplace prop. 2 Supposons que pour toute extension finie (comp.…) $X_s/T_s$ admette une […] de $k(s)$ soit contenue dans, (quelconque) $K'$ en […] un ouvert affine […] ⌜d'⌝une famille $U_i$. Supposons que les $f_{i*}(U_i/T)$ existent, alors il en est de même de $f_*(X/T)$. page rapide ; la proposition 2 bis est le titre « Corollaire » biffé deux fois et remplacé en interligne.

40Démonstration. Les conditions suffisantes sont les mêmes, si les $f_{i*}(U_i/T)$ existent. Alors, il s'ensuit que […] […] les $f_{i*}(U_i) \to f_*(U_j)$. Les conditions de recollement sont satisfaites vérifiées, de là un préschéma $\underline{H}$ sur $S$, […] réunion des […] $H_i \simeq f_*(U_i/T)$. Les définit par les morphismes universels $T$-linéaires universels $H_i \times T \to U_i$, \[H \times_S T \longrightarrow X ,\] je dis que ce dernier est universel, i.e. […] $H$ représente $f_*(X/T)$. Par définition, les morphismes $H_i \to H$ et les […] […] […] $H \times_S T$ […] […] […] […] Soit […] […] […] Pour cela, soit $S' \to S$ […] […] […], […] faut prouver On doit montrer \[\underline{\operatorname{Hom}}_S(S', H) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Hom}}_T(S' \times_S T, X) .\] On peut supposer $S = S'$. Les deux […] sont des faisceaux pour la topologie de Zariski […] […], il suffit de prouver que les deux ont mêmes sections : […] bijection, on se ramène au cas où […] : $S' \to S$ $u : S \to H$ ⌜correspondant⌝ et $T \to X$, alors $S \to T$ définissant le $T \to X$, les images des $T_i$ par […] des ouverts des $U_i$ recouvrent $T$, i.e. il faut prouver \[\underline{\operatorname{Hom}}_S(S, H) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_T(T, X) ,\] soit $\varphi$ une section de $X/T$, […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X \arrow[d] & \\
S & T \arrow[l] & \\
H \arrow[u] & H \times_S T = \bigcup H_i \times_S T \arrow[l] \arrow[u] \arrow[uu, bend right=30] &
\end{tikzcd}

page très surchargée : deux longs traits de renvoi relient les ratures du bas au texte du haut ; un petit croquis (lignes verticales, entre $S$ et $H_i$) est barré dans la marge gauche, qui porte aussi en travers une note illisible (« par définition … $H_i$ … $H \times_S T$ … »). La démonstration se poursuit au-delà du lot.