Fonds Grothendieck, cote n° 91, pages 21–40

le haut de la page achève un argument commencé avant ce lot. Pb Simplifier les démonstrations raisonnements, en éliminant les hypothèses de propreté sur X, Z et le résultat délicat de l'existence de M_{\ill{}}, M_{\ill{}}, en imposant l'hypothèse de régularité suivante? : \operatorname{Hom}\bigl(\omega^{\circ}(\Omega^{1}_{Y_0/S_0}), \mathcal{O}_{X_0}\otimes G\bigr) \longrightarrow \operatorname{Hom}\bigl(\omega^{\circ}(\Omega^{1}_{X_0/S_0}), \mathcal{O}_{Z_0}\otimes G\bigr) injectif pour tout G quasi-cohérent sur S_0.

toute la suite de la page est biffée de deux longs traits obliques ; on en donne ce qui se lit. En marge, au crayon et entouré : « SGA 3 III 4.2 ».

~~Prop.~~ Le critère géométrique, on a : ceci. S étant local point générique y, S_0 d'un idéal I de carré nul, (), disons S_0 = V(J), et u_0 : X_0 \to Y_0 avec v_0 = u_0\varphi_0, pour que cette condition, prenons d'un voisinage l'obstruction S'_{0_s} \supset S_{0_s} donné, condition ( ) v étant la question immédiate, obstruction ~~[cf. \operatorname{Ext}^{1}_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0; \underline{I}_{\Gamma_0}, \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J)]~~

S unité muni d'un idéal loc. nilp. de carré nul J, Z \xrightarrow{v} X, Y sur S d'où v_0 : Z_0 \to X_0, Y_0 sur S_0 le petit ajout entouré « d'où v_0 : Z_0 \to X_0, Y_0 sur S_0 » est écrit en haut à droite, sous Z \to X, Y.

S_0 = V(J),

u_0 : X_0 \to Y_0 tel que u_0\varphi_0 = v_0.

On va étudier l'obstruction à relever u_0 en u : X \to Y [tel que u\varphi = v]. À priori, ~~l'obstruction à relever~~ les relèvements de u_0 comme , condition supplémentaire u\varphi = v) , correspondant aux splittings d'une extension sur P_0 cf. l'obstruction ce que revient à l'idée d'un u : J \to G, puis localisation … 0 \to \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J \to E \to \underline{I}_{\Gamma_0} \to 0 . SGA 3 III 4.2 la référence « SGA 3 III 4.2 », au crayon et entourée, est reliée par un trait à « les relèvements » de la ligne suivante. Les relèvements fixant v_0 correspondent aux splittings d'une extension sur P'_0 = Z_0 \times_{S_0} Y_0 0 \to \mathcal{O}_{\Gamma'_0}\otimes_{S_0} J \to E' \to \underline{I}_{\Gamma'_0} \to 0 . D'ailleurs, on a évidemment un homomorphisme d'extensions, compatible P'_0 \to P_0

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J \arrow[r] \arrow[d] & E \arrow[r] \arrow[d] & \underline{I}_{\Gamma_0} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \mathcal{O}_{\Gamma'_0}\otimes_{S_0} J \arrow[r] & E' \arrow[r] & \underline{I}_{\Gamma'_0} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

(en fait, E' se déduit de E par extension de la base par P'_0 \to P_0

\begin{tikzcd}[row sep=small] & P_0 \arrow[d] \\ Z \arrow[r] & X \end{tikzcd}

; il faut préciser \varphi ]. ~~Conditions, puisque~~ D'ailleurs, la signifie que l'image d'un splitting, la relation les splittings de la première compatibles celui donné pour la seconde.

Ceci fait, regardons, pour G quasi-cohérent variable sur S_0, les foncteurs \underline{\operatorname{Ext}}^{1}(\ , \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} G), q'_{*}\underline{\operatorname{Ext}}^{1}(\ , \mathcal{O}_{\Gamma'_0}\otimes_{S_0} G) relatifs aux deux lignes, on trouve (via les théorèmes de représentabilité) un diagramme commutatif de suites exactes (D)

\begin{tikzcd} & L \arrow[r, "i"] & M \arrow[r, "j"] & N \arrow[r] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L' \arrow[r, "i'"] \arrow[u, leftrightarrow, "\alpha"'] & M' \arrow[r, "j'"] \arrow[u, leftrightarrow, "\beta"'] & N' \arrow[r] \arrow[u, "\gamma"'] & 0 \end{tikzcd}

les flèches verticales \alpha et \beta portent une pointe à chaque bout : une pointe vers le bas semble surchargée d'une pointe vers le haut ; \gamma monte. On garde les deux pointes.

de plus, un homomorphisme can. \sigma

\begin{tikzcd}[row sep=small] & & L \arrow[dll, "\sigma"'] \\ J \arrow[d, dashed, "\lambda"'] & & L' \arrow[u, "\alpha"'] \\ G & & \end{tikzcd}

J, L, L' et la flèche \sigma sont entourés d'un même trait ; la flèche pointillée J \to G est ajoutée en dessous, et la lettre près de J (lue \lambda) est surchargée.

correspondant à l'identité \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J \to \mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0} J (J = G), et un splitting M' \xrightarrow{\pi'} L' de la deuxième ligne

L' \xleftarrow{\ \pi'\ } M' .

Ceci étant, pour un \lambda : J \to G donné , les relations i.e. tels que les relations , les homom. M \xrightarrow{\mu} G qui relèvent i.e. \boxed{\mu i = \lambda\sigma} L \xrightarrow{\lambda\sigma} G, et tels que \mu\beta = (\lambda\sigma\alpha)\pi' . Pour qu'il en existe un, condition de non ramification de u_0 il f. et s. que

1°)

(\lambda\sigma)(\operatorname{Ker} i) = 0 i.e. \lambda(R_1) = 0, où R_1 = \sigma(\operatorname{Ker} i) Alors on peut remplacer L par L/\operatorname{Ker} i

~~[i.e. \lambda se factorise \bar\lambda : \bar J = J/R_1 \to G]~~

2°)[Tenant compte que \gamma est injectif] \lambda\sigma\alpha\pi' nulle sur \operatorname{Ker}\beta, i.e. \lambda(R_2) = 0, où R_2 = \sigma\alpha\pi'(\operatorname{Ker}\beta).

la suite (une éventuelle troisième condition) passe à la page suivante.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \operatorname{Ker} i \arrow[rr, dashed] \arrow[d] & & L \arrow[dll, dashed] & \\ J & & L' \arrow[ll, dashed] \arrow[u, dashed, "?"'] & M' \arrow[l, dashed] \\ & & & \operatorname{Ker}\beta \arrow[u, dashed] \arrow[ulll, bend left=10] \end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche pointillée L' \to L est peu lisible (« 2 » ?).

le diagramme suivant est encadré, à droite du précédent.

\begin{tikzcd} L + M' \arrow[r, two heads, "{(i,\beta)}"] \arrow[d, "{(\sigma,\, \sigma\alpha\pi') = \rho}"'] & M \arrow[ddl, dashed, "\mu"] \\ J \arrow[d, "\lambda"'] & \\ G & \end{tikzcd}

Surj. (entouré, sous (i,\beta)) : condition de non ramification. Le foncteur en G est repr. par \operatorname{Coker}\rho, dont la formation commute à tout chgt de base.

En résumé, opération qui précède \lambda sur R = R_1 + R_2, l'annulation de \lambda sur revient à la factorisation de \lambda par J/R \to G. D'ailleurs, la formation des quotients ainsi obtenus J/R de J commute à l'extension plate de la base S [ou générale : à la localisation]. Ceci donne la validité des conditions 7° 7° et 8°. « 7° » est récrit par-dessus un premier chiffre ; ces numéros renvoient à une liste de conditions qui n'est pas dans ce lot.

ici une ligne biffée, illisible, puis un trait horizontal.

Corollaire Soient P/X/k sur k alg. clos(déjà non trivial !), X propre sur k, P/X loc. de ~~présentation~~ type fini. Alors \prod_{X/k} P/X représentable par préschéma loc. de type fini.

Si P/X quasi-projectif à fibres qu.-pr. ou seulement à fibres quasi-projectives, alors \prod_{X/k} P/k essentiellement quasi-projectif [i.e. ses composantes connexes sont quasi-projectif sur k], dès que \forall x \in \mathcal{O}_X, \exists y \in \bar{x} tel que il suffit que la fibre P_y soit quasi-projective. la fin de la page est surchargée : un ajout interlinéaire (« il suffit que la fibre P_y soit quasi-projective ») semble remplacer la fin de la phrase.

Corollaire 1 : est contenu dans le suivant :

Théorème X propre et plat de prés. finie sur S ~~localement~~, P/X loc. de présentation finie sur X, Z_1, \ldots, Z_n des sous-préschémas fermés de X, plats et de présentation finie sur S. On suppose

(a)Pour tout i, \prod_{Z_i/S} P_{Z_i}/Z_i représentable [p. ex. Z_i/S radiciels, ou Z_i/S et P_{Z_i}/Z_i projectifs] (b)Pour tout i, X est normalement plat le long de Z_i [p. ex. Z_i simples/S et X/S simple au voisinage de Z_i] (c)Pour tout s \in S, et tout x \in ~~Ass~~ \mathcal{O}_{X_{\bar s}}, il existe i tel que Z_{i\bar s} \cap \bar{x} \neq \emptyset, i.e. (\bigcup Z_i)_{\bar s} \cap \bar{x} \neq \emptyset [\bar s = \operatorname{Spec} k(\bar s)]

Sous ces conditions,

(i)\prod_{X/S} P/X est représentable par un préschéma loc. de ~~type~~ présentation finie et ~~séparé~~ sur S (ii)~~Si de plus~~ Pour toute partie ouverte quasi-compacte U de \prod_{X/S} P/X, (qui est quasi-séparé) , le morphisme U \longrightarrow \prod_{1\le i\le n} \text{\struck{\ill{}}} \prod_{Z_i/S} P_{Z_i}/Z_i est quasi-affine. (iii)Par suite, si les \prod_{Z_i/S} P_{Z_i}/Z_i sont sur S quasi-projectifs, p. ex. Z_i/S finis et P_{Z_i}/Z_i projectifs, alors toute partie quasi-compacte de \prod_{X/S} P/X est quasi-projective sur S [de façon précise, il existe un Module inversible L sur \prod_{X/S} P/X qui est ample /S]

le mot ajouté au-dessus de « quasi-compacte » au (ii), lu « ouverte », et l'ajout entouré « quasi-séparé » sont peu sûrs ; une ligne biffée suit dans l'interligne. Au bas de la page, quelques mots serrés, illisibles, achèvent le crochet du (iii).

Pb Les composantes connexes de \prod_{X/k} P/X sont-elles de type fini sur k ?

Corollaire 2 Supposons, pour P/X/k, X propre sur k, , P/X loc. de type fini, k corps (pas nécessairement alg. clos) que pour tout x_i \in \operatorname{Ass}\mathcal{O}_X, \exists\, x'_i \in \bar{x} tels que k(x'_i)/k radiciel. [plus généralement, tels que \prod_{k(x'_i)/k} P_{x'_i}/k(x'_i) représentable] Alors \prod_{X/k} P/X représentable. P. ex. si X ~~lisse~~ réduit irréductible aux ~~irréductible~~ ~~géométriquement~~, et a un point x rationnel sur k , \prod_{X/k} P/X existe. Si les P_{x_i} sont quasi-projectifs, alors \prod_{X/k} P/X est essentiellement quasi-projectif.

Corollaire 3 P/X/k X/k comme dessus. Alors \exists\, k'/k extension finie séparable, telle que \prod_{X'/k'} P'/X' représentable. les deux derniers corollaires sont encadrés à droite d'un long crochet.

Corollaire 4 Si P/X à fibres quasi-projectives, et X/k propre , dans \prod_{X/k} P/X existe et est ess. qu.-proj. (Comparer : Cor. 1)

Corollaire 5 P/X/S, X propre et plat sur S noeth. intègre, P/X loc. de type fini. Alors \exists ~~voisinage~~ U \neq \emptyset, et morphisme fini étale surjectif U' \to U, tel que \prod_{X_{U'}/U'} P_{U'}/X_{U'} représentable. Si X géométriquement la condition énoncée dans Cor. 2, peut prendre U' = U

la marge gauche porte, en travers, des notes serrées et en partie biffées, qu'on ne lit que par fragments : « P/X ??? » et « P/X simple ?? » ; dans la marge du haut, un petit tableau de traits verticaux et de mots (« différents ») reste illisible.

Corollaire 6 P/X/S, avec X \to S propre plat : fibres géométriques intègres. Supposons qu'il existe une section \sigma de X/S ~~et P/X~~ le long de laquelle X/S lisse. Alors \prod_{X/S} P/X représentable. Si P \times_X (S,\sigma) est quasi-projectif, \prod_{X/S} P/X est essentiellement quasi-projectif. le chiffre de « Corollaire 6 » est écrit par-dessus un « 5 ».

Corollaire 7 P/X/S, avec X \to S simple propre ~~[Comme dessus, P/X fibres géométriques intègres]~~ Alors \prod_{X/S} P/X est localement représentable pour la topologie étale.

Remarque sur la top. étale pour 2 top. (fid. plat quasi-fini), le résultat demeure valable sans supposer X \to S simple, mais seulement propre, plat, à fibres ~~géométriquement intègres~~ sans cycles immergés, par essentiellement la même démonstration.

Corollaire 8 X et Y propres sur corps k. Alors \underline{\operatorname{Isom}}_k(X,Y) est représentable. En particulier, \underline{\operatorname{Aut}}_k(X) est représentable.

Corollaire 9 Soit X/S propre et plat sur S noethérien intègre. Alors \exists\, U non vide, et U' \to U fini étale surjectif ~~et U' \to U fini~~ tel que \underline{\operatorname{Aut}}_S(X) \times_S U' soit représentable.

cf. Raynaud Il est plausible qu'on puisse même prendre U' = U, c'est-à-dire à une question d'effectivité de descente …. la note « cf. Raynaud » est au crayon, dans la marge gauche ; le reste de la page est blanc.

pp. 30–31 : lettre dactylographiée, en anglais, à Anantharaman, datée à la main « 11.9.1967 » ; on la transcrit telle qu'elle est tapée, fautes de frappe comprises, et sans la signature, absente.

11.9.1967

Dear Anantharaman,

Matsumura proved that if X is proper over a field k, then \underline{\operatorname{Aut}}_{X/k} is representable by a group scheme locally of finite type over k. I think I can systematize the key step of his argument in the following way. Consider a scheme S, and a morphism \phi : Z \longrightarrow X of S-schémes which are proper, flat and of finite presentation. Let Y be locally of finite presentation and separated over S, then \phi induces a homomorphisme of functors u \rightsquigarrow u\phi : \phi' : \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_S(Z,Y) . Then one can define a subfunctor of \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) where \phi' is ``unramified'' in a rather obvious sense, and this turns out to be an ``open subfunctor'', say \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y;\phi). Now look at the induced homomorphism \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y;\phi) \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_S(Z,Y) . Using the main result of Murre's talk, one can prove that the latter morphism is representable by unramified separated morphisms locally of finite presentation; as a consequence, if \underline{\operatorname{Hom}}_S(Z,Y) is representable, so is \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y;\phi).

To get, given X and Y, a representability theorem for \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y), ~~onge~~ one tries to find morphisms \phi_i : Z_i \to X as above, such that the open subfunctors \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y;\phi_i) cover \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) (as a fpqc sheaf), and such that the functors \underline{\operatorname{Hom}}_S(Z_i,Y) are all representable. If for instance S is the spectrum of a field k, and if X has ``enough'' points radicial over k (which is always true if k is alg. closed) then we can take for Z_i all finite subschemes of X whose points are radicial over k, and we get

that \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) is representable (any Y locally of finite presentation and separated over k); if we do not make any assumption on X except properness over k, the previous assumption becomes true after finite ground-field extension k'/k, so that we get that for every Y as above, \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) \times_S \operatorname{Spec}(k') is representable. From this Matsumura's theorem stated at the beginning follows in a standart way by descebt arguments. The result holds too for \underline{\operatorname{Isom}}_k(X,Y) instead of \underline{\operatorname{Aut}}_k(X), but as you probably know, \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) is not always representable, even if X is a quadratic extension of S = \operatorname{Spec} k, Y being proper non projective.

Over an arbitrary base S, one can give a fairly general statement of a representability theorem, the points radicial over k used above being replaced by suitable flat subschemes of X. As ~~applications~~ particular cases, we get for instance that if X has integral geometric fibers and a section along which X is smooth, then \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) is representable; and if X has reduced geometric fibers, then \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) is representable locally for the étale topology over S. Also, if Y is quasi-projective over S = \operatorname{Spec} k, then \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) is representable.

To fix the ideas, I gave the statements for \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y), but one has quite analoguous resultst of course for the \prod_{X/S} P/X fonctors, which I guess will imply rather formally the other ones.

If you are interested, I can send you a photocopy of the statement of the general theorem of representability I alluded to above, and a couple of corollaries (I already listed here the most striking ones).

Sincerely your's « and separated » est ajouté à l'encre ; « particular cases » et « along which X is smooth, » sont tapés dans l'interligne et reliés au texte par un trait.

Schémas Hom etc et 1.Formalisme des \underline{\operatorname{Hom}} et \prod_{S'/S} 2. ~~de Greenberg~~ ~~Généralités~~ Foncteurs de Serre-Lang et de Greenberg. Extension \underline{W}^{\cdot}(X) : 3.Cas \underline{W}^{\circ}(X) Th. 4.Existence : Résultats Th. 5.Application aux immersions, morphismes de type fini, Atiyah(?) 6.Cas des morphismes quasi-projectifs Th. 9.Ap Cas de \prod_{S'/S}, S' \to S étale. reporter à la fin 7.Cas des morphismes simples, et des morphismes étales. Th. [8]Application aux morphismes S' \to S quasi-étales [i.e. loc. ]. Th. [10]Compléments dans le cas de Greenberg [platitude \underline{W}].

plan d'un exposé. Une flèche part du « 9 » et descend jusqu'après le [10] : la rubrique 9 est sans doute à reporter en fin de plan. Le « 7 » est récrit sur un autre chiffre. « Th. » en fin de ligne semble marquer les rubriques qui comportent un théorème.

\begin{tikzcd} & X \arrow[d] \arrow[dl, dashed, "\varphi"'] & Y \arrow[dl] & \\ S & T \arrow[l, "f"'] & T \times_S T \arrow[l, bend right=15, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[l, bend left=15, "\mathrm{pr}_2"] \arrow[ll, bend left=40, "g"] & \end{tikzcd}

dans l'original la flèche X \to T et la flèche pointillée \varphi : X \to S partent toutes deux de X ; Y descend sur T ; g : T\times_S T \to S est un arc passant sous T.

\begin{align*} f_*(X/T) &= \underline{\operatorname{Hom}}_{T/S}(T/S, X/S) \\ f_*(X/T) &= \underline{\operatorname{Hom}}_S(T,X) \times_{\underline{\operatorname{Hom}}_S(T,T)} S \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{T/S}(X/T, Y/T) &= f_*\bigl(\underline{\operatorname{Hom}}_T(X,Y)\bigr) \\ \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) &= \varphi_*(X \times Y / X) \\ \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) &= \underline{\operatorname{Hom}}_{S/S}(X/S, Y/S) \end{align*}

Si X est muni d'une donnée de descente : S [et si on veut, les conditions d'unicité …], et si f_*(X) existe, alors l'objet descendu X_0 existe aussi, et on aura X_0 = f_*(X) \times_{g_*(X \times_S T)} f_*(X) .

Contre-exemple de Nagata : schéma algébrique simple X distinctes sur un corps alg. clos k, avec groupe G \simeq \mathbb{Z}/2 opérant sans point fixe, tel que X/G n'existe pas. Soit L une extension de k sur laquelle G opère fidèlement, ~~pt fixe~~ K = L^G, faisant opérer G diagonalement sur X \otimes_k L / L, sur X \otimes_k L/L une donnée de descente relativement par L/K. Je dis que la question n'existe pas, i.e. la donnée n'est pas effective. En effet, ~~si le quotient existait~~ il ~~existerait un conservation des~~ de K L, \text{\struck{$(X\otimes_k L)\otimes_K L = X\otimes_k(L\otimes_K L)$}} = X\otimes_k L fin de page très surchargée : ratures et traits de renvoi entremêlés ; la suite passe à la page 35.

il y a ~~deux de~~ une trajectoire \Gamma fermée de G dans X qui n'est pas contenue dans un ouvert affine. Les ouverts affines invariants de X contenant une trajectoire des distinctes ou deux à deux X \otimes_k L = X_L formeraient une famille n'ont aucun . Ce n'est une trajectoire sous G \times 1. De plus, un L \times G opérant , ses opérations diagonales de G G \times 1.

Corollaire \underline{\operatorname{Hom}}_{\struck{\ill{}}/K}(\operatorname{Spec}(L), X_{(L)}) n'existe pas. A fortiori \underline{\operatorname{Hom}}_K(\operatorname{Spec}(L), X_{(L)}) n'existe pas.

On peut étendre par ceci cet exemple K . page rapide : les formules et le corollaire se lisent, la prose qui les relie à peine ; le bas de la page est blanc.

nouveau plan, numéroté par paragraphes. En haut à gauche, un cadre barré de hachures croisées contient « \dim Y/X = d, \dim X/S = \delta » et, en bas, « x_1 \ldots x_\delta, y_1 \ldots y_d » ; la marge gauche porte, en travers, des notes serrées qu'on ne lit que par fragments.

§ 1Descente d'objets plats par morphismes quelconques § 2Descente d'objets quelconques par morphismes plats. intervertir ? une accolade réunit § 2 et § 3. § 3Application du § 1 aux morphismes non ramifiés § 4Cas particuliers élémentaires : Espaces X/G, descente galoisienne non ramifiée, le contre-exemple de Nagata. Interprétation de la descente plate finie par opérateurs différentiels. Cas de Cartier. § 5\underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y) et f_*(X) : formalisme général, cas d'existence pour X fini et plat sur S. [Est lié : la descente par deux conditions a) Existence de \underline{\operatorname{Hom}} si X \to S est fini localement libre ? fini et plat — b) Relations entre l'existence de f_*(X), \underline{\operatorname{Hom}}_S(X,Y), et la possibilité de descente.] Notations : \check{\mathbb{V}}(\mathcal{F}) etc. § 6Application aux schémas \underline{\operatorname{Hom}} : la géométrie différentielle, les Picard, Greenberg, l'algèbre commutative etc. § 7Hypothèses sur S. Critère de représentabilité. [y inclus aussi le critère général d'existence : par théorie des modules formels] § 8() Théorème fondamental d'existence A) Théorie formelle des modules. Extension des solutions … B) f_*(X) si X projectif sur Y, Y plat et propre sur S. C) Picard. § 9[Critères de simplicité, de propreté, de platitude ?] § 10numéro sans intitulé.

« § 8 » est récrit sur un « 9 » ; une accolade réunit § 8 à § 10, avec en marge « ensemble ? ». Les numéros § 9 et § 10 sont alignés à gauche de B) et C) ; leur rattachement exact à ces lignes n'est pas sûr.

Proposition Soit f : T \to S un morphisme fini localement libre, et soit \mathcal{F} un faisceau qu. coh. localement libre sur T, de sorte que f_*(\mathcal{F}) est un faisceau qu. coh. localement libre sur S. Alors, on a un isomorphisme fonctoriel \boxed{\, f_*\bigl(\check{\underline{\mathbb{V}}}(\mathcal{F})\bigr) = \check{\underline{\mathbb{V}}}\bigl(f_*(\mathcal{F})\bigr) \,} [cet isomorphisme est compatible avec les opérations de restriction image inverse, localisation]. le reste de la page est blanc.

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] \\ Y = \operatorname{Spec}(\mathcal{O}) \end{tikzcd}

f plat et propre, Y schéma noethérien local, F cohérent sur Y, F = \widetilde{M}, F' = f^*(F), F'_1 \subset F' un sous-faisceau cohérent. Je dis qu'il y a un plus petit sous-faisceau cohérent F_1 de F tel que f^*(F_1) \supset F'_1. une flèche relie « F'_1 \subset F' » à « sous-faisceau cohérent ».

Mais si f^*(F_1) et f^*(F_2) \supset F'_1, alors f^*(F_1 \cap F_2) = f^*(F_1) \cap f^*(F_2) \supset F'_1 platitude de f « platitude de f » est écrit sous l'égalité, reliée à elle par une accolade. Les F_i \subset F tels que f^*(F_i) \supset F'_1 forment un ensemble filtrant décroissant. Il suffit de prouver que si F_1 = \bigcap F_i, alors f^*(F_1) \supset F'_1, i.e. l'image de F'_1 dans F' / f^*(F_1) = f^*(F/F_1) est nulle. Remplaçant F par F/F_1, on peut supposer que \bigcap F_i = 0, alors que les faisceaux images de F'_1 contenus dans \bigcap f^*(F_i) sont nuls [est-il vrai que \bigcap f^*(F_i) = 0 ?] ~~\bigcap f^*(F_i) = 0~~ (f propre , les F_i forment décroissant dans F cohérent, Y local et noethérien). ~~Comme f , les F'_1 = \bigcap f^*(\ill{}) de~~ ~~Plat S une section~~

F'_1 est fermé, il suffit de prouver qu'il est nul sur f^{-1}(y) (y = point fermé de Y) donc de prouver que si s est une section de F'_1 sur un ouvert U, ( x \in f^{-1}(y)). \mathcal{O}_x \bigcap M_i = 0, en M_i tendant vers 0 dans M (?)

la marge gauche porte, en travers et dans un cadre arrondi, une note « N.B. » : « Faut-il supposer M, M_i \subset M, , \bigcap M_i = … [il suffit ] f^*(\bigcap F_i) = \bigcap f^*(F_i) ? » ; dessous, « Avec plus de conditions » et une flèche. La lecture n'en est que fragmentaire.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X \arrow[d] & \\ S & T \arrow[l, "f"'] & X \times_S S' \arrow[ul] \arrow[dl] \\ S' \arrow[u] & S' \times_S T = T' \arrow[l, "f'"] \arrow[u] \arrow[ur, bend right=20] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_s \arrow[d] & \\ s & T_s \arrow[l, no head] & \\ & & X'_{s'} \arrow[uul] \arrow[dl] \\ s' & T'_{s'} \arrow[l, no head] \arrow[uu] & \end{tikzcd}

deux schémas en marge gauche, redessinés ici sans garantie sur toutes les pointes ; dans le premier, une flèche S' \to S et l'arc T' \to X\times_S S' sont surchargés.

Proposition 2 Supposons que f_*(X/T) existe, et que pour tout s \in S, toute réalisation de X_s/T_s sur définie sur une extension finie [quelconque] de k(s), soit « contenue » dans un U_i des U_i (U_i, famille ). Alors f_*(X/T) \to réunion des f_{i*}(U_i/T) (f_i = f|U_i) dans le cas « fini » [on suppose T et X de type fini sur S ?]

En effet, ~~soit~~ il suffit de montrer que tout point de f_*(X/T) est dans un des f_{i*}(U_i/T), et il suffit de le voir sur un pt fermé défini sur un corps K sur un k(s), et une réalisation section définie sur K de X_s sur T_s. On peut ~~définie sur~~ K fini sur k(s), vu les hyp. de finitude précédentes. comme des hyp. cas.

Il provient donc par les réalisations multi.

~~Corollaire~~ Proposition 2 bis remplace prop. 2 Supposons que pour toute extension finie (comp.…) X_s/T_s admette une de k(s) soit contenue dans, (quelconque) K' en un ouvert ~~affine~~ d'une famille U_i. Supposons que les f_{i*}(U_i/T) existent, alors il en est de même de f_*(X/T). page rapide ; la proposition 2 bis est le titre « Corollaire » biffé deux fois et remplacé en interligne.

Démonstration. Les conditions suffisantes sont les mêmes, si les f_{i*}(U_i/T) existent. Alors, il s'ensuit que les f_{i*}(U_i) \to f_*(U_j). Les conditions de recollement sont satisfaites vérifiées, de là un préschéma \underline{H} sur S, réunion des H_i \simeq f_*(U_i/T). Les définit par les morphismes universels T-linéaires ~~universels~~ H_i \times T \to U_i, H \times_S T \longrightarrow X , je dis que ce dernier est universel, i.e. H représente f_*(X/T). Par définition, les morphismes H_i \to H et les H \times_S T Soit ~~Pour cela, soit S' \to S , faut prouver~~ On doit montrer \underline{\operatorname{Hom}}_S(S', H) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Hom}}_T(S' \times_S T, X) . On peut supposer S = S'. Les deux sont des faisceaux pour la topologie de Zariski , il suffit de prouver que les deux ont mêmes sections : bijection, on se ramène au cas où : ~~S' \to S~~ u : S \to H correspondant et T \to X, alors ~~S \to T~~ définissant le T \to X, les images des T_i par des ~~ouverts~~ des U_i recouvrent T, i.e. il faut prouver \underline{\operatorname{Hom}}_S(S, H) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_T(T, X) , soit \varphi une section de X/T,

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X \arrow[d] & \\ S & T \arrow[l] & \\ H \arrow[u] & H \times_S T = \bigcup H_i \times_S T \arrow[l] \arrow[u] \arrow[uu, bend right=30] & \end{tikzcd}

page très surchargée : deux longs traits de renvoi relient les ratures du bas au texte du haut ; un petit croquis (lignes verticales, entre S et H_i) est barré dans la marge gauche, qui porte aussi en travers une note illisible (« par définition … H_i … H \times_S T … »). La démonstration se poursuit au-delà du lot.