Cote n° 90 · batch 2 · pages 21–24 · Transcription · KG (X) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964]
Édition de démonstration

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21\(M \mapsto \widetilde{M}\) en sens inverse (ils sont adjoints …) et le composé est \(E \mapsto \widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(E)}\) est isom. à l'identité, ce qui montre que \(\underline{\Gamma}^{\cdot}\) est pleinement fidèle. « (ils sont adjoints …) » est ajouté en interligne et rattaché par un trait après « en sens inverse ».

\(F\) correspond à un sous-[…]\(A^{\cdot}\)-module \(\Gamma^{\cdot}(F)\) de \(\Gamma^{\cdot}(E)\), […] à priori stable par action de \(G\). Si \(E' \supset F\) tel que \(F'\) tel que \(F \subset F' \subset E\), \(F'\) stable, […] stable par \(G\) dans \(\Gamma^{\cdot}(F')\) \(\Gamma^{\cdot}(F') \subset \Gamma^{\cdot}(E)\), s'identifie \[\underline{\Gamma}^{\cdot}(F) \subset \underline{\Gamma}^{\cdot}(F') \subset \underline{\Gamma}^{\cdot}(E)\] est […] stable par \(G\). On en conclut qu'il y a un plus petit sous-[…]-module \(N\) de \(\Gamma^{\cdot}(E)\), contenant \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(F)\), et stable par \(G\). un mot court est inséré au-dessus de « sous- », avec un trait de renvoi ; il n'a pas été lu. On voit de suite que \(N\) est un sous-module gradué [[…] […]. \(N \cap \Gamma^{i}(E)\) contient \(\underline{\Gamma}^{i}(F)\), et est stable par \(G\), donc contient le plus petit sous-module \(M^{i}\) de \(\underline{\Gamma}^{i}(E)\) contenant \(\underline{\Gamma}^{i}(F)\) et stable par \(G\), donc \(N\) contient \(\sum M^{i}\), d'où par minimalité lui est ég. ?]. De […], par fonctorialité de la construction de \(N\), on voit que \(N\) est un sous-\(A^{\cdot}\)-module. Considérons alors

22feuillet dactylographié d'EGA IV, paginé à la main « IV-951 », au verso des notes ; texte publié, non recomposé. Il porte la fin de (18.6.7) (le hensélisé \(^{h}\!A\) d'un anneau semi-local possède la propriété universelle de (18.6.6, (ii)) pour les homomorphismes semi-locaux), la Proposition (18.6.8) (\(B \otimes_A {}^{h}\!A\) est une \(B\)-algèbre semi-locale isomorphe à \(^{h}\!B\) pour \(B\) semi-locale et entière sur \(A\)) avec sa démonstration, et le début du Théorème (18.6.9). Les interventions à la plume fine, d'une main que le « ½ » pour semi- rapproche de la sienne sans que l'attribution soit établie :

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23suite directe de la page 21, dont ce feuillet est le suivant ; la page 22, dactylographiée, s'intercale sans rapport avec l'argument. \(\widetilde{N}\), c'est un \(\underline{O}_X\)-\(G\)-module […] \(X\) contenu \(\subset \widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(F')} = F'\), et contenant \(\widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(F)} = F\). « \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(F') =\) » est ajouté en interligne entre « \(\subset\) » et « \(F'\) », ce dernier surchargé. C'est donc le \(F'\) […] faisceau cherché. Par construction, sa formation commute à toute extension plate \(S' \to S\) de la base. Enfin, si \(F\) est de type fini, alors \(\exists\) prouvons que le module \(F'\) l'est. On peut supposer \(S\) affine. Mais \(\exists\) \(n\) tel que \(F(n)\) […] […] engendré par ses sections, soient des donc par des sections \(\varphi_i\) (\(1 \leq i \leq N\)) \(\in \Gamma(S, \underline{\Gamma}^{n}(F))\). Considérons alors le sous-module \(\underline{N}^{n}\) de \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(E)\) engendré par les \(\varphi_i\). Alors \(\widetilde{N}^{\cdot} \subset F\) est un […] faisceau […] \(F\), comme on […] […] de suite. On […] […] […] répéter la construction précédente […] […], […] \(G\)-invariant de \(\underline{\Gamma}^{n}(F)\) engendré par les \(\varphi_i\), soit \(N^{n}\), et le sous-Module de \(E\) qu'il définit. On vérifie quand même que c'est \(\underline{F}'\), ce qui montre que \(F'\) est de type fini…… le passage biffé est enfermé dans un cadre et barré de traits obliques ; le cadre s'arrête avant « \(G\)-invariant ». Rédiger mieux ce début de la démonstration, pour pouvoir y […] […]…

24feuillet dactylographié d'EGA IV, paginé à la main « IV-950 », au verso des notes et précédant le feuillet de la page 22 ; texte publié, non recomposé. Il porte la fin de la démonstration de (18.6.6) — parties (i), (ii), (iv) et (vi) — et (18.6.7), définition du hensélisé d'un anneau semi-local comme produit \(\prod_i {}^{h}(A_{\mathfrak{m}_i})\). Mêmes plume fine et même réserve sur l'attribution que pour la page 22. Les interventions :

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