M \mapsto \widetilde{M} en sens inverse (ils sont adjoints …) et le
composé est E \mapsto \widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(E)} est
isom. à l'identité, ce qui montre que \underline{\Gamma}^{\cdot}
est pleinement fidèle.
« (ils sont adjoints …) » est ajouté en interligne et rattaché par
un trait après « en sens inverse ».
F correspond à un sous-E' \supset F tel que F' tel que F \subset F' \subset E,
F' stable, stable par G dans \Gamma^{\cdot}(F')
\Gamma^{\cdot}(F') \subset \Gamma^{\cdot}(E), s'identifie
\underline{\Gamma}^{\cdot}(F) \subset \underline{\Gamma}^{\cdot}(F')
\subset \underline{\Gamma}^{\cdot}(E)
est stable par G. On en conclut qu'il y a un plus petit
sous--module N de \Gamma^{\cdot}(E), contenant
\underline{\Gamma}^{\cdot}(F), et stable par G.
un mot court est inséré au-dessus de « sous- », avec un trait de
renvoi ; il n'a pas été lu.
On voit de suite que N est un sous-module gradué
[ . N \cap \Gamma^{i}(E) contient \underline{\Gamma}^{i}(F),
et est stable par G, donc contient le plus petit sous-module M^{i} de
\underline{\Gamma}^{i}(E) contenant \underline{\Gamma}^{i}(F) et stable par
G, donc N contient \sum M^{i}, d'où par minimalité
lui est ég. ?]. De , par fonctorialité de la construction de
N, on voit que N est un sous-A^{\cdot}-module. Considérons
alors
feuillet dactylographié d'EGA IV, paginé à la main « IV-951 », au verso
des notes ; texte publié, non recomposé. Il porte la fin de (18.6.7) (le
hensélisé ^{h}\!A d'un anneau semi-local possède la propriété universelle de
(18.6.6, (ii)) pour les homomorphismes semi-locaux), la Proposition (18.6.8)
(B \otimes_A {}^{h}\!A est une B-algèbre semi-locale isomorphe à
^{h}\!B pour B semi-locale et entière sur A) avec sa démonstration, et
le début du Théorème (18.6.9). Les interventions à la plume fine, d'une main
que le « ½ » pour semi- rapproche de la sienne sans que l'attribution
soit établie :
- « homomorphisme local » et « anneau local » :
local est biffé
deux fois et remplacé par semi- en interligne ;
- « l'idéal maximal de B » devient « l'idéal maximal \mathfrak{n}
de B » ;
- le passage « Enfin, ^{h}\!A possède aussi la propriété
universelle … en découle aussitôt » est encadré et barré de traits
obliques, avec en marge : « vider, (la forme hybride ici ne mérite pas le
nom de "propr. universelle") ou bien de "hom ½ locaux" dans
des » ;
- « anneau local hensélien » reçoit la lettre C ; « ayant les
propriétés précédentes » devient « ayant la propriété précédente » ;
- en marge de « d'un problème universel », un mot relié par un trait,
cavalier ;
- le « t » final de « le soit » est complété à la main.
}
suite directe de la page 21, dont ce feuillet est le suivant ; la page 22, dactylographiée, s'intercale sans rapport avec l'argument.
\widetilde{N}, c'est un \underline{O}_X-G-module
X contenu
\subset \widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(F')} = F', et contenant
\widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(F)} = F.
« \underline{\Gamma}^{\cdot}(F') = » est ajouté en interligne entre
« \subset » et « F' », ce dernier surchargé.
C'est donc le F' faisceau cherché. Par construction, sa
formation commute à toute extension plate S' \to S de la base.
Enfin, si F est de type fini, alors \exists prouvons que le
module F' l'est. On peut supposer S affine. Mais \exists n
tel que F(n) engendré par ses sections,
soient des donc par des sections
\varphi_i (1 \leq i \leq N) \in \Gamma(S, \underline{\Gamma}^{n}(F)).
Considérons alors le sous-module
\underline{N}^{n} de \underline{\Gamma}^{\cdot}(E) engendré par les
\varphi_i. Alors \widetilde{N}^{\cdot} \subset F est un faisceau
F, comme on de suite. On répéter la
construction précédente
, G-invariant de \underline{\Gamma}^{n}(F) engendré par les
\varphi_i, soit N^{n}, et le sous-Module de E qu'il définit.
On vérifie quand même que c'est \underline{F}', ce qui montre
que F' est de type fini……
le passage biffé est enfermé dans un cadre et barré de traits obliques ;
le cadre s'arrête avant « G-invariant ».
Rédiger mieux ce début de la démonstration, pour pouvoir y
…
feuillet dactylographié d'EGA IV, paginé à la main « IV-950 », au verso
des notes et précédant le feuillet de la page 22 ; texte publié, non recomposé.
Il porte la fin de la démonstration de (18.6.6) — parties (i), (ii), (iv) et
(vi) — et (18.6.7), définition du hensélisé d'un anneau semi-local comme
produit \prod_i {}^{h}(A_{\mathfrak{m}_i}). Mêmes plume fine et même
réserve sur l'attribution que pour la page 22. Les interventions :
- « l'anneau local de S'^{(\lambda)} » devient « l'anneau local
\mathcal{O}_\lambda de S'^{(\lambda)} » ;
- « Il y a … un A_\lambda-homomorphisme » :
donc est
ajouté, et « \mathcal{O}_\lambda \to {}^{h}\!A » écrit en interligne à
la place d'un mot biffé ;
- en marge de « \mathrm{Hom.loc}({}^{h}\!A, B) = \varinjlim
\mathrm{Hom.loc}(A_\lambda, B) », le signe \simeq ; les flèches sous
les \varinjlim sont tracées à la main ;
- la référence à Bourbaki,
Alg. comm., chap. III, § 2, est
complétée en « n° 8, cor. 3 du th. 1 » ;
- le passage « et si A' = B_{\mathfrak{n}} est une A-algèbre locale
strictement essentiellement étale … au point fermé de
\mathrm{Spec}(A) » est mis entre crochets et barré de croix ;
- « alors de (17.4.1) » est biffé et remplacé par « de la remarque qui
suit 18.6.2 » ; « l'homomorphisme … est bijectif » devient « les
homomorphismes A \to A'_\lambda sont bijectifs » ;
- « C'est une A-algèbre semi-locale » devient « C'est un A-module
fidèlement plat et une A-algèbre semi-locale » ;
- la seconde référence à Bourbaki, chap. III, § 2, est complétée en
« n° 13, prop. 18 ».
}