Cote n° 88, pages 1–15

Cote n° 88 · batch 1 · pages 1–15 · Transcription · Cartes standards : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté [1976-vers 1986]
Édition de démonstration

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Cartes associées aux syst. de Racines

ce titre est de sa main : il occupe seul, au crayon, le coin supérieur droit du feuillet de couverture, qui ne porte rien d'autre et ne reçoit donc pas de marqueur de page. Il est suivi d'un « (7) » dont le sens n'est pas établi. Le titre de l'inventaire, « Cartes standards », ne vient pas de là mais de la page 10

Cat. des systèmes de racines \(\overset{\Phi}{\longrightarrow}\) cat. des systèmes \[\bigl(W,\ R,\ I,\ \varphi : R \times I \longrightarrow W\bigr)\] où \(W\) est un groupe (\(I\) ens. fini), \(R\) un \(W\)-torseur, \(\varphi\) une applicationle mot est en partie recouvert ; un \(I\) et un \(W\) biffés le précèdent sur la même ligne, avec

a)\(\varphi(wr, i) = \operatorname{int}(w)\,\varphi(r,i)\)
b)\(\forall\, r \in R\), \(i \mapsto \varphi(r,i)\) définit un système de générateurs de \(W\) qui en fait un « groupe de Weyl épinglé », i.e.
c)
\(\varphi(r,i)^2 = 1\), \(\bigl(\varphi(r,i)\,\varphi(r,j)\bigr)^{n_{ij}} = 1\) \((i \neq j)\)

\(\longrightarrow\) une présentation de \(W\), où \(n_{ij}\) est l'ordre de \(\varphi(r,i)\,\varphi(r,j)\), et
d)\(I\) muni du syst. des \(n_{ij}\) (\(n_{ij} = n_{ji}\)) est un diagramme de Dynkin (\(i\) lié à \(j\) ssi \(n_{ij} \geqslant 3\), i.e. \(n_{ij} \neq 2\), i.e. \(\varphi(r,i)\) ne commutant pas à \(\varphi(r,j)\)).

NB On a \[R \overset{\Psi}{\longrightarrow} \text{Syst. gén. admissibles de } W \text{ paramétrés par le diagramme de Dynkin } I\]

Mais cette identification, […] compatible avec l'action de \(W\), n'est pas [en gén.] injective […]

suit un bloc d'une dizaine de lignes annulé par de longs traits horizontaux et deux diagonales, écrit par-dessus une première version elle-même biffée. Ce qui s'en lit n'excède pas : « (si \(I \neq \emptyset\)), \(r \in R\) », « \(r'\) sont deux repères », « chose équivalent : deux syst. de repères », « l'élément (dans groupe de \(W\)) qui envoie […] le stabilisateur de repères, dans \(W\) ». Le bloc n'est pas donné

[…] l'élément neutre. Or ce stabilisateur est évidemment le centre de \(W\) — donc \(\Psi\) injection (permet d'interpréter \(R\) comme un ens. des syst. de gén. admissibles de \(W\) paramétrés par le diagramme de Dynkin \(I\)) ssi \(Z(W) = \{1\}\).

Le foncteur précédent est-il une équivalence de catégories ? Il est évid. fid., ess. surjectif, est-il pl. fidèle ? Deux syst. de racines \(\Sigma\), \(\Sigma'\) tels que \(\Phi(\Sigma) \simeq \Phi(\Sigma')\) ont-ils des diagrammes de Dynkin isomorphes,

donc sont isomorphes. Il reste à voir que pour tt \(\Sigma\), \[\operatorname{Aut}(\Sigma) \overset{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Aut}(\Phi(\Sigma))\] est un iso de gpes. Or on a un hom. Considérons \[W \overset{\alpha}{\longrightarrow} \operatorname{Aut}(\Phi(\Sigma))\] par \[\alpha(w) = \bigl(\operatorname{int}(w),\ w_R,\ \mathrm{id}_I\bigr)\]

en effet, \[w_R(w'r) = \operatorname{int}(w)(w')\ w_R\,r\] les deux membres sont accolés au-dessous, à gauche \(w(w'r)\), à droite \((w w' w^{-1})(wr)\) ; les lettres \(w' \in W\) et \(r \in R\) sont rappelées au-dessus de la ligne et \[\varphi\bigl(w_R(r),\ i\bigr) = \operatorname{int}(w)\,\varphi(r,i)\] le membre de gauche est repris au-dessous sous la forme \(\varphi(wr,i)\) ; les deux lignes sont accolées ensemble « pour a) »

Ceci dit, \(\alpha\) est [\((u_W, u_R)\)] évidemment injectif, son image est formée des automorphismes de \(\Phi(\Sigma) = (W,R,I,\varphi)\) induisant l'identité sur \(I\), i.e. de la forme \((u_W, u_R, \mathrm{id}_I)\), où \(u_R\) est un automorphisme affine de \(R\), associé à l'automorphisme \(u_W\) du gpe \(W\) (\(R\) « partie homogène » de \(u_R\))le sens demande ici \(u_W\) ; le feuillet porte un \(R\) et satisfaisant à \[(\ast\ast) \qquad \varphi(u_R\,r,\ i) = u_W\,\varphi(r,i) \qquad \text{i.e.} \qquad \varphi(r,i) = u_W^{-1}\,\varphi(u_R\,r,\ i)\]

Choisissons un point \(r_0 \in R\) [[…] d'identifier \(R : W\)] donc […] \[u_R(w\,r_0) = u_W(w)\,a\,r_0 \qquad \text{où } \struck{\ill{}}\ u_R(r_0) = a\,r_0\] et la condition \((\ast\ast)\) s'écrit (pour \(r = w\,r_0\) […])

\[\varphi\bigl(u_W(w)\,a\,r_0,\ i\bigr) = u_W\bigl(\varphi(w\,r_0,\ i)\bigr)\]

le développement est disposé en deux colonnes reliées par des « \(\parallel\) ». À gauche \(\operatorname{int}(u(w))\,\varphi(a\,r_0, i)\), puis \(u(w)\,a\,\varphi(r_0,i)\,a^{-1}\,u(w)^{-1}\) ; à droite \(u\bigl(w\,\varphi(r_0,i)\,w^{-1}\bigr)\), puis \(u(w)\,u(\varphi(r_0,i))\,u(w)^{-1}\). Une première version du membre de gauche est biffée

on a donc \[a\,\varphi(r_0,i)\,a^{-1} = u\,\varphi(r_0,i) \qquad \forall\, i \in I\] « \(i \in S\) » est inséré au-dessus de « \(\forall\, i \in I\) » i.e. \(u_W = \operatorname{int}(a)\) (car les \(\varphi(r_0,i)\) engendrent \(W\))le mot est écrit par-dessus un autre, biffé donc \[u_R(w\,r_0) = (a\,w\,a^{-1})(a\,r_0) = a(w\,r_0) = a_R(w\,r_0)\] i.e. \(u_R = a_R\), i.e. \((u_W,\ \struck{\ill{}}\ u_R,\ \mathrm{id}_I) = \alpha(a)\).

On a […] un diagramme de suites exactes

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  1 \arrow[r] & W \arrow[r, "\alpha_0"] \arrow[d, "\mathrm{id}"] &
    \operatorname{Aut}(\Sigma) \arrow[r, "p_0"] \arrow[d] &
    \operatorname{Aut}(I) \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 1 \\
  1 \arrow[r] & W \arrow[r, "\alpha"'] &
    \operatorname{Aut}(\Phi(\Sigma)) \arrow[r, "p"'] &
    \operatorname{Aut}(I) &
\end{tikzcd}

gr. des automorphismes ext. de \(\Sigma\)

cette dernière ligne est de lui, écrite au-dessus du \(\operatorname{Aut}(I)\) de la ligne supérieure et accolée à lui par un « \(\parallel\) »

et le diagramme des 5 […], montre alors que la flèche verticale médiane est un iso, cqfd.

Les […] parties paraboliques des racines de \(\Sigma \subset V\) […] correspondent aux […] aux facettes [fermées] du syst. des hyperplans dans \(\check{V}\) associé au syst. des racines dans \(V\).

le passage est repris trois fois : deux débuts biffés, une insertion interlinéaire entre parenthèses que le feuillet ne soutient pas, et une seconde insertion au-dessus de « facettes »

l'inclusion des parties paraboliques (ou encore, des gpes paraboliques correspondants, quand le syst. de racines \(\Sigma\) provient d'un […] groupe alg.)trois mots sont insérés au-dessus de « provient d'un » et ne se lisent pas est se transforme par […] l'inclusion des facettes dans \(\check{V}\). C'est cette relation (opposée à l'inclusion des paraboliques) qu'on prend sur cet […] ens. de parties, qui devient dès lors une géométrie des drapeaux stricts, correspondant à une un […] simplicial« une » reste en fin de ligne, non biffé, et le nom qui suit ne se lit pas, dont \(V\) sont des sommets (correspond aux « paraboliques minimaux » [ou drapeaux minimaux]), et \(V\) des simplexes maximaux aux « Borels » ou « syst. simples de racines » ou repères \(r \in R\).

la même lettre est écrite aux deux endroits, alors que la ligne précédente distingue \(V\) de \(\check{V}\)

En fait, il s'agit manifestement d'une triangulation de la sphère \(S^{\ell-1}\). L'ens. des repères s'identifie à \(R \times \struck{\ill{}}\ \mathrm{Rep}'(I)\), où \[\mathrm{Rep}'(I) \Longrightarrow \mathrm{Bij}\bigl([1,\ell],\ I\bigr) \longrightarrow \text{l'ens. des ordres totaux sur l'ens. } I \text{ (de card. } \ell) .\] le premier signe est tracé comme une double flèche et vaut ici une identification

[…] est un torseur (à droite) sous \(\mathfrak{S}_\ell\). Les op. \(\sigma_0, \ldots, \sigma_\ell\) sur \(R \times \mathrm{Rep}'(I)\) s'identifient […] ainsi : \(\sigma_0, \sigma_1, \ldots, \sigma_{\ell-1}\) sont les opérations \(\mathrm{id}_R \times \ill{}\ \tau_{i+1}\) (\(0 \leqslant i \leqslant \ell-2\)), où \(\tau_{i+1} \in \mathfrak{S}_\ell\) […] la transposition de \(i+1\) et \(i+2\) ; \[\sigma_{i'}\bigl(r,\ u : [1,\ell] \overset{\sim}{\to} I\bigr) = (r,\ u \circ \tau_{i'}), \qquad 0 \leqslant i' \leqslant \ell-1\] \[\sigma_{\ell-1}\bigl(r,\ u : [1,\ell] \longrightarrow I\bigr) = \bigl(\varphi(r,\ u(\ell))\cdot r,\ u\bigr)\] une insertion interlinéaire court au-dessus de la première de ces deux lignes ; seul « à \(\sigma_{\ell-1}\) » s'y lit. Les deux bornes se recoupent : la seconde ligne redéfinit le \(\sigma_{\ell-1}\) que la première venait d'inclure

On trouve bien que \(\sigma_i^2 = 1\) (\(0 \leqslant i \leqslant \ell-1\)) et que \(\sigma_i, \sigma_j\) commutent si \(j \geqslant i+2\) (\(0 \leqslant i, j \leqslant \ell-1\)) — le seul cas non trivial étant \(j = \ell-1\), \(i \leqslant \ell-3\), \[\sigma_i\,\sigma_{\ell-1}(r,u) = \sigma_i\bigl(\varphi(r,u(\ell))\cdot r,\ u\bigr) = \bigl(\varphi(r,u(\ell))\cdot r,\ u \circ \tau_{i+1}\bigr)\] \[\sigma_{\ell-1}\,\sigma_i(r,u) = \sigma_{\ell-1}\bigl(r,\ u \circ \tau_{i+1}\bigr) = \bigl(\varphi\bigl(r,\ (u \circ \tau_{i+1})(\ell)\bigr)\cdot r,\ u \circ \tau_{i+1}\bigr)\] \((u \circ \tau_{i+1})(\ell)\) est accolé à \(u(\ell)\), avec « car \(i \leqslant \ell-3\) i.e. \(i+1 \leqslant \ell-2\) »

Ici \((\sigma_i\,\sigma_{i+1})^3 = \mathrm{id}\) — distinguer deux cas : \(0 \leqslant i \leqslant \ell-2\), […] cela résulte de \((\tau_{i+1}\,\tau_{i+2})^3 = 1\) ; puis \(i = \ell-1\), i.e. \(\sigma_{\ell-1}\,\sigma_{\ell-2}\) — […] \[\sigma_{\ell-1}\,\sigma_{\ell-2}(r,u) = \sigma_{\ell-1}\bigl(r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) = \bigl(\varphi\bigl(r,\ (u \circ \tau_{\ell-1})(\ell)\bigr)\cdot r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr)\] le second argument de \(\varphi\) est accolé à \(u(\ell-1)\) \[\pi(r,u) = \bigl(\varphi(r,\ u(\ell-1))\cdot r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr)\] \(\pi\) n'est introduit par aucune définition ; c'est \(\sigma_{\ell-1}\sigma_{\ell-2}\), ce que la page 8 confirme. Il note \(w\) au-dessus de \(\varphi(r,u(\ell-1))\), et au-dessous \(r'\) sous \(\varphi(r,u(\ell-1))\cdot r\) et \(u'\) sous \(u \circ \tau_{\ell-1}\) \[\pi^2(r,u) = \struck{\ill{}}\ \bigl(\varphi(r',\ u'(\ell-1))\cdot r',\ u' \circ \tau_{\ell-1}\bigr)\] \(u'(\ell-1)\) est accolé à \(u(\ell)\) et \(u' \circ \tau_{\ell-1}\) à \(u\) ; une première version de la ligne, \(\varphi(\varphi(r,u(\ell-1))r,\ u)\), est biffée \[= \bigl(\varphi(w\cdot r,\ u(\ell))\cdot w\,r,\ u\bigr)\]

\[\pi^2(r,u) = \bigl(w\,\varphi(r,u(\ell))\,w^{-1}\,w\,r,\ u\bigr) = \bigl(w\,\varphi(r,u(\ell))\,r,\ u\bigr)\] \[= \bigl(\varphi(r,u(\ell-1))\,\varphi(r,u(\ell))\,r,\ u\bigr)\] \[\pi^3(r,u) = \bigl(\varphi(r'',\ u(\ell-1))\,r'',\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) \quad \struck{cqf}\] \(r'' = w'\,r\) ; l'accolade développe \(w'\,\varphi(r,u(\ell-1))\,w'^{-1}\,r'' = w'\,\varphi(r,u(\ell-1))\cdot r\)

[…] \[\pi^3(r,u) = \bigl(\varphi(r,u(\ell-1))\,\varphi(r,u(\ell))\, \varphi(r,u(\ell-1))\cdot r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr)\] deux amorces sont biffées au-dessus de cette ligne, dont une \(\pi^{2n}(r,u) =\) \[\pi^4(r,u) = \bigl(\varphi(r''',\ u'(\ell-1))\,r''',\ u' \circ \tau_{\ell-1}\bigr) = \bigl(w'''\,\varphi(r,u(\ell))\,r,\ u\bigr) = \Bigl[\bigl(\varphi(r,u(\ell-1))\,\varphi(r,u(\ell))\bigr)^2 r,\ u\Bigr]\]

Soit \[\varphi(r,\ u(\ell-1)) = a, \qquad \varphi(r,\ u(\ell)) = b .\]

On trouve par récurrence \[\begin{cases} \pi^{2n}(r,u) = \bigl((ab)^n\,r,\ u\bigr) \\[2pt] \pi^{2n+1}(r,u) = \bigl(((ab)^n a)\,r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) \end{cases}\] \(r_n = w_n\,r\) est accolé sous la première ligne, \(r'_n = w'_n\,r\) et \(u'\) sous la seconde

Donc \[\pi^i(r,u) = (r,u) \iff \begin{cases} i \equiv 0 \ (2), \text{ i.e. } i = 2n \\[2pt] (ab)^n = 1 \end{cases}\] i.e. \(n_{u(\ell-1),\,u(\ell)} \mid n\), i.e. \(i \equiv 0\ (2n\) \(n\) \(\equiv 0 \ (2\,n_{u(\ell-1),\,u(\ell)})\)

le « \(=\ \mathrm{id}\) » qui suivait \(\pi^i\) est biffé

Suit, entre crochets, le pas de la récurrence : \[\pi^{2n+1}(r,u) = \bigl(\varphi(r'_n,\ u'(\ell-1))\cdot r'_n,\ u' \circ \tau_{\ell-1}\bigr) = \struck{\ill{}}\ \bigl((ab)^{n+1}\,r,\ u\bigr)\] \[\pi^{2n+2}(r,u) = \bigl(\varphi(r_{n+1},\ u(\ell-1))\cdot r_{n+1},\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr)\] accolades : \(w'_n\,\varphi(r,u(\ell))\,w'^{-1}_n\,w'_n\,r\), avec \((ab)^n a\) sous \(w'_n\) et \(b\) sous \(\varphi(r,u(\ell))\) ; puis \(w_{n+1}\,\varphi(r,u(\ell-1))\,w_{n+1}^{-1}\,w_{n+1}\,r = (ab)^{n+1} a\,r\)

\[\pi^i(r,u) = (r,u) \quad \forall\, (r,u) \in R \times \mathrm{Rep}(I) \iff \begin{cases} i \equiv 0\ (2), \text{ i.e. } i = 2n \\[2pt] \bigl(\varphi(r,u(\ell-1))\,\varphi(r,u(\ell))\bigr)^n = 1 \quad \forall\, r, u \end{cases}\] un « i.e. » suivi de trois ou quatre mots est biffé au bout de la seconde accolade

i.e. \(n\) multiple des ppcm des \(n_{ij}\) (\(i, j \in I\), \(i \neq j\))

Donc on trouve \[\begin{cases} \text{ordre de } \pi = \sigma_{\ell-2}\,\sigma_{\ell-1} = 2\nu \\[2pt] \text{où } \nu = \text{le ppcm des } n_{ij} \ (i, j \in I,\ i \neq j) \end{cases}\] sic : l'ordre de \(\pi\) est égalé à \(\pi\) lui-même autant qu'à \(2\nu\)

Théorème (à prouver)

ce titre est de sa main, en tête de la page 10, et ouvre le second feuillet du dossier. Les numéros d'articles sont cerclés sur le feuillet et sont donnés ici sous la forme (1), (2), …

(1)Toute carte cellulaire [\(\neq \emptyset\)] connexe et simplement connexe quasi régulière (i.e. dont tous les sommets comb. et toutes les faces ont même ordre) est régulière, et elle est complète (i.e. les sommets comb. d'ordre fini sont effectifs) sauf dans le cas d'une carte isomorphe : \((\mathbb{R}^2 \supset \mathbb{R})\) (dont la complétion […] la sphère munie d'un grand-cercle ponctué…).
(2)Une carte cellulaire [\(\neq \emptyset\)] conn. simpl. connexe régulière [une telle carte] et complète ([…] « cartes standard ») est déterminée, à isomorphisme près, par [le couple \((p,q)\)] l'ordre \(p\) des sommets comb., \(q\) l'ordre des faces (\(p, q \in \overline{\mathbb{N}}^*\), entiers, \(1 \leqslant p, q \leqslant +\infty\)). Le couple \((p,q)\) peut prendre toutes les valeurs […] \(\in \overline{\mathbb{N}}^* \times \overline{\mathbb{N}}^*\) sauf \((1,p)\) [et \((p,1)\) si \(p \neq 2\)]. [Appelons \((C_{p,q},\ r_{p,q})\) la carte standard épinglée (i.e. munie d'un bi-drapeau repère \(r_{p,q}\)) correspondant à \((q,p)\), déterminée à homéomorphisme près, unique isomorphisme près, pris dans la catégorie isotopique des cartes.]
(3)[…] \[\operatorname{Aut}(C_{p,q}) \overset{\sim}{\longleftarrow} \widehat{\Gamma}\big/\bigl(\rho_s^{\,p},\ \rho_f^{\,q}\bigr) \overset{\text{déf}}{=} \Gamma_{p,q}\] le \(\widehat{\Gamma}\) est fortement encré et porte au-dessous « gpe cartographique » ; le \(\Gamma\) de \(\Gamma_{p,q}\) est encré de même. Un second numéral cerclé, entre (3) et (4), est entièrement noirci
(4)Corollaire Soit \(\mathcal{C} = (X \supset K \supset S)\) une carte cellulaire complète […] connexe quasi-régulière de type \((p,q)\). Alors le revêtement universel \(\widetilde{\mathcal{C}}\) correspondant, le groupe fondamental

… tal de \(X\) s'identifie : […] un sous-groupe de \(\Gamma\) \(\Gamma_{p,q}\). Si \(\mathcal{C}\) est régulière [épinglée], […] le gpe des […] automorphismes, dans le gpe fondamental — […] un modèle mixte de \((X, G)\) s'identifie à \(\Gamma_{p,q}\).

(5)[Appelons […] « surface (riemannienne) standard » une surface \(E\) analytique réelle munie d'une métrique [riemannienne \(\geqslant 0\)] telle que :

a)\(E\) est \(\neq \emptyset\), connexe, simplement connexe
b)Le groupe des isométries de \(E\) est transitif sur \(E\).

On sait alors que, […], à un facteur constant près sur la métrique, \(E\) est isomorphe à l'un des trois espaces […] :

1^o)La sphère \(S^2\), espace homogène sous \(SO(3,\mathbb{R})\) [avec \(\{z, \bar{z}\}\)] […]
2^o)Le plan euclidien [complexe], sous le groupe \(\mathcal{U}\cdot\mathbb{C}\) (½ direct) le gpe des déplacements euclidiens
3^o)Le demi-plan de Poincaré, comme espace espace homogène de \(SL(2,\mathbb{R})/\{\pm 1\}\).

— plan sphérique […] déplacements sphériques

plan […], […] euclidiens

plan hyperbolique, dépl. hyperboliques

ces trois notes sont écrites en biais, à quelque 45°, dans la marge de gauche, en regard des trois cas

Les gpes écrits sont les comp. connexes [fermées] des groupes des isométries — ou mieux, des isométries qui conservent l'orientation — ou encore, les …

… structure complexe associée à l'orientation (dans le cas où une telle orientation a été choisie). Notez que dans les cas 1^o et 3^o, […] les similitudes sont des isométries, on peut normaliser le métrique — en particulier dans la « surface standard normalisée » — déterminée pour chacun des trois trois types : Donc pris.

Une carte cellulaire sur une surface riemannienne \(X\) est dite géodésique si toutes ses arêtes sont des [arcs de] géodésiques ; elle est dite métriquement régulière si elle est géodésique et si le gpe des automorphismes isométriques de la carte est transitif sur l'un des repères (ou simplement transitif sur […] des repères).

On dit qu'elle est une carte géodésique standard si elle est métriquement régulière [complète (cf. 1^o))], et si […] […] est une surface riemannienne […] standard […] Ceci [Donc on doit avoir ceci] On dit qu'elle est de type

a)Pour toute carte standard, il existe une une carte géodésique standard \((X_0, K_0, S_0)\) qui lui est topologiquement isomorphe.
b)[…] Pour deux cartes géodésiques standard, dans la classe d'isotopie d'isomorphismes …

a) et b) sont enfermés dans un double filet vertical tracé dans la marge

… topologiques il y a un isomorphisme topologique unique qui soit une […] isométrie (dans une isométrie dans le cas où les surfaces ne sont pas hyperboliques sphériques, […] hyperboliques […]) unique

c)Le groupe des automorphismes […] d'une carte géod. st. \((X, K, S)\) opère proprement sur \(X\) […]

NB On dit que la carte […] est normalisée si […] […] hyperbolique, \((X, g)\) […] le cas euclidien […] carte […] loc. f. finie […] des autres […] […] que les longueurs […] finies dans les longueurs […] des arêtes soit égale à 1 (on […] à la plus exige que […] égale : 1…). D[…] …

tout ce passage est écrit vite, sur trois niveaux d'insertions, et la prose de liaison n'y est pas recouvrable ; ce qui suit reprend au Corollaire

Corollaire … […] foncteur « métrique » de la catégorie des cartes géodésiques standard normalisées (avec comme morphismes les isométries qui respectent la carte) dans la catégorie des cartes cellulaires standard, est une équivalence de catégories.

R. NB Carte géodésique standard normalisée épinglée : les surfaces ambiantes s'identifient.

… canoniquement aux surfaces riemanniennes standard type \(S^2\), \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{C}\), \(\mathbb{H}\) avec le « repère » […] habituel … On […] encore noter les \(C_{p,q}\).

[…] On distingue types des cartes standard de type sphérique, euclidien … ou hyperbolique.

(6)[…] \(C_{p,q}\) est sphérique […] exactement dans les cas suivants : \(p = q\) \(p = 2\) (\(1 \leqslant q < +\infty\)) ; \(q = 2\) (\(1 \leqslant p < +\infty\)), \(p = q = 3\), \[(3,3) \quad (3,4) \quad (4,3) \quad (3,5) \quad (5,3)\] \[\text{tétraèdre} \quad \text{cube} \quad \text{octaèdre} \quad \text{dodécaèdre} \quad \text{icosaèdre}\] — ou encore ssi \(C_{p,q}\) finie ou encore ssi \(\Gamma_{p,q}\) fini.
(b)\(C_{p,q}\) est euclidien exactement dans les cas suivants : \((2,\infty)\) \((\infty,2)\) \[(4,4), \quad (3,6), \quad (6,3)\] \[\text{pavage carré} \quad \text{pavage \ill{}} \quad \text{pavage triangulaire}\] ses \(\Gamma_{p,q}\) est infini […] ni et résoluble.
(c)\(C_{p,q}\) est hyperbolique dans les autres cas, i.e. […] \((3,3)\) \((p \geqslant 3,\ \ill{}\ q \geqslant 3)\) ou \((p = 3,\ \ill{})\)

\((c_1)\)ou […] \((p,q) > (4,4)\) ; ou \(p = 3\), \(q \geqslant 7\) ; ou \(q = 3\), \(p \geqslant 7\) ; ou \((p,q) = (4,5)\) ou \((p,q) = (5,4)\)
\((c_2)\)ou encore […] \(p + q \geqslant 10\) ou \((p,q) \neq (3,6), (6,3)\), […]
\((c'_2)\)ou encore \(\Gamma_{p,q}\) contient un sous-groupe libre à \(2\) générateurs […] libre à \(n\) générateurs (\(\forall\, n \neq 0\))

\((c_1)\) est accolé sur trois lignes du feuillet, ici mises bout à bout

(dans ce cas a-t-on […] quotient […])

(7)Les cartes régulières \((X \supset K \supset S)\) de type \((p,q)\), […] épinglées, s'obtiennent […] canoniquement […] pris dans la cat. isotopique des cartes) où à partir des […] des sous-groupes \(\pi \subset \Gamma_{p,q}\)

… opérant […] [librement] sur \(X_{p,q}\), […] (qui s'identifie au quotient de \(C_{p,q}\) par \(\pi\), \(X\)…) Telles que le groupe fondamental de […] […] s'identifie d'une manière canonique — […] isotopie de la carte) d'une […] métrique riemannienne (la métrique […] géodésique) […] pour laquelle la carte est régulière … les \(\pi\) de […] \(\Gamma_{p,q}\) […] \(\Gamma_{p,q}\) est invariant.

NB \(\pi\) […] des liens, pour […] \((p,q)\) donné ; pour déterminer les \(\pi\) possibles, d'étudier […] \(\Gamma_{p,q}\) dans \(X_{p,q}\) — et plus […] les […] […] stabilisateurs des \(\Gamma_{p,q}\) des pts de \(X_{p,q}\).

[…] Re NB Il y a la […] […] métrique […] […] correspondant […] (i.e. […] fini et \(\pi\) d'indice fini) […] complexes — qui, d[…] fait dans une […] seule !

La carte (n. rig.) est orientée (p. ex. orientable de […] […] épinglée) […] (partie régulière de […]) d'une structure (i.e. carte finie) […], dans le cas compact […] correspondre […] algébriques projectives […] […] Bourguignon.

la dernière page est un palimpseste : son tiers gauche est écrit en biais à quelque 45° et n'est pas recouvrable, et la prose de liaison de la colonne de droite ne l'est qu'en partie. Le nom qui la clôt est souligné par lui