Fonds Grothendieck, cote n° 88, pages 1–15

Cartes associées aux syst. de Racines

ce titre est de sa main : il occupe seul, au crayon, le coin supérieur droit du feuillet de couverture, qui ne porte rien d'autre et ne reçoit donc pas de marqueur de page. Il est suivi d'un « (7) » dont le sens n'est pas établi. Le titre de l'inventaire, « Cartes standards », ne vient pas de là mais de la page 10

Cat. des systèmes de racines \overset{\Phi}{\longrightarrow} cat. des systèmes \bigl(W,\ R,\ I,\ \varphi : R \times I \longrightarrow W\bigr) où W est un groupe (I ens. fini), R un W-torseur, \varphi une applicationle mot est en partie recouvert ; un I et un W biffés le précèdent sur la même ligne, avec

a)\varphi(wr, i) = \operatorname{int}(w)\,\varphi(r,i) b)\forall\, r \in R, i \mapsto \varphi(r,i) définit un système de générateurs de W qui en fait un « groupe de Weyl épinglé », i.e. c)

\varphi(r,i)^2 = 1, \bigl(\varphi(r,i)\,\varphi(r,j)\bigr)^{n_{ij}} = 1 (i \neq j)

\longrightarrow une présentation de W, où n_{ij} est l'ordre de \varphi(r,i)\,\varphi(r,j), et

d)I muni du syst. des n_{ij} (n_{ij} = n_{ji}) est un diagramme de Dynkin (i lié à j ssi n_{ij} \geqslant 3, i.e. n_{ij} \neq 2, i.e. \varphi(r,i) ne commutant pas à \varphi(r,j)).

NB On a R \overset{\Psi}{\longrightarrow} \text{Syst. gén. admissibles de } W \text{ paramétrés par le diagramme de Dynkin } I

Mais cette identification, compatible avec l'action de W, n'est pas en gén. injective

suit un bloc d'une dizaine de lignes annulé par de longs traits horizontaux et deux diagonales, écrit par-dessus une première version elle-même biffée. Ce qui s'en lit n'excède pas : « (si I \neq \emptyset), r \in R », « r' sont deux repères », « chose équivalent : deux syst. de repères », « l'élément (dans groupe de W) qui envoie le stabilisateur de repères, dans W ». Le bloc n'est pas donné

l'élément neutre. Or ce stabilisateur est évidemment le centre de W — donc \Psi injection (permet d'interpréter R comme un ens. des syst. de gén. admissibles de W paramétrés par le diagramme de Dynkin I) ssi Z(W) = \{1\}.

Le foncteur précédent est-il une équivalence de catégories ? Il est évid. fid., ess. surjectif, est-il pl. fidèle ? Deux syst. de racines \Sigma, \Sigma' tels que \Phi(\Sigma) \simeq \Phi(\Sigma') ont-ils des diagrammes de Dynkin isomorphes,

donc sont isomorphes. Il reste à voir que pour tt \Sigma, \operatorname{Aut}(\Sigma) \overset{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Aut}(\Phi(\Sigma)) est un iso de gpes. Or on a un hom. Considérons W \overset{\alpha}{\longrightarrow} \operatorname{Aut}(\Phi(\Sigma)) par \alpha(w) = \bigl(\operatorname{int}(w),\ w_R,\ \mathrm{id}_I\bigr)

en effet, w_R(w'r) = \operatorname{int}(w)(w')\ w_R\,r les deux membres sont accolés au-dessous, à gauche w(w'r), à droite (w w' w^{-1})(wr) ; les lettres w' \in W et r \in R sont rappelées au-dessus de la ligne et \varphi\bigl(w_R(r),\ i\bigr) = \operatorname{int}(w)\,\varphi(r,i) le membre de gauche est repris au-dessous sous la forme \varphi(wr,i) ; les deux lignes sont accolées ensemble « pour a) »

Ceci dit, \alpha est (u_W, u_R) évidemment injectif, son image est formée des automorphismes de \Phi(\Sigma) = (W,R,I,\varphi) induisant l'identité sur I, i.e. de la forme (u_W, u_R, \mathrm{id}_I), où u_R est un automorphisme affine de R, associé à l'automorphisme u_W du gpe W (R « partie homogène » de u_R)le sens demande ici u_W ; le feuillet porte un R et satisfaisant à (\ast\ast) \qquad \varphi(u_R\,r,\ i) = u_W\,\varphi(r,i) \qquad \text{i.e.} \qquad \varphi(r,i) = u_W^{-1}\,\varphi(u_R\,r,\ i)

Choisissons un point r_0 \in R [ d'identifier R : W] donc u_R(w\,r_0) = u_W(w)\,a\,r_0 \qquad \text{où } \struck{\ill{}}\ u_R(r_0) = a\,r_0 et la condition (\ast\ast) s'écrit (pour r = w\,r_0 )

\varphi\bigl(u_W(w)\,a\,r_0,\ i\bigr) = u_W\bigl(\varphi(w\,r_0,\ i)\bigr)

le développement est disposé en deux colonnes reliées par des « \parallel ». À gauche \operatorname{int}(u(w))\,\varphi(a\,r_0, i), puis u(w)\,a\,\varphi(r_0,i)\,a^{-1}\,u(w)^{-1} ; à droite u\bigl(w\,\varphi(r_0,i)\,w^{-1}\bigr), puis u(w)\,u(\varphi(r_0,i))\,u(w)^{-1}. Une première version du membre de gauche est biffée

on a donc a\,\varphi(r_0,i)\,a^{-1} = u\,\varphi(r_0,i) \qquad \forall\, i \in I « i \in S » est inséré au-dessus de « \forall\, i \in I » i.e. u_W = \operatorname{int}(a) (car les \varphi(r_0,i) engendrent W)le mot est écrit par-dessus un autre, biffé donc u_R(w\,r_0) = (a\,w\,a^{-1})(a\,r_0) = a(w\,r_0) = a_R(w\,r_0) i.e. u_R = a_R, i.e. (u_W,\ \struck{\ill{}}\ u_R,\ \mathrm{id}_I) = \alpha(a).

On a un diagramme de suites exactes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & W \arrow[r, "\alpha_0"] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & \operatorname{Aut}(\Sigma) \arrow[r, "p_0"] \arrow[d] & \operatorname{Aut}(I) \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 1 \\ 1 \arrow[r] & W \arrow[r, "\alpha"'] & \operatorname{Aut}(\Phi(\Sigma)) \arrow[r, "p"'] & \operatorname{Aut}(I) & \end{tikzcd}

gr. des automorphismes ext. de \Sigma

cette dernière ligne est de lui, écrite au-dessus du \operatorname{Aut}(I) de la ligne supérieure et accolée à lui par un « \parallel »

et le diagramme des 5 , montre alors que la flèche verticale médiane est un iso, cqfd.

Les parties paraboliques des racines de \Sigma \subset V ~~correspondent aux~~ aux facettes fermées du syst. des hyperplans dans \check{V} associé au syst. des racines dans V.

le passage est repris trois fois : deux débuts biffés, une insertion interlinéaire entre parenthèses que le feuillet ne soutient pas, et une seconde insertion au-dessus de « facettes »

l'inclusion des parties paraboliques (ou encore, des gpes paraboliques correspondants, quand le syst. de racines \Sigma provient d'un groupe alg.)trois mots sont insérés au-dessus de « provient d'un » et ne se lisent pas ~~est~~ se transforme par l'inclusion des facettes dans \check{V}. C'est cette relation (opposée à l'inclusion des paraboliques) qu'on prend sur cet ens. de parties, qui devient dès lors une géométrie des drapeaux stricts, correspondant à une un simplicial« une » reste en fin de ligne, non biffé, et le nom qui suit ne se lit pas, dont V sont des sommets (correspond aux « paraboliques minimaux » ou drapeaux minimaux), et V des simplexes maximaux aux « Borels » ou « syst. simples de racines » ou repères r \in R.

la même lettre est écrite aux deux endroits, alors que la ligne précédente distingue V de \check{V}

En fait, il s'agit manifestement d'une triangulation de la sphère S^{\ell-1}. L'ens. des repères s'identifie à R \times \struck{\ill{}}\ \mathrm{Rep}'(I), où \mathrm{Rep}'(I) \Longrightarrow \mathrm{Bij}\bigl([1,\ell],\ I\bigr) \longrightarrow \text{l'ens. des ordres totaux sur l'ens. } I \text{ (de card. } \ell) . le premier signe est tracé comme une double flèche et vaut ici une identification

est un torseur (à droite) sous \mathfrak{S}_\ell. Les op. \sigma_0, \ldots, \sigma_\ell sur R \times \mathrm{Rep}'(I) s'identifient ainsi : \sigma_0, \sigma_1, \ldots, \sigma_{\ell-1} sont les opérations \mathrm{id}_R \times \ill{}\ \tau_{i+1} (0 \leqslant i \leqslant \ell-2), où \tau_{i+1} \in \mathfrak{S}_\ell la transposition de i+1 et i+2 ; \sigma_{i'}\bigl(r,\ u : [1,\ell] \overset{\sim}{\to} I\bigr) = (r,\ u \circ \tau_{i'}), \qquad 0 \leqslant i' \leqslant \ell-1 \sigma_{\ell-1}\bigl(r,\ u : [1,\ell] \longrightarrow I\bigr) = \bigl(\varphi(r,\ u(\ell))\cdot r,\ u\bigr) une insertion interlinéaire court au-dessus de la première de ces deux lignes ; seul « à \sigma_{\ell-1} » s'y lit. Les deux bornes se recoupent : la seconde ligne redéfinit le \sigma_{\ell-1} que la première venait d'inclure

On trouve bien que \sigma_i^2 = 1 (0 \leqslant i \leqslant \ell-1) et que \sigma_i, \sigma_j commutent si j \geqslant i+2 (0 \leqslant i, j \leqslant \ell-1) — le seul cas non trivial étant j = \ell-1, i \leqslant \ell-3, \sigma_i\,\sigma_{\ell-1}(r,u) = \sigma_i\bigl(\varphi(r,u(\ell))\cdot r,\ u\bigr) = \bigl(\varphi(r,u(\ell))\cdot r,\ u \circ \tau_{i+1}\bigr) \sigma_{\ell-1}\,\sigma_i(r,u) = \sigma_{\ell-1}\bigl(r,\ u \circ \tau_{i+1}\bigr) = \bigl(\varphi\bigl(r,\ (u \circ \tau_{i+1})(\ell)\bigr)\cdot r,\ u \circ \tau_{i+1}\bigr) (u \circ \tau_{i+1})(\ell) est accolé à u(\ell), avec « car i \leqslant \ell-3 i.e. i+1 \leqslant \ell-2 »

Ici (\sigma_i\,\sigma_{i+1})^3 = \mathrm{id} — distinguer deux cas : 0 \leqslant i \leqslant \ell-2, cela résulte de (\tau_{i+1}\,\tau_{i+2})^3 = 1 ; puis i = \ell-1, i.e. \sigma_{\ell-1}\,\sigma_{\ell-2} — \sigma_{\ell-1}\,\sigma_{\ell-2}(r,u) = \sigma_{\ell-1}\bigl(r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) = \bigl(\varphi\bigl(r,\ (u \circ \tau_{\ell-1})(\ell)\bigr)\cdot r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) le second argument de \varphi est accolé à u(\ell-1) \pi(r,u) = \bigl(\varphi(r,\ u(\ell-1))\cdot r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) \pi n'est introduit par aucune définition ; c'est \sigma_{\ell-1}\sigma_{\ell-2}, ce que la page 8 confirme. Il note w au-dessus de \varphi(r,u(\ell-1)), et au-dessous r' sous \varphi(r,u(\ell-1))\cdot r et u' sous u \circ \tau_{\ell-1} \pi^2(r,u) = \struck{\ill{}}\ \bigl(\varphi(r',\ u'(\ell-1))\cdot r',\ u' \circ \tau_{\ell-1}\bigr) u'(\ell-1) est accolé à u(\ell) et u' \circ \tau_{\ell-1} à u ; une première version de la ligne, \varphi(\varphi(r,u(\ell-1))r,\ u), est biffée = \bigl(\varphi(w\cdot r,\ u(\ell))\cdot w\,r,\ u\bigr)

\pi^2(r,u) = \bigl(w\,\varphi(r,u(\ell))\,w^{-1}\,w\,r,\ u\bigr) = \bigl(w\,\varphi(r,u(\ell))\,r,\ u\bigr) = \bigl(\varphi(r,u(\ell-1))\,\varphi(r,u(\ell))\,r,\ u\bigr) \pi^3(r,u) = \bigl(\varphi(r'',\ u(\ell-1))\,r'',\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) \quad \struck{cqf} r'' = w'\,r ; l'accolade développe w'\,\varphi(r,u(\ell-1))\,w'^{-1}\,r'' = w'\,\varphi(r,u(\ell-1))\cdot r

\pi^3(r,u) = \bigl(\varphi(r,u(\ell-1))\,\varphi(r,u(\ell))\, \varphi(r,u(\ell-1))\cdot r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) deux amorces sont biffées au-dessus de cette ligne, dont une \pi^{2n}(r,u) = \pi^4(r,u) = \bigl(\varphi(r''',\ u'(\ell-1))\,r''',\ u' \circ \tau_{\ell-1}\bigr) = \bigl(w'''\,\varphi(r,u(\ell))\,r,\ u\bigr) = \Bigl[\bigl(\varphi(r,u(\ell-1))\,\varphi(r,u(\ell))\bigr)^2 r,\ u\Bigr]

Soit \varphi(r,\ u(\ell-1)) = a, \qquad \varphi(r,\ u(\ell)) = b .

On trouve par récurrence \begin{cases} \pi^{2n}(r,u) = \bigl((ab)^n\,r,\ u\bigr) \\[2pt] \pi^{2n+1}(r,u) = \bigl(((ab)^n a)\,r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) \end{cases} r_n = w_n\,r est accolé sous la première ligne, r'_n = w'_n\,r et u' sous la seconde

Donc \pi^i(r,u) = (r,u) \iff \begin{cases} i \equiv 0 \ (2), \text{ i.e. } i = 2n \\[2pt] (ab)^n = 1 \end{cases} i.e. n_{u(\ell-1),\,u(\ell)} \mid n, i.e. ~~i \equiv 0\ (2n~~ n \equiv 0 \ (2\,n_{u(\ell-1),\,u(\ell)})

le « =\ \mathrm{id} » qui suivait \pi^i est biffé

Suit, entre crochets, le pas de la récurrence : \pi^{2n+1}(r,u) = \bigl(\varphi(r'_n,\ u'(\ell-1))\cdot r'_n,\ u' \circ \tau_{\ell-1}\bigr) = \struck{\ill{}}\ \bigl((ab)^{n+1}\,r,\ u\bigr) \pi^{2n+2}(r,u) = \bigl(\varphi(r_{n+1},\ u(\ell-1))\cdot r_{n+1},\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr) accolades : w'_n\,\varphi(r,u(\ell))\,w'^{-1}_n\,w'_n\,r, avec (ab)^n a sous w'_n et b sous \varphi(r,u(\ell)) ; puis w_{n+1}\,\varphi(r,u(\ell-1))\,w_{n+1}^{-1}\,w_{n+1}\,r = (ab)^{n+1} a\,r

\pi^i(r,u) = (r,u) \quad \forall\, (r,u) \in R \times \mathrm{Rep}(I) \iff \begin{cases} i \equiv 0\ (2), \text{ i.e. } i = 2n \\[2pt] \bigl(\varphi(r,u(\ell-1))\,\varphi(r,u(\ell))\bigr)^n = 1 \quad \forall\, r, u \end{cases} un « i.e. » suivi de trois ou quatre mots est biffé au bout de la seconde accolade

i.e. n multiple des ppcm des n_{ij} (i, j \in I, i \neq j)

Donc on trouve \begin{cases} \text{ordre de } \pi = \sigma_{\ell-2}\,\sigma_{\ell-1} = 2\nu \\[2pt] \text{où } \nu = \text{le ppcm des } n_{ij} \ (i, j \in I,\ i \neq j) \end{cases} sic : l'ordre de \pi est égalé à \pi lui-même autant qu'à 2\nu

Théorème (à prouver)

ce titre est de sa main, en tête de la page 10, et ouvre le second feuillet du dossier. Les numéros d'articles sont cerclés sur le feuillet et sont donnés ici sous la forme (1), (2), …

(1)Toute carte cellulaire \neq \emptyset connexe et simplement connexe quasi régulière (i.e. dont tous les sommets comb. et toutes les faces ont même ordre) est régulière, et elle est complète (i.e. les sommets comb. d'ordre fini sont effectifs) sauf dans le cas d'une carte isomorphe : (\mathbb{R}^2 \supset \mathbb{R}) (dont la complétion la sphère munie d'un grand-cercle ponctué…). (2)Une carte cellulaire \neq \emptyset conn. simpl. connexe régulière une telle carte et complète ( « cartes standard ») est déterminée, à isomorphisme près, par le couple (p,q) l'ordre p des sommets comb., q l'ordre des faces (p, q \in \overline{\mathbb{N}}^*, entiers, 1 \leqslant p, q \leqslant +\infty). Le couple (p,q) peut prendre toutes les valeurs \in \overline{\mathbb{N}}^* \times \overline{\mathbb{N}}^* sauf (1,p) et (p,1) si p \neq 2. [Appelons (C_{p,q},\ r_{p,q}) la carte standard épinglée (i.e. munie d'un bi-drapeau repère r_{p,q}) correspondant à (q,p), déterminée à ~~homéomorphisme près, unique~~ isomorphisme près, pris dans la catégorie isotopique des cartes.] (3) \operatorname{Aut}(C_{p,q}) \overset{\sim}{\longleftarrow} \widehat{\Gamma}\big/\bigl(\rho_s^{\,p},\ \rho_f^{\,q}\bigr) \overset{\text{déf}}{=} \Gamma_{p,q} le \widehat{\Gamma} est fortement encré et porte au-dessous « gpe cartographique » ; le \Gamma de \Gamma_{p,q} est encré de même. Un second numéral cerclé, entre (3) et (4), est entièrement noirci (4)Corollaire Soit \mathcal{C} = (X \supset K \supset S) une carte cellulaire complète connexe quasi-régulière de type (p,q). Alors le revêtement universel \widetilde{\mathcal{C}} correspondant, le groupe fondamental

… tal de X s'identifie : un sous-groupe de ~~\Gamma~~ \Gamma_{p,q}. Si \mathcal{C} est régulière épinglée, le gpe des automorphismes, dans le gpe fondamental — un modèle mixte de (X, G) s'identifie à \Gamma_{p,q}.

(5)[Appelons « surface (riemannienne) standard » une surface E analytique réelle munie d'une métrique riemannienne \geqslant 0 ~~telle que~~ : a)E est \neq \emptyset, connexe, simplement connexe b)Le groupe des isométries de E est transitif sur E.

On sait alors que, , à un facteur constant près sur la métrique, E est isomorphe à l'un des trois espaces :

1o)La sphère S^2, espace homogène sous SO(3,\mathbb{R}) avec \{z, \bar{z}\} 2o)Le plan ~~euclidien~~ complexe, sous le groupe \mathcal{U}\cdot\mathbb{C} (½ direct) le gpe des déplacements euclidiens 3o)Le demi-plan de Poincaré, ~~comme espace~~ espace homogène de SL(2,\mathbb{R})/\{\pm 1\}.

— plan sphérique déplacements sphériques

plan , euclidiens

plan hyperbolique, dépl. hyperboliques

ces trois notes sont écrites en biais, à quelque 45°, dans la marge de gauche, en regard des trois cas

Les gpes écrits sont les comp. ~~connexes~~ fermées des groupes des isométries — ou mieux, des isométries qui conservent l'orientation — ou encore, les …

… structure complexe associée à l'orientation (dans le cas où une telle orientation a été choisie). Notez que dans les cas 1o et 3o, les similitudes sont des isométries, on peut normaliser le ~~métrique~~ — en particulier dans la « surface standard normalisée » — déterminée pour chacun des ~~trois~~ trois types : Donc pris.

Une carte cellulaire sur une surface riemannienne X est dite géodésique si ~~toutes~~ ses arêtes sont des arcs de géodésiques ; elle est dite métriquement régulière si elle est géodésique et si le gpe des automorphismes isométriques de la carte est transitif sur l'un des repères (ou simplement transitif sur des repères).

On dit qu'elle est une carte géodésique standard si elle est métriquement régulière complète (cf. 1o)), ~~et si~~ ~~est une surface riemannienne standard~~ ~~Ceci~~ Donc on doit avoir ceci ~~On dit qu'elle est de type~~

a)Pour toute carte standard, il existe ~~une~~ une carte géodésique standard (X_0, K_0, S_0) qui lui est topologiquement isomorphe. b) Pour deux cartes géodésiques standard, dans la classe d'isotopie d'isomorphismes …

a) et b) sont enfermés dans un double filet vertical tracé dans la marge

… topologiques il y a un isomorphisme topologique unique qui soit une isométrie (dans une isométrie dans le cas où les surfaces ne sont pas ~~hyperboliques~~ sphériques, hyperboliques ) unique

c)Le groupe des automorphismes d'une carte géod. st. (X, K, S) opère proprement sur X

NB On dit que la carte est normalisée si hyperbolique, (X, g) le cas euclidien carte loc. f. finie des autres que les longueurs finies dans les longueurs des arêtes soit égale à 1 (on ~~à la plus~~ exige que égale : 1…). D …

tout ce passage est écrit vite, sur trois niveaux d'insertions, et la prose de liaison n'y est pas recouvrable ; ce qui suit reprend au Corollaire

Corollaire … foncteur « métrique » de la catégorie des cartes géodésiques standard normalisées (avec comme morphismes les isométries qui respectent la carte) dans la catégorie des cartes cellulaires standard, est une équivalence de catégories.

R. NB Carte géodésique standard normalisée épinglée : les surfaces ambiantes s'identifient.

… canoniquement aux surfaces riemanniennes standard ~~type~~ S^2, \mathbb{R}^2 = \mathbb{C}, \mathbb{H} avec le « repère » habituel … On encore noter les C_{p,q}.

On distingue ~~types~~ des cartes standard de type sphérique, euclidien … ou hyperbolique.

(6) C_{p,q} est sphérique exactement dans les cas suivants : ~~p = q~~ p = 2 (1 \leqslant q < +\infty) ; q = 2 (1 \leqslant p < +\infty), ~~p = q = 3~~, (3,3) \quad (3,4) \quad (4,3) \quad (3,5) \quad (5,3) \text{tétraèdre} \quad \text{cube} \quad \text{octaèdre} \quad \text{dodécaèdre} \quad \text{icosaèdre} — ou encore ssi C_{p,q} finie ou encore ssi \Gamma_{p,q} fini. (b)C_{p,q} est euclidien exactement dans les cas suivants : ~~(2,\infty)~~ ~~(\infty,2)~~ (4,4), \quad (3,6), \quad (6,3) \text{pavage carré} \quad \text{pavage \ill{}} \quad \text{pavage triangulaire} ses \Gamma_{p,q} est infini ni et résoluble. (c)C_{p,q} est hyperbolique dans les autres cas, i.e. ~~(3,3)~~ (p \geqslant 3,\ \ill{}\ q \geqslant 3) ou (p = 3,\ \ill{}) (c_1)ou (p,q) > (4,4) ; ou p = 3, q \geqslant 7 ; ou q = 3, p \geqslant 7 ; ou (p,q) = (4,5) ou (p,q) = (5,4) (c_2)ou encore p + q \geqslant 10 ou (p,q) \neq (3,6), (6,3), (c'_2)ou encore \Gamma_{p,q} contient un sous-groupe libre à 2 générateurs libre à n générateurs (\forall\, n \neq 0)

(c_1) est accolé sur trois lignes du feuillet, ici mises bout à bout

(dans ce cas ~~a-t-on~~ quotient )

(7)Les cartes régulières (X \supset K \supset S) de type (p,q), épinglées, s'obtiennent canoniquement pris dans la cat. isotopique des cartes) où à partir des des sous-groupes \pi \subset \Gamma_{p,q}

… opérant librement sur X_{p,q}, (qui s'identifie au quotient de C_{p,q} par \pi, X…) Telles que le groupe fondamental de s'identifie d'une manière canonique — isotopie de la carte) d'une métrique riemannienne (la métrique géodésique) pour laquelle la carte est régulière … les \pi de \Gamma_{p,q} \Gamma_{p,q} est invariant.

NB \pi des liens, pour (p,q) donné ; pour déterminer les \pi possibles, d'étudier \Gamma_{p,q} dans X_{p,q} — et plus les stabilisateurs des \Gamma_{p,q} des pts de X_{p,q}.

Re NB Il y a la métrique correspondant (i.e. fini et \pi d'indice fini) complexes — qui, d fait dans une seule !

La carte (~~n. rig.~~) est orientée (p. ex. orientable de épinglée) (partie régulière de ) d'une structure (i.e. carte finie) , dans le cas compact correspondre algébriques projectives Bourguignon.

la dernière page est un palimpseste : son tiers gauche est écrit en biais à quelque 45° et n'est pas recouvrable, et la prose de liaison de la colonne de droite ne l'est qu'en partie. Le nom qui la clôt est souligné par lui