Cote n° 86 · batch 2 · pages 21–32 · Transcription · [Polyèdres réguliers] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

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21la page commence au milieu d'une phrase, suite d'un feuillet du lot 1

par […] des permutations paires sur l'ens des sommets (ou, […], sur l'ens des côtés). Donc On en conclut que \(G_s\) opère [fidèlement]« fidèlement » est inséré au-dessus de la ligne sur \(T\) par permutations paires. Aussi, on trouve que pour tout polygone combinatoire de type \(n \equiv 1 \ (4)\), l'ens des sommets est canoniquement orienté, via épinglage qui permet de numéroter l'ens des sommets (et l'orientation de l'ens des sommets ne dépend pas de l'épinglage…).

On peut aussi dire que tout \(s \in S\) définit sur \(T\), via \(P(s) \xrightarrow{\sim} T\), une structure polygonale (pentagonale) \(\pi_s\)« \(\pi_s\) » est écrit au-dessus de la ligne, rattaché par un trait à « structure », qui est invariante sous \(G_s\) (qui opère […] […]) […] groupe des automorphismes de \(\pi_s\). A fortiori, \(G_s\) invarie l'orientation correspondante de \(T\), soit \(\omega_s\), donc \(G_s\) opère par permutations de \(T\) paires. [On verra plus bas que \(\omega_s\) ne dépend pas en fait du choix de \(s \in S\)]

Fixons-nous un repère \(r = \{s, a, f\}\) de \(\Pi\), d'où des automorphismes \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\) engendrant \(G = \operatorname{Aut}(\Pi)\).

22à gauche, un dessin de l'icosaèdre en perspective, arêtes cachées en pointillé ; sommets marqués \(u_1\), \(w_1'\), \(u'\), \(v_1'\), \(w\), \(v\), \(v_1\), \(w_1\), \(u = s\), \(u_1'\), \(w'\), \(v'\) ; un triangle fondamental hachuré, de sommet \(s\), porte sur ses côtés les marques \(\sigma_0\), \(\sigma_1\), \(\sigma_2\)

\(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) fixent \(s\), [donc] conservent l'orientation de [induisent des permutations]la correction est écrite au-dessus de la ligne biffée paires de \(T\). D'autre part \(\sigma_0\) conserve le troisième sommet \(w\) (opposé à \(a\)) de la face (triangulaire) \(f\), donc par ce qui précède conserve [induit] […] une […] paire de \(T\). Donc

Corollaire \(G = \operatorname{Aut}(\Pi)\) opère sur \(T\) par permutations paires, i.e. […] \[G \longrightarrow \operatorname{Alt}_T\]

Comme \(u \in G\), \(s \in S\) implique évidemment \[\omega_{u(s)} = u(\omega_s)\] et puisque \(G\) est transitif sur \(S\)

Corollaire Les orientations \(\omega_s\) (\(s \in S\)) de \(T\) associées aux \(s \in S\) sont toutes égales« associées aux \(s \in S\) » est rejeté au début de la ligne suivante, précédé d'un trait vertical. D'où une orientation canonique sur \(T\) (évidemment conservée par \(G = \operatorname{Aut}(\Pi)\)).

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Proposition Considérons une face \(f = \{u, v, w\}\). Alors les trois arêtes Soit \(t_f = t\) l'ens des trois arêtes de \(f\) (en correspondance 1-1 avec l'ens de ses sommets), et soient \(\{u_1, v_1, w_1\}\) les troisièmes sommets des [trois] faces [\(\neq f\)]« trois » et « \(\neq f\) » sont insérés au-dessus de la ligne adjacentes aux arêtes. Alors

a) \(f\) induit la permutation circulaire […] sur les [directions] d'arêtes \(\overline{\{u, v\}}\), \(\overline{\{v, w_1\}}\), \(\overline{\{w, u_1\}}\) et sur l'ens des directions d'arêtes \(\overline{\{u, w_1\}}\), \(\overline{\{w, v_1\}}\), \(\overline{\{v, u_1\}}\), correspondant [dist.] aux trièdresle mot s'écrit « tri » suivi d'un point pour l'accent, puis « dres », exactement comme « icosaèdre » à la page 26 ; on lit « trièdres », comme le lot 1 opposés : ces orbites de \(\{\omega, \omega^{-1}\} = \{\omega, \omega'\}\) […], en corr. 1-1 avec l'une des deux orientations (i.e. des 2 ordres circulaires) sur \(f\), sont \(\{t_\omega, t_{\omega'}\}\).lecture douteuse des lettres et des indices de ces trois directions

\(uvw\) \(uwv\)dans la marge gauche, en regard des deux triples de directions : les deux ordres circulaires sur \(f\)

b) Les trois trièdres distingués \(\operatorname{tr}\overline{\{v, w\}} = t_u\), \(\operatorname{tr} \overline{\{w, u\}} = t_v\), \(\operatorname{tr}\overline{\{u, v\}} = t_w\), \(t_\omega\) et \(t_{\omega'}\) sont distincts.la première égalité est lue avec doute

Dém a) est clair. Pour \(t_u, t_v, t_w\) deux à deux distincts est ce qu'on peut […] de la prop. précédente, ainsi que \(t_u \neq t_\omega = \operatorname{tr}\overline{\{w, u_1\}}\), \(t_u \neq t_{\omega'} = \operatorname{tr}\overline{\{v, u_1\}}\) et de même pour \(t_v\), \(t_w\).

Corollaire On a une bijection canonique \[T \simeq f \amalg \operatorname{Or}(f)\]

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(où \(f\) est identifié à un élément de \(\mathfrak{P}_3(S)\)).

Cette bijection est évidemment compatible avec l'opération de \(G_f \simeq D_3\) \(= \mathfrak{S}_3\), opérant sur […] \(\operatorname{Or}(f)\) via le quotient \(\mathfrak{S}_2\) de \(\mathfrak{S}_3\) (i.e. via signature) et sur \(f\) tautologiquement. Donc [On retrouve que \(G_f\) conserve [opère] par permutations paires sur \(T\) —] On voit ainsi que l'image de \(G_f\) dans [opère fidèlement dans] \(T\), et son image dans \(\mathfrak{S}_T\) (contenue dans \(\operatorname{Alt}_T\)) est donc un s-gpe diédral \(6\). Donc l'image de \(G\) dans \(\operatorname{Alt}_T\) est d'ordre un multiple de \(6\), et par les résultats précédents un multiple de \(10\), donc un multiple de \(30\).« \(= \mathfrak{S}_3\) » est inséré au-dessus de la ligne

Proposition Soit \(a = \{s, t\} \in A\). Considérons l'ens \(\varphi\) des deux [les deux] faces incidentes à \(a\), et l'ens \(\varphi\) \(\{s, \ldots\}\) [l'ens \(\varphi\) de] leurs troisièmes sommets \(u\), \(v\), dans \(A\) les arêtes Considérons \[a \times \varphi \longrightarrow A\] défini par \((s, u) \longmapsto \{s, u\}\). Alors les cinq éléments \(\operatorname{tr}\overline{\{s, u\}}\) (\(s \in a\), \(u \in \varphi\)), \(\operatorname{tr}\bar{a}\) de \(T\) sont distincts.

Résulte des deux prop. précédentes.

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On trouve ainsi une bijection canonique \[T \simeq \{\operatorname{tr}\bar{a}\} \amalg a \times \varphi ,\] évidemment compatible avec l'action de \(G_a\) \(\simeq \mathfrak{S}_a \times \mathfrak{S}_\varphi \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), qui opère donc fidèlement sur \(T\). On retrouve que \(G_a\) opère sur \(T\) par permutations paires, et de plus on conclut que l'image de \(G\) dans \(\operatorname{Alt}_T\) est d'ordre divisible par \(4\). Et comme déjà [d'ordre] divisible par \(30\), il est divisible par \(60\). Or \(\operatorname{Alt}_T\) est d'ordre \(60\), donc et Aut \(G\) d'ordre \(120\), on trouvel'indice est douteux : \(a\) ou \(s\) ; de même trois lignes plus bas

Th L'homom. canonique \[\underset{\text{icosaèdre}}{G = \operatorname{Aut}\Pi} \longrightarrow \mathfrak{S}_{\underset{\text{ens des trièdres distingués}}{T(\Pi)}}\] a comme image \(\operatorname{Alt}_T\), et comme noyau le sous-groupe \(\mathfrak{z}\)la lettre en forme de 3 bouclé est insérée au-dessus de la ligne ; on la rend par \(\mathfrak{z}\), comme ailleurs dans le fonds d'ordre \(2\) engendré par l'antipodisme \(\underline{a}\).

Comme […] \(\Pi\) […] et \(\underline{a}\) renverse l'orientation, on trouveun « Corollaire » biffé en tête de ces lignes \[G \simeq \mathfrak{z} \times G^{+}\] donc \[G^{+} \xrightarrow{\sim} \mathfrak{A}_5\] la lettre après la flèche est lue \(\mathfrak{A}\) avec doute donc

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Corollaire \(G^{+} \xrightarrow{\sim} \operatorname{Alt}_T\)

Reconstruction de l'icosaèdre orienté par l'ens orienté \(T\)

titre de sa main, marqué d'un trait vertical dans la marge, non souligné en entier

Soit \(\Pi\) icosaèdre, […] pas orienté pour le moment. L'ens \(T\) de ses trièdres distingués est orienté de façon canonique, soit \(\varpi\) son orientation. Sur \(T\) il y a exactement \(\frac12 4!\) \((=12)\) structures polygonales, qui se partagent en \(2\) paquets de \(6\) structures polygonales, associées à l'une et l'autre orientation. Soit \(\operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\) l'ens des \(6\) structures pentagonales associées à \(\varpi\). On a une application canonique \[S/\underline{a} \longrightarrow \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\] compatible avec op. de \(G\). Or \(G\) opère transitivement sur \(S\), et il est immédiat que \(\operatorname{Alt}_T\) opère transitivement sur \(\operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\) (vrai pour tout polygone à \(n \equiv 1 \ (4)\) côtés…), donc l'application précédente est surjective, donc bijective \[S/\underline{a} \xrightarrow{\sim} \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi) .\]

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Soit d'autre part \[\mathbb{A}'(T) = \left\{ (t, \gamma, \alpha) \;\middle|\; \begin{array}{l} t \in T \\ \gamma \in \operatorname{Pol}(T \smallsetminus \{t\}) \\ \alpha \in \operatorname{Ar}(\gamma)/\text{antipod.} \end{array} \right\}\] un premier symbole biffé devant \(\mathbb{A}\) ; l'exposant de \(\mathbb{A}\), lu comme un accent, disparaît dans la suite, où il écrit \(\mathbb{A}(T)\). Dans le triple, la deuxième lettre est surchargée (\(\pi\) corrigé en \(\gamma\) ?) ; les conditions sont écrites \(\pi \in \operatorname{Pol}\), \(\alpha \in \operatorname{Ar}(\pi)\) sans correction \(=\) Ens des \(2\) diagonales du […]sous « \(/\text{antipod.}\) », dans la marge droite

On voit que le cardinal de \(\mathbb{A}'(T)\) est \[5 \cdot \tfrac12 (4 - 1)! \cdot 2 = 30\] […]. Mais si \(\alpha \in \mathbb{A}(T)\), \(\alpha\) détermine une bijection \[T \simeq \{t\} \amalg a \times \varphi \qquad (\text{où } \varphi = \operatorname{Ar}(\pi) \smallsetminus a),\] d'où une orientation de \(T\). Ainsi \(\mathbb{A}(T)\) se décompose en \(2\) paquets de \(15\) éléments, associés aux deux orientations (\(\varpi\), \(-\varpi\)) de \(T\) ; on voit tout de suite que sur chacun, telle \(\mathbb{A}^{+}(T, \varpi)\), le groupe alterné \(\operatorname{Alt}_T\) opère transitivement.

[…], on a une application canonique \[A/\underline{a} \longrightarrow \mathbb{A}^{+}(T, \varpi) ,\] compatible avec \(G = \operatorname{Aut}(\Pi)\), et on voit comme précédemment qu'elle est surjective, donc bijective.

Enfin, […] une application canonique \[F/\underline{a} \longrightarrow \mathfrak{P}_2(T)\] compatible aux op. de \(G\), donc (comme \(\operatorname{Alt}_T\) est transitif sur \(\mathfrak{P}_2(T)\)) surjective donc bijective.

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Donc on a reconstruit les ens de sommets, d'arêtes, de faces de l'icosaèdre gauche en termes de \((T, \varpi)\).

Il faudrait reconstruire aussi les relations d'incidence. \[\begin{align*} \bar{s} \in \bar{S} \quad &\longleftrightarrow \quad \pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi) \\ \bar{a} \in \bar{A} \quad &\longleftrightarrow \quad \{t, \gamma, \alpha\} \in \mathbb{A}^{+}(T, \varpi) \\ \bar{f} \in \bar{F} \quad &\longleftrightarrow \quad \Omega \in \mathfrak{P}_2(T) \end{align*}\] dans la deuxième ligne, la lettre du milieu est surchargée ; dans la troisième, une première écriture entre accolades est noircie

Proposition

a) \(\bar{s}\) et \(\bar{a}\) incidents ssi \(\gamma\) est la structure carrée sur \(T \smallsetminus \{t\}\) se déduisant de la structure pentagonale \(\pi\) sur \(T\) en prenant les sommets adjacents \(u\), \(v\) de \(t\), \(\tilde{u} \neq t\) (\(\tilde{v} \neq t\)) adjacents à \(u\), [\(v\)], et la structure carrée de diagonales \(\{u, \tilde{u}\}\), \(\{v, \tilde{v}\}\), donc […] \[\begin{array}{c} u \text{---} v \\ \tilde{v} \text{---} \tilde{u} \end{array}, \qquad \text{et} \quad \alpha = \bigl\{ \{u, v\}, \{\tilde{u}, \tilde{v}\} \bigr\}\] [\(\bar{R} = \vec{A}(\bar{\Pi})\) s'identifie à l'ens des couples \((\pi, t)\), avec \(\pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\), \(t \in T\), donc \[\bar{R} \simeq \vec{A}(\bar{\Pi}) \simeq S(\bar{\Pi}) \times T(\bar{\Pi}) \quad ]\]

b) \(\bar{a}\) et \(\bar{f}\) incidents ssi \(t \in T \smallsetminus \Omega\), […]

le reste de b) est un palimpseste : quatre ou cinq lignes biffées une à une puis surchargées, où l'on distingue une bijection \(\overline{T \smallsetminus \{t\}} \simeq \{\tau\} \amalg \ldots \amalg \Omega\), « la condition que », « (\(\gamma\)) … tels que », « \(\Omega\) sont des arêtes consécutives » et « donc \(\alpha\) est déterminé par » ; rien n'y est lisible de façon suivie

dans la marge gauche, trois croquis : un pentagone de sommets \(t = \tau\), \(u\), \(v\), \(\tilde{u}\), \(\tilde{v}\), de centre \(s\), marqué \((\pi)\) ; sous lui, une colonne de paires fléchées en cycle, \(\{s, u\} \to \{s, v\} \to \{s, \tilde{u}\} \sim \{t, v\}\), \(\{s, \tilde{v}\} \sim \{t, u\}\), au-dessus d'un premier essai biffé ; plus bas, un fragment d'icosaèdre de sommets \(u\), \(v\), \(w\), \(u_1\), \(v_1\), \(w_1\), l'arête \(\{u, v\}\) épaissie, et le cycle \(\{u, w_1\} \to \{w_1, v\} \to \{v, w\} \to \{w, u\}\)

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NB Il y a précisément deux structures carrées sur \(T \smallsetminus \{\tau\}\)le \(T\) est surchargé d'une tache satisfaisant à […], définies par les deux bijections possibles entre \(\Omega \smallsetminus \{\tau\} = \Omega'\) et \(\Omega\) (relation de non-adjacence), mais on constate que les \(2\) signatures [orientations] de \(T\) associées aux deux choix de \(\gamma\), lorsque \(\alpha\) satisfait […], sont opposées, donc il y a exactement une telle \(\gamma\) telle que \[(\tau, \gamma, \alpha) \in \mathbb{A}^{+}(T, \varpi) \ \ldots\] [\(R' = A^{\uparrow}(\bar{\Pi}) \simeq \bigl\{ (\Omega, \Omega') \in \mathfrak{P}_2(T) \times \mathfrak{P}_2(T) \bigm| \Omega \cap \Omega' = \emptyset \bigr\}\)]

c) \(\bar{s}\) et \(\bar{f}\) incidents ssi \(\Omega\) anti-incidente pour la structure pentagonale \(\pi\). [\(R'' \simeq\) ens des structures pentagonales sur \(T\) munies d'une (anti) arête [au choix]]« au choix » est écrit sous « (anti) arête », avec une flèche

NB \(a \sim \{u, v\}\)sous un croquis de pentagone à diagonales, de sommets \(u\), \(v\), marqué \(a\), \(s\), \(f\)

d) \(\{\bar{s}, \bar{a}, \bar{f}\}\) forment un repère ssi \(\pi\), \((\tau, \gamma, \alpha)\) et \(\Omega\) se déduisent de \[\{\pi, \tau, \Omega\}, \qquad \pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi), \quad \tau \in T, \quad \Omega \in \mathfrak{P}_2(T)\] satisfaisantsous les trois lettres, trois petits signes d'appartenance renvoient à \(\operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\), \(T\), \(\mathfrak{P}_2(T)\) : \(\tau \notin \Omega\), \(\Omega\) anti-arête pour \(\pi\), \(\tau\) adjacent ([…] un seul sommet […]) à \(\Omega\) [pour \(\pi\)] [ce qui donne, pour […] \(\pi\) (\(6\) choix) et \(\tau\) (\(5\) choix) donnés, \(2\) choix pour \(\Omega\)], en prenant pour \(\gamma\) l'unique structure de carré sur \(T \smallsetminus \{\tau\}\) pour laquelle \(\Omega\), \(\{u, v\}\) (les deux sommets adj. à \(t\)) et \(\{\bar{u}, \bar{v}\} = T \smallsetminus \{\tau\} \smallsetminus \{u, v\}\) sont des arêtes, et \(\alpha = \bigl\{ \{u, v\}, \{\tilde{u}, \tilde{v}\} \bigr\}\) […] est la […] orientation de \((T \smallsetminus \{\tau\}, \gamma)\) […] par \(\Omega\). La donnée

dans la marge gauche, de haut en bas : un pentagone à diagonales, sommets \(u\), \(v\), marqué \(a\), \(s\), \(f\) ; une petite esquisse du diagramme de la page 31 (\(A^{\uparrow\to}\) en haut, \(\vec{A}\), \(\tilde{A}\), \(A^{\uparrow}\) au milieu, \(S\), \(A\), \(F\) en bas), dont les flèches ne se laissent pas toutes suivre ; un hexagone entièrement biffé et, à côté, un croquis biffé ; un pentagone de sommets \(t\), \(u\), \(v\), \(\tilde{u}\), \(\tilde{v}\), de centre \(s\) ; un carré de sommets \(u\), \(v\), \(\tilde{u}\), \(\tilde{v}\), le côté \(\{u, \tilde{v}\}\) épaissi et marqué \(\Omega\)

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des repères (définis par \(\pi\), \(\tau\), \(\Omega\)) définit un ordre sur \(T\), car \(\pi\) définit une structure pentagonale, \(t_0 = \tau\) une origine pour celle-ci, et \(\Omega\), diagonale partant de \(t_1 =\) l'unique élément \(\in \Omega\) adjacent à \(\tau\), on trouve un repère de […]\((T, \pi)\), d'où une numérotation \[T = \{t_0, t_1, t_2, t_3, t_4\} ,\] [qui est compatible avec l'orientation \(\varpi\)].écrit au-dessus de la ligne, sur une première insertion biffée, illisible

La donnée d'une telle numérotation définit une structure pentagonale \(\pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\), \(\Omega = \{t_1\) un \(\tau = t_0 \in T\), un \[\Omega = \{t_1, t_3\} \in \mathfrak{P}_2(T) ,\] définissant un élément de \(\operatorname{Rep}(\bar{\Pi})\) …

dans la marge gauche, un pentagone, le sommet du bas marqué \(\tau = t_0\), celui de gauche \(u = t_1\), la diagonale \(\Omega\) en pointillé

Il reste : expliciter [pour \(\Pi\) orienté] \[\left\{ \begin{array}{l} \tilde{S}(\bar{\Pi}) \simeq S(\Pi) \\ \tilde{A}(\bar{\Pi}) \simeq A(\Pi) \\ \tilde{F}(\bar{\Pi}) \simeq F(\Pi) \end{array} \right.\] en termes de \((T, \varpi)\). Et expliciter aussi, […] de façon directe, la structure de \(\bar{\Pi}\) comme polyèdre quotient…

31les pages 31 et 32 sont d'une autre encre, bleu-noir, et d'une main plus posée

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
    & & A^{\uparrow\to} = D^{012} \arrow[dll] \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] \arrow[drr] & & \\
    \tilde{S} \arrow[d] & \vec{A} = D^{01} \arrow[dl] \arrow[dr] & \tilde{A} \arrow[d] & A^{\uparrow} = D^{12} \arrow[dl] \arrow[dr] & \tilde{F} \arrow[d] \\
    S = D^{0} & & A = D^{1} & & F = D^{2}
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
    & A^{\uparrow\to} = D^{012} \arrow[d] & \\
    & A^{\wedge} = D^{02} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
    S = D^{0} & & F = D^{2}
\end{tikzcd}

les deux diagrammes sont côte à côte en tête de page ; les \(D\) sont écrits sous les lettres, reliés par un signe \(=\) vertical

Icosaèdre gauche (sommets \(S\) etc.…) en termes de \((E, \omega)\), \(E\) ens. à \(5\) éléments, \(\omega\) une orientation \[\begin{align*} S &\simeq \operatorname{Pent}_\omega(E) && \text{struct.\ pent.\ comp.\ avec } \omega \\ A &\simeq \operatorname{Car}(E) && \text{partitions du type } (2, 2, 1) \\ & && \simeq \text{structures carrées sur une partie à 4 él.\ de } E \\ F &\simeq \operatorname{Tr}_3(E) && \text{triangles} \subset E \\ \vec{A} &\simeq \operatorname{Pent}^{s}_\omega(E) && \omega\text{-structures pentagonales à somm.\ marqué} \\ A^{\uparrow} &\simeq \operatorname{Tr}_3(E) && \text{triangles pointés} \\ A^{\wedge} &\simeq \operatorname{Pent}^{a}_\omega(E) \simeq \operatorname{Pent}^{s}_\omega(E) && \text{structures pol.\ à arête marquée} \\ A^{\uparrow\to} &\simeq \operatorname{Rep}_\omega(E) && \text{ordres totaux sur } E \text{ comp.\ avec } \omega \\ \tilde{S} &\simeq \overrightarrow{\operatorname{Pent}}_\omega(E) && \text{permutations circulaires comp.\ avec } \omega \\ \tilde{A} &\simeq \overrightarrow{\operatorname{Car}}(E) && \text{carrés orientés} \subset E \\ \tilde{F} &\simeq \overrightarrow{\operatorname{Tr}}_3(E) && \text{triangles orientés} \subset E \end{align*}\] les symboles de droite sont souvent écrits par-dessus un premier symbole : \(\operatorname{Car}\) sur une première lettre illisible, \(\operatorname{Tr}_3\) sur un \(\mathfrak{P}_3\) (?) pour \(F\), \(A^{\uparrow}\) et \(\tilde{F}\), \(\overrightarrow{\operatorname{Pent}}\) sur un premier mot illisible. Les commentaires biffés : pour \(F\) « partitions à 3 él. », pour \(\vec{A}\) « pol » corrigé en « pentagonales », pour \(A^{\uparrow}\) « parties à trois él. » sous « triangles », pour \(\tilde{F}\) « parties à trois él. avec ordre circ. dessus ». Pour \(A^{\uparrow}\), « pointés » est lu avec doute. Pour \(A\), la ligne « partitions du type \((2,2,1)\) » est coupée à droite par les croquis

\[\left\{ \begin{aligned} \sigma_0(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_1, a_4, a_5, a_2, a_3) \\ \sigma_1(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_2, a_1, a_5, a_4, a_3) \\ \sigma_2(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_1, a_5, a_4, a_3, a_2) \end{aligned} \right.\] dans la première ligne, les deux derniers indices du second membre sont surchargés ; \((a_1, \ldots, a_5)\) du premier membre est souligné

croquis de la moitié droite de la page : un premier dessin à deux croix de droites, marqué \(a\), \(b\), \(a'\), \(b'\), \(c\), entièrement biffé ; à côté, le même au propre : deux croix superposées, de labels \(a\), \(b'\), \(a'\), \(b\), \(c\), \(b'\), \(a\), \(b\), \(a'\) ; une étoile de trois droites par un point, de labels \(a'\), \(b\), \(c\), le côté \(a\) en pointillé ; un losange coupé par sa diagonale \(a\) épaissie, faces \(f\) et \(f'\), côtés \(b\), \(c\), \(b'\), \(c'\) ; en bas, un triangle hachuré dont un côté est épaissi, entouré des droites \(a_1, \ldots, a_5\)

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\[\begin{align*} \rho_f = \sigma_1 \sigma_0 &: (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \longmapsto (a_4, a_1, a_3, a_2, a_5) \\ \rho_s = \sigma_2 \sigma_1 &: (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \longmapsto (a_2, a_3, a_4, a_5, a_1) \\ \sigma = \sigma_0 \sigma_1 &: (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \longmapsto (a_1, a_3, a_2, a_5, a_4) \end{align*}\] la lettre \(\rho\) est lue avec doute ; le reste de la page est vide