Fonds Grothendieck, cote n° 86, pages 21–32

la page commence au milieu d'une phrase, suite d'un feuillet du lot 1

~~par~~ des permutations paires sur l'ens des sommets (ou, , sur l'ens des côtés). ~~Donc~~ On en conclut que G_s opère fidèlement« fidèlement » est inséré au-dessus de la ligne sur T par permutations paires. Aussi, on trouve que pour tout polygone combinatoire de type n \equiv 1 \ (4), l'ens des sommets est canoniquement orienté, via épinglage qui permet de numéroter l'ens des sommets (et l'orientation de l'ens des sommets ne dépend pas de l'épinglage…).

On peut aussi dire que tout s \in S définit sur T, via P(s) \xrightarrow{\sim} T, une structure polygonale (pentagonale) \pi_s« \pi_s » est écrit au-dessus de la ligne, rattaché par un trait à « structure », qui est invariante sous G_s (qui opère ) groupe des automorphismes de \pi_s. A fortiori, G_s invarie l'orientation correspondante de T, soit \omega_s, donc G_s opère par permutations de T paires. [On verra plus bas que \omega_s ne dépend pas en fait du choix de s \in S]

Fixons-nous un repère r = \{s, a, f\} de \Pi, d'où des automorphismes \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 engendrant G = \operatorname{Aut}(\Pi).

à gauche, un dessin de l'icosaèdre en perspective, arêtes cachées en pointillé ; sommets marqués u_1, w_1', u', v_1', w, v, v_1, w_1, u = s, u_1', w', v' ; un triangle fondamental hachuré, de sommet s, porte sur ses côtés les marques \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2

\sigma_1 et \sigma_2 fixent s, donc ~~conservent l'orientation de~~ induisent des permutationsla correction est écrite au-dessus de la ligne biffée paires de T. D'autre part \sigma_0 conserve le troisième sommet w (opposé à a) de la face (triangulaire) f, donc par ce qui précède ~~conserve~~ induit une paire de T. Donc

Corollaire G = \operatorname{Aut}(\Pi) opère sur T par permutations paires, i.e. G \longrightarrow \operatorname{Alt}_T

Comme u \in G, s \in S implique évidemment \omega_{u(s)} = u(\omega_s) et puisque G est transitif sur S

Corollaire Les orientations \omega_s (s \in S) de T associées aux s \in S sont toutes égales« associées aux s \in S » est rejeté au début de la ligne suivante, précédé d'un trait vertical. D'où une orientation canonique sur T (évidemment conservée par G = \operatorname{Aut}(\Pi)).

Proposition Considérons une face f = \{u, v, w\}. ~~Alors les trois arêtes~~ Soit t_f = t l'ens des trois arêtes de f (en correspondance 1-1 avec l'ens de ses sommets), et soient \{u_1, v_1, w_1\} les troisièmes sommets des trois faces \neq f« trois » et « \neq f » sont insérés au-dessus de la ligne adjacentes aux arêtes. Alors

a) f induit la permutation circulaire sur les directions d'arêtes \overline{\{u, v\}}, \overline{\{v, w_1\}}, \overline{\{w, u_1\}} et sur l'ens des directions d'arêtes \overline{\{u, w_1\}}, \overline{\{w, v_1\}}, \overline{\{v, u_1\}}, correspondant dist. aux trièdresle mot s'écrit « tri » suivi d'un point pour l'accent, puis « dres », exactement comme « icosaèdre » à la page 26 ; on lit « trièdres », comme le lot 1 ~~opposés~~ : ces orbites de \{\omega, \omega^{-1}\} = \{\omega, \omega'\} , en corr. 1-1 avec l'une des deux orientations (i.e. des 2 ordres circulaires) sur f, sont \{t_\omega, t_{\omega'}\}.lecture douteuse des lettres et des indices de ces trois directions

uvw uwvdans la marge gauche, en regard des deux triples de directions : les deux ordres circulaires sur f

b) Les trois trièdres distingués \operatorname{tr}\overline{\{v, w\}} = t_u, \operatorname{tr} \overline{\{w, u\}} = t_v, \operatorname{tr}\overline{\{u, v\}} = t_w, t_\omega et t_{\omega'} sont distincts.la première égalité est lue avec doute

Dém a) est clair. ~~Pour~~ t_u, t_v, t_w deux à deux distincts est ce qu'on peut de la prop. précédente, ainsi que t_u \neq t_\omega = \operatorname{tr}\overline{\{w, u_1\}}, t_u \neq t_{\omega'} = \operatorname{tr}\overline{\{v, u_1\}} et de même pour t_v, t_w.

Corollaire On a une bijection canonique T \simeq f \amalg \operatorname{Or}(f)

(où f est identifié à un élément de \mathfrak{P}_3(S)).

Cette bijection est évidemment compatible avec l'opération de G_f \simeq D_3 = \mathfrak{S}_3, opérant sur \operatorname{Or}(f) via le quotient \mathfrak{S}_2 de \mathfrak{S}_3 (i.e. via signature) et sur f tautologiquement. ~~Donc~~ [On retrouve que G_f ~~conserve~~ opère par permutations paires sur T —] On voit ainsi que ~~l'image de~~ G_f ~~dans~~ opère fidèlement dans T, et son image dans \mathfrak{S}_T (contenue dans \operatorname{Alt}_T) est donc un s-gpe diédral 6. Donc l'image de G dans \operatorname{Alt}_T est d'ordre un multiple de 6, et par les résultats précédents un multiple de 10, donc un multiple de 30.« = \mathfrak{S}_3 » est inséré au-dessus de la ligne

Proposition Soit a = \{s, t\} \in A. Considérons ~~l'ens \varphi des deux~~ les deux faces incidentes à a, et ~~l'ens \varphi \{s, \ldots\}~~ l'ens \varphi de leurs troisièmes sommets u, v, ~~dans A les arêtes~~ Considérons a \times \varphi \longrightarrow A défini par (s, u) \longmapsto \{s, u\}. Alors les cinq éléments \operatorname{tr}\overline{\{s, u\}} (s \in a, u \in \varphi), \operatorname{tr}\bar{a} de T sont distincts.

Résulte des deux prop. précédentes.

On trouve ainsi une bijection canonique T \simeq \{\operatorname{tr}\bar{a}\} \amalg a \times \varphi , évidemment compatible avec l'action de G_a \simeq \mathfrak{S}_a \times \mathfrak{S}_\varphi \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}, qui opère donc fidèlement sur T. On retrouve que G_a opère sur T par permutations paires, et de plus on conclut que l'image de G dans \operatorname{Alt}_T est d'ordre divisible par 4. Et comme déjà d'ordre divisible par 30, il est divisible par 60. Or \operatorname{Alt}_T est d'ordre 60, ~~donc~~ et ~~Aut~~ G d'ordre 120, on trouvel'indice est douteux : a ou s ; de même trois lignes plus bas

Th L'homom. canonique \underset{\text{icosaèdre}}{G = \operatorname{Aut}\Pi} \longrightarrow \mathfrak{S}_{\underset{\text{ens des trièdres distingués}}{T(\Pi)}} a comme image \operatorname{Alt}_T, et comme noyau le sous-groupe \mathfrak{z}la lettre en forme de 3 bouclé est insérée au-dessus de la ligne ; on la rend par \mathfrak{z}, comme ailleurs dans le fonds d'ordre 2 engendré par l'antipodisme \underline{a}.

Comme \Pi et \underline{a} renverse l'orientation, on trouveun « Corollaire » biffé en tête de ces lignes G \simeq \mathfrak{z} \times G^{+} donc G^{+} \xrightarrow{\sim} \mathfrak{A}_5 la lettre après la flèche est lue \mathfrak{A} avec doute donc

Corollaire G^{+} \xrightarrow{\sim} \operatorname{Alt}_T

Reconstruction de l'icosaèdre orienté par l'ens orienté T

titre de sa main, marqué d'un trait vertical dans la marge, non souligné en entier

Soit \Pi icosaèdre, pas orienté pour le moment. L'ens T de ses trièdres distingués est orienté de façon canonique, soit \varpi son orientation. Sur T il y a exactement \frac12 4! (=12) structures polygonales, qui se partagent en 2 paquets de 6 structures polygonales, associées à l'une et l'autre orientation. Soit \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi) l'ens des 6 structures pentagonales associées à \varpi. On a une application canonique S/\underline{a} \longrightarrow \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi) compatible avec op. de G. Or G opère transitivement sur S, et il est immédiat que \operatorname{Alt}_T opère transitivement sur \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi) (vrai pour tout polygone à n \equiv 1 \ (4) côtés…), donc l'application précédente est surjective, donc bijective S/\underline{a} \xrightarrow{\sim} \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi) .

Soit d'autre part \mathbb{A}'(T) = \left\{ (t, \gamma, \alpha) \;\middle|\; \begin{array}{l} t \in T \\ \gamma \in \operatorname{Pol}(T \smallsetminus \{t\}) \\ \alpha \in \operatorname{Ar}(\gamma)/\text{antipod.} \end{array} \right\} un premier symbole biffé devant \mathbb{A} ; l'exposant de \mathbb{A}, lu comme un accent, disparaît dans la suite, où il écrit \mathbb{A}(T). Dans le triple, la deuxième lettre est surchargée (\pi corrigé en \gamma ?) ; les conditions sont écrites \pi \in \operatorname{Pol}, \alpha \in \operatorname{Ar}(\pi) sans correction = Ens des 2 diagonales du sous « /\text{antipod.} », dans la marge droite

On voit que le cardinal de \mathbb{A}'(T) est 5 \cdot \tfrac12 (4 - 1)! \cdot 2 = 30 . Mais si \alpha \in \mathbb{A}(T), \alpha détermine une bijection T \simeq \{t\} \amalg a \times \varphi \qquad (\text{où } \varphi = \operatorname{Ar}(\pi) \smallsetminus a), d'où une orientation de T. Ainsi \mathbb{A}(T) se décompose en 2 paquets de 15 éléments, associés aux deux orientations (\varpi, -\varpi) de T ; on voit tout de suite que sur chacun, telle \mathbb{A}^{+}(T, \varpi), le groupe alterné \operatorname{Alt}_T opère transitivement.

, on a une application canonique A/\underline{a} \longrightarrow \mathbb{A}^{+}(T, \varpi) , compatible avec G = \operatorname{Aut}(\Pi), et on voit comme précédemment qu'elle est surjective, donc bijective.

Enfin, une application canonique F/\underline{a} \longrightarrow \mathfrak{P}_2(T) compatible aux op. de G, donc (comme \operatorname{Alt}_T est transitif sur \mathfrak{P}_2(T)) surjective donc bijective.

Donc on a reconstruit les ens de sommets, d'arêtes, de faces de l'icosaèdre gauche en termes de (T, \varpi).

Il faudrait reconstruire aussi les relations d'incidence. \begin{align*} \bar{s} \in \bar{S} \quad &\longleftrightarrow \quad \pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi) \\ \bar{a} \in \bar{A} \quad &\longleftrightarrow \quad \{t, \gamma, \alpha\} \in \mathbb{A}^{+}(T, \varpi) \\ \bar{f} \in \bar{F} \quad &\longleftrightarrow \quad \Omega \in \mathfrak{P}_2(T) \end{align*} dans la deuxième ligne, la lettre du milieu est surchargée ; dans la troisième, une première écriture entre accolades est noircie

Proposition

a) \bar{s} et \bar{a} incidents ssi \gamma est la structure carrée sur T \smallsetminus \{t\} se déduisant de la structure pentagonale \pi sur T en prenant les sommets adjacents u, v de t, \tilde{u} \neq t (\tilde{v} \neq t) adjacents à u, [v], et la structure carrée de diagonales \{u, \tilde{u}\}, \{v, \tilde{v}\}, donc \begin{array}{c} u \text{---} v \\ \tilde{v} \text{---} \tilde{u} \end{array}, \qquad \text{et} \quad \alpha = \bigl\{ \{u, v\}, \{\tilde{u}, \tilde{v}\} \bigr\} [\bar{R} = \vec{A}(\bar{\Pi}) s'identifie à l'ens des couples (\pi, t), avec \pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi), t \in T, donc \bar{R} \simeq \vec{A}(\bar{\Pi}) \simeq S(\bar{\Pi}) \times T(\bar{\Pi}) \quad ]

b) \bar{a} et \bar{f} incidents ssi t \in T \smallsetminus \Omega,

le reste de b) est un palimpseste : quatre ou cinq lignes biffées une à une puis surchargées, où l'on distingue une bijection \overline{T \smallsetminus \{t\}} \simeq \{\tau\} \amalg \ldots \amalg \Omega, « la condition que », « (\gamma) … tels que », « \Omega sont des arêtes consécutives » et « donc \alpha est déterminé par » ; rien n'y est lisible de façon suivie

dans la marge gauche, trois croquis : un pentagone de sommets t = \tau, u, v, \tilde{u}, \tilde{v}, de centre s, marqué (\pi) ; sous lui, une colonne de paires fléchées en cycle, \{s, u\} \to \{s, v\} \to \{s, \tilde{u}\} \sim \{t, v\}, \{s, \tilde{v}\} \sim \{t, u\}, au-dessus d'un premier essai biffé ; plus bas, un fragment d'icosaèdre de sommets u, v, w, u_1, v_1, w_1, l'arête \{u, v\} épaissie, et le cycle \{u, w_1\} \to \{w_1, v\} \to \{v, w\} \to \{w, u\}

NB Il y a précisément deux structures carrées sur T \smallsetminus \{\tau\}le T est surchargé d'une tache satisfaisant à , définies par les deux bijections possibles entre \Omega \smallsetminus \{\tau\} = \Omega' et \Omega (relation de non-adjacence), mais on constate que les 2 ~~signatures~~ orientations de T associées aux deux choix de \gamma, lorsque \alpha satisfait , sont opposées, donc il y a exactement une telle \gamma telle que (\tau, \gamma, \alpha) \in \mathbb{A}^{+}(T, \varpi) \ \ldots [R' = A^{\uparrow}(\bar{\Pi}) \simeq \bigl\{ (\Omega, \Omega') \in \mathfrak{P}_2(T) \times \mathfrak{P}_2(T) \bigm| \Omega \cap \Omega' = \emptyset \bigr\}]

c) \bar{s} et \bar{f} incidents ssi \Omega anti-incidente pour la structure pentagonale \pi. [R'' \simeq ens des structures pentagonales sur T munies d'une (anti) arête au choix]« au choix » est écrit sous « (anti) arête », avec une flèche

NB a \sim \{u, v\}sous un croquis de pentagone à diagonales, de sommets u, v, marqué a, s, f

d) \{\bar{s}, \bar{a}, \bar{f}\} forment un repère ssi \pi, (\tau, \gamma, \alpha) et \Omega se déduisent de \{\pi, \tau, \Omega\}, \qquad \pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi), \quad \tau \in T, \quad \Omega \in \mathfrak{P}_2(T) satisfaisantsous les trois lettres, trois petits signes d'appartenance renvoient à \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi), T, \mathfrak{P}_2(T) : \tau \notin \Omega, \Omega anti-arête pour \pi, \tau adjacent ( un seul sommet ) à \Omega [pour \pi] [ce qui donne, pour \pi (6 choix) et \tau (5 choix) donnés, 2 choix pour \Omega], en prenant pour \gamma l'unique structure de carré sur T \smallsetminus \{\tau\} pour laquelle \Omega, \{u, v\} (les deux sommets adj. à t) et \{\bar{u}, \bar{v}\} = T \smallsetminus \{\tau\} \smallsetminus \{u, v\} sont des arêtes, et \alpha = \bigl\{ \{u, v\}, \{\tilde{u}, \tilde{v}\} \bigr\} est la orientation de (T \smallsetminus \{\tau\}, \gamma) par \Omega. La donnée

dans la marge gauche, de haut en bas : un pentagone à diagonales, sommets u, v, marqué a, s, f ; une petite esquisse du diagramme de la page 31 (A^{\uparrow\to} en haut, \vec{A}, \tilde{A}, A^{\uparrow} au milieu, S, A, F en bas), dont les flèches ne se laissent pas toutes suivre ; un hexagone entièrement biffé et, à côté, un croquis biffé ; un pentagone de sommets t, u, v, \tilde{u}, \tilde{v}, de centre s ; un carré de sommets u, v, \tilde{u}, \tilde{v}, le côté \{u, \tilde{v}\} épaissi et marqué \Omega

des repères (définis par \pi, \tau, \Omega) définit un ordre sur T, car \pi définit une structure pentagonale, t_0 = \tau une origine pour celle-ci, et \Omega, diagonale partant de t_1 = l'unique élément \in \Omega adjacent à \tau, on trouve un repère de (T, \pi), d'où une numérotation T = \{t_0, t_1, t_2, t_3, t_4\} , qui est compatible avec l'orientation \varpi.écrit au-dessus de la ligne, sur une première insertion biffée, illisible

La donnée d'une telle numérotation définit une structure pentagonale \pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi), ~~\Omega = \{t_1~~ un \tau = t_0 \in T, un \Omega = \{t_1, t_3\} \in \mathfrak{P}_2(T) , définissant un élément de \operatorname{Rep}(\bar{\Pi}) …

dans la marge gauche, un pentagone, le sommet du bas marqué \tau = t_0, celui de gauche u = t_1, la diagonale \Omega en pointillé

Il reste : expliciter [pour \Pi orienté] \left\{ \begin{array}{l} \tilde{S}(\bar{\Pi}) \simeq S(\Pi) \\ \tilde{A}(\bar{\Pi}) \simeq A(\Pi) \\ \tilde{F}(\bar{\Pi}) \simeq F(\Pi) \end{array} \right. en termes de (T, \varpi). Et expliciter aussi, de façon directe, la structure de \bar{\Pi} comme polyèdre quotient…

les pages 31 et 32 sont d'une autre encre, bleu-noir, et d'une main plus posée

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & A^{\uparrow\to} = D^{012} \arrow[dll] \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] \arrow[drr] & & \\ \tilde{S} \arrow[d] & \vec{A} = D^{01} \arrow[dl] \arrow[dr] & \tilde{A} \arrow[d] & A^{\uparrow} = D^{12} \arrow[dl] \arrow[dr] & \tilde{F} \arrow[d] \\ S = D^{0} & & A = D^{1} & & F = D^{2} \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & A^{\uparrow\to} = D^{012} \arrow[d] & \\ & A^{\wedge} = D^{02} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ S = D^{0} & & F = D^{2} \end{tikzcd}

les deux diagrammes sont côte à côte en tête de page ; les D sont écrits sous les lettres, reliés par un signe = vertical

Icosaèdre gauche (sommets S etc.…) en termes de (E, \omega), E ens. à 5 éléments, \omega une orientation \begin{align*} S &\simeq \operatorname{Pent}_\omega(E) && \text{struct.\ pent.\ comp.\ avec } \omega \\ A &\simeq \operatorname{Car}(E) && \text{partitions du type } (2, 2, 1) \\ & && \simeq \text{structures carrées sur une partie à 4 él.\ de } E \\ F &\simeq \operatorname{Tr}_3(E) && \text{triangles} \subset E \\ \vec{A} &\simeq \operatorname{Pent}^{s}_\omega(E) && \omega\text{-structures pentagonales à somm.\ marqué} \\ A^{\uparrow} &\simeq \operatorname{Tr}_3(E) && \text{triangles pointés} \\ A^{\wedge} &\simeq \operatorname{Pent}^{a}_\omega(E) \simeq \operatorname{Pent}^{s}_\omega(E) && \text{structures pol.\ à arête marquée} \\ A^{\uparrow\to} &\simeq \operatorname{Rep}_\omega(E) && \text{ordres totaux sur } E \text{ comp.\ avec } \omega \\ \tilde{S} &\simeq \overrightarrow{\operatorname{Pent}}_\omega(E) && \text{permutations circulaires comp.\ avec } \omega \\ \tilde{A} &\simeq \overrightarrow{\operatorname{Car}}(E) && \text{carrés orientés} \subset E \\ \tilde{F} &\simeq \overrightarrow{\operatorname{Tr}}_3(E) && \text{triangles orientés} \subset E \end{align*} les symboles de droite sont souvent écrits par-dessus un premier symbole : \operatorname{Car} sur une première lettre illisible, \operatorname{Tr}_3 sur un \mathfrak{P}_3 (?) pour F, A^{\uparrow} et \tilde{F}, \overrightarrow{\operatorname{Pent}} sur un premier mot illisible. Les commentaires biffés : pour F « ~~partitions à 3 él.~~ », pour \vec{A} « pol » corrigé en « pentagonales », pour A^{\uparrow} « ~~parties à trois él.~~ » sous « triangles », pour \tilde{F} « ~~parties à trois él. avec ordre circ. dessus~~ ». Pour A^{\uparrow}, « pointés » est lu avec doute. Pour A, la ligne « partitions du type (2,2,1) » est coupée à droite par les croquis

\left\{ \begin{aligned} \sigma_0(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_1, a_4, a_5, a_2, a_3) \\ \sigma_1(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_2, a_1, a_5, a_4, a_3) \\ \sigma_2(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_1, a_5, a_4, a_3, a_2) \end{aligned} \right. dans la première ligne, les deux derniers indices du second membre sont surchargés ; (a_1, \ldots, a_5) du premier membre est souligné

croquis de la moitié droite de la page : un premier dessin à deux croix de droites, marqué a, b, a', b', c, entièrement biffé ; à côté, le même au propre : deux croix superposées, de labels a, b', a', b, c, b', a, b, a' ; une étoile de trois droites par un point, de labels a', b, c, le côté a en pointillé ; un losange coupé par sa diagonale a épaissie, faces f et f', côtés b, c, b', c' ; en bas, un triangle hachuré dont un côté est épaissi, entouré des droites a_1, \ldots, a_5

\begin{align*} \rho_f = \sigma_1 \sigma_0 &: (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \longmapsto (a_4, a_1, a_3, a_2, a_5) \\ \rho_s = \sigma_2 \sigma_1 &: (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \longmapsto (a_2, a_3, a_4, a_5, a_1) \\ \sigma = \sigma_0 \sigma_1 &: (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \longmapsto (a_1, a_3, a_2, a_5, a_4) \end{align*} la lettre \rho est lue avec doute ; le reste de la page est vide