Cote n° 84, pages 41–60

Cote n° 84 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

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41la page continue un argument commencé avant ce lot : $f$, $P^{*}$, $A^{*}$, $W(A)^{*}$ et $SW(A)$ y sont introduits.

et on a \[f(u.D) = u\bar{u}^{-1} f(D) \qquad D \in \Gamma P^{*},\ u \in \Gamma A^{*}\] ( $= f(D) =^{2}$ )le dernier signe, un « $=$ » surmonté d'un petit « 2 », est lu tel quel ; son sens n'est pas clair., i.e. le morphisme de schémas est compatible avec les opérations des groupes d'op. $W(A)^{*}$ et $SW(A)$ et l'homomorphisme de groupes \[W(A)^{*} \longrightarrow SW(A), \qquad u \longmapsto u\bar{u}^{-1}\] ), donc aussi (en restreignant le groupe d'opérateurs sur $P^{*}$ à $SW(A)$) … \[u \longmapsto u^{2}, \qquad SW(A) \longrightarrow SW(A)\]

$X$-scindages, produits contractés d'extensions $X$-scindées, produits contractés de revêtements quadratiques, invariants d'Hasse-Stiefel-Whitney généralisés, etc.

ce titre est la seule inscription d'une feuille de papier à musique, de sa main, qui précède la page 43 (page 42 du fonds) ; il y écrit d'abord « produits contractés de revêtements quadratiques », avec le premier mot biffé puis récrit. La feuille porte aussi au crayon le numéro « (79) » entre parenthèses.

Revêtements quadratiques

43\[0 \to \mathcal{O} \to A \xrightarrow{\ \Psi\ } \check{L} \to 0 \qquad E = \check{A} \qquad 0 \to L \to E \xrightarrow{\ \psi\ } \mathcal{O} \to 0\] sous $\check{L}$ : « inv » ; la lettre au-dessus de la première flèche est $\Psi$. \[\begin{array}{ll} P = \psi^{-1}(1) \quad \text{tors.\ sous } L \qquad & \psi(x) = \langle 1, x\rangle = x(1)\\[2pt] P_{\lambda} = \psi^{-1}(\lambda) \quad \text{id.} & \end{array}\]

$T \in \Gamma P_{2} \subset E$ fonction trace
$N \in \Gamma \mathrm{Sym}^{2}(E) \subset \mathrm{Sym}^{\bullet}(E)$ (fonctions pol. sur $A$) forme quadratique norme

N.B. 1) $0 \to E \otimes L \to \mathrm{Sym}^{2}(E) \xrightarrow{\ \chi\ } \mathcal{O} \to 0$ où $\chi(Q) = Q(1)$

on a $N \in \chi^{-1}(1)$ (tors. sous $E \otimes L$) i.e. $N(1) = 1$.

2) […] On a $0 \to L^{\otimes 2} \to E \otimes L \to L \to 0$ et $\mathrm{Sym}^{2}(E)$ a suite de comp. à quotients successifs $\mathcal{O}$, $L$, $L^{\otimes 2}$. On identifie $L^{\otimes 2}$ à ss-module de $\mathrm{Sym}^{2}E$.

attention au signe (encadré) — $\delta$ est le discr. de $N$ changé de signe

$-\delta \in \Gamma(L^{\otimes 2})$ « discriminant » de $N$

N.B. Forme bil. bil. sym. $\varphi_{N}$ associée à $N$ \[\varphi_{N} : A \times A \to \mathcal{O} \quad\text{d'où}\quad A \to \check{A} \overset{\mathrm{df}}{=} E\] d'où \[\textstyle\bigwedge^{2} A \to \bigwedge^{2} E \qquad\text{d'où}\qquad \delta \in \Gamma L^{\otimes 2}\] \[\textstyle\bigwedge^{2} A \simeq \check{L}, \qquad \bigwedge^{2} E \simeq L, \qquad L^{\otimes 2} \simeq \mathrm{Hom}(\check{L}, L)\] \[\boxed{T^{2} - 4N = +\delta} \qquad\text{i.e.}\qquad \boxed{4N = T^{2} - \delta}\] « attention signe ! », avec une flèche vers le $+$ de la première formule. ici et dans la suite du lot, plusieurs signes $+$ ou $-$ sont recouverts d'une tache d'encre (surcharge) ; on les donne tels que le calcul les exige, sans les avoir lus. C'est le cas du signe de la seconde formule encadrée. N.B. on a $\varphi_{N}(x,y) = x\bar{y} + y\bar{x}$, et $\mathrm{Tr}(x)\mathrm{Tr}(y) = \varphi_{N}(x,y) + \mathrm{Tr}(xy)$ […], on trouve $\varphi_{N}(x,y) = \mathrm{Tr}(x)\mathrm{Tr}(y) - \mathrm{Tr}(xy)$. note marginale écrite en diagonale.

N.B. Soient $x', x'' \in \Gamma E$ […] deux sections distinctes en tt pt, et qui correspondent à des homs d'alg. $A \overset{x',x''}{\rightrightarrows} \mathcal{O}_{X}$ (donc $x', x'' \in \Gamma P_{1}$). On a donc $A \simeq \mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{X}$ \[\text{\struck{$x'(a,b)$}} \qquad x'(a,b) = a, \quad x''(a,b) = b, \qquad \mathrm{Tr}(a,b) = a + b, \quad N(a,b) = ab\] d'où \[\boxed{\begin{array}{l} T = x' + x'' \\ N = x'x'' \\ \delta = (x' - x'')^{2} \end{array}} \qquad \text{\struck{\ill{}}}\]

45Considérons la fonction polynomiale sur $P_{1}$ \[x \longmapsto \underbrace{(x - x')}_{\in L}\,\underbrace{(x - x'')}_{\in L} \in L^{\otimes 2}\] i.e. \[x \longmapsto x^{2} - Tx\,\text{\struck{$\psi(x)$}} + N\] restriction de la forme quadratique \[Q : x \longmapsto x^{2} - \psi(x)Tx + \psi(x)^{2}N, \qquad E \to L^{\otimes 2} \subset \mathrm{Sym}^{2}(E)\] au-dessus de la formule, deux essais biffés de $\psi(x)$, et un signe biffé avant $\psi(x)^{2}N$. sur $E$. Cette forme est définie ⌜via cette formule⌝ (en tous cas, sans supposer existence de $x'$, $x''$), elle prend ses valeurs dans $\mathrm{Sym}^{2}(E)$, mais on on vérifie qu'elle est à valeurs dans $L^{\otimes 2} \subset \mathrm{Sym}^{2}$ (argument « universel » …). Sa restriction à $L$ est \[x \longmapsto Q(x) = x^{2} : L \to L^{\otimes 2}\] (partie « homog. » de la fonction polynomiale ⌜de degré 2⌝ canonique sur $P_{1}$).

N.B. Équiv. de cat. fibrées \[\left\{\begin{array}{l}\text{rev.\ quadratiques}\\ \text{de } S\end{array}\right\} \;\simeq\; \left\{\begin{array}{l} \text{\struck{Triples} $(\text{\struck{$P_{1}$}}\ L, P_{1}, Q)$ sur $S$}\\ \text{a) $L$ Module inv.}\\ \text{b) $P_{1}$ $L$-torseur}\\ \text{c) $Q : P_{1} \to L^{\otimes 2}$ fonct.\ pol.\ de degré 2}\\ \qquad\text{à partie homogène $x \mapsto x^{2} : L \to L^{\otimes 2}$} \end{array}\right.\] ( $Q$ est section d'un torseur sous $A$ $\mathrm{Hom}(E, L^{\otimes 2})$ [$E$ : module enveloppant de $P_{1}$] $\simeq \check{E} \otimes L^{\otimes 2}$ $\simeq$ […] $A \otimes L^{\otimes 2}$, ext. de $L$ par $L^{\otimes 2}$ $\ast$ … ). Le rev. quadratique associé à une donnée peut être interprété comme le « schéma des zéros de $Q$ », interprété lui-même comme section du faisceau structural du fibré affine $\mathbb{P}_{1}$ correspondant à $P_{1}$.

$\ast$ Si $T$ ($= x' + x''$) est donné d'avance (dans $\Gamma P_{2}$), sans l'indétermination seule reste dans $N$, de façon que $x^{2} + Tx + N$ soit $\in \Gamma L^{\otimes 2}$ […] ; si 2 inv. sur $\mathcal{O}_{S}$, cette indétermination […] par la donnée de $\delta \in \Gamma L^{\otimes 2}$, […] $4N = T^{2} - \delta$ […] $T^{2} \equiv \delta$ (4) […] Mais il faut […] note écrite en diagonale dans le coin inférieur gauche ; la fin, en lignes très espacées, reste illisible.

46Re N.B. Considérons \[\varphi_{N} : A \longrightarrow \check{A} = E \qquad\text{via forme bil.\ ass.\ à forme qu.\ $N$}\] d'où \[A \xrightarrow{\ \varphi_{N}\ } E \xrightarrow{\ Q\ } L^{\otimes 2}\] On trouve \[\boxed{Q(\varphi_{N}(x)) = - N(x)\,\delta}\] vérification à partir du cas décomposé, le signe devant $N(x)\delta$ est recouvert ; p. 52 il écrit $+N(x)\delta$, alors que p. 46 plus bas « $Q$ correspond à $-N$ ».

Si $\delta$ inv. (cas étale)

Conditions équivalentes

a)$X'$ rev. étale de $X$
b)$\varphi_{N} : A \to \check{A} = E$ iso
c)$\delta \in \Gamma L^{\otimes 2}$ section inv., i.e. ne s'annulant nulle part.

Alors $\delta$ base de $L^{\otimes 2}$, $\varphi_{N} : A \simeq E$, et ⌜vu⌝ si on fait les identifications, $Q$ correspond à $-N$.

Si par contre $\delta = 0$ (cas tot[alemen]t ramifié) on trouve \[Q(\varphi_{N}(x)) = 0 \,..\]

Considérons \[x \longmapsto \boxed{2x - T = z} \quad (z \in \Gamma L), \qquad P_{1} \longrightarrow L\] c'est un iso si 2 inv. sur $X$ donc iso sur $X_{2} = X - V(2)$. Si $x$ et $z$ se correspondent, on a \[2x = z + T \;\Longrightarrow\; Q(z + T) = 4Q(x)\] et ⌜si $x$ solution de⌝ l'éq. quadratique $X'$ de $X$ i.e. $Q(x) = 0$, on a $Q(T + z) = 0$. On en trouve, puisque (comme $\psi(z + T) = 2$) \[\text{\struck{$Q(T+z)$}} \qquad Q(z + T) = z^{2} - \delta\] \[z^{2} + 2Tz + T^{2} - 2(Tz + T^{2}) + 4N = z^{2} - (T^{2} - 4N) = z^{2} - \delta\] donc \[\left\{\begin{array}{l} Q(x) = 0 \ \text{ i.e.\ } x \in \Gamma(X'/X) \;\Longrightarrow\; \boxed{z^{2} = \delta}\\ \text{(et iso si 2 inv.\ sur $X$)} \end{array}\right.\]

47Le groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ opère sur $X'/X$, via \[\left\{\begin{array}{ll} x \longmapsto \text{\struck{\ill{}}}\ \bar{x} = T - x & \text{sur } P_{1} \quad (\text{auto})\\ x + \bar{x} = T & \text{si } x \in \Gamma P_{1} \end{array}\right.\] on a encore \[\left\{\begin{array}{ll} x \longmapsto \bar{x} = \psi(x)T - x & \text{sur } E\\ \text{i.e.\ } x + \bar{x} = \psi(x)T & \end{array}\right.\] On a \[\left\{\begin{array}{l} \psi(T) = T\\ \psi(N) = N\\ Q(\text{\struck{$\psi(x)$}}\ \bar{x}) = Q(x) \end{array}\right.\] la lettre lue $\psi$ dans les deux premières lignes est douteuse ; une flèche revient sur l'accolade. Sur $A$, l'involution donnée par \[x \longmapsto \bar{x} = \mathrm{Tr}(x) - x \qquad\text{i.e.}\qquad x + \bar{x} = \mathrm{Tr}(x).1\] sous le « $1$ » est écrit un signe qui ressemble à $\delta_{0}$. Considérons $X_{0} = V(2)$, […] $N(x) \in \Gamma L$ et $T_{0}, N_{0}$, et $E_{0}, L_{0}, T_{0}, N_{0}, Q_{0}$ les restrictions à $X_{0}$. On a […] $T_{0} \in E_{0}$ dans \[T_{0} \in \Gamma L_{0} \quad (\Gamma E_{0})\] et \[T_{0}^{2} = \delta_{0} \ (= -\delta_{0}) \quad\text{sur } X_{0}\] et de même : si $T_{0}$ est relevé loc[alemen]t ⌜en relèvement $\tau_{1}$ de $E$⌝ (sur $X_{1} = V(4)$), […] \[(\text{p.\ ex.\ } \tau_{1} = T|X_{1} \overset{\mathrm{df}}{=} T_{1}) \qquad\text{on a}\qquad \tau_{1}^{2} = \delta_{1} \quad (\overset{\mathrm{df}}{=} \delta|X_{1})\] (N.B. cela ne dépend pas du choix de ce relèvement, car $(\tau_{1} + 2\alpha)^{2} \equiv \tau_{1}^{2}$ (4) ) On l'exprimera par l'écriture \[\boxed{T_{0}^{2} \equiv \delta \quad (4)}\]

Ici posé, si $x$ section de $X'/X$, $z$ la section corr. de $L$, tq $z = 2x - T$, $z_{0}$ $z_{0}$ la restr. à $X_{0}$, on aura \[\left\{\begin{array}{l} z_{0} = T_{0} \\ z^{2} = \delta \end{array}\right.\] i.e. $z$ est une solution de $z^{2} = \delta$ ⌜sur $X$⌝ qui prolonge la solution déjà donnée $T_{0}$ sur $X_{0}$.

48Soit \[\mathfrak{X}' : \mathrm{Sch}_{/X} \to \mathrm{Ens}\] dont la val. sur $X$ soit \[\mathfrak{X}'(X) = \Bigl\{ x \in \Gamma L \Bigm| \begin{array}{l} x^{2} = \delta \\ x|X_{0} = T_{0} \end{array} \Bigr\}\] et idem pour $Y/X$. \[\mu'_{2} \subset \mu_{2,X} : \mathrm{Sch}_{/X} \to \mathrm{Groupes}, \quad\text{comme}\] \[\mu'_{2}(X) = \bigl\{ \lambda \in \Gamma \mathcal{O}_{X}^{*} \bigm| \lambda^{2} = 1,\ \lambda_{0} = 1 \bigr\}\] Alors $\mu'_{2}$ opère sur $\mathfrak{X}'$, et si $\delta$ est inv. i.e. si $X'/X$ étale, donc $\mathfrak{X}'$ est un torseur sous $\mu'_{2}$ (alors que $X'/X$ est un torseur sous $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}$). On a compatibilité \[X' \xrightarrow{\ f\ } \mathfrak{X}', \qquad (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X} \longrightarrow \mu'_{2X}\] i.e. \[f(\bar{x}) = -f(x) \qquad \text{\struck{\ill{}}}\] Ici \[z \longmapsto \bar{z} \ : \ \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}'\] est l'appli automorphisme induit par la section $-1$ de $\mu'_{2X}$ […]. N.B. $\mathfrak{X}'$ et $\mu'_{2}$ sont des faisceaux fpqc, pas représ. si […] $\exists\, x \in X$ […] $2 \in \mathfrak{m}_{X,x}$, $2 \neq 0$ dans $\mathcal{O}_{X,x}$ note écrite verticalement dans la marge gauche.

Supposons 2 $\mathcal{O}_{X}$-régulier. Alors la donnée d'un rev. quadratique $X'/X$ équivaut à celle de \[\left\{\begin{array}{l} L,\ \delta \in \Gamma L^{\otimes 2},\ T_{0} \in \Gamma(L_{0}) \quad (\text{où } L_{0} = L|X_{0})\\ \text{tels que, satisfaisant } T_{0}^{2} \equiv \delta \ (4) \end{array}\right.\] On va décrire les sections $x$ de $X'/X$ en termes de la section $z$ de $L$, dans le cas où $X' \to \mathfrak{X}'$ pas iso i.e. si $X_{0} \neq \emptyset$. Bien sûr Bien sûr on

49\[\Gamma(X'/X) \hookrightarrow \Gamma(\mathfrak{X}'/X) \qquad (\text{injectif})\] car $X - X_{0}$ schém. dense dans $X$. Donc $x$ connue quand on connaît $z$. Quelles conditions imposer sur $z$ ? Il suffit que Notons que \[\text{\struck{\ill{}}} \qquad T + z \equiv 0 \quad (2)\] car cela signifie $T_{0} \pm z_{0} = 0$ i.e. $z_{0} = T_{0}$ (OK), donc on pourra prendre \[x = \frac{T + z}{2},\] je dis que a) c'est une section de $P_{1}$, i.e. $\psi(x) = 1$ (or cela équivaut à : $2\psi(x) = 2$ i.e. $\psi(2x) = 2$, OK, $\psi(2x) = \psi(T + z)$), et b) on a bien $Q(x) = 0$ (or cela équivaut à : $4Q(x) = 0$ i.e. $Q(2x) = 0$ i.e. $Q(T + z) = 0$, donc à $z^{2} = \delta$ … ).

Description de $E$ en termes de $L$, $\delta$, $T_{0}$ : soit $\tau$ une section (loc[alemen]t) de $L$ qui remonte $T_{0}$ \[\Gamma E = \Bigl\{ (\lambda, \xi) \Bigm| \lambda \in \Gamma \mathcal{O},\ \xi \in \Gamma\Bigl(\frac{\lambda\tau}{2} + L\Bigr) \Bigr\} \qquad \left\{\begin{array}{l} \lambda = \psi(x) \\ \xi = x - \lambda\frac{T}{2} \end{array}\right.\] sous $\frac{\lambda\tau}{2} + L$ : « ne dépend pas du choix de $L$ » sic ; on attend « de $\tau$ ». — N.B. $\frac{\lambda\tau}{2} + L \subset \frac{1}{2}L$

on a aussi \[\boxed{\Gamma E \simeq \bigl\{ (\lambda, \zeta) \bigm| \lambda \in \Gamma \mathcal{O},\ \zeta \in \Gamma(\lambda\tau + 2L) \subset \Gamma(L) \bigr\}}\ {}^{\ast}\] \[\boxed{\left\{\begin{array}{l} \lambda = \psi(x) \\ \zeta = 2x - \psi(x)T \end{array}\right.}\] $(\mathrm{d\acute{e}f})$ $L_{\lambda}$ sous-faisceau de $L$, i.e. sections de $L$ qui remontent la section $\lambda T_{0}$ de $L_{0}$, i.e. $\boxed{\zeta_{0} = \lambda_{0}T_{0}}$. $\ast$ via l'iso. de $L$ dessus, $u_{\xi} : x \mapsto x + 2\xi$

Relation entre $(\lambda, \xi)$ et $(\lambda, \zeta)$ : $\zeta = 2\xi$. \[0 \to L \longrightarrow E \xrightarrow{\ \psi\ } \mathcal{O} \to 0 \qquad \left\{\begin{array}{l} \psi(\lambda, \zeta) = \lambda \\ i(\xi) = (0, 2\xi) \end{array}\right.\] à droite, un N.B. barré en diagonale : « N.B. On a $\lambda = \psi(x)$, $\zeta = 2x - \psi(x)T$ ; donc $x = (\lambda, \zeta)$ ». $T$ correspond à la section $(2, \text{\struck{\ill{}}}\ 0)$ de $\Gamma P_{2} \simeq \Gamma(2\tau + 2L)$.

50\[N = (T^{2} - \delta)/4,\] c'est une section de $\Gamma \mathrm{Sym}^{2}(E)$, grâce à la condition $T_{0}^{2} \equiv \delta$ (4). Vérifions que la fonction pol. \[Q(x) = x^{2} - Tx + N\] sur $P_{1}$ est à valeurs dans $L^{\otimes 2} \subset \mathrm{Sym}^{2}(E)$. Il suffit de prouver qu'il en est ainsi de \[4Q(x) = Q(2x)\] et on peut poser \[2x = T + z\] on trouve \[Q(T + z) = T^{2} + 2zT + z^{2} - 2T(T + z) + 4N \qquad\text{i.e.}\] sous $2T(T+z)$ et $4N$ : $\psi(T+z)$ et $\psi(T+z)^{2}$. \[\boxed{Q(T + z) = \text{\struck{\ill{}}}\ z^{2} - \delta}\] et on a bien $z^{2} - \delta \in \Gamma L^{\otimes 2}$ OK.

Description de $A$. On a \[A \longrightarrow (\mathcal{O} \times \check{L}) \qquad x \longmapsto (\mathrm{Tr}(x), \varphi(x))\] la lettre lue $\varphi$ est douteuse. est injectif, car le noyau est formé des $x \in \Gamma(\mathcal{O})$ ($\subset A$) tels que $\mathrm{Tr}\,x = 0$ i.e. $2x = 0$ i.e. $x = 0$. Donc \[A \subset \mathcal{O} \times \check{L}\] On trouve \[\Gamma A \simeq \bigl\{ (b, \gamma) \in \Gamma \mathcal{O} \times \Gamma \check{L} \bigm| \boxed{b_{0} = \gamma_{0} T_{0}} \bigr\}\] \[b \in \Gamma \mathcal{O}_{X}, \qquad \text{relation}\quad \underset{\Gamma \check{L}_{0}}{\gamma_{0}} \,.\, \underset{\Gamma L_{0}}{T_{0}} \in \Gamma \mathcal{O}_{X_{0}}\] \[\text{i.e.\ } \xi \mapsto 2\xi \qquad (b, \gamma) \longmapsto \gamma\] \[0 \to \mathcal{O}_{X} \longrightarrow A \longrightarrow \check{L} \to 0 \quad (\text{surj})\] Ainsi l'unité $\underline{1}$ de $A$ se décrit par $(2, 0)$.

51\[\left\{\begin{array}{l} \text{\struck{N.B.}}\quad T(b, \gamma) = b\\ \delta(b, \gamma) = \text{\struck{\ill{}}}\ \gamma^{2}.\delta\\[2pt] \text{donc}\quad N(b, \gamma) = (T^{2} - \delta)(b, \gamma)/4 = (b^{2} - \gamma^{2}\delta)/4 \end{array}\right.\] C'est une section de de $\mathcal{O}_{X}$, car \[b \equiv \gamma T \ (2) \qquad\text{donc}\qquad b^{2} \equiv \gamma^{2}T^{2} \ (4)\] donc \[b^{2} - \gamma^{2}\delta \equiv \gamma^{2}(\underbrace{T^{2} - \delta}_{\equiv 0\ (4)}) \equiv 0 \quad (4)\] N.B. on en déduit $\varphi_{N}((b,\gamma),(b',\gamma')) = \dfrac{bb' - \gamma\gamma'\delta}{2}$

Soit $x = (b, \gamma) \in \Gamma A$, on a \[x^{2} - bx + \frac{b^{2} - \gamma^{2}\delta}{4} = 0 \qquad\text{i.e.}\] \[x^{2} = bx - \frac{b^{2} - \gamma^{2}\delta}{4} = \Bigl( b^{2} - \frac{b^{2} - \gamma^{2}\delta}{2},\ b\gamma \Bigr) = \Bigl( \frac{b^{2} + \gamma^{2}\delta}{2},\ b\gamma \Bigr)\] Cela permet de calculer, si \[x = (b, \gamma), \qquad x' = (b', \gamma')\] le produit $xx'$ comme \[xx' = \tfrac{1}{2}\bigl( (x + x')^{2} - x^{2} - x'^{2} \bigr)\] i.e. \[\begin{align*} 2xx' &= \Bigl( \frac{(b + b')^{2} + (\gamma + \gamma')^{2}\delta}{2} - \frac{b^{2} + \gamma^{2}\delta}{2} - \frac{b'^{2} + \gamma'^{2}\delta}{2},\\ &\qquad (b + b')(\gamma + \gamma') - b\gamma - b'\gamma' \Bigr)\\ &= (bb' + \gamma\gamma'\delta,\ b\gamma' + b'\gamma) \end{align*}\] mod 2 c'est bien nul car $b_{0} = \gamma_{0}T_{0}$, $b'_{0} = \gamma'_{0}T_{0}$, $T_{0}^{2} = \delta_{0}$ : $bb' + \gamma\gamma'\delta \mapsto \gamma_{0}\gamma'_{0}\delta_{0} + \gamma_{0}\gamma'_{0}\delta_{0} = 2\gamma_{0}\gamma'_{0}\delta_{0} = 0$, et $\gamma_{0}\gamma'_{0}T_{0} + \gamma_{0}\gamma'_{0}T_{0} = 2\gamma_{0}\gamma'_{0}T_{0} = 0$ donc \[\boxed{xx' = (b, \gamma)(b', \gamma') = \bigl( \tfrac{1}{2}(bb' + \gamma\gamma'\delta),\ \tfrac{1}{2}(b\gamma' + \gamma b') \bigr)}\]

52L'accouplement \[A \times E \longrightarrow \mathcal{O} \qquad (x, f) \longmapsto \langle x, f\rangle = f(x)\] est donné par \[\boxed{\langle (b, \gamma), (\lambda, \zeta) \rangle = \tfrac{1}{2}(\lambda b + \gamma.\zeta)}\] C'est OK car \[\lambda_{0}\underset{\gamma_{0}T_{0}}{b_{0}} + \gamma_{0}.\underset{\lambda_{0}T_{0}}{\zeta_{0}} = \underbrace{\lambda_{0}\gamma_{0}T_{0}}_{} + \underbrace{\gamma_{0}\lambda_{0}T_{0}}_{} = 2\gamma_{0}\lambda_{0}T_{0} = 0\] On a \[\varphi_{N}\bigl((\underset{\Gamma\mathcal{O}}{b}, \underset{\Gamma\check{L}}{\gamma}), (\underset{\Gamma\mathcal{O}}{b'}, \underset{\Gamma\check{L}}{\gamma'})\bigr) = \tfrac{1}{2}(bb' - \gamma\gamma'\delta) = \bigl\langle (b, \gamma), (b', \underset{\in \Gamma L}{-\gamma'\delta}) \bigr\rangle, \qquad\text{donc}\] $\varphi_{N} : A \to E$ est donné par \[\boxed{\varphi_{N}(\underset{\Gamma\mathcal{O}}{b}, \underset{\Gamma\check{L}}{\gamma}) = (\underset{\Gamma\mathcal{O}}{b}, \underset{\Gamma L}{-\gamma\delta})}\] Vérifions Utilisons la formule $Q(\varphi_{N}(x)) = +N(x)\delta$ par la formule précédente, pour $\varphi_{N}(x)$, $x = (b, \gamma)$, […]. \[Q(\underset{\lambda}{b}, \underset{\zeta}{-\gamma\delta}) = - (b^{2} - \gamma^{2}\delta)/4\ \delta = - (\lambda^{2} + \gamma\zeta)/4\ \delta\] \[\text{\struck{\ill{}}}\ \text{donc} \qquad \gamma = -\zeta\delta^{-1}\] d'où \[Q(\lambda, \zeta) = - (\lambda^{2} - \zeta^{2}\delta^{-1})/4\ \delta = \text{\struck{\ill{}}}\ (\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta)/4\] i.e. \[\boxed{Q(\lambda, \zeta) = (\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta)/4}\] les signes des deux premières lignes du calcul sont recouverts ; on les donne d'après la formule encadrée qu'il obtient. Il faut vérifier que \[\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta \equiv 0 \quad (4)\] or $\zeta \equiv \lambda T$ (2) d'où $\zeta^{2} \equiv \lambda^{2}T^{2}$ (4), donc \[\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta \equiv \lambda^{2}(\underbrace{T^{2} - \delta}_{4N}) = 4\lambda^{2}N \equiv 0 \quad (4) \qquad \text{OK}\] or on a $\zeta_{0} = \lambda_{0}T_{0}$,

$\zeta_{0}^{2} - \lambda_{0}^{2}\delta_{0}$ ; $\zeta_{0}^{2} = \lambda_{0}^{2}T_{0}^{2} = \lambda_{0}^{2}\delta_{0}$ car $T_{0}^{2} = \delta_{0}$

53Si $y = (\lambda, \zeta) \in \Gamma P_{1}$ ⌜i.e. $\lambda = 1$⌝, l'équation \[Q(y) = 0 \quad\text{équivaut bien à}\quad (\zeta^{2} - \delta)/4 = 0 \quad\text{i.e.}\quad \zeta^{2} = \delta\] (en plus on a $\zeta_{0} = T_{0}$, sous-entendu), cela prouve que \[Q'(\lambda, \zeta) = (\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta)/4\] est prop. à $Q$, et pour voir que le facteur de prop. est 1, il suffit de faire $y = (\lambda, \zeta) = T$ \[y = T, \qquad\text{i.e.}\qquad y = (2, 0)\] on a alors \[\text{\struck{$Q(T) = T^{2} - 2$}}\] \[Q(y) = y^{2} - Ty\,\psi(y) + N\psi(y)^{2} = T^{2} - 2T^{2} + 4N = 4N - T^{2} = -\delta\] et \[Q'(y) = (0 - 4\delta)/4 = -\delta \qquad \text{OK.}\]

Comparaison des torseurs sous $\mu_{2}$ et sous $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}$

titre souligné par un trait, sur la page.

L'hom. can. \[(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X} \longrightarrow \mu_{2X}\] définit, par torseurs associés,

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Tors}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \arrow[r, "\mathrm{Ass}"] \arrow[d, "\wr"'] & \mathrm{Tors}(\mu_{2}) \arrow[r, "\mathrm{Oub}"] \arrow[d, "\wr"] & \mathrm{Rev\,quad}(X) \arrow[d] \\
\mathrm{Triples}(L, \delta, T_{0}) \arrow[r, "{\mathrm{Ass}'\,?}"] & \mathrm{Couples}(L, \theta) \arrow[r, "{\mathrm{Oub}'\,?}"] & \mathrm{Triples}(L, \delta, T_{0})
\end{tikzcd}

sur la page, la dernière colonne est entre crochets, avec « $\otimes$-foncteur » écrit au-dessus de la flèche « Oub » ; sous la ligne du bas : à gauche « ($\delta$ inv.) », avec $\delta \in \Gamma L^{\otimes 2}$, $T_{0} \in \Gamma L_{0}$ ; au milieu « ($\theta$ inv.) », $\theta \in \Gamma L^{\otimes 2}$ ; à droite « ($\delta$ pas néc. inv.) », $\delta \in \Gamma L^{\otimes 2}$, $T_{0} \in \Gamma L_{0}$. Un premier signe vertical à gauche est biffé.

Les flèches verticales sont des équiv. si 2 rég. sur $X$ (et celles du […] aussi, ⌜aux conditions […] sur $X$⌝). Il faut déterminer les deux foncteurs horizontaux notés « ? ». Le premier foncteur est évidemment \[\mathrm{Ass}'(L, \delta, T_{0}) = (L, \delta)\]

54Mais le deuxième serait plutôt \[\mathrm{Oub}'(L, \theta) = (L, 4\theta, 0)\] Ce foncteur ne commute pas ⌜même⌝ (aux $\otimes$ à iso près) ⌜(N.B. pas même si 2 inv. sur $X$)⌝, et on en déduit que le foncteur \[\mathrm{Tors}(\mu_{2X}) \longrightarrow \mathrm{Rev\,quad}(X)\] ne commute pas aux compositions, contrairement à :

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\begin{tikzcd}
\mathrm{Tors}((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Tors}(\mu_{2X}) \\
\mathrm{Rev\,quad}(X) &
\end{tikzcd}

Car $(L \otimes L', 16\theta\theta')$ n'est pas néc. isom. à $(L \otimes L', 4\theta\theta')$, p. ex. […] $16\theta\theta' = 0$, $4\theta\theta' \neq 0$ (p. ex. sur $X = \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$, $L = L' = \mathcal{O}_{X}$, $\theta = \theta' = 1$ … note écrite verticalement dans la marge gauche.

On a en effet \[(L, \delta, T_{0}) \wedge (L', \delta', T'_{0}) = (L \otimes L', \delta\delta', T_{0}T'_{0})\] tant dans $\underline{\mathrm{Triples\ \acute{e}tales}}\,(L, \delta, T_{0})$ que dans $\underline{\mathrm{Triples}}$ (quelconques) $(L, \delta, T_{0})$, et \[(L, \theta) \wedge (L', \theta') = (L \otimes L', \theta\theta')\]

$\underline{\mathrm{Rev\,quad}}(X)$ est une catégorie monoïdale (comm.) par un produit contracté qui prolonge celui sur les $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}$-torseurs.

$\underline{\mathrm{Rev\,quad}}^{!}(X)$, sous-catégorie pleine formée des rev. quadratiques $X'/X$ tels que $T_{0} = 0$ i.e. la trace sur $X'_{0}/X_{0}$ ($X_{0} = V(2.1_{X})$) est id. nulle, i.e. $N_{X'_{0}/X_{0}}$ est additive, i.e. $\varphi_{N_{X'_{0}/X_{0}}}$ (forme bil. associée) est id. nulle.

Ce qui suit (jusqu'à […] suivantes) doit être repris de façon plus fine, en remplaçant la cat. des $\underline{\mathrm{Rev\,quad}}(X)$ par celle des $\mu_{2}$-rev. […] $\underline{\mathrm{Rev\,quad}}^{!}(X)$ […] (Rev quadratiques […] …) note écrite en diagonale dans la marge gauche, à hauteur des deux paragraphes précédents ; l'ordre des fragments est incertain.

On définit une catégorie monoïdale mixte

55des couples \[(n, \mathfrak{X}) \qquad\text{où}\qquad \begin{array}{l} n \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \text{ est une « parité »}\\ \mathfrak{X}/X \text{ rev.\ quadratique}\\ \text{avec } \mathfrak{X} \in \underline{\mathrm{Rev\,quad}}^{!} \text{ si } \underline{n = 1} \end{array}\] On pose \[(n, \mathfrak{X}) \wedge (n', \mathfrak{X}') = \left\{\begin{array}{ll} (n + n', \mathfrak{X} \wedge \mathfrak{X}') & \text{si $n$ ou $n'$ pair}\\ (n + n', \mathfrak{X} \overset{!}{\wedge} \mathfrak{X}') & \text{si $n$ \emph{et} $n'$ impairs} \end{array}\right.\] où $\mathfrak{X} \overset{!}{\wedge} \mathfrak{X}'$ est un produit contracté modifié, défini si $\mathfrak{X}, \mathfrak{X}' \in \underline{\mathrm{Rev\,quad}}^{!}(X)$, et défini (si 2 rég. sur $X$) par la condition \[(L, \delta, 0) \overset{!}{\wedge} (L', \delta', 0) = (L \otimes L', \tfrac{1}{4}\delta\delta', 0)\] où $\frac{1}{4}\delta\delta'$ a un sens intrinsèque, car localement on a \[\begin{array}{ll} \delta = 4\Delta & \Delta \text{ défini mod } h \text{ avec } 4h = 0\\ \delta' = 4\Delta' & \Delta' \text{ — } h' \text{ — } 4h' = 0 \end{array}\] \[\delta\delta' = 16\Delta\Delta' \qquad \tfrac{1}{4}\delta\delta' \overset{\mathrm{def}}{=} 4\Delta\Delta'\] qui ne change pas par $\Delta \mapsto \Delta + h$ ($4h = 0$), $\Delta' \mapsto \Delta' + h'$ ($4h' = 0$).

le paragraphe suivant est marqué d'un double trait vertical dans la marge gauche. Il faut lui donner un sens indépendamment de la condition 2 régulier sur $X$, exercice catégorique universel …

Cela justifiant commutativité ⌜(à isom. can. près)⌝ et de plus, les isom. de comm. et d'associativité, […] les bilinéarités sur $L \otimes L' \simeq L' \otimes L$, et $(L \otimes L') \otimes L'' \simeq L \otimes (L' \otimes L'')$, et compatibles automatiquement avec les produits, $\delta$, $T_{0}$ etc.

Rev. quadratiques en car. 2

titre souligné sur la page.

On a : \[L \rightrightarrows L^{\otimes 2} \qquad \left\{\begin{array}{l} u \longmapsto u^{2} \\ u \longmapsto Tu \end{array}\right. \qquad T \in \Gamma L \ \text{la section trace}\] C.N.B. ce sont des homs additifs, mais $u \mapsto u^{2}$ ⌜semi-linéaire⌝ d'où \[L \xrightarrow{\ f\ } L^{\otimes 2} : \qquad f(u) = u^{2} + Tu\] \[\check{V}(L) \longrightarrow \check{V}(L^{\otimes 2})\] On peut considérer $f$

morphisme qui est étale ssi $T$ est inv., et alors $T : \mathcal{O}_{X} \xrightarrow{\ \sim\ } L$, et $f$ peut s'interpréter comme \[\mathcal{O}_{X} \to \mathcal{O}_{X} : \quad u \mapsto u^{2} + u\]

Considérons $x'$, $x''$ les deux sections « universelles » $x'$, $x''$ de $X' \subset P_{1} \subset E$, on a \[x'' - x' = x'' + x' = T \qquad\text{i.e.}\qquad x'' = x' + T\] d'où \[x''^{(2)} = x'^{(2)} + T^{2} \qquad\text{sections de}\quad P_{1} \wedge_{L} L^{2} \simeq P_{1}^{(2)}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal]
0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "u \mapsto u^{2}"'] & E \arrow[r, "\psi"] \arrow[d, "x \mapsto x^{(2)}"] & \mathcal{O}_{X} \arrow[r] \arrow[d, "\lambda \mapsto \lambda^{2}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & L^{\otimes 2} \arrow[r] & E^{(2)} \arrow[r, "\psi^{(2)}"] & \mathcal{O}_{X} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

\[P_{1}^{(2)} = \psi^{(2)-1}(\{1\})\] sous le diagramme, un bloc biffé : « $\mathrm{Sym}^{2}(E) / \{(x+y)^{(2)} - x^{(2)} - y^{(2)}\}$ […] ». \[u \in \Gamma(P_{1}^{(2)} \wedge T.P_{1}) \iff u : P_{1}^{(2)} \simeq T P_{1} \quad \text{iso de $L^{\otimes 2}$-torseurs}\] \[\iff P_{1} \xrightarrow{\ u''\ } P_{1}^{(2)} \quad \text{compatible avec}\quad L \to L^{\otimes 2},\ u \mapsto T.u\]

N.B. $f : \check{V}(L) \to \check{V}(L^{\otimes 2})$ est fid. plat (car […]) et son noyau est un sous-groupe ⌜fini⌝ quadratique de $\check{V}(L)$, noté $G_{T}$, étale ssi $T$ est inv. ([…] $V(T)$, schéma des zéros de $T$).

Soit $x \in \Gamma(P_{1})$, i.e. $x \in \Gamma(P_{1})$, tel que \[Q(x) = 0 \qquad x^{2} + Tx + N = 0\] Écrivons \[Q(x + u) = 0 \quad (u \in \Gamma L) \qquad x^{2} + u^{2} + Tx + Tu + N = 0, \quad\text{i.e.}\quad u^{2} + Tu = 0\]

57Donc $X'/X$ est un torseur sous $G_{T}$ ! Et 2

Th. On a une équivalence de catégories ⌜(groupoïdes)⌝ fibrées sur $\mathrm{Sch}/\mathbb{F}_{2}$ (plus gén. sur les topos loc. annelés en car. 2), entre la catégorie des rev. quadratiques relatifs (sur $X \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Sch}/\mathbb{F}_{2}$), et les données (sur un tel $X$) \[(L, \overset{P_{1}}{\text{\struck{$\ast$}}}, T, \alpha), \quad\text{où}\quad \left\{\begin{array}{l} L \text{ module inv.\ sur } X, \ P_{1} \ L\text{-tors.}\\ \quad \text{(i.e.\ $P_{1}$ un fibré en droites affine sur $X$)}\\ T \text{ section de } L \text{ (module des translations de $P_{1}$)}\\ \alpha \text{ section de } P_{1} \wedge_{L} (L^{\otimes 2}, f_{T} : L \to L^{\otimes 2}) \end{array}\right.\] où \[f_{T} : L \to L^{\otimes 2} \quad\text{défini par}\quad f_{T}(u) = u^{2} + T.u\] (c'est un morphisme hom. additif, ⌜semi-linéaire⌝, $W(L) \to W(L^{\otimes 2})$, dont le noyau est un groupe ⌜fini⌝ quadratique $G_{T}$ sur $X$).

Au système $\Sigma = (L, P_{1}, T, \alpha)$ est associé le $X$-schéma \[X'_{\Sigma} = f_{T, P_{1}}^{-1}(V(\alpha))\] (torseur sous $G_{T}$), qui est ⌜fini⌝ quadratique sur $X$. Plus de doute, c'est lui !

N.B. $u : P_{1} \to P_{1}^{(2)}$ compatible avec $u \mapsto Tu$ est donné par $u : x \mapsto Tx + N$, on a alors ($Q(x) = x^{2} + Tx + N$), $u(x) = x^{2} + Q(x)$ dans […], […] l'équation $Q(x) = 0$ qui définit $X'/X$ équivaut à : $\boxed{u(x) = x^{2}}$, $P_{1} \rightrightarrows P_{1}^{(2)}$ ($u$ et $x \mapsto x^{2}$). note encadrée d'un trait, à droite du texte.

Comment s'explicite le produit contracté ? \[(L, T, P_{1}, \alpha) \wedge (L', T', P'_{1}, \alpha') \overset{?}{=} (L \otimes L', TT', ?, ?)\] Ainsi Ainsi : \[\begin{array}{lll} G_{T} \xrightarrow{\ d_{T'}\ } G_{TT'} & \text{induit par} & d_{T'} : L \to L \otimes L', \ u \mapsto uT'\\ G_{T'} \longrightarrow G_{TT'} & \text{—} & d_{T} : L' \to L \otimes L', \ u' \mapsto Tu' \end{array}\] d'où \[G_{T} \times G_{T'} \longrightarrow G_{TT'} \quad\text{hom.\ de groupes}\] et si $\mathfrak{X}$ $\mathfrak{X}$ torseur sous $G_{T}$, $\mathfrak{X}'$ sous $G_{T'}$, on en déduit par extension du groupe un torseur $\mathfrak{X} \wedge \mathfrak{X}'$ sous $G_{TT'}$ !

58Trois ⌜Quatre⌝ catégories fibrées sur $(\mathrm{Sch})$ (plus gén. sur la catégorie des topos loc. annelés …), canoniquement équivalentes

①Catégorie des rev. quadratiques $X'/X$ de $X \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Sch}$,
①'Catégorie des alg. ⌜$V(A)$⌝ commutatives loc. libres de rang 2 sur $\mathcal{O}_{X}$
②Catégorie des triples $(A, N, e)$, où $(A, N)$ est un module quadratique loc. libre de rang 2 sur $\mathcal{O}_{X}$, et où $e$ est une section de $A$ telle que \[N(e) = 1\]
③Catégorie des triples $(L, P, Q)$, où $L$ est un $\mathcal{O}_{X}$-Module inv. ⌜(identifié au schéma en droites homogène $W(L)$)⌝, $P$ un $L$-torseur, et $Q$ une application polynomiale \[P \longrightarrow L^{\otimes 2}\] dont la partie homogène de degré 2 soit $u \mapsto u^{2}$, i.e. on suppose que \[Q(x + u) = Q(x) + u^{2} + \mathrm{Lin}_{u}(x)\] où \[\mathrm{Lin}_{u} : P \to L_{S}^{\otimes 2}\] est une application affine (quand $u$ est une section loc. ⌜de $L$, disons⌝ sur $S/X$)
③'Catégorie des triples ( $0 \to L$ $0 \to L \xrightarrow{\ i\ } E \xrightarrow{\ \psi\ } \mathcal{O}_{X} \to 0, Q$) d'une suite exacte $0 \to L \to E \to \mathcal{O}_{X} \to 0$, avec $L$ inv., et d'une forme quadratique $Q$ sur $E$ à val. dans $L^{\otimes 2}$, dont la restriction à $L$ soit $u \mapsto u^{\otimes 2}$.

dans la marge gauche, des flèches relient ① et ①' (double flèche), ①' et ② (flèche vers le bas), ③ et ① (grande flèche courbe), ③ et ③' (double flèche).

On va transformer ③', en […] considérant $L^{\otimes 2}$ comme plongé dans $\mathrm{Sym}^{2}(E)$ ($\simeq \mathrm{Quad}(A)$, où $A \overset{\mathrm{df}}{=} \check{E}$), laquelle a une suite de composition

59\[0 \subset \underbrace{L^{\otimes 2}}_{L^{\otimes 2}} \subset \underbrace{L \otimes E}_{L} \subset \underbrace{\mathrm{Sym}^{2}(E)}_{\mathcal{O}_{X}}\] sous chaque inclusion, l'accolade donne le quotient successif. Considérons écrivons \[Q(x) - x^{2} \ : \ P \to \mathrm{Sym}^{2}(E)\] fonction polynomiale de degré […] $\leq 2$, […] dont la partie […] homogène ⌜quadratique⌝ $Q(x + u) -$ \[L \to L^{\otimes 2}\] est nulle. Donc c'est une application affine.

i.e. $Q(x) = x^{2} + \mathrm{Af}(x)$, $\mathrm{Af} : P \to \mathrm{Sym}^{2}E$ application affine,

dont la partie linéaire est un hom. $L \to \mathrm{Sym}^{2}(E)$ défini par un élément $T$ de $\check{L} \otimes \mathrm{Sym}^{2}E \supset E$ ces deux lignes sont barrées de longs traits obliques.

Utilisant une description de $N$ et $E$ par une section $e$ de $P_{1}$, i.e. $e \in \Gamma E$, $\psi(e) = 1$, on aura, posant \[\left\{\begin{array}{l} x = e + u, \\ u = x - e \end{array}\right.\] ⌜$u \in \Gamma L$,⌝ et écrivons \[Q(e + u) = u^{2} + bu + c \qquad \begin{array}{l} u \in \Gamma L\\ b \in \Gamma L\\ c \in \Gamma L^{\otimes 2} \end{array}\] \[\begin{align*} Q(\underbrace{e + u}_{x}) - (\underbrace{e + u}_{x})^{2} &= bu + c - 2eu - e^{2} = \underset{x - e}{u}(b - 2e) + c - e^{2}\\ &= x(b - 2e) \ \text{\struck{\ill{}}} + (e^{2} + c - be) \end{align*}\] i.e. \[\left\{\begin{array}{l} Q(x) = x^{2} - xT + N\\[2pt] \text{où}\quad \boxed{T = 2e - b \in E, \quad N = e^{2} + c - be \in \mathrm{Sym}^{2}(E)}\\[2pt] \text{avec}\quad \boxed{\psi(T) = 2, \ \varepsilon(N) = 1} \end{array}\right.\] sous $c$ et $be$, deux « $\cap$ » portant : $\Gamma L^{2}$, $\Gamma(L \otimes E) \subset \mathrm{Sym}^{2}E$ ; à droite, $\varepsilon : \mathrm{Sym}^{2}(E) \to \mathcal{O}_{X} \to 0$, avec $0 \to L \otimes E \to$.

[…] On vérifie que $T$, donc aussi $N$, ne dépend pas du scindage choisi. [$T$ est élément d'un torseur ⌜$P_{2} = \psi^{-1}(2)$⌝ sous $L$, et et $N$ (pour $T$ choisi), avec la condition que $N$ soit à valeurs dans $L^{\otimes 2}$ ⌜(i.e. le choix de $L^{\otimes 2}$)⌝ est élément d'un torseur sous $L^{\otimes 2} \subset \mathrm{Sym}^{2}(E)$, donc $Q$ ⌜[…]⌝ $Q \leftrightarrow (T, N)$ est celui

60d'un élément d'un torseur sous $L^{\otimes 2} \otimes \check{E}$ ⌜$= L^{\otimes 2} \otimes A$⌝, qui est peut être considéré comme l'espace des applications affines de $P_{1}$ dans $L^{\otimes 2}$, ⌜sur $\check{E} \otimes L^{\otimes 2}$ des⌝ des applications linéaires de $E$ dans $L^{\otimes 2}$, […] c'est-à-dire \[0 \to L^{\otimes 2} \to L^{\otimes 2} \otimes \check{E} \to L \to 0\] (car $0 \to \mathcal{O}_{X} \to \check{E} \to \check{L} \to 0$ et on multiplie par $L^{\otimes 2}$) \[L^{\otimes 2} \otimes \check{E} \simeq L \otimes E\] l'isomorphisme est écrit verticalement, marqué « can » : « (pour tout module loc. libre de rg 2, $E$, on a $L \simeq \det E$) ». \[\text{i.e.}\qquad E \simeq \check{E} \otimes L \ (\simeq \mathrm{Hom}(E, L)), \qquad L = \det E\]

L'application affine \[P_{1} \longrightarrow L^{\otimes 2}\] définie par un \[\xi \in L.E \simeq L \otimes E \subset \mathrm{Sym}^{2}E\] est définie par \[x \longmapsto x \wedge \xi \qquad\qquad \begin{array}{l} E \otimes E \to L, \quad (x \otimes y) \mapsto x \wedge y\\ L \otimes E \otimes E \to L \otimes L = L^{\otimes 2}\\ (\xi, x) \mapsto \xi \wedge x = -x \wedge \xi \end{array}\] le second membre $x \wedge \xi$ est surchargé et en partie biffé.

… ]

Inversement, si l'ext. $E$ de $\mathcal{O}_{X}$ par $L$ étant donnée, (sans $Q$ encore) si on se donne \[T \in E, \qquad N \in \mathrm{Sym}^{2}(E),\] quand correspondent-ils à une $Q$ comme dans 3') ? Il faut, supposons-les, \[\varphi_{1}(T) = 2, \qquad \varphi_{2}(N) = 1\] (i.e. en termes de la « section unité » $e$ de $A = \check{E}$ : $T(e) = 2$, $N(e) = 1$) plus une condition qui équivaudrait à \[N(x + \lambda e) = N(x) + \lambda T(x) + \lambda^{2} \qquad\text{(on aura $N(x + \lambda e) = N(x) + \lambda T(x) + \lambda^{2}$)}\] i.e. \[T(x) = \varphi_{N}(x, e)\] En tous cas on doit avoir : $N$ détermine $T$ l'argument se poursuit au-delà de ce lot.

\(X\)-scindages, produits contractés d'extensions \(X\)-scindées, produits contractés de revêtements quadratiques, invariants d'Hasse-Stiefel-Whitney généralisés, etc.

Revêtements quadratiques

Comparaison des torseurs sous \(\mu_{2}\) et sous \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}\)

Rev. quadratiques en car. 2