Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 41–60

la page continue un argument commencé avant ce lot : f, P^{*}, A^{*}, W(A)^{*} et SW(A) y sont introduits.

et on a f(u.D) = u\bar{u}^{-1} f(D) \qquad D \in \Gamma P^{*},\ u \in \Gamma A^{*} ( = f(D) =^{2} )le dernier signe, un « = » surmonté d'un petit « 2 », est lu tel quel ; son sens n'est pas clair., i.e. le morphisme de schémas est compatible avec les opérations des groupes d'op. W(A)^{*} et SW(A) et l'homomorphisme de groupes W(A)^{*} \longrightarrow SW(A), \qquad u \longmapsto u\bar{u}^{-1} ), donc aussi (en restreignant le groupe d'opérateurs sur P^{*} à SW(A)) … u \longmapsto u^{2}, \qquad SW(A) \longrightarrow SW(A)

X-scindages, produits contractés d'extensions X-scindées, produits contractés de revêtements quadratiques, invariants d'Hasse-Stiefel-Whitney généralisés, etc.

ce titre est la seule inscription d'une feuille de papier à musique, de sa main, qui précède la page 43 (page 42 du fonds) ; il y écrit d'abord « ~~produits~~ contractés de revêtements quadratiques », avec le premier mot biffé puis récrit. La feuille porte aussi au crayon le numéro « (79) » entre parenthèses.

Revêtements quadratiques

0 \to \mathcal{O} \to A \xrightarrow{\ \Psi\ } \check{L} \to 0 \qquad E = \check{A} \qquad 0 \to L \to E \xrightarrow{\ \psi\ } \mathcal{O} \to 0 sous \check{L} : « inv » ; la lettre au-dessus de la première flèche est \Psi. \begin{array}{ll} P = \psi^{-1}(1) \quad \text{tors.\ sous } L \qquad & \psi(x) = \langle 1, x\rangle = x(1)\\[2pt] P_{\lambda} = \psi^{-1}(\lambda) \quad \text{id.} & \end{array}

T \in \Gamma P_{2} \subset E fonction trace N \in \Gamma \mathrm{Sym}^{2}(E) \subset \mathrm{Sym}^{\bullet}(E) (fonctions pol. sur A) forme quadratique norme

N.B. 1) 0 \to E \otimes L \to \mathrm{Sym}^{2}(E) \xrightarrow{\ \chi\ } \mathcal{O} \to 0 où \chi(Q) = Q(1)

on a N \in \chi^{-1}(1) (tors. sous E \otimes L) i.e. N(1) = 1.

2) On a 0 \to L^{\otimes 2} \to E \otimes L \to L \to 0 et \mathrm{Sym}^{2}(E) a suite de comp. à quotients successifs \mathcal{O}, L, L^{\otimes 2}. On identifie L^{\otimes 2} à ss-module de \mathrm{Sym}^{2}E.

attention au signe (encadré) — \delta est le discr. de N changé de signe

-\delta \in \Gamma(L^{\otimes 2}) « discriminant » de N

N.B. Forme ~~bil.~~ bil. sym. \varphi_{N} associée à N \varphi_{N} : A \times A \to \mathcal{O} \quad\text{d'où}\quad A \to \check{A} \overset{\mathrm{df}}{=} E d'où \textstyle\bigwedge^{2} A \to \bigwedge^{2} E \qquad\text{d'où}\qquad \delta \in \Gamma L^{\otimes 2} \textstyle\bigwedge^{2} A \simeq \check{L}, \qquad \bigwedge^{2} E \simeq L, \qquad L^{\otimes 2} \simeq \mathrm{Hom}(\check{L}, L) \boxed{T^{2} - 4N = +\delta} \qquad\text{i.e.}\qquad \boxed{4N = T^{2} - \delta} « attention signe ! », avec une flèche vers le + de la première formule. ici et dans la suite du lot, plusieurs signes + ou - sont recouverts d'une tache d'encre (surcharge) ; on les donne tels que le calcul les exige, sans les avoir lus. C'est le cas du signe de la seconde formule encadrée. N.B. on a \varphi_{N}(x,y) = x\bar{y} + y\bar{x}, et \mathrm{Tr}(x)\mathrm{Tr}(y) = \varphi_{N}(x,y) + \mathrm{Tr}(xy) , on trouve \varphi_{N}(x,y) = \mathrm{Tr}(x)\mathrm{Tr}(y) - \mathrm{Tr}(xy). note marginale écrite en diagonale.

N.B. Soient x', x'' \in \Gamma E deux sections distinctes en tt pt, et qui correspondent à des homs d'alg. A \overset{x',x''}{\rightrightarrows} \mathcal{O}_{X} (donc x', x'' \in \Gamma P_{1}). On a donc A \simeq \mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{X} \text{\struck{$x'(a,b)$}} \qquad x'(a,b) = a, \quad x''(a,b) = b, \qquad \mathrm{Tr}(a,b) = a + b, \quad N(a,b) = ab d'où \boxed{\begin{array}{l} T = x' + x'' \\ N = x'x'' \\ \delta = (x' - x'')^{2} \end{array}} \qquad \text{\struck{\ill{}}}

Considérons la fonction polynomiale sur P_{1} x \longmapsto \underbrace{(x - x')}_{\in L}\,\underbrace{(x - x'')}_{\in L} \in L^{\otimes 2} i.e. x \longmapsto x^{2} - Tx\,\text{\struck{$\psi(x)$}} + N restriction de la forme quadratique Q : x \longmapsto x^{2} - \psi(x)Tx + \psi(x)^{2}N, \qquad E \to L^{\otimes 2} \subset \mathrm{Sym}^{2}(E) au-dessus de la formule, deux essais biffés de \psi(x), et un signe biffé avant \psi(x)^{2}N. sur E. Cette forme est définie via cette formule (en tous cas, sans supposer existence de x', x''), elle prend ses valeurs dans \mathrm{Sym}^{2}(E), mais on on vérifie qu'elle est à valeurs dans L^{\otimes 2} \subset \mathrm{Sym}^{2} (argument « universel » …). Sa restriction à L est x \longmapsto Q(x) = x^{2} : L \to L^{\otimes 2} (partie « homog. » de la fonction polynomiale de degré 2 canonique sur P_{1}).

N.B. Équiv. de cat. fibrées \left\{\begin{array}{l}\text{rev.\ quadratiques}\\ \text{de } S\end{array}\right\} \;\simeq\; \left\{\begin{array}{l} \text{\struck{Triples} $(\text{\struck{$P_{1}$}}\ L, P_{1}, Q)$ sur $S$}\\ \text{a) $L$ Module inv.}\\ \text{b) $P_{1}$ $L$-torseur}\\ \text{c) $Q : P_{1} \to L^{\otimes 2}$ fonct.\ pol.\ de degré 2}\\ \qquad\text{à partie homogène $x \mapsto x^{2} : L \to L^{\otimes 2}$} \end{array}\right. ( Q est section d'un torseur sous A \mathrm{Hom}(E, L^{\otimes 2}) [E : module enveloppant de P_{1}] \simeq \check{E} \otimes L^{\otimes 2} \simeq A \otimes L^{\otimes 2}, ext. de L par L^{\otimes 2} \ast … ). Le rev. quadratique associé à une donnée peut être interprété comme le « schéma des zéros de Q », interprété lui-même comme section du faisceau structural du fibré affine \mathbb{P}_{1} correspondant à P_{1}.

\ast Si T (= x' + x'') est donné d'avance (dans \Gamma P_{2}), sans l'indétermination seule reste dans N, de façon que x^{2} + Tx + N soit \in \Gamma L^{\otimes 2} ; si 2 inv. sur \mathcal{O}_{S}, cette indétermination par la donnée de \delta \in \Gamma L^{\otimes 2}, 4N = T^{2} - \delta T^{2} \equiv \delta (4) Mais il faut note écrite en diagonale dans le coin inférieur gauche ; la fin, en lignes très espacées, reste illisible.

Re N.B. Considérons \varphi_{N} : A \longrightarrow \check{A} = E \qquad\text{via forme bil.\ ass.\ à forme qu.\ $N$} d'où A \xrightarrow{\ \varphi_{N}\ } E \xrightarrow{\ Q\ } L^{\otimes 2} On trouve \boxed{Q(\varphi_{N}(x)) = - N(x)\,\delta} vérification à partir du cas décomposé, le signe devant N(x)\delta est recouvert ; p. 52 il écrit +N(x)\delta, alors que p. 46 plus bas « Q correspond à -N ».

~~Si \delta inv. (cas étale)~~

Conditions équivalentes

a)X' rev. étale de X b)\varphi_{N} : A \to \check{A} = E iso c)\delta \in \Gamma L^{\otimes 2} section inv., i.e. ne s'annulant nulle part.

Alors \delta base de L^{\otimes 2}, \varphi_{N} : A \simeq E, et vu si on fait les identifications, Q correspond à -N.

Si par contre \delta = 0 (cas totalement ramifié) on trouve Q(\varphi_{N}(x)) = 0 \,..

Considérons x \longmapsto \boxed{2x - T = z} \quad (z \in \Gamma L), \qquad P_{1} \longrightarrow L c'est un iso si 2 inv. sur X donc iso sur X_{2} = X - V(2). Si x et z se correspondent, on a 2x = z + T \;\Longrightarrow\; Q(z + T) = 4Q(x) et si x solution de l'éq. quadratique X' de X i.e. Q(x) = 0, on a Q(T + z) = 0. On en trouve, ~~puisque~~ (comme \psi(z + T) = 2) \text{\struck{$Q(T+z)$}} \qquad Q(z + T) = z^{2} - \delta z^{2} + 2Tz + T^{2} - 2(Tz + T^{2}) + 4N = z^{2} - (T^{2} - 4N) = z^{2} - \delta donc \left\{\begin{array}{l} Q(x) = 0 \ \text{ i.e.\ } x \in \Gamma(X'/X) \;\Longrightarrow\; \boxed{z^{2} = \delta}\\ \text{(et iso si 2 inv.\ sur $X$)} \end{array}\right.

Le groupe \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} opère sur X'/X, via \left\{\begin{array}{ll} x \longmapsto \text{\struck{\ill{}}}\ \bar{x} = T - x & \text{sur } P_{1} \quad (\text{auto})\\ x + \bar{x} = T & \text{si } x \in \Gamma P_{1} \end{array}\right. on a encore \left\{\begin{array}{ll} x \longmapsto \bar{x} = \psi(x)T - x & \text{sur } E\\ \text{i.e.\ } x + \bar{x} = \psi(x)T & \end{array}\right. On a \left\{\begin{array}{l} \psi(T) = T\\ \psi(N) = N\\ Q(\text{\struck{$\psi(x)$}}\ \bar{x}) = Q(x) \end{array}\right. la lettre lue \psi dans les deux premières lignes est douteuse ; une flèche revient sur l'accolade. Sur A, l'involution donnée par x \longmapsto \bar{x} = \mathrm{Tr}(x) - x \qquad\text{i.e.}\qquad x + \bar{x} = \mathrm{Tr}(x).1 sous le « 1 » est écrit un signe qui ressemble à \delta_{0}. Considérons X_{0} = V(2), ~~N(x) \in \Gamma L et T_{0}, N_{0},~~ et E_{0}, L_{0}, T_{0}, N_{0}, Q_{0} les restrictions à X_{0}. On a ~~T_{0} \in E_{0}~~ dans T_{0} \in \Gamma L_{0} \quad (\Gamma E_{0}) et T_{0}^{2} = \delta_{0} \ (= -\delta_{0}) \quad\text{sur } X_{0} et de même : si T_{0} est relevé localement en relèvement \tau_{1} de E (sur X_{1} = V(4)), (\text{p.\ ex.\ } \tau_{1} = T|X_{1} \overset{\mathrm{df}}{=} T_{1}) \qquad\text{on a}\qquad \tau_{1}^{2} = \delta_{1} \quad (\overset{\mathrm{df}}{=} \delta|X_{1}) (N.B. cela ne dépend pas du choix de ce relèvement, car (\tau_{1} + 2\alpha)^{2} \equiv \tau_{1}^{2} (4) ) On l'exprimera par l'écriture \boxed{T_{0}^{2} \equiv \delta \quad (4)}

Ici posé, si x section de X'/X, z la section corr. de L, tq z = 2x - T, ~~z_{0}~~ z_{0} la restr. à X_{0}, on aura \left\{\begin{array}{l} z_{0} = T_{0} \\ z^{2} = \delta \end{array}\right. i.e. z est une solution de z^{2} = \delta sur X qui prolonge la solution déjà donnée T_{0} sur X_{0}.

Soit \mathfrak{X}' : \mathrm{Sch}_{/X} \to \mathrm{Ens} dont la val. sur X soit \mathfrak{X}'(X) = \Bigl\{ x \in \Gamma L \Bigm| \begin{array}{l} x^{2} = \delta \\ x|X_{0} = T_{0} \end{array} \Bigr\} et idem pour Y/X. \mu'_{2} \subset \mu_{2,X} : \mathrm{Sch}_{/X} \to \mathrm{Groupes}, \quad\text{comme} \mu'_{2}(X) = \bigl\{ \lambda \in \Gamma \mathcal{O}_{X}^{*} \bigm| \lambda^{2} = 1,\ \lambda_{0} = 1 \bigr\} Alors \mu'_{2} opère sur \mathfrak{X}', et si \delta est inv. i.e. si X'/X étale, donc \mathfrak{X}' est un torseur sous \mu'_{2} (alors que X'/X est un torseur sous (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}). On a compatibilité X' \xrightarrow{\ f\ } \mathfrak{X}', \qquad (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X} \longrightarrow \mu'_{2X} i.e. f(\bar{x}) = -f(x) \qquad \text{\struck{\ill{}}} Ici z \longmapsto \bar{z} \ : \ \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}' est l'~~appli~~ automorphisme induit par la section -1 de \mu'_{2X} . N.B. \mathfrak{X}' et \mu'_{2} sont des faisceaux fpqc, pas représ. si \exists\, x \in X 2 \in \mathfrak{m}_{X,x}, 2 \neq 0 dans \mathcal{O}_{X,x} note écrite verticalement dans la marge gauche.

Supposons 2 \mathcal{O}_{X}-régulier. Alors la donnée d'un rev. quadratique X'/X équivaut à celle de \left\{\begin{array}{l} L,\ \delta \in \Gamma L^{\otimes 2},\ T_{0} \in \Gamma(L_{0}) \quad (\text{où } L_{0} = L|X_{0})\\ \text{tels que, satisfaisant } T_{0}^{2} \equiv \delta \ (4) \end{array}\right. On va décrire les sections x de X'/X en termes de la section z de L, dans le cas où X' \to \mathfrak{X}' pas iso i.e. si X_{0} \neq \emptyset. ~~Bien sûr~~ Bien sûr on

\Gamma(X'/X) \hookrightarrow \Gamma(\mathfrak{X}'/X) \qquad (\text{injectif}) car X - X_{0} schém. dense dans X. Donc x connue quand on connaît z. Quelles conditions imposer sur z ? ~~Il suffit que~~ Notons que \text{\struck{\ill{}}} \qquad T + z \equiv 0 \quad (2) car cela signifie T_{0} \pm z_{0} = 0 i.e. z_{0} = T_{0} (OK), donc on pourra prendre x = \frac{T + z}{2}, je dis que a) c'est une section de P_{1}, i.e. \psi(x) = 1 (or cela équivaut à : 2\psi(x) = 2 i.e. \psi(2x) = 2, OK, \psi(2x) = \psi(T + z)), et b) on a bien Q(x) = 0 (or cela équivaut à : 4Q(x) = 0 i.e. Q(2x) = 0 i.e. Q(T + z) = 0, donc à z^{2} = \delta … ).

Description de E en termes de L, \delta, T_{0} : soit \tau une section (localement) de L qui remonte T_{0} \Gamma E = \Bigl\{ (\lambda, \xi) \Bigm| \lambda \in \Gamma \mathcal{O},\ \xi \in \Gamma\Bigl(\frac{\lambda\tau}{2} + L\Bigr) \Bigr\} \qquad \left\{\begin{array}{l} \lambda = \psi(x) \\ \xi = x - \lambda\frac{T}{2} \end{array}\right. sous \frac{\lambda\tau}{2} + L : « ne dépend pas du choix de L » sic ; on attend « de \tau ». — N.B. \frac{\lambda\tau}{2} + L \subset \frac{1}{2}L

on a aussi \boxed{\Gamma E \simeq \bigl\{ (\lambda, \zeta) \bigm| \lambda \in \Gamma \mathcal{O},\ \zeta \in \Gamma(\lambda\tau + 2L) \subset \Gamma(L) \bigr\}}\ {}^{\ast} \boxed{\left\{\begin{array}{l} \lambda = \psi(x) \\ \zeta = 2x - \psi(x)T \end{array}\right.} (\mathrm{d\acute{e}f}) L_{\lambda} sous-faisceau de L, i.e. sections de L qui remontent la section \lambda T_{0} de L_{0}, i.e. \boxed{\zeta_{0} = \lambda_{0}T_{0}}. \ast via l'iso. de L dessus, u_{\xi} : x \mapsto x + 2\xi

Relation entre (\lambda, \xi) et (\lambda, \zeta) : \zeta = 2\xi. 0 \to L \longrightarrow E \xrightarrow{\ \psi\ } \mathcal{O} \to 0 \qquad \left\{\begin{array}{l} \psi(\lambda, \zeta) = \lambda \\ i(\xi) = (0, 2\xi) \end{array}\right. à droite, un N.B. barré en diagonale : « ~~N.B. On a \lambda = \psi(x), \zeta = 2x - \psi(x)T ; donc x = (\lambda, \zeta)~~ ». T correspond à la section (2, \text{\struck{\ill{}}}\ 0) de \Gamma P_{2} \simeq \Gamma(2\tau + 2L).

N = (T^{2} - \delta)/4, c'est une section de \Gamma \mathrm{Sym}^{2}(E), grâce à la condition T_{0}^{2} \equiv \delta (4). Vérifions que la ~~fonction~~ pol. Q(x) = x^{2} - Tx + N sur P_{1} est à valeurs dans L^{\otimes 2} \subset \mathrm{Sym}^{2}(E). Il suffit de prouver qu'il en est ainsi de 4Q(x) = Q(2x) et on peut poser 2x = T + z on trouve Q(T + z) = T^{2} + 2zT + z^{2} - 2T(T + z) + 4N \qquad\text{i.e.} sous 2T(T+z) et 4N : \psi(T+z) et \psi(T+z)^{2}. \boxed{Q(T + z) = \text{\struck{\ill{}}}\ z^{2} - \delta} et on a bien z^{2} - \delta \in \Gamma L^{\otimes 2} OK.

Description de A. On a A \longrightarrow (\mathcal{O} \times \check{L}) \qquad x \longmapsto (\mathrm{Tr}(x), \varphi(x)) la lettre lue \varphi est douteuse. est injectif, car le noyau est formé des x \in \Gamma(\mathcal{O}) (\subset A) tels que \mathrm{Tr}\,x = 0 i.e. 2x = 0 i.e. x = 0. Donc A \subset \mathcal{O} \times \check{L} On trouve \Gamma A \simeq \bigl\{ (b, \gamma) \in \Gamma \mathcal{O} \times \Gamma \check{L} \bigm| \boxed{b_{0} = \gamma_{0} T_{0}} \bigr\} b \in \Gamma \mathcal{O}_{X}, \qquad \text{relation}\quad \underset{\Gamma \check{L}_{0}}{\gamma_{0}} \,.\, \underset{\Gamma L_{0}}{T_{0}} \in \Gamma \mathcal{O}_{X_{0}} \text{i.e.\ } \xi \mapsto 2\xi \qquad (b, \gamma) \longmapsto \gamma 0 \to \mathcal{O}_{X} \longrightarrow A \longrightarrow \check{L} \to 0 \quad (\text{surj}) Ainsi l'unité \underline{1} de A se décrit par (2, 0).

\left\{\begin{array}{l} \text{\struck{N.B.}}\quad T(b, \gamma) = b\\ \delta(b, \gamma) = \text{\struck{\ill{}}}\ \gamma^{2}.\delta\\[2pt] \text{donc}\quad N(b, \gamma) = (T^{2} - \delta)(b, \gamma)/4 = (b^{2} - \gamma^{2}\delta)/4 \end{array}\right. C'est une section de de \mathcal{O}_{X}, car b \equiv \gamma T \ (2) \qquad\text{donc}\qquad b^{2} \equiv \gamma^{2}T^{2} \ (4) donc b^{2} - \gamma^{2}\delta \equiv \gamma^{2}(\underbrace{T^{2} - \delta}_{\equiv 0\ (4)}) \equiv 0 \quad (4) N.B. on en déduit \varphi_{N}((b,\gamma),(b',\gamma')) = \dfrac{bb' - \gamma\gamma'\delta}{2}

Soit x = (b, \gamma) \in \Gamma A, on a x^{2} - bx + \frac{b^{2} - \gamma^{2}\delta}{4} = 0 \qquad\text{i.e.} x^{2} = bx - \frac{b^{2} - \gamma^{2}\delta}{4} = \Bigl( b^{2} - \frac{b^{2} - \gamma^{2}\delta}{2},\ b\gamma \Bigr) = \Bigl( \frac{b^{2} + \gamma^{2}\delta}{2},\ b\gamma \Bigr) Cela permet de calculer, si x = (b, \gamma), \qquad x' = (b', \gamma') le produit xx' comme xx' = \tfrac{1}{2}\bigl( (x + x')^{2} - x^{2} - x'^{2} \bigr) i.e. \begin{align*} 2xx' &= \Bigl( \frac{(b + b')^{2} + (\gamma + \gamma')^{2}\delta}{2} - \frac{b^{2} + \gamma^{2}\delta}{2} - \frac{b'^{2} + \gamma'^{2}\delta}{2},\\ &\qquad (b + b')(\gamma + \gamma') - b\gamma - b'\gamma' \Bigr)\\ &= (bb' + \gamma\gamma'\delta,\ b\gamma' + b'\gamma) \end{align*} mod 2 c'est bien nul car b_{0} = \gamma_{0}T_{0}, b'_{0} = \gamma'_{0}T_{0}, T_{0}^{2} = \delta_{0} : bb' + \gamma\gamma'\delta \mapsto \gamma_{0}\gamma'_{0}\delta_{0} + \gamma_{0}\gamma'_{0}\delta_{0} = 2\gamma_{0}\gamma'_{0}\delta_{0} = 0, et \gamma_{0}\gamma'_{0}T_{0} + \gamma_{0}\gamma'_{0}T_{0} = 2\gamma_{0}\gamma'_{0}T_{0} = 0 donc \boxed{xx' = (b, \gamma)(b', \gamma') = \bigl( \tfrac{1}{2}(bb' + \gamma\gamma'\delta),\ \tfrac{1}{2}(b\gamma' + \gamma b') \bigr)}

L'accouplement A \times E \longrightarrow \mathcal{O} \qquad (x, f) \longmapsto \langle x, f\rangle = f(x) est donné par \boxed{\langle (b, \gamma), (\lambda, \zeta) \rangle = \tfrac{1}{2}(\lambda b + \gamma.\zeta)} C'est OK car \lambda_{0}\underset{\gamma_{0}T_{0}}{b_{0}} + \gamma_{0}.\underset{\lambda_{0}T_{0}}{\zeta_{0}} = \underbrace{\lambda_{0}\gamma_{0}T_{0}}_{} + \underbrace{\gamma_{0}\lambda_{0}T_{0}}_{} = 2\gamma_{0}\lambda_{0}T_{0} = 0 On a \varphi_{N}\bigl((\underset{\Gamma\mathcal{O}}{b}, \underset{\Gamma\check{L}}{\gamma}), (\underset{\Gamma\mathcal{O}}{b'}, \underset{\Gamma\check{L}}{\gamma'})\bigr) = \tfrac{1}{2}(bb' - \gamma\gamma'\delta) = \bigl\langle (b, \gamma), (b', \underset{\in \Gamma L}{-\gamma'\delta}) \bigr\rangle, \qquad\text{donc} \varphi_{N} : A \to E est donné par \boxed{\varphi_{N}(\underset{\Gamma\mathcal{O}}{b}, \underset{\Gamma\check{L}}{\gamma}) = (\underset{\Gamma\mathcal{O}}{b}, \underset{\Gamma L}{-\gamma\delta})} ~~Vérifions~~ Utilisons la formule Q(\varphi_{N}(x)) = +N(x)\delta par la formule précédente, pour \varphi_{N}(x), x = (b, \gamma), . Q(\underset{\lambda}{b}, \underset{\zeta}{-\gamma\delta}) = - (b^{2} - \gamma^{2}\delta)/4\ \delta = - (\lambda^{2} + \gamma\zeta)/4\ \delta \text{\struck{\ill{}}}\ \text{donc} \qquad \gamma = -\zeta\delta^{-1} d'où Q(\lambda, \zeta) = - (\lambda^{2} - \zeta^{2}\delta^{-1})/4\ \delta = \text{\struck{\ill{}}}\ (\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta)/4 i.e. \boxed{Q(\lambda, \zeta) = (\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta)/4} les signes des deux premières lignes du calcul sont recouverts ; on les donne d'après la formule encadrée qu'il obtient. Il faut vérifier que \zeta^{2} - \lambda^{2}\delta \equiv 0 \quad (4) or \zeta \equiv \lambda T (2) d'où \zeta^{2} \equiv \lambda^{2}T^{2} (4), donc \zeta^{2} - \lambda^{2}\delta \equiv \lambda^{2}(\underbrace{T^{2} - \delta}_{4N}) = 4\lambda^{2}N \equiv 0 \quad (4) \qquad \text{OK} ~~or on a \zeta_{0} = \lambda_{0}T_{0},~~

~~\zeta_{0}^{2} - \lambda_{0}^{2}\delta_{0} ; \zeta_{0}^{2} = \lambda_{0}^{2}T_{0}^{2} = \lambda_{0}^{2}\delta_{0} car T_{0}^{2} = \delta_{0}~~

Si y = (\lambda, \zeta) \in \Gamma P_{1} i.e. \lambda = 1, l'équation Q(y) = 0 \quad\text{équivaut bien à}\quad (\zeta^{2} - \delta)/4 = 0 \quad\text{i.e.}\quad \zeta^{2} = \delta (en plus on a \zeta_{0} = T_{0}, sous-entendu), cela prouve que Q'(\lambda, \zeta) = (\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta)/4 est prop. à Q, et pour voir que le facteur de prop. est 1, il suffit de faire ~~y = (\lambda, \zeta) = T~~ y = T, \qquad\text{i.e.}\qquad y = (2, 0) on a alors \text{\struck{$Q(T) = T^{2} - 2$}} Q(y) = y^{2} - Ty\,\psi(y) + N\psi(y)^{2} = T^{2} - 2T^{2} + 4N = 4N - T^{2} = -\delta et Q'(y) = (0 - 4\delta)/4 = -\delta \qquad \text{OK.}

Comparaison des torseurs sous \mu_{2} et sous (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}

titre souligné par un trait, sur la page.

L'hom. can. (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X} \longrightarrow \mu_{2X} définit, par torseurs associés,

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}] \mathrm{Tors}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \arrow[r, "\mathrm{Ass}"] \arrow[d, "\wr"'] & \mathrm{Tors}(\mu_{2}) \arrow[r, "\mathrm{Oub}"] \arrow[d, "\wr"] & \mathrm{Rev\,quad}(X) \arrow[d] \\ \mathrm{Triples}(L, \delta, T_{0}) \arrow[r, "{\mathrm{Ass}'\,?}"] & \mathrm{Couples}(L, \theta) \arrow[r, "{\mathrm{Oub}'\,?}"] & \mathrm{Triples}(L, \delta, T_{0}) \end{tikzcd}

sur la page, la dernière colonne est entre crochets, avec « \otimes-foncteur » écrit au-dessus de la flèche « Oub » ; sous la ligne du bas : à gauche « (\delta inv.) », avec \delta \in \Gamma L^{\otimes 2}, T_{0} \in \Gamma L_{0} ; au milieu « (\theta inv.) », \theta \in \Gamma L^{\otimes 2} ; à droite « (\delta pas néc. inv.) », \delta \in \Gamma L^{\otimes 2}, T_{0} \in \Gamma L_{0}. Un premier signe vertical à gauche est biffé.

Les flèches verticales sont des équiv. si 2 rég. sur X (et celles du aussi, aux conditions sur X). Il faut déterminer les deux foncteurs horizontaux notés « ? ». Le premier foncteur est évidemment \mathrm{Ass}'(L, \delta, T_{0}) = (L, \delta)

Mais le deuxième serait plutôt \mathrm{Oub}'(L, \theta) = (L, 4\theta, 0) Ce foncteur ne commute pas même (aux \otimes à iso près) (~~N.B. pas~~ même si 2 inv. sur X), et on en déduit que le foncteur \mathrm{Tors}(\mu_{2X}) \longrightarrow \mathrm{Rev\,quad}(X) ne commute pas aux compositions, contrairement à :

\begin{tikzcd} \mathrm{Tors}((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Tors}(\mu_{2X}) \\ \mathrm{Rev\,quad}(X) & \end{tikzcd}

Car (L \otimes L', 16\theta\theta') n'est pas néc. isom. à (L \otimes L', 4\theta\theta'), ~~p. ex. 16\theta\theta' = 0, 4\theta\theta' \neq 0~~ (p. ex. sur X = \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}, L = L' = \mathcal{O}_{X}, \theta = \theta' = 1 … note écrite verticalement dans la marge gauche.

On a en effet (L, \delta, T_{0}) \wedge (L', \delta', T'_{0}) = (L \otimes L', \delta\delta', T_{0}T'_{0}) tant dans \underline{\mathrm{Triples\ \acute{e}tales}}\,(L, \delta, T_{0}) que dans \underline{\mathrm{Triples}} (quelconques) (L, \delta, T_{0}), et (L, \theta) \wedge (L', \theta') = (L \otimes L', \theta\theta')

\underline{\mathrm{Rev\,quad}}(X) est une catégorie monoïdale (comm.) par un produit contracté qui prolonge celui sur les (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{X}-torseurs.

\underline{\mathrm{Rev\,quad}}^{!}(X), sous-catégorie pleine formée des rev. quadratiques X'/X tels que T_{0} = 0 i.e. la trace sur X'_{0}/X_{0} (X_{0} = V(2.1_{X})) est id. nulle, i.e. N_{X'_{0}/X_{0}} est additive, i.e. \varphi_{N_{X'_{0}/X_{0}}} (forme bil. associée) est id. nulle.

Ce qui suit (jusqu'à suivantes) doit être repris de façon plus fine, en remplaçant la cat. des \underline{\mathrm{Rev\,quad}}(X) par celle des \mu_{2}-rev. \underline{\mathrm{Rev\,quad}}^{!}(X) (Rev quadratiques …) note écrite en diagonale dans la marge gauche, à hauteur des deux paragraphes précédents ; l'ordre des fragments est incertain.

On définit une catégorie monoïdale mixte

des couples (n, \mathfrak{X}) \qquad\text{où}\qquad \begin{array}{l} n \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \text{ est une « parité »}\\ \mathfrak{X}/X \text{ rev.\ quadratique}\\ \text{avec } \mathfrak{X} \in \underline{\mathrm{Rev\,quad}}^{!} \text{ si } \underline{n = 1} \end{array} On pose (n, \mathfrak{X}) \wedge (n', \mathfrak{X}') = \left\{\begin{array}{ll} (n + n', \mathfrak{X} \wedge \mathfrak{X}') & \text{si $n$ ou $n'$ pair}\\ (n + n', \mathfrak{X} \overset{!}{\wedge} \mathfrak{X}') & \text{si $n$ \emph{et} $n'$ impairs} \end{array}\right. où \mathfrak{X} \overset{!}{\wedge} \mathfrak{X}' est un produit contracté modifié, défini si \mathfrak{X}, \mathfrak{X}' \in \underline{\mathrm{Rev\,quad}}^{!}(X), et défini (si 2 rég. sur X) par la condition (L, \delta, 0) \overset{!}{\wedge} (L', \delta', 0) = (L \otimes L', \tfrac{1}{4}\delta\delta', 0) où \frac{1}{4}\delta\delta' a un sens intrinsèque, car localement on a \begin{array}{ll} \delta = 4\Delta & \Delta \text{ défini mod } h \text{ avec } 4h = 0\\ \delta' = 4\Delta' & \Delta' \text{ — } h' \text{ — } 4h' = 0 \end{array} \delta\delta' = 16\Delta\Delta' \qquad \tfrac{1}{4}\delta\delta' \overset{\mathrm{def}}{=} 4\Delta\Delta' qui ne change pas par \Delta \mapsto \Delta + h (4h = 0), \Delta' \mapsto \Delta' + h' (4h' = 0).

le paragraphe suivant est marqué d'un double trait vertical dans la marge gauche. Il faut lui donner un sens indépendamment de la condition 2 régulier sur X, exercice catégorique universel …

Cela justifiant commutativité (à isom. can. près) et de plus, les isom. de comm. et d'associativité, les bilinéarités sur L \otimes L' \simeq L' \otimes L, et (L \otimes L') \otimes L'' \simeq L \otimes (L' \otimes L''), et compatibles automatiquement avec les produits, \delta, T_{0} etc.

Rev. quadratiques en car. 2

titre souligné sur la page.

On a : L \rightrightarrows L^{\otimes 2} \qquad \left\{\begin{array}{l} u \longmapsto u^{2} \\ u \longmapsto Tu \end{array}\right. \qquad T \in \Gamma L \ \text{la section trace} C.N.B. ce sont des homs additifs, mais u \mapsto u^{2} semi-linéaire d'où L \xrightarrow{\ f\ } L^{\otimes 2} : \qquad f(u) = u^{2} + Tu \check{V}(L) \longrightarrow \check{V}(L^{\otimes 2}) ~~On peut considérer f~~

morphisme qui est étale ssi T est inv., et alors T : \mathcal{O}_{X} \xrightarrow{\ \sim\ } L, et f peut s'interpréter comme \mathcal{O}_{X} \to \mathcal{O}_{X} : \quad u \mapsto u^{2} + u

Considérons ~~x', x''~~ les deux sections « universelles » x', x'' de X' \subset P_{1} \subset E, on a x'' - x' = x'' + x' = T \qquad\text{i.e.}\qquad x'' = x' + T d'où x''^{(2)} = x'^{(2)} + T^{2} \qquad\text{sections de}\quad P_{1} \wedge_{L} L^{2} \simeq P_{1}^{(2)}

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal] 0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "u \mapsto u^{2}"'] & E \arrow[r, "\psi"] \arrow[d, "x \mapsto x^{(2)}"] & \mathcal{O}_{X} \arrow[r] \arrow[d, "\lambda \mapsto \lambda^{2}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L^{\otimes 2} \arrow[r] & E^{(2)} \arrow[r, "\psi^{(2)}"] & \mathcal{O}_{X} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

P_{1}^{(2)} = \psi^{(2)-1}(\{1\}) sous le diagramme, un bloc biffé : « ~~\mathrm{Sym}^{2}(E) / \{(x+y)^{(2)} - x^{(2)} - y^{(2)}\}~~ ». u \in \Gamma(P_{1}^{(2)} \wedge T.P_{1}) \iff u : P_{1}^{(2)} \simeq T P_{1} \quad \text{iso de $L^{\otimes 2}$-torseurs} \iff P_{1} \xrightarrow{\ u''\ } P_{1}^{(2)} \quad \text{compatible avec}\quad L \to L^{\otimes 2},\ u \mapsto T.u

N.B. f : \check{V}(L) \to \check{V}(L^{\otimes 2}) est fid. plat (car ) et son noyau est un sous-groupe fini quadratique de \check{V}(L), noté G_{T}, étale ssi T est inv. ( V(T), schéma des zéros de T).

Soit x \in \Gamma(P_{1}), i.e. x \in \Gamma(P_{1}), tel que Q(x) = 0 \qquad x^{2} + Tx + N = 0 Écrivons Q(x + u) = 0 \quad (u \in \Gamma L) \qquad x^{2} + u^{2} + Tx + Tu + N = 0, \quad\text{i.e.}\quad u^{2} + Tu = 0

Donc X'/X est un torseur sous G_{T} ! Et 2

Th. On a une équivalence de catégories (groupoïdes) fibrées sur \mathrm{Sch}/\mathbb{F}_{2} (plus gén. sur les topos loc. annelés en car. 2), entre la catégorie des rev. quadratiques relatifs (sur X \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Sch}/\mathbb{F}_{2}), et les données (sur un tel X) (L, \overset{P_{1}}{\text{\struck{$\ast$}}}, T, \alpha), \quad\text{où}\quad \left\{\begin{array}{l} L \text{ module inv.\ sur } X, \ P_{1} \ L\text{-tors.}\\ \quad \text{(i.e.\ $P_{1}$ un fibré en droites affine sur $X$)}\\ T \text{ section de } L \text{ (module des translations de $P_{1}$)}\\ \alpha \text{ section de } P_{1} \wedge_{L} (L^{\otimes 2}, f_{T} : L \to L^{\otimes 2}) \end{array}\right. où f_{T} : L \to L^{\otimes 2} \quad\text{défini par}\quad f_{T}(u) = u^{2} + T.u (c'est un ~~morphisme~~ hom. additif, semi-linéaire, W(L) \to W(L^{\otimes 2}), dont le noyau est un groupe fini quadratique G_{T} sur X).

Au système \Sigma = (L, P_{1}, T, \alpha) est associé le X-schéma X'_{\Sigma} = f_{T, P_{1}}^{-1}(V(\alpha)) (torseur sous G_{T}), qui est fini quadratique sur X. Plus de doute, c'est lui !

N.B. u : P_{1} \to P_{1}^{(2)} compatible avec u \mapsto Tu est donné par u : x \mapsto Tx + N, on a alors (Q(x) = x^{2} + Tx + N), u(x) = x^{2} + Q(x) dans , l'équation Q(x) = 0 qui définit X'/X équivaut à : \boxed{u(x) = x^{2}}, P_{1} \rightrightarrows P_{1}^{(2)} (u et x \mapsto x^{2}). note encadrée d'un trait, à droite du texte.

Comment s'explicite le produit contracté ? (L, T, P_{1}, \alpha) \wedge (L', T', P'_{1}, \alpha') \overset{?}{=} (L \otimes L', TT', ?, ?) ~~Ainsi~~ Ainsi : \begin{array}{lll} G_{T} \xrightarrow{\ d_{T'}\ } G_{TT'} & \text{induit par} & d_{T'} : L \to L \otimes L', \ u \mapsto uT'\\ G_{T'} \longrightarrow G_{TT'} & \text{—} & d_{T} : L' \to L \otimes L', \ u' \mapsto Tu' \end{array} d'où G_{T} \times G_{T'} \longrightarrow G_{TT'} \quad\text{hom.\ de groupes} et si ~~\mathfrak{X}~~ \mathfrak{X} torseur sous G_{T}, \mathfrak{X}' sous G_{T'}, on en déduit par extension du groupe un torseur \mathfrak{X} \wedge \mathfrak{X}' sous G_{TT'} !

~~Trois~~ Quatre catégories fibrées sur (\mathrm{Sch}) (plus gén. sur la catégorie des topos loc. annelés …), canoniquement équivalentes

①Catégorie des rev. quadratiques X'/X de X \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Sch}, ①'Catégorie des alg. V(A) commutatives loc. libres de rang 2 sur \mathcal{O}_{X} ②Catégorie des triples (A, N, e), où (A, N) est un module quadratique loc. libre de rang 2 sur \mathcal{O}_{X}, et où e est une section de A telle que N(e) = 1 ③Catégorie des triples (L, P, Q), où L est un \mathcal{O}_{X}-Module inv. (identifié au schéma en droites homogène W(L)), P un L-torseur, et Q une application polynomiale P \longrightarrow L^{\otimes 2} dont la partie homogène de degré 2 soit u \mapsto u^{2}, i.e. on suppose que Q(x + u) = Q(x) + u^{2} + \mathrm{Lin}_{u}(x) où \mathrm{Lin}_{u} : P \to L_{S}^{\otimes 2} est une application affine (quand u est une section loc. de L, disons sur S/X) ③'Catégorie des triples ( ~~0 \to L~~ 0 \to L \xrightarrow{\ i\ } E \xrightarrow{\ \psi\ } \mathcal{O}_{X} \to 0, Q) d'une suite exacte 0 \to L \to E \to \mathcal{O}_{X} \to 0, avec L inv., et d'une forme quadratique Q sur E à val. dans L^{\otimes 2}, dont la restriction à L soit u \mapsto u^{\otimes 2}.

dans la marge gauche, des flèches relient ① et ①' (double flèche), ①' et ② (flèche vers le bas), ③ et ① (grande flèche courbe), ③ et ③' (double flèche).

On va transformer ③', en considérant L^{\otimes 2} comme plongé dans \mathrm{Sym}^{2}(E) (\simeq \mathrm{Quad}(A), où A \overset{\mathrm{df}}{=} \check{E}), laquelle a une suite de composition

0 \subset \underbrace{L^{\otimes 2}}_{L^{\otimes 2}} \subset \underbrace{L \otimes E}_{L} \subset \underbrace{\mathrm{Sym}^{2}(E)}_{\mathcal{O}_{X}} sous chaque inclusion, l'accolade donne le quotient successif. Considérons ~~écrivons~~ Q(x) - x^{2} \ : \ P \to \mathrm{Sym}^{2}(E) fonction polynomiale de degré \leq 2, dont la partie ~~homogène~~ quadratique ~~Q(x + u) -~~ L \to L^{\otimes 2} est nulle. Donc c'est une application affine.

~~i.e. Q(x) = x^{2} + \mathrm{Af}(x), \mathrm{Af} : P \to \mathrm{Sym}^{2}E application affine,~~

~~dont la partie linéaire est un hom. L \to \mathrm{Sym}^{2}(E) défini par un élément T de \check{L} \otimes \mathrm{Sym}^{2}E \supset E~~ ces deux lignes sont barrées de longs traits obliques.

Utilisant une description de N et E par une section e de P_{1}, i.e. e \in \Gamma E, \psi(e) = 1, on aura, posant \left\{\begin{array}{l} x = e + u, \\ u = x - e \end{array}\right. u \in \Gamma L, et écrivons Q(e + u) = u^{2} + bu + c \qquad \begin{array}{l} u \in \Gamma L\\ b \in \Gamma L\\ c \in \Gamma L^{\otimes 2} \end{array} \begin{align*} Q(\underbrace{e + u}_{x}) - (\underbrace{e + u}_{x})^{2} &= bu + c - 2eu - e^{2} = \underset{x - e}{u}(b - 2e) + c - e^{2}\\ &= x(b - 2e) \ \text{\struck{\ill{}}} + (e^{2} + c - be) \end{align*} i.e. \left\{\begin{array}{l} Q(x) = x^{2} - xT + N\\[2pt] \text{où}\quad \boxed{T = 2e - b \in E, \quad N = e^{2} + c - be \in \mathrm{Sym}^{2}(E)}\\[2pt] \text{avec}\quad \boxed{\psi(T) = 2, \ \varepsilon(N) = 1} \end{array}\right. sous c et be, deux « \cap » portant : \Gamma L^{2}, \Gamma(L \otimes E) \subset \mathrm{Sym}^{2}E ; à droite, \varepsilon : \mathrm{Sym}^{2}(E) \to \mathcal{O}_{X} \to 0, avec 0 \to L \otimes E \to.

On vérifie que T, donc aussi N, ne dépend pas du scindage choisi. [T est élément d'un torseur P_{2} = \psi^{-1}(2) sous L, et et N (pour T choisi), avec la condition que N soit à valeurs dans L^{\otimes 2} (i.e. le choix de L^{\otimes 2}) est élément d'un torseur sous L^{\otimes 2} \subset \mathrm{Sym}^{2}(E), donc Q Q \leftrightarrow (T, N) est celui

d'un élément d'un torseur sous L^{\otimes 2} \otimes \check{E} = L^{\otimes 2} \otimes A, qui ~~est~~ peut être considéré comme l'espace des applications affines de P_{1} dans L^{\otimes 2}, sur \check{E} \otimes L^{\otimes 2} des des applications linéaires de E dans L^{\otimes 2}, c'est-à-dire 0 \to L^{\otimes 2} \to L^{\otimes 2} \otimes \check{E} \to L \to 0 (car 0 \to \mathcal{O}_{X} \to \check{E} \to \check{L} \to 0 et on multiplie par L^{\otimes 2}) L^{\otimes 2} \otimes \check{E} \simeq L \otimes E l'isomorphisme est écrit verticalement, marqué « can » : « (pour tout module loc. libre de rg 2, E, on a L \simeq \det E) ». \text{i.e.}\qquad E \simeq \check{E} \otimes L \ (\simeq \mathrm{Hom}(E, L)), \qquad L = \det E

L'application affine P_{1} \longrightarrow L^{\otimes 2} définie par un \xi \in L.E \simeq L \otimes E \subset \mathrm{Sym}^{2}E est définie par x \longmapsto x \wedge \xi \qquad\qquad \begin{array}{l} E \otimes E \to L, \quad (x \otimes y) \mapsto x \wedge y\\ L \otimes E \otimes E \to L \otimes L = L^{\otimes 2}\\ (\xi, x) \mapsto \xi \wedge x = -x \wedge \xi \end{array} le second membre x \wedge \xi est surchargé et en partie biffé.

… ]

Inversement, si l'ext. E de \mathcal{O}_{X} par L étant donnée, (sans Q encore) si on se donne T \in E, \qquad N \in \mathrm{Sym}^{2}(E), quand correspondent-ils à une Q comme dans 3') ? Il faut, supposons-les, \varphi_{1}(T) = 2, \qquad \varphi_{2}(N) = 1 (i.e. en termes de la « section unité » e de A = \check{E} : T(e) = 2, N(e) = 1) plus une condition qui équivaudrait à N(x + \lambda e) = N(x) + \lambda T(x) + \lambda^{2} \qquad\text{(on aura $N(x + \lambda e) = N(x) + \lambda T(x) + \lambda^{2}$)} i.e. T(x) = \varphi_{N}(x, e) En tous cas on doit avoir : N détermine T l'argument se poursuit au-delà de ce lot.