Cote n° 84 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

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1feuillet de calculs très chargé, en plusieurs couches ; on transcrit les formules dans l'ordre où elles se lisent, en comprimant la disposition

\(R_1 \rightleftarrows R_0\), avec \(\beta : R_1 \to R_0\) et \(\alpha : R_0 \to R_1\). hom. de monoïdes

\(R_0\), \(R_1\) monoïdes ;

\(\alpha : R_0 \to R_1\) hom. de monoïdes, \((L, \delta \in \Gamma(L^{\otimes 2}), T_0 \in \Gamma L_0) \longmapsto (L, \Gamma)\)la dernière lettre se lit \(\Gamma\) ; on attendrait \(\delta\)

\(\beta : R_1 \to R_0\) multiplicat., […] (non compat. avec produits), \((L,\delta) \longmapsto (L, 4\delta, 0)\).

\(R_* = R_0 \sqcup R_1\), loi de composition \((x,y) \mapsto x \wedge y\) (comm., ass., unitaire), compat. avec \(R_* \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), i.e. \[R_0 . R_0 \subset R_0, \qquad R_1 R_1 \subset R_0, \qquad R_1 . R_0 = R_0 . R_1 \subset R_1 .\] \[\begin{align*} x, y \in R_0 &\Longrightarrow x \wedge y = x . y \\ x, y \in R_1 &\Longrightarrow x \wedge y = \beta(x.y) \qquad (\ldots : \beta(x)\beta(y)) \\ x \in R_1,\ y \in R_0 &\qquad x \wedge y = y \wedge x = x\, \alpha(y) \end{align*}\] dans la dernière ligne, une expression biffée et noircie précède \(x\,\alpha(y)\) ; à la deuxième, la parenthèse se lit « (pas néc. égal : \(\beta(x)\beta(y)\)) »

\((x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge z)\) :

sous d') il récrit les deux membres : \(z\,\beta(y.x)\) et \(\beta((\alpha(z)y)x)\)

Donc il faut vérifier

① \(\beta(\alpha(x).yz) = x\,\beta(yz)\), i.e. \(\beta(\alpha(x)u) = x\,\beta(u)\) ; \(\beta(\alpha(x)) = x.\beta(1)\) (cas partic. \(y = z = 1\)) ;

② \((\alpha\beta(xy))z = x\,\alpha\beta(yz)\) ; \((\alpha\beta(x))z = x(\alpha\beta(z))\) si \(y = 1\) ; et si \(z = 1\) : \(\alpha\beta(x) = x.\alpha\beta(1) = x\xi\).

Et ② devient donc \((xy\xi)z = x(yz\xi)\), OK par ass. et comm. dans \(R_1\).

\[\text{(A)}\quad \beta(\alpha(x)u) = x\,\beta(u), \qquad \text{(B)}\quad \alpha\beta(x) = x.\eta, \quad \eta = \alpha\beta(1) = \alpha(\zeta), \quad \zeta = \beta(1)\] avec \(\zeta = (\underline{O}_X, 4\,1_{\underline{O}}, 0)\), d'où \[\beta\alpha(x) = x\zeta \quad \text{OK}, \qquad (\beta x)(\beta y) = \zeta\, \beta(x.y).\] \(\beta(1)\beta(x.y) = \ldots\) \(\beta(x)\beta(y) \overset{?}{=} \zeta . \beta(x.y)\), via (A) et (B) : \(\beta(\alpha\beta(x)\,y) = \beta(\alpha(\zeta)\,x\,y) = \zeta\,\beta(xy)\). la chaîne d'égalités sous la boîte est reconstituée de plusieurs fragments reliés par des flèches ; l'ordre est conjectural

Vér. les […] d'espèces : \(x = (L, \delta)\), \(\beta(x) = (L, 4\delta, 0)\), \(\alpha\beta(x) = (L, 4\delta) = (L,\delta)(\underline{O}, 4\,1_X)\) ; \(x = (L, \delta, T_0)\), \(u = (L', \delta')\) ; \(\alpha(x) = (L, \delta)\), \(\alpha(x).u = (LL', \delta\delta')\), \(\beta(\alpha(x).u) = (LL', 4\delta\delta', 0)\) ; \(\beta(u) = (L', 4\delta', 0)\), \(x\,\beta(u) = (LL', 4\delta\delta', 0)\).

encadré : \(R_* = R \times_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). On définit \(w_n : R_* \to R_0\) par : a) si \(n = 2\nu\), \(w_n(\xi) = x\,\zeta^{\nu}\) ; b) si \(n = 2\nu + 1\), \(w_n : R_1 \to R_0\), \(w_n(x) = \beta(x)\,\zeta^{\nu}\). On trouve ainsi un hom. \(w : R_* \to R_0\). Un […]le bord de la feuille est déchiré hom. \(w' : R_* \to \mathbb{Z} \times R_0\).

\(E = \bigoplus_{1 \le i \le n} (L_i, \delta_i)\), \[w_1(E) = \bigwedge_{1 \le i \le n} (L_i, 4\delta_i, 0) = \Bigl(\bigotimes L_i,\ 4^{n} \textstyle\prod \delta_i,\ 0\Bigr),\] \[\mathrm{Arf}(E) = \Bigl(\bigotimes L_i,\ 2^{\nu} \textstyle\prod \delta_i,\ 0\Bigr), \qquad \mathrm{Arf}(E) = w_1(E).\,\xi^{\ldots}\] avec \(\nu = n\) si \(n\) pair, \(\nu = n+1\) si \(n\) impair ; \(\nu = 2\nu'\), \(\nu' = \bigl[\tfrac{n+1}{2}\bigr]\) ; \(\xi = (\underline{O}_X, 2^{?}1, 1)\).

\(w_1(L_n) = (L, 4\delta, 0)\), \(\mathrm{Arf}(L) = (L, 4\delta, 0)\).

On peut prendre NB si \(2\) inv. dans \(X\) : \(\ldots \simeq \ldots\) \(\mathrm{Arf}(E) \simeq \ldots\)

On a \[c_1(E) = \mathrm{Arf}(E).\,\xi^{(n - \nu') = \nu''}, \qquad \nu'' = \begin{cases} \tfrac{n}{2} & \text{si } n \text{ pair} \\ \tfrac{n-1}{2} & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}\] où \(\xi = (\underline{O}_X, 4, 0)\), \(\eta = \mathrm{Arf}(\mu_{2X}/X)\). à côté, entre deux traits : \(c_1(E) \simeq (\bigotimes L_i, \delta, 0)\), \(\mathrm{Arf}(E) \simeq (\bigotimes L_i, \delta, 0)\) ; et une remarque : « donc \(\mathrm{Arf}(E)\) est un invariant plus fin que \(c_1(E)\) (si \(2\) inversible sur \(X\)) »

Mais \(c_1(E)\) […] la page s'arrête sur ces mots

2\(R_1\), \(R_0\) ; \[R_1 \times R_1 \to R_0, \quad R_0 \times R_0 \to R_0, \quad R_0 \times R_1 \to R_1, \quad R_1 \times R_0 \to R_1 .\] \(R = R_1 \sqcup R_0\) est un groupoïde unitaire ; […] \(R \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) est un hom. de monoïdes ; \(R_1 = \varepsilon^{-1}(1)\), \(R_0 = \varepsilon^{-1}(0)\) ; \(R_{00} \subset R_0\), partie […] \(= H^1(X, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\).

\(R_1 \to R_0\) n'est pas un hom. de monoïde ? \((L,\delta) \mapsto (L, 4\delta, 0)\)sous \((L,\delta)\), une flèche vers le bas et deux mots : […].

Groupoïde \((L, \delta, T_0)\) ; \((L,\Gamma) \mapsto (\pi\ \omega)(L, \delta, T_0) \mapsto (L,\delta)\) ; \((L, 4\delta, 0)\).

Paires \((L, \delta)\) ; \((L, \delta)\), \(L\).

\(R_1 \to H^1(L)\)lecture douteuse

\(\theta = 2\delta\), \(\theta' = 2\delta'\), \(\theta\theta' = 4\delta\delta'\), \(\theta\delta' = 2\) ; \(\theta = 2\delta\).

\[\begin{align*} (L, \delta)(L', \delta') &= (LL', 4\delta\delta', 0) \\ (L, \delta)(L', \delta', T'_0) &= (LL', 2\delta\delta') \\ (L, \delta, T_0)(L', \delta') &= (LL', \delta\delta') \\ (L, \delta, T_0)(L', \delta', T'_0) &= (LL', \delta\delta', T_0 T'_0) \end{align*}\] dans la deuxième ligne le \(2\) est surchargé et douteux

« deux ou trois produits » […] : \((LL'L'', 4\delta\delta'\delta'', 0 \ldots)\), \((LL'L'', \delta\delta'\delta'', T_0T'_0T''_0)\) […].

(Commutation)

3\(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), de bases \(1, u_1\) ; \(1, u_2\) ; \(1, u_3\), avec \(u_i^2 + e_i = 0\) ; \[A_1 \otimes A_2 \otimes A_3 \overset{\mathrm{df}}{=} A .\] Base : \(1\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_2u_3\), \(u_3u_1\), \(u_1u_2\), \(u_1u_2u_3\).

extensions quadratiques, involutions canoniques \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) (\(\sigma_i(u_i) = -u_i\)) se prolongent à \(A\) de façon canonique par \(\sigma_1 \otimes \mathrm{id} \otimes \mathrm{id}\) etc.

\[\begin{array}{lll} k & 1 & \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_2\sigma_3, \sigma_3\sigma_1, \sigma_1\sigma_2, \sigma_1\sigma_2\sigma_3 = \tau \\ A_1 & 1, u_1 & \sigma_2, \sigma_3, \sigma_2\sigma_3 \\ A_2 & 1, u_2 & \sigma_3, \sigma_1, \sigma_3\sigma_1 \\ A_3 & 1, u_3 & \sigma_1, \sigma_2, \sigma_1\sigma_2 \\ B_1 & 1, u_2u_3 & \sigma_1, \sigma_2\sigma_3, \sigma_1\sigma_2\sigma_3 = \tau \\ B_2 & 1, u_3u_1 & \sigma_2, \sigma_3\sigma_1, \sigma_2\sigma_3\sigma_1 = \tau \\ B_3 & 1, u_1u_2 & \sigma_3, \sigma_1\sigma_2, \sigma_3\sigma_1\sigma_2 = \tau \\ B_0 & 1, u_1u_2u_3 & \sigma_2\sigma_3, \sigma_3\sigma_1, \sigma_1\sigma_2 \end{array}\] \[B_1 \simeq A_2 \wedge A_3, \quad B_2 \simeq A_3 \wedge A_1, \quad B_3 \simeq A_1 \wedge A_2, \quad B_0 \simeq A_1 \wedge A_2 \wedge A_3 .\] la colonne de droite du tableau donne les involutions qui laissent fixe la sous-algèbre de la ligne

\[\begin{array}{lll} A'_1 = (A_2, A_3, B_1) & 1, u_2, u_3, u_2u_3 & \sigma_1 \\ A'_2 = (A_3, A_1, B_2) & 1, u_3, u_1, u_3u_1 & \sigma_2 \\ A'_3 = (A_1, A_2, B_3) & 1, u_1, u_2, u_1u_2 & \sigma_3 \\ B'_1 = (A_1, B_1, B_0) & 1, u_1, u_2u_3, u_1u_2u_3 = u & \sigma_2\sigma_3 \\ B'_2 = (A_2, B_2, B_0) & 1, u_2, u_3u_1, u_2u_3u_1 = u & \sigma_3\sigma_1 \\ B'_3 = (A_3, B_3, B_0) & 1, u_3, u_1u_2, u_3u_1u_2 = u & \sigma_1\sigma_2 \\ B'_0 = (B_1, B_2, B_3) & 1, u_2u_3, u_3u_1, u_1u_2 & \sigma_1\sigma_2\sigma_3 \end{array}\] correspondant aux sept droites vect. de \(\mathbb{F}_2^{\,3}\) […], i.e. aux sept sept éléments non nuls.

correspondant aux sept hyperplans de \(\mathbb{F}_2^{\,3}\), i.e. […] […] — aux sept droites de \(\mathbb{F}_2^{\,3}\) i.e. aux sept éléments non nuls

\(A_i \otimes A'_i \xrightarrow{\ \sim\ } A\) [\(B_i \subset B'_i\)] \(B_0 \otimes B'_0 \xrightarrow{\ \sim\ } A\), si les \(e_i\) inv. i.e. les \(A_i\) étales.

\[\begin{align*} A_1 &\subset A'_2, A'_3, B'_1 & B_1 &\subset A'_1, B'_1, B'_0 \\ A_2 &\subset A'_3, A'_1, B'_2 & B_2 &\subset A'_2, B'_2, B'_0 \\ A_3 &\subset A'_1, A'_2, B'_3 & B_3 &\subset A'_3, B'_3, B'_0 \\ & & B_0 &\subset B'_1, B'_2, B'_3 \end{align*}\] sous la dernière ligne : \(B_0(A_1)\), \(B_0(A_2)\), \(B_0(A_3)\)

il y a \(7 + 7 = 14\) situations « biquadratiques » typiques (quand les \(A_i\) sont étales…)

5\(1, u\) \(\longmapsto -u + \lambda\)

\(1, u \longmapsto \bar{u} + \alpha\) \[N(\bar u + \alpha) = N(\bar u) \quad (= N(u)), \qquad \mathrm{Tr}(\bar u + \alpha) = \mathrm{Tr}\,\bar u \quad (= \mathrm{Tr}\,u)\] \[N(\bar u) + \alpha\,\mathrm{Tr}(\bar u) + \alpha^2 = N(\bar u)\] \[\begin{cases} \alpha(\mathrm{Tr}\,\bar u + \alpha) = 0 & (\mathrm{Tr}\,\bar u = b) \\ 2\alpha = 0 \end{cases} \Longrightarrow \alpha = 0 \text{ si } 2 \text{ inv.}\]

\(\lambda + \mu u\) \(u\bar u = N(u)\) \[N(v) = 1 \Longrightarrow v = u\,\bar u^{-1} \;(= u^2 N(u)^{-1}), \qquad u^2 + bu + c = 0, \quad \mathrm{Tr}\,u = -b .\] \[\begin{align*} v &= \alpha + \beta u, & N(v) &= \alpha^2 - \alpha\beta b + \beta^2 c = 1 \\ \bar v &= (\alpha - \beta b) - \beta u, & &= \alpha(\alpha - \beta b) \quad \text{si } c = 0 \\ v \bar v &= \alpha(\alpha - \beta b) - \beta^2 c \ldots \end{align*}\] dans \(N(v)\) le signe devant \(\alpha\beta b\) est noirci \[v = \alpha + \beta u, \quad \bar v = \alpha + \beta \bar u, \qquad v\bar v = \alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta\,(u + \bar u)\] sous \((u + \bar u)\) : \(\mathrm{Tr}\,u\) ; ce second calcul est biffé en partie

\(w = \lambda 1 + \mu u\) & \(N(u) = 0\) \(N(u) = 0\), donc \(N(w)\) inv. \(N(w)\) inv. \(\Longrightarrow\) \(\lambda\) inv. \[N(w) = \lambda^2 - \lambda\mu b = \lambda(\lambda - \mu b) ; \qquad \alpha(\alpha - \beta b) = 1 .\]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  & SW/\mu_2 = W^*/G_m \arrow[r] & 1 & \\
  1 \arrow[r] & SW \arrow[r] \arrow[u] & W^* \arrow[r, "N"] & G_m \arrow[r] & 1 \\
  1 \arrow[r] & \mu_2 \arrow[r] \arrow[u] & G_m \arrow[r, "{(\ )^2}"] \arrow[u] & G_m \arrow[r] \arrow[u, no head] & 1
\end{tikzcd}

la flèche \(G_m \to W^*\) porte « cas […] » ; la flèche \(G_m \to G_m\) de la dernière ligne porte un exposant \(2\) de lecture douteuse ; les deux \(G_m\) de droite sont reliés par un double trait ; la première ligne est en partie biffée et des flèches verticales partent encore vers le bas de la page

Formes quadratiques binaires et revêtements quadratiques

titre souligné, en tête de la p. 8

81. Forme quadratique à scalaire près, structure de similitude.

1.1. \((X, \underline{O}_X)\) désigne un schéma, plus généralement un topos loc. annelé. Soit \(E\) un Module sur \(X\), \[\underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Gamma^2(E), E)\] la seconde lettre se lit \(E\), où l'on attendrait \(\underline{O}_X\) le faisceau des formes quadratiques sur \(E\). Si \(E\) est loc. libre de type fini, on a un iso. can. \[\underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee),\] (en général on a seulement un homomorphisme can. \[\underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee) \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E),\] qui transforme \(f.g\) (\(f, g \in \Gamma E^\vee\)) dans \(Q_{fg} : x \mapsto f(x)g(x)\) sur \(E\)…). Le faisceau […] en groupes \(\underline{O}_X^*\) opère sur \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\), d'où un faisceau quotient \[\underline{\mathrm{Sim}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E)/\underline{O}^* .\] Une section du faisceau quotient s'appelle une structure de similitude sur \(E\). Une telle section correspond à un sous-faisceau ensembliste de \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\), qui […] un sous-faisceau loc soit : fibres non vides et sur lequel \(\underline{O}^*\) opère transitivementles lignes, inclinées, se chevauchent ici ; l'ordre des membres de phrase est incertain. Localement, une telle structure est définie par une section \(Q\) de \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\), i.e. par une forme quadratique sur \(E\), deux telles sections \(Q\), \(Q'\) définissant la même structure de similitude ssi \(\exists\) localement \(a \in \Gamma(\underline{O}_X^*)\) avec \(Q' = aQ\). Le cas le plus intéressant est celui où \(a \mapsto aQ\) \[a \longmapsto a.Q : \underline{O}_X \ (\text{sans } * \,!) \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E)\] est injectif. Dans ce cas, si \(Q'\) définit la même définit la même

9structure de similitude ssi \(\exists\, a \in \Gamma \underline{O}_X^*\) (globalement) telle que \(Q' = aQ\), et cette \(a\) est alors unique (ce qui assure l'unicité). On appelle des ⌜structure de similitude⌝ fidèle : définie loc. par une \(Q\) telle que \(a \mapsto aQ\) injectif (ce qui est indépendant du choix des \(Q\), seulement de la structure de similitude).

1.2. Soit Pour \(P \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) une structure de similitude, on peut regarder le sous-Module engendré, soit \[\Delta = \Delta_P \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E),\] et on voit que \[P \longmapsto \Delta_P\] donne une bijection entre l'ens. des structures de similitudes sur \(E\), et l'ens. des sous-Modules de \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\) qui sont localement monogènes. Les formes Les structures fidèles de similitude fidèles correspondent aux sous-modules \[\Delta \hookrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E)\] qui sont inversibles. Un hom. quelc. \(\Delta \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) définit évidemment une structure […].

NB Dans le cas où […] \(E\) est loc. […] de type fini, dans ce cas il […]

1.3. […] […] […] \(\underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Sym}}^2(E)\). Une structure […] de similitudes est dite strictement fidèle (ou universellement fidèle) si l'homom. précédent est « universellement injectif », ou encore (ce qui revient au même) injectif sur chaque fibre résiduelle. ce passage est très surchargé : une note interlinéaire précédée de « NB » et le numéro 1.3 s'y enchevêtrent ; la formule se lit \(\underline{\mathrm{Sym}}^2(E)\) là où 1.1 donnait \(\underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee)\)

10Les structures de similitude strictement fidèles correspondent donc aux sous-fibrés vectoriels de rang 1 du fibré vectoriel \(\mathbb{W}(\underline{\mathrm{Quad}}(E))\)], ou encore aux sections du fibré en espaces projectifs \(\mathbb{P}^\vee(\underline{\mathrm{Quad}}(E))\).

1.4. Soient \(\Delta\) un Module inv. sur \(X\), et \[\Delta \xrightarrow{\ i\ } \underline{\mathrm{Quad}}(E)\] un hom. (pas nécessairement injectif), définissant ⌜donc⌝ une structure de similitude \(\Sigma\) sur \(E\). Je dis qu'on a une forme quadratique ⌜\(Q_\Sigma\) ou \(Q_i\)⌝ (canonique) à valeurs dans le module inversible \(\Delta^\vee\). Pour la définir, je vais d'abord définir (indép. du choix de \(i\) ou de \(\Sigma\)) une forme quadratique canonique \[Q = Q_E : E \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E)^\vee :\] elle associe sa valeur, pour une section locale \(x\) de \(E\), est la forme linéaire \[Q(x) = \{ f \longmapsto f(x) \} \qquad \text{i.e.} \quad f(x) = \langle f, Q(x) \rangle\] (pour toute section (locale) \(f\) de \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\), \(x\) de \(E\). […] \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\)). Celle-ci dépend de \(x\) de façon quadratique, i.e. la fonction \(E \times E \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)^\vee\), \[(x, y) \longmapsto Q(x + y) - Q(x) - Q(y) = \{ f \longmapsto \underbrace{f(x+y) - f(x) - f(y)}_{\varphi_f(x,y)} \}\]

11est bilinéaire en \(x, y\). Comme on a, par transposition de \(i : \Delta \hookrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E)\), \[\underline{\mathrm{Quad}}(E)^\vee \xrightarrow{\ i^\vee\ } \Delta^\vee ,\] on en déduit une forme quadratique composée \[Q_i = Q_\Sigma : E \longrightarrow \Delta^\vee .\] au-dessus de la flèche, la composition est dessinée : \(Q : E \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)^\vee\) puis \(i^\vee\) Dans le cas d'une structure de similitude \(\Sigma\) ⌜fidèle⌝, \((\Delta, i)\) ne dépend, à iso. ⌜can.⌝ unique près, que de \(\Sigma\), et il en est donc de même de \(Q_i\), ce qui justifie la notation \(Q_\Sigma\). Quand

NB Quand on se donne une base \(e\) de \(\Delta\), d'où \(\Delta \simeq \Delta^\vee \simeq \underline{O}\), alors \(Q_\Sigma\) s'identifie à une forme quadr. ordinaire \(E\) à val. dans \(\underline{O}\), et on a […] […] ⌜\(f = i(e)\)⌝.

1.5. La donnée d'une structure de similitudes (fidèle ⌜strictement⌝) sur \(E\) équivaut à celle d'un Module inv. \(\Delta\) sur \(X\) et d'une forme quadratique \(Q : E \to \Delta^\vee\) ([…] \(Q(E)\) engendre \(\Delta^\vee\), i.e. \(Q\) sur aucune fibre résiduelle identiquement nulle).

2.1. On suppose à partir de maintenant que \(E\) est loc. libre de rang 2. Soit \[L = \underline{\det} E = \textstyle\bigwedge^2 E\] le Module déterminantiel, qui est un Module inversible. Notons l'iso. can. \[E \xrightarrow{\ \sim\ } \check E \otimes L\] donné par \(\bigl(x \longmapsto (y \longmapsto x \wedge y)\bigr)\), i.e. provenant de l'accouplement canonique \[E \times E \longrightarrow L = \textstyle\bigwedge^2 E : \quad (x, y) \longmapsto x \wedge y .\]

12On en déduit des iso. can. \[\begin{cases} \check E \simeq E \otimes L^\vee \\ \underbrace{\underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee)}_{\underline{\mathrm{Quad}}(E)} \simeq \underbrace{\underline{\mathrm{Sym}}^2(E)}_{\underline{\mathrm{Quad}}(E^\vee)} \otimes \underbrace{L^{\vee \otimes 2}}_{L^{\otimes(-2)}} \end{cases}\] i.e. \(\underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \otimes L^{\otimes -2}\). Il en résulte un isom. canonique de faisceaux \[\underline{\mathrm{Sim}}(E) \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \mathrm{can}_E\ } \underline{\mathrm{Sim}}(\check E)\] qui transforme le sous-Module loc. monogène \(\Delta\) de \(\underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) dans \[\Delta \otimes L^{\otimes 2} \subset \underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \otimes L^{\otimes 2} \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \otimes L^{\otimes(-2)} \otimes L^{\otimes 2} \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(\check E).\] avant \(\underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \otimes L^{\otimes 2}\), un \(\underline{\mathrm{Sym}}^2(E)\) est biffé On trouve que \(\mathrm{can}_E\) et \(\mathrm{can}_{\check E}\) sont inverses l'un de l'autre. Les structures de similitude fidèles, strictement fidèles, non dégénérées (universellement…) pour \(E\) et pour \(E^\vee\) se correspondent.

2.2. Considérons ⌜encore⌝ l'iso. can. (dépendant du choix d'un signe) \[\check E \simeq E \otimes L^\vee ,\] en ⌜\(\otimes\)-⌝multipliant à droite par \(E\), on trouve \[\check E \otimes E \simeq E \otimes E \otimes L^\vee .\] D'autre part ([…] \(\underline{O}_X\)-Module) on a une suite exacte canonique (qui ne fait intervenir aucun choix de signe…) : \[0 \to \textstyle\bigwedge^2 E \longrightarrow E \otimes E \longrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \to 0 , \qquad x \wedge y \longmapsto x \otimes y - y \otimes x\]

13et dans le cas actuel où \(\bigwedge^2 E \overset{\mathrm{df}}{=} L\) est inversible, et […] donc \[0 \to L \longrightarrow E \otimes E \longrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \to 0 ,\] d'où en multipliant par \(L^\vee\) \[0 \to \underline{O} \longrightarrow (E \otimes E) \otimes L^\vee \longrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \otimes L^\vee \to 0\] avec \((E \otimes E) \otimes L^\vee \simeq E^\vee \otimes E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E)\).

Je dis que par l'iso. can. vertical, le sous-Module \(L \otimes L^\vee \simeq \underline{O}\) est transformé en le sous-module \(\underline{O}.1_E\) de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\), de façon plus précise que l'on a un diagramme commutatif des d'isomorphismes

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}]
  0 \arrow[r] & L \otimes L^\vee \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & (E \otimes E) \otimes L^\vee \arrow[r] \arrow[dd, "\wr"] & \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \otimes L^\vee \arrow[r] \arrow[dd, "\wr"] & 0 \\
  & \underline{O} \arrow[d, "{\mathrm{id}_{\underline{O}}}", "\wr"'] & & & \\
  0 \arrow[r] & \underline{O} \arrow[r] & \underline{\mathrm{End}}(E) \arrow[r] & \underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

au-dessus de \(L\) : \(\det E\) ; au-dessus de \(\underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \otimes L^\vee\) : \(\underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E) \otimes L^{\otimes 2}\) ; sous \(\underline{\mathrm{End}}(E)\) : \(\simeq \check E \otimes E \simeq E \otimes L^\vee\) \(\otimes E\)

d'où par […] l'isom. […] \[\underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \otimes L^\vee \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E) \otimes L \qquad (\simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E, L))\] \[\wr\!\downarrow\] \[\underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}\]

14On en conclut : les structures de similitude sur les Modules (loc. libres de rang 2) \(E\) correspondent aux sous-Modules loc. monogènes ⌜Modules (loc. libres de rang 2)⌝ des \(\underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}\), i.e. aux sous-Modules \(A\) de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\) tels que

Les structures de similitude strictement fidèles correspondent aux sous-fibrés vectoriels ⌜de rang 2⌝ (de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\)) qui contiennent le sous-fibré \(\underline{O}.1_E\).

Lemme 1 Soit \(A\) un sous-Module de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\) qui contient \(\underline{O}.1_E\). Conditions équivalentes :

résulte de N.C. b) l'équation […] \(u^2 - \mathrm{Tr}(u)u + N(u) = 0\) Un tel \(A\) est stable par la loi d'algèbre de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\), et est un faisceau d'anneaux commutatif, et de plus entier ⌜loc.⌝ fini sur \(\underline{O}\). Donc les \(A\) en question correspondent : des ⌜structures de⌝ similitude sur \(E\)) correspondant ⌜(commutatives)⌝ aux sous-algèbres) de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\). Les str. de similitude str. fidèles correspondent loc. aux \(A_u\) loc. définis par \(u\) tels que \(u\) ne soit

15un scalaire sur aucune fibre résiduelle.

\(A\) est appelé l'anneau des homothéties (⌜sous-entendu :⌝ directes) pour de la structure de similitude \(\Sigma\), on le note \(A_\Sigma\).

Lemme 2 Soit \(\Sigma\) une structure de similitude sur \(E\), et \(A_\Sigma \subset \underline{\mathrm{End}}(E)\) l'Anneau des homothéties. Conditions équivalentes :

au-dessus de d') : \(\Delta \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) ; à la suite, « \(x \in \Gamma E\), dans […] » est biffé

Cor. 1, Sous ces conditions, soit \(\Delta\) le sous-Module loc. lib. inv. de \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\) tel que \(\Sigma = \Sigma_\Delta\). On a un iso. can. \[\Delta \simeq (A/\underline{O}) \otimes L^\vee \qquad (\text{où } L = \textstyle\bigwedge^2 E = \det E)\] d'où \[\check\Delta \simeq (A/\underline{O})^\vee \otimes L ,\]

16et on a la forme quadratique de définition de la structure quadratique ⌜de similitude⌝ \[Q_\Sigma : E \longrightarrow \Delta^\vee \overset{\mathrm{df}}{=} \Delta' \quad (\simeq A/\underline{O} \otimes L^\vee)\] Soit pois, soit Plus généralement, soit \(\Delta'\) un Module inversible, \[Q : E \longrightarrow \Delta' \qquad \bigl(\text{i.e. } \Delta'^\vee \to \underline{\mathrm{Quad}}(E) \text{ un homom. de Modules}\bigr)\] une forme quadratique, d'où une structure de similitude \(\Sigma = \Sigma_Q\) sur \(E\), correspondant à un sous-anneau \(A = A_\Sigma\) de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\). Soit \(x\) une section de \(E\). Conditions équivalentes

172.3. Considérons à nouveau l'iso. can. \[\underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}.1_E \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E) \otimes \underline{L} \qquad (\simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E, L))\] Soit \(u\) une section de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\) i.e. un endom. de \(E\), considérons son image est donc une forme quadratique \(Q_u\) à valeurs dans \(L\). Je dis que \[\boxed{\,Q_u(x) = u(x) \wedge x\,}\] ([…] il faut vérifier le signe !). C'est On vérifie directement par des coordonnées que \[Q_u = 0 \iff u \in \Gamma\, \underline{O}.\mathrm{id}_E\]

[NB. Si \[u = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\] alors \[Q_u(\lambda, \mu) = c\lambda^2 + (d - a)\lambda\mu \ \ldots\ b\mu^2\] le signe devant \(b\mu^2\) est couvert d'une tache qui est identiquement nul en \(\lambda, \mu\) ssi \(b = c = 0\), \(d = a\), i.e. \(u = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = a\,\mathrm{id}_E\). Si \[Q = \alpha\lambda^2 + \beta\lambda\mu + \gamma\mu^2 ,\] alors les \(u\) tels que \(Q_u = Q\) sont ceux de la forme \[u_a = \begin{pmatrix} a & -\gamma \\ \alpha & a + \beta \end{pmatrix}, \qquad a \in \Gamma\,\underline{O} \text{ arbitraire},\] parmi lesquels \[u_0 = \begin{pmatrix} 0 & -\gamma \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} \quad \ldots \quad ]\]

On a alors

18\[\boxed{\,\delta(u) \;\Bigl(\overset{\mathrm{df}}{=} (\mathrm{Tr}\,u)^2 - 4N(u)\Bigr) = -\underbrace{\delta(Q_u)}_{\text{discr. de la forme } Q_u}\,}\]

— Attention au signe — dans le second cas !

On note que si \(Q\) est une forme quadratique à valeurs dans le module inv. \(\Delta'\) ([…] inv.) inv./\(\Delta\) \(\Lambda\), alors, alors \[\delta(Q) \in \Gamma(\Delta'^{\otimes 2} \otimes L^{\otimes 2})\] est défini ainsi : \[\varphi_Q : E \otimes E \longrightarrow \Delta' ,\] d'où \[E \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(E, M) \simeq E^\vee \otimes \Delta' ,\] d'où […] en prenant l'ext. deux dit maximale, \(\det = \bigwedge^2\) : \[\underbrace{\det E}_{L} \longrightarrow \underbrace{\det(E^\vee)}_{L^\vee} \otimes \Delta'^{\otimes 2}\] d'où \[\delta(Q) \in \Gamma\, \underbrace{L^{\vee \otimes 2} \Delta'^{\otimes 2}}_{(\Delta' \otimes L^\vee)^{\otimes 2}}\] la formule encadrée plus haut écrivait \(L^{\otimes 2}\) là où ce calcul donne \(L^{\vee \otimes 2}\)

Mais d'autre part Quand \(\Delta' \simeq L\), c'est donc une section de \(\underline{O}\), ce qui donne un sens à la formule sur les discriminants…

2.4. Soit \[Q : E \longrightarrow \Delta' \qquad Q \in \Gamma\, \underline{\mathrm{Quad}}(E, \Delta')\]

19une forme quadratique à valeurs dans le module inversible \(\Delta'\) ⌜\(= \Delta^\vee\)⌝. Il revient au même de se donner \[\Delta \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E) \qquad (\simeq \underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O} \otimes L^\vee)\] (vrai pour \(E\) loc. libre de r. fini), i.e. de se donner \[u_Q : \Delta \otimes L \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}.1\] Nous allons en profiter pour définir une alg. quadratique \(A_Q\) dans \(X\), et un homom. d'alg. \[A_Q \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}(E)\] dont l'image soit l'anneau \(A_\Sigma\) des similitudes ⌜\(\Sigma = \Sigma_Q\)⌝ défini par la structure de similitude \(\Sigma\) ⌜i.e. l'image inverse de \(\mathrm{Im}\,u_Q\) dans \(\underline{\mathrm{End}}(E)\)⌝, (pour ceci), i.e. associée à la structure de \(Q\). Considérons \[0 \to \underline{O}_X \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}(E) \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}.1_E \to 0\] et ⌜on désigne par \(A_Q\)⌝ l'image inverse de cette extension par \(u_Q\), d'où une extension

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  0 \arrow[r] & \underline{O} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & A_Q \arrow[r] \arrow[d, "u^!_Q"] & \Lambda \arrow[r] \arrow[d, "u_Q"] & 0 \\
  0 \arrow[r] & \underline{O} \arrow[r] & \underline{\mathrm{End}}(E) \arrow[r] & \underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

au-dessus de \(\Lambda\) : \(\Lambda \overset{\mathrm{df}}{=} \Delta \otimes L\)

20Considérons sur \(A_Q\) la forme quadratique \(N_Q\) définie par \[N_Q(x) = N(u^!_Q(x))\] on aura donc, en désignant par \(1_Q\) la section \(1\) de \(\underline{O}_X\), regardée comme section de \(A_Q\), \[N_Q(1_Q) = 1 ,\] Ainsi, \[(A_Q, 1_Q, N_Q)\] est un module loc. libre de rang 2, muni d'une section \(1_Q\) et d'une forme quadratique valant \(1\) sur cette section. On a donc une structure d'alg. quadratique unique sur \(A_Q\), pour laquelle \(N_Q\) soit la norme. De plus, on vérifie immédiatement que \(u^!_Q\) est un homom. d'algèbres, et que, en plus de la relation sur les normes, les relations \[\mathrm{Tr}(u^!_Q(x)) = \mathrm{Tr}_{A_Q/\underline{O}}(x)\] \[u^!_Q(\bar x) = \overline{u^!_Q(x)}\] où on désigne par \[v \longmapsto \bar v = (\mathrm{Tr}\,v).1 - v\] l'anti-involution canonique de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\), égale à \(\mathrm{id}_{\underline{O}}\) sur \(\underline{O}.1_E\) et induisant \(-\mathrm{id}\) sur le quotient. l'argument se poursuit au-delà de la p. 20, hors de ce lot