Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-09) ; révisée par le même modèle (2026-10-10)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-10-10
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)84
[Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[à partir de 1982-vers 1986]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/84.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteuranglais : le compte rendu des révisions, cité de l'en-tête de la sourceExport TEI depuis la source LaTeX.re-read on the 700 dpi tiles; 35 \ill and 18 \uncertain resolved, 59 remain.Première passe de transcription.
feuillet de calculs très chargé, en plusieurs couches ; on transcrit les formules dans l'ordre où elles se lisent, en comprimant la disposition
R_1 \rightleftarrows R_0, avec \beta : R_1 \to R_0 et \alpha : R_0 \to R_1. hom. de monoïdes
R_0, R_1 monoïdes ;
\alpha : R_0 \to R_1 hom. de monoïdes, (L, \delta \in \Gamma(L^{\otimes 2}), T_0 \in \Gamma L_0) \longmapsto (L, \Gamma)la dernière lettre se lit \Gamma ; on attendrait \delta
R_* = R_0 \sqcup R_1, loi de composition (x,y) \mapsto x \wedge y (comm., ass., unitaire), compat. avec R_* \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, i.e.
R_0 . R_0 \subset R_0, \qquad R_1 R_1 \subset R_0, \qquad R_1 . R_0 = R_0 . R_1 \subset R_1 .\begin{align*}
x, y \in R_0 &\Longrightarrow x \wedge y = x . y \\
x, y \in R_1 &\Longrightarrow x \wedge y = \beta(x.y) \qquad (\ldots : \beta(x)\beta(y)) \\
x \in R_1,\ y \in R_0 &\qquad x \wedge y = y \wedge x = x\, \alpha(y)
\end{align*}dans la dernière ligne, une expression biffée et noircie précède x\,\alpha(y) ; à la deuxième, la parenthèse se lit « (pas néc. égal : \beta(x)\beta(y)) »
(x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge z) :
a) x, y, z \in R_0 : OK () — ass. dans R_0 ;b) x \in R_1, y, z \in R_0 : (x . \alpha(y))\alpha(z) = x . \alpha(y.z) — multipl. de \alpha + ass. dans R_1 ;c) y \in R_1, x, z \in R_0 : (\alpha(x) y)\alpha(z) = \alpha(x)(y\,\alpha(z)) — ass. dans R_1 ;d) z \in R_1, x, y \in R_0 : \alpha(x.y).z = \alpha(x)(\alpha(y).z) — multipl. de \alpha + ass. de R_1 ;b') x \in R_0, y, z \in R_1 : \beta((\alpha(x) y).z) \overset{?}{=} x . \beta(y.z)(*) ;c') y \in R_0, x, z \in R_1 : \beta((x\,\alpha(y)).z) = \beta(x.(\alpha(y).z)) — ass. dans R_1 ;d') z \in R_0, x, y \in R_1 : \beta(x.y)\, z \overset{?}{=} \beta(x(y\,\alpha(z))) — comme (*) + comm. et ass. dans R_1 ;a') x, y, z \in R_1 : \alpha(\beta(x.y)).z \overset{?}{=} x\, \alpha(\beta(y.z)).
sous d') il récrit les deux membres : z\,\beta(y.x) et \beta((\alpha(z)y)x)
Donc il faut vérifier
① \beta(\alpha(x).yz) = x\,\beta(yz), i.e. \beta(\alpha(x)u) = x\,\beta(u) ; \beta(\alpha(x)) = x.\beta(1) (cas partic. y = z = 1) ;
② (\alpha\beta(xy))z = x\,\alpha\beta(yz) ; (\alpha\beta(x))z = x(\alpha\beta(z)) si y = 1 ; et si z = 1 : \alpha\beta(x) = x.\alpha\beta(1) = x\xi.
Et ② devient donc (xy\xi)z = x(yz\xi), OK par ass. et comm. dans R_1.
\text{(A)}\quad \beta(\alpha(x)u) = x\,\beta(u), \qquad
\text{(B)}\quad \alpha\beta(x) = x.\eta, \quad \eta = \alpha\beta(1) = \alpha(\zeta), \quad \zeta = \beta(1)
avec \zeta = (\underline{O}_X, 4\,1_{\underline{O}}, 0), d'où
\beta\alpha(x) = x\zeta \quad \text{OK}, \qquad (\beta x)(\beta y) = \zeta\, \beta(x.y).\beta(1)\beta(x.y) = \ldots\beta(x)\beta(y) \overset{?}{=} \zeta . \beta(x.y), via (A) et (B) : \beta(\alpha\beta(x)\,y) = \beta(\alpha(\zeta)\,x\,y) = \zeta\,\beta(xy).
la chaîne d'égalités sous la boîte est reconstituée de plusieurs fragments reliés par des flèches ; l'ordre est conjectural
encadré : R_* = R \times_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. On définit w_n : R_* \to R_0 par : a) si n = 2\nu, w_n(\xi) = x\,\zeta^{\nu} ; b) si n = 2\nu + 1, w_n : R_1 \to R_0, w_n(x) = \beta(x)\,\zeta^{\nu}. On trouve ainsi un hom. w : R_* \to R_0. Un le bord de la feuille est déchiré hom. w' : R_* \to \mathbb{Z} \times R_0.
E = \bigoplus_{1 \le i \le n} (L_i, \delta_i),
w_1(E) = \bigwedge_{1 \le i \le n} (L_i, 4\delta_i, 0) = \Bigl(\bigotimes L_i,\ 4^{n} \textstyle\prod \delta_i,\ 0\Bigr),\mathrm{Arf}(E) = \Bigl(\bigotimes L_i,\ 2^{\nu} \textstyle\prod \delta_i,\ 0\Bigr),
\qquad \mathrm{Arf}(E) = w_1(E).\,\xi^{\ldots}
avec \nu = n si n pair, \nu = n+1 si n impair ; \nu = 2\nu', \nu' = \bigl[\tfrac{n+1}{2}\bigr] ; \xi = (\underline{O}_X, 2^{?}1, 1).
On peut prendre NB si 2 inv. dans X : \ldots \simeq \ldots\mathrm{Arf}(E) \simeq \ldots
On a
c_1(E) = \mathrm{Arf}(E).\,\xi^{(n - \nu') = \nu''}, \qquad \nu'' = \begin{cases} \tfrac{n}{2} & \text{si } n \text{ pair} \\ \tfrac{n-1}{2} & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}
où \xi = (\underline{O}_X, 4, 0), \eta = \mathrm{Arf}(\mu_{2X}/X).
à côté, entre deux traits : c_1(E) \simeq (\bigotimes L_i, \delta, 0), \mathrm{Arf}(E) \simeq (\bigotimes L_i, \delta, 0) ; et une remarque : « donc \mathrm{Arf}(E)est un invariant plus fin que c_1(E) (si 2inversible sur X) »
Mais c_1(E)la page s'arrête sur ces mots
R_1, R_0 ;
R_1 \times R_1 \to R_0, \quad R_0 \times R_0 \to R_0, \quad R_0 \times R_1 \to R_1, \quad R_1 \times R_0 \to R_1 .R = R_1 \sqcup R_0 est un groupoïde unitaire ; R \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} est un hom. de monoïdes ;
R_1 = \varepsilon^{-1}(1), R_0 = \varepsilon^{-1}(0) ; R_{00} \subset R_0, partie = H^1(X, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).
R_1 \to R_0 n'est pas un hom. de monoïde ? (L,\delta) \mapsto (L, 4\delta, 0)sous (L,\delta), une flèche vers le bas et deux mots : .
\begin{align*}
(L, \delta)(L', \delta') &= (LL', 4\delta\delta', 0) \\
(L, \delta)(L', \delta', T'_0) &= (LL', 2\delta\delta') \\
(L, \delta, T_0)(L', \delta') &= (LL', \delta\delta') \\
(L, \delta, T_0)(L', \delta', T'_0) &= (LL', \delta\delta', T_0 T'_0)
\end{align*}dans la deuxième ligne le 2 est surchargé et douteux
« deux ou trois produits » : (LL'L'', 4\delta\delta'\delta'', 0 \ldots), (LL'L'', \delta\delta'\delta'', T_0T'_0T''_0).
(Commutation)
A_1, A_2, A_3, de bases 1, u_1 ; 1, u_2 ; 1, u_3, avec u_i^2 + e_i = 0 ;
A_1 \otimes A_2 \otimes A_3 \overset{\mathrm{df}}{=} A .
Base : 1, u_1, u_2, u_3, u_2u_3, u_3u_1, u_1u_2, u_1u_2u_3.
extensions quadratiques, involutions canoniques \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 (\sigma_i(u_i) = -u_i) se prolongent à A de façon canonique par \sigma_1 \otimes \mathrm{id} \otimes \mathrm{id} etc.
il y a 7 + 7 = 14 situations « biquadratiques » typiques (quand les A_i sont étales…)
1, u\longmapsto -u + \lambda
1, u \longmapsto \bar{u} + \alphaN(\bar u + \alpha) = N(\bar u) \quad (= N(u)), \qquad
\mathrm{Tr}(\bar u + \alpha) = \mathrm{Tr}\,\bar u \quad (= \mathrm{Tr}\,u)N(\bar u) + \alpha\,\mathrm{Tr}(\bar u) + \alpha^2 = N(\bar u)\begin{cases} \alpha(\mathrm{Tr}\,\bar u + \alpha) = 0 & (\mathrm{Tr}\,\bar u = b) \\ 2\alpha = 0 \end{cases}
\Longrightarrow \alpha = 0 \text{ si } 2 \text{ inv.}
\lambda + \mu uu\bar u = N(u)N(v) = 1 \Longrightarrow v = u\,\bar u^{-1} \;(= u^2 N(u)^{-1}), \qquad u^2 + bu + c = 0, \quad \mathrm{Tr}\,u = -b .\begin{align*}
v &= \alpha + \beta u, & N(v) &= \alpha^2 - \alpha\beta b + \beta^2 c = 1 \\
\bar v &= (\alpha - \beta b) - \beta u, & &= \alpha(\alpha - \beta b) \quad \text{si } c = 0 \\
v \bar v &= \alpha(\alpha - \beta b) - \beta^2 c \ldots
\end{align*}dans N(v) le signe devant \alpha\beta b est noirciv = \alpha + \beta u, \quad \bar v = \alpha + \beta \bar u, \qquad
v\bar v = \alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta\,(u + \bar u)sous (u + \bar u) : \mathrm{Tr}\,u ; ce second calcul est biffé en partie
w = \lambda 1 + \mu u & N(u) = 0N(u) = 0, donc N(w) inv.N(w) inv. \Longrightarrow\lambda inv.
N(w) = \lambda^2 - \lambda\mu b = \lambda(\lambda - \mu b) ; \qquad \alpha(\alpha - \beta b) = 1 .
la flèche G_m \to W^* porte « cas » ; la flèche G_m \to G_m de la dernière ligne porte un exposant 2 de lecture douteuse ; les deux G_m de droite sont reliés par un double trait ; la première ligne est en partie biffée et des flèches verticales partent encore vers le bas de la page
Formes quadratiques binaires et revêtements quadratiques
titre souligné, en tête de la p. 8
1. Forme quadratique à scalaire près, structure de similitude.
1.1. (X, \underline{O}_X) désigne un schéma, plus généralement un topos loc. annelé. Soit E un Module sur X,
\underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Gamma^2(E), E)la seconde lettre se lit E, où l'on attendrait \underline{O}_X
le faisceau des formes quadratiques sur E. Si E est loc. libre de type fini, on a un iso. can.
\underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee),
(en général on a seulement un homomorphisme can.
\underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee) \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E),
qui transforme f.g (f, g \in \Gamma E^\vee) dans Q_{fg} : x \mapsto f(x)g(x) sur E…).
Le faisceau en groupes \underline{O}_X^* opère sur \underline{\mathrm{Quad}}(E), d'où un faisceau quotient
\underline{\mathrm{Sim}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E)/\underline{O}^* .
Une section du faisceau quotient s'appelle une structure de similitude sur E. Une telle section correspond à un sous-faisceau ensembliste de \underline{\mathrm{Quad}}(E), qui un sous-faisceau loc soit : fibres non vides et sur lequel \underline{O}^* opère transitivementles lignes, inclinées, se chevauchent ici ; l'ordre des membres de phrase est incertain. Localement, une telle structure est définie par une section Q de \underline{\mathrm{Quad}}(E), i.e. par une forme quadratique sur E, deux telles sections Q, Q' définissant la même structure de similitude ssi \exists localement a \in \Gamma(\underline{O}_X^*) avec Q' = aQ. Le cas le plus intéressant est celui où a \mapsto aQa \longmapsto a.Q : \underline{O}_X \ (\text{sans } * \,!) \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E)
est injectif. Dans ce cas, si Q'définit la même définit la même
structure de similitude ssi \exists\, a \in \Gamma \underline{O}_X^* (globalement) telle que Q' = aQ, et cette a est alors unique (ce qui assure l'unicité). On appelle desstructure de similitudefidèle : définie loc. par une Q telle que a \mapsto aQ injectif (ce qui est indépendant du choix des Q, seulement de la structure de similitude).
1.2. Soit Pour P \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E) une structure de similitude, on peut regarder le sous-Module engendré, soit
\Delta = \Delta_P \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E),
et on voit que
P \longmapsto \Delta_P
donne une bijection entre l'ens. des structures de similitudes sur E, et l'ens. des sous-Modules de \underline{\mathrm{Quad}}(E) qui sont localement monogènes. Les formes Les structures fidèles de similitude fidèles correspondent aux sous-modules
\Delta \hookrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E)
qui sont inversibles. Un hom. quelc. \Delta \to \underline{\mathrm{Quad}}(E) définit évidemment une structure .
NB Dans le cas où E est loc. de type fini, dans ce cas il
1.3. \underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Sym}}^2(E). Une structure de similitudes est dite strictement fidèle (ou universellement fidèle) si l'homom. précédent est « universellement injectif », ou encore (ce qui revient au même) injectif sur chaque fibre résiduelle.
ce passage est très surchargé : une note interlinéaire précédée de « NB » et le numéro 1.3 s'y enchevêtrent ; la formule se lit \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) là où 1.1 donnait \underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee)
Les structures de similitude strictement fidèles correspondent donc aux sous-fibrés vectoriels de rang 1 du fibré vectoriel \mathbb{W}(\underline{\mathrm{Quad}}(E))], ou encore aux sections du fibré en espaces projectifs \mathbb{P}^\vee(\underline{\mathrm{Quad}}(E)).
1.4. Soient \Delta un Module inv. sur X, et
\Delta \xrightarrow{\ i\ } \underline{\mathrm{Quad}}(E)
un hom. (pas nécessairement injectif), définissant donc une structure de similitude \Sigma sur E. Je dis qu'on a une forme quadratique Q_\Sigma ou Q_i (canonique) à valeurs dans le module inversible \Delta^\vee. Pour la définir, je vais d'abord définir (indép. du choix de i ou de \Sigma) une forme quadratique canonique
Q = Q_E : E \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E)^\vee :elle associe sa valeur, pour une section locale x de E, est la forme linéaire
Q(x) = \{ f \longmapsto f(x) \} \qquad \text{i.e.} \quad f(x) = \langle f, Q(x) \rangle(pour toute section (locale) f de \underline{\mathrm{Quad}}(E), x de E.\underline{\mathrm{Quad}}(E)). Celle-ci dépend de x de façon quadratique, i.e. la fonction E \times E \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)^\vee,
(x, y) \longmapsto Q(x + y) - Q(x) - Q(y) = \{ f \longmapsto \underbrace{f(x+y) - f(x) - f(y)}_{\varphi_f(x,y)} \}
est bilinéaire en x, y. Comme on a, par transposition de i : \Delta \hookrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E),
\underline{\mathrm{Quad}}(E)^\vee \xrightarrow{\ i^\vee\ } \Delta^\vee ,
on en déduit une forme quadratique composée
Q_i = Q_\Sigma : E \longrightarrow \Delta^\vee .au-dessus de la flèche, la composition est dessinée : Q : E \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)^\vee puis i^\vee
Dans le cas d'une structure de similitude \Sigmafidèle, (\Delta, i) ne dépend, à iso. can. unique près, que de \Sigma, et il en est donc de même de Q_i, ce qui justifie la notation Q_\Sigma. Quand
NB Quand on se donne une base e de \Delta, d'où \Delta \simeq \Delta^\vee \simeq \underline{O}, alors Q_\Sigma s'identifie à une forme quadr. ordinaire E à val. dans \underline{O}, et on a f = i(e).
1.5. La donnée d'une structure de similitudes (fidèlestrictement) sur Eéquivaut à celle d'un Module inv. \Delta sur X et d'une forme quadratique Q : E \to \Delta^\vee (Q(E) engendre \Delta^\vee, i.e. Qsur aucune fibre résiduelle identiquement nulle).
2.1. On suppose à partir de maintenant que E est loc. libre de rang 2. Soit
L = \underline{\det} E = \textstyle\bigwedge^2 E
le Module déterminantiel, qui est un Module inversible. Notons l'iso. can.
E \xrightarrow{\ \sim\ } \check E \otimes L
donné par \bigl(x \longmapsto (y \longmapsto x \wedge y)\bigr), i.e. provenant de l'accouplement canonique
E \times E \longrightarrow L = \textstyle\bigwedge^2 E : \quad (x, y) \longmapsto x \wedge y .
On en déduit des iso. can.
\begin{cases}
\check E \simeq E \otimes L^\vee \\
\underbrace{\underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee)}_{\underline{\mathrm{Quad}}(E)} \simeq \underbrace{\underline{\mathrm{Sym}}^2(E)}_{\underline{\mathrm{Quad}}(E^\vee)} \otimes \underbrace{L^{\vee \otimes 2}}_{L^{\otimes(-2)}}
\end{cases}
i.e. \underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \otimes L^{\otimes -2}.
Il en résulte un isom. canonique de faisceaux
\underline{\mathrm{Sim}}(E) \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \mathrm{can}_E\ } \underline{\mathrm{Sim}}(\check E)
qui transforme le sous-Module loc. monogène \Delta de \underline{\mathrm{Sym}}^2(E^\vee) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E) dans
\Delta \otimes L^{\otimes 2} \subset \underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \otimes L^{\otimes 2}
\simeq \underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \otimes L^{\otimes(-2)} \otimes L^{\otimes 2}
\simeq \underline{\mathrm{Quad}}(\check E).avant \underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \otimes L^{\otimes 2}, un \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) est biffé
On trouve que \mathrm{can}_E et \mathrm{can}_{\check E} sont inverses l'un de l'autre. Les structures de similitude fidèles, strictement fidèles, non dégénérées (universellement…) pour E et pour E^\vee se correspondent.
2.2. Considérons encore l'iso. can. (dépendant du choix d'un signe)
\check E \simeq E \otimes L^\vee ,
en \otimes-multipliant à droite par E, on trouve
\check E \otimes E \simeq E \otimes E \otimes L^\vee .
D'autre part (\underline{O}_X-Module) on a une suite exacte canonique (qui ne fait intervenir aucun choix de signe…) :
0 \to \textstyle\bigwedge^2 E \longrightarrow E \otimes E \longrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \to 0 ,
\qquad x \wedge y \longmapsto x \otimes y - y \otimes x
et dans le cas actuel où \bigwedge^2 E \overset{\mathrm{df}}{=} L est inversible, et donc
0 \to L \longrightarrow E \otimes E \longrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \to 0 ,
d'où en multipliant par L^\vee0 \to \underline{O} \longrightarrow (E \otimes E) \otimes L^\vee \longrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \otimes L^\vee \to 0
avec (E \otimes E) \otimes L^\vee \simeq E^\vee \otimes E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E).
Je dis que par l'iso. can. vertical, le sous-Module L \otimes L^\vee \simeq \underline{O} est transformé en le sous-module \underline{O}.1_E de \underline{\mathrm{End}}(E), de façon plus précise que l'on a un diagramme commutatif des d'isomorphismes
au-dessus de L : \det E ; au-dessus de \underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \otimes L^\vee : \underline{\mathrm{Quad}}(\check E) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E) \otimes L^{\otimes 2} ; sous \underline{\mathrm{End}}(E) : \simeq \check E \otimes E \simeq E \otimes L^\vee\otimes E
d'où par l'isom.\underline{\mathrm{Sym}}^2(E) \otimes L^\vee \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E) \otimes L \qquad (\simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E, L))\wr\!\downarrow\underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}
On en conclut : les structures de similitude sur les Modules (loc. libres de rang 2) E correspondent aux sous-Modules loc. monogènesModules (loc. libres de rang 2)des\underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}, i.e. aux sous-Modules A de \underline{\mathrm{End}}(E) tels que
1°) A \supset \underline{O}.1_E2°) A/\underline{O}.1_E soit loc. monogène.
Les structures de similitude strictement fidèles correspondent aux sous-fibrés vectoriels de rang 2 (de \underline{\mathrm{End}}(E)) qui contiennent le sous-fibré \underline{O}.1_E.
Lemme 1 Soit A un sous-Module de \underline{\mathrm{End}}(E) qui contient \underline{O}.1_E. Conditions équivalentes :
a) A/\underline{O}1_E est monogène, i.e. \exists une section u de A t.q. A = \underline{O}.1_E + \underline{O}u ;a') \exists loc. une section ;b) A est engendré loc. par deux sections.
résulte de N.C. b) l'équation u^2 - \mathrm{Tr}(u)u + N(u) = 0
Un tel A est stable par la loi d'algèbre de \underline{\mathrm{End}}(E), et est un faisceau d'anneaux commutatif, et de plus entierloc.fini sur \underline{O}. Donc les A en question correspondent : des structures de similitude sur E) correspondant (commutatives) aux sous-algèbres) de \underline{\mathrm{End}}(E). Les str. de similitude str. fidèles correspondent loc. aux A_uloc. définis par u tels que u ne soit
un scalaire sur aucune fibre résiduelle.
A est appelé l'anneau des homothéties (sous-entendu :directes) pour de la structure de similitude \Sigma, on le note A_\Sigma.
Lemme 2 Soit \Sigma une structure de similitude sur E, et A_\Sigma \subset \underline{\mathrm{End}}(E) l'Anneau des homothéties. Conditions équivalentes :
a) \Sigma est strictement fidèle A_\Sigma est loc. libre de rang 2 etb) A(s) \to \underline{\mathrm{End}}(E(s)) injectif pour tout s \in X, i.e. A sous-fibré vectoriel (de rang 2) de \underline{\mathrm{End}}(E).b') (si A = \underline{O}.1_E + \underline{O}.u) \forall s \in X, u(s) \in \underline{\mathrm{End}}(E(s))n'est pas un scalaire.c) E est un A-Module loc. libre de rang inversible, i.e. loc. libre de rang 1.c') E est un A-module loc. monogène.d) \mathcal{E} = \underline{\mathrm{End}}(E) est un A-Module ; c). Comme la structure régulière ) loc. libre de rang 2.d') \mathcal{E} est un A-module loc. engendré par 2 éléments.
au-dessus de d') : \Delta \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E) ; à la suite, « x \in \Gamma E, dans » est biffé
Cor. 1, Sous ces conditions, soit \Delta le sous-Module loc. lib. inv. de \underline{\mathrm{Quad}}(E) tel que \Sigma = \Sigma_\Delta. On a un iso. can.
\Delta \simeq (A/\underline{O}) \otimes L^\vee \qquad (\text{où } L = \textstyle\bigwedge^2 E = \det E)
d'où
\check\Delta \simeq (A/\underline{O})^\vee \otimes L ,
et on a la forme quadratique de définition de la structure quadratiquede similitudeQ_\Sigma : E \longrightarrow \Delta^\vee \overset{\mathrm{df}}{=} \Delta' \quad (\simeq A/\underline{O} \otimes L^\vee)Soit pois, soit Plus généralement, soit \Delta' un Module inversible,
Q : E \longrightarrow \Delta' \qquad \bigl(\text{i.e. } \Delta'^\vee \to \underline{\mathrm{Quad}}(E) \text{ un homom. de Modules}\bigr)
une forme quadratique, d'où une structure de similitude \Sigma = \Sigma_Q sur E, correspondant à un sous-anneau A = A_\Sigma de \underline{\mathrm{End}}(E). Soit x une section de E. Conditions équivalentes
a) \{x\} est un générateur de E comme A-Module, i.e. A \to Ea \mapsto a.x, est épi ;a') Q(x) est\{x\} est une base de E comme A-Module, i.e. A \to E est un iso ;b) \{Q(x)\} est une base de \Delta', i.e. Q(x) \in \Gamma \Delta' est inversible ;b') (si \Delta' = \underline{O}) \forall s \in X, Q(x)(s) \neq 0 ;c) Soit QLem 2d) (si u est un gén. loc. de l'Alg. A) \forall s \in X, x(s) \in E(s) n'est pas vecteur propre de u(s) \in \underline{\mathrm{End}}\,E(s).
2.3. Considérons à nouveau l'iso. can.
\underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}.1_E \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E) \otimes \underline{L} \qquad (\simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E, L))Soitu une section de \underline{\mathrm{End}}(E) i.e. un endom. de E, considérons son image est donc une forme quadratique Q_u à valeurs dans L. Je dis que
\boxed{\,Q_u(x) = u(x) \wedge x\,}
( il faut vérifier le signe !). C'est On vérifie directement par des coordonnées que
Q_u = 0 \iff u \in \Gamma\, \underline{O}.\mathrm{id}_E
[NB. Si
u = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
alors
Q_u(\lambda, \mu) = c\lambda^2 + (d - a)\lambda\mu \ \ldots\ b\mu^2le signe devant b\mu^2 est couvert d'une tache
qui est identiquement nul en \lambda, \mu ssi b = c = 0, d = a, i.e. u = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = a\,\mathrm{id}_E.
Si
Q = \alpha\lambda^2 + \beta\lambda\mu + \gamma\mu^2 ,
alors les u tels que Q_u = Q sont ceux de la forme
u_a = \begin{pmatrix} a & -\gamma \\ \alpha & a + \beta \end{pmatrix}, \qquad a \in \Gamma\,\underline{O} \text{ arbitraire},
parmi lesquels
u_0 = \begin{pmatrix} 0 & -\gamma \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} \quad \ldots \quad ]
On a alors
\boxed{\,\delta(u) \;\Bigl(\overset{\mathrm{df}}{=} (\mathrm{Tr}\,u)^2 - 4N(u)\Bigr) = -\underbrace{\delta(Q_u)}_{\text{discr. de la forme } Q_u}\,}
— Attention au signe — dans le second cas !
On note que si Q est une forme quadratique à valeurs dans le module inv. \Delta'( inv.)inv./\Delta\Lambda, alors, alors
\delta(Q) \in \Gamma(\Delta'^{\otimes 2} \otimes L^{\otimes 2})
est défini ainsi :
\varphi_Q : E \otimes E \longrightarrow \Delta' ,
d'où
E \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(E, M) \simeq E^\vee \otimes \Delta' ,
d'où en prenant l'ext. deuxdit maximale, \det = \bigwedge^2 :
\underbrace{\det E}_{L} \longrightarrow \underbrace{\det(E^\vee)}_{L^\vee} \otimes \Delta'^{\otimes 2}
d'où
\delta(Q) \in \Gamma\, \underbrace{L^{\vee \otimes 2} \Delta'^{\otimes 2}}_{(\Delta' \otimes L^\vee)^{\otimes 2}}la formule encadrée plus haut écrivait L^{\otimes 2} là où ce calcul donne L^{\vee \otimes 2}
Mais d'autre part Quand \Delta' \simeq L, c'est donc une section de \underline{O}, ce qui donne un sens à la formule sur les discriminants…
2.4. Soit
Q : E \longrightarrow \Delta' \qquad Q \in \Gamma\, \underline{\mathrm{Quad}}(E, \Delta')
une forme quadratique à valeurs dans le module inversible \Delta'= \Delta^\vee. Il revient au même de se donner
\Delta \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(E) \qquad (\simeq \underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O} \otimes L^\vee)
(vrai pour E loc. libre de r. fini), i.e. de se donner
u_Q : \Delta \otimes L \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}.1
Nous allons en profiter pour définir une alg. quadratique A_Q dans X, et un homom. d'alg.
A_Q \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}(E)
dont l'image soit l'anneau A_\Sigma des similitudes \Sigma = \Sigma_Q défini par la structure de similitude \Sigmai.e. l'image inverse de \mathrm{Im}\,u_Q dans \underline{\mathrm{End}}(E), (pour ceci), i.e. associée à la structure de Q. Considérons
0 \to \underline{O}_X \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}(E) \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}(E)/\underline{O}.1_E \to 0
et on désigne par A_Q l'image inverse de cette extension par u_Q, d'où une extension
au-dessus de \Lambda : \Lambda \overset{\mathrm{df}}{=} \Delta \otimes L
Considérons sur A_Q la forme quadratique N_Q définie par
N_Q(x) = N(u^!_Q(x))
on aura donc, en désignant par 1_Q la section 1 de \underline{O}_X, regardée comme section de A_Q,
N_Q(1_Q) = 1 ,
Ainsi,
(A_Q, 1_Q, N_Q)
est un module loc. libre de rang 2, muni d'une section 1_Q et d'une forme quadratique valant 1 sur cette section. On a donc une structure d'alg. quadratique unique sur A_Q, pour laquelle N_Q soit la norme. De plus, on vérifie immédiatement que u^!_Q est un homom. d'algèbres, et que, en plus de la relation sur les normes, les relations
\mathrm{Tr}(u^!_Q(x)) = \mathrm{Tr}_{A_Q/\underline{O}}(x)u^!_Q(\bar x) = \overline{u^!_Q(x)}
où on désigne par
v \longmapsto \bar v = (\mathrm{Tr}\,v).1 - v
l'anti-involution canonique de \underline{\mathrm{End}}(E), égale à \mathrm{id}_{\underline{O}} sur \underline{O}.1_E et induisant -\mathrm{id} sur le quotient.
l'argument se poursuit au-delà de la p. 20, hors de ce lot