Cote n° 83, pages 181–200

Cote n° 83 · batch 10 · pages 181–200 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

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(I bis)

titre cerclé de sa main en tête de la p. 182, qui ouvre une nouvelle suite.

182Mars 1986 — Juillet 1986

$\mathcal{A}$ alg. d'Az. de rang 4 sur $k$, on veut expliciter sa structure multiplicative en termes de la forme $\det$, de l'élément $1$, et de la structure spéciale orthogonale $e \in \hat{\Lambda}^4 \mathcal{A}$ […] ⌜[…]⌝ associée à $\det$ ($e \otimes e = \mathrm{dis}(\det)$). Comme on connaît ⌜$\det$ et $1$,⌝ la forme $\mathrm{Tr}\, xy$ par la formule \[\det(x+y) = \det x + \det y + \mathrm{Tr}\, x\, \mathrm{Tr}\, y - \mathrm{Tr}\, xy ,\] \[\varphi_{\det}(x,y) = \mathrm{Tr}\, x\, \mathrm{Tr}\, y - \underbrace{\mathrm{Tr}\, xy}_{\varphi(x,y)} ,\] pour et que celle-ci est non dég., pour connaître $xy$, il suffit de connaître \[\mathrm{Tr}\, xyz \qquad \forall z \in \mathcal{A} .\] NB $\mathrm{Tr}$ […] en termes de $\det$ : $\mathrm{Tr}(x) = \varphi_{\det}(x,1)$, […] i.e. le premier indice de $\varphi$ est écrit « det » sur un mot biffé illisible.

Donc je cherche une formule pour $\mathrm{Tr}\, xyz$. Comme $\mathrm{Tr}(xy)z$ et $\mathrm{Tr}(yx)z$ ne sont pas égaux en général, i.e. la structure mult. ⌜de $\mathcal{A}$⌝ n'est pas commutative (alors on sent que $\det$, $1$ et $e$ ne suffiront à expliciter $\mathrm{Tr}\, xyz$ car ils ne déterminent la structure multiplicative que mod passage à l'inverse, i.e. mod l'involution \[x \longmapsto x' = \mathrm{Tr}(x).1 - x .\]

On voit aussi que $\mathrm{Tr}\, xyz$ ne dépend que du triple $\{x,y,z\}$ et d'un ordre circulaire sur l'ens. des trois termes. On a, pour si \[\begin{aligned} \tau &= \mathrm{Tr}\, xyz \quad (= \mathrm{Tr}\, yzx = \mathrm{Tr}\, zxy) \\ \tau' &= \mathrm{Tr}(zyx) \quad (= \mathrm{Tr}(yxz) = \mathrm{Tr}(xzy)) \end{aligned}\]

183la formule \[\tau + \tau' = \mathrm{Tr}\,(xy+yx)z\] or \[xy + yx = \underbrace{\mathrm{Tr}(y)}_{b'} x + \underbrace{\mathrm{Tr}(x)}_{b} y + \bigl(\underbrace{\mathrm{Tr}(xy)}_{t''} - \underbrace{\mathrm{Tr}\, x}_{b}\, \underbrace{\mathrm{Tr}\, y}_{b'}\bigr) 1\] $\mathrm{Tr}\, x = b$, $\mathrm{Tr}\, y = b'$, $\mathrm{Tr}\, z = b''$ ; $\det x = c$, $\det y = c'$, $\det z = c''$ ; $\mathrm{Tr}\, yz = t$, $\mathrm{Tr}\, zx = t'$, $\mathrm{Tr}\, xy = t''$ donc \[\text{\struck{$(xy)z+$}}\quad (xy+yx)z = b'xz + byz + (t''-bb')z\] d'où \[\boxed{\tau + \tau' = bt + b't' + b''t'' - bb'b''} \overset{\text{déf}}{=} \Sigma(b,b',b'',t,t',t'')\] les deux premiers termes de l'encadré sont surchargés ; la lecture $bt + b't'$ est celle que donne le calcul de la ligne précédente.

On devine que $\tau\tau'$ sera également un polynôme en $b,b',b'',c,c',c'',t,t',t''$, de sorte que $\tau,\tau'$ s'explicitent (ici par permutation près) comme racines d'un polynôme ⌜unitaire⌝ du second degré, dont les coeff. $B$ ($= \tau+\tau'$) et $C$ ($= \tau\tau'$) sont des polynômes en les variables $b^{(i)}, c^{(i)}, t^{(i)}$.

Mais plutôt que de chercher une expression pour $\tau\tau'$, je vais essayer de les ⌜[$\tau$ et $\tau'$]⌝ déterminer directement en termes de $\det$, $1$ et de $e$. Je suis guidé par le fait que $xy$ et $yx$ sont symétriques mod $1, x, y$ — donc si $z$ est orth. à $1, x, y$ ⌜(pour $\varphi$)⌝ $\det$ on aura \[\mathrm{Tr}(xyz) = - \mathrm{Tr}(yxz) .\] un long trait oblique traverse la moitié inférieure de la page sans annuler le texte, que la suite utilise. Pour se ramener à ce cas, on construit $\alpha, \beta, \gamma \in k$ tels que \[z' = z - \alpha 1 - \beta x - \gamma y\] soit orth. à $1, x, y$, i.e. dans la troisième ligne, avant $b'\alpha$, une première écriture biffée illisible. \[\begin{aligned} &b'' - 2\alpha - b\beta - b'\gamma = 0 \\ &t' - b\alpha + (2c - b^2)\beta - t''\gamma = 0 \\ &t - b'\alpha - t''\beta + (2c' - b'^2)\gamma = 0 \end{aligned}\] i.e. \[\left\{ \begin{aligned} 2\alpha + b\beta + b'\gamma &= b'' \\ b\alpha + (b^2 - 2c)\beta + t''\gamma &= t' \\ b'\alpha + t''\beta + (b'^2 - 2c')\gamma &= t \end{aligned} \right.\] matrice \[\begin{pmatrix} 2 & b & b' \\ b & b^2 - 2c & t'' \\ b' & t'' & b'^2 - 2c' \end{pmatrix}\]

184avec […] \[(1 \wedge \text{\struck{$x$}}\, x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1} = 2\varepsilon_0 \qquad \text{où} \quad \varepsilon_0 = (\alpha \wedge \alpha' \wedge x_0 \wedge y_0) \otimes e^{-1} \in \pm 1 ,\] le signe dépend de la convention d'orientation (qu'il faudra préciser le moment venu !).

D'autre part \[\tau - \tau' = \mathrm{Tr}\, \underbrace{[x,y]}_{z} . z = \mathrm{Tr}\, z^2 = \mathrm{Tr}\, 1 = 2\] sous $\tau - \tau'$ une première écriture biffée : $\mathrm{Tr}\, xy \ldots = 1$. d'où \[\Delta = 2\varepsilon\varepsilon_0 \quad \text{i.e.} \quad \varepsilon = \tfrac12\, \varepsilon_0\] d'où \[\boxed{\tau - \tau' = \tfrac12\, \varepsilon_0\, \underbrace{(1 \wedge x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1}}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \Delta}} \qquad \text{i.e.} \quad 2(\tau - \tau') = \varepsilon_0 \Delta\] devant $\varepsilon_0$, dans les deux formules, le coefficient $\tfrac12$ est surchargé sur un autre chiffre ($\tfrac14$ ?) ; la ligne « d'où » porte $\Delta$ écrit sur un $2$. La p. 188 écrira $\tau - \tau' = \varepsilon_0 \Delta$.

(a un sens si $2$ inv. dans l'anneau de base $k$ où on travaille).

On en tire \[4\tau\tau' = (\tau+\tau')^2 - (\tau-\tau')^2 = \Sigma^2 - \tfrac14 \Delta^2\] ici encore le $\tfrac14$ est surchargé. ? À vérifier (dans $\mathbb{Q}[[x_{ij}, y_{ij}, z_{ij}]]$, $1 \leq i,j \leq 2$)dans les crochets, avant $x_{ij}$, une première écriture biffée : $b, b', b''$. \[\Sigma^2 - \tfrac14 \Delta^2 \in 4\, \mathbb{Z}[b,b',b'',t,t',t'']\] i.e. \[\text{\struck{$4\Sigma^2 - \Delta^2 \in 16\, \mathbb{Z}[b,b',b'',t,t',t'']$}}\] d'où l'expression \[\tau\tau' = \Pi(b,b',b'',t,t',t'') \in \mathbb{Z}[b,b',b'',t,t',t'']\] expression polynomiale de poids total $6$ (les $b$ étant de la phrase reprend en tête de la p. 186 ; la p. 185 est un calcul intercalé.

185On va plutôt essayer des calculs \[\tau' - \tau = \mathrm{Tr}\, xyz - \mathrm{Tr}\, yxz = \mathrm{Tr}([x,y]z) = \mathrm{Tr}([y,z]x) = \mathrm{Tr}([z,x].y)\] (c'est une expression alternée en $x, y, z$, ⌜multilinéaire⌝), donc \[\tau' - \tau = \text{\struck{$\ill{}$}}\, (a \wedge x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1}\] pour $a \in \mathcal{A}$ bien déterminé. Comme cette expression est invariante par $G = \underline{\mathrm{Aut}}\, \mathcal{A}$, on voit que et que (si $g \in G(-)$) \[g(a) \wedge g(x) \wedge g(y) \wedge g(z) = a \wedge x \wedge y \wedge z \quad (= a \wedge g(x) \wedge g(y) \wedge g(z)) ,\] on en conclut que $a = g(a)$ i.e. $a$ inv. sous $G$ i.e. $a = \varepsilon . 1$. On […] donc aussi \[\tau' - \tau = \varepsilon\, (1 \wedge x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1}\] et pour calculer $\varepsilon$, il suffit de prendre $x, y, z$ tels que $1 \wedge x \wedge y \wedge z$ inv., i.e. $1, x, y, z$ une base ⌜de $\mathcal{A}$⌝. On prendra \[x_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad y_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad z_0 = [x_0, y_0] = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 2\alpha \quad \text{où } \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\] (NB $x_0 y_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $y_0 x_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$) à la suite, une égalité biffée : $x_0 y_0 z_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. On trouve \[1 \wedge x_0 \wedge y_0 \wedge z_0 = -2\, 1 \wedge x_0 \wedge y_0 \wedge \alpha = -2\, \alpha' \wedge x_0 \wedge y_0 \wedge \alpha = 2\, \alpha \wedge \alpha' \wedge x_0 \wedge y_0\] après le dernier $2$, une première écriture biffée : $x \wedge y \wedge \alpha \wedge \alpha'$. où \[\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \alpha' = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] et $x, y$, $\alpha, \alpha', x_0, y_0$ forment base can. de $M_2(\mathbb{Z})$. On la suite (« on a donc aussi bien ») est en tête de la p. 184 : la feuille 185 s'insère logiquement avant la p. 184.

186poids $1$ et les $t$ de poids $2$), et de poids $2$ en chacune des paires de variables $x, y, z$ (i.e. […] ⌜de poids $1$ dans $b, t', t''$, poids $0$ dans $b', b'', t$⌝) $(b,t)\ (b',t')\ (b'',t'')$. De plus, il doit être symétrique par permutation des […] ⌜trois⌝ paires de variables $(b,t), (b',t'), (b'',t'')$. Et il en va de même pour $\Delta^2$.

On doit donc avoir \[\begin{aligned} \Delta^2 = \alpha\, tt't'' &+ \beta\,(b^2t^2 + b'^2t'^2 + b''^2t''^2) + \gamma\,(b'b''t't'' + b''bt''t + bb'tt') \\ &+ \delta\,(b'b''b^2 t + b''bb'^2 t' + bb'b''^2 t'') + \eta\, b^2 b'^2 b''^2 \end{aligned}\] au-dessous, une première version de cette formule, biffée de deux traits et en partie illisible. avec \[\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Z}\] à déterminer, par (quatre ?) choix particuliers des triples $(x,y,z)$. P. ex. le triple particulier $x_0, y_0, z_0 = [x_0, y_0]$ donne \[b, b', b'' = 0, \quad \text{et} \quad \Delta = 2\varepsilon_0, \quad \Delta^2 = 4 ,\] d'où \[4 = \alpha\, tt't''\] où \[t'' = \mathrm{Tr}\, x_0 y_0 = 1, \quad t = \mathrm{Tr}\, y_0 z_0 = 0, \quad t' = \mathrm{Tr}\, z_0 x_0 = 0\] et on trouve $4 = \alpha . 0$, ce qui est fâcheux !

Et pour cause — il faudra, dans l'expression de $\Delta^2$, faire intervenir aussi $c, c', c''$. En fait, on trouve immédiatement, une fois qu'on y pense :

187\[\Delta(x,y,z)^2 = \det \begin{pmatrix} \varphi(1,1) & \varphi(1,x) & \varphi(1,y) & \varphi(1,z) \\ \varphi(x,1) & \varphi(x,x) & \varphi(x,y) & \varphi(x,z) \\ \varphi(y,1) & \varphi(y,x) & \varphi(y,y) & \varphi(y,z) \\ \varphi(z,1) & \varphi(z,x) & \varphi(z,y) & \varphi(z,z) \end{pmatrix}\] où $\varphi(u,v)$ est la forme bil. symm. associée à la forme quadratique $q$ ($= \det$) \[\varphi(u,v) = \mathrm{Tr}\, u\, \mathrm{Tr}\, v - \mathrm{Tr}(uv) =\]

NB Les \[\begin{aligned} \varphi(u,1) &= \mathrm{Tr}(u) \quad \text{\struck{$\ill{}$}} \\ \varphi(u,u) &= 2 \det u \end{aligned}\]

Donc on trouve \[\boxed{\Delta(x,y,z)^2 = \det \begin{pmatrix} 2 & b & b' & b'' \\ b & 2c & bb' - t'' & bb'' - t' \\ b' & bb' - t'' & 2c' & b'b'' - t \\ b'' & bb'' - t' & b'b'' - t & 2c'' \end{pmatrix}}\] ce qui permet d'expliciter \[4\tau\tau' = \Sigma^2 - \Delta^2\] $\longleftarrow$ […] où $\Delta$ est donné ci-dessus, et \[\boxed{\Sigma = bt + b't' + b''t'' - bb'b''}\]

188Le calcul « bête », en développant le déterminant en tenant compte des symétries (par regroupement des termes qui se correspondent par symétrie op. de $\mathfrak{S}_3$) et $\Sigma^2$, \[\Sigma^2 - \Delta^2 = 4\Pi(b,b',b'',t,t',t'',c,c',c'')\] avec \[\boxed{ \begin{aligned} \Pi = tt't'' &+ (ct^2 + c't'^2 + c''t''^2) + (b^2c'c'' + b'^2c''c + b''^2cc') \\ &- (b'b''ct + b''bc't' + bb'c''t'') \end{aligned}}\] \[= tt't'' + ct(t - b'b'') + c't'(t' - b''b) + c''t''(t'' - bb') + (b^2c'c'' + b'^2c''c + b''^2cc')\]

On aura, […] \[\left\{ \begin{aligned} \tau + \tau' &= \Sigma \quad (= bt + b't' + b''t'' - bb'b'') \\ \tau\tau' &= \Pi \quad \bigl(= tt't'' + (ct^2 + c't'^2 + c''t''^2) \\ &\qquad\quad + (b^2c'c'' + b'^2c''c + b''^2cc') \\ &\qquad\quad - (b'b''ct + b''bc't' + bb'c''t'')\bigr) \end{aligned} \right.\] \[\tau - \tau' = \varepsilon_0\, \Delta\]

189À vérifier : L'anneau $B$ des des fonctions $F(x,y,z)$ en trois variables dans $\mathcal{A}$, $G$-invariantes ⌜sur⌝ ($\mathcal{A}$ alg. d'Azumaya de rang $2$ sur $k$), $G = \underline{\mathrm{Aut}}(\mathcal{A}) \simeq \mathcal{A}^* / \mathbb{G}_m$), est une algèbre libre ⌜finie libre⌝ de rang $2$ sur l'anneau de polynômes à neuf variables \[A = k[\underline{b}, \underline{b}', \underline{b}'', \underline{c}, \underline{c}', \underline{c}'', \underline{t}, \underline{t}', \underline{t}'']\] où \[\left\{ \begin{aligned} &\underline{b} = \mathrm{Tr}\, x, \quad \underline{b}' = \mathrm{Tr}\, y, \quad \underline{b}'' = \mathrm{Tr}\, z \\ &\underline{c} = \det x, \quad \underline{c}' = \det y, \quad \underline{c}'' = \det \uncertain{y} \\ &\underline{t} = \mathrm{Tr}\, yz, \quad \underline{t}' = \mathrm{Tr}\, zx, \quad \underline{t}'' = \mathrm{Tr}\, xy \end{aligned} \right.\] pour $\underline{c}''$ la page porte $\det y$ (on attend $\det z$) ; la lecture de cette lettre est douteuse. engendrée par la fonction \[\tau = \mathrm{Tr}\, xyz \quad (= \mathrm{Tr}\, yzx = \mathrm{Tr}\, zxy)\] soumise à la relation quadratique \[\boxed{\tau^2 - \Sigma\tau + \Pi = 0}\] où $\Sigma, \Pi$ $\Sigma, \Pi \in A$ sont donnés plus haut. Si $u \mapsto u'$ est l'involution canonique de \[B \simeq A[\underline{\tau}] / (\underline{\tau}^2 - \Sigma\underline{\tau} + \Pi) ,\]

190définie par \[\tau \longmapsto \tau' = \Sigma - \tau ,\] on aura \[\tau' = \mathrm{Tr}\, yxz = \mathrm{Tr}\, xzy = \mathrm{Tr}\, zyx .\] Les éléments du groupe $\mathfrak{S}_3$ échangent entre eux les neuf générateurs $\underline{b}, \underline{c}, \underline{t}$, et aussi $\tau$ et $\tau'$ (les permutations circulaires laissent $\tau, \tau'$ fixes, les transpositions échangent $\tau, \tau'$). En […] tout, $\mathfrak{S}_3$ opère sur $B$ comme algèbre, on peut décrire $B$ comme \[B = k[\underline{b}, \underline{b}', \underline{b}'', \underline{t}, \underline{t}', \underline{t}'', \underline{c}, \underline{c}', \underline{c}'', \underline{\tau}, \underline{\tau}'] / (\underbrace{\underline{\tau} + \underline{\tau}' - \Sigma}, \underbrace{\tau\tau' - \Pi})\] (équations séparément invariantes sous $\mathfrak{S}_3$) avec l'opération évidente de $\mathfrak{S}_3$ sur l'anneau de polynômes à onze variables $\underline{b}, \underline{c}, \underline{t}, \underline{\tau}, \underline{\tau}'$.

NB Quand $2$ est inv. dans $k$, et donc en

191car seulement, on peut choisir comme générateur de $B$ sur $A$ \[\Delta = \tau - \tau'\] soumis à la relation \[\Delta^2 = \Sigma^2 - 4\Pi \in A .\] On aura \[\begin{aligned} \tau &= \tfrac12 (\Delta + \Sigma) \\ \tau' &= \tfrac12 (-\Delta + \Sigma) \end{aligned}\]

Mais en car. $2$, on aura \[\Delta = \tau + \tau' = \Sigma \in A \quad (\text{en car.\ } 2)\] donc $\Delta$ ne risque pas d'être générateur de $B$ sur $A$ en car. $2$, donc pas non plus si $2$ non inv. dans $k$ i.e. $k/2k \neq 0$.

Cas de quatre variables

titre donné par la ligne de la p. 191 : « Cas de quatre variables $x_1, y_1, z_1, t_1$ ».

Cas de quatre variables $x_1, y_1, z_1, t_1$. les indices sont lus tels qu'écrits ; la suite note les quatre variables $x_1, x_2, x_3, x_4$. Soit $B_4(\mathcal{A}) \subset \mathrm{Sym}(\check{\mathcal{A}}^4)$ l'anneau des fonctions polynômes $F(x,y,z,t)$

192invariantes par $G$. On y trouve les éléments \[\left. \begin{aligned} b_i &= \mathrm{Tr}\, x_i \\ c_i &= \det x_i \end{aligned} \right\} \quad 1 \leq i \leq 4\] \[t_{ij} = \text{\struck{$t$}}\, t_{\{i,j\}} = \mathrm{Tr}\, x_i x_j \qquad \{i,j\} \in \mathfrak{P}_2([1,4])\] (ce qui fait déjà $4 + 4 + 6 = 14$ fonctions sur un « espace quotient » de dimension $4 \times 4 - 3 = 13$ — il doit y avoir […] ⌜une⌝ relation entre ces quantités), et en plus les \[t_{ijk} = \mathrm{Tr}(x_i x_j x_k) \qquad i, j, k \in [1,4] \text{ deux à deux distincts}\] sous « deux à deux distincts », une première condition biffée : $1 \leq i < j < k \leq 4$. qui sont algébriques sur l'anneau engendré par les $b_i, c_i, t_{ij}$. Il y a $24$ fonctions $t_{ijk}$, […] correspondant aux copies de $\mathfrak{S}_3$ ([…] $4$ éléments) mais \[t_{ijk} = t_{jki} = t_{kij}\] donc il n'y a que $8$ fonctions distinctes, en paires se groupant $2$ par $2$ en \[(*) \quad \left\{ \begin{aligned} t_{ijk} + t_{jik} &= \Sigma_{\{i,j,k\}} \in \mathbb{Z}[b_i, c_i, t_i, b_j, c_j, t_j, b_k, c_k, t_k] \\ t_{ijk} . t_{jik} &= \Pi_{\{i,j,k\}} \in \quad \text{id.} \end{aligned} \right.\] le $\mathbb{Z}$ est écrit sur un $k$ ; les indices des $t$ dans les crochets ne sont pas précisés davantage.

193(fonctions symétriques ⌜déterminées⌝ par l'action des groupes $\mathfrak{S}_{\{i,j,k\}} \subset \mathfrak{S}_4$). Si fait — en fait, il suffit comme générateurs les quatre quantités (en plus des générateurs $b_\cdot, c_\cdot, t_{\cdot\cdot}$ du début) \[t_{2,3,4}, \quad t_{1,3,4}, \quad t_{1,2,4}, \quad t_{1,2,3} .\] Si $A$ est l'anneau engendré par les $b_\cdot, c_\cdot, t_{\cdot\cdot}$, je présume que $B$ est ⌜fini libre⌝ de rang $2^4$ sur $A$, avec $8$ ⌜distincts $t_{ijk}$⌝ générateurs sur $A$ soumis aux seules relations l'accolade sous « distincts $t_{ijk}$ » renvoie à « $8$ » ; la phrase semble hésiter entre $8$ et $4$ générateurs. (*) ci-dessus.

Mais il faudrait trouver la relation entre les $b_i, c_j, t_{h,\ell}$ — peut-être via les $t_{ijk}$. La clef pour la trouver ⌜sera⌝ le calcul de l'expression \[\mathrm{Tr}\, x_1 x_2 x_3 x_4\]

194les calculs de cette page sont écrits sur le verso d'une feuille dactylographiée ; plusieurs blocs sont barrés de longs traits obliques, sans qu'on puisse dire s'il s'agit d'annulations. \[\beta' = -\beta\] \[\begin{aligned} &bc' + b'c'' + b''c \\ &- (bc'' + b'c + b''c') \end{aligned}\] \[\alpha' = \qquad \overline{\alpha}' = \overline{\alpha} + \beta\sigma\] \[\mathbb{Z} \qquad \tau\tau' = \qquad (\alpha - \overline{\alpha})' = \alpha - \overline{\alpha}\] \[\begin{matrix} b, c, t \\ b', c', t' \\ b'', c'', t'' \end{matrix} \qquad \alpha' - \alpha = \beta\sigma\] les accents sur $\alpha$ sont tantôt un prime, tantôt une barre ; lecture incertaine.

Dans une région délimitée par une courbe : \[A \quad \mathfrak{S}_3 \text{ y opère fidèlement}\] \[b \mapsto b' \mapsto b'' \quad c \mapsto c' \mapsto c'' \quad t \mapsto t' \mapsto t''\] \[\text{\struck{$\ill{}$}}\ \underline{\mathbb{A}}^3 \times \underline{\mathbb{A}}^3 \times \underline{\mathbb{A}}^3\] Fonctions $G$-invariantes en $3$ variables $x, y, z$.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  B & & \\
  A \arrow[u, no head] \arrow[r, no head, "\mathfrak{S}_2"] \arrow[d, no head, "\mathfrak{S}_3"'] & B \arrow[d, no head, "\mathfrak{S}_3"] & \\
  A^{\mathfrak{S}_3} \arrow[r, no head, "\mathfrak{S}_2"'] \arrow[d, no head] & B_0 \arrow[d, no head] & \\
  \mathbb{Z}[\Sigma, \Pi] \arrow[r, no head] & B_{00} &
\end{tikzcd}

diagramme d'inclusions, sans flèches ; le $\mathbb{Z}$ du coin inférieur est écrit sur un $k$ biffé. À droite : \[\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2 \text{ opère sur } B \qquad \text{i.e.\ } A^{\mathfrak{S}_3}\] \[\mathfrak{S}_3 \longrightarrow \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2 \qquad (\mathrm{id}, \mathrm{sg})\]

196verso d'une feuille dactylographiée, comme p. 194. \[\mathrm{Tr}\, u^n = P_n(\mathrm{Tr}\, u, \det u)\] \[\mathrm{Tr}\, u^{n_1} v^{m_1} u^{n_2} v^{m_2} \cdots u^{n_r} v^{m_r} = P_{(n_1, m_1, n_2, m_2, \ldots, n_r, m_r)}(\ill{})\] \[\lambda^n + \mu^n = P_n(\lambda + \mu, \lambda\mu)\] \[\mathrm{Tr}\, x_1 x_2 x_3 x_4 = \mathrm{Tr}\, x_1 x_2 (x_3 x_4)\] \[\text{\struck{$t_{1234}^2 - \Sigma_{1,2,(3,4)}\, t_{1234} - \cdots$}}\] \[\tau^2 - \Sigma_{1,2,(3,4)}\, \tau + \Pi_{1,2,(3,4)} = 0\] \[\Sigma_{1,2,(3,4)}, \ \Pi_{1,2,(3,4)} \in \text{\struck{$\mathbb{Z}[b_1, c_1, b_2, c_2$}} \ \text{\add{exprimés en} \ill{}}\] fonctions en \[\underbrace{\mathrm{Tr}\, x_1}_{b_1}, \ \underbrace{\det x_1}_{c_1}, \ \underbrace{\mathrm{Tr}\, x_2}_{b_2}, \ \underbrace{\det x_2}_{c_2}, \ \underbrace{\mathrm{Tr}\, x_3 x_4}_{t_{3,4}}, \ \underbrace{\det(x_3 x_4)}_{c_3 c_4}\] \[\underbrace{\mathrm{Tr}\, x_1 x_2}_{t_{1,2}}, \quad \underbrace{\mathrm{Tr}\, x_2(x_3 x_4)}_{t_{2,3,4}}, \quad \underbrace{\mathrm{Tr}(x_3 x_4) x_1}_{t_{1,3,4}}\] donc dans \[\mathbb{Z}[b_1, c_1, b_2, c_2, c_3, c_4, t_{1,2}, \underbrace{t_{2,3,4}, t_{1,3,4}}_{9}]\] entier sur \[\mathbb{Z}[b_1, c_1, b_2, c_2, b_3, c_3, b_4, c_4, t_{1,2}, t_{1,3}, t_{1,4}, t_{2,3}, t_{2,4}, t_{3,4}]\] le dernier indice est écrit « $t_{24}$ » deux fois ; on attend $t_{3,4}$. $\tau$ de degré au plus huit sur $A$ (« divisant »).

198feuille de brouillon, couverte de calculs dispersés et de croquis ; on transcrit les formules dans l'ordre de lecture, de haut en bas. \[\tau = \mathrm{Tr}(x_1 x_2) x_3 x_4 \qquad x_2 x_1\] \[\tau^2 - \Sigma_{(1,2),3,4}\, \tau + \Pi\] \[\mathrm{Tr}\, x_1 x_2 x_3 x_4 + \mathrm{Tr}\, x_2 x_1 x_3 x_4\] \[x_1 x_2 x_3 x_4 \quad x_2 x_3 x_4 x_1 \quad x_3 x_4 x_1 x_2 \quad x_4 x_1 x_2 x_3\] \[x_4 x_3 x_2 x_1 \quad x_3 x_2 x_1 \ldots \qquad \tau\] à droite, un parallélépipède en perspective : sommets marqués par des cercles, certaines arêtes renforcées à l'encre brune, d'autres en pointillé, flèches de rotation autour de deux axes ; étiquettes « $t\ldots$ », « $c$ ». À côté : « $\Sigma_a, \Pi_a$ ». Au-dessus, un petit losange et une flèche circulaire. \[\underbrace{b_s, c_s, t_s} \ \big| \ \underbrace{t_a} \ \big| \ t_f\] NB $b_s = b_{s'}$, $c_s = c_{s'}$, $t_a = t_{a'}$, mais $t_s \neq t_{s'}$, $t_f \neq t_{f'}$ ; de degré $2$ sur $A^{\mathfrak{S}_4}$, de degré $8$ sur $A^{\mathfrak{S}_4}$, de degré $6$ sur $B^{\mathfrak{S}_4}$ — de degré $8$ (?) sur $A$ marge droite très serrée ; les exposants $\mathfrak{S}_4$ sont douteux, et l'ordre des lignes est douteux. \[\tau^2 \qquad \tau^8 + \alpha_1 \tau^7 + \cdots + \alpha_8 = 0 \qquad \alpha_i \in \mathbb{Z}[b_\cdot, c_\cdot, t_{\cdot\cdot}]\] \[g\tau, \ g'\tau, \ g''\tau \qquad \textstyle\sum g\tau \qquad \sum g\] \[\tau^8 + \beta_1 \tau^7 + \cdots + \beta_8 = 0\] \[\underbrace{(\alpha_1 - \beta_1)}_{\gamma_1} \tau^7 + \cdots + \underbrace{\alpha_8 - \beta_8} = 0\] un petit carré aux sommets numérotés $1, 2, 3, 4$ ; à côté : « $F(x, \underline{y, z}, t)$ ». \[H \subset \mathfrak{S}_4 \qquad B^H \overset{\text{degré } 6}{\text{---}} B^{\mathfrak{S}_4} = B^{\mathfrak{S}}\] \[\alpha + \beta\tau \quad \text{à } b \text{ stables par } \mathfrak{S}_3^+\] \[\alpha' + \beta'\tau' = \alpha' + \beta'(\sigma - \tau) = (\alpha' + \beta'\sigma) - \beta'\tau\] \[\beta' = -\beta \ / \ \alpha' + \beta\sigma = \alpha \qquad \alpha' = \alpha + \beta\sigma \ / \ (\alpha')' = \alpha = \alpha' \ldots\]

199verso d'une feuille dactylographiée (« L 22 »), écrite de travers ; on ne transcrit que l'encre de G.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  A \arrow[r] & B & \\
  A^{\mathfrak{S}_3^+} \arrow[u, "3"] \arrow[r, no head, "2"] & B_1 = B^{\mathfrak{S}_3^+} \arrow[u, "3"'] & \\
  A^{\mathfrak{S}_3} \arrow[u, "2"] \arrow[r, no head, "2"'] & B_0 \arrow[u, "2"'] & B^{\mathfrak{S}_3}
\end{tikzcd}

$B^{\mathfrak{S}_3}$ est placé entre $A^{\mathfrak{S}_3}$ et $B_1$, relié aux deux par des traits ; une forme en pointillé au crayon encadre le bas du diagramme. \[\begin{aligned} \alpha + \beta\tau + \alpha' + \beta'\tau' &= (\alpha + \alpha') + \bigl(\beta\tau + \beta'(\sigma - \tau)\bigr) \\ &= \underbrace{\alpha + \alpha'} + \underbrace{\beta'\sigma} + (\beta - \beta')\tau \end{aligned}\] \[\alpha + \alpha' + \beta\sigma - (\alpha + \alpha' + \beta'\sigma) = (\beta - \beta')\sigma \qquad \text{OK}\]

200verso d'une feuille dactylographiée, comme les pp. 194–199. \[\begin{aligned} \tau_f + \tau_{f'} &= \Sigma_a \\ \tau_{f'} + \tau_{f''} &= \Sigma_{a'} \end{aligned} \qquad \longrightarrow \qquad \tau_f - \tau_{f''} = \Sigma_a - \Sigma_{a'} = \Sigma_{\ill{}} - \Sigma_{\ill{}}\] \[\text{i.e.} \quad \Sigma_{\ill{}} + \Sigma_{\ill{}} = \Sigma_{a'} + \Sigma_{\ill{}}\] cube en perspective, avec arêtes renforcées ($a$, $a'$), sommets cerclés, flèches de rotation et étiquettes $f$, $f'$, $f''$. \[\Sigma_a + \Sigma_{\ill{}} = \Sigma_{a'} + \Sigma_{\ill{}}\] \[\tau_f + \tau_{f'} = \Sigma \qquad \tau_{\tilde f} + \tau_{\tilde f'} = \Sigma_{\ill{}} - \Sigma\] \[4 . 3 . 2 = 24 = 48/2 \qquad \tau_f \tau_{f'} = \Pi \qquad \tau_{\tilde f} \tau_{\tilde f'} = \Pi \ldots\] \[\text{donc } \{\tau_f, \tau_{f'}\} = \{\tau_{\tilde f}, \tau_{\tilde f'}\} .\] second cube, arêtes $b$, $f'$, $t''$ marquées. \[\tau_f - \tau_{\ill{}} = \Sigma \ldots = \Sigma_b - \Sigma_{b'}, \qquad \text{donc } \tau_f \neq \tau_{\tilde f} \ \text{(\uncertain{or})}, \quad \tau_f = \tau_{\tilde f'}\] \[\Sigma_{\ill{}} + \Sigma_b = \Sigma_{b'} + \Sigma_{\ill{}}\] \[\begin{aligned} \Sigma_{\ill{}} - \Sigma_{\ill{}} &= \Sigma_{\ill{}} - \Sigma_{\ill{}} \\ \Sigma_{\ill{}} + \Sigma_{\ill{}} &= \Sigma_{\ill{}} - \Sigma_{\ill{}} \end{aligned}\] $\Sigma_{\ill{}}$ ne dépend que de la diagonale de […], donc il n'y a que trois valeurs de $\Sigma_a$ ; donc il n'y a que trois valeurs de $\Pi_a$. troisième cube, arêtes étiquetées $\Sigma_1$, $\Sigma_2$, $\Sigma_3$.

$12$ relations de la forme \[\Sigma_a + \Sigma_{a'} = \Sigma_b + \Sigma_{b'}\] pour $\Sigma_a$ fixé via opérations du groupe symétrique $\mathfrak{S}_4$, elles se déduisent […] de l'une […] la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.