Fonds Grothendieck, cote n° 83, pages 181–200

(I bis)

titre cerclé de sa main en tête de la p. 182, qui ouvre une nouvelle suite.

Mars 1986 — Juillet 1986

\mathcal{A} alg. d'Az. de rang 4 sur k, on veut expliciter sa structure multiplicative en termes de la forme \det, de l'élément 1, et de la structure spéciale orthogonale e \in \hat{\Lambda}^4 \mathcal{A} associée à \det (e \otimes e = \mathrm{dis}(\det)). Comme on connaît \det et 1, la forme \mathrm{Tr}\, xy par la formule \det(x+y) = \det x + \det y + \mathrm{Tr}\, x\, \mathrm{Tr}\, y - \mathrm{Tr}\, xy , \varphi_{\det}(x,y) = \mathrm{Tr}\, x\, \mathrm{Tr}\, y - \underbrace{\mathrm{Tr}\, xy}_{\varphi(x,y)} , ~~pour~~ et que celle-ci est non dég., pour connaître xy, il suffit de connaître \mathrm{Tr}\, xyz \qquad \forall z \in \mathcal{A} . NB \mathrm{Tr} en termes de \det : \mathrm{Tr}(x) = \varphi_{\det}(x,1), i.e. le premier indice de \varphi est écrit « det » sur un mot biffé illisible.

Donc je cherche une formule pour \mathrm{Tr}\, xyz. Comme \mathrm{Tr}(xy)z et \mathrm{Tr}(yx)z ne sont pas égaux en général, i.e. la structure mult. de \mathcal{A} n'est pas commutative ~~(alors~~ on sent que \det, 1 et e ne suffiront à expliciter \mathrm{Tr}\, xyz car ils ne déterminent la structure multiplicative que mod passage à l'inverse, i.e. mod l'involution x \longmapsto x' = \mathrm{Tr}(x).1 - x .

On voit aussi que \mathrm{Tr}\, xyz ne dépend que du triple \{x,y,z\} et d'un ordre circulaire sur l'ens. des trois termes. On a, ~~pour~~ si \begin{aligned} \tau &= \mathrm{Tr}\, xyz \quad (= \mathrm{Tr}\, yzx = \mathrm{Tr}\, zxy) \\ \tau' &= \mathrm{Tr}(zyx) \quad (= \mathrm{Tr}(yxz) = \mathrm{Tr}(xzy)) \end{aligned}

la formule \tau + \tau' = \mathrm{Tr}\,(xy+yx)z or xy + yx = \underbrace{\mathrm{Tr}(y)}_{b'} x + \underbrace{\mathrm{Tr}(x)}_{b} y + \bigl(\underbrace{\mathrm{Tr}(xy)}_{t''} - \underbrace{\mathrm{Tr}\, x}_{b}\, \underbrace{\mathrm{Tr}\, y}_{b'}\bigr) 1 \mathrm{Tr}\, x = b, \mathrm{Tr}\, y = b', \mathrm{Tr}\, z = b'' ; \det x = c, \det y = c', \det z = c'' ; \mathrm{Tr}\, yz = t, \mathrm{Tr}\, zx = t', \mathrm{Tr}\, xy = t'' donc \text{\struck{$(xy)z+$}}\quad (xy+yx)z = b'xz + byz + (t''-bb')z d'où \boxed{\tau + \tau' = bt + b't' + b''t'' - bb'b''} \overset{\text{déf}}{=} \Sigma(b,b',b'',t,t',t'') les deux premiers termes de l'encadré sont surchargés ; la lecture bt + b't' est celle que donne le calcul de la ligne précédente.

On devine que \tau\tau' sera également un polynôme en b,b',b'',c,c',c'',t,t',t'', de sorte que \tau,\tau' s'explicitent (ici par permutation ~~près~~) comme racines d'un polynôme unitaire du second degré, dont les coeff. B (= \tau+\tau') et C (= \tau\tau') sont des polynômes en les variables b^{(i)}, c^{(i)}, t^{(i)}.

Mais plutôt que de chercher une expression pour \tau\tau', je vais essayer de les [\tau et \tau'] déterminer directement en termes de \det, 1 et de e. Je suis guidé par le fait que xy et yx sont symétriques mod 1, x, y — donc si z est orth. à 1, x, y (pour \varphi) ~~\det~~ on aura \mathrm{Tr}(xyz) = - \mathrm{Tr}(yxz) . un long trait oblique traverse la moitié inférieure de la page sans annuler le texte, que la suite utilise. Pour se ramener à ce cas, on construit \alpha, \beta, \gamma \in k tels que z' = z - \alpha 1 - \beta x - \gamma y soit orth. à 1, x, y, i.e. dans la troisième ligne, avant b'\alpha, une première écriture biffée illisible. \begin{aligned} &b'' - 2\alpha - b\beta - b'\gamma = 0 \\ &t' - b\alpha + (2c - b^2)\beta - t''\gamma = 0 \\ &t - b'\alpha - t''\beta + (2c' - b'^2)\gamma = 0 \end{aligned} i.e. \left\{ \begin{aligned} 2\alpha + b\beta + b'\gamma &= b'' \\ b\alpha + (b^2 - 2c)\beta + t''\gamma &= t' \\ b'\alpha + t''\beta + (b'^2 - 2c')\gamma &= t \end{aligned} \right. matrice \begin{pmatrix} 2 & b & b' \\ b & b^2 - 2c & t'' \\ b' & t'' & b'^2 - 2c' \end{pmatrix}

avec (1 \wedge \text{\struck{$x$}}\, x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1} = 2\varepsilon_0 \qquad \text{où} \quad \varepsilon_0 = (\alpha \wedge \alpha' \wedge x_0 \wedge y_0) \otimes e^{-1} \in \pm 1 , le signe dépend de la convention d'orientation (qu'il faudra préciser le moment venu !).

D'autre part \tau - \tau' = \mathrm{Tr}\, \underbrace{[x,y]}_{z} . z = \mathrm{Tr}\, z^2 = \mathrm{Tr}\, 1 = 2 sous \tau - \tau' une première écriture biffée : ~~\mathrm{Tr}\, xy \ldots = 1~~. d'où \Delta = 2\varepsilon\varepsilon_0 \quad \text{i.e.} \quad \varepsilon = \tfrac12\, \varepsilon_0 d'où \boxed{\tau - \tau' = \tfrac12\, \varepsilon_0\, \underbrace{(1 \wedge x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1}}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \Delta}} \qquad \text{i.e.} \quad 2(\tau - \tau') = \varepsilon_0 \Delta devant \varepsilon_0, dans les deux formules, le coefficient \tfrac12 est surchargé sur un autre chiffre (\tfrac14 ?) ; la ligne « d'où » porte \Delta écrit sur un 2. La p. 188 écrira \tau - \tau' = \varepsilon_0 \Delta.

(a un sens si 2 inv. dans l'anneau de base k où on travaille).

On en tire 4\tau\tau' = (\tau+\tau')^2 - (\tau-\tau')^2 = \Sigma^2 - \tfrac14 \Delta^2 ici encore le \tfrac14 est surchargé. ? À vérifier (dans \mathbb{Q}[[x_{ij}, y_{ij}, z_{ij}]], 1 \leq i,j \leq 2)dans les crochets, avant x_{ij}, une première écriture biffée : ~~b, b', b''~~. \Sigma^2 - \tfrac14 \Delta^2 \in 4\, \mathbb{Z}[b,b',b'',t,t',t''] ~~i.e.~~ \text{\struck{$4\Sigma^2 - \Delta^2 \in 16\, \mathbb{Z}[b,b',b'',t,t',t'']$}} d'où l'expression \tau\tau' = \Pi(b,b',b'',t,t',t'') \in \mathbb{Z}[b,b',b'',t,t',t''] expression polynomiale de poids total 6 (les b étant de la phrase reprend en tête de la p. 186 ; la p. 185 est un calcul intercalé.

On va plutôt essayer des calculs \tau' - \tau = \mathrm{Tr}\, xyz - \mathrm{Tr}\, yxz = \mathrm{Tr}([x,y]z) = \mathrm{Tr}([y,z]x) = \mathrm{Tr}([z,x].y) (c'est une expression alternée en x, y, z, multilinéaire), donc \tau' - \tau = \text{\struck{$\ill{}$}}\, (a \wedge x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1} pour a \in \mathcal{A} bien déterminé. Comme cette expression est invariante par G = \underline{\mathrm{Aut}}\, \mathcal{A}, ~~on voit que~~ et que (si g \in G(-)) g(a) \wedge g(x) \wedge g(y) \wedge g(z) = a \wedge x \wedge y \wedge z \quad (= a \wedge g(x) \wedge g(y) \wedge g(z)) , on en conclut que a = g(a) i.e. a inv. sous G i.e. a = \varepsilon . 1. On donc aussi \tau' - \tau = \varepsilon\, (1 \wedge x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1} et pour calculer \varepsilon, il suffit de prendre x, y, z tels que 1 \wedge x \wedge y \wedge z inv., i.e. 1, x, y, z une base de \mathcal{A}. On prendra x_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad y_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad z_0 = [x_0, y_0] = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 2\alpha \quad \text{où } \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} (NB x_0 y_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, y_0 x_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}) à la suite, une égalité biffée : x_0 y_0 z_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. On trouve 1 \wedge x_0 \wedge y_0 \wedge z_0 = -2\, 1 \wedge x_0 \wedge y_0 \wedge \alpha = -2\, \alpha' \wedge x_0 \wedge y_0 \wedge \alpha = 2\, \alpha \wedge \alpha' \wedge x_0 \wedge y_0 après le dernier 2, une première écriture biffée : ~~x \wedge y \wedge \alpha \wedge \alpha'~~. où \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \alpha' = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et ~~x, y,~~ \alpha, \alpha', x_0, y_0 forment base can. de M_2(\mathbb{Z}). On la suite (« on a donc aussi bien ») est en tête de la p. 184 : la feuille 185 s'insère logiquement avant la p. 184.

poids 1 et les t de poids 2), et de poids 2 en chacune des ~~paires de~~ variables x, y, z (i.e. de poids 1 dans b, t', t'', poids 0 dans b', b'', t) ~~(b,t)\ (b',t')\ (b'',t'').~~ De plus, il doit être symétrique par permutation des trois paires de variables (b,t), (b',t'), (b'',t''). Et il en va de même pour \Delta^2.

On doit donc avoir \begin{aligned} \Delta^2 = \alpha\, tt't'' &+ \beta\,(b^2t^2 + b'^2t'^2 + b''^2t''^2) + \gamma\,(b'b''t't'' + b''bt''t + bb'tt') \\ &+ \delta\,(b'b''b^2 t + b''bb'^2 t' + bb'b''^2 t'') + \eta\, b^2 b'^2 b''^2 \end{aligned} au-dessous, une première version de cette formule, biffée de deux traits et en partie illisible. avec \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Z} à déterminer, par (quatre ?) choix particuliers des triples (x,y,z). P. ex. le triple particulier x_0, y_0, z_0 = [x_0, y_0] donne b, b', b'' = 0, \quad \text{et} \quad \Delta = 2\varepsilon_0, \quad \Delta^2 = 4 , d'où 4 = \alpha\, tt't'' où t'' = \mathrm{Tr}\, x_0 y_0 = 1, \quad t = \mathrm{Tr}\, y_0 z_0 = 0, \quad t' = \mathrm{Tr}\, z_0 x_0 = 0 et on trouve 4 = \alpha . 0, ce qui est fâcheux !

Et pour cause — il faudra, dans l'expression de \Delta^2, faire intervenir aussi c, c', c''. En fait, on trouve immédiatement, une fois qu'on y pense :

\Delta(x,y,z)^2 = \det \begin{pmatrix} \varphi(1,1) & \varphi(1,x) & \varphi(1,y) & \varphi(1,z) \\ \varphi(x,1) & \varphi(x,x) & \varphi(x,y) & \varphi(x,z) \\ \varphi(y,1) & \varphi(y,x) & \varphi(y,y) & \varphi(y,z) \\ \varphi(z,1) & \varphi(z,x) & \varphi(z,y) & \varphi(z,z) \end{pmatrix} où \varphi(u,v) est la forme bil. symm. associée à la forme quadratique q (= \det) \varphi(u,v) = \mathrm{Tr}\, u\, \mathrm{Tr}\, v - \mathrm{Tr}(uv) =

NB Les \begin{aligned} \varphi(u,1) &= \mathrm{Tr}(u) \quad \text{\struck{$\ill{}$}} \\ \varphi(u,u) &= 2 \det u \end{aligned}

Donc on trouve \boxed{\Delta(x,y,z)^2 = \det \begin{pmatrix} 2 & b & b' & b'' \\ b & 2c & bb' - t'' & bb'' - t' \\ b' & bb' - t'' & 2c' & b'b'' - t \\ b'' & bb'' - t' & b'b'' - t & 2c'' \end{pmatrix}} ce qui permet d'expliciter 4\tau\tau' = \Sigma^2 - \Delta^2 \longleftarrow où \Delta est donné ci-dessus, et \boxed{\Sigma = bt + b't' + b''t'' - bb'b''}

Le calcul « bête », en développant le déterminant en tenant compte des symétries (par regroupement des termes qui se correspondent par ~~symétrie~~ op. de \mathfrak{S}_3) et \Sigma^2, \Sigma^2 - \Delta^2 = 4\Pi(b,b',b'',t,t',t'',c,c',c'') avec \boxed{ \begin{aligned} \Pi = tt't'' &+ (ct^2 + c't'^2 + c''t''^2) + (b^2c'c'' + b'^2c''c + b''^2cc') \\ &- (b'b''ct + b''bc't' + bb'c''t'') \end{aligned}} = tt't'' + ct(t - b'b'') + c't'(t' - b''b) + c''t''(t'' - bb') + (b^2c'c'' + b'^2c''c + b''^2cc')

On aura, \left\{ \begin{aligned} \tau + \tau' &= \Sigma \quad (= bt + b't' + b''t'' - bb'b'') \\ \tau\tau' &= \Pi \quad \bigl(= tt't'' + (ct^2 + c't'^2 + c''t''^2) \\ &\qquad\quad + (b^2c'c'' + b'^2c''c + b''^2cc') \\ &\qquad\quad - (b'b''ct + b''bc't' + bb'c''t'')\bigr) \end{aligned} \right. \tau - \tau' = \varepsilon_0\, \Delta

À vérifier : L'anneau B ~~des~~ des fonctions F(x,y,z) en trois variables dans \mathcal{A}, G-invariantes sur (\mathcal{A} alg. d'Azumaya de rang 2 sur k), G = \underline{\mathrm{Aut}}(\mathcal{A}) \simeq \mathcal{A}^* / \mathbb{G}_m), est une algèbre ~~libre~~ finie libre de rang 2 sur l'anneau de polynômes à neuf variables A = k[\underline{b}, \underline{b}', \underline{b}'', \underline{c}, \underline{c}', \underline{c}'', \underline{t}, \underline{t}', \underline{t}''] où \left\{ \begin{aligned} &\underline{b} = \mathrm{Tr}\, x, \quad \underline{b}' = \mathrm{Tr}\, y, \quad \underline{b}'' = \mathrm{Tr}\, z \\ &\underline{c} = \det x, \quad \underline{c}' = \det y, \quad \underline{c}'' = \det \uncertain{y} \\ &\underline{t} = \mathrm{Tr}\, yz, \quad \underline{t}' = \mathrm{Tr}\, zx, \quad \underline{t}'' = \mathrm{Tr}\, xy \end{aligned} \right. pour \underline{c}'' la page porte \det y (on attend \det z) ; la lecture de cette lettre est douteuse. engendrée par la fonction \tau = \mathrm{Tr}\, xyz \quad (= \mathrm{Tr}\, yzx = \mathrm{Tr}\, zxy) soumise à la relation quadratique \boxed{\tau^2 - \Sigma\tau + \Pi = 0} où ~~\Sigma, \Pi~~ \Sigma, \Pi \in A sont donnés plus haut. Si u \mapsto u' est l'involution canonique de B \simeq A[\underline{\tau}] / (\underline{\tau}^2 - \Sigma\underline{\tau} + \Pi) ,

définie par \tau \longmapsto \tau' = \Sigma - \tau , on aura \tau' = \mathrm{Tr}\, yxz = \mathrm{Tr}\, xzy = \mathrm{Tr}\, zyx . Les éléments du groupe \mathfrak{S}_3 échangent entre eux les neuf générateurs \underline{b}, \underline{c}, \underline{t}, et aussi \tau et \tau' (les permutations circulaires laissent \tau, \tau' fixes, les transpositions échangent \tau, \tau'). En tout, \mathfrak{S}_3 opère sur B comme algèbre, on peut décrire B comme B = k[\underline{b}, \underline{b}', \underline{b}'', \underline{t}, \underline{t}', \underline{t}'', \underline{c}, \underline{c}', \underline{c}'', \underline{\tau}, \underline{\tau}'] / (\underbrace{\underline{\tau} + \underline{\tau}' - \Sigma}, \underbrace{\tau\tau' - \Pi}) (équations séparément invariantes sous \mathfrak{S}_3) avec l'opération évidente de \mathfrak{S}_3 sur l'anneau de polynômes à onze variables \underline{b}, \underline{c}, \underline{t}, \underline{\tau}, \underline{\tau}'.

NB Quand 2 est inv. dans k, et donc en

car seulement, on peut choisir comme générateur de B sur A \Delta = \tau - \tau' soumis à la relation \Delta^2 = \Sigma^2 - 4\Pi \in A . On aura \begin{aligned} \tau &= \tfrac12 (\Delta + \Sigma) \\ \tau' &= \tfrac12 (-\Delta + \Sigma) \end{aligned}

Mais en car. 2, on aura \Delta = \tau + \tau' = \Sigma \in A \quad (\text{en car.\ } 2) donc \Delta ne risque pas d'être générateur de B sur A en car. 2, donc pas non plus si 2 non inv. dans k i.e. k/2k \neq 0.

Cas de quatre variables

titre donné par la ligne de la p. 191 : « Cas de quatre variables x_1, y_1, z_1, t_1 ».

Cas de quatre variables x_1, y_1, z_1, t_1. les indices sont lus tels qu'écrits ; la suite note les quatre variables x_1, x_2, x_3, x_4. Soit B_4(\mathcal{A}) \subset \mathrm{Sym}(\check{\mathcal{A}}^4) l'anneau des fonctions polynômes F(x,y,z,t)

invariantes par G. On y trouve les éléments \left. \begin{aligned} b_i &= \mathrm{Tr}\, x_i \\ c_i &= \det x_i \end{aligned} \right\} \quad 1 \leq i \leq 4 t_{ij} = \text{\struck{$t$}}\, t_{\{i,j\}} = \mathrm{Tr}\, x_i x_j \qquad \{i,j\} \in \mathfrak{P}_2([1,4]) (ce qui fait déjà 4 + 4 + 6 = 14 fonctions sur un « espace quotient » de dimension 4 \times 4 - 3 = 13 — il doit y avoir une relation entre ces quantités), et en plus les t_{ijk} = \mathrm{Tr}(x_i x_j x_k) \qquad i, j, k \in [1,4] \text{ deux à deux distincts} sous « deux à deux distincts », une première condition biffée : ~~1 \leq i < j < k \leq 4~~. qui sont algébriques sur l'anneau engendré par les b_i, c_i, t_{ij}. Il y a 24 fonctions t_{ijk}, correspondant aux copies de \mathfrak{S}_3 ( 4 éléments) mais t_{ijk} = t_{jki} = t_{kij} donc il n'y a que 8 fonctions distinctes, en paires se groupant 2 par 2 en (*) \quad \left\{ \begin{aligned} t_{ijk} + t_{jik} &= \Sigma_{\{i,j,k\}} \in \mathbb{Z}[b_i, c_i, t_i, b_j, c_j, t_j, b_k, c_k, t_k] \\ t_{ijk} . t_{jik} &= \Pi_{\{i,j,k\}} \in \quad \text{id.} \end{aligned} \right. le \mathbb{Z} est écrit sur un k ; les indices des t dans les crochets ne sont pas précisés davantage.

(fonctions ~~symétriques~~ déterminées par l'action des groupes \mathfrak{S}_{\{i,j,k\}} \subset \mathfrak{S}_4). Si fait — en fait, il suffit comme générateurs les quatre quantités (en plus des générateurs b_\cdot, c_\cdot, t_{\cdot\cdot} du début) t_{2,3,4}, \quad t_{1,3,4}, \quad t_{1,2,4}, \quad t_{1,2,3} . Si A est l'anneau engendré par les b_\cdot, c_\cdot, t_{\cdot\cdot}, je présume que B est fini libre de rang 2^4 sur A, avec 8 distincts t_{ijk} générateurs sur A soumis aux seules relations l'accolade sous « distincts t_{ijk} » renvoie à « 8 » ; la phrase semble hésiter entre 8 et 4 générateurs. (*) ci-dessus.

Mais il faudrait trouver la relation entre les b_i, c_j, t_{h,\ell} — peut-être via les t_{ijk}. La clef pour la trouver sera le calcul de l'expression \mathrm{Tr}\, x_1 x_2 x_3 x_4

les calculs de cette page sont écrits sur le verso d'une feuille dactylographiée ; plusieurs blocs sont barrés de longs traits obliques, sans qu'on puisse dire s'il s'agit d'annulations. \beta' = -\beta \begin{aligned} &bc' + b'c'' + b''c \\ &- (bc'' + b'c + b''c') \end{aligned} \alpha' = \qquad \overline{\alpha}' = \overline{\alpha} + \beta\sigma \mathbb{Z} \qquad \tau\tau' = \qquad (\alpha - \overline{\alpha})' = \alpha - \overline{\alpha} \begin{matrix} b, c, t \\ b', c', t' \\ b'', c'', t'' \end{matrix} \qquad \alpha' - \alpha = \beta\sigma les accents sur \alpha sont tantôt un prime, tantôt une barre ; lecture incertaine.

Dans une région délimitée par une courbe : A \quad \mathfrak{S}_3 \text{ y opère fidèlement} b \mapsto b' \mapsto b'' \quad c \mapsto c' \mapsto c'' \quad t \mapsto t' \mapsto t'' \text{\struck{$\ill{}$}}\ \underline{\mathbb{A}}^3 \times \underline{\mathbb{A}}^3 \times \underline{\mathbb{A}}^3 Fonctions G-invariantes en 3 variables x, y, z.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] B & & \\ A \arrow[u, no head] \arrow[r, no head, "\mathfrak{S}_2"] \arrow[d, no head, "\mathfrak{S}_3"'] & B \arrow[d, no head, "\mathfrak{S}_3"] & \\ A^{\mathfrak{S}_3} \arrow[r, no head, "\mathfrak{S}_2"'] \arrow[d, no head] & B_0 \arrow[d, no head] & \\ \mathbb{Z}[\Sigma, \Pi] \arrow[r, no head] & B_{00} & \end{tikzcd}

diagramme d'inclusions, sans flèches ; le \mathbb{Z} du coin inférieur est écrit sur un k biffé. À droite : \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2 \text{ opère sur } B \qquad \text{i.e.\ } A^{\mathfrak{S}_3} \mathfrak{S}_3 \longrightarrow \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2 \qquad (\mathrm{id}, \mathrm{sg})

verso d'une feuille dactylographiée, comme p. 194. \mathrm{Tr}\, u^n = P_n(\mathrm{Tr}\, u, \det u) \mathrm{Tr}\, u^{n_1} v^{m_1} u^{n_2} v^{m_2} \cdots u^{n_r} v^{m_r} = P_{(n_1, m_1, n_2, m_2, \ldots, n_r, m_r)}(\ill{}) \lambda^n + \mu^n = P_n(\lambda + \mu, \lambda\mu) \mathrm{Tr}\, x_1 x_2 x_3 x_4 = \mathrm{Tr}\, x_1 x_2 (x_3 x_4) \text{\struck{$t_{1234}^2 - \Sigma_{1,2,(3,4)}\, t_{1234} - \cdots$}} \tau^2 - \Sigma_{1,2,(3,4)}\, \tau + \Pi_{1,2,(3,4)} = 0 \Sigma_{1,2,(3,4)}, \ \Pi_{1,2,(3,4)} \in \text{\struck{$\mathbb{Z}[b_1, c_1, b_2, c_2$}} \ \text{\add{exprimés en} \ill{}} fonctions en \underbrace{\mathrm{Tr}\, x_1}_{b_1}, \ \underbrace{\det x_1}_{c_1}, \ \underbrace{\mathrm{Tr}\, x_2}_{b_2}, \ \underbrace{\det x_2}_{c_2}, \ \underbrace{\mathrm{Tr}\, x_3 x_4}_{t_{3,4}}, \ \underbrace{\det(x_3 x_4)}_{c_3 c_4} \underbrace{\mathrm{Tr}\, x_1 x_2}_{t_{1,2}}, \quad \underbrace{\mathrm{Tr}\, x_2(x_3 x_4)}_{t_{2,3,4}}, \quad \underbrace{\mathrm{Tr}(x_3 x_4) x_1}_{t_{1,3,4}} donc dans \mathbb{Z}[b_1, c_1, b_2, c_2, c_3, c_4, t_{1,2}, \underbrace{t_{2,3,4}, t_{1,3,4}}_{9}] entier sur \mathbb{Z}[b_1, c_1, b_2, c_2, b_3, c_3, b_4, c_4, t_{1,2}, t_{1,3}, t_{1,4}, t_{2,3}, t_{2,4}, t_{3,4}] le dernier indice est écrit « t_{24} » deux fois ; on attend t_{3,4}. \tau de degré au plus huit sur A (« divisant »).

feuille de brouillon, couverte de calculs dispersés et de croquis ; on transcrit les formules dans l'ordre de lecture, de haut en bas. \tau = \mathrm{Tr}(x_1 x_2) x_3 x_4 \qquad x_2 x_1 \tau^2 - \Sigma_{(1,2),3,4}\, \tau + \Pi \mathrm{Tr}\, x_1 x_2 x_3 x_4 + \mathrm{Tr}\, x_2 x_1 x_3 x_4 x_1 x_2 x_3 x_4 \quad x_2 x_3 x_4 x_1 \quad x_3 x_4 x_1 x_2 \quad x_4 x_1 x_2 x_3 x_4 x_3 x_2 x_1 \quad x_3 x_2 x_1 \ldots \qquad \tau à droite, un parallélépipède en perspective : sommets marqués par des cercles, certaines arêtes renforcées à l'encre brune, d'autres en pointillé, flèches de rotation autour de deux axes ; étiquettes « t\ldots », « c ». À côté : « \Sigma_a, \Pi_a ». Au-dessus, un petit losange et une flèche circulaire. \underbrace{b_s, c_s, t_s} \ \big| \ \underbrace{t_a} \ \big| \ t_f NB b_s = b_{s'}, c_s = c_{s'}, t_a = t_{a'}, mais t_s \neq t_{s'}, t_f \neq t_{f'} ; de degré 2 sur A^{\mathfrak{S}_4}, de degré 8 sur A^{\mathfrak{S}_4}, de degré 6 sur B^{\mathfrak{S}_4} — de degré 8 (?) sur A marge droite très serrée ; les exposants \mathfrak{S}_4 sont douteux, et l'ordre des lignes est douteux. \tau^2 \qquad \tau^8 + \alpha_1 \tau^7 + \cdots + \alpha_8 = 0 \qquad \alpha_i \in \mathbb{Z}[b_\cdot, c_\cdot, t_{\cdot\cdot}] g\tau, \ g'\tau, \ g''\tau \qquad \textstyle\sum g\tau \qquad \sum g \tau^8 + \beta_1 \tau^7 + \cdots + \beta_8 = 0 \underbrace{(\alpha_1 - \beta_1)}_{\gamma_1} \tau^7 + \cdots + \underbrace{\alpha_8 - \beta_8} = 0 un petit carré aux sommets numérotés 1, 2, 3, 4 ; à côté : « F(x, \underline{y, z}, t) ». H \subset \mathfrak{S}_4 \qquad B^H \overset{\text{degré } 6}{\text{---}} B^{\mathfrak{S}_4} = B^{\mathfrak{S}} \alpha + \beta\tau \quad \text{à } b \text{ stables par } \mathfrak{S}_3^+ \alpha' + \beta'\tau' = \alpha' + \beta'(\sigma - \tau) = (\alpha' + \beta'\sigma) - \beta'\tau \beta' = -\beta \ / \ \alpha' + \beta\sigma = \alpha \qquad \alpha' = \alpha + \beta\sigma \ / \ (\alpha')' = \alpha = \alpha' \ldots

verso d'une feuille dactylographiée (« L 22 »), écrite de travers ; on ne transcrit que l'encre de G.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \arrow[r] & B & \\ A^{\mathfrak{S}_3^+} \arrow[u, "3"] \arrow[r, no head, "2"] & B_1 = B^{\mathfrak{S}_3^+} \arrow[u, "3"'] & \\ A^{\mathfrak{S}_3} \arrow[u, "2"] \arrow[r, no head, "2"'] & B_0 \arrow[u, "2"'] & B^{\mathfrak{S}_3} \end{tikzcd}

B^{\mathfrak{S}_3} est placé entre A^{\mathfrak{S}_3} et B_1, relié aux deux par des traits ; une forme en pointillé au crayon encadre le bas du diagramme. \begin{aligned} \alpha + \beta\tau + \alpha' + \beta'\tau' &= (\alpha + \alpha') + \bigl(\beta\tau + \beta'(\sigma - \tau)\bigr) \\ &= \underbrace{\alpha + \alpha'} + \underbrace{\beta'\sigma} + (\beta - \beta')\tau \end{aligned} \alpha + \alpha' + \beta\sigma - (\alpha + \alpha' + \beta'\sigma) = (\beta - \beta')\sigma \qquad \text{OK}

verso d'une feuille dactylographiée, comme les pp. 194–199. \begin{aligned} \tau_f + \tau_{f'} &= \Sigma_a \\ \tau_{f'} + \tau_{f''} &= \Sigma_{a'} \end{aligned} \qquad \longrightarrow \qquad \tau_f - \tau_{f''} = \Sigma_a - \Sigma_{a'} = \Sigma_{\ill{}} - \Sigma_{\ill{}} \text{i.e.} \quad \Sigma_{\ill{}} + \Sigma_{\ill{}} = \Sigma_{a'} + \Sigma_{\ill{}} cube en perspective, avec arêtes renforcées (a, a'), sommets cerclés, flèches de rotation et étiquettes f, f', f''. \Sigma_a + \Sigma_{\ill{}} = \Sigma_{a'} + \Sigma_{\ill{}} \tau_f + \tau_{f'} = \Sigma \qquad \tau_{\tilde f} + \tau_{\tilde f'} = \Sigma_{\ill{}} - \Sigma 4 . 3 . 2 = 24 = 48/2 \qquad \tau_f \tau_{f'} = \Pi \qquad \tau_{\tilde f} \tau_{\tilde f'} = \Pi \ldots \text{donc } \{\tau_f, \tau_{f'}\} = \{\tau_{\tilde f}, \tau_{\tilde f'}\} . second cube, arêtes b, f', t'' marquées. \tau_f - \tau_{\ill{}} = \Sigma \ldots = \Sigma_b - \Sigma_{b'}, \qquad \text{donc } \tau_f \neq \tau_{\tilde f} \ \text{(\uncertain{or})}, \quad \tau_f = \tau_{\tilde f'} \Sigma_{\ill{}} + \Sigma_b = \Sigma_{b'} + \Sigma_{\ill{}} \begin{aligned} \Sigma_{\ill{}} - \Sigma_{\ill{}} &= \Sigma_{\ill{}} - \Sigma_{\ill{}} \\ \Sigma_{\ill{}} + \Sigma_{\ill{}} &= \Sigma_{\ill{}} - \Sigma_{\ill{}} \end{aligned} \Sigma_{\ill{}} ne dépend que de la diagonale de , donc il n'y a que trois valeurs de \Sigma_a ; donc il n'y a que trois valeurs de \Pi_a. troisième cube, arêtes étiquetées \Sigma_1, \Sigma_2, \Sigma_3.

12 relations de la forme \Sigma_a + \Sigma_{a'} = \Sigma_b + \Sigma_{b'} ~~pour \Sigma_a fixé~~ via opérations du groupe symétrique \mathfrak{S}_4, elles se déduisent de l'une la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.