Cote n° 83, pages 161–180

Cote n° 83 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

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161la page s'ouvre sur une phrase complète ; l'argument (revêtements quadratiques, torseurs, produit $\ast$) vient des pages qui précèdent le lot. La catégorie donnée d'un rev. quadratique $X$ de $S$, revient : la donnée d'un fibré inv. $L$ inversible et d'un div. quadr. dans $\check{\mathbb{V}}(L)$ (fini sur $X$), ou encore : $L$ et la fonction de degré $\leq 2$ sur $\check{\mathbb{V}}(L)$, dont la partie homogène est $u \mapsto u^{\otimes 2}$.

(Dualement, cela revient L'algèbre de $X$ dans le dual ⌜$H \simeq E\otimes L^{-1}$⌝ de $E$, l'unité étant le dual de l'augmentation $E \to k$. La transformation par $\otimes L^{-1}$ de $q$ sur une forme quadratique sur $H$, (on sait la former déterminant) égale à $1$ sur $\mathbf{1}$. Il y a sur $E$ une unique structure multiplication d'alg. quadratique, pour laquelle $1$ est unité et $q_H$ est le déterminant. On récupère $\mathrm{Tr}$ comme via la forme bil. associée à $q_H$ comme $x \mapsto \varphi_{q_H}(1,x)$, et dualement sur $L$, on récupère $t \in E$, comme par la formule \[\varphi_{q_E}(u, x) = u \otimes (x \wedge t) \in L^{\otimes 2}, \qquad u \in L,\; x \in E,\; x\wedge t \in \det E \simeq L .\] après $=$ il a d'abord écrit, puis biffé, un symbole devant $(x\wedge t)$, et devant $= L^{\otimes 2}$ un groupe de lettres biffé et illisible. Attention aux conv. de signe !

162Ceci définit ⌜(via $t$)⌝ une involution sur $E$ compatible avec l'augmentation, i.e. une involution sur $A$ i.e. sur $\check{\mathbb{V}}(A)$, laquelle laisse le diviseur $X$ invariant et y induit l'involution canonique.

Attention, si on se donne d'avance une involution sur $L$, et cherche les div. quadr. sur $\check{\mathbb{V}}(L)$ qui sont stables ⌜la respectent, celles-ci étant stables par l'involution,⌝ ce qui est par […], mais cette condition n'est pas suffisante – en car. 2, on peut prendre l'involution identique, alors qu'il y a des diviseurs quadratiques ([…]) pour lesquels l'involution n'est pas l'identité !) Mais car 2 inv., cette difficulté disparaît – cela se résume : un $H$ div. sur $\check{\mathbb{V}}(L)$ $E$, stable par $\lambda \mapsto -\lambda$, est bien l'image inverse par $L \xrightarrow{u \mapsto u^{\otimes 2}} L^{\otimes 2}$ d'un […] $\xi \in L^{2}$. (Il suffit $=$ que $2$ ne soit pas div. de zéro […] pour que cette dernière propriété soit vraie – mais pour l'étendre aux $A$-affines quelconques il faut supposer que l'involution sur $A$ a un point fixe…)

163donc l'application \[\xi \longmapsto q_\xi, \qquad A \ast A \longrightarrow \left\{\text{formes quadratiques sur } E \text{ qui sont compatibles à } t\right\}\] est compatible avec l'application \[A^{\otimes 2} \longrightarrow L^{\otimes 2}, \qquad \alpha \longmapsto -\alpha\] via les modules d'opérateurs ⌜modules de translations⌝. Donc il sera vérifié dès que notre convention, et pour prendre $q_\xi$ tel que \[\xi + q_\xi(x) = x \ast x .\] après $=$ il a d'abord écrit puis biffé un $x$ et une étoile, avant $x \ast x$.

Ainsi, on a un isom. de torseurs \[\underbrace{\mathrm{Quadcomp}(E, \varepsilon, t)}_{\text{sur } (L,\sigma)} \simeq L \mathbin{\ast_\sigma} L\] moyennant quoi on les identifie les deux. Ceci posé, pour toute $q \in L \ast_\sigma L$, le diviseur quadratique associé n'est autre que l'image inverse de la section $q$ de $\check{\mathbb{V}}(L \ast_\sigma L)$ par $\mathbb{V}(L) \to \mathbb{V}(L \ast_\sigma L)$. « $\mathrm{Quadcomp}$ » : lecture d'une abréviation (« Quad. comp. ») pour les formes quadratiques compatibles.

[…] En termes de coordonnées, i.e. choisissant une origine dans $A$, de sorte que $A$ s'identifie à $L$, et $t$ est une donné par $\tau \in L$, \[\sigma_L(x) = \tau - x\] la page s'arrête ici ; la suite du calcul en coordonnées ne se trouve pas en tête de la page suivante, qui reprend autrement.

164Cherchons les formes quadratiques (sur $E$) sur $E$ compatibles avec une involution ⌜i.e. avec un $t \in E$ donné⌝ déjà donnée, (Il est immédiat que ces formes forment un torseur sous l'un des formes ⌜(à val. dans $L^{\otimes 2}$)⌝ qui se factorisent par $E/L \simeq k$, i.e. sous $L^{\otimes 2}$ lui-même. Or on a déjà un tel torseur, savoir $A \ast A$, et une application quadratique canonique \[A \longrightarrow A \ast A\] il a d'abord écrit, puis biffé, un second facteur après $A \ast$ à gauche de la flèche. (compatible avec chgt de base « dans » défini sur les schémas correspondants) savoir \[x \longmapsto x \ast x .\] Ainsi, […] pour tout \[\xi \in A \ast A,\] si on dénote par $q_\xi$ l'unique forme ⌜fonction⌝ ⌜polyn. de degré $\leq 2$⌝ quadratique \[q_\xi : A \longrightarrow L^{\otimes 2}\] qui satisfait \[\xi + q_\xi(x) = x \ast x \qquad \forall x \text{ dans } A\] on aura, pour $\alpha \in L^{\otimes 2}$, remplaçant $\xi$ par $\xi + \alpha$ \[(\xi + \alpha) + q_{\xi+\alpha}(x) = x \ast x\] donc \[q_{\xi+\alpha}(x) = q_\xi(x) - \alpha \qquad \text{pour } x \in A, \text{ i.e. } \varepsilon(x) = 1\] sous $-\alpha$ il écrit $\overset{\shortparallel}{} -\alpha\,\varepsilon(x)^2$ : $-\alpha$ y est égalé à $-\alpha\,\varepsilon(x)^{2}$.

165On peut construire un torseur $Q = Q(L,\sigma)$ sous $L^{\otimes 2}$, et une fonction sous-quadratique \[A \longrightarrow Q\] dont la partie homogène soit \[u \longmapsto u^{\otimes 2} : L \longrightarrow L^{\otimes 2},\] et qui soit universelle pour ces propriétés, P[…] ceci, qui les fonctions […] ⌜de sorte que⌝ les sous-quadratiques à val. dans $L^{\otimes 2}$ comp. avec $\sigma$ soient simplement les compositions \[A \longrightarrow Q \longrightarrow L^{\otimes 2}\] sous la seconde flèche : « isom. des $L^{\otimes 2}$-tors. (correspondant au choix d'une origine) ». devant $=$, dans $Q = Q(L,\sigma)$, une lettre biffée en indice de $Q$.

Pour vérifier […] que l'ens. des fonctions sous-quadr. (à valeurs dans $L^{\otimes 2}$) qui nous concernent, forment un torseur sous le module des formes quadr. qui se factorisent par $E/E^{\circ} \simeq k$, lequel module est isomorphe à $\mathrm{Quad}(k, L^{\otimes 2}) \simeq L^{\otimes 2}$. En termes

166de fonctions, sous-quadratiques sur $A$, cela signifie simplement qu'elles forment un torseur sous $L^{\otimes 2}$, par addition de fonctions constantes. Si $\Lambda$ est ce torseur, on a \[\Lambda \times A \longrightarrow L^{\otimes 2}, \qquad (q, x) \longmapsto q(x)\] tel que \[(q + \alpha, x) \longmapsto q(x) + \alpha \qquad \alpha \in L^{\otimes 2}\] et on prend \[Q_\sigma = \mathrm{Hom}_{\text{torseurs inversés}}(\Lambda, L^{\otimes 2})\] d'où \[\Lambda \simeq \mathrm{Hom}_{\text{torseurs sous } L^{\otimes 2}}(Q, L^{\otimes 2})\] d'où canoniquement application can. \[A \longrightarrow Q_\sigma\] (c'est $x \mapsto x \otimes \sigma x \in \mathrm{Sym}^2(E) \simeq \mathrm{Quad}(\check{E}, k) \simeq \mathrm{Quad}(E, L^{\otimes 2})$, $\check{E} = E \otimes L^{-1}$) la note entourée est dans la marge gauche, reliée à la flèche $A \to Q_\sigma$ ; au-dessus de « torseurs sous $L^{\otimes 2}$ », il a d'abord écrit « torseurs sur $L^{\otimes 2}$ ».

Pour un choix Le choix d'une $q$ ⌜($\in \Lambda$)⌝ […] : celui d'une section de $L^{\otimes 2}$-torseurs i.e. d'une origine dans $Q_\sigma$ (car $Q_\sigma \simeq \Lambda$, mais cette bijection renverse l'op. de $L^{\otimes 2}$ en la symétrique $-$). Ceci dit, le diviseur quadratique ⌜$X_q$⌝ associé à une $q$, correspondant à une section $q$ de $Q_\sigma$,

167n'est autre que l'image inverse de cette section.

On On voit que $Q$ a bonne variance i.e. est celle des fonctions sous-quadratiques sur un torseur $A$ dans un autre $Q$, sous $L^{\otimes 2}$ cette fois, « compatibles » avec […] (un r. de $L$ dans $L^{\otimes 2}$ et) $t$ : ce sont les les ⌜fonctions⌝ quadratiques \[q : A \longrightarrow Q\] telles que \[q(x + \alpha) = q(x) \mathbin{\dot{-}} (t \wedge x) \otimes \alpha + \alpha \otimes \alpha , \qquad \alpha \in L,\ t \wedge x \in L .\] attention aux signes ! au-dessus du second $\otimes$, un signe repassé, peut-être un premier $\otimes$ biffé.

Donc telles fonctions ⌜sous⌝-quadratiques quadratiques affines ⌜[…]⌝ forment un contexte. Si on a une telle, cela fait $Q$ iso. à […] puis […] une sol. des pbs universels. Et on vient de construire une telle à l'aide de $L$. On peut Ainsi, à toute « droite affine » $A$ a ⌜à⌝ involution on a associé \[Q(A, \sigma) = Q(A)\] et $A \longrightarrow Q(A)$ rev. de degré 2. « $\mathbin{\dot{-}}$ » : il écrit un signe moins surmonté d'un point.

168Considérons une addition $(A_1, \sigma_1)$, $(A_2, \sigma_2)$ de droites affines ⌜sous $L_1$⌝, ⌜sous $L_2$⌝ à involution, d'où \[A = \text{\struck{$Q(A_1$}}\ A_1 \ast A_2 \qquad \text{tors.\ sous } L_1 \otimes L_2 .\] Je dis que \[\underbrace{Q(A)}_{\text{sous } L^{\otimes 2}} \simeq \underbrace{Q(A_1)}_{\text{sous } L_1^{\otimes 2}} \ast \underbrace{Q(A_2)}_{\text{sous } L_2^{\otimes 2}} \qquad \text{(iso.\ canonique)}\] ?? dans la première ligne, $A =$ est suivi d'un « $Q(A_1$ » biffé, puis $A_1 \ast A_2$ ; dans $Q(A_1) \ast Q(A_2)$, l'étoile est écrite par-dessus un autre signe.

Pour le voir nous […] : cette formule, se déduit d'une définition sur une involution naturelle $Q(A)$ […].

En tout cas, en termes on a une application comme […] celle : \[Q(A_1) \times Q(A_2) \longrightarrow Q(A), \qquad q_1, q_2 \longmapsto q_1 \otimes q_2 \,|\, A_1 \ast A_2 \subset E_1 \otimes E_2\] donnée en termes de co[…] qui s'explicite ainsi, si on choisit […] ⌜pt base⌝ $o_1 \in A_1$, $o_2 \in A_2$, de sorte que \[A_i \simeq A_i^{\circ}, \qquad \sigma_i \text{ devient } x \longmapsto b_i - x\] les formes quadratiques sur $A_i$ compatibles ⌜compatibles⌝ à $\sigma_i$ s'écrivent \[q_{c_i} \text{ ou } q_{b_i, c_i} : x_i \longmapsto x_i^2 - b_i x_i + c_i , \qquad c_i \in L^{\otimes 2} \text{ \uncertain{comme}}\] et on a alors \[q_{c_1} \otimes q_{c_2} = q_c : x \longmapsto x^2 - (b_1 b_2) x + (b_2^2 c_1 + b_1^2 c_2 - 4 c_1 c_2) , \qquad x \in L_1 \otimes L_2 .\] la formule pour $q_{c_1}\otimes q_{c_2}$ est écrite en bas de page sans être contrôlée ; dans $-b_i x_i$, le $b_i$ est écrit par-dessus une autre lettre ; dans $b_2^2 c_1$, le $b_2$ est repassé.

169i.e. \[q_{c_1} \otimes q_{c_2} = q_c \qquad c = b_2^2 c_1 + b_1^2 c_2 - 4 c_1 c_2\] Cela montre que pour $\alpha_1 \in L_1^{\otimes 2}$, on a \[(q_1 + \alpha) \otimes q_2 = q_1 \otimes q_2 + \ddot{\alpha}\, \delta_2(q_2), \qquad \alpha \in L_1^{\otimes 2},\ \delta_2(q_2) \in L_2^{\otimes 2}\] (il suffit de faire $c \mapsto c + \alpha$ dans la formule pour $c$) et de même \[q_1 \otimes (q_2 + \beta) = q_1 \otimes q_2 + \delta_1(q_1)\, \beta\] où \[\delta_1(q_{c_1}) = b_1^2 - 4 c_1, \qquad \delta_2(q_{c_2}) = b_2^2 - 4 c_2 .\] Ainsi, il faut également De plus \[\delta(q_1 \otimes q_2) = \delta(q_1)\, \delta(q_2), \qquad \delta(q_1) \in L_1^{\otimes 2},\ \delta(q_2) \in L_2^{\otimes 2},\] $\delta(q_1\otimes q_2)$ discriminant des formes sur modules sous-jacents de $A_1 \ast A_2 = A$, dans $(L_1 \otimes L_2)^{\otimes 2}$.

On trouve diagramme commutatif[]]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
A_1 \times A_2 \arrow[r, "\ast"] \arrow[d, "\pi_1 \times \pi_2"'] & A = A_1 \ast A_2 \arrow[d, "\pi_A"] \\
Q_1 \times Q_2 \arrow[r, "\otimes"] \arrow[d, "\delta_{A_1} \times \delta_{A_2}"'] & Q = Q_{A, \sigma_A} \arrow[d, "\delta_A"] \\
L_1^{\otimes 2} \times L_2^{\otimes 2} \arrow[r, "{\text{can}, \sim}"] & (L_1 L_2)^{\otimes 2}
\end{tikzcd}

où, en termes des coor choix des pts origines $o_1$ dans $A_1$, $o_2$ dans $A_2$, $o_1 \ast o_2$ dans $A = A_1 \ast A_2$, tout est explicité (identifiant $A_1$, $A_2$, $A_1 \ast A_2$ à $L_1$, $L_2$ et $L_1 \otimes L_2$ resp.) : il ouvre un crochet devant « On trouve » et le ferme après « commutatif » ; la flèche verticale de droite porte un $\pi_A$ repassé.

170\[\begin{align*} x_1 \ast x_2 &= (o_1 + x_1) \ast (o_2 + x_2) = o_1 \ast o_2 + \bigl(x_1 \otimes (\overbrace{\sigma_2(o_2) - o_2}^{b_2})\bigr) \\ &\qquad + (\sigma_1(o_1) - o_1) \otimes x_2 - 2\, x_1 \otimes x_2 \\ &= o + \underbrace{x_1 \otimes b_2 + b_1 \otimes x_2 - 2\, x_1 x_2}_{x_1 b_2 + b_1 x_2 - 2 x_1 x_2} \end{align*}\] $\pi_1 : A_1 \to Q$ transforme $x_1$ en la forme \[\pi_1(x_1) = q_{x_1(b - x_1)} = \bigl(z_1 \mapsto z_1^2 - b_1 z_1 + x_1(b_1 - x_1) = (z_1 - x_1)(z_1 - (b_1 - x_1))\bigr)\] et de même pour $\pi_2$, donc $\pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2)$ est la forme \[\begin{align*} z \longmapsto{}& z^2 - b_1 b_2 z + b_2^2 x_1(b_1 - x_1) + b_1^2 x_2 (b_2 - x_2) \\ &- 4 x_1 (b_1 - x_1) x_2 (b_2 - x_2) \end{align*}\] et \[\begin{align*} \pi(x_1 \ast x_2) &= \bigl(z \mapsto z^2 - \underbrace{b_1 b_2}_{b} z + \underbrace{(x_1 \ast x_2)(b_1 b_2 - x_1 \ast x_2)}\bigr) \\ &\qquad (x_1 b_2 + b_1 x_2 - 2 x_1 x_2)(b_1 b_2 - x_1 b_2 - b_1 x_2 + 2 x_1 x_2) \end{align*}\] la seconde ligne développe le terme sous l'accolade ; dans la dernière parenthèse, le signe devant $b_1 x_2$ est repassé.

La calcul de l'égalité est un peu pénible, mais sa peut se faire (j'ai dû le simplifier précédemment par un autre biais, en choisissant $q_1$, $q_2$ et faisant la vérification en choisissant $o_i = x_i$ tel que $q_i(o_i) = 0$ i.e. il suffit de la faire pour $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ ce qui est trivial.

On voudrait écrire $Q(A) = Q(A$ \[Q(A_1 \ast A_2) \simeq Q(A_1) \ast Q(A_2)\] mais le second membre […] […] distributive principalement un […] n'y prête pas, […] les $Q(A_i)$ ne sont pas ⌜à⌝ involution. Il faudrait reprendre en […] […] la formalisation ⌜dans⌝ un cadre plus général ! les dernières lignes de la page, serrées en bas du feuillet, sont d'une lecture très incertaine.

171Considérons une extension \[0 \longrightarrow E^{\circ} \longrightarrow E \xrightarrow{\ \varepsilon\ } F \longrightarrow 0, \qquad F \simeq E/E^{\circ}\] nous allons déterminer les involutions de $E$, induisant $-\mathrm{id}_{E^{\circ}}$ sur $E^{\circ}$, et $+\mathrm{id}_F$ sur $F$. Une involution $\sigma$ de $E$ y […] […] propriété (involutif ou pas) liste étant tel que \[u(x) = x + \sigma(x) = 0 \quad \text{si } x \in E^{\circ}\] (exprimant que $\sigma | E^{\circ} = -\mathrm{id}_{E^{\circ}}$) donc $u$ se factorise en \[\pi : F \longrightarrow E \qquad u = \pi \circ \varepsilon\] et $u(x)$ $\sigma$ s'exprime via $\pi$ comme \[\underbrace{\sigma(x)}_{u(x)} = \pi(\varepsilon(x)) - x .\] Si on exprime maintenant que $\sigma$ induit $\mathrm{id}_F$ dans $E/E^{\circ}$, on trouve la condition \[x \equiv \pi \varepsilon(x) - x \quad (E^{\circ}) \qquad \forall x \in E\] i.e. \[\pi \underbrace{\varepsilon(x)}_{y} \equiv 2x \qquad \forall x \in E\] ce qui signifie aussi que la $\varepsilon$ des deux membres sont égaux, soit (posant $\varepsilon(x) = y$) \[\boxed{\varepsilon \pi(y) = 2y}\] Ainsi, $\pi$ est « presque » une section, c'est une 2-section. Cela Plus généralement, si $\lambda \in k$ et si on a une flèche

172\[\pi : F \longrightarrow E \quad \text{telle que} \quad \varepsilon \pi = \lambda\, \mathrm{id}_F ,\] cela signifie que l'extension ${}^{\lambda}E$ de $F$ par $E$, déduite de $E$ par l'homom. $\lambda\, \mathrm{id}_F$ de $F$, i.e. par la $\sigma$ induite par $\lambda\, \mathrm{id}_E$ dans $E$, est munie d'un scindage.

On dit que $E$ est $\lambda$-scindée.

Si p. ex. $F = k$ (cas d'un torseur $A = \varepsilon^{-1}(1)$ sous $E^{\circ}$), la donnée de $\pi$ (⌜$: k \to E$⌝) revient à : la donnée d'un élément $t$ de $E$, et la condition envisagée c'est que \[\varepsilon(t) = \lambda .\] Cela signifie aussi que le torseur \[\varepsilon^{-1}(\lambda) = {}^{\lambda}A\] $\varepsilon^{-1}(A)$ déduit de $A$ par l'homomorphisme $\lambda\, \mathrm{id}_{A^{\circ} = E^{\circ}}$ sur le module des translations, est muni d'une section, « origine ». Dans l'explicitation \[x \longmapsto \lambda x \qquad A \longrightarrow {}^{\lambda}A\] compatible avec $A^{\circ} \xrightarrow{\lambda\,\mathrm{id}} A^{\circ}$. dans $\varepsilon^{-1}(\lambda)$, l'argument est écrit par-dessus un $A$ ; « $\lambda\,\mathrm{id}_E$ » est lu sous réserve.

173peut être interprétée, par l'identification \[{}^{\lambda}A \simeq A^{\circ}, \qquad x \longmapsto x - t\] comme une application de $A$ dans $A^{\circ}$, de façon précise en définissant \[u : A \longrightarrow A^{\circ} \qquad u(x) = \lambda x - t\] application affine compatible avec \[A^{\circ} \xrightarrow{\ \lambda\,\mathrm{id}_{A^{\circ}}\ } A^{\circ}\] et inversement une telle application […] ⌜s'interprète comme une⌝ applic. en $A^{\circ}$-tels arrivées ${}^{\lambda}A \simeq A^{\circ}$, donc ⌜i.e. choix d'une origine⌝ ⌜* dans ${}^{\lambda}A$⌝. Dans le cas où $\lambda = 2$, pour une involution de $F$ […] sur […] dans […] dessus, on a donc \[u(x) = 2x - t = -(\sigma(x) - x),\] c'est donc ce qui signifie précisément notre formule \[\sigma(x) - x .\] les ajouts interlinéaires de la seconde moitié de page, serrés au-dessus de la ligne, sont lus sous toute réserve.

Or dans notre construction des $\ast A_i$, ce sont ces applications $u_i(x)$ : […] car ce qui revient au même, au signe près, les $\sigma_i(x_i) - x_i$ qui jouaient le rôle crucial. Il […] s'agit pas Cette application $u(x)$ étant affine, se prolonge linéairement en \[E \xrightarrow{\ u\ } A^{\circ} \qquad u(x) = \lambda x - \underbrace{\varepsilon(x)\, t}_{= \pi \varepsilon(x)}\] dans la dernière formule, $\lambda x$ est écrit par-dessus un autre symbole.

174Revenons au cas d'une ext. générale \[0 \longrightarrow E^{\circ} \longrightarrow E \longrightarrow F \longrightarrow 0, \qquad F \simeq E/E^{\circ}\] et d'une $\lambda$-section \[\pi : F \longrightarrow E ,\] associons lui \[\begin{gather*} u = u^{\pi} : E \longrightarrow E^{\circ} \\ u^{\pi}(x) = \lambda x - \pi \varepsilon(x) \end{gather*}\] le premier $u$ est écrit par-dessus un $\pi$ biffé. Elle envoie bien $E$ dans $E^{\circ}$, car \[\varepsilon u(x) = \lambda \underbrace{\varepsilon(x)}_{y} - \varepsilon\pi(\varepsilon(x)) = \lambda y - \underbrace{\varepsilon\pi(y)}_{\lambda y} = 0\] d'autre part $u$ restreinte à $E^{\circ}$ est $\lambda\, \mathrm{id}_{E^{\circ}}$ \[u | E^{\circ} = \lambda\, \mathrm{id}_{E^{\circ}} \qquad \text{i.e. } u(x) = \lambda x \text{ si } x \in E^{\circ}\] C'est la version duale des $\lambda$-scindages. On récupère $\pi$ par $u$, par la formule \[\pi(\varepsilon(x)) = \lambda x - u(x)\] en notant que le second membre se factorise bien par $F$, car il est nul sur $E^{\circ}$. La donnée de $\pi$ et de $u$ est équivalente. Mais c'est $u$ qui sera utilisé pour la définition des $\ast$.

175On se fixe un $\lambda \in k$, et on travaille avec les extensions $\lambda$-scindées. […] […] Si […] de telles \[0 \longrightarrow E_i^{\circ} \xrightarrow{\ i_{E_i}\ } E_i \longrightarrow F_i \longrightarrow 0 \qquad u_i \circ i_{E_i} = \lambda\, \mathrm{id}_{E_i^{\circ}}\] sous la flèche $E_i^{\circ} \to E_i$, une flèche courbe étiquetée $u_i$ revient de $E_i$ vers $E_i^{\circ}$ ; à droite de la formule, « $\lambda$ indépendant de $i$ », doublement souligné. et un module $B$, sur $k$. […]

On appelle $\lambda$-accouplement : à valeurs dans $B$, une couple \[\textstyle\prod E_i \xrightarrow{\ f\ } B \qquad \prod E_i^{\circ} \xrightarrow{\ f^{\circ}\ } B\] d'applications multilinéaires, satisfaisant \[\begin{align*} f(x_1, \ldots, x_i + \alpha_i, \ldots, x_n) &= f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \\ &\quad + f^{\circ}(u_1(x_1), \ldots, \alpha_i, \ldots, u_n(x_n)) \end{align*}\] Prenant les $x_i$ dans $E_i^{\circ}$, on trouve \[f(\alpha_1, \ldots, \alpha_i, \ldots, \alpha_n) = \lambda^{n-1} f^{\circ}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i, \ldots, \alpha_n)\] (on a pris $x_j = \alpha_j$ pour $j = 1, \ldots, \hat{\imath}, \ldots, n$, et $x_i = 0$). On […] – une solution du pb universel, notée \[\mathop{\ast}_{i,\lambda} E_i \qquad (E_1 \mathbin{\ast_\lambda} E_2 \text{ etc.})\] l'indice $\lambda$ rappelant que c'est relatif à un choix de $\lambda$-trivialisations des extensions envisagées. L'expression $\mathop{\ast}_{i,\lambda} E_i$ se construit

176comme quotient […] de \[\textstyle\bigotimes_i E_i \oplus \bigotimes_i E_i^{\circ}\] et on a une suite exacte \[\textstyle\bigotimes_i E_i^{\circ} \longrightarrow \mathop{\ast}_{i,\lambda} E_i \longrightarrow \bigotimes_i F_i \longrightarrow 0\] qui correspond au fait que les systèmes $(f, f^{\circ})$ pour lesquels $f^{\circ} = 0$, s'identifient aux $f$ qui se factorisent par les $F_i$. L'application $\bigotimes E_i^{\circ} \xrightarrow{\ i_\ast\ } \mathop{\ast}_{i,\lambda} E_i$ n'est sans doute pas toujours injective, mais je dis qu'elle l'est si le choix des scindages des extensions $E_i^{\circ} \to E_i$ dépend d'un nouveau : générateur des $\mathrm{ing}_i$. la fin de la phrase (« dépend … $\mathrm{ing}_i$ ») est d'une lecture très incertaine.

En effet, écrivons \[E_i \simeq E_i^{\circ} \oplus F_i\] la donnée des $u_i$, déjà connue sur $E_i^{\circ}$ (égale à $\lambda\,\mathrm{id}$) équivaut à la donnée des \[t_i : F_i \longrightarrow E_i^{\circ}\] le $t_i$ est écrit par-dessus un $b_i$.

177l'homomorphisme voulu de […] $E_1 \mathbin{\ast_\lambda} E_2$ dans $E_1^{\circ} \ast E_2^{\circ}$.

Pour préciser : la linéarité étant une condition […] l'injectivité si les $F_i$ sont plats.

Il faut définir un $\lambda$-scindage canonique, sur $\mathop{\ast}_{i} E_i$, donc il faut définir \[\mathop{\ast}_{i} E_i \longrightarrow \textstyle\bigotimes E_i^{\circ}\] qui sur $\bigotimes E_i^{\circ}$ donne la valeur $\lambda\,\mathrm{id}$. Il faut donc trouver un $\lambda$-accouplement à valeurs dans $\bigotimes E_i^{\circ}$.

On a tout ce qu'il faut : \[f = \textstyle\bigotimes u_i : \bigotimes E_i \longrightarrow \bigotimes E_i^{\circ}\] \[f(x_1, \ldots, x_n) = u_1(x_1) \otimes \cdots \otimes u_n(x_n)\] \[\begin{align*} f(x_1 + \alpha_1, x_2, \ldots, x_n) &= (u_1(x_1) + \lambda\alpha_1) \otimes u_2(x_2) \otimes \cdots \otimes u_n(x_n) \\ &= f(x_1, \ldots, x_n) + \underbrace{\lambda\alpha_1}_{\text{\struck{\ill{}}}} \otimes u_2(x_2) \otimes \cdots \otimes u_n(x_n) \end{align*}\] donne comme application \[f^{\circ}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) = \lambda\, \alpha_1 \otimes \cdots \otimes \alpha_n\] du moment que les termes […] précédents […]. la fin de la page est d'une lecture très incertaine. mais il faudrait remplacer $\bigotimes E_i$ par un quotient – on prend bien un […] dans les données $F_i \xrightarrow{\beta_i} E_i$ pas seulement injectives mais scindées, données d'un $u_i : E_i \to E_i^{\circ}$, avec $u_i \beta_i \equiv \lambda\,\mathrm{id}_{F_i}$ […] la note marginale est écrite en oblique dans le coin inférieur gauche du feuillet ; la seconde ligne de la formule développée porte, sous $\lambda\alpha_1$, un groupe raturé illisible ; la congruence finale de la note marginale est lue sous réserve.

178Ceci dit, pour définir un ⌜[…]⌝ $f$ ([…] convenable) pour un $f^{\circ}$ déjà donné, on peut se donner arbitrairement $g$ ⌜(soit $g$)⌝ sur $\bigotimes F_i$ (comme application multilin.)

On aura alors Faisons le calcul pour deux facteurs.

On pose (notant $x_i \in F_i$, $\alpha_i \in E_i^{\circ}$) \[\begin{align*} f(\underbrace{x_1 + \alpha_1}_{X_1}, \underbrace{x_2 + \alpha_2}_{X_2}) &= g(x_1, x_2) + \text{\struck{\ill{}}}\, f^{\circ}(\alpha_1, b_2(x_2)) \\ &\quad + f^{\circ}(b_1(x_1), \alpha_2) + \lambda \underbrace{f^{\circ}(\alpha_1, \alpha_2)}_{\substack{\shortparallel \\ f^{\circ}(u_1(\alpha_1), \alpha_2) \\ = f^{\circ}(\alpha_1, u_2(\alpha_2))}} \end{align*}\] devant le premier $\lambda f^{\circ}(\alpha_1,\alpha_2)$ le $\lambda$ semble ajouté après coup ; sous $X_1$ le $X$ est repassé.

Il suffit de vérifier que $f$ satisfait aux deux conditions. Or en remplaçant $\alpha_1$ par $\alpha_1 + \alpha'_1$, on obtient \[\begin{align*} f(X_1 + \alpha'_1, X_2) &= f(X_1, X_2) + f^{\circ}(\alpha'_1, \underbrace{b_2(x_2)}) \\ &\quad + \lambda f^{\circ}(\alpha'_1, \alpha_2) \end{align*}\] et on veut \[= f(X_1, X_2) + f^{\circ}(\alpha'_1, \underbrace{u_2(X_2)}_{b_2(x_2) + \lambda\alpha_2}) \qquad \text{OK.}\]

Prenons pour $B$ le produit tensoriel $E_1^{\circ} \otimes E_2^{\circ}$, pour $f^{\circ}$ l'accouplement can., et $g = 0$, on trouve la page s'achève sur « on trouve » ; la suite est en tête de la page suivante.

179\[f(x_1, \ldots, x_n) = f^{\circ}(\alpha_1, u_2(x_2), \ldots, u_n(x_n)) .\] la formule est reprise telle qu'écrite, avec $\alpha_1$ en premier argument ; un mot (« avec ») précède $f^{\circ}$.

On a $\ast_{i}$, […] – une opération interne $\ast$ dans la catégorie des extensions $\lambda$-scindées (à quotients $F_i$ plats, au besoin), et une particularité dans le tensoriel gerbe des torseurs $\lambda$-scindés (cas où les $F_i$, sont $\simeq k$, $\bigotimes F_i \simeq k$ canon.!). Mais à cela […] – […] à la commutativité, la vérifier lors de démontrer (à vérifier lemme compatibilité !), a-t-on une unité ?

Il faudrait pour ce faire, […] pour une unité, prendre \[0 \longrightarrow E^{\circ} \longrightarrow E \longrightarrow F \longrightarrow 0,\] où $E^{\circ}$ et $F$ soient unités pour le $\otimes$ ordinaire, donc i[…] $\simeq k$. \[0 \longrightarrow k \longrightarrow E \longrightarrow k \longrightarrow 0\] […] Choisissons le scindage, alors le $\lambda$-scindage sera défini par un […] $t : k \xrightarrow{\ \beta\ } k$ i.e. $\beta \in k$. J'aimerais prendre $\beta = 1$. Prenons plus généralement $\beta$ quelconque, je dis que \[E_\beta \mathbin{\ast_\lambda} E_2 \simeq \beta E_2 ,\] où […] $\beta E_2$ trivialisation de celle de $\beta u_2$ déduite de $E_2$. NB Si les ext. $E_i$ sont munies de scindages et donc de structures de $\lambda$-triv. définies par des $t_i : F_i \to E_i^{\circ}$, alors la $\lambda$-trivialisation de $\ast E_i$, scindée elle aussi, est définie par $t : \bigotimes F_i \to \bigotimes E_i^{\circ}$ […] la note marginale est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche du feuillet ; sa fin, qui se perd dans le corps du texte, est illisible. Dans la ligne « donc $\simeq k$ », un mot biffé commençant par $i$ précède $\simeq k$.

180Ce faisant les $E \mapsto {}^{\beta}E$ […] sont des équivalences de cat. ssi $\beta$ est inversible dans $k$ – et si $\beta = 1$, on retrouve ${}^{1}E = E$.

En termes intrinsèques, […] pour que les $M$ $\lambda$-trivialisés, les conditions suivantes sont équivalentes

$M \mathbin{\ast_\lambda} ?$ est une équivalence sur la cat. des $\lambda$-trivialisées
$M^{\circ} \to M$ injectif, $\underset{L'}{M^{\circ}}$ et $\underset{L''}{M/M^{\circ}}$ inversibles, $M \xrightarrow{u} M^{\circ}$ est surjectif

(en termes d'[…] un scindage est quelconque que l'idéal donné des valeurs de $L' \otimes L^{-1} \xrightarrow{\beta} k$ et $\lambda k$ est $k$)
$M$ inv. pour $\mathbin{\ast_\lambda}$

la liste s'arrête sur l'item 3 ; le bas de la page est blanc, et la question de l'unité pour $\ast_\lambda$ reste ouverte à la fin du lot. Les lectures de la parenthèse sous l'item 2 sont très incertaines ; dans $L' \otimes L^{-1}$, l'exposant de $L'$ est lu sous réserve.