Fonds Grothendieck, cote n° 83, pages 161–180

la page s'ouvre sur une phrase complète ; l'argument (revêtements quadratiques, torseurs, produit \ast) vient des pages qui précèdent le lot. La ~~catégorie~~ donnée d'un rev. quadratique X de S, revient : la donnée d'un ~~fibré inv.~~ L inversible et d'un div. quadr. ~~dans~~ \check{\mathbb{V}}(L) (fini sur X), ou encore : L et la fonction de degré \leq 2 sur \check{\mathbb{V}}(L), dont la partie homogène est u \mapsto u^{\otimes 2}.

~~(Dualement, cela revient~~ L'algèbre de X ~~dans~~ le dual H \simeq E\otimes L^{-1} de E, l'unité étant le dual de l'augmentation E \to k. La transformation par \otimes L^{-1} de q sur une forme quadratique sur H, (on sait la former déterminant) égale à 1 sur \mathbf{1}. Il y a sur E une unique structure ~~multiplication~~ d'alg. quadratique, pour laquelle 1 est unité et q_H est le déterminant. On récupère \mathrm{Tr} ~~comme~~ via la forme bil. associée à q_H comme x \mapsto \varphi_{q_H}(1,x), et dualement sur L, on récupère t \in E, ~~comme~~ par la formule \varphi_{q_E}(u, x) = u \otimes (x \wedge t) \in L^{\otimes 2}, \qquad u \in L,\; x \in E,\; x\wedge t \in \det E \simeq L . après = il a d'abord écrit, puis biffé, un symbole devant (x\wedge t), et devant = L^{\otimes 2} un groupe de lettres biffé et illisible. Attention aux conv. de signe !

Ceci définit (via t) une involution sur E compatible avec l'augmentation, i.e. une involution sur A i.e. sur \check{\mathbb{V}}(A), laquelle laisse le diviseur X invariant et y induit l'involution canonique.

Attention, si on se donne d'avance une involution sur L, et cherche les div. quadr. sur \check{\mathbb{V}}(L) qui ~~sont stables~~ la respectent, celles-ci étant stables par l'involution, ~~ce qui est par~~ , mais cette condition n'est pas suffisante – en car. 2, on peut prendre l'involution identique, alors qu'il y a des diviseurs quadratiques () pour lesquels l'involution n'est pas l'identité !) Mais ~~car~~ 2 inv., cette difficulté disparaît – cela se résume : un H div. sur \check{\mathbb{V}}(L) E, stable par \lambda \mapsto -\lambda, est bien l'image inverse par L \xrightarrow{u \mapsto u^{\otimes 2}} L^{\otimes 2} d'un \xi \in L^{2}. (Il suffit = que 2 ne soit pas div. de zéro pour que cette dernière propriété soit vraie – mais pour l'étendre aux A-affines quelconques il faut supposer que l'involution sur A a un point fixe…)

donc l'application \xi \longmapsto q_\xi, \qquad A \ast A \longrightarrow \left\{\text{formes quadratiques sur } E \text{ qui sont compatibles à } t\right\} est compatible avec l'application A^{\otimes 2} \longrightarrow L^{\otimes 2}, \qquad \alpha \longmapsto -\alpha via les ~~modules~~ ~~d'opérateurs~~ modules de translations. Donc il sera vérifié dès que notre convention, et ~~pour~~ prendre q_\xi tel que \xi + q_\xi(x) = x \ast x . après = il a d'abord écrit puis biffé un x et une étoile, avant x \ast x.

Ainsi, on a un isom. de torseurs \underbrace{\mathrm{Quadcomp}(E, \varepsilon, t)}_{\text{sur } (L,\sigma)} \simeq L \mathbin{\ast_\sigma} L moyennant quoi on les identifie les deux. Ceci posé, pour toute q \in L \ast_\sigma L, le diviseur quadratique associé n'est autre que l'image inverse de la section q de \check{\mathbb{V}}(L \ast_\sigma L) par \mathbb{V}(L) \to \mathbb{V}(L \ast_\sigma L). « \mathrm{Quadcomp} » : lecture d'une abréviation (« Quad. comp. ») pour les formes quadratiques compatibles.

En termes de coordonnées, i.e. choisissant une origine dans A, de sorte que A s'identifie à L, et t est ~~une~~ donné par \tau \in L, \sigma_L(x) = \tau - x la page s'arrête ici ; la suite du calcul en coordonnées ne se trouve pas en tête de la page suivante, qui reprend autrement.

Cherchons les formes quadratiques (sur E) sur E compatibles avec une involution i.e. avec un t \in E donné déjà donnée, (Il est immédiat que ces formes forment un torseur sous l'un des formes (à val. dans L^{\otimes 2}) qui se factorisent par E/L \simeq k, i.e. sous L^{\otimes 2} lui-même. Or on a déjà un tel torseur, savoir A \ast A, et une application quadratique canonique A \longrightarrow A \ast A il a d'abord écrit, puis biffé, un second facteur après A \ast à gauche de la flèche. (compatible avec chgt de base « dans » défini sur les schémas correspondants) savoir x \longmapsto x \ast x . Ainsi, pour tout \xi \in A \ast A, si on dénote par q_\xi l'unique ~~forme~~ fonction polyn. de degré \leq 2 ~~quadratique~~ q_\xi : A \longrightarrow L^{\otimes 2} qui satisfait \xi + q_\xi(x) = x \ast x \qquad \forall x \text{ dans } A on aura, pour \alpha \in L^{\otimes 2}, remplaçant \xi par \xi + \alpha (\xi + \alpha) + q_{\xi+\alpha}(x) = x \ast x donc q_{\xi+\alpha}(x) = q_\xi(x) - \alpha \qquad \text{pour } x \in A, \text{ i.e. } \varepsilon(x) = 1 sous -\alpha il écrit \overset{\shortparallel}{} -\alpha\,\varepsilon(x)^2 : -\alpha y est égalé à -\alpha\,\varepsilon(x)^{2}.

On peut construire un torseur Q = Q(L,\sigma) sous L^{\otimes 2}, et une fonction sous-quadratique A \longrightarrow Q dont la partie homogène soit u \longmapsto u^{\otimes 2} : L \longrightarrow L^{\otimes 2}, et qui soit universelle pour ces propriétés, ~~P ceci, qui les fonctions~~ de sorte que les sous-quadratiques à val. dans L^{\otimes 2} comp. avec \sigma soient simplement les compositions A \longrightarrow Q \longrightarrow L^{\otimes 2} sous la seconde flèche : « isom. des L^{\otimes 2}-tors. (correspondant au choix d'une origine) ». devant =, dans Q = Q(L,\sigma), une lettre biffée en indice de Q.

Pour vérifier que l'ens. des fonctions sous-quadr. (à valeurs dans L^{\otimes 2}) qui nous concernent, forment un torseur sous le module des formes quadr. qui se factorisent par E/E^{\circ} \simeq k, lequel module est isomorphe à \mathrm{Quad}(k, L^{\otimes 2}) \simeq L^{\otimes 2}. En termes

de fonctions, sous-quadratiques sur A, cela signifie simplement qu'elles forment un torseur sous L^{\otimes 2}, par addition de fonctions constantes. Si \Lambda est ce torseur, on a \Lambda \times A \longrightarrow L^{\otimes 2}, \qquad (q, x) \longmapsto q(x) tel que (q + \alpha, x) \longmapsto q(x) + \alpha \qquad \alpha \in L^{\otimes 2} et on prend Q_\sigma = \mathrm{Hom}_{\text{torseurs inversés}}(\Lambda, L^{\otimes 2}) d'où \Lambda \simeq \mathrm{Hom}_{\text{torseurs sous } L^{\otimes 2}}(Q, L^{\otimes 2}) d'où ~~canoniquement~~ application can. A \longrightarrow Q_\sigma (c'est x \mapsto x \otimes \sigma x \in \mathrm{Sym}^2(E) \simeq \mathrm{Quad}(\check{E}, k) \simeq \mathrm{Quad}(E, L^{\otimes 2}), \check{E} = E \otimes L^{-1}) la note entourée est dans la marge gauche, reliée à la flèche A \to Q_\sigma ; au-dessus de « torseurs sous L^{\otimes 2} », il a d'abord écrit « torseurs sur L^{\otimes 2} ».

~~Pour un choix~~ Le choix d'une q (\in \Lambda) : celui d'une section de L^{\otimes 2}-torseurs i.e. d'une origine dans Q_\sigma (car Q_\sigma \simeq \Lambda, mais cette bijection renverse l'op. de L^{\otimes 2} en la symétrique -). Ceci dit, le diviseur quadratique X_q associé à une q, correspondant à une section q de Q_\sigma,

n'est autre que l'image inverse de cette section.

On On voit que Q a bonne variance i.e. est celle des fonctions sous-quadratiques sur un torseur A dans un autre Q, sous L^{\otimes 2} cette fois, « compatibles » avec (un r. de L dans L^{\otimes 2} et) t : ce sont ~~les~~ les fonctions ~~quadratiques~~ q : A \longrightarrow Q telles que q(x + \alpha) = q(x) \mathbin{\dot{-}} (t \wedge x) \otimes \alpha + \alpha \otimes \alpha , \qquad \alpha \in L,\ t \wedge x \in L . attention aux signes ! au-dessus du second \otimes, un signe repassé, peut-être un premier \otimes biffé.

Donc telles fonctions sous-quadratiques ~~quadratiques~~ affines forment un contexte. Si on a une telle, cela fait Q iso. à puis une sol. des pbs universels. Et on vient de construire une telle à l'aide de L. ~~On peut~~ Ainsi, à toute « droite affine » A a à involution on a associé Q(A, \sigma) = Q(A) et A \longrightarrow Q(A) rev. de degré 2. « \mathbin{\dot{-}} » : il écrit un signe moins surmonté d'un point.

Considérons une addition (A_1, \sigma_1), (A_2, \sigma_2) de droites affines sous L_1, sous L_2 à involution, d'où A = \text{\struck{$Q(A_1$}}\ A_1 \ast A_2 \qquad \text{tors.\ sous } L_1 \otimes L_2 . Je dis que \underbrace{Q(A)}_{\text{sous } L^{\otimes 2}} \simeq \underbrace{Q(A_1)}_{\text{sous } L_1^{\otimes 2}} \ast \underbrace{Q(A_2)}_{\text{sous } L_2^{\otimes 2}} \qquad \text{(iso.\ canonique)} ?? dans la première ligne, A = est suivi d'un « Q(A_1 » biffé, puis A_1 \ast A_2 ; dans Q(A_1) \ast Q(A_2), l'étoile est écrite par-dessus un autre signe.

Pour le voir nous : cette formule, se déduit d'une définition sur une involution naturelle Q(A) .

En tout cas, ~~en termes~~ on a une application comme celle : Q(A_1) \times Q(A_2) \longrightarrow Q(A), \qquad q_1, q_2 \longmapsto q_1 \otimes q_2 \,|\, A_1 \ast A_2 \subset E_1 \otimes E_2 ~~donnée en termes de co~~ qui s'explicite ainsi, si on choisit pt base o_1 \in A_1, o_2 \in A_2, de sorte que A_i \simeq A_i^{\circ}, \qquad \sigma_i \text{ devient } x \longmapsto b_i - x les formes quadratiques sur A_i ~~compatibles~~ compatibles à \sigma_i s'écrivent q_{c_i} \text{ ou } q_{b_i, c_i} : x_i \longmapsto x_i^2 - b_i x_i + c_i , \qquad c_i \in L^{\otimes 2} \text{ \uncertain{comme}} et on a alors q_{c_1} \otimes q_{c_2} = q_c : x \longmapsto x^2 - (b_1 b_2) x + (b_2^2 c_1 + b_1^2 c_2 - 4 c_1 c_2) , \qquad x \in L_1 \otimes L_2 . la formule pour q_{c_1}\otimes q_{c_2} est écrite en bas de page sans être contrôlée ; dans -b_i x_i, le b_i est écrit par-dessus une autre lettre ; dans b_2^2 c_1, le b_2 est repassé.

i.e. q_{c_1} \otimes q_{c_2} = q_c \qquad c = b_2^2 c_1 + b_1^2 c_2 - 4 c_1 c_2 Cela montre que pour \alpha_1 \in L_1^{\otimes 2}, on a (q_1 + \alpha) \otimes q_2 = q_1 \otimes q_2 + \ddot{\alpha}\, \delta_2(q_2), \qquad \alpha \in L_1^{\otimes 2},\ \delta_2(q_2) \in L_2^{\otimes 2} (il suffit de faire c \mapsto c + \alpha dans la formule pour c) et de même q_1 \otimes (q_2 + \beta) = q_1 \otimes q_2 + \delta_1(q_1)\, \beta où \delta_1(q_{c_1}) = b_1^2 - 4 c_1, \qquad \delta_2(q_{c_2}) = b_2^2 - 4 c_2 . ~~Ainsi, il faut également~~ De plus \delta(q_1 \otimes q_2) = \delta(q_1)\, \delta(q_2), \qquad \delta(q_1) \in L_1^{\otimes 2},\ \delta(q_2) \in L_2^{\otimes 2}, \delta(q_1\otimes q_2) discriminant des formes sur modules sous-jacents de A_1 \ast A_2 = A, dans (L_1 \otimes L_2)^{\otimes 2}.

On trouve diagramme commutatif]

\begin{tikzcd}[column sep=large] A_1 \times A_2 \arrow[r, "\ast"] \arrow[d, "\pi_1 \times \pi_2"'] & A = A_1 \ast A_2 \arrow[d, "\pi_A"] \\ Q_1 \times Q_2 \arrow[r, "\otimes"] \arrow[d, "\delta_{A_1} \times \delta_{A_2}"'] & Q = Q_{A, \sigma_A} \arrow[d, "\delta_A"] \\ L_1^{\otimes 2} \times L_2^{\otimes 2} \arrow[r, "{\text{can}, \sim}"] & (L_1 L_2)^{\otimes 2} \end{tikzcd}

où, en termes des ~~coor~~ choix des pts origines o_1 dans A_1, o_2 dans A_2, o_1 \ast o_2 dans A = A_1 \ast A_2, tout est explicité (identifiant A_1, A_2, A_1 \ast A_2 à L_1, L_2 et L_1 \otimes L_2 resp.) : il ouvre un crochet devant « On trouve » et le ferme après « commutatif » ; la flèche verticale de droite porte un \pi_A repassé.

\begin{align*} x_1 \ast x_2 &= (o_1 + x_1) \ast (o_2 + x_2) = o_1 \ast o_2 + \bigl(x_1 \otimes (\overbrace{\sigma_2(o_2) - o_2}^{b_2})\bigr) \\ &\qquad + (\sigma_1(o_1) - o_1) \otimes x_2 - 2\, x_1 \otimes x_2 \\ &= o + \underbrace{x_1 \otimes b_2 + b_1 \otimes x_2 - 2\, x_1 x_2}_{x_1 b_2 + b_1 x_2 - 2 x_1 x_2} \end{align*} \pi_1 : A_1 \to Q transforme x_1 en la forme \pi_1(x_1) = q_{x_1(b - x_1)} = \bigl(z_1 \mapsto z_1^2 - b_1 z_1 + x_1(b_1 - x_1) = (z_1 - x_1)(z_1 - (b_1 - x_1))\bigr) et de même pour \pi_2, donc \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2) est la forme \begin{align*} z \longmapsto{}& z^2 - b_1 b_2 z + b_2^2 x_1(b_1 - x_1) + b_1^2 x_2 (b_2 - x_2) \\ &- 4 x_1 (b_1 - x_1) x_2 (b_2 - x_2) \end{align*} et \begin{align*} \pi(x_1 \ast x_2) &= \bigl(z \mapsto z^2 - \underbrace{b_1 b_2}_{b} z + \underbrace{(x_1 \ast x_2)(b_1 b_2 - x_1 \ast x_2)}\bigr) \\ &\qquad (x_1 b_2 + b_1 x_2 - 2 x_1 x_2)(b_1 b_2 - x_1 b_2 - b_1 x_2 + 2 x_1 x_2) \end{align*} la seconde ligne développe le terme sous l'accolade ; dans la dernière parenthèse, le signe devant b_1 x_2 est repassé.

La calcul de l'égalité est un peu pénible, mais sa peut se faire (j'ai dû le simplifier précédemment par un autre biais, en choisissant q_1, q_2 et faisant la vérification en choisissant o_i = x_i ~~tel que q_i(o_i) = 0~~ i.e. il suffit de la faire pour x_1 = 0, x_2 = 0 ce qui est trivial.

On voudrait écrire ~~Q(A) = Q(A~~ Q(A_1 \ast A_2) \simeq Q(A_1) \ast Q(A_2) mais le second membre distributive principalement un n'y prête pas, les Q(A_i) ne sont pas à involution. Il faudrait reprendre en la formalisation dans un cadre plus général ! les dernières lignes de la page, serrées en bas du feuillet, sont d'une lecture très incertaine.

Considérons une extension 0 \longrightarrow E^{\circ} \longrightarrow E \xrightarrow{\ \varepsilon\ } F \longrightarrow 0, \qquad F \simeq E/E^{\circ} nous allons déterminer les involutions de E, induisant -\mathrm{id}_{E^{\circ}} sur E^{\circ}, et +\mathrm{id}_F sur F. Une involution \sigma de E y propriété (involutif ou pas) liste étant tel que u(x) = x + \sigma(x) = 0 \quad \text{si } x \in E^{\circ} (exprimant que \sigma | E^{\circ} = -\mathrm{id}_{E^{\circ}}) donc u se factorise en \pi : F \longrightarrow E \qquad u = \pi \circ \varepsilon et ~~u(x)~~ \sigma s'exprime via \pi comme \underbrace{\sigma(x)}_{u(x)} = \pi(\varepsilon(x)) - x . Si on exprime maintenant que \sigma induit \mathrm{id}_F dans E/E^{\circ}, on trouve la condition x \equiv \pi \varepsilon(x) - x \quad (E^{\circ}) \qquad \forall x \in E i.e. \pi \underbrace{\varepsilon(x)}_{y} \equiv 2x \qquad \forall x \in E ce qui signifie aussi que la \varepsilon des deux membres sont égaux, soit (posant \varepsilon(x) = y) \boxed{\varepsilon \pi(y) = 2y} Ainsi, \pi est « presque » une section, c'est une 2-section. ~~Cela~~ Plus généralement, si \lambda \in k et si on a une flèche

\pi : F \longrightarrow E \quad \text{telle que} \quad \varepsilon \pi = \lambda\, \mathrm{id}_F , cela signifie que l'extension {}^{\lambda}E de F par E, déduite de E par l'homom. \lambda\, \mathrm{id}_F de F, i.e. par la \sigma induite par \lambda\, \mathrm{id}_E dans E, est munie d'un scindage.

On dit que E est \lambda-scindée.

Si p. ex. F = k (cas d'un torseur A = \varepsilon^{-1}(1) sous E^{\circ}), la donnée de \pi (: k \to E) revient à : la donnée d'un élément t de E, et la condition envisagée c'est que \varepsilon(t) = \lambda . Cela signifie aussi que le torseur \varepsilon^{-1}(\lambda) = {}^{\lambda}A ~~\varepsilon^{-1}(A)~~ déduit de A par l'homomorphisme \lambda\, \mathrm{id}_{A^{\circ} = E^{\circ}} sur le module des translations, est muni d'une section, « origine ». Dans l'explicitation x \longmapsto \lambda x \qquad A \longrightarrow {}^{\lambda}A compatible avec A^{\circ} \xrightarrow{\lambda\,\mathrm{id}} A^{\circ}. dans \varepsilon^{-1}(\lambda), l'argument est écrit par-dessus un A ; « \lambda\,\mathrm{id}_E » est lu sous réserve.

peut être interprétée, par l'identification {}^{\lambda}A \simeq A^{\circ}, \qquad x \longmapsto x - t comme une application de A dans A^{\circ}, de façon précise en définissant u : A \longrightarrow A^{\circ} \qquad u(x) = \lambda x - t application affine compatible avec A^{\circ} \xrightarrow{\ \lambda\,\mathrm{id}_{A^{\circ}}\ } A^{\circ} et inversement une telle application s'interprète comme une ~~applic. en~~ A^{\circ}-tels arrivées {}^{\lambda}A \simeq A^{\circ}, donc i.e. choix d'une origine * dans {}^{\lambda}A. Dans le cas où \lambda = 2, pour une involution de F sur dans dessus, on a donc u(x) = 2x - t = -(\sigma(x) - x), c'est donc ce qui signifie précisément notre formule \sigma(x) - x . les ajouts interlinéaires de la seconde moitié de page, serrés au-dessus de la ligne, sont lus sous toute réserve.

Or dans notre construction des \ast A_i, ce sont ces applications u_i(x) : car ce qui revient au même, au signe près, les \sigma_i(x_i) - x_i qui jouaient le rôle crucial. ~~Il s'agit pas~~ Cette application u(x) étant affine, se prolonge linéairement en E \xrightarrow{\ u\ } A^{\circ} \qquad u(x) = \lambda x - \underbrace{\varepsilon(x)\, t}_{= \pi \varepsilon(x)} dans la dernière formule, \lambda x est écrit par-dessus un autre symbole.

Revenons au cas d'une ext. générale 0 \longrightarrow E^{\circ} \longrightarrow E \longrightarrow F \longrightarrow 0, \qquad F \simeq E/E^{\circ} et d'une \lambda-section \pi : F \longrightarrow E , associons lui \begin{gather*} u = u^{\pi} : E \longrightarrow E^{\circ} \\ u^{\pi}(x) = \lambda x - \pi \varepsilon(x) \end{gather*} le premier u est écrit par-dessus un \pi biffé. Elle envoie bien E dans E^{\circ}, car \varepsilon u(x) = \lambda \underbrace{\varepsilon(x)}_{y} - \varepsilon\pi(\varepsilon(x)) = \lambda y - \underbrace{\varepsilon\pi(y)}_{\lambda y} = 0 d'autre part u restreinte à E^{\circ} est \lambda\, \mathrm{id}_{E^{\circ}} u | E^{\circ} = \lambda\, \mathrm{id}_{E^{\circ}} \qquad \text{i.e. } u(x) = \lambda x \text{ si } x \in E^{\circ} C'est la version duale des \lambda-scindages. On récupère \pi par u, par la formule \pi(\varepsilon(x)) = \lambda x - u(x) en notant que le second membre se factorise bien par F, car il est nul sur E^{\circ}. La donnée de \pi et de u est équivalente. Mais c'est u qui sera utilisé pour la définition des \ast.

On se fixe un \lambda \in k, et on travaille avec les extensions \lambda-scindées. Si de telles 0 \longrightarrow E_i^{\circ} \xrightarrow{\ i_{E_i}\ } E_i \longrightarrow F_i \longrightarrow 0 \qquad u_i \circ i_{E_i} = \lambda\, \mathrm{id}_{E_i^{\circ}} sous la flèche E_i^{\circ} \to E_i, une flèche courbe étiquetée u_i revient de E_i vers E_i^{\circ} ; à droite de la formule, « \lambda indépendant de i », doublement souligné. et un module B, sur k.

On appelle \lambda-accouplement : à valeurs dans B, une couple \textstyle\prod E_i \xrightarrow{\ f\ } B \qquad \prod E_i^{\circ} \xrightarrow{\ f^{\circ}\ } B d'applications multilinéaires, satisfaisant \begin{align*} f(x_1, \ldots, x_i + \alpha_i, \ldots, x_n) &= f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \\ &\quad + f^{\circ}(u_1(x_1), \ldots, \alpha_i, \ldots, u_n(x_n)) \end{align*} Prenant les x_i dans E_i^{\circ}, on trouve f(\alpha_1, \ldots, \alpha_i, \ldots, \alpha_n) = \lambda^{n-1} f^{\circ}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i, \ldots, \alpha_n) (on a pris x_j = \alpha_j pour j = 1, \ldots, \hat{\imath}, \ldots, n, et x_i = 0). On – une solution du pb universel, notée \mathop{\ast}_{i,\lambda} E_i \qquad (E_1 \mathbin{\ast_\lambda} E_2 \text{ etc.}) l'indice \lambda rappelant que c'est relatif à un choix de \lambda-trivialisations des extensions envisagées. L'expression \mathop{\ast}_{i,\lambda} E_i se construit

comme quotient de \textstyle\bigotimes_i E_i \oplus \bigotimes_i E_i^{\circ} et on a une suite exacte \textstyle\bigotimes_i E_i^{\circ} \longrightarrow \mathop{\ast}_{i,\lambda} E_i \longrightarrow \bigotimes_i F_i \longrightarrow 0 qui correspond au fait que les systèmes (f, f^{\circ}) pour lesquels f^{\circ} = 0, s'identifient aux f qui se factorisent par les F_i. L'application \bigotimes E_i^{\circ} \xrightarrow{\ i_\ast\ } \mathop{\ast}_{i,\lambda} E_i n'est sans doute pas toujours injective, mais je dis qu'elle l'est si le choix des scindages des extensions E_i^{\circ} \to E_i dépend d'un nouveau : générateur des \mathrm{ing}_i. la fin de la phrase (« dépend … \mathrm{ing}_i ») est d'une lecture très incertaine.

En effet, écrivons E_i \simeq E_i^{\circ} \oplus F_i la donnée des u_i, déjà connue sur E_i^{\circ} (égale à \lambda\,\mathrm{id}) équivaut à la donnée des t_i : F_i \longrightarrow E_i^{\circ} le t_i est écrit par-dessus un b_i.

l'homomorphisme voulu de E_1 \mathbin{\ast_\lambda} E_2 dans E_1^{\circ} \ast E_2^{\circ}.

Pour préciser : la linéarité étant une condition l'injectivité si les F_i sont plats.

Il faut définir un \lambda-scindage canonique, sur \mathop{\ast}_{i} E_i, donc il faut définir \mathop{\ast}_{i} E_i \longrightarrow \textstyle\bigotimes E_i^{\circ} qui sur \bigotimes E_i^{\circ} donne la valeur \lambda\,\mathrm{id}. Il faut donc trouver un \lambda-accouplement à valeurs dans \bigotimes E_i^{\circ}.

On a tout ce qu'il faut : f = \textstyle\bigotimes u_i : \bigotimes E_i \longrightarrow \bigotimes E_i^{\circ} f(x_1, \ldots, x_n) = u_1(x_1) \otimes \cdots \otimes u_n(x_n) \begin{align*} f(x_1 + \alpha_1, x_2, \ldots, x_n) &= (u_1(x_1) + \lambda\alpha_1) \otimes u_2(x_2) \otimes \cdots \otimes u_n(x_n) \\ &= f(x_1, \ldots, x_n) + \underbrace{\lambda\alpha_1}_{\text{\struck{\ill{}}}} \otimes u_2(x_2) \otimes \cdots \otimes u_n(x_n) \end{align*} donne comme application f^{\circ}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) = \lambda\, \alpha_1 \otimes \cdots \otimes \alpha_n du moment que les termes précédents . la fin de la page est d'une lecture très incertaine. mais il faudrait remplacer \bigotimes E_i par un quotient – on prend bien un dans les données F_i \xrightarrow{\beta_i} E_i pas seulement injectives mais scindées, données d'un u_i : E_i \to E_i^{\circ}, avec u_i \beta_i \equiv \lambda\,\mathrm{id}_{F_i} la note marginale est écrite en oblique dans le coin inférieur gauche du feuillet ; la seconde ligne de la formule développée porte, sous \lambda\alpha_1, un groupe raturé illisible ; la congruence finale de la note marginale est lue sous réserve.

Ceci dit, pour définir un f ( convenable) pour un f^{\circ} déjà donné, on peut se donner arbitrairement g (soit g) sur \bigotimes F_i (comme application multilin.)

~~On aura alors~~ Faisons le calcul pour deux facteurs.

On pose (notant x_i \in F_i, \alpha_i \in E_i^{\circ}) \begin{align*} f(\underbrace{x_1 + \alpha_1}_{X_1}, \underbrace{x_2 + \alpha_2}_{X_2}) &= g(x_1, x_2) + \text{\struck{\ill{}}}\, f^{\circ}(\alpha_1, b_2(x_2)) \\ &\quad + f^{\circ}(b_1(x_1), \alpha_2) + \lambda \underbrace{f^{\circ}(\alpha_1, \alpha_2)}_{\substack{\shortparallel \\ f^{\circ}(u_1(\alpha_1), \alpha_2) \\ = f^{\circ}(\alpha_1, u_2(\alpha_2))}} \end{align*} devant le premier \lambda f^{\circ}(\alpha_1,\alpha_2) le \lambda semble ajouté après coup ; sous X_1 le X est repassé.

Il suffit de vérifier que f satisfait aux deux conditions. Or en remplaçant \alpha_1 par \alpha_1 + \alpha'_1, on obtient \begin{align*} f(X_1 + \alpha'_1, X_2) &= f(X_1, X_2) + f^{\circ}(\alpha'_1, \underbrace{b_2(x_2)}) \\ &\quad + \lambda f^{\circ}(\alpha'_1, \alpha_2) \end{align*} et on veut = f(X_1, X_2) + f^{\circ}(\alpha'_1, \underbrace{u_2(X_2)}_{b_2(x_2) + \lambda\alpha_2}) \qquad \text{OK.}

Prenons pour B le produit tensoriel E_1^{\circ} \otimes E_2^{\circ}, pour f^{\circ} l'accouplement can., et g = 0, on trouve la page s'achève sur « on trouve » ; la suite est en tête de la page suivante.

f(x_1, \ldots, x_n) = f^{\circ}(\alpha_1, u_2(x_2), \ldots, u_n(x_n)) . la formule est reprise telle qu'écrite, avec \alpha_1 en premier argument ; un mot (« avec ») précède f^{\circ}.

On a \ast_{i}, – une opération interne \ast dans la catégorie des extensions \lambda-scindées (à quotients F_i plats, au besoin), et une particularité dans le tensoriel gerbe des torseurs \lambda-scindés (cas où les F_i, sont \simeq k, \bigotimes F_i \simeq k canon.!). Mais à cela – à la commutativité, la vérifier lors de démontrer (à vérifier lemme compatibilité !), a-t-on une unité ?

Il faudrait pour ce faire, pour une unité, prendre 0 \longrightarrow E^{\circ} \longrightarrow E \longrightarrow F \longrightarrow 0, où E^{\circ} et F soient unités pour le \otimes ordinaire, donc i \simeq k. 0 \longrightarrow k \longrightarrow E \longrightarrow k \longrightarrow 0 Choisissons le scindage, alors le \lambda-scindage sera défini par un t : k \xrightarrow{\ \beta\ } k i.e. \beta \in k. J'aimerais prendre \beta = 1. Prenons plus généralement \beta quelconque, je dis que E_\beta \mathbin{\ast_\lambda} E_2 \simeq \beta E_2 , où \beta E_2 trivialisation de celle de \beta u_2 déduite de E_2. NB Si les ext. E_i sont munies de scindages et donc de structures de \lambda-triv. définies par des t_i : F_i \to E_i^{\circ}, alors la \lambda-trivialisation de \ast E_i, scindée elle aussi, est définie par t : \bigotimes F_i \to \bigotimes E_i^{\circ} la note marginale est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche du feuillet ; sa fin, qui se perd dans le corps du texte, est illisible. Dans la ligne « donc \simeq k », un mot biffé commençant par i précède \simeq k.

Ce faisant les E \mapsto {}^{\beta}E sont des équivalences de cat. ssi \beta est inversible dans k – et si \beta = 1, on retrouve {}^{1}E = E.

En termes intrinsèques, pour que les M \lambda-trivialisés, les conditions suivantes sont équivalentes

M \mathbin{\ast_\lambda} ? est une équivalence sur la cat. des \lambda-trivialisées

M^{\circ} \to M injectif, \underset{L'}{M^{\circ}} et \underset{L''}{M/M^{\circ}} inversibles, M \xrightarrow{u} M^{\circ} est surjectif

(en termes d' un scindage est quelconque que l'idéal donné des valeurs de L' \otimes L^{-1} \xrightarrow{\beta} k et \lambda k est k)

M inv. pour \mathbin{\ast_\lambda}

la liste s'arrête sur l'item 3 ; le bas de la page est blanc, et la question de l'unité pour \ast_\lambda reste ouverte à la fin du lot. Les lectures de la parenthèse sous l'item 2 sont très incertaines ; dans L' \otimes L^{-1}, l'exposant de L' est lu sous réserve.