Cote n° 83, pages 141–160

Cote n° 83 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

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141la page reprend au milieu d'un argument commencé avant ce lot : $T$, $T'$, $\delta$, $L$, $L'$, $L_P$, $b$, $b'$ y sont déjà en place.

\[\delta(T) = \delta(T')\] donc $T \mapsto T'$ induit un […] automorphisme de \[\widetilde{S} = X \wedge X' = \delta^{-1}\bigl(\text{section nulle de } \mathbb{V}(L \otimes L')\bigr).\] Quand on choisit bases $u$, $v$ dans $L$lecture du premier facteur incertaine ; peut-être $H$, $H'$. […], $L_P$ identifié à l'axe des $t$, l'involution $T \mapsto T'$ équi se représente par \[t \longmapsto bb' - t ,\] qui $\Rightarrow$ ⌜induit⌝ l'involution can. sur $\widetilde{S}$, schéma des solutions de $t^2 - bb't + {}$ […] $= 0$.

$\triangle$ On va donner une interprétation schématique de $X \wedge X'$ comme un produit contracté.

Prop. Supposons que $2$ soit inv., ou plus généralement, qu'en tout pt où $2$ est nul, soit $X$ soit $X'$ est étale (cela signifie aussi que $2$, $\delta$, $\delta'$ ne s'annulent pas simultanément sur $S$, i.e. que l'idéal $(2, \delta, \delta')$ dans $k$ est l'idéal unité).sous $\delta$ et $\delta'$ il écrit $\delta = b^2 - 4c$, $\delta' = b'^2 - 4c'$. Alors le […] morphisme \[X \times_S X' \longrightarrow X \wedge_S X'\] est fid un morphisme quadratique (fini loc. libre de rang $2$) et, si $\sigma_X$, $\sigma_{X'}$ sont les inv. can. de $X$ et $X'$ resp., $\sigma_X \times_S \sigma_{X'}$ est l'inv. can.

142de $X \times_S X'$ sur $X \wedge_S X'$, et celui-ci est le sous schéma quotient (universel) \[X \wedge_S X' \simeq X \times_S X' \big/ \underbrace{\sigma_X \times_S \sigma_{X'}}_{= \sigma_P}\] conformément au yoga général des produits contractés. Pour que $X \times_S X' \to X \wedge_S X'$ soit étale, il faut et il suffit qu'en tout $s \in S$, $X_s$ ou $X'_s$ soit étale. Pour que $X \wedge_S X'$ soit étale sur $S$, il faut et il suffit que […] tout point selon, $X$ ⌜et⌝ $X'$ soient étales. (Dans ce cas, on retrouve la notion familière. Si $X$ seule est étale, on peut considérer $X \wedge X'$ comme un « twisté » de $X'$ par le $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S$-torseur $X$ et l'op. de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sur $X'$ par son inv. can.)

En termes des alg. $H$, $H'$ de $X$, $X'$, et $P = H \otimes H'$ de $X \times_S X'$ [non cette fois la structure d'alg. commut. can. sur $P$ !] on peut décrire celle de $X \wedge X'$ comme la sous-alg. ⌜$H \wedge H'$⌝ des invariants sous […]. Si $u$, $v$ sont des bases, donc $H \wedge H'$ a comme base $1$ ($= 1 \otimes 1$) et \[\boxed{\; u * v \overset{\mathrm{def}}{=} \operatorname{Tr}(v)\,u + \operatorname{Tr}(u)\,v - 2\underbrace{uv}_{= u \otimes v} \in (H \otimes H')^{\sigma_P} \;}\]

NB Cet élément […] (défini […] condition […] sur $H$, $H'$ […]) donc […]

143\[\left\{ \begin{aligned} \operatorname{Tr}(u * v) &= bb' \\ \det(u * v) &= \delta(u, v) = b^2c + b'^2c' - 4cc' \end{aligned} \right.\] les accents sur $b$, $c$ dans la seconde ligne sont mal visibles ; on transcrit ce qu'on lit.

il s'agit ici de la trace et du déterminant en tant qu'éléments d'une alg. quadratique [$H \wedge H'$], sur $S$

La formule donnée plus […] $T_{\varphi,\varphi'}(u,v)$ peut s'écrire \[\boxed{\; T_{\varphi,\varphi'}(u,v) = \varphi \otimes \varphi'(u * v) \;}\]

Notons aussi les formules \[\underset{\text{discr}}{\delta(u * v)} = \delta(u)\,\delta(v)\] ainsi que \[\left\{ \begin{aligned} (u * v)' &= u' * v = u * v' \\ u' * v' &= u * v \end{aligned} \right.\] sous $(u*v)'$ : « le $'$ étant relatif à l'alg. quad. $H \wedge H'$ ».

NB Toutes les formules précédentes ont un sens et sont valables, sans restriction de cas sur $S$, $H$, $H'$, pour tt $u \in H$ et $v \in H'$ (base ou pas !)

On récupère $L_P \overset{\mathrm{df}}{=} L_{H,H'}$ à partir de $\widetilde{S} = X \wedge X'$ comme l'espace affine enveloppant (au-dessus de $S$) du rev. quad. $\widetilde{S}$, et \[\delta : L_P \longrightarrow (L \otimes L')^{-1}\] comme l'hom (discriminant !) canonique associé à […] ce revêtement.

NB Si $u$, $v$ sont des bases, […] $u * v$ […] et […] dans […] autre que $\widetilde{S} \subset \mathbb{V}(L_P)$ […] … Ainsi la fonction $t_{u,v}$ sur $\mathbb{V}(L_P)$ […] considérée comme […] $H^\vee \otimes H'^\vee$, […] $\in H \otimes H'$ […] restriction […] à $L_P$ longue note en diagonale dans l'angle supérieur gauche, très serrée ; seuls quelques symboles se lisent.

144les deux premières lignes achèvent la phrase qui termine le bas de la page 145 (« donc $k[v] = H'$ et $k[w] = H''$ engendrent sous-alg. ») ; les deux feuillets semblent intervertis dans la liasse. \[k + k\cdot v + kw\] qui est de rang $3$, et pas égal à $P$…

Je voudrais expliciter tout dans le cas où $H$ et $H'$ sont unipotentes, plus précisément \[H = k \oplus L, \qquad H' = k \oplus L', \qquad P = H \otimes H' = \underbrace{k \oplus L \oplus L'}_{} + L \otimes L'\] avec $L$, $L'$ formés d'éléments de carré nul.

i.e. $X$, $X'$ sont définis comme schémas des […] […] de $L \to L^{\otimes 2}$, $L' \to L'^{\otimes 2}$ triviales

Donc […] $T_{H,H'}$ s'identifie à à $(L \otimes L')^\vee$. Choisir ⌜$L$⌝ base $u \in L$, $v \in L'$, \[\delta_{H,H'} : \underset{\displaystyle\simeq\ (L \otimes L')^{-1}}{T_{H,H'}} \longrightarrow (L \otimes L')^{\otimes -2}\] \[(L \otimes L')^{-1} \xrightarrow[\text{élévation au carré}]{} (L \otimes L')^{\otimes -2}\] donc \[H \wedge H' \simeq k \oplus (L \otimes L') \qquad \text{($L \otimes L'$ formé d'élts de carré nul)}\]

Si $u \in L$, $v \in L'$

L'hom \[X \times_S X' \longrightarrow X'' = X \wedge X'\] est donné par \[\underset{\substack{\text{sections de } L, L' \\ \text{de carré nul}}}{(\xi, \eta)} \longrightarrow \underset{\substack{\text{section de } L \otimes L' \\ \text{de carré nul}}}{\xi \otimes \eta}\] L'hom d'alg. correspondant \[H \otimes H' \simeq k \oplus L \oplus L' \oplus L \otimes L' \longleftarrow H'' = k \oplus L \otimes L'\] est celui défini par la phrase reste en suspens au bas de la page.

145NB On a, pour la structure d'Alg. canonique ⌜commut.⌝ (produit tens.) sur $P = H \otimes H'$, trois sous-alg. quadratiques \[H, \quad H', \quad H''\] ($P/k \simeq H/k \oplus H'/k \oplus H''/k$ comme modules) et trois involutions mutuellement commutantes \[\sigma_H, \quad \sigma_{H'} \quad \text{et} \quad \sigma_{H''}\] de telle façon que \[H = P^{\sigma_H}, \quad H' = P^{\sigma_{H'}}, \quad H'' = P^{\sigma_{H''}}, \qquad H \cap H' = H' \cap H'' = H'' \cap H = k \quad (\text{\uncertain{union} !})\]

(où $H'' = H \wedge H'$ — on suppose maintenant $(2, b, b')k = k$) ($\sigma_{H''}$ défini comme $\sigma_H \sigma_{H'}$)

et bien que $P$ soit […] $P$ est ⌜engendré comme⌝ alg. par $H$ et $H'$ (d'où $H \otimes H' \xrightarrow{\sim} P$), et $P$ est aussi […] $H \wedge H'$). (Ce qui caractérise $H''$ comme $H \wedge H'$.) Pour que $P$ soit aussi engendré par $H$ et $H''$ […] par $H'$ et $H''$, il faut et il suffit que […] $H$ […], $H'$ (et alors […] $H''$ […]). Si […] alors $P$ est engendré par $H, H'$ et $H, H''$, […] entre $H'$ et $H''$ […] : $H$ […] (La relation \[H'' \simeq H \wedge H' \iff H' \simeq H \wedge H''\] symétrique en $H'$ et $H''$), mais non pour $H'$ et $H''$. En effet : prenant une base $u$ de $H$, $v$ de $H'$ […] $H'$ […] \[u^2 = u, \quad v^2 = 0 \qquad (\text{donc } b = 1,\ c = b' = c' = 0)\] et posant \[w = u * v = v - 2uv\] on a bien ⌜base de $P$⌝ $w^2 = 0$, $vw =$ \[1, \quad u, \quad v, \quad w\] mais aussi \[v^2 = w^2 = vw = 0\] donc $k[v] = H'$ et $k[w] = H''$ engendrent sous-alg.

146la page continue la phrase laissée en suspens au bas de la page 144. \[u \underset{L,L'}{\otimes} v \longmapsto u * v = -2uv\] C'est nul ! réguliè comme il se doit, quand $2$ est inv. Par contre, en car. $2$ c'est identique (i.e. […] sur $P$ $H$, $H'$, $H''$, sont identiques : l'identité !) c'est id […]. D'autre part, $H''$ ne s'identifie pas, donc, à une sous-algèbre de $H \otimes H'$.

Plus généralement, […] des […] $\mathcal{X}(L, q)$ […] par des $L$ […], $\mathcal{X}(L, q) \wedge \mathcal{X}(L', q')$ […] (iso. can.) […] $\simeq \mathcal{X}(L \otimes L', q \otimes q')$ […] […] si $2$ […] […] des […] […] […]… note en diagonale dans la marge droite ; seuls les symboles se lisent avec quelque sûreté.

Soit $X_L = \operatorname{Spec} k \oplus L$, […] […] en carré nul. Signe contr. […] du car. […] On a donc \[X_L \wedge X_{L'} \simeq X_{L \otimes L'} .\] Ceci montre que les propriétés du produit contracté sont assez différentes de celles des produit pr. V. […] familières pour les $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S$-torseurs. Ainsi, le donnée \[X_{L''} \simeq X_L \wedge X_{L'} \qquad \text{i.e.\ } L'' \simeq L \otimes L'\] n'est pas […] […] symétrique […] $L, L', L''$), et \[X_L \wedge X_L \simeq \struck{\ill{}} X_{L^{\otimes 2}} \simeq k + L^{\otimes 2}\] n'est pas com. neutre : $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S$ ! [Par contre, si $X$ quadratique sur $S$, $X \wedge X$ […] si $X$ […], et […] bien […] […] $X \wedge X \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S$ …].

147Il faudrait aussi examiner l'associativité de l'opération $\wedge$. […] C'est clair si on suppose qu'on est hors des pts de car. $2$, tous les facteurs étant alors étales, ou plus généralement, si tous sauf l'un sont étales — mais c'est moins évident sans cette condition, même infinitésimale. On aimerait une description directe d'un produit contracté multiple \[\bigwedge_{i \in I} X_i \qquad I \text{ un ens.\ fini}\] […] […] en termes de formes trilinéaires. P. ex. sur $H_1$, $H_2$, $H_3$, formes trilinéaires […] $f(u_1, u_2, u_3)$ telles que \[\begin{aligned} f(1, u_2, u_3) &= \operatorname{Tr}(u_2)\operatorname{Tr}(u_3) \\ f(u_1, 1, u_3) &= \operatorname{Tr}(u_1)\operatorname{Tr}(u_3) \\ f(1, u_2, u_3) &= \operatorname{Tr}(u_2)\operatorname{Tr}(u_3) \end{aligned}\] la troisième ligne répète la première telle qu'elle est écrite ; on attendrait $f(u_1, u_2, 1) = \operatorname{Tr}(u_1)\operatorname{Tr}(u_2)$. (elles forment bien un torseur sous $(L_1 \otimes L_2 \otimes L_3)^{-1}$), satisfaisant à […] conditions quadratiques convenables — mais lesquelles ??

Azumaya rg 4 (III)

titre de sa main en tête de la page 149, avec la date « Avril 86 » ; la page 148 est blanche. Un nouvel ensemble commence ici, numéroté III par lui.

149Avril 86

Digression sur les produits tensoriels d'anneaux affines à involution.

La donnée, sur un $k$-module $H$ muni d'un élément $1_H$ (« unité ») ⌜tel que $\lambda \mapsto \lambda 1$ soit injectif de $k$ dans $H$⌝, d'une involution ⌜appl. lin.⌝ $x \mapsto x'$ qui a) fixe $1_H$ et b) induit sur $H/k1$ la symétrie, i.e. $x' \equiv -x \bmod k.1$ i.e. \[x + x' \in k.1 ,\] équivaut à la donnée d'une forme linéaire $T : H \to k$ telles que $T(1) = 2$, et on aura \[x' = T(x).1 - x \qquad \text{alors } x \mapsto x' \text{ est involution}\] i.e. « une » $k \to H$

Dualement, la donnée […] revient à se donner un $k$-module $E$ et une augmentation \[E \xrightarrow{\ \varepsilon\ } k\] surjective (ce qui revient à se donner un espace affine $A = \varepsilon^{-1}(1)$ sur $k$, dont le module des translations sera $A^0 = \operatorname{Ker}(\varepsilon)$), revient à se donner une la donnée d'une involution de $E$ compatible avec $\varepsilon$ (pour id. dans $k$) et induisant sur $A^0 = \operatorname{Ker}\varepsilon$ la symétrie $x \mapsto -x$, revient à se donner un élément \[t \in E \quad \text{avec} \quad \varepsilon(t) = 2 ,\] l'involution sera alors \[x \longmapsto \varepsilon(x)\,t - x\] et $t$ sera fixe. Se donner un espace affine $A$ sur $k$, muni d'une involution qui induise $-\mathrm{id}$ sur le module des translations, revient à se donner un tel espacelecture de la fin de phrase incertaine. (cet élément est alors invariant […]).

150Si $2$ est inv., il y a alors un seul pt fixe dans $A$, et $A$ devient ainsi un module, dit l'anneau […] que $x \mapsto -x$. Si par contre $2$ est inversible ⌜nul⌝ dans $k$, […] il s'ensuit que $t$ est dans $k$…lecture incertaine ; peut-être « $t$ est dans le module des translations ». module des translations, et la donnée de $A$, et de $t \in A^0$ équivaut à celle de l'involution sur le translation par $t$. Nous nommerons involutions affines « idéales », […] seules qui […] dans le cas où $k = \mathbb{Z}$, quand $2$ n'est ni inv., ni une div. […] $k$. Je vais enfin

Je voudrais définir une opération de produit tensoriel d'espaces affines à involutions. Soient $(A_1, A_2)$ deux tels espaces, avec involutions $\sigma_1$, $\sigma_2$ (je les notera[i] tous les deux $x \mapsto x'$, qui est ambigu […]) et soit $B$ un espace affine sur $k$, les espaces de translations sont notés $A_1^0$, $A_2^0$, $B^0$.

il faudrait que $B$ soit un […] espace […] affine […] […], ce qui conduirait […] […] $B^0$ opérant note oblique dans la marge gauche, en partie biffée.

Une application \[f : A_1 \times A_2 \longrightarrow B\] est dite $(\sigma_1, \sigma_2)$-bilinéaire, si […] \[\text{\struck{$f(x$}} \quad \exists\, f^0 : A_1^0 \times A_2^0 \longrightarrow B^0 \quad \text{bil}\] la page s'arrête sur cette ligne ; la condition se poursuit page 151.

151suite de la condition commencée au bas de la page 150. tel qu'on ait \[(*) \quad \left\{ \begin{aligned} f(x_1 + \alpha_1, x_2) &= f(x_1, x_2) + f^0(\alpha_1, \sigma_2 x_2 - x_2) \\ f(x_1, x_2 + \alpha_2) &= f(x_1, x_2) + f^0(\sigma_1 x_1 - x_1, \alpha_2) \end{aligned} \right.\] $\forall\, \alpha_1 \in A_1^0$, $\alpha_2 \in A_2^0$. On en conclut \[\begin{aligned} f(x_1 + \alpha_1, x_2 + \alpha_2) = f(x_1, x_2) &+ f^0(\alpha_1, \sigma_2 x_2 - x_2) + f^0(\sigma_1 x_1 - x_1, \alpha_1) \\ &- 2 f^0(\alpha_1, \alpha_2) \end{aligned}\] dans le troisième terme on lit $\alpha_1$ en second argument ; on attendrait $\alpha_2$.

Si on choisit $x_1$, $x_2$ comme origines, pour identifier $A_1$ à $A_1^0$ (via les $\alpha_1$) et $A_2$ à $A_2^0$ (via les $\alpha_2$), posant \[\begin{aligned} \sigma_1 x_1 - x_1 &= t_1 - 2x_1 = \tau_1 \in A_1^0 \\ \sigma_2 x_2 - x_2 &= t_2 - 2x_2 = \tau_2 \in A_2^0 \end{aligned}\] la formule devient \[\underset{\overset{\| \mathrm{df}}{f(x_1 + \alpha_1,\, x_2 + \alpha_2)}}{g(\alpha_1, \alpha_2)} = \underset{\overset{\|}{f(x_1, x_2)}}{c} + f^0(\alpha_1, \tau_2) + f^0(\tau_1, \alpha_2) - 2 f^0(\alpha_1, \alpha_2)\] […]. Cette formule définit entièrement la fonction $g$ (donc $f$) quand on connaît $c$ ($= f(x_1, x_2) = g(0,0)$), $\tau_1 \in A_1^0$, $\tau_2 \in A_2^0$ (qui définissent les involutions sur $A_1 \simeq A_1^0$, $A_2 \simeq A_2^0$ par $\alpha_1 \mapsto \tau_1 - \alpha_1$, $\alpha_2 \mapsto \tau_2 - \alpha_2$) via $x_1$, $x_2$, et l'application bil. $f^0$. Quand elles […] […] données, on vérifie que la formule précédente définit bien une application $(\sigma_1, \sigma_2)$-bil. Mais si on ne suppose pas $2$ inv., il n'y a aucune

Si $2.1_k = 0$, $g$ est vraiment linéaire en $(\alpha_1, \alpha_2)$ et bien déterminée par $g(\alpha_1, \alpha_2) = c + f^0(\alpha_1, \tau_2) + f^0(\tau_1, \alpha_2)$. Si $2$ inv., […] […] […] […] $\tau_1 = \tau_2 = 0$ […] pour […] $f^0(\alpha_1, \alpha_2)$ […] $x_1'$, […] […] l'application bil. $f^0$ […] […] deux notes obliques dans la marge gauche, en partie superposées.

152garantie que $f^0$ soit […] par $f$ l'est [Ex : si on prend $\tau' = \tau'' = 0$, $2.1_k = 0$, alors $f$ doit être constante]. C'est pourquoi je préfère inclure $f^0$ dans la structure de l'application — i.e. l'application est une couple \[(f, f^0) : \quad \begin{aligned} f &: A_1 \times A_2 \longrightarrow B \\ f^0 &: A_1^0 \times A_2^0 \longrightarrow B^0 \end{aligned}\]

On voit tout de suite qu'il y a un accouplement universel, dont le module des translations est \[A_1^0 \otimes A_2^0\] et espace noté[s] $A_1 * A_2$, espace affine sous $A_1^0 \otimes A_2^0$, avec $(\sigma_1, \sigma_2)$-accouplement \[(x_1, x_2) \longmapsto x_1 * x_2 : A_1 \times A_2 \longrightarrow A_1 * A_2\] On peut le voir comme […] sous-espace affine de \[E_1 \otimes E_2 \supset A_1^0 \otimes A_2^0\] ($E_i$ étant les […] enveloppes de l'espace affine $A_i$), l'application universelle étant induite par

153\[\boxed{\; \begin{aligned} (x_1, x_2) \longmapsto x_1 * x_2 &= t_1 \otimes x_2 + x_1 \otimes t_2 - 2\, x_1 \otimes x_2 \\ &= \sigma_1(x_1) \otimes x_2 + x_1 \otimes \sigma(x_2) \end{aligned} \;}\] la seconde ligne est écrite telle quelle, sans indice à $\sigma(x_2)$. pendant que $f_{A_1, A_2}$, induite sur $A_1^0 \times A_2^0$, est \[\begin{aligned} f^0_{A_1, A_2} : A_1^0 \times A_2^0 &\longrightarrow A_1^0 \otimes A_2^0 \\ (\alpha_1, \alpha_2) &\longmapsto \alpha_1 \otimes \alpha_2 \end{aligned}\]

[…] de la fonction […] […] […] des […] $E_1 \otimes E_2$ par … $x_1 * x_2 = \sigma_1(x_1) \otimes x_2 + \ldots$ $= \varepsilon(x_1) t_1 \otimes x_2 + \varepsilon(x_2) \ldots$ note oblique dans l'angle supérieur gauche, très serrée.

[…] Bien sûr, $A_1 * A_2$ est un bifoncteur en $A_1$, $A_2$. Donc il y a deux involutions, $\sigma_1 * \mathrm{id}_{A_2}$ et $\mathrm{id}_{A_1} * \sigma_2$ sur $A_1 * A_2$, définies par \[x_1 * x_2 \longmapsto \sigma_1(x_1) * x_2 \qquad x_1 * x_2 \longmapsto x_1 * \sigma_2(x_2)\] Je dis qu'elles sont égales, et qu'on a \[\underset{t_1 - x_1}{\underbrace{\sigma_1(x_1)}} * x_2 = x_1 * \underset{t_2 - x_2}{\underbrace{\sigma_2(x_2)}} = t_1 \otimes t_2 - x_1 * x_2\]

Si $2.1_k = 0$, $t_1 \otimes t_2 \in A_1^0 \otimes A_2^0$ […] […] translation […] […] $A_1 * A_2$ […] […] […]

Ainsi, $A_1 * A_2$ est muni d'une involution $\sigma_{A_1 * A_2}$. Il est solution du pb universel, cette fois dans les espaces affines involutifs sur $k$, pour les $\sigma$-accouplements d'espaces affines involutifs — où cette fois on met la condition supplémentaire sur $f$ \[f(\sigma_1(x_1), x_2) = f(x_1, \sigma_2(x_2)) = \sigma_B f(x_1, x_2) .\]

154Ainsi, $A_1 * A_2$ est une opération interne dans les espaces affines à involutions. Je dis que cette opération admet une structure (données d'associativité ; commutativité) avec unité. La donnée est l'espace affine trivial $k$ lui-même, avec comme involution $x \mapsto 1 - x$ (donc […] c'est-à-dire l'analogue […] de l'involution triviale en car. $2$ !), l'enveloppe […] est […] $\to k$ \[k \times k \xrightarrow{\ \varepsilon\ } k , \qquad t_0 = (1,1) \mapsto 2\] ($\sigma_0$ est $(\lambda, \mu) \mapsto (\mu, \lambda)$) \[\begin{aligned} k &\hookrightarrow k \times k \\ \lambda &\longmapsto (\lambda, 1 - \lambda) \end{aligned} \qquad \begin{aligned} k &\longleftarrow k \times k \\ \lambda &\longmapsto (\lambda, -\lambda) \end{aligned}\] L'élément $e_0 = (1, 0)$ de $\operatorname{Ker} \varepsilon$lecture du couple incertaine (« $(1,0)$ » surchargé). […] espace $A_0$ satisfait \[\sigma_0(e_0) - e_0 = 1 \in k = A_0^0\] Ceci dit, on utilise $e_0$ pour définir un isomorphisme can. \[\begin{aligned} A &\xrightarrow{\ \sim\ } A_0 * A \\ x &\longmapsto e_0 * x \end{aligned}\] après « $A_0 * A$ » une flèche suivie de quelques signes est biffée. compatible avec \[A^0 \xrightarrow{\ \sim\ } \underset{\overset{\|}{A_0^0}}{k} \otimes A^0 \qquad \text{iso.\ can.}\]

Pour définir la structure d'associativité, on va définir directement, pour un système fini d'espaces involutifs indexé par un ensemble quelc. de facteurs, le produit \[A_1 * A_2 * \cdots * A_n\] la page s'arrête ici ; la définition se poursuit page 155.

155suite de la page 154. comme sol. d'un pb universel, que voici : on cherche, pour $A$ variant ⌜compact⌝, un espace affine $B$ sous un $B^0$, les applications $(f, f^0)$ \[\begin{aligned} f &: A_1 \times \cdots \times A_n \longrightarrow B \\ f^0 &: A_1^0 \times \cdots \times A_n^0 \longrightarrow B^0 \end{aligned}\] satisfaisant \[\begin{aligned} f(x_1, \ldots, x_i + \alpha_i, \ldots, x_n) = f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \\ + f^0(\sigma_1 x_1 - x_1, \ldots, \alpha_i, \ldots, \sigma_n x_n - x_n) \end{aligned}\] pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ et $\alpha_i \in A_i^0$. Sans erreur, la solution du pb universel se réalise comme sous-espace affine de \[E_1 \otimes \cdots \otimes E_n\] sous $E_1^0 \otimes \cdots \otimes E_n^0$lecture des exposants incertaine : on attendrait $A_1^0 \otimes \cdots \otimes A_n^0$., par les éléments \[x_1 * x_2 * \cdots * x_n \qquad (\text{pour } x_i \in A_i)\] définis ainsi \[\begin{aligned} x_1 * x_2 * \cdots * x_n = \Bigl(\sum t_1 \cdots t_{n-1} x_n\Bigr) - 2\Bigl(\sum t_1 \cdots t_{n-2} x_{n-1} x_n\Bigr) \\ + 4\Bigl(\sum t_1 \cdots t_{n-3} x_{n-2} x_{n-1} x_n\Bigr) + \cdots + (-1)^{n-1} 2^{n-1} x_1 x_2 \cdots x_n . \end{aligned}\] le signe et le coefficient du dernier terme sont surchargés ; on lit $(-1)^{n-1}2^{n-1}$. Le signe entre les deux premières parenthèses est noirci ; on transcrit le $-$ que le calcul demande. Quand on change l'un des $x_i$ en $\sigma_i(x_i) = t_i - x_i$, le produit est changé en \[t_1 t_2 \cdots t_n - x_1 * x_2 * \cdots * x_n .\]

$*$ […] engendré « formule » (cf. d'abord […]) $2.1_k = 0$, $t_i * x_i = 0$ […] identique […] $x_1 * x_2 * \cdots * x_n = \ldots$ Prob. que […] […] […] $\sigma_i(x_i)$ au […] $x_i$ notes obliques dans la marge gauche, en partie illisibles.

156On peut quelques définir multilinéairement une application \[\begin{aligned} E_1 \times \cdots \times E_n &\longrightarrow E_1 \otimes \cdots \otimes E_n \\ (x_1, \ldots, x_n) &\longmapsto x_1 * x_2 * \cdots * x_n \end{aligned}\] définie par \[\mathop{\ast}_i x_i = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} 2^{i-1} \Bigl(\sum \underbrace{\varepsilon_1(x_1) t_1\, \varepsilon_2(x_2) t_2 \cdots \varepsilon_{n-i}(x_{n-i}) t_{n-i}}_{n-i \text{ facteurs } \varepsilon(x_j) t_j}\; \underbrace{x_{n-i+1} \cdots x_n}_{i \text{ facteurs}}\Bigr).\] Dont l'image est le sous-module engendré par $\mathop{\ast} A_i$. Ce sous-module contient ⌜donc⌝ $\bigotimes A_i^0$, et $t_1 t_2 \cdots t_n$, […] $\bigotimes A_i^0$ est engendré, ⌜$2$ !⌝ […] engendré par $t_1 \cdots t_n$ (?). voir […] […]

Formule plus explicite en termes des $\sigma_i$ : \[\begin{aligned} x_1 * x_2 * \cdots * x_n &= \sum_{\substack{i \text{ impair} \\ 1 \leq i \leq n}} \ \sum_{\binom{n}{i} \text{ termes}} x_1 \cdots x_i\, \sigma_{i+1}(x_{i+1}) \cdots \sigma_n(x_n) && (2^{n-1} \text{ termes}) \\ \sigma(x_1 * \cdots * x_n) &= \sum_{\substack{i \text{ pair} \\ 0 \leq i \leq n}} \ \sum_{\binom{n}{i} \text{ termes}} x_1 \cdots x_i\, \sigma_{i+1}(x_{i+1}) \cdots \sigma_n(x_n) && (2^{n-1} \text{ termes}) \end{aligned}\] \[(x_1 * \cdots * x_n) + \sigma(x_1 * \cdots * x_n) = t_1 t_2 \cdots t_n\, \varepsilon_1(x_1) \varepsilon_2(x_2) \cdots \varepsilon_n(x_n)\] On a […] \[(x_1 + \alpha_1) * x_2 * \cdots * x_n = \alpha_1 \otimes (\sigma_2(x_2) - x_2) \otimes \cdots \otimes (\sigma_n(x_n) - x_n)\] si $\alpha_1 \in E_1^0$, et formules similaires. à gauche de « $(x_1 + \alpha_1)$ » un terme est noirci ; le membre de droite paraît omettre $x_1 * x_2 * \cdots * x_n +$, qui est peut-être sous la rature.

Si $2$ est inversible, alors $t_1 \otimes \cdots \otimes t_n$ est le base d'un supplémentaire canonique de $\bigotimes A_i^0$ dans le sous-module ⌜de $\bigotimes E_i$⌝ engendré par $\mathop{\ast}_i A_i$. On peut alors

157considérer $E$ comme remplaçant le module enveloppant de $\mathop{\ast} A_i$, en le munissant de l'augmentation \[\varepsilon : E \longrightarrow k\] définie par \[\varepsilon(\underbrace{t_1 t_2 \cdots t_n}_{t}) = 2 .\] On notera que $\varepsilon$ n'est pas induite par \[\varepsilon_1 \otimes \cdots \otimes \varepsilon_n : \bigotimes E_i \longrightarrow k\] qui transforme $t_1 t_2 \cdots t_n$ non pas en $2$, mais en $2^n$.

Le groupe $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ opère sur $P = \bigotimes E_i$ via les $\sigma_i$, et les différents caractères définissent des sous-modules propres, dont $\bigotimes E_i$ est la somme directe (si $2$ inv. !). Etant donné $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$, soit \[P_\alpha = \bigl\{ x \in P \bigm| \sigma_1^{\beta_1} \otimes \cdots \otimes \sigma_n^{\beta_n}(x) = (-1)^{\alpha_1\beta_1 + \alpha_2\beta_2 + \cdots + \alpha_n\beta_n} x \bigr\} \quad \forall \text{ syst.\ d'entiers } \beta_i \bmod 2 .\] Ceci dit, $E$ est le sous-espace propre associé au caractère $\alpha = (1, \ldots, 1)$ i.e. \[E = P_{1, \ldots, 1} = \bigl\{ x \in P \bigm| (\sigma_1^{\beta_1} \otimes \cdots \otimes \sigma_n^{\beta_n})(x) = (-1)^{\sum \beta_i} x \bigr\}\] la page s'arrête sur cette formule ; la suite est page 158.

158Finalement, on trouve des formules plus jolies en éliminant les $t_i$ et $\varepsilon_i$, et en se servant uniquement des $\sigma_i$. Cela nous amène à une variante de l'objet précédent : celui des modules involutifs (i.e. modules munis d'une involution). Eventuellement, on se donne dans $E_i$ les sous-modules $E_i^0$, de telle façon que $\sigma_i$ soit $-\mathrm{id}_{E_i^0}$ sur $E_i^0$, et soit id sur $E_i/E_i^0$ (car $E_i^0$ est unique si $2$ inv., donc c'est le sous-module propre $E_i^-$, formé des $x$ tels que $\sigma_i x = -x$). Un accouplement involutif […] vers un module $E$, sera une application multilinéaire \[\begin{aligned} E_1 \times \cdots \times E_n &\xrightarrow{\ f\ } E \\ E_1^0 \times \cdots \times E_n^0 &\xrightarrow{\ f^0\ } E \end{aligned}\] munie de satisfaisant les relations de la forme \[\begin{aligned} f(x_1 + \alpha_1, x_2, \ldots, x_n) = f(x_1, \ldots, x_n) + f^0(\alpha_1, \sigma_2(x_2) - x_2, \ldots \\ \ldots, \sigma_n(x_n) - x_n) \end{aligned}\] pour $\alpha_1 \in E_1^0$ (et les $n - 1$ autres relations similaires). On aura donc \[f(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = (-2)^{n-1} f^0(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)\] la flèche $f^0$ est tracée de la seconde ligne vers le même $E$ ; « $f^0$ » est surchargé.

159La solution du pb universel est un module contenant ⌜pas exactement⌝ le module $\bigotimes E_i^0 \oplus \bigotimes E_i$, extension de $\bigotimes E_i/E_i^0$ par $\bigotimes E_i^0$ : \[0 \longrightarrow \bigotimes E_i^0 \xrightarrow{\ i\ } \mathop{\ast}_i (E_i, \sigma_i)^{\wedge} \xrightarrow{\ J\ } \bigotimes (E_i/E_i^0) \longrightarrow 0\] NB On dispose […] $E_i^-$ et $E_i/E_i^0$ […] $E_i^+$ […] $E_i$

Quand on prend […] ⌜dans⌝ $E_i$ tous $E_i/E_i^0 \simeq k$, alors ainsi $\mathop{\ast}_i(E_i, \sigma_i)$ apparaît comme une […] par $\bigotimes E_i^0$ […] […] […] le contexte des espaces affines. Nous trouvons un hom. canonique \[\mathop{\ast}_i (E_i, \sigma_i) \xrightarrow{\ \tau\ } \bigotimes E_i\] donné par la formule déjà écrite (pour $n = 2$, c'est la formule $x_1 * x_2 = \sigma_1 x_1 \otimes x_2 + x_1 \otimes \sigma_2 x_2$), mais on a

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  \bigotimes E_i^0 \arrow[d, "i"'] \arrow[dr, "{(-2)^{n-1}\,\mathrm{can}}"] & \\
  \mathop{\ast}(E_i, \sigma_i) \arrow[r, "\tau"] \arrow[dr, "{2^{n-1}J}"'] & \bigotimes E_i \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\
  & \bigotimes E_i/E_i^0
\end{tikzcd}

si $2$ inversible, mais pas en général.

On a ainsi une loi de composition (commutative) avec associativité, commutation […]…

Prendre […] pour […] « $E_i^0$ » […] extension […] […] $\bigotimes E_i/E_i^0$ […], donc […] $\mathop{\ast}(E_i, \sigma_i) \simeq$ […] $\sigma_i = \mathrm{id}$, retrouve […] Peut-être […] […] […] 2 […] notes obliques dans la marge gauche, très serrées.

160Si $2$ inv., la catégorie des modules involutifs équivaut à celle des […] couples de modules $(E^-, E^+)$ (avec $E^- = E^0$), et l'opération $*$ est l'opération de produit tensoriel signé sur les deux facteurs — aucun mystère ! L'opération est délicate et utile, par contre, si $2$ non inversible (p. ex. en car. $2$).

Revenons au contexte des espaces affines. Si on a un espace affine $A$ sous un module de translations $L = A^0$ inversible, alors les données d'un diviseur quadratique dans $\check{\mathbb{V}}(A)$ ⌜(ou dans $\check{\mathbb{V}}(A^0)$)⌝ (la solution […] définie par $A$) revient à la donnée d'une forme quadratique sur $E$ (enveloppe affine de $A$) \[q_E : E \longrightarrow L^{\otimes 2}\] i.e. d'une fonction polynômiale ⌜sur $A$⌝ de degré $\leq 2$ sur $A$), telle que $q_L = q \mid L$ (la « partie homog. » de $q$) soit l'élévation au carré canonique \[L \longrightarrow L^{\otimes 2}, \qquad u \longmapsto u^{\otimes 2}\] la page s'arrête ici ; l'argument se poursuit au-delà de ce lot.