Fonds Grothendieck, cote n° 83, pages 141–160

la page reprend au milieu d'un argument commencé avant ce lot : T, T', \delta, L, L', L_P, b, b' y sont déjà en place.

\delta(T) = \delta(T') donc T \mapsto T' induit un automorphisme de \widetilde{S} = X \wedge X' = \delta^{-1}\bigl(\text{section nulle de } \mathbb{V}(L \otimes L')\bigr). Quand on choisit bases u, v dans Llecture du premier facteur incertaine ; peut-être H, H'. , L_P identifié à l'axe des t, l'involution T \mapsto T' ~~équi~~ se représente par t \longmapsto bb' - t , qui ~~\Rightarrow~~ induit l'involution can. sur \widetilde{S}, schéma des solutions de t^2 - bb't + {} = 0.

\triangle On va donner une interprétation schématique de X \wedge X' comme un produit contracté.

Prop. Supposons que 2 soit inv., ou plus généralement, qu'en tout pt où 2 est nul, soit X soit X' est étale (cela signifie aussi que 2, \delta, \delta' ne s'annulent pas simultanément sur S, i.e. que l'idéal (2, \delta, \delta') dans k est l'idéal unité).sous \delta et \delta' il écrit \delta = b^2 - 4c, \delta' = b'^2 - 4c'. Alors le morphisme X \times_S X' \longrightarrow X \wedge_S X' est ~~fid~~ un morphisme quadratique (fini loc. libre de rang 2) et, si \sigma_X, \sigma_{X'} sont les inv. can. de X et X' resp., \sigma_X \times_S \sigma_{X'} est l'inv. can.

de X \times_S X' sur X \wedge_S X', et celui-ci est le ~~sous~~ schéma quotient (universel) X \wedge_S X' \simeq X \times_S X' \big/ \underbrace{\sigma_X \times_S \sigma_{X'}}_{= \sigma_P} conformément au yoga général des produits contractés. Pour que X \times_S X' \to X \wedge_S X' soit étale, il faut et il suffit qu'en tout s \in S, X_s ou X'_s soit étale. Pour que X \wedge_S X' soit étale sur S, il faut et il suffit que ~~tout point selon~~, X et X' soient étales. (Dans ce cas, on retrouve la notion familière. Si X seule est étale, on peut considérer X \wedge X' comme un « twisté » de X' par le (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S-torseur X et l'op. de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} sur X' par son inv. can.)

En termes des alg. H, H' de X, X', et P = H \otimes H' de X \times_S X' [non cette fois la structure d'alg. commut. can. sur P !] on peut décrire celle de X \wedge X' comme la sous-alg. H \wedge H' des invariants sous . Si u, v sont des bases, donc H \wedge H' a comme base 1 (= 1 \otimes 1) et \boxed{\; u * v \overset{\mathrm{def}}{=} \operatorname{Tr}(v)\,u + \operatorname{Tr}(u)\,v - 2\underbrace{uv}_{= u \otimes v} \in (H \otimes H')^{\sigma_P} \;}

NB Cet élément (défini condition sur H, H' ) donc

\left\{ \begin{aligned} \operatorname{Tr}(u * v) &= bb' \\ \det(u * v) &= \delta(u, v) = b^2c + b'^2c' - 4cc' \end{aligned} \right. les accents sur b, c dans la seconde ligne sont mal visibles ; on transcrit ce qu'on lit.

il s'agit ici de la trace et du déterminant en tant qu'éléments d'une alg. quadratique [H \wedge H'], sur S

La formule ~~donnée~~ plus T_{\varphi,\varphi'}(u,v) peut s'écrire \boxed{\; T_{\varphi,\varphi'}(u,v) = \varphi \otimes \varphi'(u * v) \;}

Notons aussi les formules \underset{\text{discr}}{\delta(u * v)} = \delta(u)\,\delta(v) ainsi que \left\{ \begin{aligned} (u * v)' &= u' * v = u * v' \\ u' * v' &= u * v \end{aligned} \right. sous (u*v)' : « le ' étant relatif à l'alg. quad. H \wedge H' ».

NB Toutes les formules précédentes ont un sens et sont valables, sans restriction de cas sur S, H, H', pour tt u \in H et v \in H' (base ou pas !)

On récupère L_P \overset{\mathrm{df}}{=} L_{H,H'} à partir de \widetilde{S} = X \wedge X' comme l'espace affine enveloppant (au-dessus de S) du rev. quad. \widetilde{S}, et \delta : L_P \longrightarrow (L \otimes L')^{-1} comme l'hom (discriminant !) canonique associé à ce revêtement.

NB Si u, v sont des bases, u * v et dans autre que \widetilde{S} \subset \mathbb{V}(L_P) … Ainsi la fonction t_{u,v} sur \mathbb{V}(L_P) considérée comme H^\vee \otimes H'^\vee, \in H \otimes H' restriction à L_P longue note en diagonale dans l'angle supérieur gauche, très serrée ; seuls quelques symboles se lisent.

les deux premières lignes achèvent la phrase qui termine le bas de la page 145 (« donc k[v] = H' et k[w] = H'' engendrent sous-alg. ») ; les deux feuillets semblent intervertis dans la liasse. k + k\cdot v + kw qui est de rang 3, et pas égal à P…

Je voudrais expliciter tout dans le cas où H et H' sont unipotentes, plus précisément H = k \oplus L, \qquad H' = k \oplus L', \qquad P = H \otimes H' = \underbrace{k \oplus L \oplus L'}_{} + L \otimes L' avec L, L' formés d'éléments de carré nul.

i.e. X, X' sont définis comme schémas des de L \to L^{\otimes 2}, L' \to L'^{\otimes 2} triviales

Donc T_{H,H'} s'identifie à à (L \otimes L')^\vee. ~~Choisir L base u \in L, v \in L'~~, \delta_{H,H'} : \underset{\displaystyle\simeq\ (L \otimes L')^{-1}}{T_{H,H'}} \longrightarrow (L \otimes L')^{\otimes -2} (L \otimes L')^{-1} \xrightarrow[\text{élévation au carré}]{} (L \otimes L')^{\otimes -2} donc H \wedge H' \simeq k \oplus (L \otimes L') \qquad \text{($L \otimes L'$ formé d'élts de carré nul)}

~~Si u \in L, v \in L'~~

L'hom X \times_S X' \longrightarrow X'' = X \wedge X' est donné par \underset{\substack{\text{sections de } L, L' \\ \text{de carré nul}}}{(\xi, \eta)} \longrightarrow \underset{\substack{\text{section de } L \otimes L' \\ \text{de carré nul}}}{\xi \otimes \eta} L'hom d'alg. correspondant H \otimes H' \simeq k \oplus L \oplus L' \oplus L \otimes L' \longleftarrow H'' = k \oplus L \otimes L' est celui défini par la phrase reste en suspens au bas de la page.

NB On a, ~~pour~~ la structure d'Alg. canonique commut. (produit tens.) sur P = H \otimes H', trois sous-alg. quadratiques H, \quad H', \quad H'' (P/k \simeq H/k \oplus H'/k \oplus H''/k comme modules) et trois involutions mutuellement commutantes \sigma_H, \quad \sigma_{H'} \quad \text{et} \quad \sigma_{H''} de telle façon que H = P^{\sigma_H}, \quad H' = P^{\sigma_{H'}}, \quad H'' = P^{\sigma_{H''}}, \qquad H \cap H' = H' \cap H'' = H'' \cap H = k \quad (\text{\uncertain{union} !})

(où H'' = H \wedge H' — on suppose maintenant (2, b, b')k = k) (\sigma_{H''} défini comme \sigma_H \sigma_{H'})

~~et bien que P soit~~ P est engendré comme alg. par H et H' (d'où H \otimes H' \xrightarrow{\sim} P), ~~et P est aussi~~ H \wedge H'). (Ce qui caractérise H'' comme H \wedge H'.) Pour que P soit aussi engendré par H et H'' par H' et H'', il faut et il suffit que H , H' (et alors H'' ). Si alors P est engendré par H, H' et H, H'', entre H' et H'' : H (La relation H'' \simeq H \wedge H' \iff H' \simeq H \wedge H'' symétrique en H' et H''), mais non pour H' et H''. En effet : prenant une base u de H, v de H' H' u^2 = u, \quad v^2 = 0 \qquad (\text{donc } b = 1,\ c = b' = c' = 0) et posant w = u * v = v - 2uv on a ~~bien~~ base de P ~~w^2 = 0, vw =~~ 1, \quad u, \quad v, \quad w mais aussi v^2 = w^2 = vw = 0 donc k[v] = H' et k[w] = H'' engendrent sous-alg.

la page continue la phrase laissée en suspens au bas de la page 144. u \underset{L,L'}{\otimes} v \longmapsto u * v = -2uv C'est nul ! réguliè comme il se doit, quand 2 est inv. Par contre, en car. 2 ~~c'est identique~~ (i.e. sur P H, H', H'', sont identiques : l'identité !) c'est id . D'autre part, H'' ne s'identifie pas, donc, à une sous-algèbre de H \otimes H'.

Plus généralement, des \mathcal{X}(L, q) par des L , \mathcal{X}(L, q) \wedge \mathcal{X}(L', q') (iso. can.) \simeq \mathcal{X}(L \otimes L', q \otimes q') si 2 des … note en diagonale dans la marge droite ; seuls les symboles se lisent avec quelque sûreté.

Soit X_L = \operatorname{Spec} k \oplus L, en carré nul. Signe contr. du car. On a donc X_L \wedge X_{L'} \simeq X_{L \otimes L'} . Ceci montre que les propriétés du produit contracté sont assez différentes de celles des ~~produit~~ pr. V. familières pour les (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S-torseurs. Ainsi, le donnée X_{L''} \simeq X_L \wedge X_{L'} \qquad \text{i.e.\ } L'' \simeq L \otimes L' n'est pas symétrique L, L', L''), et X_L \wedge X_L \simeq \struck{\ill{}} X_{L^{\otimes 2}} \simeq k + L^{\otimes 2} n'est pas com. neutre : (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S ! [Par contre, si X quadratique sur S, X \wedge X si X , et bien X \wedge X \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S …].

Il faudrait aussi examiner l'associativité de l'opération \wedge. C'est clair si on suppose qu'on est hors des pts de car. 2, tous les facteurs étant alors étales, ou plus généralement, si tous sauf l'un sont étales — mais c'est moins évident sans cette condition, même infinitésimale. On aimerait une description directe d'un produit contracté multiple \bigwedge_{i \in I} X_i \qquad I \text{ un ens.\ fini} en termes de formes trilinéaires. P. ex. sur H_1, H_2, H_3, formes trilinéaires f(u_1, u_2, u_3) telles que \begin{aligned} f(1, u_2, u_3) &= \operatorname{Tr}(u_2)\operatorname{Tr}(u_3) \\ f(u_1, 1, u_3) &= \operatorname{Tr}(u_1)\operatorname{Tr}(u_3) \\ f(1, u_2, u_3) &= \operatorname{Tr}(u_2)\operatorname{Tr}(u_3) \end{aligned} la troisième ligne répète la première telle qu'elle est écrite ; on attendrait f(u_1, u_2, 1) = \operatorname{Tr}(u_1)\operatorname{Tr}(u_2). (elles forment bien un torseur sous (L_1 \otimes L_2 \otimes L_3)^{-1}), satisfaisant à conditions quadratiques convenables — mais lesquelles ??

Azumaya rg 4 (III)

titre de sa main en tête de la page 149, avec la date « Avril 86 » ; la page 148 est blanche. Un nouvel ensemble commence ici, numéroté III par lui.

Avril 86

Digression sur les produits tensoriels d'anneaux affines à involution.

La donnée, sur un k-module H muni d'un élément 1_H (« unité ») tel que \lambda \mapsto \lambda 1 soit injectif de k dans H, d'une ~~involution~~ appl. lin. x \mapsto x' qui a) fixe 1_H et b) induit sur H/k1 la symétrie, i.e. x' \equiv -x \bmod k.1 i.e. x + x' \in k.1 , équivaut à la donnée d'une forme linéaire T : H \to k telles que T(1) = 2, et on aura x' = T(x).1 - x \qquad \text{alors } x \mapsto x' \text{ est involution} i.e. « une » k \to H

Dualement, ~~la donnée~~ revient à se donner un k-module E et une augmentation E \xrightarrow{\ \varepsilon\ } k surjective (ce qui revient à se donner un espace affine A = \varepsilon^{-1}(1) sur k, dont le module des translations sera A^0 = \operatorname{Ker}(\varepsilon)), ~~revient à se donner une~~ la donnée d'une involution de E compatible avec \varepsilon (pour id. dans k) et induisant sur A^0 = \operatorname{Ker}\varepsilon la symétrie x \mapsto -x, revient à se donner un élément t \in E \quad \text{avec} \quad \varepsilon(t) = 2 , l'involution sera alors x \longmapsto \varepsilon(x)\,t - x et t sera fixe. Se donner un espace affine A sur k, muni d'une involution qui induise -\mathrm{id} sur le module des translations, revient à se donner un tel espacelecture de la fin de phrase incertaine. (cet élément est alors invariant ).

Si 2 est inv., il y a alors un seul pt fixe dans A, et A devient ainsi un module, dit l'anneau que x \mapsto -x. Si par contre 2 est ~~inversible~~ nul dans k, il s'ensuit que t est dans k…lecture incertaine ; peut-être « t est dans le module des translations ». module des translations, et la donnée de A, et de t \in A^0 équivaut à celle de l'involution sur le translation par t. Nous nommerons involutions affines « idéales », seules qui dans le cas où k = \mathbb{Z}, quand 2 n'est ni inv., ni une div. k. ~~Je vais enfin~~

Je voudrais définir une opération de produit tensoriel d'espaces affines à involutions. Soient (A_1, A_2) deux tels espaces, avec involutions \sigma_1, \sigma_2 (je les noterai tous les deux x \mapsto x', qui est ambigu ) et soit B un espace affine sur k, les espaces de translations sont notés A_1^0, A_2^0, B^0.

il faudrait que B soit un espace affine , ce qui conduirait B^0 opérant note oblique dans la marge gauche, en partie biffée.

Une application f : A_1 \times A_2 \longrightarrow B est dite (\sigma_1, \sigma_2)-bilinéaire, si \text{\struck{$f(x$}} \quad \exists\, f^0 : A_1^0 \times A_2^0 \longrightarrow B^0 \quad \text{bil} la page s'arrête sur cette ligne ; la condition se poursuit page 151.

suite de la condition commencée au bas de la page 150. tel qu'on ait (*) \quad \left\{ \begin{aligned} f(x_1 + \alpha_1, x_2) &= f(x_1, x_2) + f^0(\alpha_1, \sigma_2 x_2 - x_2) \\ f(x_1, x_2 + \alpha_2) &= f(x_1, x_2) + f^0(\sigma_1 x_1 - x_1, \alpha_2) \end{aligned} \right. \forall\, \alpha_1 \in A_1^0, \alpha_2 \in A_2^0. On en conclut \begin{aligned} f(x_1 + \alpha_1, x_2 + \alpha_2) = f(x_1, x_2) &+ f^0(\alpha_1, \sigma_2 x_2 - x_2) + f^0(\sigma_1 x_1 - x_1, \alpha_1) \\ &- 2 f^0(\alpha_1, \alpha_2) \end{aligned} dans le troisième terme on lit \alpha_1 en second argument ; on attendrait \alpha_2.

Si on choisit x_1, x_2 comme origines, pour identifier A_1 à A_1^0 (via les \alpha_1) et A_2 à A_2^0 (via les \alpha_2), posant \begin{aligned} \sigma_1 x_1 - x_1 &= t_1 - 2x_1 = \tau_1 \in A_1^0 \\ \sigma_2 x_2 - x_2 &= t_2 - 2x_2 = \tau_2 \in A_2^0 \end{aligned} la formule devient \underset{\overset{\| \mathrm{df}}{f(x_1 + \alpha_1,\, x_2 + \alpha_2)}}{g(\alpha_1, \alpha_2)} = \underset{\overset{\|}{f(x_1, x_2)}}{c} + f^0(\alpha_1, \tau_2) + f^0(\tau_1, \alpha_2) - 2 f^0(\alpha_1, \alpha_2) . Cette formule définit entièrement la fonction g (donc f) quand on connaît c (= f(x_1, x_2) = g(0,0)), \tau_1 \in A_1^0, \tau_2 \in A_2^0 (qui définissent les involutions sur A_1 \simeq A_1^0, A_2 \simeq A_2^0 par \alpha_1 \mapsto \tau_1 - \alpha_1, \alpha_2 \mapsto \tau_2 - \alpha_2) via x_1, x_2, et l'application bil. f^0. Quand elles données, on vérifie que la formule précédente définit bien une application (\sigma_1, \sigma_2)-bil. Mais si on ne suppose pas 2 inv., il n'y a aucune

Si 2.1_k = 0, g est vraiment linéaire en (\alpha_1, \alpha_2) et bien déterminée par g(\alpha_1, \alpha_2) = c + f^0(\alpha_1, \tau_2) + f^0(\tau_1, \alpha_2). Si 2 inv., \tau_1 = \tau_2 = 0 pour f^0(\alpha_1, \alpha_2) x_1', l'application bil. f^0 deux notes obliques dans la marge gauche, en partie superposées.

garantie que f^0 soit par f l'est [Ex : si on prend \tau' = \tau'' = 0, 2.1_k = 0, alors f doit être constante]. C'est pourquoi je préfère inclure f^0 dans la structure de l'application — i.e. l'application est une couple (f, f^0) : \quad \begin{aligned} f &: A_1 \times A_2 \longrightarrow B \\ f^0 &: A_1^0 \times A_2^0 \longrightarrow B^0 \end{aligned}

On voit ~~tout~~ de suite qu'il y a un accouplement universel, dont le module des translations est A_1^0 \otimes A_2^0 et espace notés A_1 * A_2, espace affine sous A_1^0 \otimes A_2^0, avec (\sigma_1, \sigma_2)-accouplement (x_1, x_2) \longmapsto x_1 * x_2 : A_1 \times A_2 \longrightarrow A_1 * A_2 On peut le voir comme sous-espace affine de E_1 \otimes E_2 \supset A_1^0 \otimes A_2^0 (E_i étant les enveloppes de l'espace affine A_i), l'application universelle étant induite par

\boxed{\; \begin{aligned} (x_1, x_2) \longmapsto x_1 * x_2 &= t_1 \otimes x_2 + x_1 \otimes t_2 - 2\, x_1 \otimes x_2 \\ &= \sigma_1(x_1) \otimes x_2 + x_1 \otimes \sigma(x_2) \end{aligned} \;} la seconde ligne est écrite telle quelle, sans indice à \sigma(x_2). pendant que f_{A_1, A_2}, induite sur A_1^0 \times A_2^0, est \begin{aligned} f^0_{A_1, A_2} : A_1^0 \times A_2^0 &\longrightarrow A_1^0 \otimes A_2^0 \\ (\alpha_1, \alpha_2) &\longmapsto \alpha_1 \otimes \alpha_2 \end{aligned}

de la fonction des E_1 \otimes E_2 par … x_1 * x_2 = \sigma_1(x_1) \otimes x_2 + \ldots = \varepsilon(x_1) t_1 \otimes x_2 + \varepsilon(x_2) \ldots note oblique dans l'angle supérieur gauche, très serrée.

Bien sûr, A_1 * A_2 est un bifoncteur en A_1, A_2. Donc il y a deux involutions, \sigma_1 * \mathrm{id}_{A_2} et \mathrm{id}_{A_1} * \sigma_2 sur A_1 * A_2, définies par x_1 * x_2 \longmapsto \sigma_1(x_1) * x_2 \qquad x_1 * x_2 \longmapsto x_1 * \sigma_2(x_2) Je dis qu'elles sont égales, et qu'on a \underset{t_1 - x_1}{\underbrace{\sigma_1(x_1)}} * x_2 = x_1 * \underset{t_2 - x_2}{\underbrace{\sigma_2(x_2)}} = t_1 \otimes t_2 - x_1 * x_2

Si 2.1_k = 0, t_1 \otimes t_2 \in A_1^0 \otimes A_2^0 translation A_1 * A_2

Ainsi, A_1 * A_2 est muni d'une involution \sigma_{A_1 * A_2}. Il est solution du pb universel, cette fois dans les espaces affines involutifs sur k, pour les \sigma-accouplements d'espaces affines involutifs — où cette fois on met la condition supplémentaire sur f f(\sigma_1(x_1), x_2) = f(x_1, \sigma_2(x_2)) = \sigma_B f(x_1, x_2) .

Ainsi, A_1 * A_2 est une opération interne dans les espaces affines à involutions. Je dis que cette opération admet une structure (données d'associativité ; commutativité) avec unité. La donnée est l'espace affine trivial k lui-même, avec comme involution x \mapsto 1 - x (~~donc~~ c'est-à-dire l'analogue de l'involution triviale en car. 2 !), l'enveloppe est ~~\to k~~ k \times k \xrightarrow{\ \varepsilon\ } k , \qquad t_0 = (1,1) \mapsto 2 (\sigma_0 est (\lambda, \mu) \mapsto (\mu, \lambda)) \begin{aligned} k &\hookrightarrow k \times k \\ \lambda &\longmapsto (\lambda, 1 - \lambda) \end{aligned} \qquad \begin{aligned} k &\longleftarrow k \times k \\ \lambda &\longmapsto (\lambda, -\lambda) \end{aligned} L'élément e_0 = (1, 0) de \operatorname{Ker} \varepsilonlecture du couple incertaine (« (1,0) » surchargé). espace A_0 satisfait \sigma_0(e_0) - e_0 = 1 \in k = A_0^0 Ceci dit, on utilise e_0 pour définir un isomorphisme can. \begin{aligned} A &\xrightarrow{\ \sim\ } A_0 * A \\ x &\longmapsto e_0 * x \end{aligned} après « A_0 * A » une flèche suivie de quelques signes est biffée. compatible avec A^0 \xrightarrow{\ \sim\ } \underset{\overset{\|}{A_0^0}}{k} \otimes A^0 \qquad \text{iso.\ can.}

Pour définir la structure d'associativité, on va définir directement, pour un système fini d'espaces involutifs indexé par un ensemble quelc. de facteurs, le produit A_1 * A_2 * \cdots * A_n la page s'arrête ici ; la définition se poursuit page 155.

suite de la page 154. comme sol. d'un pb universel, que voici : on cherche, pour A variant compact, un espace affine B sous un B^0, les applications (f, f^0) \begin{aligned} f &: A_1 \times \cdots \times A_n \longrightarrow B \\ f^0 &: A_1^0 \times \cdots \times A_n^0 \longrightarrow B^0 \end{aligned} satisfaisant \begin{aligned} f(x_1, \ldots, x_i + \alpha_i, \ldots, x_n) = f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \\ + f^0(\sigma_1 x_1 - x_1, \ldots, \alpha_i, \ldots, \sigma_n x_n - x_n) \end{aligned} pour tout i \in \{1, \ldots, n\} et \alpha_i \in A_i^0. Sans erreur, la solution du pb universel se réalise comme sous-espace affine de E_1 \otimes \cdots \otimes E_n sous E_1^0 \otimes \cdots \otimes E_n^0lecture des exposants incertaine : on attendrait A_1^0 \otimes \cdots \otimes A_n^0., par les éléments x_1 * x_2 * \cdots * x_n \qquad (\text{pour } x_i \in A_i) définis ainsi \begin{aligned} x_1 * x_2 * \cdots * x_n = \Bigl(\sum t_1 \cdots t_{n-1} x_n\Bigr) - 2\Bigl(\sum t_1 \cdots t_{n-2} x_{n-1} x_n\Bigr) \\ + 4\Bigl(\sum t_1 \cdots t_{n-3} x_{n-2} x_{n-1} x_n\Bigr) + \cdots + (-1)^{n-1} 2^{n-1} x_1 x_2 \cdots x_n . \end{aligned} le signe et le coefficient du dernier terme sont surchargés ; on lit (-1)^{n-1}2^{n-1}. Le signe entre les deux premières parenthèses est noirci ; on transcrit le - que le calcul demande. Quand on change l'un des x_i en \sigma_i(x_i) = t_i - x_i, le produit est changé en t_1 t_2 \cdots t_n - x_1 * x_2 * \cdots * x_n .

* engendré « formule » (cf. d'abord ) 2.1_k = 0, t_i * x_i = 0 identique x_1 * x_2 * \cdots * x_n = \ldots Prob. que \sigma_i(x_i) au x_i notes obliques dans la marge gauche, en partie illisibles.

On peut quelques définir multilinéairement une application \begin{aligned} E_1 \times \cdots \times E_n &\longrightarrow E_1 \otimes \cdots \otimes E_n \\ (x_1, \ldots, x_n) &\longmapsto x_1 * x_2 * \cdots * x_n \end{aligned} définie par \mathop{\ast}_i x_i = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} 2^{i-1} \Bigl(\sum \underbrace{\varepsilon_1(x_1) t_1\, \varepsilon_2(x_2) t_2 \cdots \varepsilon_{n-i}(x_{n-i}) t_{n-i}}_{n-i \text{ facteurs } \varepsilon(x_j) t_j}\; \underbrace{x_{n-i+1} \cdots x_n}_{i \text{ facteurs}}\Bigr). Dont l'image est le sous-module engendré par \mathop{\ast} A_i. Ce sous-module contient donc \bigotimes A_i^0, et t_1 t_2 \cdots t_n, \bigotimes A_i^0 est engendré, 2 ! ~~engendré par t_1 \cdots t_n (?)~~. voir

Formule plus explicite en termes des \sigma_i : \begin{aligned} x_1 * x_2 * \cdots * x_n &= \sum_{\substack{i \text{ impair} \\ 1 \leq i \leq n}} \ \sum_{\binom{n}{i} \text{ termes}} x_1 \cdots x_i\, \sigma_{i+1}(x_{i+1}) \cdots \sigma_n(x_n) && (2^{n-1} \text{ termes}) \\ \sigma(x_1 * \cdots * x_n) &= \sum_{\substack{i \text{ pair} \\ 0 \leq i \leq n}} \ \sum_{\binom{n}{i} \text{ termes}} x_1 \cdots x_i\, \sigma_{i+1}(x_{i+1}) \cdots \sigma_n(x_n) && (2^{n-1} \text{ termes}) \end{aligned} (x_1 * \cdots * x_n) + \sigma(x_1 * \cdots * x_n) = t_1 t_2 \cdots t_n\, \varepsilon_1(x_1) \varepsilon_2(x_2) \cdots \varepsilon_n(x_n) On a (x_1 + \alpha_1) * x_2 * \cdots * x_n = \alpha_1 \otimes (\sigma_2(x_2) - x_2) \otimes \cdots \otimes (\sigma_n(x_n) - x_n) si \alpha_1 \in E_1^0, et formules similaires. à gauche de « (x_1 + \alpha_1) » un terme est noirci ; le membre de droite paraît omettre x_1 * x_2 * \cdots * x_n +, qui est peut-être sous la rature.

Si 2 est inversible, alors t_1 \otimes \cdots \otimes t_n est le base d'un supplémentaire canonique de \bigotimes A_i^0 dans le sous-module de \bigotimes E_i engendré par \mathop{\ast}_i A_i. On peut alors

considérer E comme remplaçant le module enveloppant de \mathop{\ast} A_i, en le munissant de l'augmentation \varepsilon : E \longrightarrow k définie par \varepsilon(\underbrace{t_1 t_2 \cdots t_n}_{t}) = 2 . On notera que \varepsilon n'est pas induite par \varepsilon_1 \otimes \cdots \otimes \varepsilon_n : \bigotimes E_i \longrightarrow k qui transforme t_1 t_2 \cdots t_n non pas en 2, mais en 2^n.

Le groupe (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n opère sur P = \bigotimes E_i via les \sigma_i, et les différents caractères définissent des sous-modules propres, dont \bigotimes E_i est la somme directe (si 2 inv. !). Etant donné \alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n, soit P_\alpha = \bigl\{ x \in P \bigm| \sigma_1^{\beta_1} \otimes \cdots \otimes \sigma_n^{\beta_n}(x) = (-1)^{\alpha_1\beta_1 + \alpha_2\beta_2 + \cdots + \alpha_n\beta_n} x \bigr\} \quad \forall \text{ syst.\ d'entiers } \beta_i \bmod 2 . Ceci dit, E est le sous-espace propre associé au caractère \alpha = (1, \ldots, 1) i.e. E = P_{1, \ldots, 1} = \bigl\{ x \in P \bigm| (\sigma_1^{\beta_1} \otimes \cdots \otimes \sigma_n^{\beta_n})(x) = (-1)^{\sum \beta_i} x \bigr\} la page s'arrête sur cette formule ; la suite est page 158.

Finalement, on trouve des formules plus jolies en éliminant les t_i et \varepsilon_i, et en se servant uniquement des \sigma_i. Cela nous amène à une variante de l'objet précédent : celui des modules involutifs (i.e. modules munis d'une involution). Eventuellement, on se donne dans E_i les sous-modules E_i^0, de telle façon que \sigma_i soit -\mathrm{id}_{E_i^0} sur E_i^0, et soit id sur E_i/E_i^0 (car E_i^0 est unique si 2 inv., donc c'est le sous-module propre E_i^-, formé des x tels que \sigma_i x = -x). Un accouplement involutif vers un module E, sera une application multilinéaire \begin{aligned} E_1 \times \cdots \times E_n &\xrightarrow{\ f\ } E \\ E_1^0 \times \cdots \times E_n^0 &\xrightarrow{\ f^0\ } E \end{aligned} munie de satisfaisant les relations de la forme \begin{aligned} f(x_1 + \alpha_1, x_2, \ldots, x_n) = f(x_1, \ldots, x_n) + f^0(\alpha_1, \sigma_2(x_2) - x_2, \ldots \\ \ldots, \sigma_n(x_n) - x_n) \end{aligned} pour \alpha_1 \in E_1^0 (et les n - 1 autres relations similaires). On aura donc f(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = (-2)^{n-1} f^0(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) la flèche f^0 est tracée de la seconde ligne vers le même E ; « f^0 » est surchargé.

La solution du pb universel est un module contenant pas exactement le module \bigotimes E_i^0 \oplus \bigotimes E_i, extension de \bigotimes E_i/E_i^0 par \bigotimes E_i^0 : 0 \longrightarrow \bigotimes E_i^0 \xrightarrow{\ i\ } \mathop{\ast}_i (E_i, \sigma_i)^{\wedge} \xrightarrow{\ J\ } \bigotimes (E_i/E_i^0) \longrightarrow 0 NB On dispose E_i^- et E_i/E_i^0 E_i^+ E_i

Quand on prend dans E_i tous E_i/E_i^0 \simeq k, ~~alors~~ ainsi \mathop{\ast}_i(E_i, \sigma_i) apparaît comme une par \bigotimes E_i^0 le contexte des espaces affines. Nous trouvons un hom. canonique \mathop{\ast}_i (E_i, \sigma_i) \xrightarrow{\ \tau\ } \bigotimes E_i donné par la formule déjà écrite (pour n = 2, c'est la formule x_1 * x_2 = \sigma_1 x_1 \otimes x_2 + x_1 \otimes \sigma_2 x_2), mais on a

\begin{tikzcd}[column sep=large] \bigotimes E_i^0 \arrow[d, "i"'] \arrow[dr, "{(-2)^{n-1}\,\mathrm{can}}"] & \\ \mathop{\ast}(E_i, \sigma_i) \arrow[r, "\tau"] \arrow[dr, "{2^{n-1}J}"'] & \bigotimes E_i \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\ & \bigotimes E_i/E_i^0 \end{tikzcd}

si 2 inversible, mais pas en général.

On a ainsi une loi de composition (commutative) avec associativité, commutation …

Prendre pour « E_i^0 » extension \bigotimes E_i/E_i^0 , donc \mathop{\ast}(E_i, \sigma_i) \simeq \sigma_i = \mathrm{id}, retrouve Peut-être 2 notes obliques dans la marge gauche, très serrées.

Si 2 inv., la catégorie des modules involutifs équivaut à celle des couples de modules (E^-, E^+) (avec E^- = E^0), et l'opération * est l'opération de produit tensoriel signé sur les deux facteurs — aucun mystère ! L'opération est délicate et utile, par contre, si 2 non inversible (p. ex. en car. 2).

Revenons au contexte des espaces affines. Si on a un espace affine A sous un module de translations L = A^0 inversible, alors les données d'un diviseur quadratique dans \check{\mathbb{V}}(A) (ou dans \check{\mathbb{V}}(A^0)) (la solution définie par A) revient à la donnée d'une forme quadratique sur E (enveloppe affine de A) q_E : E \longrightarrow L^{\otimes 2} i.e. d'une fonction polynômiale sur A de degré \leq 2 sur A), telle que q_L = q \mid L (la « partie homog. » de q) soit l'élévation au carré canonique L \longrightarrow L^{\otimes 2}, \qquad u \longmapsto u^{\otimes 2} la page s'arrête ici ; l'argument se poursuit au-delà de ce lot.