Cote n° 83, pages 121–140

Cote n° 83 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-07.fr.xml

121la page continue un argument commencé avant le lot : $\delta,\delta'$, $Q$, $\rho_0$, $b,b',c,c'$ et $t$ sont introduits plus haut. Quid P […] deux sous-alg. étales (diagonales stables) $\overline{H}$, $\overline{H'}$ correspondant à l'inv. $\rho_0$. Quitte à faire une ext. quadratique ([…]), on [peut supposer] $\overline{H}\simeq H$, $\overline{H'}\simeq H'$, […] OPS $H = \overline{H}$, $H'$ $H$, $H'\subset A$. […] Soit donc \[\tau = \operatorname{Tr} uv ,\] si on avait $t=\tau$, […] on aurait fini.

On sait que \[\text{\struck{$b^2-4c$}}\ \frac{\delta\delta'}{Q(t)} = \frac{\delta\delta'}{Q(\tau)} \qquad (=\rho_0)\] donc \[Q(t) = Q(\tau) \qquad (=\sigma)\] On […] encore, pour […] $k$ corps alg. clos […] \[R(T) = T^2 - bb'T + r\] où $r = (b^2c'+b'^2c-4cc'-\sigma)$, $t$ et $\tau$ sont des solutions de l'équation $R(T)=0$. Si donc on avait $\tau\neq t$, on aurait \[t+\tau = bb' \qquad\text{donc}\qquad \tau = bb'-t .\] On considère \[u' = \operatorname{Tr} u.1 - u = b - u\]

122On aura \[\operatorname{Tr} u' = \operatorname{Tr} u = b , \qquad \det u' = \det u = c\] \[\operatorname{Tr} u'v = \operatorname{Tr}(b-u)v = b\underbrace{\operatorname{Tr} v}_{b'} - \underbrace{\operatorname{Tr} uv}_{t} = bb' - t = \tau\] et on gagne, en remplaçant $u$ par $u'$.

On a donc gagné dans le cas où on est sur un corps. On […] maintenant voir que l'on a une description canonique des […] $(b,c,b',c',t)$ dans une alg. d'Azumaya, pourvu que, en regardant l'alg. \[M(b,c,b',c',t)\] définie par générateurs […], […] d'une base formelle \[\underline{1},\ \underline{u},\ \underline{v},\ \underline{uv}\] et une multiplication explicite. Il resterait à prouver que celle-ci est d'Azumaya. Il suffit de le voir sur les fibres géométriques, […] on est ramené au cas d'un corps de base alg. clos. Mais là, l'argument … […] ce qui […] précède […] Attention ! il reste à vérifier les conditions d'associativité […] de $M(b,c,b',c',t)$ […] les deux notes marginales sont écrites en biais dans la marge gauche ; on n'en lit que des fragments.

123de fidélisabilité nous donne en même temps que $A\simeq M(b,c,b',c',t)$, laquelle est donc bien Azumaya. On gagne !

Mais j'ai oublié de faire la vérification (sur le alg corps alg. clos) quand $\delta\delta'=0$, donc $H$ ou $H'$ est « unipotente » ([…] disons $H'$), i.e. Considérons le discriminant de ce […] (comme […] sur $k$ alg. clos) $Q(t)$ longuement comme un polynôme en \[H' = \text{\struck{\ill{}}}\ k[V]/V^2\] $\subset A$ s.t. […] $V$ nilpotent i.e. $\det V=0$, $\operatorname{Tr} V=0$

La formulation qui suit montre que pour $H$, $H'$ donnés, le ⌜problème de⌝ problème de fidélisabilité se dispose par des choix des éléments $u\in H$, $v\in H'$ utilisés pour […] décrire […] faire des bases. On peut donc Il y a donc trois « cas types »

$\delta$ et $\delta'$ […] $\neq 0$ OPS $u^2=u$, $v^2=v$ (idempotents) donc $b=b'=1$, $c=c'=0$ \[Q(t) = t^2 - t = (t-1)t\]
$\delta\neq0$, […] $\delta'=0$ (ou l'inverse) OPS $u^2=u$, $v^2=0$, i.e. $b=1$, $c=0$, $b'=0$, $c'=0$
$\delta=\delta'=0$ OPS $u^2=0$, $v^2=0$, i.e. $b=b'=c=c'=0$

Dans les cas 2°) et 3°) et disons quand $v^2=0$, (sans condition sur $u$) on trouve \[Q(t) = t^2\]

124Notre assertion de fidélisabilité ⌜« géom. » (sur $k$ alg. clos)⌝ revient aux trois assertions suivantes

1°)Si $t\in k$ avec $t\notin\{0,1\}$, alors $\exists$ projecteurs $u$, $v$ ⌜(de rang 1)⌝ en position générale tels que \[\operatorname{Tr} uv = t\] [et si on suppose $t\notin\{0,1\}$, alors $u$, $v$ seront en « position générale »]
2°)Si $t\in k$, alors $\exists$ projecteur ⌜(rg 1)⌝ $u$, et $v$ nilpotent $\neq0$, […] tels que \[\operatorname{Tr} uv = t\] (et si $t\neq0$, on aura $u$, $v$ en pos. gén.)
3°)Si $t\in k$, alors $\exists$ $u$, $v$ nilp. […] $\neq0$, tels que \[\operatorname{Tr} uv = t\] (et si $t\neq0$, $u$, $v$ sont en position générale)

Interprétant $A=\operatorname{End}(V)$, $V$ vect. de dim 2, on peut écrire dans tous les cas \[u = x'\otimes x , \qquad v = y'\otimes y \qquad\qquad x,y\in V,\ x',y'\in V^{\vee}\] donc \[u\circ v = \langle\text{\struck{$y$}},\text{\struck{$x'$}}\rangle\, \text{\struck{$y'$}}\otimes x\] \[t = \operatorname{Tr} uv = \langle x,y'\rangle\langle y,x'\rangle\] la formule pour $u\circ v$ est surchargée et en partie biffée ; on ne lit pas sûrement les arguments retenus. et il faut voir

Cas 1 […] $\langle x,x'\rangle=1$, $\langle y,y'\rangle=1$. On choisit base $e_1,e_2$ de $V$ tel que $x=e_1$, $x'=e_1'$. Si les coeff. de $y$, $y'$ sont $(y_1,y_2)$, $(y_1',y_2')$, la relation $\langle y,y'\rangle=1$

125s'écrit \[y_1y_1' + y_2y_2' = 1\] et on a \[t = y_1y_1'\] On peut prendre Les relations deviennent $y_1=1$, $y_1'=t$ et $y_2$, $y_2'$ tels que $y_2y_2'=1-t$,les indices de cette dernière relation sont mal formés ; la lecture $y_2y_2'$ est imposée par le système qui suit. \[\begin{cases} y_1y_1' = t \\ y_2y_2' = 1-t \end{cases}\] Si $t\neq0,1$ on peut choisir arbitrairement $y_1,y_2 \in k^*$, et prendre $y_1',y_2'$ \[y_1' = t/y_1 , \qquad y_2' = \frac{1-t}{y_2}\] Si $t=0$, […] on a \[y_1y_1' = 0 , \qquad y_2y_2' = 1\] donc familles de solutions ⌜: deux p.s. suivant⌝ que $y_1=0$ ou $y_1'=0$, et symétriques si $t=1$.

Cas 2 On peut prendre $x=e_1$, $x'=e_1'$, relations \[y_1y_1' + y_2y_2' = 0 , \qquad t = y_1y_1'\] i.e. comme […] équations, en les $y_i$, $y_i'$, […] \[\begin{cases} y_1y_1' = t \\ y_2y_2' = -t \end{cases}\]

Cas 3 On peut prendre $x=e_1$, $x'=e_2'$. […] On doit avoir \[\begin{cases} y_1y_1' + y_2y_2' = 0 \\ t = y_1'y_2 \end{cases}\] …

126NB Finalement, on n'a pas eu besoin du […] de faire intervenir $\rho$ dans la vérification, c'était une complication inutile.

Je vais reprendre la théorie précédente. Soient $H$, $H'$ deux fibrés vectoriels de rang 2 sur $k$, munis d'une forme q structure de $k$-algèbre (assoc. commut.) d'[…] $H$ et $H'$ formes tordues et tirons \[\Delta_H : H\to k , \qquad T_H : H\to k , \qquad \varepsilon_H : k\to H\] \[\Delta_{H'} : H'\to k , \qquad T_{H'} : H'\to k , \qquad \varepsilon_{H'} : k\to H'\] l'unité de ce qui a suivi, […] on n'aura pas besoin de la structure multiplicative, mais seulement des formes précédentes […], seulement de $T_H$) La formule \[\varphi_{\Delta_H}(u,v) = \operatorname{Tr}(u)\operatorname{Tr}(v) - \underbrace{\operatorname{Tr}(uv)}_{\psi_H(u,v)}\] \[\varphi_{\Delta_H} = \varphi_H\] montre que la forme $\operatorname{Tr}(uv)$ sur $H$ s'exprime par la connaissance de $N_H$ et $T_H$ comme \[\operatorname{Tr}_H(uv) = T_H(u)T_H(v) - \varphi_{\Delta_H}(u,v)\] i.e. \[\varphi_H(u,v) + \psi_H(u,v) = T_H(u)T_H(v)\] $\varepsilon_H(\lambda)=\lambda 1_H$, $\varepsilon_{H'}(\lambda) = \rho_0\lambda.1_{H'}$ …{} NB $T_H$ se déduit de la donnée de $1_H\in H$ (i.e. $\varepsilon_H$) et de $\Delta_H$, comme $T_H(u)=\varphi_H(u,1)$ […], du fait que $\Delta_H(1)=1$ (cf. […] $T(H)=2$) […] hypothèse […] $\forall u$ […] $\varphi_H(1,u)=\psi_H(1,u)$ […] la note marginale est écrite en biais ; des traits la relient au texte. La lecture de $\rho_0$ dans la formule pour $\varepsilon_{H'}$ est douteuse.

127\[B = H \amalg_k H' = H\oplus H' / k(1_H \ominus 1_{H'})\] après la barre de quotient, une première écriture du sous-module ($k(1_H + 1_{H'})$, semble-t-il) est biffée et récrite au-dessus. ainsi $H$ et $H'$ se réalisent comme sous-fibrés vect. de rg 2 de $B$, […] \[H\cap H' = k1_B , \qquad H+H' = B\] \[1_B = 1_H = 1_{H'} \quad \text{\uncertain{i.e. image commune}}\] de $1_H$ et $1_{H'}$ dans $B$.

On considère ensuite \[P = H\otimes_k H'\] et les plongements

LaTeX source

\begin{tikzcd}
 & P & \\
H \arrow[ur, "i_0"] & & H' \arrow[ul, "j_0"']
\end{tikzcd}

\[i(u) = u\otimes 1 , \qquad j(v) = 1\otimes v\] On peut considérer $B$ comme un sous-fibré vectoriel de $P$, […] [i.e. […] conoyau […] $k$ \[i(\lambda 1_H) = j(\lambda 1_{H'}) = \lambda\, \underbrace{1\otimes 1}_{\overset{\text{déf}}{=}\,1_P}\] ] de façon unique […] $B\to P$

LaTeX source

\begin{tikzcd}
 & P & \\
 & B \arrow[u] & \\
H \arrow[ur] \arrow[uur, "i_0"] & & H' \arrow[ul] \arrow[uul, "j_0"']
\end{tikzcd}

NB $B \xrightarrow{T_B} k$ induisant $T_H$, $T_{H'}$ cf. […] $T_{H'}(1)=2$ Mais […] […] $\varepsilon_H$, $\varepsilon_{H'}$ […] $\Delta_H(1)=\Delta_{H'}(1)=1$ […] Attention ! […] structure […] d'algèbre […] les deux premières notes marginales sont écrites en biais dans la marge gauche, la troisième en bas à gauche.

129Supposons maintenant que $H$, $H'$ l'on se donne une alg. Azumaya $A$ et des plongements

LaTeX source

\begin{tikzcd}
 & A & \\
H \arrow[ur, "i"] & & H' \arrow[ul, "j"']
\end{tikzcd}

plus généralement, $A$ dans une catégorie arbitraire fournissant H.C. d'[…] $\Delta_A$, $\operatorname{Tr}_A$ … On peut alors définir un homomorphisme de modules \[P \xrightarrow{\ f\ } A\] par la condition \[f(u\otimes v) = i(u).j(v)\] ce qui induit et la donnée de et on récupère $i$, $j$ par \[i = f\circ i_0 , \qquad j = f\circ j_0\] La donnée de $i$, $j$ équivaut à la donnée de $f$, soumis à la condition que $f|H$ et $f|H'$ soient des hom. d'algèbres. On a alors

LaTeX source

\begin{tikzcd}
 & A & \\
 & P \arrow[u, "f"] & \\
 & B \arrow[u] & \\
H \arrow[ur] & & H' \arrow[ul] \\
 & k \arrow[ul, "\varepsilon_H"] \arrow[ur, "\varepsilon_{H'}"'] &
\end{tikzcd}

Attention, on ne suppose pas que $f$ soit un iso de Mod, i.e. que $H$, $H'$ engendrent $A$ comme algèbre

130Cette situation permet de définir sur $P$

forme linéaire $L_P = \operatorname{Tr}_A\circ f$, qui prolonge $T_B$
forme quadratique $\Delta_P = \det_A\circ f$
forme bilinéaire sym. $\psi_P$ polarisée de $\Delta_P$, $\psi_P = \psi_A\circ f$ (où $\psi_A$ est polarisée de $\det_A$)
forme bilinéaire $\varphi_P = \varphi_A\circ f$

i.e. \[\varphi_P(U,V) = \operatorname{Tr}(f(U).f(V))\] NB On a […] $\varphi_P(U,V)+\psi_P(U,V) = L_P(U)L_P(V)$ et $\varphi_P(1,U)=\psi_P(1,U)=L_P(U)$

D'autre part, on peut restreindre ceci à $B$, d'où forme quadr. $\Delta_B$, forme bil. sym. $\psi_B$, $\varphi_B$.

En restreignant encore ces trois formes sur $B$ à $H$, on trouve les trois formes dont $H$ est déjà équipée, $\Delta_H=\det_H$, $\psi_H$ = forme polarisée de $\Delta_H$, $\varphi_H = ((u,v)\mapsto T_H(uv))$, et itou pour $H'$.

On a d'autre part \[(1) \qquad \Delta_P(u\otimes v) = \Delta_H(u)\,\Delta_{H'}(v)\] On se donne $H$, $H'$ comme ci-dessus.

Proposition (Considérons les ⌜quatre⌝ […] ensembles suivants :

$\underline{Q}_P$ :[…] ens. des formes quadratiques $\Delta_P$ sur $P$ satisfaisant (1) ci-dessus
$\underline{Q}_B$ :[…] ens. des formes quadr. $\Delta_B$ sur $B$ prolongeant $\Delta_H$ et $\Delta_{H'}$
$\underline{\Psi}_B$ :[…] ens. des formes bil. sym. $\psi_B/\Delta_B$ sur $B$ qui prolongent $\psi_H$, $\psi_{H'}$
$\underline{\Phi}_B$ :[…] ens. des formes bil. symétriques $\varphi_B$ sur $B$

la liste se poursuit en haut de la p. 132.

1312) On voit que Posons \[L = H/k \simeq B/H' , \qquad L' = H'/k \simeq B/H\] et considérons une forme \[\text{\struck{$\lambda : L\otimes L' \to k$}}\] Si $\Delta_B\in\underline{Q}_B$, on peut définir ces trois lignes sont barrées d'un trait ondulé. On a \[(L\otimes L')^{\vee} \simeq \text{Esp. des formes bil. \add{sym.} sur $B$ nulles sur $H'$ \struck{\ill{}} et $H$ \struck{\ill{}}}\] i.e. qui passent au quotient […] $B/k\simeq L\oplus L'$ et qui sont nulles sur $L$ et sur $L'$, donc de la forme \[\bigl((x,y),(\xi,\eta)\bigr) \longmapsto \lambda(x\otimes\eta) + \lambda(\xi\otimes y) \qquad x,\xi\in L,\ y,\eta\in L'\] avec $\lambda : L\otimes L'\to k$. car $B = H+H'$

Donc $\underline{\Psi}_B$ est un torseur sous $(L\otimes L')^{\vee}$, et de même $\underline{\Phi}_B$. Itou pour $\Delta_B$, car \[(L\otimes L')^{\vee} \simeq \text{formes quadratiques sur $B$ qui sont nulles sur $H$, $H'$}\] (donc passent au quotient […] $B/k\simeq L\oplus L'$ en des formes quadratiques nulles sur $L$, $L'$, donc de la forme […] $\Delta(x\oplus y) = \lambda(x\otimes y)$). Les applications $\beta$, $\gamma$ sont compatibles avec ces structures de torseurs. Cela suffit : comme quelles sont iso.

132

qui prolongent $\varphi_H$, $\varphi_{H'}$ ;
$\underline{L}_P$ :Ens. des formes lin. sur $P$ qui prolongent $T_B$

On a des flèches canoniques au-dessus du diagramme, une première version (avec $\underline{\Phi}_P$, $\underline{L}_P$, $\underline{\Phi}_B$) est raturée.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\underline{Q}_P \arrow[r, "\alpha"] \arrow[dr, "\delta"'] & \underline{Q}_B \arrow[r, "\beta"] & \underline{\Psi}_B \arrow[r, "\gamma"] & \underline{\Phi}_B \arrow[dll] \\
 & \underline{L}_P & &
\end{tikzcd}

que voici : $\alpha$ est la restriction $\alpha(\Delta_P) = \Delta_P\circ\alpha$,lecture de la formule douteuse : il faut sans doute entendre la restriction de $\Delta_P$ à $B$. $\beta$ associe à la forme $\Delta_B\in\underline{Q}_B$ la forme bil. sym. associée $\psi_B$, on définit $\gamma$ par la formule \[\underbrace{\gamma(\psi)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \varphi_B} + \psi_B = \bigl((u,v)\longmapsto T_B(u)\,T_B(v)\bigr)\] on définit $\delta$ par \[\delta(\Delta_P) = \{ u \longmapsto \varphi_{\Delta_P}(u,1_P) \}\] Ceci dit, les quatre applications $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ sont bijectives.

Remarques 1) Pour définir les cinq ensembles $\underline{Q}_P$, $\underline{L}_P$, $\underline{Q}_B$, $\underline{\Psi}_B$, $\underline{\Phi}_B$, et les applications $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on n'a utilisé sur $H$, $H'$ que la donnée de $\Delta_H$, $\Delta_{H'}$ et $1_H$, $1_{H'}$ ($\to T_H$, $T_{H'}$, cf. […]) satisfaisant \[\Delta_H(1_H) = \Delta_{H'}(1_{H'}) = 1 .\] On définit $\zeta$ : […] ainsi : $\underline{L}_P$ s'identifie aux formes bilin. sur $H\times H'$ telles que leurs restrictions à $1\times H'$ et à $H\times1$ soient données par $T_{H'}$ et $T_H$. À $\varphi_B$ on associe $\zeta(\varphi_B) : (u,v)\mapsto\varphi_B(u,v)$. C'est encore un iso de torseurs sous $(L\otimes L')^{\vee}$, donc iso.

133le haut de la page achève l'énoncé du lemme qui termine la p. 134 (« … $\to \underline{\mathrm{Hom}}(\det\check{H},\det H')$ ») ; la p. 134 semble donc se lire entre les pp. 132 et 133, et la fin de la présente page (« un sixième ensemble ») se poursuit en p. 135. $\simeq (\det H)\otimes\det(H')$. Cette […] fonction quadratique est universelle, pour les fonctions quadratiques \[P \xrightarrow{\ q\ } Q\] telles que \[q(x\otimes y) = 0 \qquad \forall x,y \in P .\]

Ceci nous montre (que, […] grâce à $\underline{Q}_P$ la situation précédente) que si $\underline{Q}_P$ n'est pas vide, c'est un torseur sous […] $(L\otimes L')^{\vee}$. Il faut vérifier que $\alpha$, $\delta$ sont compatibles aux structures torseurs — moyennant quoi on voit que c'est des iso.

Pour vérifier que $\underline{Q}_P$ n'est pas vide, on prend sur $P$ la structure tensorielle d'alg. produit de celles de $H$, $H'$, et la forme donnée de H.C., dont […] la fonction dét fait l'affaire. ce paragraphe est barré de traits croisés. On peut utiliser la construction des algèbres $M(b,c,b',c',t)$. Cela nous fait songer à un sixième ensemble

134en fait, comme on a \[H\to L , \qquad H'\to L'\] on en déduit \[P \overset{\text{déf}}{=} H\otimes H' \longrightarrow L\otimes L' \quad \text{\uncertain{épi}}\] nul sur $1\otimes H'$ et sur $H\otimes 1$, donc sur $B$, d'où une suite exacte \[0 \to B \to P \to L\otimes L' \to 0\] Ceci dit Ainsi les formes linéaires ⌜$T_P$⌝ sur $P$ dont la restr. à $B$ est $T_B$, forment ⌜$\underline{L}_P$⌝ un torseur sous $(L\otimes L')^{\vee}$. L'application \[\zeta : \underline{\Phi}_B \Longrightarrow \underline{L}_P\] \[\varphi_B \longmapsto \bigl( x\otimes y \mapsto \varphi_B(x,y) \bigr)\] est compatible avec les opérations de $(L\otimes L')^{\vee}$. Donc $\zeta$ est iso. i.e. les formes bil. $H\times H'\to k$ telles que $f(u,1)=T_H(u)$, $f(1,v)=T_{H'}(v)$

Notons le Lemme Soient $H$, $H'$ deux modules localement libres de rang 2 sur $k$, $P\simeq H\otimes H'$. On définit une fonction quadratique canonique \[P \xrightarrow{\ \Delta_{H,H'}\ } \det H \otimes \det H'\] en interprétant \[P \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\check{H},H') \to \underline{\mathrm{Hom}}(\det\check{H},\det H')\]

135$AZ_P$ = structures de $k$-algèbre de H.C. sur $P=H\otimes H'$, induisant sur $1\otimes H'$ et $H\otimes1$ les structures d'alg. données.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
AZ_P \arrow[r] \arrow[drr, "\alpha\mapsto\operatorname{Tr}_\alpha"'] & \underline{Q}_P \arrow[r] \arrow[dr, dashed] & \underline{Q}_B \arrow[r] & \underline{\Psi}_B \arrow[r] & \underline{\Phi}_B \arrow[dll, "{\varphi\mapsto(x\otimes y\mapsto\varphi(x,y))}"] \\
 & & \underline{L}_P & &
\end{tikzcd}

étiquettes des flèches de la ligne du haut, de gauche à droite : $\alpha\mapsto\det_\alpha$ ; $\Delta_P\mapsto\Delta_P|B$ ; $\Delta_B\mapsto\psi_{\Delta_B}$ ; $\varphi\mapsto\psi$ t.q. $\varphi+\psi=T_B\otimes T_B$. La flèche en tirets $\underline{Q}_P\to\underline{L}_P$ porte $\Delta_P\mapsto(U\mapsto\psi_{\Delta_P}(1,U))$, avec un mot illisible ; dans la dernière étiquette, $x\in H$, $y\in H'$.

La commutativité du triangle total est immédiate, ainsi que celle des […] entraîne celle du triangle de gauche, […] donc celle du triangle de droite (qui n'était pas évidente ainsi).

L'on On aurait pu aussi introduire $\underline{\Psi}_P$ et $\underline{\Phi}_P$ (on les définirait comme ci-dessus) mais passons ! Parmi les 6 […] ens., celui qui est de description alg. la plus simple est \[\underline{L}_P \subset \mathrm{Bil}(H,H';k) .\] On va dire $T_P\in\underline{L}_P$ un twist […] des algèbres […] quadratiques $H$, $H'$. L'objet le plus fondamental toutefois […] est la structure d'alg. de H.C. sur $P = H\otimes H'$, C'est défini en termes de $H$, $H'$ munis de $T_H$, $T_{H'}$ et de $1_H$, $1_{H'}$, […] (à l'exclusion de la donnée de $\Delta_H$, $\Delta_{H'}$)

136qui donne aussitôt les […] structures \[\Delta_P,\ T_P,\ \varphi_P,\ \psi_P,\ \Delta_B,\ \psi_B,\ \varphi_B\]

Th. récapitulatif ① Les flèches du diagramme de la p. précédente sont bijectives, le diagramme est commutatif, et les ⌜5⌝ flèches qui en sont issues de la source $AZ_P$ sont compatibles avec les structures de torseur sous $(L\otimes L')^{\vee}$.

② Pour qu'une structure ⌜d'alg. sur $P$⌝ associée à un twist en fasse une alg. d'Azumaya, il faut et il suffit que la forme $\Delta_B$ sur $B$ soit non dégénérée, i.e. que son discriminant \[\operatorname{disc}'(\Delta_B) \in (\det B)^{\otimes-2} = (L\otimes L')^{\otimes-2}\] soit inversible.

③ L'application \[\underline{L}_P \xrightarrow{\ \delta_{P,B}\ } (L\otimes L')^{\otimes-2}\] sous la flèche : « discriminant divisé de la forme quad. sur $B$ associée à un twist ». est une application quadratique pol. de degré 2 […] cette […] définition […] $1_H$, $1_{H'}$, $T_H$, $T_{H'}$ […] applications, mais $\delta$ fait appel à $\Delta_H$, $\Delta_{H'}$ ?

137dont la forme quadratique associée \[\underbrace{(L\otimes L')^{-1}}_{\text{esp. des translations de } \underline{L}_P} \longrightarrow (L\otimes L')^{-2}\] au-dessus de la flèche, un « $\delta_{P,B}$ » est raturé. est l'élévation au carré (donc $\delta_{P,B}$ est après passage à un morphisme fini surjectif de degré 2).

Prenons l'image inverse de la section nulle, c'est un schéma quadratique fini sur $S=\operatorname{Spec} k$ (donc défini par ⌜qui est défini par une alg. […] quadratique⌝ $k'$), cela dit, il y a un morphisme canonique […] \[\boxed{\, X\times_S X' \xrightarrow{\ \alpha\ } \tilde{S} \,}\] tel que tel que \[\alpha(\bar{x},x') = \alpha(x,\bar{x}') = \overline{\alpha(x,x')}\] (où $x\mapsto\bar{x}$ etc. désignent les inv. canoniques) d'où pour $X$, $X'$ étales (car) $\tilde{S}$ est étale d'[…] ⌜produit contracté des $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S$-torseurs⌝ \[X\wedge_S X' \longrightarrow S ,\] défini hom. de $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S$-torseurs, donc iso. $X$, $X'$ des $S$ définis par $H$, $H'$ ; posé $\tilde{S} = X\wedge X'$

Il faut définir l'application $\alpha$. Soient \[\varphi : H\to k , \qquad \varphi' : H'\to k\] deux hom. d'alg., considérons la forme \[\text{\struck{$\varphi\otimes\varphi' : H\otimes H' = P\to k \qquad u\otimes v\mapsto \varphi(u)\varphi'(v)$}}\]

138Choisissons bases $(1,u)$ dans $H$, $(1,v)$ dans $H'$ (d'où $b,c,b',c'$), $\varphi$ et $\varphi'$ sont données par \[\varphi(u) = z , \qquad \varphi'(v) = z'\] avec $z\in k$ \[z^2 - bz + c = 0 \qquad z'^2 - b'z' + c' = 0 ,\] et on cherche $t$ solution de \[t^2 - bb't + (b^2b' + b'^2b - 4cc') = 0 .\] sic : le terme constant est écrit $b^2b'+b'^2b-4cc'$ ; la ligne suivante et la p. 139 portent $b^2c'+b'^2c-4cc'$. Mais le discriminant de cette équation est \[\Delta = (bb')^2 - 4(b^2c' + b'^2c - 4cc') = \underbrace{(b^2-4c)}_{\delta}\,\underbrace{(b'^2-4c')}_{\delta'}\] Or […] les formules […] heuristiques (valables sur un corps de car $\neq2$) \[2z = b\pm\sqrt{\delta} , \qquad 2z' = b'\pm\sqrt{\delta'}\] donc \[\delta = (2z-b)^2 \qquad \delta' = (2z'-b)^2\] sic $(2z'-b)^2$ pour $(2z'-b')^2$. (vrai sans condition corps ou car. […]) et les solutions de l'équation en $t$ ⌜devraient⌝ satisfaire (sur corps car $\neq2$) \[\tfrac14 (2t-bb')^2 = \Delta = \delta\delta' = \bigl((2z-b)(2z'-b')\bigr)^2\] donc on peut poser supposer \[2t - bb' = \pm(2z-b)(2z'-b')\] soit \[2t = bb' \pm (2z-b)(2z'-b') .\] Choisissant […] le $\pm$, on trouve \[2t = -4zz' + 2(b'z+bz')\] soit \[\boxed{\, t = (b'z+bz') - 2zz' \,}\] l'autre racine ⌜sera⌝ \[t' = \bigl(bb' - (b'z+bz')\bigr) + 2zz' \qquad (= bb'-t)\]

139Il suffit de vérifier que l'on a bien \[tt' = b^2c' + b'^2c - 4cc'\] (ce qui exige […] $t+t'=bb'$). Vérification immédiate (il n'est pas besoin de la forme).

On peut l'écrire \[\boxed{\, t_{\varphi,\varphi'}(u,v) = \operatorname{Tr}(v)\varphi(u) + \operatorname{Tr}(u)\varphi'(v) - 2\varphi(u)\varphi'(v) \,}\] Or, on a là une forme bil. en $u$, $v$, qui pour $v=1$ se réduit : \[t(u,1) = 2\varphi(u) + \operatorname{Tr}(u) - 2\varphi(u) = \operatorname{Tr}(u)\] et de même pour $u=1$ […] \[t(u,1) = \operatorname{Tr} u , \qquad t(1,v) = \operatorname{Tr} v\] C'est donc un élément de $\underline{L}_P$ ! Soit \[t_{\varphi,\varphi'} \in \underline{L}_P\] Je dis que défini par $\varphi$, $\varphi'$. Je dis que \[\delta(t_{\varphi,\varphi'}) = 0\] Pour le voir, on peut faire le calcul avec une base […] $(1,u)$, $(1,v)$ telle que \[\varphi(u) = \varphi(v) = 0\] d'où $\det u = \det v = 0$ ⌜ou $c=c'=0$⌝ […] de $z^2-bz+c=0$, de sorte que maintenant \[t(u,v) = 0 .\] […] On va a l'identité […] \[\delta(u,v,t) = t^2 - bb't + (b^2c' + b'^2c - 4cc') = t(t-bb') \quad \text{car } c=c'=0\] […] donc en y faisant $t$ $t(u,v)=0$ on a bien une solution.

140Alors On peut bien définir ainsi \[X\times X' \longrightarrow X\wedge X' \qquad (\overset{\text{déf}}{=} \tilde{S})\] (car la définition précédente commute au chgt. de base).

Notons qu'on a dans $\underline{L}_P$ une involution canonique, \[T \longmapsto T'\] où \[T'(u,v) = T(u',v) = T(u,v')\] (Il faut prouver que l'on a bien \[\boxed{\, T(u',v) = T(u,v') \,} \overset{\text{déf}}{=} T'(u,v)\] pour […] forme $T\in\underline{L}_P$, alors on tenons des plongements $H,H'\subset A_T$, cela signifie simplement \[\operatorname{Tr}_{A_T}(u'v) = \operatorname{Tr}_{A_T}(uv')\] or le premier membre, compte tenu que $\operatorname{Tr}_{A_T}$ est invariant sous $'$, est aussi $\operatorname{Tr}_{A_T}((u'v)'=v'u)$ et $\operatorname{Tr} v'u = \operatorname{Tr} uv'$ OK.

On a donc \[(T')' = T ,\] et on voit aussitôt que la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.