Fonds Grothendieck, cote n° 83, pages 121–140

la page continue un argument commencé avant le lot : \delta,\delta', Q, \rho_0, b,b',c,c' et t sont introduits plus haut. ~~Quid P~~ deux sous-alg. étales (~~diagonales~~ stables) \overline{H}, \overline{H'} correspondant à l'inv. \rho_0. Quitte à faire une ext. quadratique (), on peut supposer \overline{H}\simeq H, \overline{H'}\simeq H', OPS ~~H = \overline{H}, H'~~ H, H'\subset A. Soit donc \tau = \operatorname{Tr} uv , si on avait t=\tau, on aurait fini.

On sait que \text{\struck{$b^2-4c$}}\ \frac{\delta\delta'}{Q(t)} = \frac{\delta\delta'}{Q(\tau)} \qquad (=\rho_0) donc Q(t) = Q(\tau) \qquad (=\sigma) ~~On encore, pour k corps alg. clos~~ R(T) = T^2 - bb'T + r où r = (b^2c'+b'^2c-4cc'-\sigma), t et \tau sont des solutions de l'équation R(T)=0. Si donc on avait \tau\neq t, on aurait t+\tau = bb' \qquad\text{donc}\qquad \tau = bb'-t . On considère u' = \operatorname{Tr} u.1 - u = b - u

On aura \operatorname{Tr} u' = \operatorname{Tr} u = b , \qquad \det u' = \det u = c \operatorname{Tr} u'v = \operatorname{Tr}(b-u)v = b\underbrace{\operatorname{Tr} v}_{b'} - \underbrace{\operatorname{Tr} uv}_{t} = bb' - t = \tau et on gagne, en remplaçant u par u'.

On a donc gagné dans le cas où on est sur un corps. On maintenant voir que l'on a une description canonique des (b,c,b',c',t) dans une alg. d'Azumaya, pourvu que, en regardant l'alg. M(b,c,b',c',t) définie par générateurs , d'une base formelle \underline{1},\ \underline{u},\ \underline{v},\ \underline{uv} et une multiplication explicite. Il resterait à prouver que celle-ci est d'Azumaya. Il suffit de le voir sur les fibres géométriques, on est ramené au cas d'un corps de base alg. clos. Mais là, l'argument … ce qui précède Attention ! il reste à vérifier les conditions d'associativité de M(b,c,b',c',t) les deux notes marginales sont écrites en biais dans la marge gauche ; on n'en lit que des fragments.

de fidélisabilité nous donne en même temps que A\simeq M(b,c,b',c',t), laquelle est donc bien Azumaya. On gagne !

Mais j'ai oublié de faire la vérification (sur le ~~alg~~ corps alg. clos) quand \delta\delta'=0, donc H ou H' est « unipotente » ( disons H'), i.e. ~~Considérons le discriminant de ce (comme sur k alg. clos) Q(t) longuement comme un polynôme en~~ H' = \text{\struck{\ill{}}}\ k[V]/V^2 ~~\subset A s.t.~~ V nilpotent i.e. \det V=0, \operatorname{Tr} V=0

La formulation qui suit montre que pour H, H' donnés, le problème de ~~problème de~~ fidélisabilité se dispose par des choix des éléments u\in H, v\in H' utilisés pour décrire faire des bases. ~~On peut donc~~ Il y a donc trois « cas types »

\delta et \delta' \neq 0 OPS u^2=u, v^2=v (idempotents) donc b=b'=1, c=c'=0 Q(t) = t^2 - t = (t-1)t \delta\neq0, \delta'=0 (ou l'inverse) OPS u^2=u, v^2=0, i.e. b=1, c=0, b'=0, c'=0 \delta=\delta'=0 OPS u^2=0, v^2=0, i.e. b=b'=c=c'=0

Dans les cas 2°) et 3°) et disons quand v^2=0, (sans condition sur u) on trouve Q(t) = t^2

Notre assertion de fidélisabilité « géom. » (sur k alg. clos) revient aux trois assertions suivantes

1°)Si t\in k ~~avec t\notin\{0,1\}~~, alors \exists projecteurs u, v (de rang 1) ~~en position générale~~ tels que \operatorname{Tr} uv = t [et si on suppose t\notin\{0,1\}, alors u, v seront en « position générale »] 2°)Si t\in k, alors \exists projecteur (rg 1) u, et v nilpotent \neq0, tels que \operatorname{Tr} uv = t (et si t\neq0, on aura u, v en pos. gén.) 3°)Si t\in k, alors \exists u, v nilp. \neq0, tels que \operatorname{Tr} uv = t (et si t\neq0, u, v sont en position générale)

Interprétant A=\operatorname{End}(V), V vect. de dim 2, on peut écrire dans tous les cas u = x'\otimes x , \qquad v = y'\otimes y \qquad\qquad x,y\in V,\ x',y'\in V^{\vee} donc u\circ v = \langle\text{\struck{$y$}},\text{\struck{$x'$}}\rangle\, \text{\struck{$y'$}}\otimes x t = \operatorname{Tr} uv = \langle x,y'\rangle\langle y,x'\rangle la formule pour u\circ v est surchargée et en partie biffée ; on ne lit pas sûrement les arguments retenus. ~~et il faut voir~~

Cas 1 \langle x,x'\rangle=1, \langle y,y'\rangle=1. On choisit base e_1,e_2 de V tel que x=e_1, x'=e_1'. Si les coeff. de y, y' sont (y_1,y_2), (y_1',y_2'), la relation \langle y,y'\rangle=1

s'écrit y_1y_1' + y_2y_2' = 1 et on a t = y_1y_1' ~~On peut prendre~~ Les relations deviennent ~~y_1=1, y_1'=t~~ et y_2, y_2' tels que y_2y_2'=1-t,les indices de cette dernière relation sont mal formés ; la lecture y_2y_2' est imposée par le système qui suit. \begin{cases} y_1y_1' = t \\ y_2y_2' = 1-t \end{cases} Si t\neq0,1 on peut choisir arbitrairement y_1,y_2 \in k^*, et prendre ~~y_1',y_2'~~ y_1' = t/y_1 , \qquad y_2' = \frac{1-t}{y_2} Si t=0, on a y_1y_1' = 0 , \qquad y_2y_2' = 1 donc familles de solutions : deux p.s. suivant que y_1=0 ou y_1'=0, et symétriques si t=1.

Cas 2 On peut prendre x=e_1, x'=e_1', relations y_1y_1' + y_2y_2' = 0 , \qquad t = y_1y_1' i.e. comme équations, en les y_i, y_i', \begin{cases} y_1y_1' = t \\ y_2y_2' = -t \end{cases}

Cas 3 On peut prendre x=e_1, x'=e_2'. On doit avoir \begin{cases} y_1y_1' + y_2y_2' = 0 \\ t = y_1'y_2 \end{cases} …

NB Finalement, on n'a pas eu besoin du de faire intervenir \rho dans la vérification, c'était une complication inutile.

Je vais reprendre la théorie précédente. Soient H, H' deux fibrés vectoriels de rang 2 ~~sur~~ k, munis d'une ~~forme q~~ structure de k-algèbre (assoc. commut.) d' H et H' formes tordues et tirons \Delta_H : H\to k , \qquad T_H : H\to k , \qquad \varepsilon_H : k\to H \Delta_{H'} : H'\to k , \qquad T_{H'} : H'\to k , \qquad \varepsilon_{H'} : k\to H' l'unité de ce qui a suivi, on n'aura pas besoin de la structure multiplicative, mais seulement des formes précédentes , seulement de T_H) La formule \varphi_{\Delta_H}(u,v) = \operatorname{Tr}(u)\operatorname{Tr}(v) - \underbrace{\operatorname{Tr}(uv)}_{\psi_H(u,v)} \varphi_{\Delta_H} = \varphi_H montre que la forme \operatorname{Tr}(uv) sur H s'exprime par la connaissance de N_H et T_H comme \operatorname{Tr}_H(uv) = T_H(u)T_H(v) - \varphi_{\Delta_H}(u,v) i.e. \varphi_H(u,v) + \psi_H(u,v) = T_H(u)T_H(v) \varepsilon_H(\lambda)=\lambda 1_H, \varepsilon_{H'}(\lambda) = \rho_0\lambda.1_{H'} …{} NB T_H se déduit de la donnée de 1_H\in H (i.e. \varepsilon_H) et de \Delta_H, comme T_H(u)=\varphi_H(u,1) , du fait que \Delta_H(1)=1 (cf. T(H)=2) hypothèse \forall u \varphi_H(1,u)=\psi_H(1,u) la note marginale est écrite en biais ; des traits la relient au texte. La lecture de \rho_0 dans la formule pour \varepsilon_{H'} est douteuse.

B = H \amalg_k H' = H\oplus H' / k(1_H \ominus 1_{H'}) après la barre de quotient, une première écriture du sous-module (k(1_H + 1_{H'}), semble-t-il) est biffée et récrite au-dessus. ainsi H et H' se réalisent comme sous-fibrés vect. de rg 2 de B, H\cap H' = k1_B , \qquad H+H' = B 1_B = 1_H = 1_{H'} \quad \text{\uncertain{i.e. image commune}} de 1_H et 1_{H'} ~~dans~~ B.

On considère ensuite P = H\otimes_k H' et les plongements

\begin{tikzcd} & P & \\ H \arrow[ur, "i_0"] & & H' \arrow[ul, "j_0"'] \end{tikzcd}

i(u) = u\otimes 1 , \qquad j(v) = 1\otimes v On peut considérer B comme un sous-fibré vectoriel de P, [i.e. conoyau k i(\lambda 1_H) = j(\lambda 1_{H'}) = \lambda\, \underbrace{1\otimes 1}_{\overset{\text{déf}}{=}\,1_P} ] de façon unique B\to P

\begin{tikzcd} & P & \\ & B \arrow[u] & \\ H \arrow[ur] \arrow[uur, "i_0"] & & H' \arrow[ul] \arrow[uul, "j_0"'] \end{tikzcd}

NB B \xrightarrow{T_B} k induisant T_H, T_{H'} cf. T_{H'}(1)=2 Mais \varepsilon_H, \varepsilon_{H'} \Delta_H(1)=\Delta_{H'}(1)=1 Attention ! structure d'algèbre les deux premières notes marginales sont écrites en biais dans la marge gauche, la troisième en bas à gauche.

Supposons maintenant que ~~H, H'~~ l'on se donne une alg. Azumaya A et des plongements

\begin{tikzcd} & A & \\ H \arrow[ur, "i"] & & H' \arrow[ul, "j"'] \end{tikzcd}

plus généralement, A dans une catégorie arbitraire fournissant H.C. d' \Delta_A, \operatorname{Tr}_A … On peut alors définir un homomorphisme de modules P \xrightarrow{\ f\ } A par la condition f(u\otimes v) = i(u).j(v) ~~ce qui induit et la donnée de~~ et on récupère i, j par i = f\circ i_0 , \qquad j = f\circ j_0 La donnée de i, j équivaut à la donnée de f, soumis à la condition que f|H et f|H' soient des hom. d'algèbres. On a alors

\begin{tikzcd} & A & \\ & P \arrow[u, "f"] & \\ & B \arrow[u] & \\ H \arrow[ur] & & H' \arrow[ul] \\ & k \arrow[ul, "\varepsilon_H"] \arrow[ur, "\varepsilon_{H'}"'] & \end{tikzcd}

Attention, on ne suppose pas que f soit un iso de Mod, i.e. que H, H' engendrent A comme algèbre

Cette situation permet de définir sur P

forme linéaire L_P = \operatorname{Tr}_A\circ f, qui prolonge T_B forme quadratique \Delta_P = \det_A\circ f forme bilinéaire sym. \psi_P polarisée de \Delta_P, \psi_P = \psi_A\circ f (où \psi_A est polarisée de \det_A) forme bilinéaire \varphi_P = \varphi_A\circ f

i.e. \varphi_P(U,V) = \operatorname{Tr}(f(U).f(V)) NB On a \varphi_P(U,V)+\psi_P(U,V) = L_P(U)L_P(V) et \varphi_P(1,U)=\psi_P(1,U)=L_P(U)

D'autre part, on peut restreindre ceci à B, d'où forme quadr. \Delta_B, forme bil. sym. \psi_B, \varphi_B.

En restreignant encore ces trois formes sur B à H, on trouve les trois formes dont H est déjà équipée, \Delta_H=\det_H, \psi_H = forme polarisée de \Delta_H, \varphi_H = ((u,v)\mapsto T_H(uv)), et itou pour H'.

On a d'autre part (1) \qquad \Delta_P(u\otimes v) = \Delta_H(u)\,\Delta_{H'}(v) On se donne H, H' comme ci-dessus.

Proposition (Considérons les quatre ensembles suivants :

\underline{Q}_P : ens. des formes quadratiques \Delta_P sur P satisfaisant (1) ci-dessus \underline{Q}_B : ens. des formes quadr. \Delta_B sur B prolongeant \Delta_H et \Delta_{H'} \underline{\Psi}_B : ens. des formes bil. sym. \psi_B/\Delta_B sur B qui prolongent \psi_H, \psi_{H'} \underline{\Phi}_B : ens. des formes bil. symétriques \varphi_B sur B

la liste se poursuit en haut de la p. 132.

2) ~~On voit que~~ Posons L = H/k \simeq B/H' , \qquad L' = H'/k \simeq B/H ~~et considérons une forme~~ \text{\struck{$\lambda : L\otimes L' \to k$}} ~~Si \Delta_B\in\underline{Q}_B, on peut définir~~ ces trois lignes sont barrées d'un trait ondulé. On a (L\otimes L')^{\vee} \simeq \text{Esp. des formes bil. \add{sym.} sur $B$ nulles sur $H'$ \struck{\ill{}} et $H$ \struck{\ill{}}} i.e. qui passent au quotient B/k\simeq L\oplus L' et qui sont nulles sur L et sur L', donc de la forme \bigl((x,y),(\xi,\eta)\bigr) \longmapsto \lambda(x\otimes\eta) + \lambda(\xi\otimes y) \qquad x,\xi\in L,\ y,\eta\in L' avec \lambda : L\otimes L'\to k. car B = H+H'

Donc \underline{\Psi}_B est un torseur sous (L\otimes L')^{\vee}, et de même \underline{\Phi}_B. Itou pour \Delta_B, car (L\otimes L')^{\vee} \simeq \text{formes quadratiques sur $B$ qui sont nulles sur $H$, $H'$} (donc passent au quotient B/k\simeq L\oplus L' en des formes quadratiques nulles ~~sur L, L', donc de la forme~~ \Delta(x\oplus y) = \lambda(x\otimes y)). Les applications \beta, \gamma sont compatibles avec ces structures de torseurs. Cela suffit : comme quelles sont iso.

qui prolongent \varphi_H, \varphi_{H'} ; \underline{L}_P :Ens. des formes lin. sur P qui prolongent T_B

On a des flèches canoniques au-dessus du diagramme, une première version (avec \underline{\Phi}_P, \underline{L}_P, \underline{\Phi}_B) est raturée.

\begin{tikzcd} \underline{Q}_P \arrow[r, "\alpha"] \arrow[dr, "\delta"'] & \underline{Q}_B \arrow[r, "\beta"] & \underline{\Psi}_B \arrow[r, "\gamma"] & \underline{\Phi}_B \arrow[dll] \\ & \underline{L}_P & & \end{tikzcd}

que voici : \alpha est la restriction \alpha(\Delta_P) = \Delta_P\circ\alpha,lecture de la formule douteuse : il faut sans doute entendre la restriction de \Delta_P à B. \beta associe à la forme \Delta_B\in\underline{Q}_B la forme bil. sym. associée \psi_B, on définit \gamma par la formule \underbrace{\gamma(\psi)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \varphi_B} + \psi_B = \bigl((u,v)\longmapsto T_B(u)\,T_B(v)\bigr) on définit \delta par \delta(\Delta_P) = \{ u \longmapsto \varphi_{\Delta_P}(u,1_P) \} Ceci dit, les quatre applications \alpha, \beta, \gamma, \delta sont bijectives.

Remarques 1) Pour définir les cinq ensembles \underline{Q}_P, \underline{L}_P, \underline{Q}_B, \underline{\Psi}_B, \underline{\Phi}_B, et les applications \alpha, \beta, \gamma, \delta, on n'a utilisé sur H, H' que la donnée de \Delta_H, \Delta_{H'} et 1_H, 1_{H'} (\to T_H, T_{H'}, cf. ) satisfaisant \Delta_H(1_H) = \Delta_{H'}(1_{H'}) = 1 . On définit \zeta : ainsi : \underline{L}_P s'identifie aux formes bilin. sur H\times H' telles que leurs restrictions à 1\times H' et à H\times1 soient données par T_{H'} et T_H. À \varphi_B on associe \zeta(\varphi_B) : (u,v)\mapsto\varphi_B(u,v). C'est encore un iso de torseurs sous (L\otimes L')^{\vee}, donc iso.

le haut de la page achève l'énoncé du lemme qui termine la p. 134 (« … \to \underline{\mathrm{Hom}}(\det\check{H},\det H') ») ; la p. 134 semble donc se lire entre les pp. 132 et 133, et la fin de la présente page (« un sixième ensemble ») se poursuit en p. 135. \simeq (\det H)\otimes\det(H'). Cette fonction quadratique est universelle, pour les fonctions quadratiques P \xrightarrow{\ q\ } Q telles que q(x\otimes y) = 0 \qquad \forall x,y \in P .

Ceci nous montre (~~que,~~ grâce à ~~\underline{Q}_P~~ la situation précédente) que si \underline{Q}_P n'est pas vide, c'est un torseur sous (L\otimes L')^{\vee}. Il faut vérifier que \alpha, \delta sont compatibles aux structures torseurs — moyennant quoi on voit que c'est des iso.

Pour vérifier que \underline{Q}_P n'est pas vide, on prend sur P la structure ~~tensorielle~~ d'alg. produit de celles de H, H', ~~et la forme~~ donnée de H.C., dont la fonction dét fait l'affaire. ce paragraphe est barré de traits croisés. On peut utiliser la construction des algèbres M(b,c,b',c',t). Cela nous fait songer à un sixième ensemble

en fait, comme on a H\to L , \qquad H'\to L' on en déduit P \overset{\text{déf}}{=} H\otimes H' \longrightarrow L\otimes L' \quad \text{\uncertain{épi}} nul sur 1\otimes H' et sur H\otimes 1, donc sur B, d'où une suite exacte 0 \to B \to P \to L\otimes L' \to 0 ~~Ceci dit~~ Ainsi les formes linéaires T_P sur P dont la restr. à B est T_B, forment \underline{L}_P un torseur sous (L\otimes L')^{\vee}. L'application \zeta : \underline{\Phi}_B \Longrightarrow \underline{L}_P \varphi_B \longmapsto \bigl( x\otimes y \mapsto \varphi_B(x,y) \bigr) est compatible avec les opérations de (L\otimes L')^{\vee}. Donc \zeta est iso. i.e. les formes bil. H\times H'\to k telles que f(u,1)=T_H(u), f(1,v)=T_{H'}(v)

Notons le Lemme Soient H, H' deux modules localement libres de rang 2 sur k, P\simeq H\otimes H'. On définit une fonction quadratique canonique P \xrightarrow{\ \Delta_{H,H'}\ } \det H \otimes \det H' en interprétant P \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\check{H},H') \to \underline{\mathrm{Hom}}(\det\check{H},\det H')

AZ_P = structures de k-algèbre de H.C. sur P=H\otimes H', induisant sur 1\otimes H' et H\otimes1 les structures d'alg. données.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}] AZ_P \arrow[r] \arrow[drr, "\alpha\mapsto\operatorname{Tr}_\alpha"'] & \underline{Q}_P \arrow[r] \arrow[dr, dashed] & \underline{Q}_B \arrow[r] & \underline{\Psi}_B \arrow[r] & \underline{\Phi}_B \arrow[dll, "{\varphi\mapsto(x\otimes y\mapsto\varphi(x,y))}"] \\ & & \underline{L}_P & & \end{tikzcd}

étiquettes des flèches de la ligne du haut, de gauche à droite : \alpha\mapsto\det_\alpha ; \Delta_P\mapsto\Delta_P|B ; \Delta_B\mapsto\psi_{\Delta_B} ; \varphi\mapsto\psi t.q. \varphi+\psi=T_B\otimes T_B. La flèche en tirets \underline{Q}_P\to\underline{L}_P porte \Delta_P\mapsto(U\mapsto\psi_{\Delta_P}(1,U)), avec un mot illisible ; dans la dernière étiquette, x\in H, y\in H'.

La commutativité du triangle total est immédiate, ainsi que celle des entraîne celle du triangle de gauche, donc celle du triangle de droite (qui n'était pas évidente ainsi).

~~L'on~~ On aurait pu aussi introduire \underline{\Psi}_P et \underline{\Phi}_P (on les définirait comme ci-dessus) mais passons ! Parmi les 6 ens., celui qui est de description alg. la plus simple est \underline{L}_P \subset \mathrm{Bil}(H,H';k) . On va dire T_P\in\underline{L}_P un twist des algèbres quadratiques H, H'. L'objet le plus ~~fondamental~~ toutefois est la structure d'alg. de H.C. sur P = H\otimes H', C'est défini en termes de H, H' munis de T_H, T_{H'} et de 1_H, 1_{H'}, (à l'exclusion de la donnée de \Delta_H, \Delta_{H'})

qui donne aussitôt les structures \Delta_P,\ T_P,\ \varphi_P,\ \psi_P,\ \Delta_B,\ \psi_B,\ \varphi_B

Th. récapitulatif ① Les flèches du diagramme de la p. précédente sont bijectives, le diagramme est commutatif, et les 5 flèches qui en sont issues de la source AZ_P sont compatibles avec les structures de torseur sous (L\otimes L')^{\vee}.

② Pour qu'une structure d'alg. sur P associée à un twist en fasse une alg. d'Azumaya, il faut et il suffit que la forme \Delta_B sur B soit non dégénérée, i.e. que son discriminant \operatorname{disc}'(\Delta_B) \in (\det B)^{\otimes-2} = (L\otimes L')^{\otimes-2} soit inversible.

③ L'application \underline{L}_P \xrightarrow{\ \delta_{P,B}\ } (L\otimes L')^{\otimes-2} sous la flèche : « discriminant divisé de la forme quad. sur B associée à un twist ». est une application ~~quadratique~~ pol. de degré 2 cette définition 1_H, 1_{H'}, T_H, T_{H'} applications, mais \delta fait appel à \Delta_H, \Delta_{H'} ?

dont la forme quadratique associée \underbrace{(L\otimes L')^{-1}}_{\text{esp. des translations de } \underline{L}_P} \longrightarrow (L\otimes L')^{-2} au-dessus de la flèche, un « \delta_{P,B} » est raturé. est l'élévation au carré (donc \delta_{P,B} est ~~après passage à~~ un morphisme fini surjectif de degré 2).

Prenons l'image inverse de la section nulle, c'est un schéma quadratique ~~fini~~ sur S=\operatorname{Spec} k (donc défini par qui est défini par une alg. quadratique k'), cela dit, il y a un morphisme canonique \boxed{\, X\times_S X' \xrightarrow{\ \alpha\ } \tilde{S} \,} ~~tel que~~ tel que \alpha(\bar{x},x') = \alpha(x,\bar{x}') = \overline{\alpha(x,x')} (où x\mapsto\bar{x} etc. désignent les inv. canoniques) d'où pour X, X' étales (car) \tilde{S} est étale d' produit contracté des (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S-torseurs X\wedge_S X' \longrightarrow S , ~~défini~~ hom. de (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S-torseurs, donc iso. X, X' des S définis par H, H' ; posé \tilde{S} = X\wedge X'

Il faut définir l'application \alpha. Soient \varphi : H\to k , \qquad \varphi' : H'\to k ~~deux hom. d'alg., considérons la forme~~ \text{\struck{$\varphi\otimes\varphi' : H\otimes H' = P\to k \qquad u\otimes v\mapsto \varphi(u)\varphi'(v)$}}

Choisissons bases (1,u) dans H, (1,v) dans H' (d'où b,c,b',c'), \varphi et \varphi' sont données par \varphi(u) = z , \qquad \varphi'(v) = z' avec z\in k z^2 - bz + c = 0 \qquad z'^2 - b'z' + c' = 0 , et on cherche t solution de t^2 - bb't + (b^2b' + b'^2b - 4cc') = 0 . sic : le terme constant est écrit b^2b'+b'^2b-4cc' ; la ligne suivante et la p. 139 portent b^2c'+b'^2c-4cc'. Mais le discriminant de cette équation est \Delta = (bb')^2 - 4(b^2c' + b'^2c - 4cc') = \underbrace{(b^2-4c)}_{\delta}\,\underbrace{(b'^2-4c')}_{\delta'} Or les formules heuristiques (valables sur un corps de car \neq2) 2z = b\pm\sqrt{\delta} , \qquad 2z' = b'\pm\sqrt{\delta'} ~~donc~~ \delta = (2z-b)^2 \qquad \delta' = (2z'-b)^2 sic (2z'-b)^2 pour (2z'-b')^2. (vrai sans condition corps ou car. ) et les solutions de l'équation en t devraient satisfaire (sur corps car \neq2) \tfrac14 (2t-bb')^2 = \Delta = \delta\delta' = \bigl((2z-b)(2z'-b')\bigr)^2 donc on peut ~~poser~~ supposer 2t - bb' = \pm(2z-b)(2z'-b') soit 2t = bb' \pm (2z-b)(2z'-b') . Choisissant le \pm, on trouve 2t = -4zz' + 2(b'z+bz') soit \boxed{\, t = (b'z+bz') - 2zz' \,} l'autre racine sera t' = \bigl(bb' - (b'z+bz')\bigr) + 2zz' \qquad (= bb'-t)

Il suffit de vérifier que l'on a bien tt' = b^2c' + b'^2c - 4cc' (ce qui exige t+t'=bb'). Vérification immédiate (il n'est pas besoin de la forme).

On peut l'écrire \boxed{\, t_{\varphi,\varphi'}(u,v) = \operatorname{Tr}(v)\varphi(u) + \operatorname{Tr}(u)\varphi'(v) - 2\varphi(u)\varphi'(v) \,} Or, on a là une forme bil. en u, v, qui pour v=1 se réduit : t(u,1) = 2\varphi(u) + \operatorname{Tr}(u) - 2\varphi(u) = \operatorname{Tr}(u) et de même pour u=1 t(u,1) = \operatorname{Tr} u , \qquad t(1,v) = \operatorname{Tr} v C'est donc un élément de \underline{L}_P ! Soit t_{\varphi,\varphi'} \in \underline{L}_P ~~Je dis que~~ défini par \varphi, \varphi'. Je dis que \delta(t_{\varphi,\varphi'}) = 0 Pour le voir, on peut faire le calcul avec une base (1,u), (1,v) telle que \varphi(u) = \varphi(v) = 0 d'où \det u = \det v = 0 ou c=c'=0 de z^2-bz+c=0, de sorte que maintenant t(u,v) = 0 . On va a l'identité \delta(u,v,t) = t^2 - bb't + (b^2c' + b'^2c - 4cc') = t(t-bb') \quad \text{car } c=c'=0 donc en y ~~faisant t~~ t(u,v)=0 on a bien une solution.

~~Alors~~ On peut bien définir ainsi X\times X' \longrightarrow X\wedge X' \qquad (\overset{\text{déf}}{=} \tilde{S}) (car la définition précédente commute au chgt. de base).

Notons qu'on a dans \underline{L}_P une involution canonique, T \longmapsto T' où T'(u,v) = T(u',v) = T(u,v') (Il faut prouver que l'on a bien \boxed{\, T(u',v) = T(u,v') \,} \overset{\text{déf}}{=} T'(u,v) pour forme T\in\underline{L}_P, ~~alors on~~ tenons des plongements H,H'\subset A_T, cela signifie simplement \operatorname{Tr}_{A_T}(u'v) = \operatorname{Tr}_{A_T}(uv') or le premier membre, compte tenu que \operatorname{Tr}_{A_T} est invariant sous ', est aussi \operatorname{Tr}_{A_T}((u'v)'=v'u) et \operatorname{Tr} v'u = \operatorname{Tr} uv' OK.

On a donc (T')' = T , et on voit aussitôt que la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.