Cote n° 83, pages 81–100

Cote n° 83 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

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81L'argument vient de la page précédente, hors du lot : les relations (1), (2), (3) (Hamilton–Cayley, « H.C. ») et la numérotation des formules y ont été posées. de la première des relations \[(5)\qquad \begin{cases} \operatorname{Tr} 1 = 2 \\ \det 1 = 1 \end{cases}\] ⌜Dont la 2°⌝ lesquelles se déduit […] de (2) en y faisant $u=1$ (et $\det 1 = 1$ est donné comme connu).

En polarisant (2), on trouve pour $u, v \in A$ (tenant compte de (3)) \[(6)\qquad uv + vu - (\operatorname{Tr} u)v - \operatorname{Tr}(v)u + \bigl(\operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v - \operatorname{Tr}(uv)\bigr)1 = 0\] soit \[(6')\qquad uv + vu = \operatorname{Tr}(v)u + (\operatorname{Tr} u)v + \bigl(\operatorname{Tr}(uv) - \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v\bigr)1 .\] la page porte, en travers de (6) et (6'), plusieurs lignes obliques serrées que la lecture ne démêle pas ; on y lit « (6') résulte de […] », « NB Cette relation […] », « identité », « (2), (3), (6) », et un renvoi « (6'') ». La ligne biffée qui suit (6') commence par On peut déduire. […] $(6'')$ […]

$k.1 + ku + kv + \ill{}$ […] opposé opposé […] $kl + ku + kv$.

Proposition. Soit Soit $A$ […] (1) (2) (3) (donc (6')). Alors $\forall u, v \in A$, $k + ku + kv + k.uv$ le sous-module engendré par $1, u, v, uv$ est une sous-algèbre.

Il suffit de voir que le produit de

82deux éléments parmi les éléments $1, u, v, uv$ est dans ce sous-module. Il suffit de le voir pour deux tels éléments distincts de $1$. On […] suit un tableau biffé : $u.u = \det(u)1 + (\operatorname{Tr} u)u + \ldots$, $u.v = 0.1 + 0.u + 0.v + 1uv$, $u.uv = \ldots$

\[u^2,\ v^2,\ uvuv,\ uv,\ u^2v,\ vu,\ vuv,\ uvu,\ uv^2\] Or \[\begin{aligned} u^2 &= \operatorname{Tr}(u).u - \det(u).1 && \text{(2) pour } u\\ v^2 &= \operatorname{Tr}(v).v - \det(v).1 && \text{(2) pour } v\\ uv &= 1.uv && \text{tautol.}\\ vu &= -1.uv + \operatorname{Tr}(v)u + \operatorname{Tr}(u)v + \bigl(\operatorname{Tr}(uv) - \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v\bigr)1 && \text{(relation (6'))} \end{aligned}\]

Ce sous-module $V$ est stable par multiplication ⌜à gauche⌝ par $1, u, v$, $uv$ […] […] […] $uv$, et (compte 1). Donc il suffit de voir que $ux, vx \in V$, si $x \in V$. Il suffit de prendre pour $x$ un des générateurs $1, u, v, uv$. Le cas $1$ étant trivial, il reste \[u^2,\ uv,\ u^2v,\ vu,\ v^2,\ vuv = \struck{\ill{}}\,(vu)v .\] Pour $u^2, v^2$ on utilise H.C. (3), pour $uv$ c'est tautologique, pour $u^2v$ cela résulte de l'expression de $u^2$ (H.C.), pour $vu$ on utilise (6'), qui s'écrit \[\text{\struck{$vu = \ill{} + \operatorname{Tr}(v).u +$}}\] \[(6'')\qquad vu = \bigl(\operatorname{Tr}(uv) - \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v\bigr)1 + \operatorname{Tr}(v)u + \operatorname{Tr}(u)v - uv .\] Enfin pour […] $vuv = (vu)v$, on multiplie la relation (6'') à droite par $v$, on utilise H.C. pour $v$ (pour se débarrasser des termes en $v^2$).

83Finalement, on trouve une « table de multiplication » pour une $k$-algèbre libre de rang 4 (dont $V$ sera quotient) en termes de 5 éléments de $k$ \[(7)\qquad \begin{cases} b = \operatorname{Tr} u,\ c = \det u \\ b' = \operatorname{Tr} v,\ c' = \det v \\ t = \operatorname{Tr}(uv) \end{cases}\] (permet de décrire $k[u] = k[T]/(T^2 - bT + c)$ (si $k \cap k.u = \{0\}$)) (id pour $k[v]$)

avec comme base $1, u, v, uv$ (les analogues qu'on considère étant de la nouvelle algèbre). On appelle cette algèbre \[(8)\qquad M(b, c;\, b', c';\, t) .\] On vérifie qu'elle existe (i.e. indépendamment de la donnée du (7)) pour toute la donnée […] \[(9)\qquad (b, c, b', c', t) \in k^5 .\] En fait, on a une alg. universelle sur \[\mathbf{Z}[B, C, B', C', T]\] où $B, C, B', C', T$ sont des indéterminées.

Vérification. On écrit une table de multiplication explicite en utilisant H.C. pour $u$ et $v$ et (6) alias (6') (pour $(u, v)$),

84et on vérifie l'associativité. De plus, on prolonge $\operatorname{Tr}$ à $V$ par linéarité, et $\det$, pour d'abord sur $\underbrace{k[u]}_{A_1} \subset M$ et $\underbrace{k[v]}_{A_2} \subset M$ (où c'est la norme $\det(u)'$ des algèbres quadratiques, $\operatorname{Tr}$ y étant la trace) puis sur \[M = k[u] \oplus k[v]\] au-dessus et à côté de cette égalité : « iso » et « (à cause des […] identité) », qu'on ne démêle pas. par \[(10)\qquad \det(u_1 + v_1) = \underbrace{\det u_1}_{N_{A_1/k}(u_1)} + \underbrace{\det v_1}_{N_{A_2/k}(v_1)} + \operatorname{Tr} u_1 \operatorname{Tr} v_1 - \operatorname{Tr}(u_1v_1)\] le premier terme est écrit $\det(x_1 + v_1)$ sur la page, avec une surcharge ; on lit $u_1$ par la suite de la formule.

Ceci dit, on « vérifie » […] que $\det$ est quadratique et multiplicative, que l'on a la relation de Hamilton–Cayley et les relations (3).

En fait, je n'ai pas eu à faire la vérification, car je sais il suffit de le faire (par principe de prolongement des id. alg.) pour un sur un […] […] dense, […] […] \[\delta \overset{\text{déf}}{=} b^2 - 4c \text{ inv.}, \qquad \delta' \overset{\text{déf}}{=} b'^2 - 4c' \text{ inv.}\] (i.e. $A_1, A_2$ étales sur $k$), et on voit ⌜pour $b, c, b', c'$ donnés, ainsi,⌝ que l'on peut réaliser (pour alors (pour […] la répartition $(b, c$

85la répartition $(b, c, b', c', t)$ « pour presque tout $t$ » ⌜et toute $c$⌝ ⌜par deux éléments $u, v$⌝ donnant l'alg. de Matrices ⌜$M = M_2(k)$⌝. En effet, pour […] […] $u, v$ on localise pour que $A_1, A_2$ soient diagonalisables ($\simeq k \times k$), on réalise comme sous-algèbres de […] […], […] […] de […] pour plonger les $A$, i.e. par $u \in A$, $v \in A$.

Bien sûr, on n'a […] pu […] pu préjuger de la valeur de $\operatorname{Tr} uv$. Mais considérons, pour

Lemme. Soient $u, v \in A$ ($\simeq M_2(k)$) qui […] engendrent $k[u]$, $k[v]$ étales de rang 2 sur $\operatorname{Spec} k$. Considérons pour $\Theta$ variable dans $A^*$ \[\operatorname{Tr}(u\Theta(v)), \qquad \Theta(v) \overset{\text{déf}}{=} \Theta v \Theta^{-1} .\] On trouve un morphisme de schémas \[\check{\mathbb{V}}(A) \longrightarrow \mathbb{E}^1_k \;(= \operatorname{Spec} k[T])\] dominant. NB $\Theta \mapsto \Theta(v)$, […] […] […] $u, v$ […]

En fait, on trouve une fonction rationnelle en $b, c, b', c', t$, […] […] discriminant $\ldots t^2 - 4cc'$ ($= \operatorname{Tr}(uv)^2 - 4\det uv = \delta(uv)$, discriminant de $uv$)

86(invariant anharmonique de $k[u]$ et $k[v]$ dans alg. d'Azumaya) de \[\rho = f(b, c, b', c';\, t) = \frac{P(b, c, b', c', t)}{Q(\ldots)}\] telles que la condition nécessaire et suffisante pour que […] $b, c, b', c', t$ ⌜se réalisent⌝ soit dans […] d'Azumaya, […] que (en supposant $\delta\delta'$ inversibles), c'est que $\rho \neq 2$ ⌜partout⌝, i.e. \[P - 2Q \neq 2 \qquad \text{\uncertain{partout}}\] ainsi sur la page ; on attend $P - 2Q$ partout inversible.

En fait, quand ils sont réalisés dans alg. d'Azumaya, ils définissent ils définissent deux des chacun un diviseur de degré 2, […] dans les schémas projectifs associés à $A$, et si leurs supports sont disjoints, il y a un invariant anharmonique $\lambda$ qui n'est défini que modulo l'involution $\lambda \mapsto \lambda^{-1}$ (défini […]) \[\Bigl(\rho = \lambda + \text{\struck{$\ill{}$}}\,\lambda^{-1} \qquad \text{d'où} \quad \lambda^2 - \rho\lambda + 1 = 0\] (et comme $\lambda \neq 0, 1$, on dira […] $\rho \neq 2$ …

87J'ai fait le calcul de $\rho$ en termes de $b, c, b', c', t$) dans le cas où $b = \operatorname{Tr} u$ et $b' = \operatorname{Tr} v$ sont nuls, on trouve (supposant que $u, v$ plongés dans $A$, et Alg. d'Az.). On trouve donc \[\rho = 2\,\frac{t^2 + 4cc'}{t^2 - 4cc'} \qquad\Bigl|\qquad \begin{gathered}\text{NB } t^2 - 4cc' = \delta(uv)\\ \text{si } b = b' = 0, \text{ discriminant de } uv\end{gathered}\] d'où \[\frac{\rho}{2} - 1 = 8\,\frac{cc'}{t^2 - 4cc'} .\] On en déduit le cas général [Il suffit de le faire sur $\mathbf{Z}[\tfrac12][B, C, B', C', T]$]. On trouve \[(11)\qquad \rho = 2\,\frac{(2t - bb')^2 + \delta(u)\delta(v)}{(2t - bb')^2 - \delta(u)\delta(v)}\] \[= \frac{2t^2 - 2bb't + \bigl(b^2b'^2 - 2(b^2c' + b'^2c) + 8cc'\bigr)}{t^2 - bb't + (b^2c' + b'^2c - 4cc')}\] sous $\rho$, une flèche vers « $\delta u$ si 2 inv. dans $k$ » ; sous le signe $=$, « $\delta h$ […] […] ».

[En car. 2, cela donne \[\rho = \frac{(bb')^2}{t^2 - bb't + (b^2c' + b'^2c)} \; .]\]

\[(**)\qquad \rho_0 = \rho - 2 = \frac{b^2b'^2 - 4(b^2c' + b'^2c) + 16cc'}{t^2 - bb't + (b^2c' + b'^2c - 4cc')} = \frac{A(b, b', c, c')}{B(t; b, b', c, c')}\] invariant anh. rectifié (pour $\rho_0$)

Donc \[\rho\, B(t; b, b', c, c') - A(b, b', c, c') = 0\] ainsi sur la page ($\rho$ et non $\rho_0$) ; le numéro $(**)$ surcharge un autre numéro.

88$A_1$ et $A_2$ ⌜diagonales⌝ engendrant $M_2$. Cela se voit au moins loc. supposé (en prenant à la solution rac. des solutions de \[\lambda^2 - \rho\lambda + 1 = 0 \qquad \text{\struck{\ill{}}}\] d'abord posé, à cause de $b^2 - 4c$ […], on peut trouver loc. supposé (prenant au rac. des solutions de $x^2 - bx + c = 0$), $u$ dans $A_1$ correspondant : \[\operatorname{Tr} u = b, \quad \det u = c\] et item $v$ dans $A_2$ \[\operatorname{Tr} v = b', \quad \det v = c' .\] Soit […] \[\tau = \operatorname{Tr} uv\] alors $\tau$ satisfait la relation analogue à (11') avec $t$ remplacé par $\tau$.

Or on trouve qu'⌜une⌝ équation en $t$ \[t^2 - bb't + \Bigl(b^2c' + b'^2c - 4cc' - \frac{\delta\delta'}{\rho_0}\Bigr)\] (où $\delta = b^2 - 4c$, $\delta' = b'^2 - 4c'$), il y a […] juste (sur un corps) au plus 2 solutions, disons $t, t'$ (éventuellement égales) satisfaisant \[t + t' = bb' \qquad (\tau = t') .\] Si $t = \tau$, on a gagné. Sinon, on remplace $u$ par

89cette page ne continue pas la phrase de la page 88 (« on remplace $u$ par … »), dont la suite est en haut de la page 90 ; elle reprend (11') et énonce la proposition qui en sort. \[(11')\qquad \begin{cases} \rho_0 = \rho - 2 = \dfrac{\delta\,\delta'}{t^2 - bb't + (\delta c' + \delta'c + 4cc')}\\[2ex] \phantom{\rho_0 = \rho - 2} = \dfrac{(b^2 - 4c)(b'^2 - 4c')}{\underbrace{t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc'}_{Q\,=\,Q(t;\, b, b', c, c')}} \end{cases}\] où $\delta = \delta(u) = b^2 - 4c$, $\delta' = \delta(v) = b'^2 - 4c'$. au numérateur de la première ligne, deux arguments de $\delta$ et $\delta'$ sont noircis ; le $4cc'$ du dénominateur surcharge un autre symbole.

On trouve donc :

Proposition. Soient $k$ un anneau, et $b, c, b', c', t \in k$, tels que \[(b^2 - 4c)(b'^2 - 4c')(t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc')\] soit inv. dans $k$. Alors $M[b, c, b', c', t]$ est une alg. d'Azumaya ⌜déf.⌝ (et $k[\underline{u}]$, $k[\underline{v}]$ en sont des sous-algèbres quadratiques étales, i.e. engendrant la conclusion « en position générale »), […] dont les éléments […] sont […], algèbre associative et satisfaisant les relations (2) (3) pour $\operatorname{Tr}$, $\det$ définis comme plus haut…

OPS $k$ corps […], […] […] des alg. […] étendons […] […] Dém. On regarde $\rho_0$ comme défini plus […] par (11'). Comme $\rho_0$ $\neq 0$ […] i.e. $\rho$ partout $\neq 2$, cela correspond à une position relative […] […] $\mathrm{SL}(2)$ (ou du […] […]) des tores des […] alg. quadratiques étales $A_1, A_2$ dans […] […] $M_2$) […] position générale. — Cela signifie aussi que

90suite de la fin de la page 88. \[u' = (\operatorname{Tr} u)1 - u = b.1 - u \qquad \begin{cases} \operatorname{Tr} u' = \operatorname{Tr} u \\ \det u' = \det u \end{cases}\] alors \[t' = \operatorname{Tr} u'v = \operatorname{Tr}\bigl((b - u)v\bigr) = b\operatorname{Tr}(v) - \operatorname{Tr}(uv) = bb' - \tau\] donc […] $t' = t$, on gagne !

Que se passe-t-il si \[(12_1)\qquad (b^2 - 4c)(b'^2 - 4c') \in k^*\] mais ⌜et⌝ si $M(b, c, b', c';\, t)$ est azumayenne, je dis que \[(12_2)\qquad \underbrace{t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc'}_{Q(t;\, b, c, b', c')} \in k^* \;?\] Je dis que dans $M(b, c, b', c';\, t)$ […] […] azumayenne. En effet, s'il était comme $A_1 = k[\underline{u}]$ et $A_2 = k[\underline{v}]$ […] sont étales, et en position générale, il y aurait par la théorie la formule générale un invariant $\rho_0$, relié à $b, c, b', c', t$ par (11'), i.e. \[\text{\struck{$\rho_0(t^2 - bb't$}} \quad \rho_0\, Q = \delta\delta'\] comme $\delta\delta' \in k^*$, on aura $Q \in k^*$.

Remarque. Le discriminant de $Q$ (en tant que polynôme en $t$) est

91\[\Delta(Q) = (bb')^2 - 4(b^2c' + b'^2c - 4cc')\] On trouve \[(13)\qquad \Delta(Q) = (b^2 - 4c)(b'^2 - 4c') = \delta\delta'\] donc en fait, si […] comme […] […] $\delta\delta' \in k^*$, donc $\Delta(Q) \in k^*$ (supposé), i.e. « racines distinctes ». Cela signifie aussi que \[\text{\struck{$t \neq bb' - t$ \ i.e. \ $2t \neq bb'$}}\] $2\operatorname{Tr}(uv) =$ \[(14)\qquad \delta\delta' \in k^* \Longrightarrow 2t \neq bb' \ \text{\struck{\uncertain{pour tout} $t$}} \qquad \text{i.e. } 2t - bb' \in k^*\] la ligne biffée et l'implication sont reliées par des traits ; on lit l'implication comme son remplacement.

[…] Le rev. des solutions de \[Q(t;\, b, c, b', c') = 0\] (en $t$, pour $b, c, b', c'$ fixés) est étale (quadratique) sur $S = \operatorname{Spec} k$.

Cor. (?) Soient $u, v$ dans ⌜une⌝ alg. d'Azumaya $A$ ⌜(de rang 4)⌝, tels que $\delta(u), \delta(v) \in k^*$, […] et $u, v$ partout linéairement indép. mod $1$. tels que Si $Q(u, v) = Q(t;\, b, c, b', c') = 0$, alors il […] […] […] […]. Absurde, […] […] donc […] […] […] le corollaire, la marge oblique et la ligne biffée qui suit sont en partie barrés.

$u, v$ appartiennent Tels que $u, v$ appartiennent à une […] sous-alg. de Borel (qui n'est autre alors que $k \oplus ku \oplus kv$) […] $uv \in k.1 + ku + kv$ …

92\[\begin{array}{c|c|cccc} & 1 & \underline{u} & \underline{v} & \underline{uv}\\ \hline \underline{1} & \underline{1} & \underline{u} & \underline{v} & \underline{uv}\\ \underline{u} & \underline{u} & -c + b\underline{u} & \underline{uv} & -c\underline{v} + b\underline{uv}\\ \underline{v} & \underline{v} & (t - bb')\underline{1} + b'\underline{u} + b\underline{v} - \underline{uv} & -c'\underline{1} + b'\underline{v} & -bc'\underline{1} + c'\underline{u} + t\underline{v}\\ \underline{uv} & \underline{uv} & -b'c\underline{1} + t\underline{u} + c\underline{v} & -c'\underline{u} + b'\underline{uv} & t\underline{uv} - cc' \end{array}\] table de multiplication de $M(b, c;\, b', c';\, t)$ dans la base $1, u, v, uv$ (facteur de gauche en ligne).

En prenant les traces, on a la matrice une première matrice, à moitié remplie et en partie noircie, est barrée de traits obliques ; on en lit la première colonne $2, b, b', t$, la première ligne $2, b, b', t$, et $-2c + b^2$, $-2c' + b'^2$, $-b'c + bt$, $-bc' + b't$, $t^2 - cc'$. Elle est reprise proprement ci-dessous. \[\begin{pmatrix} 2 & b & b' & t\\ b & b^2 - 2c & t & bt - b'c\\ b' & t & b'^2 - 2c' & b't - bc'\\ t & bt - b'c & b't - bc' & t^2 - cc' \end{pmatrix}\] dét. de $\alpha, \beta \mapsto \operatorname{Tr}(\alpha\beta)$ (par rapport à la base $1, u, v, uv$) l'élément en bas à droite est écrit $t^2 - cc'$ ; on attendrait $\operatorname{Tr}((uv)^2) = t^2 - 2cc'$. \[\begin{pmatrix} 4 & 2b & 2b'\\ 2b & b^2 & bb'\\ 2b' & bb' & b'^2 \end{pmatrix}\] dét. de $\alpha, \beta \mapsto \operatorname{Tr}(\alpha)\operatorname{Tr}(\beta)$ le « 4 » surcharge un autre chiffre ; la matrice n'est pas complétée.

94Il faudrait prouver que si l'on suppose qu'il y a une $\Theta \in k.1 \oplus ku \oplus kv$, partout non nulle, qui est orthogonale à $1, u, v$ — il faut des calculs (pour $\operatorname{Tr}(xy)$). déterminant Le discriminant de $\operatorname{Tr}$ par rapport à la base $1, u, v$, on trouve en regard, au centre de la page : \[\text{discriminant de $\operatorname{Tr}$ par rapport à la base $1, u, v$ de $k1 \oplus ku \oplus kv$} = -2\,Q(t;\, b, c, b', c')\] [et le discriminant réduit de la forme quadratique $\det$ est $-Q(t;\, b, c, b', c')$] Vérifier ça ? — Oui

Donc le fait signifie ⌜implique⌝ que […] il y a une $\exists\, \Theta$ orthogonale à $1, u, v$ partout non nulle et isotrope.

Donc pour \[\det\Theta = \operatorname{Tr}\Theta = 0\] Or l'ensemble des $x$ […] les éléments isotropes dans l'hyperplan $\operatorname{Tr}\Theta = 0$ correspondent aux Borels, comme […] on gagne !

95Supposons maintenant que \[\delta = \delta' = 0 \qquad \text{i.e.} \quad b^2 - 4c = b'^2 - 4c' = 0\] ce qui signifie que $A_1, A_2$ sont isomorphes […] ⌜$A_1, A_2$⌝ loc. isom. à $k[T]/T^2$. (Je n'ai pas eu le temps de vérifier dans le cas […] : fait évident, quand […] […] base générale — évident […] […] corps, plus généralement : [si $2$ est inversible […] […] : si $b \in k$ tel que $b^2 = 0$, $\exists$ loc. $\alpha, \beta \in k$, $\beta \in k^*$, tels que \[\alpha^2 = 0, \qquad \beta(2\alpha + b) = 0\] Évident si $2$ inversible, mais faux si $2.1_k = 0$ (car. 2) car $\beta b$ dans l'égalité […] $\beta b = 0$ donc (comme $\beta \in k^*$) $b = 0$, mais dans une situation où $b^2 = 0$, $b \neq 0$, ça coince !]) […] […] […] […] loc. […]

Ça signifie aussi que Mais dans alg. d'Az. $A_1, A_2$ sont des sous-algèbres unipotentes, […] à la position […] tribu d'un $\Theta \in M$ (Azumaya ambiante) qui soit de $\operatorname{Tr}$ \[\operatorname{Tr}\Theta = \det\Theta = 0\] Soient les unipotents […] d'un tel Il y a corr. $1 \to 1$ entre […] la seconde moitié de la page, à partir de « Mais dans alg. d'Az. », est barrée d'un long trait oblique.

96Donc on introduira (au cas où) $A_1 = k.1 + D_1$, $A_2 = k.1 + D_2$, $D_1, D_2$ contenus dans \[M^0 = \{x \in M \mid \operatorname{Tr} x = 0\}\] et isotropes, i.e. \[\operatorname{Tr} u = \operatorname{Tr} v = 0, \qquad \det u = \det v = 0 .\] Dans ce cas là, on trouve \[Q(t, b, b', c, c') = t^2 .\] Mais dans ce cas on là le vérifie aussitôt que pour $u \in M$ \[\operatorname{Tr}(ux) = 0 \iff x \text{ normalise } ku\] [i.e. $[x, u] = xu - ux = 0$] ainsi sur la page : la condition entre crochets est celle de commutation, non de normalisation.

donc i.e. \[x \in B_u \qquad \text{(sous-alg. de Borel normalisatrice de $u$)}\] donc si $t = \operatorname{Tr}(uv) = 0$, cela implique que $u, v$ engendrent une sous-alg. de Borel \[k \oplus ku \oplus kuv = B_u = B_v\] on lit $kuv$ pour le dernier terme ; $kv$ serait attendu. Cette […] […]). Donc

97Proposition. Si $b = c = b' = c' = 0$, alors \[M[b, c, b', c';\, t] = M(0, 0, 0, 0, t) \text{ est Azumaya,}\] ssi $t \in k^*$ ssi \[Q(0, 0, 0, 0, t) = t^2 \in k^*\] i.e. $t \in k^*$.

En effet, si $t \in k^*$, alors on « réalise » $t$ dans l'algèbre des matrices $M_2$ p.ex. par (loc.) \[u = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad v = t\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \operatorname{Tr} uv = t \quad \text{OK.}\] […] on trouve […] […] Si $\delta = \delta' = 0$ […], le cas précédent se […] à […] […] pour […] […] […] Azumaya. Il faudrait […] Azumaya, […] […] […] […] $Q(\ldots) \ldots$ […] […] réduit […] […] une longue note oblique dans la marge gauche, en partie barrée, ne se lit pas au-delà de quelques mots.

À Reste le cas où $\delta \neq 0$, $\delta' = 0$ […]. On peut supposer [un peu court !!] \[b' = c' = 0\] donc vérifions \[Q(b, c, b', c', t) = t^2\] donc $Q$ inv. signifie $t$ inv.

Montrons que seul signifie que $M(b, c, b', c';\, t)$ est Azumaya.

98Th. Soient $b, c, b', c', t \in k$, d'où $M = M(b, c, b', c';\, t)$, avec base can. $\underline{1}, \underline{u}, \underline{v}, \underline{uv}$, et formes $\operatorname{Tr}$ et $\det$ … Pour que $M$ soit Azumaya, il faut et suffit que la forme $\det$ sur $k \oplus k\underline{u} \oplus k\underline{v}$ soit non dégénérée, i.e. explicitement que son discriminant réduit désigné par $-Q$ \[\Delta(b, c, b', c', t) = -\bigl(t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc'\bigr)\] soit inv. le dernier terme est écrit $b'^2_{\,2}$ sur la page ; on lit $b'^2c$ d'après $Q$ (p. 89).

En termes plus intrinsèques, soit $M \supset A_1, A_2$ […]

[…] une algèbre ⌜assoc. unit.⌝ ⌜loc.⌝ libre de rang 4 sur $k$, munie de […] ⌜loc. libres, deux sous-alg. transverses⌝ $A_1, A_2$ ⌜de rang 2⌝, bien supposons qu'il y ait dans $M$ […]

des formes $\operatorname{Tr}$, $\det$ avec les propr. habituelles, ⌜([…] […] […] libres) […]⌝ et que $A_1, A_2$ soient […] étales sur $k$ (de rang loc.) […] […] $k \cdot 1$ (i.e. $A_1 + A_2$). […] Ce qui implique que $A_1$ engendré $u$, $A_2$ par $v$, d'où $b, c, b', c', t$, … $M \simeq M(b, c, b', c';\, t)$).

Alors $M$ est azumayenne ssi la restriction de la forme dét quadr. $\det$ ⌜à⌝ $A_1 + A_2$ est non dégénérée,

99Dém. C'est géométrique, on peut se placer sur un corps alg. clos. Nécessité : supposons que $M$ soit Azumaya, ⌜prouvons non dégénérescence.⌝ On peut […]

Si $A_1, A_2$ sont multiplicatifs, […] prouvé le résultat, et aussi si $A_1, A_2$ sont toutes les deux étales. Il reste le cas où l'une seule est étale, l'autre unipotente, mais il n'y a qu'une seule position ⌜relative⌝. Dans ce cas on choisit $v$ unipotent, $u$ un projecteur \[\text{\struck{$b = 1,\ c = 0$}}, \quad b' = 0, \quad c' = 0\] \[Q = t^2, \qquad \Delta = -Q = -t^2\] […] vérifier que $t \neq 0$. On choisit d'abord, biffé : $v = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $u = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ; non biffé à la suite : \[uv = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[v = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad u = \begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \quad \text{« général »,}\] \[uv = \begin{pmatrix} 0 & \alpha\\ 0 & \gamma \end{pmatrix} \qquad \operatorname{Tr} uv = \gamma\] \[\delta(u) = (\alpha + \delta)^2 - 4(\alpha\delta - \beta\gamma)\] On peut choisir $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ tels que $\gamma\,\delta(\alpha, \beta, \gamma, \delta) \neq 0$.

Suffisance : Il suffit de … la page s'arrête là ; la démonstration de la suffisance n'est pas écrite.

la démonstration de la suffisance n'est pas poursuivie dans ce lot ; elle sort peut-être du lot.