L'argument vient de la page précédente, hors du lot : les relations (1), (2), (3) (Hamilton–Cayley, « H.C. ») et la numérotation des formules y ont été posées.
de la première des relations
(5)\qquad \begin{cases} \operatorname{Tr} 1 = 2 \\ \det 1 = 1 \end{cases}
Dont la 2° lesquelles se déduit
En polarisant (2), on trouve pour u, v \in A (tenant compte de (3))
(6)\qquad uv + vu - (\operatorname{Tr} u)v - \operatorname{Tr}(v)u + \bigl(\operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v - \operatorname{Tr}(uv)\bigr)1 = 0
soit
(6')\qquad uv + vu = \operatorname{Tr}(v)u + (\operatorname{Tr} u)v + \bigl(\operatorname{Tr}(uv) - \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v\bigr)1 .
la page porte, en travers de (6) et (6'), plusieurs lignes obliques serrées que la lecture ne démêle pas ; on y lit « (6') résulte de », « NB Cette relation », « identité », « (2), (3), (6) », et un renvoi « (6'') ». La ligne biffée qui suit (6') commence par On peut déduire.
(6'')
k.1 + ku + kv + \ill{} opposé opposé kl + ku + kv.
Proposition. Soit Soit A (1) (2) (3) (donc (6')). Alors \forall u, v \in A, k + ku + kv + k.uv le sous-module engendré par 1, u, v, uv est une sous-algèbre.
Il suffit de voir que le produit de
deux éléments parmi les éléments 1, u, v, uv est dans ce sous-module. Il suffit de le voir pour deux tels éléments distincts de 1. On suit un tableau biffé : u.u = \det(u)1 + (\operatorname{Tr} u)u + \ldots, u.v = 0.1 + 0.u + 0.v + 1uv, u.uv = \ldots
u^2,\ v^2,\ uvuv,\ uv,\ u^2v,\ vu,\ vuv,\ uvu,\ uv^2
Or
\begin{aligned}
u^2 &= \operatorname{Tr}(u).u - \det(u).1 && \text{(2) pour } u\\
v^2 &= \operatorname{Tr}(v).v - \det(v).1 && \text{(2) pour } v\\
uv &= 1.uv && \text{tautol.}\\
vu &= -1.uv + \operatorname{Tr}(v)u + \operatorname{Tr}(u)v + \bigl(\operatorname{Tr}(uv) - \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v\bigr)1 && \text{(relation (6'))}
\end{aligned}
Ce sous-module V est stable par multiplication à gauche par 1, u, v, uv uv, et (compte 1). Donc il suffit de voir que ux, vx \in V, si x \in V. Il suffit de prendre pour x un des générateurs 1, u, v, uv. Le cas 1 étant trivial, il reste
u^2,\ uv,\ u^2v,\ vu,\ v^2,\ vuv = \struck{\ill{}}\,(vu)v .
Pour u^2, v^2 on utilise H.C. (3), pour uv c'est tautologique, pour u^2v cela résulte de l'expression de u^2 (H.C.), pour vu on utilise (6'), qui s'écrit
\text{\struck{$vu = \ill{} + \operatorname{Tr}(v).u +$}}
(6'')\qquad vu = \bigl(\operatorname{Tr}(uv) - \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v\bigr)1 + \operatorname{Tr}(v)u + \operatorname{Tr}(u)v - uv .
Enfin pour
Finalement, on trouve une « table de multiplication » pour une k-algèbre libre de rang 4 (dont V sera quotient) en termes de 5 éléments de k
(7)\qquad \begin{cases} b = \operatorname{Tr} u,\ c = \det u \\ b' = \operatorname{Tr} v,\ c' = \det v \\ t = \operatorname{Tr}(uv) \end{cases}
(permet de décrire k[u] = k[T]/(T^2 - bT + c) (si k \cap k.u = \{0\})) (id pour k[v])
avec comme base 1, u, v, uv (les analogues qu'on considère étant de la nouvelle algèbre). On appelle cette algèbre
(8)\qquad M(b, c;\, b', c';\, t) .
On vérifie qu'elle existe (i.e. indépendamment de la donnée du (7)) pour toute la donnée
Vérification. On écrit une table de multiplication explicite en utilisant H.C. pour u et v et (6) alias (6') (pour (u, v)),
et on vérifie l'associativité. De plus, on prolonge \operatorname{Tr} à V par linéarité, et \det, pour d'abord sur \underbrace{k[u]}_{A_1} \subset M et \underbrace{k[v]}_{A_2} \subset M (où c'est la norme \det(u)' des algèbres quadratiques, \operatorname{Tr} y étant la trace) puis sur
M = k[u] \oplus k[v]
au-dessus et à côté de cette égalité : « iso » et « (à cause des identité) », qu'on ne démêle pas.
par
(10)\qquad \det(u_1 + v_1) = \underbrace{\det u_1}_{N_{A_1/k}(u_1)} + \underbrace{\det v_1}_{N_{A_2/k}(v_1)} + \operatorname{Tr} u_1 \operatorname{Tr} v_1 - \operatorname{Tr}(u_1v_1)
le premier terme est écrit \det(x_1 + v_1) sur la page, avec une surcharge ; on lit u_1 par la suite de la formule.
Ceci dit, on « vérifie »
En fait, je n'ai pas eu à faire la vérification, car je sais il suffit de le faire (par principe de prolongement des id. alg.) pour un sur un dense,
\delta \overset{\text{déf}}{=} b^2 - 4c \text{ inv.}, \qquad \delta' \overset{\text{déf}}{=} b'^2 - 4c' \text{ inv.}
(i.e. A_1, A_2 étales sur k), et on voit pour b, c, b', c' donnés, ainsi, que l'on peut réaliser (pour alors (pour la répartition (b, c
la répartition (b, c, b', c', t) « pour presque tout t » et toute c par deux éléments u, v donnant l'alg. de Matrices M = M_2(k). En effet, pour u, v on localise pour que A_1, A_2 soient diagonalisables (\simeq k \times k), on réalise comme sous-algèbres de , de pour plonger les A, i.e. par u \in A, v \in A.
Bien sûr, on n'a pu pu préjuger de la valeur de \operatorname{Tr} uv. Mais considérons, pour
Lemme. Soient u, v \in A (\simeq M_2(k)) qui dominant.
NB \Theta \mapsto \Theta(v), u, v
En fait, on trouve une fonction rationnelle en b, c, b', c', t, discriminant \ldots t^2 - 4cc' (= \operatorname{Tr}(uv)^2 - 4\det uv = \delta(uv), discriminant de uv)
(invariant anharmonique de k[u] et k[v] dans alg. d'Azumaya) de
\rho = f(b, c, b', c';\, t) = \frac{P(b, c, b', c', t)}{Q(\ldots)}
telles que la condition nécessaire et suffisante pour que soit dans d'Azumaya, que (en supposant \delta\delta' inversibles), c'est que \rho \neq 2 partout, i.e.
P - 2Q \neq 2 \qquad \text{\uncertain{partout}}
ainsi sur la page ; on attend P - 2Q partout inversible.
En fait, quand ils sont réalisés dans alg. d'Azumaya, ils définissent ils définissent deux des chacun un diviseur de degré 2,
J'ai fait le calcul de \rho en termes de b, c, b', c', t) dans le cas où b = \operatorname{Tr} u et b' = \operatorname{Tr} v sont nuls, on trouve (supposant que u, v plongés dans A, et Alg. d'Az.). On trouve donc
\rho = 2\,\frac{t^2 + 4cc'}{t^2 - 4cc'}
\qquad\Bigl|\qquad
\begin{gathered}\text{NB } t^2 - 4cc' = \delta(uv)\\ \text{si } b = b' = 0, \text{ discriminant de } uv\end{gathered}
d'où
\frac{\rho}{2} - 1 = 8\,\frac{cc'}{t^2 - 4cc'} .
On en déduit le cas général [Il suffit de le faire sur \mathbf{Z}[\tfrac12][B, C, B', C', T]]. On trouve
(11)\qquad \rho = 2\,\frac{(2t - bb')^2 + \delta(u)\delta(v)}{(2t - bb')^2 - \delta(u)\delta(v)}
= \frac{2t^2 - 2bb't + \bigl(b^2b'^2 - 2(b^2c' + b'^2c) + 8cc'\bigr)}{t^2 - bb't + (b^2c' + b'^2c - 4cc')}
sous \rho, une flèche vers « \delta u si 2 inv. dans k » ; sous le signe =, « \delta h ».
[En car. 2, cela donne
\rho = \frac{(bb')^2}{t^2 - bb't + (b^2c' + b'^2c)} \; .]
(**)\qquad \rho_0 = \rho - 2 = \frac{b^2b'^2 - 4(b^2c' + b'^2c) + 16cc'}{t^2 - bb't + (b^2c' + b'^2c - 4cc')} = \frac{A(b, b', c, c')}{B(t; b, b', c, c')}
invariant anh. rectifié (pour \rho_0)
Donc
\rho\, B(t; b, b', c, c') - A(b, b', c, c') = 0
ainsi sur la page (\rho et non \rho_0) ; le numéro (**) surcharge un autre numéro.
A_1 et A_2 diagonales engendrant M_2. Cela se voit au moins loc. supposé (en prenant à la solution rac. des solutions de
\lambda^2 - \rho\lambda + 1 = 0 \qquad \text{\struck{\ill{}}}
d'abord posé, à cause de b^2 - 4c
Or on trouve qu'une équation en t
t^2 - bb't + \Bigl(b^2c' + b'^2c - 4cc' - \frac{\delta\delta'}{\rho_0}\Bigr)
(où \delta = b^2 - 4c, \delta' = b'^2 - 4c'), il y a juste (sur un corps) au plus 2 solutions, disons t, t' (éventuellement égales) satisfaisant
t + t' = bb' \qquad (\tau = t') .
Si t = \tau, on a gagné. Sinon, on remplace u par
cette page ne continue pas la phrase de la page 88 (« on remplace u par … »), dont la suite est en haut de la page 90 ; elle reprend (11') et énonce la proposition qui en sort.
(11')\qquad
\begin{cases}
\rho_0 = \rho - 2 = \dfrac{\delta\,\delta'}{t^2 - bb't + (\delta c' + \delta'c + 4cc')}\\[2ex]
\phantom{\rho_0 = \rho - 2} = \dfrac{(b^2 - 4c)(b'^2 - 4c')}{\underbrace{t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc'}_{Q\,=\,Q(t;\, b, b', c, c')}}
\end{cases}
où \delta = \delta(u) = b^2 - 4c, \delta' = \delta(v) = b'^2 - 4c'.
au numérateur de la première ligne, deux arguments de \delta et \delta' sont noircis ; le 4cc' du dénominateur surcharge un autre symbole.
On trouve donc :
Proposition. Soient k un anneau, et b, c, b', c', t \in k, tels que
(b^2 - 4c)(b'^2 - 4c')(t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc')
soit inv. dans k. Alors M[b, c, b', c', t] est une alg. d'Azumaya déf. (et k[\underline{u}], k[\underline{v}] en sont des sous-algèbres quadratiques étales, i.e. engendrant la conclusion « en position générale »),
OPS k corps , des alg. étendons
Dém. On regarde \rho_0 comme défini plus par (11'). Comme \rho_0 \neq 0 i.e. \rho partout \neq 2, cela correspond à une position relative \mathrm{SL}(2) (ou du ) des tores des alg. quadratiques étales A_1, A_2 dans M_2) position générale. — Cela signifie aussi que
suite de la fin de la page 88.
u' = (\operatorname{Tr} u)1 - u = b.1 - u
\qquad
\begin{cases} \operatorname{Tr} u' = \operatorname{Tr} u \\ \det u' = \det u \end{cases}
alors
t' = \operatorname{Tr} u'v = \operatorname{Tr}\bigl((b - u)v\bigr) = b\operatorname{Tr}(v) - \operatorname{Tr}(uv) = bb' - \tau
donc
Que se passe-t-il si
(12_1)\qquad (b^2 - 4c)(b'^2 - 4c') \in k^*
mais et si M(b, c, b', c';\, t) est azumayenne, je dis que
(12_2)\qquad \underbrace{t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc'}_{Q(t;\, b, c, b', c')} \in k^* \;?
Je dis que dans M(b, c, b', c';\, t) azumayenne. En effet, s'il était
comme A_1 = k[\underline{u}] et A_2 = k[\underline{v}] la formule générale un invariant \rho_0, relié à b, c, b', c', t par (11'), i.e.
\text{\struck{$\rho_0(t^2 - bb't$}} \quad \rho_0\, Q = \delta\delta'
comme \delta\delta' \in k^*, on aura Q \in k^*.
Remarque. Le discriminant de Q (en tant que polynôme en t) est
\Delta(Q) = (bb')^2 - 4(b^2c' + b'^2c - 4cc')
On trouve
(13)\qquad \Delta(Q) = (b^2 - 4c)(b'^2 - 4c') = \delta\delta'
donc en fait, si 2\operatorname{Tr}(uv) =
(14)\qquad \delta\delta' \in k^* \Longrightarrow 2t \neq bb' \ \text{\struck{\uncertain{pour tout} $t$}} \qquad \text{i.e. } 2t - bb' \in k^*
la ligne biffée et l'implication sont reliées par des traits ; on lit l'implication comme son remplacement.
Cor. (?) Soient u, v dans une alg. d'Azumaya A (de rang 4), tels que \delta(u), \delta(v) \in k^*, tels que Si Q(u, v) = Q(t;\, b, c, b', c') = 0, alors il .
Absurde, donc
le corollaire, la marge oblique et la ligne biffée qui suit sont en partie barrés.
u, v appartiennent Tels que u, v appartiennent à une
\begin{array}{c|c|cccc}
& 1 & \underline{u} & \underline{v} & \underline{uv}\\ \hline
\underline{1} & \underline{1} & \underline{u} & \underline{v} & \underline{uv}\\
\underline{u} & \underline{u} & -c + b\underline{u} & \underline{uv} & -c\underline{v} + b\underline{uv}\\
\underline{v} & \underline{v} & (t - bb')\underline{1} + b'\underline{u} + b\underline{v} - \underline{uv} & -c'\underline{1} + b'\underline{v} & -bc'\underline{1} + c'\underline{u} + t\underline{v}\\
\underline{uv} & \underline{uv} & -b'c\underline{1} + t\underline{u} + c\underline{v} & -c'\underline{u} + b'\underline{uv} & t\underline{uv} - cc'
\end{array}
table de multiplication de M(b, c;\, b', c';\, t) dans la base 1, u, v, uv (facteur de gauche en ligne).
En prenant les traces, on a la matrice
une première matrice, à moitié remplie et en partie noircie, est barrée de traits obliques ; on en lit la première colonne 2, b, b', t, la première ligne 2, b, b', t, et -2c + b^2, -2c' + b'^2, -b'c + bt, -bc' + b't, t^2 - cc'. Elle est reprise proprement ci-dessous.
\begin{pmatrix}
2 & b & b' & t\\
b & b^2 - 2c & t & bt - b'c\\
b' & t & b'^2 - 2c' & b't - bc'\\
t & bt - b'c & b't - bc' & t^2 - cc'
\end{pmatrix}
dét. de \alpha, \beta \mapsto \operatorname{Tr}(\alpha\beta) (par rapport à la base 1, u, v, uv)
l'élément en bas à droite est écrit t^2 - cc' ; on attendrait \operatorname{Tr}((uv)^2) = t^2 - 2cc'.
\begin{pmatrix}
4 & 2b & 2b'\\
2b & b^2 & bb'\\
2b' & bb' & b'^2
\end{pmatrix}
dét. de \alpha, \beta \mapsto \operatorname{Tr}(\alpha)\operatorname{Tr}(\beta)
le « 4 » surcharge un autre chiffre ; la matrice n'est pas complétée.
Il faudrait prouver que si l'on suppose qu'il y a une \Theta \in k.1 \oplus ku \oplus kv, partout non nulle, qui est orthogonale à 1, u, v — il faut des calculs (pour \operatorname{Tr}(xy)).
déterminant Le discriminant de \operatorname{Tr} par rapport à la base 1, u, v, on trouve
en regard, au centre de la page :
\text{discriminant de $\operatorname{Tr}$ par rapport à la base $1, u, v$ de $k1 \oplus ku \oplus kv$} = -2\,Q(t;\, b, c, b', c')
[et le discriminant réduit de la forme quadratique \det est -Q(t;\, b, c, b', c')]
Vérifier ça ? — Oui
Donc le fait signifie implique que isotrope.
Donc pour
\det\Theta = \operatorname{Tr}\Theta = 0
Or l'ensemble des x comme on gagne !
Supposons maintenant que
\delta = \delta' = 0 \qquad \text{i.e.} \quad b^2 - 4c = b'^2 - 4c' = 0
ce qui signifie que A_1, A_2 sont isomorphes A_1, A_2 loc. isom. à k[T]/T^2. (Je n'ai pas eu le temps de vérifier dans le cas : fait évident, quand base générale — évident corps, plus généralement : [si 2 est inversible : si b \in k tel que b^2 = 0, \exists loc. \alpha, \beta \in k, \beta \in k^*, tels que
\alpha^2 = 0, \qquad \beta(2\alpha + b) = 0
Évident si 2 inversible, mais faux si 2.1_k = 0 (car. 2) car \beta b dans l'égalité \beta b = 0 donc (comme \beta \in k^*) b = 0, mais dans une situation où b^2 = 0, b \neq 0, ça coince !])
loc.
Ça signifie aussi que Mais dans alg. d'Az. A_1, A_2 sont des sous-algèbres unipotentes, à la position tribu d'un \Theta \in M (Azumaya ambiante) qui soit de \operatorname{Tr}
\operatorname{Tr}\Theta = \det\Theta = 0
Soient les unipotents d'un tel Il y a corr. 1 \to 1 entre
la seconde moitié de la page, à partir de « Mais dans alg. d'Az. », est barrée d'un long trait oblique.
Donc on introduira (au cas où) A_1 = k.1 + D_1, A_2 = k.1 + D_2, D_1, D_2 contenus dans
M^0 = \{x \in M \mid \operatorname{Tr} x = 0\}
et isotropes, i.e.
\operatorname{Tr} u = \operatorname{Tr} v = 0, \qquad \det u = \det v = 0 .
Dans ce cas là, on trouve
Q(t, b, b', c, c') = t^2 .
Mais dans ce cas on là le vérifie aussitôt que pour u \in M
\operatorname{Tr}(ux) = 0 \iff x \text{ normalise } ku
[i.e. [x, u] = xu - ux = 0]
ainsi sur la page : la condition entre crochets est celle de commutation, non de normalisation.
donc i.e.
x \in B_u \qquad \text{(sous-alg. de Borel normalisatrice de $u$)}
donc si t = \operatorname{Tr}(uv) = 0, cela implique que u, v engendrent une sous-alg. de Borel
k \oplus ku \oplus kuv = B_u = B_v
on lit kuv pour le dernier terme ; kv serait attendu.
Cette ). Donc
Proposition. Si b = c = b' = c' = 0, alors
M[b, c, b', c';\, t] = M(0, 0, 0, 0, t) \text{ est Azumaya,}
ssi t \in k^* ssi
Q(0, 0, 0, 0, t) = t^2 \in k^*
i.e. t \in k^*.
En effet, si t \in k^*, alors on « réalise » t dans l'algèbre des matrices M_2 p.ex. par (loc.)
u = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad v = t\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\qquad
\operatorname{Tr} uv = t \quad \text{OK.}
on trouve Si \delta = \delta' = 0 , le cas précédent se à pour Azumaya.
Il faudrait Azumaya, Q(\ldots) \ldots réduit
une longue note oblique dans la marge gauche, en partie barrée, ne se lit pas au-delà de quelques mots.
À Reste le cas où \delta \neq 0, \delta' = 0
Montrons que seul signifie que M(b, c, b', c';\, t) est Azumaya.
Th. Soient b, c, b', c', t \in k, d'où M = M(b, c, b', c';\, t), avec base can. \underline{1}, \underline{u}, \underline{v}, \underline{uv}, et formes \operatorname{Tr} et \det … Pour que M soit Azumaya, il faut et suffit que la forme \det sur k \oplus k\underline{u} \oplus k\underline{v} soit non dégénérée, i.e. explicitement que son discriminant réduit désigné par -Q
\Delta(b, c, b', c', t) = -\bigl(t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc'\bigr)
soit inv.
le dernier terme est écrit b'^2_{\,2} sur la page ; on lit b'^2c d'après Q (p. 89).
En termes plus intrinsèques, soit M \supset A_1, A_2
munie de loc. libres, deux sous-alg. transverses A_1, A_2 de rang 2, bien supposons qu'il y ait dans M
des formes \operatorname{Tr}, \det avec les propr. habituelles, ( libres) et que A_1, A_2 soient
Alors M est azumayenne ssi la restriction de la forme dét quadr. \det à A_1 + A_2 est non dégénérée,
Dém. C'est géométrique, on peut se placer sur un corps alg. clos. Nécessité : supposons que M soit Azumaya, prouvons non dégénérescence. On peut
Si A_1, A_2 sont multiplicatifs, prouvé le résultat, et aussi si A_1, A_2 sont toutes les deux étales. Il reste le cas où l'une seule est étale, l'autre unipotente, mais il n'y a qu'une seule position relative. Dans ce cas on choisit v unipotent, u un projecteur
\text{\struck{$b = 1,\ c = 0$}}, \quad b' = 0, \quad c' = 0
Q = t^2, \qquad \Delta = -Q = -t^2
vérifier que t \neq 0. On choisit
d'abord, biffé : v = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, u = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} ; non biffé à la suite :
uv = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
v = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad u = \begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \quad \text{« général »,}
uv = \begin{pmatrix} 0 & \alpha\\ 0 & \gamma \end{pmatrix} \qquad \operatorname{Tr} uv = \gamma
\delta(u) = (\alpha + \delta)^2 - 4(\alpha\delta - \beta\gamma)
On peut choisir \alpha, \beta, \gamma, \delta tels que \gamma\,\delta(\alpha, \beta, \gamma, \delta) \neq 0.
Suffisance : Il suffit de …
la page s'arrête là ; la démonstration de la suffisance n'est pas écrite.
la démonstration de la suffisance n'est pas poursuivie dans ce lot ; elle sort peut-être du lot.