Cote n° 83, pages 61–80

Cote n° 83 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

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61la page s'ouvre sur une nouvelle mise en place, sans renvoi explicite aux pages précédentes ; elle est très raturée. Soit $M$ alg. d'Azumaya sur corps $\mathbb{F}_p$, $p$ premier impair, et $C^*$ l'ens. des éléments nilpotents non nuls de $M$. Alors […] $C^*$ se divise naturellement en deux $C^*_i$, […] \[\lambda\, C^*_i = C^*_i \quad\text{ssi}\quad \lambda \in k^{*2} \qquad (\text{pour } \lambda\in k^*) .\] sous $k^{*2}$ est inscrit, en petit, « $\simeq k^*/\pm 1$ » ; lecture douteuse.

Sur $C^*$, il y a une str. canon. de bi-cônes, il y a une […] […] sur chaque $C_i$, […] des […] […] des cônes orientés […] […] multi-cônes, et les opérations $\overline{T}_\lambda$ ($\lambda\in k^*$) induisent les homothéties […] $\lambda^2$. Le groupe $Gp_M(\struck{\ill{}}) \simeq M^*/k^*$ […] […] […] $C_i$ […] […] groupe des cônes ⌜des cônes⌝ bi-cônes orientés, il a un sous-groupe d'indice $2$ : les […] qui préservent les […] […] mieux. Le groupe

$Gp_M\times k^*$ est le groupe des automorphismes des […] qui préserve […] des structures de […] $C_i$ et l'un $E$ : Considérons […] […] […] […] $C_i$, […] […] […] les bi-cônes […] par les transformations $\overline{T}_{\lambda^2}(c_i)$ ⌜([…] […] les $\overline{T}_{\lambda^2}(c_i)$)⌝.

$\overline{T}_\lambda$ transporte des structures : […] ⌜[…]⌝ $\{a,b\}$ est une […] préservée par $T_\lambda(c_i)$ ssi […] $\{T_\lambda a, T_\lambda b\}$ dans est une […] par $c_i$ et non pas $\{a, T_\lambda b\}$ […] […] […] […] […] ⌜si $\lambda^2 = -1$, on trouve⌝ donc $T_\lambda(c_i) = c_i$, mais $T'_\lambda$ est une autre…

il y a une […] classique (cf. p. 27 ?), […] […] […] […] […] bien mystérieux ! […] […] […] […] note marginale écrite en oblique dans l'angle gauche ; presque entièrement illisible. Le renvoi « p. 27 » est de l'auteur ; lecture douteuse.

62de ce qui renverse l'orientation. Ce Donc la structure $E$, dans le cas de l'iso. $p=5$, où $k^{*2} = \{\pm 1\}$, est la ⌜icosaédrale⌝ (une orientation de bi-icosaèdre). Ceci dit, […] […] $Gp\times k^*$ opérant […] le groupe des […] […] […] structure de multi-cônes. dans « $k^{*2}$ » l'exposant est surchargé de traits ; lecture douteuse.

On trouve une représentation exceptionnelle, remarquable, des autres […] $Gp$. par les Considérons les couples universels (« définis sur $\mathbb{Z}$ ») qui sont ($\rho_f$ d'ordre $3$, ⌜$\det\rho_f = 1$, $\operatorname{Trace}\rho_f = -1$⌝) et $\rho_s$ […] unipotent ($\det\rho_s = 1$, $\operatorname{Tr}\rho_s = 2$), lesquelles $\rho_s$ soit unipotent, dans Alg d'Azumaya engendrée par \[\rho_a = \sigma \text{ d'ordre } 4, \qquad \rho_f \text{ d'ordre } 3,\] \[\left\{ \begin{array}{ll} \det\sigma = 1 , & \det\rho_f = 1 \\ \operatorname{Tr}\sigma = 0 , & \operatorname{Tr}\rho_f = -1 \end{array} \right.\] avec \[\sigma . \rho_f = \rho_s^{-1} \qquad \rho_s \text{ unipotent i.e. } \det\rho_s = 1,\ \operatorname{Tr}\rho_s = 2 .\] dans « $\sigma.\rho_f = \rho_s^{-1}$ » un symbole entre $=$ et $\rho_s$ est noirci et biffé.

NB l'homothétie $-1$ inverse les deux […] d'isotropie, la structure ; il […] deux $C_i$ ssi $-1 \in k^{*2}$ — […] […] un autre […] orientés de structure […]. Je […] sur l'expression $C^*$ des […] […] […] (dans les […] […]) […] […] note marginale écrite en oblique sur la partie gauche de la page, en travers du texte ; lecture très incomplète.

63On trouve une représentation fidèle de $SL(2,\mathbb{Z})/\pm 1$ dans le groupe […] par $\sigma$ et $\rho_f$ mod le centre de l'alg. d'Azumaya.) […] […] […] Considérons […] la représentation de la […] […] bi-[…]-universelle, dans les ⌜[…]⌝ […] […] ($\operatorname{Tr} u = 1$, […]) engendrée par les […] $\rho_s$. En […]

En réduisant mod $n$, je dis que ça se factorise par $SL(2,\mathbb{Z}/n)/\pm 1$ (tautologique, tel que j'ai présenté […] choses), et la représentation […] est celle que j'ai décrite tantôt (mais qui dit […] un sens, en supposant $n$ premier…). dans « $SL(2,\mathbb{Z}/n)$ » le $n$ est écrit par-dessus un autre symbole biffé.

Les relations sont les mêmes […] […] […] […]. Les générateurs […] : paires d'unipotents $(\rho_s, \sigma\rho_s\sigma^{-1})$, $\rho_{s'}$ où $s' = \sigma(s)$, i.e. paires d'unipotents $(u,u')$ tels que $\operatorname{Tr} uu' = -1$ […] $-\sigma\rho_s\sigma$ […] note marginale en oblique sur le bord gauche, en partie biffée.

64Soit $A$ une algèbre d'Azumaya de rang $4$ sur un anneau $k$, et supposons que $M$ $M$ soit « triviale », plus précisément, qu'elle provienne d'un $k$-module projectif de rang $2$ $E$, tel que le module inversible $\det E$ soit trivial (i.e. le groupe […] […] $Gp(1)_k$-torseur déduit venant de $M$ que […] remonte en un $Sl(2)_k$-torseur.) Mais pour le moment, supposons seulement que $M$ soit triviale i.e. \[M \simeq \operatorname{End}(E) .\] « Soit $A$ » au début, puis $M$ dans toute la suite.

Soit $u\in M$ un élément […] nilpotent dégénéré de carré nul. Alors $\operatorname{Im} u = \operatorname{Ker} u$ définit une « droite » $L\subset M$, et $D = ku \simeq L\otimes L'$, où $L'$ est l'orthogonal de $L$ dans $\check{E} \simeq E\otimes \struck{\ill{}}^{-1}$ (où $\underline{\omega} = \omega(E)$). Dans En fait, […] […] l'identification précédente (définie au signe près, conventions de signes) […] \[L' = L\otimes \underline{\omega}^{-1} \qquad\text{donc}\] \[D \simeq L^{\otimes 2}\otimes\underline{\omega}^{-1} \quad\text{i.e.}\quad \underline{\omega} \xrightarrow[\sim]{\varphi_L} \underline{\operatorname{Hom}}(L^{\otimes 2}, D_L)\] sous le premier $D$ est inscrit l'indice $L$ : $D_L$. [Ceci, au moins pour fait la conv. de signe]. Le choix d'une base $e\in\underline{\omega}$, d'où $e^{-1}\in\underline{\omega}^{-1}$, définit un iso. \[\varphi_L^e : \struck{\ill{}} \; L^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } D_L\] Si on remplace $e$ par $\lambda e$, $e^{-1}$ est remplacé par $\lambda^{-1}e^{-1}$ et on trouve \[\varphi_L^{\lambda e} = \lambda\, \varphi_L^{e} .\] Quand $e$ est choisi (str. symplectique sur $E$)

65d'où l'iso $\varphi^e$, et si on suppose $L$ trivial i.e. $L^*$ non vide, […] […] […] pour $D$, correspondant […] des l'hyp. qui […] […] […] […] $ku$) dans $D^*$ il y a une classe d'éléments modulo $k^{*2}$, privilégiée : celle formée par les $\varphi^e(x\otimes x)$, pour $x\in L^*$. Appelons-la $D^*(e)$ : On aura $D^*(\lambda e) = \lambda D^*(e)$. \[D^*(e) = \{\, \varphi_L^e(x\otimes x) \mid x\in L^* \,\} \qquad\text{pour } D = D_L\] donc \[D^*(\lambda e) = \lambda D^*(e)\] et bien sûr $\lambda^2 D^*(e) = D^*(e)$, puisque $D^*(e) = k^{*2}u$ pour $u\in D^*(e)$.

La subdivision de $D^*$ […] […] On peut dire que ⌜un iso. can.⌝ quant le $k^*$-torseur $D^*$, […] […] \[D^*/k^{*2} \simeq \underline{\omega}^*/k^{*2} .\]

[…] Supposons que ${}_2\mathrm{Pic}(k) = 0$, donc pour toute droite $L$ de $u$ dans le cône $C^*$ des éléments de $M$ nilpotents dégénérés de carré nul, (i.e. tels que $\operatorname{Tr} u = \det u = 0$) la droite $L_u$ est non vide. Alors

On définit $\struck{\ill{}}$ \[C^*(e) = \bigcup_{D} D^*(e)\] et on a ceci : \[\left\{ \begin{array}{l} C^*(\lambda e) = \lambda C^*(e) \\ \lambda^2 C^*(e) = C^*(e) \end{array} \right.\] donc $C^*(e)$ ne dépend que de $e$ mod $k^{*2}$ […].

66et on trouve que \[C^* = \coprod_{e\in\underline{\omega}^*/k^{*2}} C^*(e)\] sous l'indice $\underline{\omega}^*/k^{*2}$, souligné d'un trait ondulé : « torseur sous $k^*/k^{*2}$ ». partition qui est permutée transitivement par les homothéties ⌜de $M$⌝, L'[…] que $\lambda C^*(e) = C^*(\lambda e)$. L'ens. des classes de cette partition est […] […] de façon naturelle (via la relation d'homothéties) un torseur sous $k^*/k^{*2}$, et ce torseur est can. iso à $\underline{\omega}^*/k^{*2}$.

Cette subdivision de $C^*$ en classes ne dépend que de $M$, et pas du choix de $E$ (avec $\det E\simeq k$) et d'un iso $\operatorname{End}(E)\simeq M$. On va […] plus loin, […] […] On.

On […] a une application surjective \[\varphi^e : E^* \longrightarrow C^*(e), \qquad x\longmapsto \varphi^e(x\otimes x)\] satisfaisant \[\left\{ \begin{array}{l} \varphi^e(\lambda x) = \lambda^2 \varphi^e(x) \\ \varphi^{\lambda e}(x) = \lambda\, \varphi^e(x) \end{array} \right.\]

On […] ${}_2\mathrm{Pic}(k) = 0$ […] […] ([…] […]) […] […] […] […] d'une […] […] […] note marginale oblique, reliée par une flèche au texte ; lecture très incomplète. Un signe de vérification (double trait) est tracé dans la marge gauche.

67Ainsi, […] ⌜chaque⌝ classe $C^*_i$ ⌜($= C^*(e)$)⌝ ($e$ fixé) est munie […] d'une structure ⌜(indépendante du choix de $e$)⌝ tri-angulaire […] ⌜orientée⌝ canonique, et en plus d'une […]-orientation ⌜(dépendant a priori du choix de $e$)⌝ qu'il faudrait expliciter. Le groupe projectif de $M$, $M^*/k^*$ ($\simeq \operatorname{End}(E)/k^*$) permute deux entre elles les $C^*_i$, ⌜(par transport des structures)⌝ en respectant les structures et orientations.

On […] Les autres On fera attention qui […] que pour $u\in GL(E)$, définissant $\bar u\in \struck{GL(E)} \, GL(E)/k^*\simeq M^*/k^*$ […] ⌜(opérant dans $C^*$)⌝, l'automorphisme de $M^*$ […] qu'il définit, est donné par \[\Theta \longmapsto u(\Theta) = u\,\Theta\, u^{-1} .\] Ceci est compatible avec l'application \[\varphi^e : E^* \xrightarrow{\ \sim\ } C^*(e) \subset C^*\] (avec $GL(E)$ opérant sur $E^*$ et sur $C^*$) que sur le sous-groupe $SL(E)$. De façon précise, on aura \[\boxed{\ \Theta(\varphi^e(x)) = \det\Theta\,\bigl(\varphi^e(\Theta(x))\bigr)\ }\] \[\Bigl(\, \Theta(x\overset{e}{\otimes} x) = \Theta(x)\overset{\Theta(e)}{\otimes}\Theta(x) = \Theta(x)\overset{\det\Theta.e}{\otimes}\Theta(x) = \det\Theta\,\bigl(\Theta(x)\overset{e}{\otimes}\Theta(x)\bigr) \Bigr)\] Dans le groupe

Attention « Attention » souligné, dans la marge gauche, devant un double trait vertical qui encadre l'alinéa « On fera attention… ».

[…] […] ici […] il faut […] $C^*$ […] […] […] $\operatorname{Tr} u = 0$ […] […] […] […] note marginale oblique dans l'angle gauche ; lecture très incomplète.

68Remarques Indépendamment de l'hyp. sur ${}_2\mathrm{Pic}(k)$ et sur $M$, on peut regarder $C^*$, et la structure de « graphe » sur $C^*$ définie par la relation $\operatorname{Tr}(uv) = -1$, d'où structure triangulaire. Mais

1°) $C^*$ n'est non vide que si $M$ est triviale, plus précisément si $M\simeq\operatorname{End}(E)$ avec $E = k\oplus L$ ($L$ module inv.)

On a dit 2°) Il […] Je L'un des côtés est non vide ssi $M \simeq M_2(k)$. En effet, si $\exists$ côté non vide $\{u,v\}$ Trace avec $u,v\in C^*$, $\operatorname{Tr} uv = -1$, les relations de conjugaison nous fournissent un homomorphisme $M_2 \to M$, transformant $(u_0,v_0)$ couple type en $(u,v)$ (donc on a […] conditions !). Bon aussi que $u_0$ en $u$, $v_0$ en $v$ dans $M$, satisfaisant les […]

Donc on a indirectement si on beaucoup […] $M\simeq\operatorname{End}(E)$, un supplémentaire $E$ […] […] […] iso à deux […] libre. la fin de la page est d'une lecture très incertaine ; le fil reprend p. 69.

69le début de la page (jusqu'à « $= z\overset{e}{\otimes}x$ ») est barré de trois traits obliques ; l'argument commence sur une page qui ne figure pas dans ce lot. utilisant la formule \[\text{\struck{$(a\overset{e}{\otimes}b)\circ(c\overset{e}{\otimes}d) \simeq c\overset{e}{\otimes}b\,(d\wedge a/e)$}} ,\] on trouve \[\text{\struck{$u\circ w = \bigl(y\overset{e}{\otimes}(-x\wedge y/e)\bigr)\, z\overset{e}{\otimes}z$}}\] \[\text{\struck{$= -z\otimes x\,(z\wedge y/e) = z\overset{e}{\otimes}x$}}\] sous les deux facteurs soulignés $(-x\wedge y/e)$ et $(z\wedge y/e)$ est inscrit « $-1$ ».

Il existe donc un unique $\rho\in GL(E)$ tel que \[\rho x = y, \quad \rho y = z, \quad \rho z = x\] et ce $\rho$ est d'ordre $3$. Il ne change pas quand on remplace $\{x,y,z\}$ par $(-x,-y,-z)$, il ne dépend que du triplet $\{\bar x,\bar y,\bar z\}$ et d'une orientation de ce triplet. Changer l'orientation, revient à changer $\rho$ en $\rho^{-1}$.

On a aussi \[\det\rho = 1, \quad \operatorname{Tr}\rho = 1, \quad\text{donc}\quad \rho^{-1} = 1-\rho = \rho' \quad (\text{conj. de } \rho)\] Considérons \[\tau = x\overset{e}{\otimes}x + y\overset{e}{\otimes}y + z\overset{e}{\otimes}z\] On a $\operatorname{Tr}\tau = 0$, $\det\tau = \struck{4}\,3$ (par […] d'[…] […] des dét.…) C'est […] […] qui commute à $\rho$, donc de la forme \[\tau = a\rho + b\] d'où, en prenant les traces \[\operatorname{Tr}\tau = a + 2b \quad\text{donc}\quad a = -2b, \text{ donc}\] \[\tau = \struck{a\rho+2b}\; b(-2\rho+1)\] \[\det\tau = b^2\det(1-2\rho) \qquad\text{où } \det(1-2\rho) = 3\] la lecture « $\operatorname{Tr}\rho = 1$ » est celle du manuscrit ; avec $\det\rho = 1$ et $\rho^3 = 1$, $\rho\neq 1$, on attendrait $\operatorname{Tr}\rho = -1$. La suite ($\rho^{-1} = 1-\rho$, $\det(1-2\rho) = 3$) est cohérente avec $\operatorname{Tr}\rho = 1$, i.e. avec $\rho$ d'ordre $6$ ; le manuscrit dit « d'ordre $3$ ».

70Donc $b^2 = 1$ i.e. $b = \pm 1$, donc \[\tau = \pm(1-2\rho)\] Supposons qu'on ait \[\tau = 1-2\rho\] alors on ne peut […] on […] temps $-(1-2\rho)$ (car $2 \cdot 1_k \struck{{}\neq 0}$), donc cela fixe $\rho$ dans la paire $\{\rho, \rho' = 1-\rho\}$. Mais il faut voir lequel ! Donc quelle […] […] satisfait la […], […] \[\text{\struck{$u+v+w = 1-2\rho$}}\] Revenant : $M$, on peut dire que pour un triangle $\{u,v,w\}$ de $C^*(e)$, il existe \[\rho\in M^* \text{ unique} \left\{ \begin{array}{l} \det\rho = 1 \\ \rho^3 = 1 \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \rho \text{ induit une permutation} \\ \text{circulaire entre les } u, v, w \end{array}\] et […] […] $\operatorname{Tr}\rho = \operatorname{Tr}\rho' = 1$ ⌜[…]⌝ … que $\rho$, ou plutôt si $\rho'$ pris. Il y a cependant un seul tel $\rho$, tel que \[\boxed{\ u+v+w = 1-2\rho\ }\] vérifie ici cette relation ! D'où la structure […] orientée : ⌜quand⌝ $\{u,v,w\}$ forment un triangle, […] le $\rho$ qui vient de dire, induit sur $\{u,v,w\}$ une permutation définit une orientation circulaire canonique.

C'est alors […] $\operatorname{Tr}\rho = 1$ […] […] […] […] […] […] […] $\det\rho = {}$[…] […] $\rho^3 = 1$ […] […] […] […] note marginale oblique dans la marge gauche ; lecture très incomplète.

71et on a un bijection diagramme commutatif

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
{[E^*/k^* \simeq \mathbb{P}(E)(k)]} \arrow[r, "\sim"] & C^*/k^* \\
E^* \arrow[u] \arrow[r, "\varphi^e"] & C^*(e)\subset C^* \arrow[u]
\end{tikzcd}

au-dessus de la flèche horizontale supérieure : « induit […] bijection de schémas » ; au-dessous : « bien connue ». Sous le crochet de gauche : « si $\mathrm{Pic}(k) = 0$ […] », avec une petite flèche. Une flèche en pointillé monte en oblique vers $C^*/k^*$ depuis la droite ; elle n'est pas reproduite.

On a $\varphi^e(x) = \varphi^e(y)$ ssi $y = \lambda x$ avec $\lambda\in\mu_2(k)$ (i.e. $\lambda\in k^*$, $\lambda^2 = 1$).

Supposons maintenant \[\{\pm 1\} \xrightarrow[\sim]{\text{iso}} \mu_2(k) .\] [Si $2$ inv. cela signifie que $\operatorname{Spec} k$ est connexe. Si $\operatorname{Spec} k$ non réduit, $\mathbb{Q}$-connexe. […] Si […] $2$ […] nul […], cela signifie que […] […] composantes connexes. Avoir […] […] conn. où $2$ est nul est $-1$ — i.e. $k = k'\times k''$ avec $2$ inv. dans $k'$, […] produit, avec […] […] nul dans $k''$, et $\operatorname{Spec}(k'')$ est connexe.]

Alors l'homomorphisme induit \[\psi^e : E^*/\pm 1 \xrightarrow{\ \sim\ } C^*(e)\] est bijectif. Cela nous permet de transporter sur $C^*(e)$ la structure

[…] […] […] dans […] […] […] […] […] comp. conn. note marginale oblique en regard du crochet ; lecture très incomplète.

72combinatoire $I_e$ sur $E^*/\pm 1$ : structure de graphe ⌜bi-polyèdre⌝ orienté. Je rappelle que cette structure consiste en

a) Structure de graphe : $\{\bar x,\bar y\}$ forment une arête […] ssi $\widetilde{x\wedge y} = e$ ou $-e$ ;

$\longmapsto$ structure triangulaire $\{x,y,z\}$ est un triangle ssi $\{\bar x,\bar y\}$, $\{\bar y,\bar z\}$, $\{\bar z,\bar x\}$ sont des arêtes.

NB a) Chaque arête est contenue dans exactement $2$ triangles ⌜b) les triangles sont les triplets de la forme $\{\bar x,\bar y,\bar z\}$, $x+y+z = 0$,⌝ est orienté.

b) Chaque triangle définit $\{\bar x,\bar y\}$ est divisé ([…] $\{\bar x,\bar y\}$ des triangles définis l'orientation de $x\wedge y$ est $x+y+z = 0$, par $x,y,z$ avec $x\wedge y = e$, d'où $y\wedge z = e$, $z\wedge x = e$ distincts, ssi ⌜les deux orientations d'une arête induites par celles des deux triangles adjacents sont opposées⌝

c) L'une des arêtes, qui est une incidente : une arête, […] […] […] combinatoire […] $\mathbb{Z}$ opère […] […] sur laquelle […] donnant structure […] ([…] par les […]) induisant la […] de […] […] […] […] $K$ dessus, d'une opération de $\mathbb{Z}$ […] ⌜(inutile)⌝ prolongeant celle de […] arêtes (et […] lesquelles […] des […] triangles ($\longmapsto$ arêtes) sont des $\mathbb{Z}$-torseurs. les alinéas b) et c) sont très raturés et chargés d'ajouts interlinéaires ; lecture très incomplète. La phrase se poursuit p. 73.

73NB Si $s = \bar x$, […] […] on définit $T_\lambda = T^s_\lambda$ sur l'ens. des […] […] à $s$, i.e. des $\bar y$ avec $x\wedge y = e$, par \[T_\lambda(\bar y) = \overline{y+\lambda x}\] ([…] […] $T_\lambda(y) = ($ (si on remplace $x$ par $-x$, on trouve la même opération $T_\lambda$). En fait, ici […] l'opér. $T_\lambda$ est induite par la transvection de $E$, $\mathrm{id}+\varphi^e(x\otimes x)$ $E\xrightarrow{u}$.

Cette structure se transporte sur $C^*(e)$. Il nous faut la pouvoir […] […] l'expliciter : […]

Notons que \[\underbrace{x\overset{e}{\otimes}x}_{=\varphi^e(x)} \circ \underbrace{y\overset{e}{\otimes}y}_{=\varphi^e(y)} = y\overset{e}{\otimes}x\,\bigl((x\wedge y)/e\bigr)\] NB $\operatorname{Tr} y\overset{e}{\otimes}x = (x\wedge y)/e$ donc \[\operatorname{Tr}(u\circ v) = -\bigl((x\wedge y)/e\bigr)^2\] \[x\wedge y = \pm e \iff \boxed{\ \operatorname{Tr} uv = -1\ }\] sous $u$ dans $\operatorname{Tr}(u\circ v)$ est rappelé, en partie biffé, $u = x\overset{e}{\otimes}x$. […] les triangles $\{u,v,w\}$ de $C^*(e)$ sont les triples $\{u,v,w\}$ tels que \[\operatorname{Tr} uv = \operatorname{Tr} vw = \operatorname{Tr} wu = -1\] Si […] \[x+y+z = 0 \qquad x\wedge y = y\wedge z = z\wedge x = e\] \[u = x\overset{e}{\otimes}x, \quad v = y\overset{e}{\otimes}y, \quad w = z\overset{e}{\otimes}z\] la page s'achève sur ces formules ; l'argument s'interrompt ici dans ce lot : le feuillet suivant ouvre une autre liasse, datée d'avril 1986.

On a donc trouvé sur $C^*$ une structure […] qui […] […] « […] » […] […] […] « […] » […] […] caractéristique […] ?? […] $\operatorname{Tr} uv = +1$ note marginale oblique dans la marge gauche ; lecture très incomplète.

Azumaya rang 4 — avril 1986

titre et date de la main de l'auteur, seuls inscrits en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 74 du fonds), qui sert de couverture à la liasse qui suit.

75le feuillet est écrit au verso d'une page dactylographiée qui transparaît ; seule l'écriture manuscrite est transcrite. \[\delta(xyzt) = \delta(xy(zt)) = Q\bigl(\delta(x),\delta(y),\delta(zt),\delta(xy),\delta(yzt),\delta(ztx)\bigr)\] \[\text{\struck{$= \delta(x(yz),t)$}}\] sous $\delta(yzt)$ et $\delta(ztx)$, soulignés : « remplaçons les pol. en $\delta(y),\delta(z),\delta(t)$ » ; lecture douteuse. \[= \delta(x(yz)t) = Q\bigl(\delta(x),\delta(yz),\delta(t),\delta(xyz),\delta(yzt),\delta(tx)\bigr)\] \[= \delta((xy)zt) = Q\bigl(\delta(xy),\delta(z),\delta(t),\delta(xyz),\delta(zt),\delta(txy)\bigr)\] petit schéma reliant par des traits les mots de trois lettres $yzt$, $ztx$, $xyz$, $txy$ apparus dans les trois expressions.

On trouve trois expressions polynômiales différentes d'une […] quantité, d'où $2$ relations (quasi ! […]) entre les dix quantités \[\delta(x),\delta(y),\delta(z),\delta(t),\ \delta(xy)\,\delta(xz)\,\delta(xt)\,\delta(yz)\,\delta(yt)\,\delta(zt)\] […] […] […] […]

$\tau$ normalise $H\subset G$, $H$ commutatif, […] que si $h\in H$, \[\boxed{\ \delta(\tau h) \overset{?}{=} \delta(\tau)\ }\] […] $\tau^n(h)$ ⌜$\overset{\text{déf}}{=} \tau^n h \tau^{-n}$⌝ commute à $h$ ($n\in\mathbb{Z}$), […] […] […] la formule, en écrivant. On aimerait l'écrire comme une identité inconditionnelle ⌜(pour $t\in\mathbb{Z}$)⌝ […] […] \[\delta(\tau h) - \delta(\tau) = \text{expression polynomiale en}\] \[\underbrace{\delta(\{\tau^{n}(h), h\})}_{\text{commutateurs}} \text{ et } \delta(\tau)\,\delta(\tau h),\ \delta(h)\] sous l'accolade : « dont tous les termes contiennent un $\delta(\{\ldots\})$ » ; lecture douteuse. À droite, les commutateurs $\{\tau h\tau^{-1}, h\}$ et $\{\tau^{-1}h\tau, h\}$ sont développés : $\tau h\tau^{-1}h\tau h^{-1}\tau^{-1}h^{-1}$ et $\tau^{-1}h\tau h\tau^{-1}h^{-1}\tau h^{-1}$. (peut-être suffit-il de $\{\tau h\tau^{-1}, h\}$ et $\{\tau^{-1}h\tau, h\}$)

A-t-on […] […] \[\boxed{\ \delta(\tau.\underbrace{\tau(h)h^{-1}}_{\{\tau,h\}}) \overset{?}{=} \delta(\tau)\ } \qquad (\text{si } \tau \text{ normalise } H \text{ commut., } h\in H)\]

C'est idiot !, […] […] […] […] expression […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] … note marginale oblique dans la marge gauche, soulignée « idiot » ; lecture très incomplète.

77Description ⌜élémentaire⌝ de $A \simeq M_2(k)$ ($k$ corps) en termes de $G = A^*/k^*$ (tentatives) encadré en haut à droite de la page, en guise de titre. Dans la définition de $\delta(\bar x)$ comme dans la troisième relation ci-dessous, un premier membre illisible est biffé avant la formule retenue. \[\left[\ x*y = \bar x\,\bar y\,\bar x^{-1}\,\bar y^{-1} \qquad \delta(\bar x) = \frac{b^2-4c}{c} \ \right] \qquad c = \det x,\ b = \operatorname{Tr} x\] \[1*1 = 1\] \[(x*y)(y*x) = 1\] \[xs*y = x*y \quad\text{si } s, y \text{ commutent}\] \[[\, x*yt = x*y \quad\text{si } t, x \text{ ——}\,]\] \[[\, x*y = 1 \quad\text{si } x, y \text{ commutent}\,]\] \[(x*y)^2 - P(\delta x,\delta y,\delta(xy))\, x*y + 1 = 0 \qquad P\in\mathbb{Z}[X,Y,Z] \text{ bien déterminé}\] \[[\,\delta(z), x*y\,] = [\,\delta(z),\delta(z')\,] = 0\] \[\left\{ \begin{array}{l} \delta(xy) = \delta(yx) \qquad\text{i.e. } \delta(g(x)) = \delta(x) \qquad (x,y,g\in G) \\ \delta(x) = \delta(x^{-1}) \\ \delta(xy) + \underbrace{\delta(xy^{-1})}_{=\delta(x^{-1}y)} = (\delta(x)+2)(\delta(y)+2) - 4 \end{array} \right.\] \[= \delta(x)\delta(y) + 2(\delta(x)+\delta(y))\] la troisième relation est cernée ; un trait la relie à « si $x, y$ commutent seulement ??? », et au-dessous : « À vérifier ! ». \[\Bigl[\ \boxed{\delta(1) = 0} \Bigr]\] $\delta(x^n) = P_n(\delta(x))$, $\delta(x^n y^m) = P_{n,m}(\delta(x),\delta(y),\delta(xy))$ etc. ⌜non commutatifs…⌝ […] d'autres monômes non commutatifs ont une valeur pol.

Pour $x_1, x_2, x_3, x_4\in G$, il doit y avoir une relation à coefficients dans $\mathbb{Z}$ entre les \[\delta(x_i)\ (1\leq i\leq 4), \qquad \delta(x_i x_j)\ (1\leq i<j\leq 4)\] (dix quantités, […] […] […] « indépendantes » de celle précédente …] tout ce paragraphe est marqué d'un double trait vertical dans la marge. \[\boxed{\ \delta(xyz) \overset{?}{=} Q\bigl(\delta(x),\delta(y),\delta(z),\delta(xy),\delta(yz),\delta(zx)\bigr)\ }\] (pol. univ. à coefficients entiers en six variables, déterminé) Ceci donne $\delta(x^n)$ comme un pol. \[\delta(x^2) = (\delta(x)+2)^2 - 4 = \delta(x)^2 + 4\delta(x) \qquad [\text{cas particulier de } \delta(xy)+\delta(xy^{-1}) = \ldots]\] \[\delta(x^n) = P_n(\delta(x)) \qquad n\in\mathbb{Z} \qquad P_n = P_{-n}\] \[\delta(x^n y^m) = P_{n,m}(\delta(x),\delta(y),\delta(xy))\] \[\delta(\underbrace{M(x_1,\ldots,x_n)}_{\substack{\text{monôme non commutatif}\\ \text{à exposants entiers}\,\in\mathbb{Z}}}) = P_M\bigl((\delta(x_i)),(\delta(x_i x_j))\bigr)\] sous $P_M$ : « pol. à coeff. dans $\mathbb{Z}$ (pas uniquement déterminé si $n\geq 4$) ». Avant $M(x_1,\ldots,x_n)$ le mot « monôme » est biffé puis réécrit dessous.

80Azumaya rang 4 (I)

Avril 86

1. Soient $k$ anneau, $A$ algèbre d'Azumaya sur $k$ de rang $4$ (donc loc. iso. à $M_2(k)$). On a alors \[(1)\quad \left\{ \begin{array}{lll} \operatorname{Tr} : A\longrightarrow k & k\text{-linéaire} & \\ \det : A\longrightarrow k & \text{multiplicatif} & \text{, quadratique} \end{array} \right.\] tels que $\forall u\in A$, on ait \[(2)\quad u^2 - \operatorname{Tr}(u).u + \det(u) = 1\] (Hamilton-Cayley). De plus, on a \[(3)\quad \det(u+v) = \det u + \det v + (\operatorname{Tr}u\operatorname{Tr}v - \operatorname{Tr}(uv))\] dans (2), le second membre se lit « $1$ » ; on attendrait $0$. (i.e. \[(u,v)\longmapsto \Phi(u,v) \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Tr}u\operatorname{Tr}v - \operatorname{Tr}(uv)\] est la forme bil. ass. à la forme quad. $\det$).

Remarques On peut s'intéresser aux $k$-alg. quelconques $A$ pour lesquelles on a (1) (2) (3). Si $A$ est proj. de t.f. disons et $2$ inv. dans $k$, alors (1) (2) $\Rightarrow$ (3), car il suffit de le voir pour $u = v$ (deux formes bil. sym. qui coïncident pour $u = v$ coïncident), et alors cela se résulte de réduit à une vérification dans les $k[u] = k\oplus k.u$ quadratiques sur $k$…]. La relation pertinente est \[(4)\quad (\operatorname{Tr}u)^2 - \operatorname{Tr}(u^2) = 2\det u ,\] et elle résulte de (2) en l'écrivant sous la forme \[(2')\quad u^2 = \operatorname{Tr}(u)u - \det(u)\] et portant cette valeur de $u^2$ dans (4), compte tenu… la phrase se poursuit au-delà de la page 80, hors de ce lot.