Fonds Grothendieck, cote n° 83, pages 61–80

la page s'ouvre sur une nouvelle mise en place, sans renvoi explicite aux pages précédentes ; elle est très raturée. Soit M alg. d'Azumaya sur corps \mathbb{F}_p, p premier impair, et C^* l'ens. des éléments nilpotents non nuls de M. Alors C^* se divise naturellement en deux C^*_i, \lambda\, C^*_i = C^*_i \quad\text{ssi}\quad \lambda \in k^{*2} \qquad (\text{pour } \lambda\in k^*) . sous k^{*2} est inscrit, en petit, « \simeq k^*/\pm 1 » ; lecture douteuse.

Sur C^*, il y a une str. canon. de bi-cônes, ~~il y a une sur chaque C_i, des des cônes orientés multi-cônes~~, et les opérations \overline{T}_\lambda (\lambda\in k^*) induisent les homothéties \lambda^2. Le groupe Gp_M(\struck{\ill{}}) \simeq M^*/k^* ~~C_i~~ ~~groupe des cônes~~ des cônes bi-cônes orientés, il a un sous-groupe d'indice 2 : les qui préservent les mieux. ~~Le groupe~~

~~Gp_M\times k^* est le groupe des automorphismes~~ ~~des~~ ~~qui préserve~~ des structures de C_i ~~et l'un E~~ : Considérons C_i, les bi-cônes par les transformations \overline{T}_{\lambda^2}(c_i) ( les \overline{T}_{\lambda^2}(c_i)).

\overline{T}_\lambda transporte des structures : \{a,b\} est une préservée par T_\lambda(c_i) ssi \{T_\lambda a, T_\lambda b\} dans est une par c_i et non pas \{a, T_\lambda b\} si \lambda^2 = -1, on trouve donc T_\lambda(c_i) = c_i, mais T'_\lambda est une autre…

il y a une classique (cf. p. 27 ?), bien mystérieux ! note marginale écrite en oblique dans l'angle gauche ; presque entièrement illisible. Le renvoi « p. 27 » est de l'auteur ; lecture douteuse.

de ce qui renverse l'orientation. Ce Donc la structure E, dans le cas de l'iso. p=5, où k^{*2} = \{\pm 1\}, est la icosaédrale (une orientation de bi-icosaèdre). Ceci dit, Gp\times k^* opérant le groupe des structure de multi-cônes. dans « k^{*2} » l'exposant est surchargé de traits ; lecture douteuse.

On trouve une représentation exceptionnelle, remarquable, des autres Gp. ~~par les~~ Considérons les couples universels (« définis sur \mathbb{Z} ») qui sont (\rho_f d'ordre 3, \det\rho_f = 1, \operatorname{Trace}\rho_f = -1) et \rho_s unipotent (\det\rho_s = 1, \operatorname{Tr}\rho_s = 2), lesquelles \rho_s soit unipotent, dans Alg d'Azumaya engendrée par \rho_a = \sigma \text{ d'ordre } 4, \qquad \rho_f \text{ d'ordre } 3, \left\{ \begin{array}{ll} \det\sigma = 1 , & \det\rho_f = 1 \\ \operatorname{Tr}\sigma = 0 , & \operatorname{Tr}\rho_f = -1 \end{array} \right. avec \sigma . \rho_f = \rho_s^{-1} \qquad \rho_s \text{ unipotent i.e. } \det\rho_s = 1,\ \operatorname{Tr}\rho_s = 2 . dans « \sigma.\rho_f = \rho_s^{-1} » un symbole entre = et \rho_s est noirci et biffé.

NB l'homothétie -1 inverse les deux d'isotropie, la structure ; il deux C_i ssi -1 \in k^{*2} — un autre orientés de structure . Je sur l'expression C^* des (dans les ) note marginale écrite en oblique sur la partie gauche de la page, en travers du texte ; lecture très incomplète.

On trouve une représentation fidèle de SL(2,\mathbb{Z})/\pm 1 dans le groupe par \sigma et \rho_f mod le centre de l'alg. d'Azumaya.) Considérons la représentation de la bi--universelle, dans les (\operatorname{Tr} u = 1, ) engendrée par les \rho_s. En

En réduisant mod n, je dis que ça se factorise par SL(2,\mathbb{Z}/n)/\pm 1 (tautologique, tel que j'ai présenté choses), et la représentation est celle que j'ai décrite tantôt (mais qui dit un sens, en supposant n premier…). dans « SL(2,\mathbb{Z}/n) » le n est écrit par-dessus un autre symbole biffé.

Les relations sont les mêmes . Les générateurs : paires d'unipotents (\rho_s, \sigma\rho_s\sigma^{-1}), \rho_{s'} où s' = \sigma(s), i.e. paires d'unipotents (u,u') tels que \operatorname{Tr} uu' = -1 -\sigma\rho_s\sigma note marginale en oblique sur le bord gauche, en partie biffée.

Soit A une algèbre d'Azumaya de rang 4 sur un anneau k, et supposons que M M soit « triviale », plus précisément, qu'elle provienne d'un k-module projectif de rang 2 E, tel que le module inversible \det E soit trivial (i.e. le ~~groupe~~ Gp(1)_k-torseur déduit venant de M que remonte en un Sl(2)_k-torseur.) Mais pour le moment, supposons seulement que M soit triviale i.e. M \simeq \operatorname{End}(E) . « Soit A » au début, puis M dans toute la suite.

Soit u\in M un élément nilpotent dégénéré de carré nul. Alors \operatorname{Im} u = \operatorname{Ker} u définit une « droite » L\subset M, et D = ku \simeq L\otimes L', où L' est l'orthogonal de L dans \check{E} \simeq E\otimes \struck{\ill{}}^{-1} (où \underline{\omega} = \omega(E)). ~~Dans~~ En fait, l'identification précédente (définie au signe près, conventions de signes) L' = L\otimes \underline{\omega}^{-1} \qquad\text{donc} D \simeq L^{\otimes 2}\otimes\underline{\omega}^{-1} \quad\text{i.e.}\quad \underline{\omega} \xrightarrow[\sim]{\varphi_L} \underline{\operatorname{Hom}}(L^{\otimes 2}, D_L) sous le premier D est inscrit l'indice L : D_L. [Ceci, au moins pour fait la conv. de signe]. Le choix d'une base e\in\underline{\omega}, d'où e^{-1}\in\underline{\omega}^{-1}, définit un iso. \varphi_L^e : \struck{\ill{}} \; L^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } D_L Si on remplace e par \lambda e, e^{-1} est remplacé par \lambda^{-1}e^{-1} et on trouve \varphi_L^{\lambda e} = \lambda\, \varphi_L^{e} . Quand e est choisi (str. symplectique sur E)

d'où l'iso \varphi^e, et si on suppose L trivial i.e. L^* non vide, pour D, correspondant ~~des~~ l'hyp. qui ku) dans D^* il y a une classe d'éléments modulo k^{*2}, privilégiée : celle formée par les \varphi^e(x\otimes x), pour x\in L^*. Appelons-la D^*(e) : ~~On aura D^*(\lambda e) = \lambda D^*(e).~~ D^*(e) = \{\, \varphi_L^e(x\otimes x) \mid x\in L^* \,\} \qquad\text{pour } D = D_L donc D^*(\lambda e) = \lambda D^*(e) et bien sûr \lambda^2 D^*(e) = D^*(e), puisque D^*(e) = k^{*2}u pour u\in D^*(e).

La subdivision de D^* On peut dire que un iso. can. quant le k^*-torseur D^*, D^*/k^{*2} \simeq \underline{\omega}^*/k^{*2} .

Supposons que {}_2\mathrm{Pic}(k) = 0, donc pour toute ~~droite L de~~ u dans le cône C^* des éléments de M nilpotents dégénérés de carré nul, (i.e. tels que \operatorname{Tr} u = \det u = 0) la droite L_u est non vide. Alors

On définit \struck{\ill{}} C^*(e) = \bigcup_{D} D^*(e) et on a ceci : \left\{ \begin{array}{l} C^*(\lambda e) = \lambda C^*(e) \\ \lambda^2 C^*(e) = C^*(e) \end{array} \right. donc C^*(e) ne dépend que de e mod k^{*2} .

et on trouve que C^* = \coprod_{e\in\underline{\omega}^*/k^{*2}} C^*(e) sous l'indice \underline{\omega}^*/k^{*2}, souligné d'un trait ondulé : « torseur sous k^*/k^{*2} ». partition qui est permutée transitivement par les homothéties de M, L' que \lambda C^*(e) = C^*(\lambda e). L'ens. des classes de cette partition est de façon naturelle (via la relation d'homothéties) un torseur sous k^*/k^{*2}, et ce torseur est can. iso à \underline{\omega}^*/k^{*2}.

Cette subdivision de C^* en classes ne dépend que de M, et pas du choix de E (avec \det E\simeq k) et d'un iso \operatorname{End}(E)\simeq M. On va plus loin, On.

On a une application surjective \varphi^e : E^* \longrightarrow C^*(e), \qquad x\longmapsto \varphi^e(x\otimes x) satisfaisant \left\{ \begin{array}{l} \varphi^e(\lambda x) = \lambda^2 \varphi^e(x) \\ \varphi^{\lambda e}(x) = \lambda\, \varphi^e(x) \end{array} \right.

On {}_2\mathrm{Pic}(k) = 0 ( ) d'une note marginale oblique, reliée par une flèche au texte ; lecture très incomplète. Un signe de vérification (double trait) est tracé dans la marge gauche.

Ainsi, chaque classe C^*_i (= C^*(e)) ~~(e fixé)~~ est munie d'une structure (indépendante du choix de e) tri-angulaire orientée canonique, et en plus d'une -orientation (dépendant a priori du choix de e) qu'il faudrait expliciter. Le groupe projectif de M, M^*/k^* (\simeq \operatorname{End}(E)/k^*) permute ~~deux~~ entre elles les C^*_i, (par transport des structures) en respectant les structures et orientations.

On ~~Les autres~~ On fera attention ~~qui~~ que pour u\in GL(E), définissant \bar u\in \struck{GL(E)} \, GL(E)/k^*\simeq M^*/k^* (opérant dans C^*), l'automorphisme de M^* qu'il définit, est donné par \Theta \longmapsto u(\Theta) = u\,\Theta\, u^{-1} . Ceci est compatible avec l'application \varphi^e : E^* \xrightarrow{\ \sim\ } C^*(e) \subset C^* (avec GL(E) opérant sur E^* et sur C^*) que sur le sous-groupe SL(E). De façon précise, on aura \boxed{\ \Theta(\varphi^e(x)) = \det\Theta\,\bigl(\varphi^e(\Theta(x))\bigr)\ } \Bigl(\, \Theta(x\overset{e}{\otimes} x) = \Theta(x)\overset{\Theta(e)}{\otimes}\Theta(x) = \Theta(x)\overset{\det\Theta.e}{\otimes}\Theta(x) = \det\Theta\,\bigl(\Theta(x)\overset{e}{\otimes}\Theta(x)\bigr) \Bigr) ~~Dans le groupe~~

Attention « Attention » souligné, dans la marge gauche, devant un double trait vertical qui encadre l'alinéa « On fera attention… ».

ici il faut C^* \operatorname{Tr} u = 0 note marginale oblique dans l'angle gauche ; lecture très incomplète.

Remarques Indépendamment de l'hyp. sur {}_2\mathrm{Pic}(k) et sur M, on peut regarder C^*, et la structure de « graphe » sur C^* définie par la relation \operatorname{Tr}(uv) = -1, d'où structure triangulaire. Mais

1°) C^* n'est non vide que si M est triviale, plus précisément si M\simeq\operatorname{End}(E) avec E = k\oplus L (L module inv.)

~~On a dit~~ 2°) ~~Il Je~~ L'un des côtés est non vide ssi M \simeq M_2(k). En effet, si \exists côté non vide \{u,v\} ~~Trace~~ avec u,v\in C^*, \operatorname{Tr} uv = -1, les relations de conjugaison nous fournissent un homomorphisme M_2 \to M, transformant (u_0,v_0) couple type en (u,v) (donc on a conditions !). Bon aussi que u_0 en u, v_0 en v dans M, satisfaisant les

Donc on a indirectement si on beaucoup M\simeq\operatorname{End}(E), un supplémentaire E iso à deux libre. la fin de la page est d'une lecture très incertaine ; le fil reprend p. 69.

le début de la page (jusqu'à « = z\overset{e}{\otimes}x ») est barré de trois traits obliques ; l'argument commence sur une page qui ne figure pas dans ce lot. ~~utilisant la formule~~ \text{\struck{$(a\overset{e}{\otimes}b)\circ(c\overset{e}{\otimes}d) \simeq c\overset{e}{\otimes}b\,(d\wedge a/e)$}} , ~~on trouve~~ \text{\struck{$u\circ w = \bigl(y\overset{e}{\otimes}(-x\wedge y/e)\bigr)\, z\overset{e}{\otimes}z$}} \text{\struck{$= -z\otimes x\,(z\wedge y/e) = z\overset{e}{\otimes}x$}} sous les deux facteurs soulignés (-x\wedge y/e) et (z\wedge y/e) est inscrit « -1 ».

Il existe donc un unique \rho\in GL(E) tel que \rho x = y, \quad \rho y = z, \quad \rho z = x et ce \rho est d'ordre 3. Il ne change pas quand on remplace \{x,y,z\} par (-x,-y,-z), il ne dépend que du triplet \{\bar x,\bar y,\bar z\} et d'une orientation de ce triplet. Changer l'orientation, revient à changer \rho en \rho^{-1}.

On a aussi \det\rho = 1, \quad \operatorname{Tr}\rho = 1, \quad\text{donc}\quad \rho^{-1} = 1-\rho = \rho' \quad (\text{conj. de } \rho) Considérons \tau = x\overset{e}{\otimes}x + y\overset{e}{\otimes}y + z\overset{e}{\otimes}z On a \operatorname{Tr}\tau = 0, \det\tau = \struck{4}\,3 (par d' des dét.…) C'est qui commute à \rho, donc de la forme \tau = a\rho + b d'où, en prenant les traces \operatorname{Tr}\tau = a + 2b \quad\text{donc}\quad a = -2b, \text{ donc} \tau = \struck{a\rho+2b}\; b(-2\rho+1) \det\tau = b^2\det(1-2\rho) \qquad\text{où } \det(1-2\rho) = 3 la lecture « \operatorname{Tr}\rho = 1 » est celle du manuscrit ; avec \det\rho = 1 et \rho^3 = 1, \rho\neq 1, on attendrait \operatorname{Tr}\rho = -1. La suite (\rho^{-1} = 1-\rho, \det(1-2\rho) = 3) est cohérente avec \operatorname{Tr}\rho = 1, i.e. avec \rho d'ordre 6 ; le manuscrit dit « d'ordre 3 ».

Donc b^2 = 1 i.e. b = \pm 1, donc \tau = \pm(1-2\rho) ~~Supposons qu'on ait~~ \tau = 1-2\rho alors ~~on ne peut~~ on ~~temps~~ -(1-2\rho) (car 2 \cdot 1_k \struck{{}\neq 0}), donc cela fixe \rho dans la ~~paire~~ \{\rho, \rho' = 1-\rho\}. Mais il faut voir lequel ! ~~Donc quelle satisfait la ,~~ \text{\struck{$u+v+w = 1-2\rho$}} Revenant : M, on peut dire que pour un triangle \{u,v,w\} de C^*(e), il existe \rho\in M^* \text{ unique} \left\{ \begin{array}{l} \det\rho = 1 \\ \rho^3 = 1 \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \rho \text{ induit une permutation} \\ \text{circulaire entre les } u, v, w \end{array} et \operatorname{Tr}\rho = \operatorname{Tr}\rho' = 1 … que \rho, ou plutôt si \rho' pris. Il y a cependant un seul tel \rho, tel que \boxed{\ u+v+w = 1-2\rho\ } vérifie ici cette relation ! D'où la structure orientée : quand \{u,v,w\} forment un triangle, le \rho qui vient de dire, induit sur \{u,v,w\} une permutation définit une orientation circulaire canonique.

C'est alors \operatorname{Tr}\rho = 1 \det\rho = {} \rho^3 = 1 note marginale oblique dans la marge gauche ; lecture très incomplète.

et on a un ~~bijection~~ diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=large] {[E^*/k^* \simeq \mathbb{P}(E)(k)]} \arrow[r, "\sim"] & C^*/k^* \\ E^* \arrow[u] \arrow[r, "\varphi^e"] & C^*(e)\subset C^* \arrow[u] \end{tikzcd}

au-dessus de la flèche horizontale supérieure : « induit bijection de schémas » ; au-dessous : « bien connue ». Sous le crochet de gauche : « si \mathrm{Pic}(k) = 0 », avec une petite flèche. Une flèche en pointillé monte en oblique vers C^*/k^* depuis la droite ; elle n'est pas reproduite.

On a \varphi^e(x) = \varphi^e(y) ssi y = \lambda x avec \lambda\in\mu_2(k) (i.e. \lambda\in k^*, \lambda^2 = 1).

Supposons maintenant \{\pm 1\} \xrightarrow[\sim]{\text{iso}} \mu_2(k) . [Si 2 inv. cela signifie que \operatorname{Spec} k est connexe. Si \operatorname{Spec} k non réduit, \mathbb{Q}-connexe. Si 2 nul , cela signifie que composantes connexes. ~~Avoir~~ conn. où 2 est nul est -1 — i.e. k = k'\times k'' avec 2 inv. dans k', produit, avec nul dans k'', et \operatorname{Spec}(k'') est connexe.]

Alors l'homomorphisme induit \psi^e : E^*/\pm 1 \xrightarrow{\ \sim\ } C^*(e) est bijectif. Cela nous permet de transporter sur C^*(e) la structure

dans comp. conn. note marginale oblique en regard du crochet ; lecture très incomplète.

combinatoire I_e sur E^*/\pm 1 : structure de ~~graphe~~ bi-polyèdre orienté. Je rappelle que cette structure consiste en

a) Structure de graphe : \{\bar x,\bar y\} forment une arête ssi \widetilde{x\wedge y} = e ou -e ;

\longmapsto structure triangulaire \{x,y,z\} est un triangle ssi \{\bar x,\bar y\}, \{\bar y,\bar z\}, \{\bar z,\bar x\} sont des arêtes.

NB a) Chaque arête est contenue dans exactement 2 triangles b) les triangles sont les triplets de la forme \{\bar x,\bar y,\bar z\}, x+y+z = 0, est orienté.

b) Chaque triangle ~~définit \{\bar x,\bar y\} est divisé (~~ \{\bar x,\bar y\} des triangles définis l'orientation ~~de x\wedge y~~ est x+y+z = 0, par x,y,z avec x\wedge y = e, d'où y\wedge z = e, z\wedge x = e distincts, ssi les deux orientations d'une arête induites par celles des deux triangles adjacents sont opposées

c) L'une des arêtes, qui est une incidente : une arête, combinatoire \mathbb{Z} opère sur laquelle donnant structure ( par les ) induisant la de K dessus, d'une opération de \mathbb{Z} (inutile) prolongeant celle de arêtes (et lesquelles des ~~triangles~~ (\longmapsto arêtes) sont des \mathbb{Z}-torseurs. les alinéas b) et c) sont très raturés et chargés d'ajouts interlinéaires ; lecture très incomplète. La phrase se poursuit p. 73.

NB Si s = \bar x, on définit T_\lambda = T^s_\lambda sur l'ens. des à s, i.e. des \bar y avec x\wedge y = e, par T_\lambda(\bar y) = \overline{y+\lambda x} ~~( T_\lambda(y) = (~~ (si on remplace x par -x, on trouve la même opération T_\lambda). En fait, ici l'opér. T_\lambda est induite par la transvection de E, \mathrm{id}+\varphi^e(x\otimes x) ~~E\xrightarrow{u}~~.

Cette structure se transporte sur C^*(e). Il nous faut la pouvoir l'expliciter :

Notons que \underbrace{x\overset{e}{\otimes}x}_{=\varphi^e(x)} \circ \underbrace{y\overset{e}{\otimes}y}_{=\varphi^e(y)} = y\overset{e}{\otimes}x\,\bigl((x\wedge y)/e\bigr) NB \operatorname{Tr} y\overset{e}{\otimes}x = (x\wedge y)/e donc \operatorname{Tr}(u\circ v) = -\bigl((x\wedge y)/e\bigr)^2 x\wedge y = \pm e \iff \boxed{\ \operatorname{Tr} uv = -1\ } sous u dans \operatorname{Tr}(u\circ v) est rappelé, en partie biffé, u = x\overset{e}{\otimes}x. les triangles \{u,v,w\} de C^*(e) sont les triples \{u,v,w\} tels que \operatorname{Tr} uv = \operatorname{Tr} vw = \operatorname{Tr} wu = -1 Si x+y+z = 0 \qquad x\wedge y = y\wedge z = z\wedge x = e u = x\overset{e}{\otimes}x, \quad v = y\overset{e}{\otimes}y, \quad w = z\overset{e}{\otimes}z la page s'achève sur ces formules ; l'argument s'interrompt ici dans ce lot : le feuillet suivant ouvre une autre liasse, datée d'avril 1986.

On a donc trouvé sur C^* une structure qui « » « » caractéristique ?? \operatorname{Tr} uv = +1 note marginale oblique dans la marge gauche ; lecture très incomplète.

Azumaya rang 4 — avril 1986

titre et date de la main de l'auteur, seuls inscrits en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 74 du fonds), qui sert de couverture à la liasse qui suit.

le feuillet est écrit au verso d'une page dactylographiée qui transparaît ; seule l'écriture manuscrite est transcrite. \delta(xyzt) = \delta(xy(zt)) = Q\bigl(\delta(x),\delta(y),\delta(zt),\delta(xy),\delta(yzt),\delta(ztx)\bigr) \text{\struck{$= \delta(x(yz),t)$}} sous \delta(yzt) et \delta(ztx), soulignés : « remplaçons les pol. en \delta(y),\delta(z),\delta(t) » ; lecture douteuse. = \delta(x(yz)t) = Q\bigl(\delta(x),\delta(yz),\delta(t),\delta(xyz),\delta(yzt),\delta(tx)\bigr) = \delta((xy)zt) = Q\bigl(\delta(xy),\delta(z),\delta(t),\delta(xyz),\delta(zt),\delta(txy)\bigr) petit schéma reliant par des traits les mots de trois lettres yzt, ztx, xyz, txy apparus dans les trois expressions.

On trouve trois expressions polynômiales différentes d'une quantité, d'où 2 relations (quasi ! ) entre les dix quantités \delta(x),\delta(y),\delta(z),\delta(t),\ \delta(xy)\,\delta(xz)\,\delta(xt)\,\delta(yz)\,\delta(yt)\,\delta(zt)

\tau normalise H\subset G, H commutatif, que si h\in H, \boxed{\ \delta(\tau h) \overset{?}{=} \delta(\tau)\ } \tau^n(h) \overset{\text{déf}}{=} \tau^n h \tau^{-n} commute à h (n\in\mathbb{Z}), la formule, en écrivant. On aimerait l'écrire comme une identité inconditionnelle (pour t\in\mathbb{Z}) \delta(\tau h) - \delta(\tau) = \text{expression polynomiale en} \underbrace{\delta(\{\tau^{n}(h), h\})}_{\text{commutateurs}} \text{ et } \delta(\tau)\,\delta(\tau h),\ \delta(h) sous l'accolade : « dont tous les termes contiennent un \delta(\{\ldots\}) » ; lecture douteuse. À droite, les commutateurs \{\tau h\tau^{-1}, h\} et \{\tau^{-1}h\tau, h\} sont développés : \tau h\tau^{-1}h\tau h^{-1}\tau^{-1}h^{-1} et \tau^{-1}h\tau h\tau^{-1}h^{-1}\tau h^{-1}. (peut-être suffit-il de \{\tau h\tau^{-1}, h\} et \{\tau^{-1}h\tau, h\})

A-t-on \boxed{\ \delta(\tau.\underbrace{\tau(h)h^{-1}}_{\{\tau,h\}}) \overset{?}{=} \delta(\tau)\ } \qquad (\text{si } \tau \text{ normalise } H \text{ commut., } h\in H)

C'est idiot !, expression … note marginale oblique dans la marge gauche, soulignée « idiot » ; lecture très incomplète.

Description élémentaire de A \simeq M_2(k) (k corps) en termes de G = A^*/k^* (tentatives) encadré en haut à droite de la page, en guise de titre. Dans la définition de \delta(\bar x) comme dans la troisième relation ci-dessous, un premier membre illisible est biffé avant la formule retenue. \left[\ x*y = \bar x\,\bar y\,\bar x^{-1}\,\bar y^{-1} \qquad \delta(\bar x) = \frac{b^2-4c}{c} \ \right] \qquad c = \det x,\ b = \operatorname{Tr} x 1*1 = 1 (x*y)(y*x) = 1 xs*y = x*y \quad\text{si } s, y \text{ commutent} [\, x*yt = x*y \quad\text{si } t, x \text{ ——}\,] [\, x*y = 1 \quad\text{si } x, y \text{ commutent}\,] (x*y)^2 - P(\delta x,\delta y,\delta(xy))\, x*y + 1 = 0 \qquad P\in\mathbb{Z}[X,Y,Z] \text{ bien déterminé} [\,\delta(z), x*y\,] = [\,\delta(z),\delta(z')\,] = 0 \left\{ \begin{array}{l} \delta(xy) = \delta(yx) \qquad\text{i.e. } \delta(g(x)) = \delta(x) \qquad (x,y,g\in G) \\ \delta(x) = \delta(x^{-1}) \\ \delta(xy) + \underbrace{\delta(xy^{-1})}_{=\delta(x^{-1}y)} = (\delta(x)+2)(\delta(y)+2) - 4 \end{array} \right. = \delta(x)\delta(y) + 2(\delta(x)+\delta(y)) la troisième relation est cernée ; un trait la relie à « si x, y commutent seulement ??? », et au-dessous : « À vérifier ! ». \Bigl[\ \boxed{\delta(1) = 0} \Bigr] \delta(x^n) = P_n(\delta(x)), \delta(x^n y^m) = P_{n,m}(\delta(x),\delta(y),\delta(xy)) etc. non commutatifs… d'autres monômes non commutatifs ont une valeur pol.

Pour x_1, x_2, x_3, x_4\in G, il doit y avoir une relation à coefficients dans \mathbb{Z} entre les \delta(x_i)\ (1\leq i\leq 4), \qquad \delta(x_i x_j)\ (1\leq i<j\leq 4) (dix quantités, « indépendantes » de celle précédente …] tout ce paragraphe est marqué d'un double trait vertical dans la marge. \boxed{\ \delta(xyz) \overset{?}{=} Q\bigl(\delta(x),\delta(y),\delta(z),\delta(xy),\delta(yz),\delta(zx)\bigr)\ } (pol. univ. à coefficients entiers en six variables, déterminé) ~~Ceci donne \delta(x^n) comme un pol.~~ \delta(x^2) = (\delta(x)+2)^2 - 4 = \delta(x)^2 + 4\delta(x) \qquad [\text{cas particulier de } \delta(xy)+\delta(xy^{-1}) = \ldots] \delta(x^n) = P_n(\delta(x)) \qquad n\in\mathbb{Z} \qquad P_n = P_{-n} \delta(x^n y^m) = P_{n,m}(\delta(x),\delta(y),\delta(xy)) \delta(\underbrace{M(x_1,\ldots,x_n)}_{\substack{\text{monôme non commutatif}\\ \text{à exposants entiers}\,\in\mathbb{Z}}}) = P_M\bigl((\delta(x_i)),(\delta(x_i x_j))\bigr) sous P_M : « pol. à coeff. dans \mathbb{Z} (pas uniquement déterminé si n\geq 4) ». Avant M(x_1,\ldots,x_n) le mot « monôme » est biffé puis réécrit dessous.

Azumaya rang 4 (I)

Avril 86

1. Soient k anneau, A algèbre d'Azumaya sur k de rang 4 (donc loc. iso. à M_2(k)). On a alors (1)\quad \left\{ \begin{array}{lll} \operatorname{Tr} : A\longrightarrow k & k\text{-linéaire} & \\ \det : A\longrightarrow k & \text{multiplicatif} & \text{, quadratique} \end{array} \right. tels que \forall u\in A, on ait (2)\quad u^2 - \operatorname{Tr}(u).u + \det(u) = 1 (Hamilton-Cayley). De plus, on a (3)\quad \det(u+v) = \det u + \det v + (\operatorname{Tr}u\operatorname{Tr}v - \operatorname{Tr}(uv)) dans (2), le second membre se lit « 1 » ; on attendrait 0. (i.e. (u,v)\longmapsto \Phi(u,v) \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Tr}u\operatorname{Tr}v - \operatorname{Tr}(uv) est la forme bil. ass. à la forme quad. \det).

Remarques On peut s'intéresser aux k-alg. quelconques A pour lesquelles on a (1) (2) (3). Si A est proj. de t.f. disons et 2 inv. dans k, alors (1) (2) \Rightarrow (3), car il suffit de le voir pour u = v (deux formes bil. sym. qui coïncident pour u = v coïncident)~~, et alors cela se résulte de réduit à une vérification dans les k[u] = k\oplus k.u quadratiques sur k…]~~. La relation pertinente est (4)\quad (\operatorname{Tr}u)^2 - \operatorname{Tr}(u^2) = 2\det u , et elle résulte de (2) en l'écrivant sous la forme (2')\quad u^2 = \operatorname{Tr}(u)u - \det(u) et portant cette valeur de u^2 dans (4), compte tenu… la phrase se poursuit au-delà de la page 80, hors de ce lot.