Cote n° 83, pages 21–40

Cote n° 83 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

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Calculs dans $\mathrm{SL}_2$

Titre de l'éditeur. Les pages 21 et 22 sont des feuilles de calcul ; le calcul y court depuis les pages qui précèdent le lot (les éléments $e_0(\beta)$, $e_1(\gamma)$, $\sigma_0(\beta)$, $u(\lambda)$ sont supposés connus).

21Feuille de calculs matriciels, sans texte suivi. Le symbole que nous transcrivons $\sigma_0$ est tracé comme un $v$ ou un $\nu$ à indice $0$ ; les pages 32 à 35 montrent qu'il s'agit de l'application $\sigma_0$ du texte mis au propre. \[\begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ \beta^{-1} & -1 \end{pmatrix} \qquad \sigma_0(\beta)^{-1} =\] le produit des deux premiers facteurs étant marqué d'une accolade : \[\begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & -1 \end{pmatrix}.\] \[g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad g^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\] \[g \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} g^{-1} = \begin{pmatrix} a & a\beta + b \\ c & c\beta + d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - ac\beta & a^2\beta \\ -c^2\beta & 1 + ac\beta \end{pmatrix}\] \[1 - a^2c^2\beta^2 \qquad\qquad ad - bc\] $e_1(\beta)$. $e_1(\gamma)\, e_0(-\gamma^{-1})\, e_1(\gamma) =$ \[\underbrace{\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\, \sigma_0(\beta)^{-1}}\, \underbrace{e_0(\beta)\, \sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\, \sigma_0(\beta)^{-1}} = \sigma_0(\beta)\] Le dernier $\sigma_0(\beta)^{-1}$ porte sur le $\beta$ une surcharge que nous ne lisons pas ; les accolades sont de lui. \[\omega\,\bigl(\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\bigr)^3 =\] \[\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} 1 & \beta \\ \gamma & \beta\gamma + 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \beta\gamma & \beta \\ 2\gamma + \beta\gamma^2 & 1 + \beta\gamma \end{pmatrix}, \qquad 2\gamma + \beta\gamma^2 = \gamma(2 + \beta\gamma)\] \[1 + \beta^2\gamma^2 + 2\beta\gamma - 2\beta\gamma - \beta^2\gamma^2\] Écrit le long du bord gauche, la feuille tournée : \[\rho(\beta) = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & -1 \end{pmatrix} = u(\beta)\,(\] \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] \[\rho'^3 = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] La première ligne s'arrête sur « $u(\beta)\,($ », la parenthèse ouverte et vide. À la dernière, seule la première ligne du produit, « $1\ \ 0$ », est nettement lisible.

22La page est écrite dans les deux sens. Une longue diagonale fine la traverse de part en part. En haut, dans le sens du papier : \[\sigma_0(\beta)\bigl(e_0(\beta)\bigr) = e_1(-\beta^{-1})\] \[\begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \bigl(\] Le reste de la page est écrit tête-bêche ; nous le donnons dans l'ordre de lecture de la feuille retournée.

Remarque Considérons un multigraphe $(S, (A_\pi)_{\pi\in\Pi}, Z \subset$ […]$)$ \[\mathcal{M} = \Bigl(\Gamma,\ Z \subset \mathrm{Aut}(\Gamma),\ \Pi \subset \Pi_Z \subset \mathrm{Bij}(S, \check S)\Bigr), \qquad \Gamma = (S, \check S, R \subset S \times \check S)\] Sous « $Z \subset \mathrm{Aut}(\Gamma)$ » : « sous-groupe » ; sous « $\Pi_Z$ » : « $Z$-torseurs ». Devant $\mathcal{M}$, un mot biffé illisible. avec op[ération] libre de $Z$ sur $S$ et $\check S$, il lui est donc associé

a) Un ens[emble] $T$ ($\simeq S/Z \simeq \check S/Z$)

b) Deux familles de Un groupe $Z$ commutatif

c) Deux familles de familles de $Z$-torseurs, […], indexées par $T$ […] (savoir les fibres de $t$ dans $S$ et dans $\check S$ respectivement, i.e. les origines et extrémités)

[…] […]

\[\begin{aligned} &\chi\{s, t\} \in A, \qquad \chi\{s, \lambda t\} \in A, \qquad \chi\{\lambda s, t\} \in A, \qquad \chi\{s, \lambda^{-1} t\} \end{aligned}\] Colonne de droite, à côté d'un « $Z$ » isolé ; dans la marge, « $(s, \lambda t)$ ». \[(s_0, \check s_0),\ (s_0, \lambda\check s_0) \in R; \qquad \exists\, g \in G_0,\quad g(s_0) = s_0,\ g(\check s_0) = \lambda\check s_0\] \[g^{-1}(s_0) = s_0, \qquad g^{-1}\lambda\, g^{-1}(s_0) =\] \[g s_0 \qquad\qquad \lambda s_0 = s_0,\quad \lambda^{-1} t_0 = t_0\] $U g$ $t.u_0 =$ […] $t'u'_0 = \sigma(t'^{-1}u'_0)$, $T \in$ $t = v_0 u_0^{-1}$

$u \in U_0$ $u \in U_0 \cap$ $T \cap U_0$ \[u s_0 = \lambda s_0 \qquad u t_0 = t_0\] \[u \in T.U_0 \qquad u \in U_1\] \[\boxed{TU_0 \cap U_1 = \{1\}}\] $TU_0 \cap U_1 = \{1\}$ (12) $\Rightarrow$ Transitivité […] $U_1$ $\Longrightarrow \quad B_0 \cap B_1 = T$ \[T \cap U_0 \subset U_1\,?\] Les accolades de $\{1\}$ sont tracées comme un « $3$ » refermant le $1$. En marge gauche, la même égalité recopiée, et « $B_0 \cap B_1$ ».

23$M = L \oplus L'$ […] $L, L'$ $\Lambda$-modules inversibles \[\underbrace{\mathrm{SL}(M)}_{H} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Bigm| \begin{matrix} a, d \in \Lambda \\ c \in L^{-1}L',\ b \in L'^{-1}L \end{matrix},\ ad - bc = 1 \Bigr\}\] Il écrit « $\mathrm{Se}(M)$ » ; nous lisons $\mathrm{SL}(M)$, et de même plus bas. \[U_0 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Bigm| \alpha \in \overbrace{L'^{-1}L}^{L_0} \Bigr\} \qquad B_0 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & \alpha \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^*,\ \alpha \in L'^{-1}L \Bigr\}\] \[U_1 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \Bigm| \beta \in \underbrace{L^{-1}L'}_{L_1} \Bigr\} \qquad B_1 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \beta & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^*,\ \beta \in L^{-1}L' \Bigr\}\] \[T = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^* \Bigr\} \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\] \[\sigma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ \text{si } L = L' = \Lambda\] $\sigma(c)$ […] $N(c) =$ \[N(c) = \begin{pmatrix} 0 & -c^{-1} \\ c & 0 \end{pmatrix} = \sigma . u(c)\] \[g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad u(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}, \quad e(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad e'(\beta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix}\] \[N(c)\,u(\lambda) = N(c\lambda), \qquad u(\lambda)\,N(c) = N(\lambda^{-1}c), \qquad u(\lambda)\,N(c)\,u(\lambda') = N(\lambda^{-1}\lambda' c)\] Le dernier argument est mal formé à l'encre ; la lecture $\lambda^{-1}\lambda' c$ est celle qu'imposent les deux égalités qui précèdent. Si $g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, on a \[g \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\lambda & b\lambda^{-1} \\ c\lambda & d\lambda^{-1} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} g = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda^{-1}c & \lambda^{-1}d \end{pmatrix}\] \[\begin{aligned} g \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} g^{-1} &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda d & -\lambda b \\ -\lambda^{-1}c & \lambda^{-1}a \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda ad - \lambda^{-1}bc & ab(-\lambda + \lambda^{-1}) \\ cd(\lambda - \lambda^{-1}) & -\lambda bc + \lambda^{-1}ad \end{pmatrix} \end{aligned}\] \[N = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(M) \Bigm| ab = cd = 0 \Bigr\}\] \[N^+ = T = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(M) \Bigm| b = c = 0 \Bigr\}, \qquad N^- \,[= \sigma T] = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(M) \Bigm| a = d = 0 \Bigr\}\] \[u(\lambda)\,\sigma = \begin{pmatrix} 0 & -\lambda \\ \lambda^{-1} & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma\, u(\lambda) = \begin{pmatrix} 0 & -\lambda^{-1} \\ \lambda & 0 \end{pmatrix}\] Encadré dans le manuscrit : \[e(\alpha)\,u(\lambda)\,e'(\beta) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \lambda^{-1}\beta & \lambda^{-1} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \lambda + \lambda^{-1}\alpha\beta & \lambda^{-1}\alpha \\ \lambda^{-1}\beta & \lambda^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\] \[\lambda = d^{-1}, \qquad \alpha = \lambda b = b/d, \qquad \beta = \lambda c = c/d\] Devant, un début biffé. Le « $\lambda b$ » est tracé comme $\lambda\beta$. donc \[U_0 \times T \times U_1 \longrightarrow H \quad \text{injectif}\] \[U_0 T U_1 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| d \in \Lambda^* \Bigr\}\] \[[e(\alpha), e'(\beta)] = \underbrace{e(\alpha)\,e'(\beta)}_{\begin{pmatrix} 1 + \alpha\beta & \alpha \\ \beta & 1 \end{pmatrix}}\, e(-\alpha)\,e'(-\beta)\] \[\begin{pmatrix} 1 + \alpha\beta & \alpha \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + \alpha\beta & -\alpha \\ -\beta & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 + \alpha\beta)^2 - \alpha\beta & -\alpha^2\beta \\ \alpha\beta^2 & 1 - \alpha\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 & -\alpha^2\beta \\ \alpha\beta^2 & 1 - \alpha\beta \end{pmatrix}\] si $\alpha\beta = 1$, on trouve \[[e(\alpha), e'(\beta)] = \begin{pmatrix} 3 & -\alpha \\ \alpha^{-1} & 0 \end{pmatrix}\] […]

donc si $\exists\,\lambda$ tel que $[e(\alpha), e'(\beta)] \in N^-$, alors $\alpha\beta = 1$, $3 = 0$ i.e. on est en car[actéristique] $3$.

Le relèvement $\tilde\delta$ sur le centre

Titre de l'éditeur. La page 24 renvoie à une relation (64') et numérote (70) : la numérotation court depuis des pages antérieures au lot, dont $\tilde\delta$, $\tilde Z$, $u_\lambda$, $v_{\tilde\lambda}$, $T'$ et $G_0$ sont repris sans être redéfinis. Une longue diagonale fine traverse la page.

24La relation (64') donne, si $\lambda \in Z$, $\tilde\lambda \in \tilde Z$, avec $\lambda = \dot{\tilde\lambda} = \delta_{\tilde Z}(\tilde\lambda)$, si $\lambda = \dot{\tilde\lambda}$, on a \[(u_\lambda^{-1} v_{\tilde\lambda}^2)(s_0, t_0) = (\lambda s_0, \lambda t_0)\] […] $u_\lambda^{-1} v_\lambda^2 (s_0, t_0$ […]

i.e. \[\lambda^{-1} u_\lambda^{-1} v_{\tilde\lambda}^2\, (s_0, t_0) = (s_0, t_0),\] ce qui implique que l'on a \[\lambda^{-1} u_\lambda^{-1} v_{\tilde\lambda}^2 \in T' \cap G_0 = \mathfrak{z}_{T'}\] Le $\mathfrak{z}$ est la lettre en forme de « $3$ » bouclé dont il se sert pour un centre. mais on a aussi \[\tilde\delta(\lambda^{-1} u_\lambda^{-1} v_{\tilde\lambda}^2) = \tilde\delta(\lambda^{-1})\, \underbrace{\tilde\delta(u_\lambda^{-1})}_{1}\, \underbrace{\tilde\delta(v_{\tilde\lambda})^2}_{\tilde\lambda^2}\] je voudrais montrer que c'est $= 1$, i.e. qu'on a \[\tilde\delta(\lambda) = \tilde\lambda^2 \qquad \forall\, \tilde\lambda \in \tilde Z,\ \lambda = \dot{\tilde\lambda} \in Z \tag{70}\] i.e. qu'on ait […] commutativité dans

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\begin{tikzcd}
\tilde Z \arrow[r, "{\delta_{\tilde Z} : \tilde\lambda \mapsto \dot{\tilde\lambda}}"] \arrow[rr, bend right=40, "{\tilde\lambda \mapsto \tilde\lambda^2}"'] & Z \arrow[r, "{\tilde\delta | Z}"] & \tilde Z
\end{tikzcd}

Décompositions dans $H = \mathrm{SL}(M)$

Titre de l'éditeur. Les pages 23 et 25 à 28 reprennent les notations $e(\alpha)$, $e'(\beta)$, $u(\lambda)$, $N(c)$ de la page 23 ; les pages 26 à 28 sont encore des brouillons, l'exposé mis au propre commence page 29.

25\[e'(\beta)\, e(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \beta & 1 + \alpha\beta \end{pmatrix}\] si $1 + \alpha\beta \in \Lambda^*$, on a \[\boxed{\, e'(\beta)\, e(\alpha) = e\Bigl(\frac{\alpha}{1 + \alpha\beta}\Bigr)\, u\Bigl(\frac{1}{1 + \alpha\beta}\Bigr)\, e'\Bigl(\frac{\beta}{1 + \alpha\beta}\Bigr) \,}\] si $1 + \alpha\beta = 0$, i.e. $\alpha\beta = -1$, on a \[e'(\beta)\, e(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \beta & 0 \end{pmatrix} \overset{?}{\in} [\sigma B_1 =]\ N^- U_1\] Suit un calcul biffé : $\sigma \begin{pmatrix} a' & \\ -\lambda^{-1} & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta' & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda^{-1}\beta' & -\lambda^{-1} \\ \lambda & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, avec en dessous $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \lambda^{-1}\beta' & \lambda^{-1} \end{pmatrix}$, barré lui aussi ; lecture incertaine dans le détail. \[N^- B_1 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| d = 0 \Bigr\} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} \Bigm| a \in \Lambda,\ b \in L'^{-1}L,\ c \in L^{-1}L',\ bc = -1 \Bigr\}\] \[\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & b' \\ -b'^{-1} & 0 \end{pmatrix}}_{\in N^-} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta' & 1 \end{pmatrix}}_{\in U_1} = \begin{pmatrix} b'\beta' & b' \\ -b'^{-1} & 0 \end{pmatrix}\] alors \[\begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{pmatrix}}_{\in N^-} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ ab^{-1} & 1 \end{pmatrix}}_{\in U_1} \qquad \text{si } bc = -1\] $e'(\beta)\, e(-\beta^{-1}) =$

si $\alpha\beta = -1$ \[e'(\beta)\, e(\alpha) = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & 0 \end{pmatrix}}_{\in N^-} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha^{-1} = -\beta & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{i.e.}\] \[e'(\beta)\, e(-\beta^{-1}) = \begin{pmatrix} 0 & -\beta^{-1} \\ \beta & 0 \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\beta & 1 \end{pmatrix}}_{e'(-\beta)} \qquad \text{i.e.}\] Sous la dernière matrice il écrit « $e'(\beta)$ », le signe moins absent ou indistinct. \[e'(\beta)\, e(-\beta^{-1}) = N(\beta)\, e'(-\beta)\] \[\boxed{\, e'(\beta)\, e(-\beta^{-1})\, e'(\beta) = N(\beta) \,} \qquad \beta \in (L^{-1}L')^* = U_1^*\] $e'(-\alpha^{-1})\, e(\alpha)\, e'(-\alpha^{-1}) = N(-\alpha^{-1})$ Dans la marge de droite, la feuille tournée, la vérification de l'encadré de la page 23 : \[\lambda + \lambda^{-1}\alpha\beta = d^{-1} + d\,\frac{bc}{d^2} = d^{-1} + \frac{bc}{d} = a\] i.e. […] OK Au-dessus, dans la même marge, un calcul de puissances de $\alpha\beta$ ($1 - \alpha^3\beta^3 + \alpha^3\beta^3$…) rayé de traits ondulés ; au bas de la page, deux lignes écrites tête-bêche, barrées et rayées en croix, ne se lisent pas.

Le revêtement $\tilde Z$ et le diagramme des sous-groupes

Titre de l'éditeur. Toute la page 26 est écrite tête-bêche ; elle porte en tête le numéro « 114 », de sa main, et une diagonale fine la traverse. Les numéros (9) à (13) appartiennent à une suite dont le début est hors du lot.

26Numéro de l'auteur : 114. On considère alors le groupe \[\tilde Z = G/G_0^+ \qquad \text{avec} \qquad G \xrightarrow{\ \tilde\delta\ } \tilde Z \tag{9}\] qui est un rev[êtement] de degré $2$ de $Z$ \[1 \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow \tilde Z \longrightarrow Z \longrightarrow 1, \tag{10}\] et le diagramme d'inclusions de groupes

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
U \arrow[r, hook, "Z"] \arrow[d, hook, "\mu_2"'] & B'' \arrow[r, hook] \arrow[d, hook, "\mu_2"'] & G_0^+ \arrow[d, hook, "\mu_2"'] \\
\tilde U \arrow[r, hook, "Z"] \arrow[d, hook, "Z"'] & \tilde B'' \arrow[r, hook] \arrow[d, hook, "Z"'] & G_0 \arrow[d, hook, "Z"'] \\
B' \arrow[r, hook, "Z"] & B \arrow[r, hook] & G
\end{tikzcd}

Diagramme (11). À gauche, une longue flèche verticale étiquetée $\tilde Z$ couvre les trois lignes ; à droite, de même, un trait ondulé marqué $\tilde Z$ entre deux flèches, l'une montante, l'autre descendante. Sous chacune des flèches horizontales marquées $Z$, une étiquette biffée. On a écrit en dessous de toute flèche d'inclusion d'un sous-groupe distingué dans un groupe ambiant le groupe quotient correspondant (à isom[orphisme] près), défini alors à partir de \[G_0^+ \subset G_0 \subset G\] et de l'action de $G$ sur $S$, en termes d'un $G_0^+$-repère \[(s_0, t_0) \in \vec A_0 \qquad \text{i.e.} \quad s_0, t_0 \in S,\ \{s_0, t_0\} \in A_0 : \tag{12}\] \[\left\{ \begin{aligned} B' &= G_{s_0} = \{ g \in G \mid g s_0 = s_0 \} \\ \tilde U &= B' \cap G_0 = \{ g \in G_0 \mid g s_0 = s_0 \} = \{ b' \in B' \mid \delta(b') = 1 \} \\ U &= B' \cap G_0^+ = \{ g \in G_0^+ \mid g s_0 = s_0 \} = \{ b' \in B' \mid \tilde\delta(b') = 1 \} \\ \tilde B'' &= \{ g \in G_0 \mid g s_0 \in Z.s_0 \} \\ B'' &= \tilde B'' \cap G_0^+ \qquad [\mathrm{NB}\ \ \tilde B'' = \tilde U . B'']^{!} \\ B &= B' . B'' \ (= B' . \tilde B'')^{!} \end{aligned} \right. \tag{13}\] En face de $\tilde B''$ : c'est le sous-groupe de $\mathrm{Norm}_{G_0}(\tilde U)$ ($\tilde U = G_{0\,s_0}$) qui sont […] décrivant $Z \simeq \tilde B''/\tilde U$ […] action sur $S \simeq G_0/\tilde U$ Devant le crochet de la ligne de $B''$, un mot noirci ; à la ligne de $B$, une seconde copie « $\mathrm{NB}\ \tilde B'' = \tilde U . B''$ » est barrée, puis entourée et reliée par un trait au crochet de la ligne précédente. Renvoi du signe « ! » : produits de sous-ens[embles] dans un groupe $G$ : $A.B = \{ ab \mid a \in A,\ b \in B \}$ En marge gauche : NB $B$ est bien un s[ous]-groupe car $B' = G_{s_0}$ normalise $B''$ qui est défini en termes de $s_0$

27\[\bigl[e(\alpha)\, u(\lambda)\, \underbrace{e'(\beta)\bigr]\bigl[e(\alpha')}_{e\left(\frac{\alpha'}{1 + \alpha'\beta}\right) u\left(\frac{1}{1 + \alpha'\beta}\right) e'\left(\frac{\beta}{1 + \alpha'\beta}\right)}\, u(\lambda')\, e'(\beta')\bigr] =\] \[\boxed{\, = e\Bigl(\alpha + \lambda^2 \frac{\alpha'}{1 + \alpha'\beta}\Bigr)\, u\Bigl(\frac{\lambda\lambda'}{1 + \alpha'\beta}\Bigr)\, e'\Bigl(\beta' + \lambda'^{-2} \frac{\beta}{1 + \alpha'\beta}\Bigr) \,} \qquad 1 + \alpha'\beta \in \Lambda^*\] Au-dessus, en ajout : « si $\alpha'\beta \neq -1$ », biffé, puis « $1 + \alpha'\beta \in \Lambda^*$ ». Cas $1 + \alpha'\beta = 0$, i.e. $\alpha'\beta = -1$ : \[e(\alpha)\, u(\lambda)\, \underbrace{e'(\beta)\, e(\alpha')}_{N(\beta)\, e'(-\beta)}\, u(\lambda')\, e'(\beta')\] […] \[\underbrace{N(\beta)\, u(\lambda')}_{\in N^-}\, \underbrace{e'(\beta' - \lambda'^{-2}\beta)}_{\in U_1} = e(\alpha)\, u(\lambda)\, \underbrace{N(\beta)\, u(\lambda')}_{N(\beta\lambda^{-1}\lambda')}\, e'(\beta' - \lambda'^{-2}\beta)\] \[e(\alpha)\, N(\underbrace{\beta\lambda^{-1}\lambda'}_{t})\, e'(\underbrace{\beta' - \lambda'^{-2}\beta}_{\gamma}) = N(t) . \underbrace{\underbrace{N(t)^{-1}(e(\alpha))}_{e'(-t^2\alpha)}\, e'(\gamma)}_{e'(-t^2\alpha + \gamma)}\] \[e(\alpha)\, t\, e'(\gamma) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -t^{-1} \\ t & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} -t^{-1}\gamma & -t^{-1} \\ t & 0 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -t^{-1}\gamma + \alpha t & -t^{-1} \\ t & 0 \end{pmatrix}\] $e(\alpha)\, N(t) = N(t)\, e'(\alpha')$ \[N(t)\bigl(e(\alpha)\bigr) \overset{\mathrm{def}}{=} N(t)\, e(\alpha)\, N(t)^{-1} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -t^{-1} \\ t & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} 0 & -t^{-1} \\ t & t\alpha \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 0 & t^{-1} \\ -t & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -t^2\alpha & 1 \end{pmatrix}\] \[\boxed{\, N(t)\, e(\alpha) = e'(-t^2\alpha) \,} \qquad t \in U_1^*,\ \alpha \in U_0\] \[-t^2\alpha + \gamma = -\alpha\beta^2\lambda^{-2}\lambda'^2 + \beta' - \lambda'^{-2}\beta\] \[e(\alpha)\, u(\lambda)\, e'(\beta)\, e(\alpha')\, u(\lambda')\, e'(\beta') = \boxed{\, N(\beta\lambda^{-1}\lambda')\, e'\bigl(\beta' - \lambda'^{-2}\beta - \alpha\beta^2\lambda'^2\lambda^{-2}\bigr) \,}\] si $\alpha'\beta = -1$ i.e. $\alpha' = -\beta^{-1}$.

28La moitié supérieure de la page est un calcul dans le sens du papier ; la moitié inférieure, tête-bêche, numérotée « 135 » de sa main et traversée d'une diagonale, est un fragment de prose d'une autre suite. \[\sigma \in B_G \qquad \text{\struck{$\sigma =$}}\ \sigma t \sigma t \qquad \sigma = t . u . t \qquad u\, g\, u^{-1} = g^{-1}\] $u g u^{-1} g^{-1} = g^{-2}$ \[\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\beta^{-1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} 1 & -\beta^{-1} \\ \beta & 0 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \overset{?}{=} \begin{pmatrix} 0 & -\beta^{-1} \\ \beta & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{OK}\] « OK » est barré d'un trait, ou souligné en travers ; la lecture n'est pas sûre.

Partie tête-bêche, numéro de l'auteur 135 :

Je m'aperçois : l'intérêt que l'image des ⌜sous-groupes⌝ $T_0$ et de $T_1$ de $T_G$ dans $\mathrm{Aut}\, H$ sont un seul et […] sous-groupe (⌜et égal à l'image des $T_G$⌝ — ce qui est évident aussi bien par les formules que \[T_G = T_0 . T_H, \qquad \underbrace{\mathrm{Im}(T_H \to \mathrm{Aut}(H))}_{\subset\, \mathrm{Im}(T_0 \to \mathrm{Aut}(H))},\] qui impliquent que $T_0$ et $T_G$ ont donc […] (et $T_1$ et $T_G$ aussi, par symétrie) ont […] images dans $\mathrm{Aut}(H)$), le sous-groupe en question décidément mérite d'être noté $\tilde Z$, donc […] cette convention d'écriture.

\[\ill{} = \ill{}\] Au bas de la partie retournée, deux formules courtes ($\ldots = \ldots u_\lambda^{-1}\ldots$), écrites dans le sens du papier, que nous ne lisons pas. Les deux lignes en tête de cette moitié, dans le sens du papier, se lisent : « $u_\lambda \sigma(s_0) = \lambda^{-1} t_0$ » et « $\sigma u_\lambda(s_0) = u_\lambda^{-1} \sigma(s_0) = \lambda t_0$ ».

Structure du groupe $\mathrm{SL}(2,\Lambda)$

Titre de l'auteur, souligné, en tête de la page 29, qui porte son numéro « 1 ». Les pages 29 à 40 forment une rédaction suivie, paginée par lui de 1 à 12 ; elle continue après le lot.

29Numéro de l'auteur : 1. 1. Soit $M$ un module libre de rang $2$ sur un anneau $\Lambda$, avec une structure symplectique \[e_M \in \bigl(\textstyle\bigwedge^2 M\bigr)^* . \tag{1}\] La donnée d'un tore maximal déployé $T$ de $\mathrm{SL}(M)$ revient à la donnée d'une décomposition de $M$ en somme de deux sous-modules libres ⌜$L_i$⌝ de rang $1$, formant un ensemble $\{L, L'\}$ à deux éléments $\varepsilon_T$ — ⌜ce⌝ […] sont les deux sous-modules propres de $M$, et on a \[\bigotimes_{i \in \varepsilon_T} L_i \simeq \bigl(\textstyle\bigwedge^2 M\bigr)_{\Lambda_{\pm 1}}^{\varepsilon_T} \simeq \Lambda_{\Lambda_{\pm 1}}^{\varepsilon_T} \tag{2}\] Les indices et exposants de (2) sont serrés et la lecture du milieu, « $\Lambda_{\pm 1}$ », reste incertaine. en utilisant l'isomorphisme \[\textstyle\bigwedge^2 M \xrightarrow{\ \sim\ } \Lambda \qquad e_M \longmapsto 1 \tag{3}\] défini par la base $e_M$. L'opération de $T$ sur chaque $L_i$ définit un caractère \[T \xrightarrow{\ \chi_i\ } \mathbb{G}_m \qquad i \in \varepsilon_T \tag{4}\] qui est un isomorphisme, et (2) implique que l'on a \[\prod_{i \in \varepsilon_T} \chi_i = 1 \tag{5}\] i.e. les deux caractères $\chi_i$ sont inverses l'un de l'autre : ce sont les deux isomorphismes ⌜déployés⌝ de $T$ sur $\mathbb{G}_m$ (quand $\operatorname{Spec}\Lambda$ est connexe — sinon on peut dire ⌜encore⌝ que ce sont les deux iso[morphismes] « canoniques » de $T$ sur $\mathbb{G}_m$). Choisir l'un des [deux] isomorphismes revient donc à choisir Le long du bord gauche, en face des lignes 4 à 9, une note tournée, rattachée par un trait au mot « revient » souligné : « Si $\operatorname{Spec}\Lambda$ connexe, […] sinon […] car […] lorsque […] donnée […] déployée […], i.e. […] $T \simeq \mathbb{G}_m$ […] » En bas à gauche, rattaché à « déployés » : « ils sont donc définis via les dièdres […] »

30Cette page ne porte pas de numéro de l'auteur. Il écrit désormais $L'_0$, $L'_1$ (avec un accent) pour les deux sous-modules propres. un des deux éléments de $\varepsilon_T$, i.e. à choisir un ordre sur cet ensemble, qui nous permet dès lors de distinguer ⌜un⌝ $L_0$ et un $L_1$, de sorte que \[M = L'_0 \oplus L'_1 , \tag{6}\] et qu'on a un isomorphisme d'identification \[T \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{G}_m, \tag{7}\] ⌜un $\lambda \in \mathbb{G}_m(\cdot) \simeq T(\cdot)$⌝ opérant sur $L_0$ par l'homothétie $\lambda$, sur $L_1$ par $\lambda^{-1}$.

On peut écrire, à l'aide de (6), \[H \overset{\mathrm{déf}}{=} \underbrace{\mathrm{SL}(M)}_{= \mathrm{Aut}(M, e_M)} \simeq \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Bigm| \begin{matrix} a, d \in \Lambda,\ b \in \mathrm{Hom}(L'_1, L'_0) \simeq L_1'^{-1} L'_0 \\ c \in \mathrm{Hom}(L'_0, L'_1) \simeq L_0'^{-1} L'_1,\ ad - bc = 1 \end{matrix} \Bigr\} \tag{8}\] Dans (8), « $\mathrm{SL}(M)$ » surcharge une première écriture, peut-être $\mathrm{SL}(2, M)(\Lambda)$. où \[bc = cb \in \Lambda \tag{9}\] désigne le composé de $b$ et $c$, identifié à un élément de $\Lambda$ (homothétie par $bc$). Dans (9), un premier « $\Lambda^*$ » est corrigé en $\Lambda$, l'astérisque restant au-dessus.

La composition des éléments de $\mathrm{SL}(2, M)$ est donnée par la règle usuelle. Avec ces notations, l'isomorphisme (7) est donné par \[\Lambda^* \xrightarrow{\ \sim\ } T(\Lambda) = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^* \Bigr\} \tag{10}\] et on pose $u(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}$ pour $\lambda \in \Lambda^*$.

Par la suite, on s'intéresse au groupe des points […] de $\mathrm{SL}(M)$ à valeurs dans $\Lambda$, plutôt qu'au schéma en groupes, et on notera par la suite par $T$ au lieu de $T(\Lambda)$, le sous-groupe

31Numéro de l'auteur : 2. (10) de $H$. On pose également \[L_0 = L_1'^{-1} L'_0, \qquad L_1 = L_0'^{-1} L'_1, \tag{11}\] ce sont donc des modules inversibles, canoniquement inverses l'un de l'autre. On a des homomorphismes canoniques \[e_0 : L_0 \longrightarrow H, \quad \beta \longmapsto \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad e_1 : L_1 \longrightarrow H, \quad \gamma \longmapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix} \tag{12}\] et on pose \[\begin{aligned} U_0 &= e_0(L_0) = \Bigl\{ \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Bigm| \beta \in L_0 \Bigr\} \\ U_1 &= e_1(L_1) = \Bigl\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix} \Bigm| \gamma \in L_1 \Bigr\} . \end{aligned} \tag{13}\] On a pour $\lambda \in \Lambda^*$, $g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H$, \[\left\{ \begin{aligned} u(\lambda)\, g &= \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda^{-1}c & \lambda^{-1}d \end{pmatrix} \qquad g\, u(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda^{-1}b \\ \lambda c & \lambda^{-1}d \end{pmatrix} \\ u(\lambda)\, g\, u(\lambda)^{-1} &= \begin{pmatrix} a & \lambda^2 b \\ \lambda^{-2}c & d \end{pmatrix} \end{aligned} \right. \tag{14}\] en particulier \[\left\{ \begin{aligned} u(\lambda)\bigl(e_0(\beta)\bigr) &= e_0(\lambda^2\beta) \\ u(\lambda)\bigl(e_1(\gamma)\bigr) &= e_0(\lambda^{-2}\gamma) \end{aligned} \right. \tag{15}\] Sic : $e_0$ à la seconde ligne de (15), où l'on attend $e_1$. attention à l'exposant $2$ des $\lambda$ dans la $2^{\text{e}}$ manière ! Ainsi $T$ normalise $U_0$ et $U_1$, et on a bien sûr \[T \cap U_0 = T \cap U_1 = \{1\}, \tag{16}\] on in[tro]duit \[\left\{ \begin{aligned} B_0 = T . U_0 &= \{ e_0(\beta)\, u(\lambda) \mid \beta \in \Lambda,\ \lambda \in \Lambda^* \} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & \lambda^{-1}\beta \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^*,\ \beta \in \Lambda \Bigr\} \\ &\qquad \Bigl( = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| c = 0 \Bigr\} \Bigr) \\ B_1 = T . U_1 &= \{ u(\lambda)\, e_1(\gamma) \mid \gamma \in \Lambda,\ \lambda \in \Lambda^* \} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \lambda^{-1}\gamma & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^*,\ \gamma \in \Lambda \Bigr\} \\ &= \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| b = 0 \Bigr\} \end{aligned} \right. \tag{17}\] Entre les deux lignes de (17), un « $B_1$ » commencé et abandonné. qui sont des sous-groupes de $H$ normalisant $U_0$ resp[ectivement] $U_1$. On a \[B_0 \cap B_1 = T = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| b = c = 0 \Bigr\} . \tag{18}\]

32On introduit aussi une application (pas un homomorphisme !) \[\left\{ \begin{aligned} &\sigma_0 : L_0^* \longrightarrow H \\ &\sigma_0(\beta) = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \right. \tag{19}\] Dans (19), le coefficient en haut à droite est surchargé ; nous lisons $\beta$, d'après (20) et les calculs de la page 21. Un signe d'égalité y est d'abord écrit puis biffé. NB Si $L_0$ n'est pas libre, alors $L_0^*$ est vide, et ce qui suit sans intérêt. On suppose donc par la suite $L_0$ libre, donc $L_1$ libre on a alors \[\left\{ \begin{aligned} \sigma_0(\beta)^2 &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = u(-1) \overset{\mathrm{déf}}{=} \omega \qquad (\text{élément \emph{central} de } H) \\ \sigma_0(\beta)\bigl(u(\lambda)\bigr) &= u(\lambda^{-1}) \qquad \text{donc } \sigma(\beta) \text{ normalise } T \\ \sigma_0(\lambda\beta) &= u(\lambda)\, \sigma_0(\beta) = \sigma_0(\beta)\, u(\lambda^{-1}) , \end{aligned} \right. \tag{20}\] À la dernière ligne, un astérisque biffé après $\beta$ ; sous « $\sigma_0(\beta)\, u(\lambda^{-1})$ », deux mots biffés (« donc pour » ?). la dernière formule montre que, si on pose \[N^- = \sigma_0(L_0^*) = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| a = 0,\ d = 0 \Bigr\}, \tag{21}\] Devant $N^-$, un mot biffé ; avant l'accolade, « $H$ » biffé. alors $N^-$ est une classe à gauche ou à droite mod $T$, et que \[L_0^* \xrightarrow{\ \sim\ } N^- \tag{22}\] est bijection, et […] un isomorphisme de $\Lambda^*$-torseurs, quand on fait opérer $\Lambda^*$ sur $L_0^*$ par homothéties, et sur $N^-$ par multiplication à gauche par $u(\lambda)$. On pourrait bien sûr introduire symétriquement le composé \[\sigma_1 : L_1 \xrightarrow{\ \sim\ } N^- \qquad \sigma_1(\gamma) = \begin{pmatrix} 0 & -\gamma^{-1} \\ \gamma & 0 \end{pmatrix} \tag{23}\] de sorte que l'on a \[\left\{ \begin{aligned} \sigma_1(\gamma) &= \sigma_0(-\gamma^{-1}) \\ \sigma_1(\lambda\gamma) &= u(\lambda^{-1})\, \sigma_1(\gamma) = \sigma_1(\gamma)\, u(\lambda) \end{aligned} \right. \tag{24}\] donc $\sigma_1$ est un isomorphisme de ⌜$\Lambda^*$-⌝torseurs, quand cette fois on fait opérer $\Lambda^*$ sur $N^-$ par multiplication : droite par $u(\lambda)$.

33Numéro de l'auteur : 3. Notons la formule fondamentale \[\boxed{\, \sigma_0(\beta)\bigl(e_0(\beta)\bigr) = e_1(-\beta^{-1}) \,} \tag{25}\] Dans l'encadré, une matrice entièrement noircie précède $e_1(-\beta^{-1})$. d'où plus généralement $\sigma_0(\beta)\bigl(e_0(\lambda\beta)\bigr) = e_1(-\lambda\beta^{-1})$ qui montre en particulier que \[\forall\, \sigma \in N^-, \quad \text{on a} \quad \sigma(U_0) = U_1, \quad \text{d'où} \quad \sigma(U_1) = U_0 \tag{26}\] (puisque $\sigma^2 = \omega$ est central).

Notons que \[g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Longrightarrow g^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \tag{27}\] et \[g\, e_0(\beta)\, g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 - ac\beta & a^2\beta \\ -c^2\beta & 1 + ac\beta \end{pmatrix} \tag{28}\] donc on a $g(U_0) \subset U_1$ ssi on a \[a^2\beta = 0, \quad ac\beta = 0 \qquad \forall\, \beta \in L_0\] i.e. \[a^2 = 0, \quad ac = 0\] d'où $a = a\underbrace{(ad - bc)}_{1} = 0$, donc \[\left\{ \begin{aligned} \mathrm{Transp}_H(U_0, U_1) &= \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| a = 0 \Bigr\}, \quad \text{de même} \\ \mathrm{Transp}_H(U_1, U_0) &= \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| d = 0 \Bigr\} . \end{aligned} \right. \tag{29}\] En marge de (29) : il suffit même qu'un $g \in H$ soit tel que pour un $\beta \in L_0^*$, on ait $g(\beta) \in L_1$, pour avoir $g \in \mathrm{Transp}_H(U_0, U_1)$ je dis que

En fait, les calculs montrent que dans ces cas là, le transporteur large est strict, car si $a = 0$, la formule (28) donne \[g\, e_0(\beta)\, g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -c^2\beta & 1 \end{pmatrix} \tag{28'}\] or $ad - bc = -bc = 1$, donc $b$ et $c$ sont inversibles, donc $c^2$ inversible, donc $\mathrm{int}(g)$ induit un iso[morphisme] $U_0 \xrightarrow{\ \sim\ } U_1$. Des formules (29) on tire

34\[N^- = \mathrm{Transp}(U_1, U_0) \cap \mathrm{Transp}(U_0, U_1) \tag{30}\] Soient maintenant $\beta \in L_0$, $\gamma \in L_1$ avec \[\left\{ \begin{aligned} &\beta\gamma = -1 \qquad \text{i.e. } \gamma = -\beta^{-1}, \text{ i.e. } \beta = -\gamma^{-1} \\ &\text{i.e. } e_1(\gamma) = \underbrace{\sigma_0(\beta)\bigl(e_0(\beta)\bigr)}_{e_1(-\beta^{-1})} , \end{aligned} \right. \tag{31}\] je dis qu'on a alors \[e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) = \sigma_0(\beta) \qquad (\text{pour } \beta\gamma = -1) \tag{32}\] formule qui s'écrit aussi, puisque $e_1(\gamma) = \sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\, \sigma_0(\beta)^{-1}$, \[\underbrace{\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)}\, \sigma_0(\beta)^{-1}\, e_0(\beta)\, \underbrace{\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)}\, \sigma_0(\beta)^{-1} = \sigma_0(\beta)\] Le numéro de cette formule est surchargé, illisible. soit encore, en écrivant $\sigma_0(\beta)^{-1} = \omega\, \sigma_0(\beta)$ ($\omega$ central, $\omega^2 = 1$) \[\bigl(\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\bigr)^3 = 1\] Avant « $= 1$ », deux signes noircis. soit encore \[\rho(\beta)^3 = 1, \qquad \text{où } \rho(\beta) = \sigma_0(\beta)\, e_0(\beta), \tag{33}\] soit \[\rho(\beta) = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & -1 \end{pmatrix} = u(\beta)\, \rho' \qquad \rho' = \rho(1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \tag{34}\] Au-dessus de l'égalité, « soit $\rho(\beta)$ » biffé ; sous elle : « si $L_0 = L_1 = \Lambda$, donc $\beta \in \Lambda^*$ ». la vérification est immédiate.

Supposons maintenant $\beta \in L_0$, $\gamma \in L_1$ quelconques, et calculons $e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma)$, on trouve \[e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) = \begin{pmatrix} 1 + \beta\gamma & \beta \\ \gamma(2 + \beta\gamma) & 1 + \beta\gamma \end{pmatrix} \tag{35}\] Le numéro (35), comme (36) ensuite, est mal formé ; nous les supposons d'après la suite (34), (37). qui prouve \[\text{si } \beta \in L_0,\ \gamma \in L_1, \text{ les conditions suivantes sont équivalentes} \tag{37}\] \[\left| \begin{aligned} &\text{a) } \beta\gamma = -1 \\ &\text{b) } e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) \in \mathrm{Transp}(U_0, U_1) \\ &\text{c) } e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) \in \mathrm{Transp}(U_1, U_0) \\ &\text{d) } e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) \in N^- \\ &\text{e) } e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) = \sigma_0(\beta) \end{aligned} \right.\] En marge de (35) : faire le lien avec la formule pour $e_1(\beta)\, e_0(\alpha') = e_0(x)\, u(t)\, e_1(y)$ pour $1 + \beta\alpha'$ […].

35Numéro de l'auteur : 4. En d'autres termes, en termes du groupe $H$, et des deux sous-groupes $U_0$, $U_1$ de $H$ et de leurs structures de $\Lambda$-modules inversibles $L_0$, $L_1$ (automatique si $\Lambda$ est un anneau égal à $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), on trouve

a) L'accouplement $L_0 \otimes L_1 \simeq \Lambda$, par la condition que $u_0 \otimes u_1 = -1$ ssi $u_1 u_0 u_1 \in \mathrm{Transp}(U_0, U_1)$, ou encore $u_1 u_0 u_1 \in \mathrm{Transp}(U_0, U_1) \cap \mathrm{Transp}(U_1, U_0) \overset{\mathrm{déf}}{=} N^-$

b) L'application $\sigma_0 : U_0^* \longrightarrow N^-$ par la condition $\sigma_0(u_0) = u_1 u_0 u_1$, où $u_1 \in U_1$ est l'unique élément de $U_1$ satisfaisant à la condition que $u_1 u_0 u_1 \in N^-$, et alors on a

c) $u_1 = \sigma_0(u_0)(u_0) = \underbrace{u_1 u_0 u_1}\, u_0\, \underbrace{u_1^{-1} u_0^{-1} u_1^{-1}}$

En face de a) et b), reliée par une accolade : ou encore $u_0 \in U_0^*$ et $(u_1 u_0 u_1)$ $\mathrm{int}(u_1 u_0 u_1)(u_0) = u_1$, i.e. (38) ci-dessous i.e. \[u_0 u_1 u_0 u_1^{-1} u_0^{-1} u_1^{-1} = 1 \qquad \text{i.e. } u_0 u_1 u_0 = u_1 u_0 u_1 \tag{38}\] formule qui est équivalente encore à $u_0 \otimes u_1 = -1$. En termes de $e_0$, $e_1$, $\beta\gamma$, s'écrit aussi \[e_0(\beta)\, e_1(\gamma)\, e_0(\beta) = e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) \quad \text{ssi} \quad \beta\gamma = -1 \qquad (\beta \in L_0^*,\ \gamma \in L_1) . \tag{39}\] La relation (38) est entre $U_0$ et $U_1$ est le graphe d'une bijection entre $U_0^* = e_0(L_0^*)$ et $U_1^* = e_1(L_1^*)$, qu'on peut noter \[u_0 \longmapsto u_0^\vee : U_0^* \longrightarrow U_1^*\] et satisfaisant \[(u_0^\lambda)^\vee = (u_0^\vee)^{\lambda^{-1}}, \qquad u_0 \in U_0^*,\ \lambda \in \Lambda^* \tag{40}\] Dans (40), $u_0^\lambda$ surcharge une première écriture $\lambda u_0$. en notant exponentiellement l'opération ⌜externe⌝ de $\Lambda$ sur $U_0$, $U_1$.

36(alors que pour $g \in \mathrm{Transp}_H(U_0, U_1)$, la bijection \[\mathrm{int}(g) | U_0 : U_0 \xrightarrow{\ \sim\ } U_1\] respecte les structures de $\Lambda$-module sur $U_0$ et $U_1$, cf. (28')).

On notera \[N' = T \sqcup N^- \subset H \tag{41}\] est un sous-groupe de La formule (41) est enfermée dans un cadre qui barre les mots au-dessus et au-dessous ; le reste de la page est blanc.

Rapport anharmonique

Titre de l'auteur, pris sur le feuillet qui sert de couverture à la suite (page 37 du fonds, non transcrite) : « Rapport anharmonique — avril 1986 ». La rédaction qui suit, datée « Avril 86 » en tête de la page 38, est paginée par lui à partir de 1 ; elle continue après le lot.

38Numéro de l'auteur : 1. En haut à droite : « Avril 86 ». À propos rapport anharmonique.

(a) Soient $V \xrightarrow{\ \varphi_i\ } V_i$ ($i \in I$, $\operatorname{card} I = 3$) des flèches de même source dans une cat[égorie] abélienne $\mathcal{C}$, telles que $\forall J \subset I$, $\operatorname{card} J = 2$, la flèche correspondante soit \[V \longrightarrow V_J \overset{\mathrm{déf}}{=} \prod_{i \in J} V_i\] soit iso[morphisme]. Considérons Alors on a suite exacte \[0 \longrightarrow V \xrightarrow{\ \varphi\ } \prod V_i \longrightarrow D \longrightarrow 0, \qquad \varphi = (\varphi_i), \quad D = \prod V_i / \mathrm{Im}\, V \tag{1}\] et les homomorphismes composés \[u_i : V_i \xrightarrow{\ \mathrm{inj}_i\ } \prod V_i \longrightarrow D\] Il dessine $u_i$ comme une flèche courbe sous la composée. sont iso[morphismes]. On a donc un iso[morphisme] des suites exactes entre (1) et \[0 \longrightarrow K(D, I) \longrightarrow D^I \xrightarrow{\ \varepsilon_{D,I}\ } D \longrightarrow 0\] où \[K(D, I) \overset{\mathrm{déf}}{=} \operatorname{Ker} \varepsilon_{D,I} = \Bigl\{ (x_i)_{i \in I} \in D^I \Bigm| \textstyle\sum x_i = 0 \Bigr\}\] Sous $\varepsilon_{D,I}$, un mot souligné, peut-être « somme ». Ainsi, la catégorie des systèmes $(V, (V_i), (\varphi_i))$ est équivalente à celle des paires $(D, I)$, i.e. est équivalente à : $\mathrm{Ens}_3 \times \mathcal{C}$.

(b) NB Il y a une variante non commutative où $V$, $V_i$ sont des ensembles avec dimensions de […] plus. […] On doit pouvoir montrer

39Numéro de l'auteur : 2. Les indices sont tantôt $h$, tantôt $k$ pour le troisième élément de $I$ ; nous les gardons tels qu'ils sont écrits. (utilisant une orientation de $I$) qu'il existe sur chaque $V_i$ une structure de bitorseur ⌜sous⌝ deux paires de groupes \[G_j,\ G_h \qquad G_j = G_{\bar\rho(i)},\quad G_h = G_{\rho(i)}\] (les $G_j$ étant définis […] à isom[orphisme] unique près) et un iso[morphisme] (choisissant un $i \in I$) par la commodité de l'écriture \[V_i \mathbin{\wedge_{G_k}} V_j \mathbin{\wedge_{G_i}} V_k \simeq \mathbb{1}_{G_i} \qquad \text{isom\supplied{orphisme} de bitorseurs}\] Sous le premier $\wedge$, « $G_k$ » suivi d'un mot noirci. En marge gauche, un triangle : sommets $V_h$ (en haut), $V_i$ et $V_j$ (en bas) ; côtés marqués $G_j$ (à gauche), $G_i$ (à droite), $G_k$ (en bas). i.e. un élément ⌜$\varepsilon$⌝ central dans $V_i \mathbin{\wedge_{G_k}} V_j \mathbin{\wedge_{G_i}} V_h$, de telle façon que $V$ s'identifie à l'ens[emble] des $(x_i, x_j, x_h)$ tels que \[x_i \wedge x_j \wedge x_h = \varepsilon\] Si les $G_i$ sont commutatifs, ce qui est le cas si $\ldots$ et […], ⌜commutatifs⌝ donc (vu l'iso[morphisme] […]) isomorphes, les autres $G$ sont et on a un système transitif d'isomorphismes. On est ramené à la situation précédente, dès qu'on a donné une « origine » $o \in V$…

40Numéro de l'auteur : 3. La page est d'une écriture rapide ; la prose de liaison est souvent incertaine. Remarque. Le groupe des automorphismes de la situation donnée se divise en \[\mathfrak{S}_I \ (\simeq \mathfrak{S}_3) \qquad \text{\struck{$\mathrm{Aut}\, G_i \times \mathrm{Aut}\, G_i$}} \qquad \text{et}\] \[\underbrace{\prod_{i \in I}{}_{\Gamma}\, \mathrm{Aut}(G_i)}_{\simeq\, \Gamma \text{ si les } G_i \text{ \uncertain{commutatifs}}}, \qquad \text{où} \quad \Gamma \simeq \underbrace{\mathrm{Aut}\,\mathrm{Ext}(G_i)}_{\text{indépendant de } i \text{ à isom. près}}\] Le $\prod$ porte en indice un $\Gamma$ appuyé (produit fibré au-dessus de $\Gamma$). Entre les deux, une tentative biffée, en partie noircie. \[\prod G_i, \quad \text{opérant sur } (V_i) \text{ via} \quad g_j x_i g_h^{-1},\quad g_h x_j g_i^{-1},\quad g_i x_h g_j^{-1}\] À droite, rattaché à $\Gamma$ par un trait : Il est plus joli de distinguer $\mathfrak{S}_I$, $\mathrm{Aut}\,\mathrm{Ext}(G_i)$ et $G^I/Z$ (envoyé diagonalement dans $Z^I \subset G^I$) En marge gauche, la feuille tournée, une note en grande partie surchargée : « produit avec conjugués, il faut […] […] $Z^I$ / diagonale […] $Z$ […] […] […] »

(c) Soit maintenant $I$ un ens[emble] à quatre éléments, et […] donnons-nous encore d'abord les \[V \xrightarrow{\ \varphi_i\ } V_i \qquad i \in I\] dans $\mathcal{C}$, tels que $\forall J \subset I$, $\operatorname{card} J = 2$, on ait $V \xrightarrow{\ \varphi_J\ } V_J$ iso[morphisme].

Pour toute subdivision numérotation \[I = \{ i_1, i_2, i_3, i_4 \}\] on va définir une flèche \[u_{(i_1, i_2), (i_3, i_4)} : V_{i_1} \xrightarrow{\ \sim\ } V_{i_2} \tag{1}\] À droite de (1), deux mots dont le premier est noirci (« […] par […] »). C'est l'iso[morphisme] canon[ique] défini en a), quand on fait abstraction de $\varphi_{i_4}$. La page s'arrête là ; l'argument se poursuit au-delà du lot.

Calculs dans \(\mathrm{SL}_2\)

Le relèvement \(\tilde\delta\) sur le centre

Décompositions dans \(H = \mathrm{SL}(M)\)

Le revêtement \(\tilde Z\) et le diagramme des sous-groupes

Structure du groupe \(\mathrm{SL}(2,\Lambda)\)

Rapport anharmonique