Fonds Grothendieck, cote n° 83, pages 21–40

Calculs dans \mathrm{SL}_2

Titre de l'éditeur. Les pages 21 et 22 sont des feuilles de calcul ; le calcul y court depuis les pages qui précèdent le lot (les éléments e_0(\beta), e_1(\gamma), \sigma_0(\beta), u(\lambda) sont supposés connus).

Feuille de calculs matriciels, sans texte suivi. Le symbole que nous transcrivons \sigma_0 est tracé comme un v ou un \nu à indice 0 ; les pages 32 à 35 montrent qu'il s'agit de l'application \sigma_0 du texte mis au propre. \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ \beta^{-1} & -1 \end{pmatrix} \qquad \sigma_0(\beta)^{-1} = le produit des deux premiers facteurs étant marqué d'une accolade : \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & -1 \end{pmatrix}. g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad g^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} g \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} g^{-1} = \begin{pmatrix} a & a\beta + b \\ c & c\beta + d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - ac\beta & a^2\beta \\ -c^2\beta & 1 + ac\beta \end{pmatrix} 1 - a^2c^2\beta^2 \qquad\qquad ad - bc ~~e_1(\beta).~~ ~~e_1(\gamma)\, e_0(-\gamma^{-1})\, e_1(\gamma) =~~ \underbrace{\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\, \sigma_0(\beta)^{-1}}\, \underbrace{e_0(\beta)\, \sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\, \sigma_0(\beta)^{-1}} = \sigma_0(\beta) Le dernier \sigma_0(\beta)^{-1} porte sur le \beta une surcharge que nous ne lisons pas ; les accolades sont de lui. \omega\,\bigl(\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\bigr)^3 = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} 1 & \beta \\ \gamma & \beta\gamma + 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \beta\gamma & \beta \\ 2\gamma + \beta\gamma^2 & 1 + \beta\gamma \end{pmatrix}, \qquad 2\gamma + \beta\gamma^2 = \gamma(2 + \beta\gamma) 1 + \beta^2\gamma^2 + 2\beta\gamma - 2\beta\gamma - \beta^2\gamma^2 Écrit le long du bord gauche, la feuille tournée : \rho(\beta) = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & -1 \end{pmatrix} = u(\beta)\,( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \rho'^3 = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} La première ligne s'arrête sur « u(\beta)\,( », la parenthèse ouverte et vide. À la dernière, seule la première ligne du produit, « 1\ \ 0 », est nettement lisible.

La page est écrite dans les deux sens. Une longue diagonale fine la traverse de part en part. En haut, dans le sens du papier : \sigma_0(\beta)\bigl(e_0(\beta)\bigr) = e_1(-\beta^{-1}) \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \bigl( Le reste de la page est écrit tête-bêche ; nous le donnons dans l'ordre de lecture de la feuille retournée.

Remarque Considérons un multigraphe ~~(S, (A_\pi)_{\pi\in\Pi}, Z \subset )~~ \mathcal{M} = \Bigl(\Gamma,\ Z \subset \mathrm{Aut}(\Gamma),\ \Pi \subset \Pi_Z \subset \mathrm{Bij}(S, \check S)\Bigr), \qquad \Gamma = (S, \check S, R \subset S \times \check S) Sous « Z \subset \mathrm{Aut}(\Gamma) » : « sous-groupe » ; sous « \Pi_Z » : « Z-torseurs ». Devant \mathcal{M}, un mot biffé illisible. avec opération libre de Z sur S et \check S, il lui est donc associé

a) Un ensemble T (\simeq S/Z \simeq \check S/Z)

b) ~~Deux familles de~~ Un groupe Z commutatif

c) Deux ~~familles de~~ familles de Z-torseurs, , indexées par T (savoir les fibres de t dans S et dans \check S respectivement, i.e. les origines et extrémités)

\begin{aligned} &\chi\{s, t\} \in A, \qquad \chi\{s, \lambda t\} \in A, \qquad \chi\{\lambda s, t\} \in A, \qquad \chi\{s, \lambda^{-1} t\} \end{aligned} Colonne de droite, à côté d'un « Z » isolé ; dans la marge, « (s, \lambda t) ». (s_0, \check s_0),\ (s_0, \lambda\check s_0) \in R; \qquad \exists\, g \in G_0,\quad g(s_0) = s_0,\ g(\check s_0) = \lambda\check s_0 g^{-1}(s_0) = s_0, \qquad g^{-1}\lambda\, g^{-1}(s_0) = g s_0 \qquad\qquad \lambda s_0 = s_0,\quad \lambda^{-1} t_0 = t_0 U g t.u_0 = t'u'_0 = \sigma(t'^{-1}u'_0), T \in ~~t = v_0 u_0^{-1}~~

~~u \in U_0~~ ~~u \in U_0 \cap~~ T \cap U_0 u s_0 = \lambda s_0 \qquad u t_0 = t_0 u \in T.U_0 \qquad u \in U_1 \boxed{TU_0 \cap U_1 = \{1\}} TU_0 \cap U_1 = \{1\} (12) ~~\Rightarrow Transitivité U_1~~ \Longrightarrow \quad B_0 \cap B_1 = T T \cap U_0 \subset U_1\,? Les accolades de \{1\} sont tracées comme un « 3 » refermant le 1. En marge gauche, la même égalité recopiée, et « B_0 \cap B_1 ».

M = L \oplus L' L, L' \Lambda-modules inversibles \underbrace{\mathrm{SL}(M)}_{H} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Bigm| \begin{matrix} a, d \in \Lambda \\ c \in L^{-1}L',\ b \in L'^{-1}L \end{matrix},\ ad - bc = 1 \Bigr\} Il écrit « \mathrm{Se}(M) » ; nous lisons \mathrm{SL}(M), et de même plus bas. U_0 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Bigm| \alpha \in \overbrace{L'^{-1}L}^{L_0} \Bigr\} \qquad B_0 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & \alpha \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^*,\ \alpha \in L'^{-1}L \Bigr\} U_1 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \Bigm| \beta \in \underbrace{L^{-1}L'}_{L_1} \Bigr\} \qquad B_1 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \beta & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^*,\ \beta \in L^{-1}L' \Bigr\} T = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^* \Bigr\} \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \sigma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ \text{si } L = L' = \Lambda ~~\sigma(c) N(c) =~~ N(c) = \begin{pmatrix} 0 & -c^{-1} \\ c & 0 \end{pmatrix} = \sigma . u(c) g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad u(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}, \quad e(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad e'(\beta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} N(c)\,u(\lambda) = N(c\lambda), \qquad u(\lambda)\,N(c) = N(\lambda^{-1}c), \qquad u(\lambda)\,N(c)\,u(\lambda') = N(\lambda^{-1}\lambda' c) Le dernier argument est mal formé à l'encre ; la lecture \lambda^{-1}\lambda' c est celle qu'imposent les deux égalités qui précèdent. Si g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, on a g \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\lambda & b\lambda^{-1} \\ c\lambda & d\lambda^{-1} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} g = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda^{-1}c & \lambda^{-1}d \end{pmatrix} \begin{aligned} g \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} g^{-1} &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda d & -\lambda b \\ -\lambda^{-1}c & \lambda^{-1}a \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda ad - \lambda^{-1}bc & ab(-\lambda + \lambda^{-1}) \\ cd(\lambda - \lambda^{-1}) & -\lambda bc + \lambda^{-1}ad \end{pmatrix} \end{aligned} N = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(M) \Bigm| ab = cd = 0 \Bigr\} N^+ = T = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(M) \Bigm| b = c = 0 \Bigr\}, \qquad N^- \,[= \sigma T] = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(M) \Bigm| a = d = 0 \Bigr\} u(\lambda)\,\sigma = \begin{pmatrix} 0 & -\lambda \\ \lambda^{-1} & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma\, u(\lambda) = \begin{pmatrix} 0 & -\lambda^{-1} \\ \lambda & 0 \end{pmatrix} Encadré dans le manuscrit : e(\alpha)\,u(\lambda)\,e'(\beta) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \lambda^{-1}\beta & \lambda^{-1} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \lambda + \lambda^{-1}\alpha\beta & \lambda^{-1}\alpha \\ \lambda^{-1}\beta & \lambda^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \lambda = d^{-1}, \qquad \alpha = \lambda b = b/d, \qquad \beta = \lambda c = c/d Devant, un début biffé. Le « \lambda b » est tracé comme \lambda\beta. donc U_0 \times T \times U_1 \longrightarrow H \quad \text{injectif} U_0 T U_1 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| d \in \Lambda^* \Bigr\} [e(\alpha), e'(\beta)] = \underbrace{e(\alpha)\,e'(\beta)}_{\begin{pmatrix} 1 + \alpha\beta & \alpha \\ \beta & 1 \end{pmatrix}}\, e(-\alpha)\,e'(-\beta) \begin{pmatrix} 1 + \alpha\beta & \alpha \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + \alpha\beta & -\alpha \\ -\beta & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 + \alpha\beta)^2 - \alpha\beta & -\alpha^2\beta \\ \alpha\beta^2 & 1 - \alpha\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 & -\alpha^2\beta \\ \alpha\beta^2 & 1 - \alpha\beta \end{pmatrix} si \alpha\beta = 1, on trouve [e(\alpha), e'(\beta)] = \begin{pmatrix} 3 & -\alpha \\ \alpha^{-1} & 0 \end{pmatrix}

donc si \exists\,\lambda tel que [e(\alpha), e'(\beta)] \in N^-, alors \alpha\beta = 1, 3 = 0 i.e. on est en caractéristique 3.

Le relèvement \tilde\delta sur le centre

Titre de l'éditeur. La page 24 renvoie à une relation (64') et numérote (70) : la numérotation court depuis des pages antérieures au lot, dont \tilde\delta, \tilde Z, u_\lambda, v_{\tilde\lambda}, T' et G_0 sont repris sans être redéfinis. Une longue diagonale fine traverse la page.

La relation (64') donne, si \lambda \in Z, \tilde\lambda \in \tilde Z, avec \lambda = \dot{\tilde\lambda} = \delta_{\tilde Z}(\tilde\lambda), ~~si \lambda = \dot{\tilde\lambda}, on a~~ (u_\lambda^{-1} v_{\tilde\lambda}^2)(s_0, t_0) = (\lambda s_0, \lambda t_0) ~~u_\lambda^{-1} v_\lambda^2 (s_0, t_0~~

i.e. \lambda^{-1} u_\lambda^{-1} v_{\tilde\lambda}^2\, (s_0, t_0) = (s_0, t_0), ce qui implique que l'on a \lambda^{-1} u_\lambda^{-1} v_{\tilde\lambda}^2 \in T' \cap G_0 = \mathfrak{z}_{T'} Le \mathfrak{z} est la lettre en forme de « 3 » bouclé dont il se sert pour un centre. mais on a aussi \tilde\delta(\lambda^{-1} u_\lambda^{-1} v_{\tilde\lambda}^2) = \tilde\delta(\lambda^{-1})\, \underbrace{\tilde\delta(u_\lambda^{-1})}_{1}\, \underbrace{\tilde\delta(v_{\tilde\lambda})^2}_{\tilde\lambda^2} je voudrais montrer que c'est = 1, i.e. qu'on a \tilde\delta(\lambda) = \tilde\lambda^2 \qquad \forall\, \tilde\lambda \in \tilde Z,\ \lambda = \dot{\tilde\lambda} \in Z \tag{70} i.e. qu'on ait commutativité dans

\begin{tikzcd} \tilde Z \arrow[r, "{\delta_{\tilde Z} : \tilde\lambda \mapsto \dot{\tilde\lambda}}"] \arrow[rr, bend right=40, "{\tilde\lambda \mapsto \tilde\lambda^2}"'] & Z \arrow[r, "{\tilde\delta | Z}"] & \tilde Z \end{tikzcd}

Décompositions dans H = \mathrm{SL}(M)

Titre de l'éditeur. Les pages 23 et 25 à 28 reprennent les notations e(\alpha), e'(\beta), u(\lambda), N(c) de la page 23 ; les pages 26 à 28 sont encore des brouillons, l'exposé mis au propre commence page 29.

e'(\beta)\, e(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \beta & 1 + \alpha\beta \end{pmatrix} si 1 + \alpha\beta \in \Lambda^*, on a \boxed{\, e'(\beta)\, e(\alpha) = e\Bigl(\frac{\alpha}{1 + \alpha\beta}\Bigr)\, u\Bigl(\frac{1}{1 + \alpha\beta}\Bigr)\, e'\Bigl(\frac{\beta}{1 + \alpha\beta}\Bigr) \,} si 1 + \alpha\beta = 0, i.e. \alpha\beta = -1, on a e'(\beta)\, e(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \beta & 0 \end{pmatrix} \overset{?}{\in} [\sigma B_1 =]\ N^- U_1 Suit un calcul biffé : \sigma \begin{pmatrix} a' & \\ -\lambda^{-1} & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta' & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda^{-1}\beta' & -\lambda^{-1} \\ \lambda & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, avec en dessous \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \lambda^{-1}\beta' & \lambda^{-1} \end{pmatrix}, barré lui aussi ; lecture incertaine dans le détail. N^- B_1 = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| d = 0 \Bigr\} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} \Bigm| a \in \Lambda,\ b \in L'^{-1}L,\ c \in L^{-1}L',\ bc = -1 \Bigr\} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & b' \\ -b'^{-1} & 0 \end{pmatrix}}_{\in N^-} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta' & 1 \end{pmatrix}}_{\in U_1} = \begin{pmatrix} b'\beta' & b' \\ -b'^{-1} & 0 \end{pmatrix} alors \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{pmatrix}}_{\in N^-} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ ab^{-1} & 1 \end{pmatrix}}_{\in U_1} \qquad \text{si } bc = -1 ~~e'(\beta)\, e(-\beta^{-1}) =~~

si \alpha\beta = -1 e'(\beta)\, e(\alpha) = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & 0 \end{pmatrix}}_{\in N^-} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha^{-1} = -\beta & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{i.e.} e'(\beta)\, e(-\beta^{-1}) = \begin{pmatrix} 0 & -\beta^{-1} \\ \beta & 0 \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\beta & 1 \end{pmatrix}}_{e'(-\beta)} \qquad \text{i.e.} Sous la dernière matrice il écrit « e'(\beta) », le signe moins absent ou indistinct. e'(\beta)\, e(-\beta^{-1}) = N(\beta)\, e'(-\beta) \boxed{\, e'(\beta)\, e(-\beta^{-1})\, e'(\beta) = N(\beta) \,} \qquad \beta \in (L^{-1}L')^* = U_1^* ~~e'(-\alpha^{-1})\, e(\alpha)\, e'(-\alpha^{-1}) = N(-\alpha^{-1})~~ Dans la marge de droite, la feuille tournée, la vérification de l'encadré de la page 23 : \lambda + \lambda^{-1}\alpha\beta = d^{-1} + d\,\frac{bc}{d^2} = d^{-1} + \frac{bc}{d} = a i.e. OK Au-dessus, dans la même marge, un calcul de puissances de \alpha\beta (1 - \alpha^3\beta^3 + \alpha^3\beta^3…) rayé de traits ondulés ; au bas de la page, deux lignes écrites tête-bêche, barrées et rayées en croix, ne se lisent pas.

Le revêtement \tilde Z et le diagramme des sous-groupes

Titre de l'éditeur. Toute la page 26 est écrite tête-bêche ; elle porte en tête le numéro « 114 », de sa main, et une diagonale fine la traverse. Les numéros (9) à (13) appartiennent à une suite dont le début est hors du lot.

Numéro de l'auteur : 114. On considère alors le groupe \tilde Z = G/G_0^+ \qquad \text{avec} \qquad G \xrightarrow{\ \tilde\delta\ } \tilde Z \tag{9} qui est un revêtement de degré 2 de Z 1 \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow \tilde Z \longrightarrow Z \longrightarrow 1, \tag{10} et le diagramme d'inclusions de groupes

\begin{tikzcd}[column sep=large] U \arrow[r, hook, "Z"] \arrow[d, hook, "\mu_2"'] & B'' \arrow[r, hook] \arrow[d, hook, "\mu_2"'] & G_0^+ \arrow[d, hook, "\mu_2"'] \\ \tilde U \arrow[r, hook, "Z"] \arrow[d, hook, "Z"'] & \tilde B'' \arrow[r, hook] \arrow[d, hook, "Z"'] & G_0 \arrow[d, hook, "Z"'] \\ B' \arrow[r, hook, "Z"] & B \arrow[r, hook] & G \end{tikzcd}

Diagramme (11). À gauche, une longue flèche verticale étiquetée \tilde Z couvre les trois lignes ; à droite, de même, un trait ondulé marqué \tilde Z entre deux flèches, l'une montante, l'autre descendante. Sous chacune des flèches horizontales marquées Z, une étiquette biffée. On a écrit en dessous de toute flèche d'inclusion d'un sous-groupe distingué dans un groupe ambiant le groupe quotient correspondant (à isomorphisme près), défini alors à partir de G_0^+ \subset G_0 \subset G et de l'action de G sur S, en termes d'un G_0^+-repère (s_0, t_0) \in \vec A_0 \qquad \text{i.e.} \quad s_0, t_0 \in S,\ \{s_0, t_0\} \in A_0 : \tag{12} \left\{ \begin{aligned} B' &= G_{s_0} = \{ g \in G \mid g s_0 = s_0 \} \\ \tilde U &= B' \cap G_0 = \{ g \in G_0 \mid g s_0 = s_0 \} = \{ b' \in B' \mid \delta(b') = 1 \} \\ U &= B' \cap G_0^+ = \{ g \in G_0^+ \mid g s_0 = s_0 \} = \{ b' \in B' \mid \tilde\delta(b') = 1 \} \\ \tilde B'' &= \{ g \in G_0 \mid g s_0 \in Z.s_0 \} \\ B'' &= \tilde B'' \cap G_0^+ \qquad [\mathrm{NB}\ \ \tilde B'' = \tilde U . B'']^{!} \\ B &= B' . B'' \ (= B' . \tilde B'')^{!} \end{aligned} \right. \tag{13} En face de \tilde B'' : c'est le sous-groupe de \mathrm{Norm}_{G_0}(\tilde U) (\tilde U = G_{0\,s_0}) qui sont décrivant Z \simeq \tilde B''/\tilde U action sur S \simeq G_0/\tilde U Devant le crochet de la ligne de B'', un mot noirci ; à la ligne de B, une seconde copie « \mathrm{NB}\ \tilde B'' = \tilde U . B'' » est barrée, puis entourée et reliée par un trait au crochet de la ligne précédente. Renvoi du signe « ! » : produits de sous-ensembles dans un groupe G : A.B = \{ ab \mid a \in A,\ b \in B \} En marge gauche : NB B est bien un sous-groupe car B' = G_{s_0} normalise B'' qui est défini en termes de s_0

\bigl[e(\alpha)\, u(\lambda)\, \underbrace{e'(\beta)\bigr]\bigl[e(\alpha')}_{e\left(\frac{\alpha'}{1 + \alpha'\beta}\right) u\left(\frac{1}{1 + \alpha'\beta}\right) e'\left(\frac{\beta}{1 + \alpha'\beta}\right)}\, u(\lambda')\, e'(\beta')\bigr] = \boxed{\, = e\Bigl(\alpha + \lambda^2 \frac{\alpha'}{1 + \alpha'\beta}\Bigr)\, u\Bigl(\frac{\lambda\lambda'}{1 + \alpha'\beta}\Bigr)\, e'\Bigl(\beta' + \lambda'^{-2} \frac{\beta}{1 + \alpha'\beta}\Bigr) \,} \qquad 1 + \alpha'\beta \in \Lambda^* Au-dessus, en ajout : « si \alpha'\beta \neq -1 », biffé, puis « 1 + \alpha'\beta \in \Lambda^* ». Cas 1 + \alpha'\beta = 0, i.e. \alpha'\beta = -1 : e(\alpha)\, u(\lambda)\, \underbrace{e'(\beta)\, e(\alpha')}_{N(\beta)\, e'(-\beta)}\, u(\lambda')\, e'(\beta') \underbrace{N(\beta)\, u(\lambda')}_{\in N^-}\, \underbrace{e'(\beta' - \lambda'^{-2}\beta)}_{\in U_1} = e(\alpha)\, u(\lambda)\, \underbrace{N(\beta)\, u(\lambda')}_{N(\beta\lambda^{-1}\lambda')}\, e'(\beta' - \lambda'^{-2}\beta) e(\alpha)\, N(\underbrace{\beta\lambda^{-1}\lambda'}_{t})\, e'(\underbrace{\beta' - \lambda'^{-2}\beta}_{\gamma}) = N(t) . \underbrace{\underbrace{N(t)^{-1}(e(\alpha))}_{e'(-t^2\alpha)}\, e'(\gamma)}_{e'(-t^2\alpha + \gamma)} e(\alpha)\, t\, e'(\gamma) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -t^{-1} \\ t & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} -t^{-1}\gamma & -t^{-1} \\ t & 0 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -t^{-1}\gamma + \alpha t & -t^{-1} \\ t & 0 \end{pmatrix} ~~e(\alpha)\, N(t) = N(t)\, e'(\alpha')~~ N(t)\bigl(e(\alpha)\bigr) \overset{\mathrm{def}}{=} N(t)\, e(\alpha)\, N(t)^{-1} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -t^{-1} \\ t & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} 0 & -t^{-1} \\ t & t\alpha \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 0 & t^{-1} \\ -t & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -t^2\alpha & 1 \end{pmatrix} \boxed{\, N(t)\, e(\alpha) = e'(-t^2\alpha) \,} \qquad t \in U_1^*,\ \alpha \in U_0 -t^2\alpha + \gamma = -\alpha\beta^2\lambda^{-2}\lambda'^2 + \beta' - \lambda'^{-2}\beta e(\alpha)\, u(\lambda)\, e'(\beta)\, e(\alpha')\, u(\lambda')\, e'(\beta') = \boxed{\, N(\beta\lambda^{-1}\lambda')\, e'\bigl(\beta' - \lambda'^{-2}\beta - \alpha\beta^2\lambda'^2\lambda^{-2}\bigr) \,} si \alpha'\beta = -1 i.e. \alpha' = -\beta^{-1}.

La moitié supérieure de la page est un calcul dans le sens du papier ; la moitié inférieure, tête-bêche, numérotée « 135 » de sa main et traversée d'une diagonale, est un fragment de prose d'une autre suite. \sigma \in B_G \qquad \text{\struck{$\sigma =$}}\ \sigma t \sigma t \qquad \sigma = t . u . t \qquad u\, g\, u^{-1} = g^{-1} ~~u g u^{-1} g^{-1} = g^{-2}~~ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\beta^{-1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{pmatrix} 1 & -\beta^{-1} \\ \beta & 0 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \overset{?}{=} \begin{pmatrix} 0 & -\beta^{-1} \\ \beta & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{OK} « OK » est barré d'un trait, ou souligné en travers ; la lecture n'est pas sûre.

Partie tête-bêche, numéro de l'auteur 135 :

Je m'aperçois : l'intérêt que l'image des sous-groupes T_0 et de T_1 de T_G dans \mathrm{Aut}\, H sont un seul et sous-groupe (et égal à l'image des T_G — ce qui est évident aussi bien par les formules ~~que~~ T_G = T_0 . T_H, \qquad \underbrace{\mathrm{Im}(T_H \to \mathrm{Aut}(H))}_{\subset\, \mathrm{Im}(T_0 \to \mathrm{Aut}(H))}, qui impliquent que T_0 et T_G ont donc (et T_1 et T_G aussi, par symétrie) ont images dans \mathrm{Aut}(H)), le sous-groupe en question décidément mérite d'être noté \tilde Z, donc cette convention d'écriture.

\ill{} = \ill{} Au bas de la partie retournée, deux formules courtes (\ldots = \ldots u_\lambda^{-1}\ldots), écrites dans le sens du papier, que nous ne lisons pas. Les deux lignes en tête de cette moitié, dans le sens du papier, se lisent : « u_\lambda \sigma(s_0) = \lambda^{-1} t_0 » et « \sigma u_\lambda(s_0) = u_\lambda^{-1} \sigma(s_0) = \lambda t_0 ».

Structure du groupe \mathrm{SL}(2,\Lambda)

Titre de l'auteur, souligné, en tête de la page 29, qui porte son numéro « 1 ». Les pages 29 à 40 forment une rédaction suivie, paginée par lui de 1 à 12 ; elle continue après le lot.

Numéro de l'auteur : 1. 1. Soit M un module libre de rang 2 sur un anneau \Lambda, avec une structure symplectique e_M \in \bigl(\textstyle\bigwedge^2 M\bigr)^* . \tag{1} La donnée d'un tore maximal déployé T de \mathrm{SL}(M) revient à la donnée d'une décomposition de M en somme de deux sous-modules libres L_i de rang 1, formant un ensemble ~~\{L, L'\}~~ à deux éléments \varepsilon_T — ce sont les deux sous-modules propres de M, et on a \bigotimes_{i \in \varepsilon_T} L_i \simeq \bigl(\textstyle\bigwedge^2 M\bigr)_{\Lambda_{\pm 1}}^{\varepsilon_T} \simeq \Lambda_{\Lambda_{\pm 1}}^{\varepsilon_T} \tag{2} Les indices et exposants de (2) sont serrés et la lecture du milieu, « \Lambda_{\pm 1} », reste incertaine. en utilisant l'isomorphisme \textstyle\bigwedge^2 M \xrightarrow{\ \sim\ } \Lambda \qquad e_M \longmapsto 1 \tag{3} défini par la base e_M. L'opération de T sur chaque L_i définit un caractère T \xrightarrow{\ \chi_i\ } \mathbb{G}_m \qquad i \in \varepsilon_T \tag{4} qui est un isomorphisme, et (2) implique que l'on a \prod_{i \in \varepsilon_T} \chi_i = 1 \tag{5} i.e. les deux caractères \chi_i sont inverses l'un de l'autre : ce sont les deux isomorphismes déployés de T sur \mathbb{G}_m (quand \operatorname{Spec}\Lambda est connexe — sinon on peut dire encore que ce sont les deux isomorphismes « canoniques » de T sur \mathbb{G}_m). Choisir l'un des deux isomorphismes revient donc à choisir Le long du bord gauche, en face des lignes 4 à 9, une note tournée, rattachée par un trait au mot « revient » souligné : « Si \operatorname{Spec}\Lambda connexe, sinon car lorsque donnée déployée , i.e. T \simeq \mathbb{G}_m » En bas à gauche, rattaché à « déployés » : « ils sont donc définis via les dièdres »

Cette page ne porte pas de numéro de l'auteur. Il écrit désormais L'_0, L'_1 (avec un accent) pour les deux sous-modules propres. un des deux éléments de \varepsilon_T, i.e. à choisir un ordre sur cet ensemble, qui nous permet dès lors de distinguer un L_0 et un L_1, de sorte que M = L'_0 \oplus L'_1 , \tag{6} et qu'on a un isomorphisme d'identification T \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{G}_m, \tag{7} un \lambda \in \mathbb{G}_m(\cdot) \simeq T(\cdot) opérant sur L_0 par l'homothétie \lambda, sur L_1 par \lambda^{-1}.

On peut écrire, à l'aide de (6), H \overset{\mathrm{déf}}{=} \underbrace{\mathrm{SL}(M)}_{= \mathrm{Aut}(M, e_M)} \simeq \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Bigm| \begin{matrix} a, d \in \Lambda,\ b \in \mathrm{Hom}(L'_1, L'_0) \simeq L_1'^{-1} L'_0 \\ c \in \mathrm{Hom}(L'_0, L'_1) \simeq L_0'^{-1} L'_1,\ ad - bc = 1 \end{matrix} \Bigr\} \tag{8} Dans (8), « \mathrm{SL}(M) » surcharge une première écriture, peut-être \mathrm{SL}(2, M)(\Lambda). où bc = cb \in \Lambda \tag{9} désigne le composé de b et c, identifié à un élément de \Lambda (homothétie par bc). Dans (9), un premier « \Lambda^* » est corrigé en \Lambda, l'astérisque restant au-dessus.

La composition des éléments de \mathrm{SL}(2, M) est donnée par la règle usuelle. Avec ces notations, l'isomorphisme (7) est donné par \Lambda^* \xrightarrow{\ \sim\ } T(\Lambda) = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^* \Bigr\} \tag{10} et on pose u(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} pour \lambda \in \Lambda^*.

Par la suite, on s'intéresse au groupe des points de \mathrm{SL}(M) à valeurs dans \Lambda, plutôt qu'au schéma en groupes, et on notera par la suite par T au lieu de T(\Lambda), le sous-groupe

Numéro de l'auteur : 2. (10) de H. On pose également L_0 = L_1'^{-1} L'_0, \qquad L_1 = L_0'^{-1} L'_1, \tag{11} ce sont donc des modules inversibles, canoniquement inverses l'un de l'autre. On a des homomorphismes canoniques e_0 : L_0 \longrightarrow H, \quad \beta \longmapsto \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad e_1 : L_1 \longrightarrow H, \quad \gamma \longmapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix} \tag{12} et on pose \begin{aligned} U_0 &= e_0(L_0) = \Bigl\{ \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Bigm| \beta \in L_0 \Bigr\} \\ U_1 &= e_1(L_1) = \Bigl\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix} \Bigm| \gamma \in L_1 \Bigr\} . \end{aligned} \tag{13} On a pour \lambda \in \Lambda^*, g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H, \left\{ \begin{aligned} u(\lambda)\, g &= \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda^{-1}c & \lambda^{-1}d \end{pmatrix} \qquad g\, u(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda^{-1}b \\ \lambda c & \lambda^{-1}d \end{pmatrix} \\ u(\lambda)\, g\, u(\lambda)^{-1} &= \begin{pmatrix} a & \lambda^2 b \\ \lambda^{-2}c & d \end{pmatrix} \end{aligned} \right. \tag{14} en particulier \left\{ \begin{aligned} u(\lambda)\bigl(e_0(\beta)\bigr) &= e_0(\lambda^2\beta) \\ u(\lambda)\bigl(e_1(\gamma)\bigr) &= e_0(\lambda^{-2}\gamma) \end{aligned} \right. \tag{15} Sic : e_0 à la seconde ligne de (15), où l'on attend e_1. attention à l'exposant 2 des \lambda dans la 2^{\text{e}} manière ! Ainsi T normalise U_0 et U_1, et on a bien sûr T \cap U_0 = T \cap U_1 = \{1\}, \tag{16} on introduit \left\{ \begin{aligned} B_0 = T . U_0 &= \{ e_0(\beta)\, u(\lambda) \mid \beta \in \Lambda,\ \lambda \in \Lambda^* \} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & \lambda^{-1}\beta \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^*,\ \beta \in \Lambda \Bigr\} \\ &\qquad \Bigl( = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| c = 0 \Bigr\} \Bigr) \\ B_1 = T . U_1 &= \{ u(\lambda)\, e_1(\gamma) \mid \gamma \in \Lambda,\ \lambda \in \Lambda^* \} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \lambda^{-1}\gamma & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \Lambda^*,\ \gamma \in \Lambda \Bigr\} \\ &= \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| b = 0 \Bigr\} \end{aligned} \right. \tag{17} Entre les deux lignes de (17), un « B_1 » commencé et abandonné. qui sont des sous-groupes de H normalisant U_0 respectivement U_1. On a B_0 \cap B_1 = T = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| b = c = 0 \Bigr\} . \tag{18}

On introduit aussi une application (pas un homomorphisme !) \left\{ \begin{aligned} &\sigma_0 : L_0^* \longrightarrow H \\ &\sigma_0(\beta) = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \right. \tag{19} Dans (19), le coefficient en haut à droite est surchargé ; nous lisons \beta, d'après (20) et les calculs de la page 21. Un signe d'égalité y est d'abord écrit puis biffé. NB Si L_0 n'est pas libre, alors L_0^* est vide, et ce qui suit sans intérêt. On suppose donc par la suite L_0 libre, donc L_1 libre on a alors \left\{ \begin{aligned} \sigma_0(\beta)^2 &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = u(-1) \overset{\mathrm{déf}}{=} \omega \qquad (\text{élément \emph{central} de } H) \\ \sigma_0(\beta)\bigl(u(\lambda)\bigr) &= u(\lambda^{-1}) \qquad \text{donc } \sigma(\beta) \text{ normalise } T \\ \sigma_0(\lambda\beta) &= u(\lambda)\, \sigma_0(\beta) = \sigma_0(\beta)\, u(\lambda^{-1}) , \end{aligned} \right. \tag{20} À la dernière ligne, un astérisque biffé après \beta ; sous « \sigma_0(\beta)\, u(\lambda^{-1}) », deux mots biffés (« donc pour » ?). la dernière formule montre que, si on pose N^- = \sigma_0(L_0^*) = \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| a = 0,\ d = 0 \Bigr\}, \tag{21} Devant N^-, un mot biffé ; avant l'accolade, « H » biffé. alors N^- est une classe à gauche ou à droite mod T, et que L_0^* \xrightarrow{\ \sim\ } N^- \tag{22} est bijection, et un isomorphisme de \Lambda^*-torseurs, quand on fait opérer \Lambda^* sur L_0^* par homothéties, et sur N^- par multiplication à gauche par u(\lambda). On pourrait bien sûr introduire ~~symétriquement le composé~~ \sigma_1 : L_1 \xrightarrow{\ \sim\ } N^- \qquad \sigma_1(\gamma) = \begin{pmatrix} 0 & -\gamma^{-1} \\ \gamma & 0 \end{pmatrix} \tag{23} de sorte que l'on a \left\{ \begin{aligned} \sigma_1(\gamma) &= \sigma_0(-\gamma^{-1}) \\ \sigma_1(\lambda\gamma) &= u(\lambda^{-1})\, \sigma_1(\gamma) = \sigma_1(\gamma)\, u(\lambda) \end{aligned} \right. \tag{24} donc \sigma_1 est un isomorphisme de \Lambda^*-torseurs, quand cette fois on fait opérer \Lambda^* sur N^- par multiplication : droite par u(\lambda).

Numéro de l'auteur : 3. Notons la formule fondamentale \boxed{\, \sigma_0(\beta)\bigl(e_0(\beta)\bigr) = e_1(-\beta^{-1}) \,} \tag{25} Dans l'encadré, une matrice entièrement noircie précède e_1(-\beta^{-1}). d'où plus généralement \sigma_0(\beta)\bigl(e_0(\lambda\beta)\bigr) = e_1(-\lambda\beta^{-1}) qui montre en particulier que \forall\, \sigma \in N^-, \quad \text{on a} \quad \sigma(U_0) = U_1, \quad \text{d'où} \quad \sigma(U_1) = U_0 \tag{26} (puisque \sigma^2 = \omega est central).

Notons que g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Longrightarrow g^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \tag{27} et g\, e_0(\beta)\, g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 - ac\beta & a^2\beta \\ -c^2\beta & 1 + ac\beta \end{pmatrix} \tag{28} donc on a g(U_0) \subset U_1 ssi on a a^2\beta = 0, \quad ac\beta = 0 \qquad \forall\, \beta \in L_0 i.e. a^2 = 0, \quad ac = 0 d'où a = a\underbrace{(ad - bc)}_{1} = 0, donc \left\{ \begin{aligned} \mathrm{Transp}_H(U_0, U_1) &= \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| a = 0 \Bigr\}, \quad \text{de même} \\ \mathrm{Transp}_H(U_1, U_0) &= \Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in H \Bigm| d = 0 \Bigr\} . \end{aligned} \right. \tag{29} En marge de (29) : il suffit même qu'un g \in H ~~soit~~ tel que pour un \beta \in L_0^*, on ait g(\beta) \in L_1, pour avoir g \in \mathrm{Transp}_H(U_0, U_1) ~~je dis que~~

En fait, ~~les calculs montrent~~ que dans ces cas là, le transporteur large est strict, car si a = 0, la formule (28) donne g\, e_0(\beta)\, g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -c^2\beta & 1 \end{pmatrix} \tag{28'} or ad - bc = -bc = 1, donc b et c sont inversibles, donc c^2 inversible, donc \mathrm{int}(g) induit un isomorphisme U_0 \xrightarrow{\ \sim\ } U_1. Des formules (29) on tire

N^- = \mathrm{Transp}(U_1, U_0) \cap \mathrm{Transp}(U_0, U_1) \tag{30} Soient maintenant \beta \in L_0, \gamma \in L_1 avec \left\{ \begin{aligned} &\beta\gamma = -1 \qquad \text{i.e. } \gamma = -\beta^{-1}, \text{ i.e. } \beta = -\gamma^{-1} \\ &\text{i.e. } e_1(\gamma) = \underbrace{\sigma_0(\beta)\bigl(e_0(\beta)\bigr)}_{e_1(-\beta^{-1})} , \end{aligned} \right. \tag{31} je dis qu'on a alors e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) = \sigma_0(\beta) \qquad (\text{pour } \beta\gamma = -1) \tag{32} formule qui s'écrit aussi, puisque e_1(\gamma) = \sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\, \sigma_0(\beta)^{-1}, \underbrace{\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)}\, \sigma_0(\beta)^{-1}\, e_0(\beta)\, \underbrace{\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)}\, \sigma_0(\beta)^{-1} = \sigma_0(\beta) Le numéro de cette formule est surchargé, illisible. soit encore, en écrivant \sigma_0(\beta)^{-1} = \omega\, \sigma_0(\beta) (\omega central, \omega^2 = 1) \bigl(\sigma_0(\beta)\, e_0(\beta)\bigr)^3 = 1 Avant « = 1 », deux signes noircis. soit encore \rho(\beta)^3 = 1, \qquad \text{où } \rho(\beta) = \sigma_0(\beta)\, e_0(\beta), \tag{33} soit \rho(\beta) = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & -1 \end{pmatrix} = u(\beta)\, \rho' \qquad \rho' = \rho(1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \tag{34} Au-dessus de l'égalité, « soit \rho(\beta) » biffé ; sous elle : « si L_0 = L_1 = \Lambda, donc \beta \in \Lambda^* ». la vérification est immédiate.

Supposons maintenant \beta \in L_0, \gamma \in L_1 quelconques, et calculons e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma), on trouve e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) = \begin{pmatrix} 1 + \beta\gamma & \beta \\ \gamma(2 + \beta\gamma) & 1 + \beta\gamma \end{pmatrix} \tag{35} Le numéro (35), comme (36) ensuite, est mal formé ; nous les supposons d'après la suite (34), (37). qui prouve \text{si } \beta \in L_0,\ \gamma \in L_1, \text{ les conditions suivantes sont équivalentes} \tag{37} \left| \begin{aligned} &\text{a) } \beta\gamma = -1 \\ &\text{b) } e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) \in \mathrm{Transp}(U_0, U_1) \\ &\text{c) } e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) \in \mathrm{Transp}(U_1, U_0) \\ &\text{d) } e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) \in N^- \\ &\text{e) } e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) = \sigma_0(\beta) \end{aligned} \right. En marge de (35) : faire le lien avec la formule pour e_1(\beta)\, e_0(\alpha') = e_0(x)\, u(t)\, e_1(y) pour 1 + \beta\alpha' .

Numéro de l'auteur : 4. En d'autres termes, en termes du groupe H, et des deux sous-groupes U_0, U_1 de H et de leurs structures de \Lambda-modules inversibles L_0, L_1 (automatique si \Lambda est un anneau égal à \mathbb{Z} ou \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), on trouve

a) L'accouplement L_0 \otimes L_1 \simeq \Lambda, par la condition que u_0 \otimes u_1 = -1 ssi u_1 u_0 u_1 \in \mathrm{Transp}(U_0, U_1), ou encore u_1 u_0 u_1 \in \mathrm{Transp}(U_0, U_1) \cap \mathrm{Transp}(U_1, U_0) \overset{\mathrm{déf}}{=} N^-

b) L'application \sigma_0 : U_0^* \longrightarrow N^- par la condition \sigma_0(u_0) = u_1 u_0 u_1, où u_1 \in U_1 est l'unique élément de U_1 satisfaisant à la condition que u_1 u_0 u_1 \in N^-, et alors on a

c) u_1 = \sigma_0(u_0)(u_0) = \underbrace{u_1 u_0 u_1}\, u_0\, \underbrace{u_1^{-1} u_0^{-1} u_1^{-1}}

En face de a) et b), reliée par une accolade : ou encore u_0 \in U_0^* et ~~(u_1 u_0 u_1)~~ \mathrm{int}(u_1 u_0 u_1)(u_0) = u_1, i.e. (38) ci-dessous i.e. u_0 u_1 u_0 u_1^{-1} u_0^{-1} u_1^{-1} = 1 \qquad \text{i.e. } u_0 u_1 u_0 = u_1 u_0 u_1 \tag{38} formule qui est équivalente encore à u_0 \otimes u_1 = -1. En termes de e_0, e_1, \beta\gamma, s'écrit aussi e_0(\beta)\, e_1(\gamma)\, e_0(\beta) = e_1(\gamma)\, e_0(\beta)\, e_1(\gamma) \quad \text{ssi} \quad \beta\gamma = -1 \qquad (\beta \in L_0^*,\ \gamma \in L_1) . \tag{39} La relation (38) ~~est~~ entre U_0 et U_1 est le graphe d'une bijection entre U_0^* = e_0(L_0^*) et U_1^* = e_1(L_1^*), qu'on peut noter u_0 \longmapsto u_0^\vee : U_0^* \longrightarrow U_1^* et satisfaisant (u_0^\lambda)^\vee = (u_0^\vee)^{\lambda^{-1}}, \qquad u_0 \in U_0^*,\ \lambda \in \Lambda^* \tag{40} Dans (40), u_0^\lambda surcharge une première écriture \lambda u_0. en notant exponentiellement l'opération externe de \Lambda sur U_0, U_1.

(alors que pour g \in \mathrm{Transp}_H(U_0, U_1), la bijection \mathrm{int}(g) | U_0 : U_0 \xrightarrow{\ \sim\ } U_1 respecte les structures de \Lambda-module sur U_0 et U_1, cf. (28')).

~~On notera~~ N' = T \sqcup N^- \subset H \tag{41} ~~est un sous-groupe de~~ La formule (41) est enfermée dans un cadre qui barre les mots au-dessus et au-dessous ; le reste de la page est blanc.

Rapport anharmonique

Titre de l'auteur, pris sur le feuillet qui sert de couverture à la suite (page 37 du fonds, non transcrite) : « Rapport anharmonique — avril 1986 ». La rédaction qui suit, datée « Avril 86 » en tête de la page 38, est paginée par lui à partir de 1 ; elle continue après le lot.

Numéro de l'auteur : 1. En haut à droite : « Avril 86 ». À propos rapport anharmonique.

(a) Soient V \xrightarrow{\ \varphi_i\ } V_i (i \in I, \operatorname{card} I = 3) des flèches de même source dans une catégorie abélienne \mathcal{C}, telles que \forall J \subset I, \operatorname{card} J = 2, la flèche correspondante ~~soit~~ V \longrightarrow V_J \overset{\mathrm{déf}}{=} \prod_{i \in J} V_i soit isomorphisme. ~~Considérons~~ Alors on a suite exacte 0 \longrightarrow V \xrightarrow{\ \varphi\ } \prod V_i \longrightarrow D \longrightarrow 0, \qquad \varphi = (\varphi_i), \quad D = \prod V_i / \mathrm{Im}\, V \tag{1} et les homomorphismes composés u_i : V_i \xrightarrow{\ \mathrm{inj}_i\ } \prod V_i \longrightarrow D Il dessine u_i comme une flèche courbe sous la composée. sont isomorphismes. On a donc un isomorphisme des suites exactes entre (1) et 0 \longrightarrow K(D, I) \longrightarrow D^I \xrightarrow{\ \varepsilon_{D,I}\ } D \longrightarrow 0 où K(D, I) \overset{\mathrm{déf}}{=} \operatorname{Ker} \varepsilon_{D,I} = \Bigl\{ (x_i)_{i \in I} \in D^I \Bigm| \textstyle\sum x_i = 0 \Bigr\} Sous \varepsilon_{D,I}, un mot souligné, peut-être « somme ». Ainsi, la catégorie des systèmes (V, (V_i), (\varphi_i)) est équivalente à celle des paires (D, I), i.e. est équivalente à : \mathrm{Ens}_3 \times \mathcal{C}.

(b) NB Il y a une variante non commutative où V, V_i sont des ensembles ~~avec dimensions de~~ plus. On doit pouvoir montrer

Numéro de l'auteur : 2. Les indices sont tantôt h, tantôt k pour le troisième élément de I ; nous les gardons tels qu'ils sont écrits. (utilisant une orientation de I) qu'il existe sur chaque V_i une structure de bitorseur sous deux paires de groupes G_j,\ G_h \qquad G_j = G_{\bar\rho(i)},\quad G_h = G_{\rho(i)} (les G_j étant définis à isomorphisme unique près) et un isomorphisme (choisissant un i \in I) par la commodité de l'écriture V_i \mathbin{\wedge_{G_k}} V_j \mathbin{\wedge_{G_i}} V_k \simeq \mathbb{1}_{G_i} \qquad \text{isom\supplied{orphisme} de bitorseurs} Sous le premier \wedge, « G_k » suivi d'un mot noirci. En marge gauche, un triangle : sommets V_h (en haut), V_i et V_j (en bas) ; côtés marqués G_j (à gauche), G_i (à droite), G_k (en bas). i.e. un élément \varepsilon central dans V_i \mathbin{\wedge_{G_k}} V_j \mathbin{\wedge_{G_i}} V_h, de telle façon que V s'identifie à l'ensemble des (x_i, x_j, x_h) tels que x_i \wedge x_j \wedge x_h = \varepsilon Si les G_i sont ~~commutatifs, ce qui est le cas si \ldots et~~ , commutatifs donc (vu l'isomorphisme ) isomorphes, les autres G sont et on a un système transitif d'isomorphismes. On est ramené à la situation précédente, dès qu'on a donné une « origine » o \in V…

Numéro de l'auteur : 3. La page est d'une écriture rapide ; la prose de liaison est souvent incertaine. Remarque. Le groupe des automorphismes de la situation donnée se divise en \mathfrak{S}_I \ (\simeq \mathfrak{S}_3) \qquad \text{\struck{$\mathrm{Aut}\, G_i \times \mathrm{Aut}\, G_i$}} \qquad \text{et} \underbrace{\prod_{i \in I}{}_{\Gamma}\, \mathrm{Aut}(G_i)}_{\simeq\, \Gamma \text{ si les } G_i \text{ \uncertain{commutatifs}}}, \qquad \text{où} \quad \Gamma \simeq \underbrace{\mathrm{Aut}\,\mathrm{Ext}(G_i)}_{\text{indépendant de } i \text{ à isom. près}} Le \prod porte en indice un \Gamma appuyé (produit fibré au-dessus de \Gamma). Entre les deux, une tentative biffée, en partie noircie. \prod G_i, \quad \text{opérant sur } (V_i) \text{ via} \quad g_j x_i g_h^{-1},\quad g_h x_j g_i^{-1},\quad g_i x_h g_j^{-1} À droite, rattaché à \Gamma par un trait : Il est plus joli de distinguer \mathfrak{S}_I, \mathrm{Aut}\,\mathrm{Ext}(G_i) et G^I/Z (envoyé diagonalement dans Z^I \subset G^I) En marge gauche, la feuille tournée, une note en grande partie surchargée : « produit avec conjugués, il faut Z^I / diagonale Z »

(c) Soit maintenant I un ensemble à quatre éléments, et donnons-nous encore d'abord les V \xrightarrow{\ \varphi_i\ } V_i \qquad i \in I dans \mathcal{C}, tels que \forall J \subset I, \operatorname{card} J = 2, on ait V \xrightarrow{\ \varphi_J\ } V_J isomorphisme.

Pour toute ~~subdivision~~ numérotation I = \{ i_1, i_2, i_3, i_4 \} on va définir une flèche u_{(i_1, i_2), (i_3, i_4)} : V_{i_1} \xrightarrow{\ \sim\ } V_{i_2} \tag{1} À droite de (1), deux mots dont le premier est noirci (« par »). C'est l'isomorphisme canonique défini en a), quand on fait abstraction de \varphi_{i_4}. La page s'arrête là ; l'argument se poursuit au-delà du lot.