Cote n° 82 · batch 4 · pages 61–78 · Transcription · SO(3) ≃ GP(1) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1982]
Édition de démonstration

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615) Considérons la forme déterminant [\(\xi \mapsto -\det(\xi)\)] sur \(\mathrm{M}_0 = \mathrm{M}_2(\underline{O}_{S_0})\), et considérons sa restriction au sous-Module \(\mathfrak{sl}(2)_{S_0} \subset \mathrm{M}_0\) des matrices de trace nulle, le groupe i.e. des matrices \[(3) \qquad \xi = \begin{pmatrix} z & x \\ y & -z \end{pmatrix}\] donnant \(q(\xi) = \det \xi =\) \[(4) \qquad q_0(\xi) \overset{\mathrm{déf}}{=} -\det \xi = xy + z^2\] Cette forme [(\(-\det u\) sur \(\mathrm{M}_0 = \mathrm{M}_2(\underline{O}_{S_0})\))] est évidemment invariante par l'action de \(\mathrm{GP}(1)\), déduite par passage au quotient de celle de \(\mathrm{GL}(2)\) – […] \[(5) \qquad \det(g \xi g^{-1}) = \det \xi\] a fortiori sa restriction : \(\widetilde{\mathfrak{g}}_0 = \mathfrak{sl}(2)_{S_0}\) l'est. Identifions \(\widetilde{\mathfrak{g}}_0\) à \(E_0 = \underline{O}^3_{S_0}\) par \[(6) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} (x, y, z) \longmapsto \begin{pmatrix} z & x \\ y & -z \end{pmatrix} \\[4pt] E_0 = \underline{O}^3_{S_0} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{\mathfrak{g}}_0 = \mathfrak{sl}(2)_{S_0} \end{array}\right.\] on trouve une action de \(G_0 = \mathrm{GP}(1)\) sur \((E_0, q_0)\). Il est immédiat les numéros (3) à (6) poursuivent la suite (1)–(2) ouverte à la page 60, dans « II Opérations de \(G_0\) ». « \(\xi \mapsto -\det(\xi)\) » est écrit au-dessus de « déterminant », biffé ; la parenthèse « (\(-\det u\) …) » est une insertion interlinéaire rattachée à « forme » par un trait. Les deux lettres gothiques sont lues \(\mathfrak{sl}(2)\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}}_0\), comme à la page 60.

62aussi, comme \(G_0\) opère trivialement sur \(\underline{H}\) module inversible (car \(\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\mathrm{GP}(1), \mathbb{G}_m\bigr) = 0\)) qu'il opère trivialement sur \(\underline{\det}(\widetilde{\mathfrak{g}}_0) \simeq \det(E_0)\), donc […] [invariance] en plus de \(q\). le début de la page enchaîne sur la dernière phrase de la page 61 (« Il est immédiat … ») ; la lettre soulignée \(\underline{H}\) et le mot qui la suit sont peu nets, et l'ordre des mots de la dernière ligne est incertain.

6) \(\mathcal{L}_0 = \mathrm{GL}(2)\) opérant sur \(\underline{O}^2_{S_0}\), opère sur \(\mathbb{P}^1 = \mathbb{P}(\underline{O}^2_{S_0})\), et comme \(\mathbb{G}_m\) opère trivialement, on en déduit par passage au quotient une action de \(G_0 = \mathrm{GP}(1)\) grâce à l'iso (2).

Enfin, l'opération de \(G_0\) sur \((E_0, q_0)\) définit une opération sur \(\bigl(P_0 = \check{\mathbb{P}}(E_0),\ C_0 = \mathbb{V}(q_0)\bigr)\).

Nous admettrons [(pour ne pas nous éterniser …)] que tous les homomorphismes \[(7) \qquad G_0 = \mathrm{GP}(1) \longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0)\] sont des iso, ce qui nous permet de fonder le dictionnaire que nous voulons [(ou dictionnaire des explicitées […])]. Mais nous allons […] expliciter [les] points essentiels. Expliciter le th. d'isomorphie la note marginale est dans la marge gauche, en face de (7), tenue par un trait vertical. La lettre gothique de \(\underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0)\) est celle de la page 58. Les deux parenthèses ajoutées sont écrites au-dessus de la ligne et reliées au texte par une accolade.

63III Le foncteur allant de \(C_{0_S} = \mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)\) vers les huit autres catégories est le foncteur « torsion » \[(8) \qquad R \longmapsto R \overset{\mathrm{GP}(1)_S}{\wedge} \mathfrak{X}_{0_S}\] où \(\mathfrak{X}_0\) est le représentant typique [sur \(\mathbf{Z}\)] de la catégorie fibrée envisagée. Le théorème d'isomorphie précédent signifie : dire que ces foncteurs sont des équiv. de cat, […] le groupe de […] relatif aux cat. (*).

Dans le cas \[\begin{array}{ccc} C_{0_S} & \longrightarrow & C_{5_S} \\ \shortparallel & & \shortparallel \\ \mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) & & \mathrm{Drpr}(S) \end{array}\] on peut expliciter aussi ce foncteur comme \[(9) \qquad R \longmapsto R/B_{0_S}\] où \[(10) \qquad B_0 \subset \mathrm{GP}(1) = G_0\] est le Borel-type de \(\mathrm{GP}(1)\), stabilisateur du [déduit par] [image en quotient par \(\mu_2\) du] le point […] matrices groupe des matrices \[(10) \qquad \widetilde{B}_0 = \left\lbrace \begin{pmatrix} \lambda & \mu \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \;\middle|\; \lambda \text{ dans } \mathbb{G}_m,\ \mu \text{ dans } \mathbb{G}_a \right\rbrace\] […] qui est aussi le stabilisateur de la droite \(\underline{O}_S e_1\) dans \(\underline{O}^2_S\) – s'identifie « III » continue la numérotation romaine de « I Représentants typiques » et « II Opérations de \(G_0\) » (pages 59–60). Le numéro (10) est écrit deux fois, pour \(B_0\) et pour \(\widetilde{B}_0\) ; il est laissé tel quel. Dans (8), le premier terme du second membre est couvert de hachures, et \(\mathfrak{X}_{0_S}\) porte la lettre gothique de la page 58. Les deux lignes qui suivent (10) sont très raturées : « déduit par » et la parenthèse sur \(\mu_2\) sont écrits au-dessus de mots biffés. Dans (10) bis, une première lettre sous \(\lambda\) est surchargée.

64à la section [nulle \(s_0\)] \(\bullet\) de \(\mathbb{P}\) \(X_0 = \mathbb{P}^1\) (la section \(\infty\), correspondant à la droite \(\underline{O}_S e_1\)), a comme stabilisateur \[(11) \qquad \widetilde{B}'_0 = \left\lbrace \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \mu & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \;\middle|\; \lambda \text{ dans } \mathbb{G}_m,\ \mu \text{ dans } \mathbb{G}_a \right\rbrace\] Comme l'action de \(G_0\) sur \(X_0\) définit [et] la section \(s_0\) de \(X_0\) définit \[(12) \qquad \begin{array}{c} g \longmapsto g \cdot s_0 \\ G_0 \longrightarrow X_0 \end{array}\] qui par passage au quotient définit un iso \[(13) \qquad G_0/B_0 \longrightarrow X_0 ,\] on trouve compatible avec les op. de \(G_0\), opérant par translations i.e. sur le premier membre, on trouve, en prenant l'image inverse sur \(S\) et en tordant l'iso obtenu par le torseur \(R\), l'iso. \[(14) \qquad R \wedge X_{0_S} \simeq R/B_{0_S}\] qui établit l'interprétation (9).

Le foncteur allant [de chacune des huit] des catégories \(C_{1_S} \ldots\) vers \(\mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)\) est le foncteur composé de le numéro (14) est surchargé. Le stabilisateur (11) est celui de la section \(\infty\), alors que la phrase qui l'introduit nomme d'abord la section nulle \(s_0\) : c'est ainsi sur la page. « de chacune des huit » est écrit au-dessus de la ligne et renvoie à « catégories ».

65\[(15) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto \underline{\mathrm{Isom}}(\mathfrak{X}_0, \mathfrak{X})\] vers les \(\mathrm{Tors}\bigl(\underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_{0_S})\bigr)\), suivi de l'équivalence \[(16) \qquad \mathrm{Tors}\bigl(\underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_{0_S})\bigr) \simeq \mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)\] déduite de l'iso […] \[(17) \qquad \mathrm{GP}(1)_S \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_{0_S}) \ \bigl(\simeq \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0)_S\bigr)\] déduit de (7) par chgt de base. Également forme particulière du foncteur « tordu » dans le cas de \(C_{0_S} \to C_{1_S}\), cf ci-dessous. dans (15), le premier \(\mathfrak{X}\) porte un indice \(0\) qui paraît de trop ; il est gardé comme sur la page.

IV Le foncteur allant de la catégorie \(C_{1_S}\) des formes de \(\mathrm{GP}(1)_S\) vers des catégories \(C_{0_S}, C_{2_S}\) etc vers la catégorie \(C_{1_S}\) des formes de \(\mathrm{GP}(1)\) s'explicite par \[(18) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X})\] Pour expliciter les foncteurs Dans le cas des \(C'_{1_S}\) des formes \(\widetilde{G}\) de \(\mathrm{SL}(2)\), il y a aussi une description plus terre à terre : \[(19) \qquad \widetilde{G} \longmapsto \widetilde{G}/\mathrm{Cent}(\widetilde{G})\] (NB le centre de \(\widetilde{G}\) est toujours […] isom. à \(\mu_2\) (de façon unique car \(\underline{\mathrm{Aut}}(\mu_2) = 1\))). [Pour le cas de \(\underline{\mathrm{Quat}}(\underline{O}_S) \to \mathrm{Fo}(G) \ldots\)] \[(20) \qquad \mathcal{M} \longmapsto \check{\mathbb{V}}(\mathcal{M})^{*}/\mathbb{G}_{m_S}\] « IV » est précédé d'un trait horizontal qui barre la largeur de la page, séparant le paragraphe III du paragraphe IV. Le numéro (18) est surchargé. La ligne « Pour le cas de … » est écrite en petit, entre les lignes, au-dessus de (20).

66Pour les foncteurs en sens inverse, allant de \(C_{1_S} = \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)\) vers les autres catégories, on peut, soit prendre par le torseur \(R = \underline{\mathrm{Isom}}(G_{0_S}, G)\) pour tordre \(\mathfrak{X}_{0_S}\) \[(21) \qquad G \longmapsto \underline{\mathrm{Isom}}(G_{0_S}, G) \overset{G_{0_S}}{\wedge} \mathfrak{X}_{0_S} ,\] soit trouver, dans divers cas, des descriptions plus directes. Par exemple \[(22) \qquad G \longmapsto \widetilde{G} = \text{Rev.\ simplement connexe de } G\] défini comme le schéma en groupes lisse à fibres […] [géom. connexes] simplement connexes, muni d'une isog. \(\widetilde{G} \to G\) – lequel est défini de façon unique …

Le foncteur vers les Algèbres de Lie est \[(23) \qquad \begin{array}{c} G \longmapsto \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Lie}}(G) \\ \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{gp}(1)_S\bigr) \end{array}\] \[(24) \qquad \begin{array}{c} G \longmapsto \widetilde{\mathfrak{g}} = \underline{\mathrm{Lie}}(\widetilde{G}) \\ \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{sl}(2)_S\bigr) \end{array}\] Le foncteur \[G \longmapsto (E, q, \omega)\] peut se factoriser par \(G \mapsto \widetilde{\mathfrak{g}}\), cf plus bas. les numéros (21), (22) et (24) sont surchargés. La glose sur le revêtement simplement connexe est écrite à droite, sous (22), en lignes courtes ; « géom. connexes » y est écrit au-dessus d'un mot biffé. Les « \(\sim\) » au-dessus des flèches de (23) et (24) sont surchargés.

67Le foncteur \[G \longmapsto X\] s'explicite comme \[(25) \qquad G \longmapsto \underline{\mathrm{Bor}}(G)\] associant à \(G\) le […] schéma des ses sous-groupes de Borel \(B\) i.e. […] des ss-groupes tels que [\((G, B)\)] \((B, G)\) soit loc. isom. […] à \((G_{0_S}, B_{0_S})\). On obtient un isom., si \(G\) et \(X\) se correspondent – donc \(G \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(X)\) – un isom. can. \[(26) \qquad X \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Bor}}(G)\] en associant à une section [loc.] de \(X\) son stabilisateur dans \(G\). le numéro (25) est surchargé ; celui de la seconde formule, lu (26), est écrit sur un 5. Devant \((G_{0_S}, B_{0_S})\), un premier essai, qui semble commencer par une parenthèse et un \(G_0\), est couvert de hachures sur deux lignes.

V Les foncteurs vers les formes de \(\mathrm{SL}(2)_S\) s'fobtiennent soit en factorisant par \(\mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)\) \[(27) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto R = \underline{\mathrm{Isom}}(\mathfrak{X}_{0_S}, \mathfrak{X}) \longmapsto R \overset{\mathrm{GP}(1)_S}{\wedge} \widetilde{G}_{0_S} ,\] soit plus naturellement […] \[(28) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto G = \underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathfrak{X}) \longmapsto \widetilde{G} = \text{Rev.\ simpl.\ conn.\ } G\] dans (27), le dernier facteur est écrit sur une lettre raturée et surmonté d'un tilde ; il est lu \(\widetilde{G}_{0_S}\).

68Dans le cas de \(\mathrm{Quat}(S)\) […] \[\mathrm{Quat}(S) \longrightarrow \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{SL}(2)_S\bigr)\] i.e. donné par \[(29) \qquad \mathcal{M} \longmapsto \widetilde{G} \simeq \mathrm{Ker}\Bigl(\check{\mathbb{V}}(\mathcal{M})^{*} \xrightarrow{\ \det\ } \mathbb{G}_m\Bigr)\] la première ligne est en partie biffée, et la ligne qui la suit, illisible, l'est entièrement. Dans (29), un premier essai après « \(\simeq\) » est couvert de hachures ; sous la flèche « \(\det\) », une remarque soulignée : « \(=\) norme réduite ».

Parmi les foncteurs de \(\mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{SL}(2)_S\bigr)\) vers les autres catégories, […] sont pour \(\mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)\bigr)\) […] vers \(\mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)\), suivis des certains, en spéciales […], p.ex. \[\mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{SL}(2)_S\bigr) \longrightarrow \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{sl}(2)_S\bigr)\] \[(30) \qquad \widetilde{G} \longmapsto \widetilde{\mathfrak{g}} = \underline{\mathrm{Lie}}(\widetilde{G})\] \[(31) \qquad \widetilde{G} \longmapsto X \simeq \underline{\mathrm{Bor}}(\widetilde{G})\]

Pour la relation […] entre \(G, \widetilde{G}, \mathfrak{g}, \widetilde{\mathfrak{g}}, (E, q, \omega)\), c'est \(\mathcal{M}\) qui donne peut-être la meilleure clef pour les décrire tous – ainsi que \(X\) et \((P, C)\), tant qu'à faire ! – et pour comprendre les relations entre tous ces objets. On verra ainsi que \(\mathfrak{g}\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) sont […] duaux l'un de l'autre, par \(E \simeq \widetilde{\mathfrak{g}}\) canoniquement, i.e. quand […] dans (31), l'argument de \(\underline{\mathrm{Bor}}\) est surchargé ; après « relation », un passage biffé se termine par « \(\mathcal{M}\), \(q\) » couvert de hachures, et « Pour » est écrit sur un premier mot.

69par \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), on verra des interprétations remarquables de \(\widetilde{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g}\) et \(\widetilde{G} \to G\) etc. …

VI Soit donc \(\mathcal{M}\) une Algèbre de quaternions sur \(S\) – i.e. une Alg. loc. [(fppf)] iso. à \(\mathrm{M}_2(\underline{O}_S)\). On sait que \[(32) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \text{Centre de } \mathcal{M} = \underline{O}_S \cdot 1 \\ \bigl(\text{Centre de } \mathcal{M}^{*} = \underline{O}_S^{*} \cdot 1 \text{ ou encore } \bigl(\text{Centre de } \mathcal{L} = \mathbb{V}(\mathcal{M})^{*}\bigr) = \mathbb{G}_m \subset \mathcal{L}(\mathcal{M})\bigr) \end{array}\right.\] dans les deux lignes de (32), le premier « \(\mathcal{M}\) » est suivi de lettres couvertes de hachures ; la seconde ligne s'ouvre sur une double parenthèse.

[…] Puis on a des fonctions « […] réduite » et « trace réduite » \[(33) \qquad \mathbb{V}(\mathcal{M}) \overset{\det}{\underset{\mathrm{tr}}{\rightrightarrows}} \mathbb{E}^{1}\] définies par des conditions évidentes (par […] [localisation] : fonctions \(\det\) et \(\mathrm{tr}\) sur \(\mathrm{M}_2(\underline{O}_S)\), […] qui sont invariantes par automorphismes) à gauche, un premier numéro (peut-être « (33) ») est couvert de hachures, suivi d'un trait. Le but de (33) est écrit sur un \(\underline{O}_S\) surchargé et se lit \(\mathbb{E}^1\) (la droite affine) ; « localisation » remplace un mot biffé.

NB \(\det(uv) = \det u \det v\), \(\left\lbrace\begin{array}{l}\mathrm{tr} \text{ est } \underline{O}_S\text{-linéaire} \\ \det \text{ est quadratique}\end{array}\right.\) ; \(\det(u + \lambda 1) =\) […] \(\lambda^2 + \lambda \mathrm{Tr}\, u + \det u\). L'appl. tangente de \(\det\) en la section \(1\) est \(\mathrm{tr}\) cet encadré est à droite de la page, tenu par un trait vertical, en face des lignes qui précèdent (33).

On obtient des suites exactes \[(34) \qquad 1 \longrightarrow \mathbb{G}_m \xrightarrow{\text{incl.\ du centre}} \mathcal{L}(\mathcal{M}) \longrightarrow G \longrightarrow 1\] \[(35) \qquad 1 \longrightarrow \widetilde{G} \longrightarrow \mathcal{L}(\mathcal{M}) \xrightarrow{\ \det\ } \mathbb{G}_m \longrightarrow 1\] et sur les algèbres de Lie \[(34') \qquad 0 \longrightarrow \underline{O}_S \xrightarrow{\lambda \mapsto \lambda \cdot 1} \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{g} \longrightarrow 0\] \[(35') \qquad 0 \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}} \longrightarrow \mathcal{M} \xrightarrow{\ \mathrm{tr}\ } \underline{O}_S \longrightarrow 0 .\] le numéro « VI » est souligné d'un trait au-dessus ; c'est le seul numéro romain de ce lot, et le titre qu'il ouvre n'est pas écrit. \(\mathcal{L}(\mathcal{M})\), lettre ronde, est le groupe \(\mathbb{V}(\mathcal{M})^{*}\) des unités de \(\mathcal{M}\), comme dans (32).

70Ces suites exactes déterminent \(G, \widetilde{G}, \mathfrak{g}, \widetilde{\mathfrak{g}}\) chacun directement en termes de \(\mathcal{L}(\mathcal{M})\), et \(\det\) (pour les groupes) et \(\mathcal{M}\) et \(\mathrm{tr}\) (pour les algèbres de Lie). D'un autre côté, \(\mathcal{M}\) est considéré comme Algèbre de Lie grâce à la forme trace.

Les hom. canoniques \[(36) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \widetilde{G} \longrightarrow G \\ \widetilde{\mathfrak{g}} \xrightarrow{\ f\ } \mathfrak{g} \end{array}\right.\] sont les composés \[(37) \qquad \widetilde{G} \xhookrightarrow{\ \mathrm{incl.}\ } \mathcal{L}(\mathcal{M}) \xrightarrow{\ \mathrm{proj}\ } G\] \[(38) \qquad \widetilde{\mathfrak{g}} \xhookrightarrow{\ \mathrm{incl}\ } \mathcal{M} \xrightarrow{\ \mathrm{proj}\ } \mathfrak{g}\]

Considérons sur \(\mathcal{M}\) la forme quadratique [bilinéaire] […]. \[(39) \qquad \Phi(u, v) = \mathrm{Tr}(uv)\] On voit alors que \(\varphi\) est symétrique et non dégénérée sur chaque fibre, permettant donc d'identifier \(\mathcal{M}\) à son dual i.e. \[(40) \qquad \mathcal{M} \simeq \check{\mathcal{M}}\] L'orthogonal de \(\underline{O}_S\) est \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), et on trouve ainsi un accouplement induisant la lettre de (39) est surchargée ; la prose qui suit l'écrit \(\varphi\). « bilinéaire » est écrit au-dessus de « quadratique », biffé.

71\[(41) \qquad \widetilde{\mathfrak{g}} \times \mathfrak{g} \longrightarrow \underline{O}_S\] dont on déduit les isom. de Modules : \[(42) \qquad \widetilde{\mathfrak{g}} \simeq \check{\mathfrak{g}}, \qquad \mathfrak{g} \simeq \check{\widetilde{\mathfrak{g}}}\] […] La forme quadratique [\(Q(u) = -\det u\)] sur \(\mathcal{M}\) est lisse, et la forme bilinéaire associée est \[(43) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \Phi_1(u, v) = -\mathrm{Tr}\, u \,\mathrm{Tr}\, v + \mathrm{Tr}(uv) = -\mathrm{Tr}\, u \,\mathrm{Tr}\, v + \Phi(u, v) \\ \text{donc } -\det(u + v) + \det u + \det v = \Phi_1(u, v) \\ \qquad = -\mathrm{Tr}\, u \,\mathrm{Tr}\, v + \mathrm{Tr}(uv) \end{array}\right.\] qui est donc également dualisante. Sur \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) elle coïncide avec \(\varphi\), et comme \(\mathrm{Tr}(1) = 2\), on a \[\Phi_1(1, u) = -\Phi(1, u) = -\mathrm{Tr}\, u\] donc l'orth. de \(\underline{O}_S \cdot 1\) pour \(\varphi_1\) est encore \(\widetilde{\mathfrak{g}}\). L'accouplement [\(\mathfrak{g} \times \widetilde{\mathfrak{g}} \to \underline{O}_S\)] […] déduit de \(\varphi_1\) par passage au quotient […] […] [est égal au signe près] à (41) défini par \(\Phi\). […] [D'ailleurs] \(\Phi\) et \(\Phi_1\) ont même restriction à \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), […] soit \(\varphi\) \[(42) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \varphi = \Phi \,|\, \widetilde{\mathfrak{g}} \times \widetilde{\mathfrak{g}} = \Phi_1 \,|\, \widetilde{\mathfrak{g}} \times \widetilde{\mathfrak{g}} : \widetilde{\mathfrak{g}} \times \widetilde{\mathfrak{g}} \to \underline{O}_S \\ \varphi(u, v) = \mathrm{Tr}\, uv \end{array}\right.\] le numéro (42) sert deux fois sur cette page, et (43) resservira à la page 72 : c'est sa numérotation, laissée telle quelle. Dans (42), un petit signe de correction surmonte le premier \(\check{\mathfrak{g}}\). La fin du paragraphe est très raturée : les insertions « est égal au signe près » et « D'ailleurs » sont écrites au-dessus de mots biffés, et l'ordre de lecture de la ligne est incertain.

72Considérons la forme quadratique \(q\) sur \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) \[(43) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} q = Q \,|\, \widetilde{\mathfrak{g}} : \widetilde{\mathfrak{g}} \longrightarrow \underline{O}_S \\ q(u) = -\det u \end{array}\right.\] alors \(\varphi\) est donc associée à la forme \(q\) \[(44) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} q(x + y) = q(x) + q(y) + \varphi(x, y) \\ \varphi(x, x) = 2 q(x) \end{array}\right.\] d'ailleurs \(q\) est lisse – \(\varphi\) est dualisante sauf en car. 2.

[La relation avec la forme de Killing est \[(45) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \mathrm{Tr}\bigl(\mathrm{ad}_{\widetilde{\mathfrak{g}}}(u)\, \mathrm{ad}_{\widetilde{\mathfrak{g}}}(v)\bigr) = 4 \varphi(u, v) \\ \mathrm{Tr}\bigl(\mathrm{ad}_{\widetilde{\mathfrak{g}}}(u)^2\bigr) = 8 q(u) \end{array}\right.\] pour \(u, v\) sections de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\).]

On définit aussi une base \[(46) \qquad \omega \in \Gamma\, \underline{\det}\, \widetilde{\mathfrak{g}} \simeq \Gamma\, \underline{\det}\, \mathcal{M}\] (le dernier iso provenant de la suite exacte (35') […] […]) compte tenu de l'isom. local \[\mathcal{M} \simeq \underline{\mathrm{End}}(V) \simeq \check{V} \otimes V\] et de l'isomorphisme canonique \[(47) \qquad \det(\check{V} \otimes V) \simeq \det \check{V} \otimes \det V \simeq (\det V)^{-1} \otimes \det V \simeq \underline{O}_S\] les crochets autour de (45) sont les siens. Dans (47), le troisième terme est souligné sur la page.

73qui est évidemment stable par \(\mathrm{GL}(V)\) donc par \(\mathrm{GP}(V)\) – donc on déduit une base \(\omega\) de \(\underline{\det}\, \mathcal{M}\), donc de \(\det \widetilde{\mathfrak{g}}\). Il est vrai que dans l'iso (46) il y a une convention de signe à faire – à défaut, il y a l'ambiguïté du signe (qui pourrait définir une […] […] canonique […] […] – cette ambiguïté était évidente, car sur \(\mathbf{Z}\) […] inversibles […] exactement deux bases, différant par le signe – et l'invariance par \(\mathrm{GP}(1)\) \(G_0\) est claire. Mais \(\omega^{\otimes 2}\) ne dépend plus de cette convention, ce qui dispense de lever cette ambiguïté : \[(48) \qquad \underbrace{\delta'(q)}_{\text{discriminant divisé}} = -\,\omega^{\otimes 2}\] d'où \[(49) \qquad \delta(\varphi) = \delta(q) = -2\,\omega^{\otimes 2}\] la parenthèse ouverte après « signe » n'est pas refermée. Sous \(\delta'(q)\), souligné, il écrit « discriminant » puis « divisé » ; les signe sont soulignés sur la page.

74On posera \[(50) \qquad (E, q, \omega) = (\widetilde{\mathfrak{g}}, q, \omega) \qquad \text{i.e. } E = \widetilde{\mathfrak{g}}\] On peut aussi définir,

NB L'hom. fondamental \[(51) \qquad f : \widetilde{\mathfrak{g}} \longrightarrow \mathfrak{g}\] de (36) n'est autre que l'hom. \(\widetilde{\mathfrak{g}} \to \check{\widetilde{\mathfrak{g}}}\) associé à la forme bilinéaire \(\varphi\), compte tenu de l'iso \(\check{\widetilde{\mathfrak{g}}} \simeq \mathfrak{g}\). Ceci signifie en effet que \[\underbrace{\langle \bar{u}, f(v) \rangle}_{\mathrm{Tr}\, uv} = \underbrace{\varphi(u, v)}_{\mathrm{Tr}\, uv} \qquad u, v \in \Gamma(S, \widetilde{\mathfrak{g}})\] Ceci dit, les lois de crochet sur \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) et […] […] \(\mathfrak{g}\) sont alors déductibles canoniquement par ailleurs des couples \((\varphi, \omega)\) d'une forme bil. sym. dans \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) et d'une base \(\omega\) de \(\det \widetilde{\mathfrak{g}}\) (c'est ici que la convention de signe s'avère importante – on prendra \[(52) \qquad \boxed{\ \omega = \widetilde{X} \wedge \widetilde{H} \wedge \widetilde{Y} = -\,\underset{e_1}{\widetilde{X}} \wedge \underset{e_2}{\widetilde{Y}} \wedge \underset{e_3}{\widetilde{H}}\ }\] […] Sans garantie – il […] faut vérifier le texte … « On posera » : « posera » est biffé et le verbe n'est pas remplacé. Dans la formule qui suit (51), les deux accolades sont des guillemets de répétition (« " ») posés sous \(\langle \bar{u}, f(v)\rangle\) et \(\varphi(u,v)\), chacun au-dessus de « \(\mathrm{Tr}\, uv\) ». La formule (52) est encadrée ; sous \(\widetilde{X}, \widetilde{Y}, \widetilde{H}\) du second membre, des guillemets de répétition renvoient à \(e_1, e_2, e_3\), base de \(E_0\) à la page 60. La note « Sans garantie … » est dans la marge gauche, en face de (52), et le mot qui suit la formule (peut-être « On ») est le début d'une phrase qui ne se poursuit pas.

75[…] [On] aussi explicitera dans notre contexte actuel l'hom. \[(53) \qquad f' : \mathfrak{g} \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}}\] (s'identifiant à \({\textstyle\bigwedge^2} f\)) tel que \[(54) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} f f' = -2\, \mathrm{id}_{\mathfrak{g}} \\ f' f = -2\, \mathrm{id}_{\widetilde{\mathfrak{g}}} \end{array}\right.\] en posant \[(55) \qquad f'(\bar{u}) = (\mathrm{Tr}\, u)\, 1 - 2u\] où \(u\) est une section loc. de \(\mathcal{M}\), et \(\bar{u}\) son image par \(\mathcal{M} \to \mathfrak{g}\) ; comme \(\mathrm{Tr}\, 1 = 2\) cette application […] \(\mathcal{M} \to \mathcal{M}\) est bien à valeurs dans \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), et nulle sur \(\underline{O}_S \cdot 1\) donc se factorise par \(\mathfrak{g}\), enfin si \(u\) est dans \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) on trouve \(f'f(u) = -2u\), enfin […], \(f f'(\bar{u}) =\) […] \(\overline{f'(u)} = -2\bar{u}\) ok.

Il reste à voir comment s'explicitent en termes de \(\mathcal{M}\) les objets \(X\), et \(P \supset X\). Bien sûr, on aura \[(56) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} P = \check{\mathbb{P}}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \simeq \mathbb{P}(\mathfrak{g}) \\ X = \mathbb{V}(q) \subset P \end{array}\right.\] dans (56), l'argument de \(\check{\mathbb{P}}\) est surchargé (un premier \(\mathfrak{g}\) changé en \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), semble-t-il). Dans la marge gauche, en face de (56), une note commençant par « NB » est entièrement biffée et illisible.

76La relation […] entre cette description du fibré en droites projectives \(X\), et la description comme \(\underline{\mathrm{Bor}}(G) \simeq \underline{\mathrm{Bor}}(\widetilde{G})\), est explicitée dans la

Proposition. Les ss-groupes de Borel [\(B\)] de \(G\) correspondent biunivoquement par image inverse [\(\widetilde{B}\)] : ceux [\(B_1\)] de \(\mathcal{L} = \mathbb{V}(\mathcal{M})^{*}\) […] [\(\widetilde{B}\)] de \(\widetilde{G}\). Un ss-groupe de Borel est connu quand on connaît son algèbre de Lie \(\mathfrak{L}\) (qui est un ss-fibré vectoriel de corang 1 de \(\mathfrak{g}\)), ou celle \(\mathfrak{L}_1\) de \(\mathcal{L}\) qui lui correspond (qui est un ss-fibré de rang 2 [vectoriel] de corang 1) image inverse de \(\mathfrak{L}\), dans \(\mathcal{M} = \underline{\mathrm{Lie}}(\mathcal{L})\), ou celle ou en car. \(\neq 2\) quand on connaît celle \(\widetilde{\mathfrak{L}}\) de \(\widetilde{B}\) dans \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), qui n'est autre que \(\mathfrak{L}_1 \cap \widetilde{\mathfrak{g}}\) – (et […] […] […], puisqu'alors \(f : \widetilde{\mathfrak{g}} \xrightarrow{\sim} \mathfrak{g}\) !). \(\widetilde{B}\) [En termes] de \(\widetilde{\mathfrak{L}}\) […], fibré vectoriel [aura] \[(57) \qquad \widetilde{B} = \check{\mathbb{V}}(\widetilde{\mathfrak{L}}) \cap \underbrace{\mathbb{V}(\mathcal{M})^{*}}_{\mathcal{L}} \qquad (B = \widetilde{B}/\mathbb{G}_m)\] les lettres \(B\), \(\widetilde{B}\), \(B_1\) sont écrites au-dessus des mots qu'elles nomment ; la seconde (lue \(\widetilde{B}\)) porte peut-être une barre plutôt qu'un tilde. \(\mathfrak{L}\) transcrit sa lettre ronde pour l'algèbre de Lie d'un Borel ; son indice 1 dans « \(\mathfrak{L}_1\) » est peu net. « en car. \(\neq 2\) » est souligné de deux traits. Deux traits verticaux dans la marge gauche tiennent l'énoncé de la Proposition. Le « \((B = \widetilde{B}/\mathbb{G}_m\) » final est coupé par le bord de la feuille.

77Pour qu'un sous-fibré vectoriel [\(\mathfrak{L}\)] de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) de corang 1 soit de la forme \(\underline{\mathrm{Lie}}(B)\), il f. et s. que le fibré [\(\mathfrak{L}^{\perp}\)] […] de rang 1 orthogonal [\(\mathfrak{L}^{\perp}\)] dans \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) satisfasse \[(q \,|\, \mathfrak{L}^{\perp}) = 0\] (et ceci, bien sûr, caractérise \(q\) [(à scalaire inversible près)] – [en termes de \(\widetilde{G}\)] – […] […] […] signe près [sur \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) (définissant \(\check{\widetilde{\mathfrak{g}}}\))] – […] […] qu'il suffit de définir […] […] de façon compatible avec […] de base) Question : suffit-il pour \(\mathfrak{L}\) isotrope […] de […] ss-[…] [\(\mathfrak{L}\)] i.e. stable par crochet ?? NB Je reprends […] […] dire que \(\mathfrak{L}\) est formé d'él. de carré nul de \(\mathcal{M}\) les deux notes marginales sont écrites en oblique dans la marge gauche ; la première est séparée du texte par un trait vertical, la seconde est reliée au texte par un long trait. Les lettres \(\mathfrak{L}\) et \(\mathfrak{L}^{\perp}\) sont écrites au-dessus de la ligne, la seconde deux fois. La fin de la parenthèse, chargée d'insertions interlinéaires, se lit mal.

NB Plaçons-nous en car. 2. Alors \[(58) \qquad \underline{O}_S 1 \subset \widetilde{\mathfrak{g}}\] et l'application morphisme \[(59) \qquad X \longrightarrow \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}})\] allant des Borel de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) vers leurs algèbres de Lie, considérées comme sous-fibrés vect. de corang 1, est celle qui à la section de \(X\), identifiée à une [fibré en] droite dans de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) satisfaisant \(q \,|\, L = 0\), associe son orthogonal dans \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) pour \(\varphi\). L'image [Comme] l'orthogonal contient \(\underline{O}_S \cdot 1\), et dans les (qui est le noyau de \(\varphi\) i.e. de \(f\)), et le morphisme précédent se factorise par dans (59), un premier mot avant \(\mathbb{P}\) est biffé et illisible ; sous le « NB » de « Plaçons-nous », un second « NB » est couvert de hachures, suivi d'une lettre isolée.

78\(\mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}/\underline{O}_S)\), […] i.e. \[(60) \qquad X \longrightarrow \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}/\underline{O}_S)\] qui est lui-même un morphisme de fibrés en droites projectives. Si le morphisme [(59) donc (60)] était encore un monomorphisme, il aurait résulterait que (60) est un isomorphisme, donc \(X\) serait « banal » dès qu'on est en car. 2 – or il n'est pas vrai qu'en car. 2 les fibrés en droites projectives soient tous banals ! En fait, on trouve ici un iso. canonique \[(61) \qquad \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}/\underline{O}_S) \simeq X^{(2)} \quad (\text{frobénisé})\] et (60) n'est autre que le morphisme canonique \[X \longrightarrow X^{(2)}\] qui est un épimorphisme radiciel (et plat [fini loc. libre] de rang \(2^d = 2\)), mais en effet nullement un monomorphisme … « frobénisé » est relié à l'exposant \((2)\) par une flèche. La page s'arrête ici, au bas d'une moitié laissée blanche : c'est la dernière du dossier.