5) Considérons la forme déterminant \xi \mapsto -\det(\xi) sur
\mathrm{M}_0 = \mathrm{M}_2(\underline{O}_{S_0}), et considérons sa restriction
au sous-Module \mathfrak{sl}(2)_{S_0} \subset \mathrm{M}_0 des matrices de trace
nulle, le groupe i.e. des matrices
(3) \qquad \xi = \begin{pmatrix} z & x \\ y & -z \end{pmatrix}
donnant
q(\xi) = \det \xi =
(4) \qquad q_0(\xi) \overset{\mathrm{déf}}{=} -\det \xi = xy + z^2
Cette forme (-\det u sur \mathrm{M}_0 = \mathrm{M}_2(\underline{O}_{S_0}))
est évidemment invariante par l'action de \mathrm{GP}(1), déduite par passage
au quotient de celle de \mathrm{GL}(2) –
(5) \qquad \det(g \xi g^{-1}) = \det \xi
a fortiori sa restriction : \widetilde{\mathfrak{g}}_0 = \mathfrak{sl}(2)_{S_0}
l'est. Identifions \widetilde{\mathfrak{g}}_0 à E_0 = \underline{O}^3_{S_0} par
(6) \qquad \left\lbrace
\begin{array}{l}
(x, y, z) \longmapsto \begin{pmatrix} z & x \\ y & -z \end{pmatrix} \\[4pt]
E_0 = \underline{O}^3_{S_0} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{\mathfrak{g}}_0 = \mathfrak{sl}(2)_{S_0}
\end{array}\right.
on trouve une action de G_0 = \mathrm{GP}(1) sur (E_0, q_0). Il est immédiat
les numéros (3) à (6) poursuivent la suite (1)–(2) ouverte à la page 60, dans « II Opérations de G_0 ». « \xi \mapsto -\det(\xi) » est écrit au-dessus de « déterminant », biffé ; la parenthèse « (-\det u …) » est une insertion interlinéaire rattachée à « forme » par un trait. Les deux lettres gothiques sont lues \mathfrak{sl}(2) et \widetilde{\mathfrak{g}}_0, comme à la page 60.
aussi, comme G_0 opère trivialement sur \underline{H} module
inversible (car \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\mathrm{GP}(1), \mathbb{G}_m\bigr) = 0)
qu'il opère trivialement sur \underline{\det}(\widetilde{\mathfrak{g}}_0) \simeq
\det(E_0), donc invariance en plus de q.
le début de la page enchaîne sur la dernière phrase de la page 61 (« Il est immédiat … ») ; la lettre soulignée \underline{H} et le mot qui la suit sont peu nets, et l'ordre des mots de la dernière ligne est incertain.
6) \mathcal{L}_0 = \mathrm{GL}(2) opérant sur \underline{O}^2_{S_0}, opère sur
\mathbb{P}^1 = \mathbb{P}(\underline{O}^2_{S_0}), et comme \mathbb{G}_m opère
trivialement, on en déduit par passage au quotient une action de
G_0 = \mathrm{GP}(1) grâce à l'iso (2).
Enfin, l'opération de G_0 sur (E_0, q_0) définit une opération sur
\bigl(P_0 = \check{\mathbb{P}}(E_0),\ C_0 = \mathbb{V}(q_0)\bigr).
Nous admettrons (pour ne pas nous éterniser …) que tous les
homomorphismes
(7) \qquad G_0 = \mathrm{GP}(1) \longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0)
sont des iso, ce qui nous permet de fonder le dictionnaire que nous voulons
(ou dictionnaire des explicitées ).
Mais nous allons
III Le foncteur allant de C_{0_S} = \mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)
vers les huit autres catégories est le foncteur « torsion »
(8) \qquad R \longmapsto R \overset{\mathrm{GP}(1)_S}{\wedge} \mathfrak{X}_{0_S}
où \mathfrak{X}_0 est le représentant typique sur \mathbf{Z} de la
catégorie fibrée envisagée. Le théorème d'isomorphie précédent signifie : dire que
ces foncteurs sont des équiv. de cat, le groupe de
relatif aux cat. (*).
Dans le cas
\begin{array}{ccc}
C_{0_S} & \longrightarrow & C_{5_S} \\
\shortparallel & & \shortparallel \\
\mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) & & \mathrm{Drpr}(S)
\end{array}
on peut expliciter aussi ce foncteur comme
(9) \qquad R \longmapsto R/B_{0_S}
où
(10) \qquad B_0 \subset \mathrm{GP}(1) = G_0
est le Borel-type de \mathrm{GP}(1), stabilisateur du déduit par
image en quotient par \mu_2 du le point matrices
groupe des matrices
(10) \qquad \widetilde{B}_0 = \left\lbrace \begin{pmatrix} \lambda & \mu \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}
\;\middle|\; \lambda \text{ dans } \mathbb{G}_m,\ \mu \text{ dans } \mathbb{G}_a \right\rbrace
à la section nulle s_0 \bullet de \mathbb{P}
X_0 = \mathbb{P}^1 (la section \infty, correspondant à la droite
\underline{O}_S e_1), a comme stabilisateur
(11) \qquad \widetilde{B}'_0 = \left\lbrace \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ \mu & \lambda^{-1} \end{pmatrix}
\;\middle|\; \lambda \text{ dans } \mathbb{G}_m,\ \mu \text{ dans } \mathbb{G}_a \right\rbrace
Comme l'action de G_0 sur X_0 définit et la
section s_0 de X_0 définit
(12) \qquad \begin{array}{c} g \longmapsto g \cdot s_0 \\ G_0 \longrightarrow X_0 \end{array}
qui par passage au quotient définit un iso
(13) \qquad G_0/B_0 \longrightarrow X_0 ,
on trouve compatible avec les op. de G_0, opérant par translations
i.e. sur le premier membre, on trouve, en prenant l'image
inverse sur S et en tordant l'iso obtenu par le torseur R, l'iso.
(14) \qquad R \wedge X_{0_S} \simeq R/B_{0_S}
qui établit l'interprétation (9).
Le foncteur allant de chacune des huit des catégories C_{1_S} \ldots vers
\mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) est le foncteur composé de
le numéro (14) est surchargé. Le stabilisateur (11) est celui de la section \infty, alors que la phrase qui l'introduit nomme d'abord la section nulle s_0 : c'est ainsi sur la page. « de chacune des huit » est écrit au-dessus de la ligne et renvoie à « catégories ».
(15) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto \underline{\mathrm{Isom}}(\mathfrak{X}_0, \mathfrak{X})
vers les \mathrm{Tors}\bigl(\underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_{0_S})\bigr),
suivi de l'équivalence
(16) \qquad \mathrm{Tors}\bigl(\underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_{0_S})\bigr) \simeq
\mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)
déduite de l'iso
IV Le foncteur allant de la catégorie C_{1_S} des formes de
\mathrm{GP}(1)_S vers des catégories C_{0_S}, C_{2_S} etc vers la
catégorie C_{1_S} des formes de \mathrm{GP}(1) s'explicite par
(18) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X})
Pour expliciter les foncteurs
Dans le cas des C'_{1_S} des formes \widetilde{G} de \mathrm{SL}(2),
il y a aussi une description plus terre à terre :
(19) \qquad \widetilde{G} \longmapsto \widetilde{G}/\mathrm{Cent}(\widetilde{G})
(NB le centre de \widetilde{G} est toujours
Pour les foncteurs en sens inverse, allant de C_{1_S} = \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)
vers les autres catégories, on peut, soit prendre par le torseur
R = \underline{\mathrm{Isom}}(G_{0_S}, G) pour tordre \mathfrak{X}_{0_S}
(21) \qquad G \longmapsto \underline{\mathrm{Isom}}(G_{0_S}, G) \overset{G_{0_S}}{\wedge} \mathfrak{X}_{0_S} ,
soit trouver, dans divers cas, des descriptions plus directes. Par exemple
(22) \qquad G \longmapsto \widetilde{G} = \text{Rev.\ simplement connexe de } G
défini comme le schéma en groupes lisse à fibres unique …
Le foncteur vers les Algèbres de Lie est
(23) \qquad \begin{array}{c}
G \longmapsto \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Lie}}(G) \\
\mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{gp}(1)_S\bigr)
\end{array}
(24) \qquad \begin{array}{c}
G \longmapsto \widetilde{\mathfrak{g}} = \underline{\mathrm{Lie}}(\widetilde{G}) \\
\mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{sl}(2)_S\bigr)
\end{array}
Le foncteur
G \longmapsto (E, q, \omega)
peut se factoriser par G \mapsto \widetilde{\mathfrak{g}}, cf plus bas.
les numéros (21), (22) et (24) sont surchargés. La glose sur le revêtement simplement connexe est écrite à droite, sous (22), en lignes courtes ; « géom. connexes » y est écrit au-dessus d'un mot biffé. Les « \sim » au-dessus des flèches de (23) et (24) sont surchargés.
Le foncteur
G \longmapsto X
s'explicite comme
(25) \qquad G \longmapsto \underline{\mathrm{Bor}}(G)
associant à G le groupes de Borel B
i.e. (B, G) soit
loc. isom.
V Les foncteurs vers les formes de \mathrm{SL}(2)_S s'fobtiennent
soit en factorisant par \mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr)
(27) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto R = \underline{\mathrm{Isom}}(\mathfrak{X}_{0_S}, \mathfrak{X})
\longmapsto R \overset{\mathrm{GP}(1)_S}{\wedge} \widetilde{G}_{0_S} ,
soit plus naturellement
(28) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto G = \underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathfrak{X})
\longmapsto \widetilde{G} = \text{Rev.\ simpl.\ conn.\ } G
dans (27), le dernier facteur est écrit sur une lettre raturée et surmonté d'un tilde ; il est lu \widetilde{G}_{0_S}.
Dans le cas de \mathrm{Quat}(S)
Parmi les foncteurs de \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{SL}(2)_S\bigr) vers les autres
catégories, sont pour \mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)\bigr)
vers \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr), suivis des
certains, en spéciales , p.ex.
\mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{SL}(2)_S\bigr) \longrightarrow \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{sl}(2)_S\bigr)
(30) \qquad \widetilde{G} \longmapsto \widetilde{\mathfrak{g}} = \underline{\mathrm{Lie}}(\widetilde{G})
(31) \qquad \widetilde{G} \longmapsto X \simeq \underline{\mathrm{Bor}}(\widetilde{G})
Pour la relation
par \widetilde{\mathfrak{g}}, on verra des interprétations
remarquables de \widetilde{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g} et \widetilde{G} \to G etc. …
VI Soit donc \mathcal{M} une Algèbre de quaternions sur S – i.e. une
Alg. loc. (fppf) iso. à \mathrm{M}_2(\underline{O}_S). On sait que
(32) \qquad \left\lbrace
\begin{array}{l}
\text{Centre de } \mathcal{M} = \underline{O}_S \cdot 1 \\
\bigl(\text{Centre de } \mathcal{M}^{*} = \underline{O}_S^{*} \cdot 1 \text{ ou encore }
\bigl(\text{Centre de } \mathcal{L} = \mathbb{V}(\mathcal{M})^{*}\bigr) = \mathbb{G}_m \subset \mathcal{L}(\mathcal{M})\bigr)
\end{array}\right.
dans les deux lignes de (32), le premier « \mathcal{M} » est suivi de lettres couvertes de hachures ; la seconde ligne s'ouvre sur une double parenthèse.
NB \det(uv) = \det u \det v, \left\lbrace\begin{array}{l}\mathrm{tr} \text{ est } \underline{O}_S\text{-linéaire} \\ \det \text{ est quadratique}\end{array}\right. ; \det(u + \lambda 1) =
On obtient des suites exactes
(34) \qquad 1 \longrightarrow \mathbb{G}_m \xrightarrow{\text{incl.\ du centre}}
\mathcal{L}(\mathcal{M}) \longrightarrow G \longrightarrow 1
(35) \qquad 1 \longrightarrow \widetilde{G} \longrightarrow \mathcal{L}(\mathcal{M})
\xrightarrow{\ \det\ } \mathbb{G}_m \longrightarrow 1
et sur les algèbres de Lie
(34') \qquad 0 \longrightarrow \underline{O}_S \xrightarrow{\lambda \mapsto \lambda \cdot 1}
\mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{g} \longrightarrow 0
(35') \qquad 0 \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}} \longrightarrow \mathcal{M}
\xrightarrow{\ \mathrm{tr}\ } \underline{O}_S \longrightarrow 0 .
le numéro « VI » est souligné d'un trait au-dessus ; c'est le seul numéro romain de ce lot, et le titre qu'il ouvre n'est pas écrit. \mathcal{L}(\mathcal{M}), lettre ronde, est le groupe \mathbb{V}(\mathcal{M})^{*} des unités de \mathcal{M}, comme dans (32).
Ces suites exactes déterminent G, \widetilde{G}, \mathfrak{g}, \widetilde{\mathfrak{g}}
chacun directement en termes de \mathcal{L}(\mathcal{M}), et \det (pour les
groupes) et \mathcal{M} et \mathrm{tr} (pour les algèbres de Lie).
D'un autre côté, \mathcal{M} est considéré comme
Algèbre de Lie grâce à la forme trace.
Les hom. canoniques
(36) \qquad \left\lbrace
\begin{array}{l}
\widetilde{G} \longrightarrow G \\
\widetilde{\mathfrak{g}} \xrightarrow{\ f\ } \mathfrak{g}
\end{array}\right.
sont les composés
(37) \qquad \widetilde{G} \xhookrightarrow{\ \mathrm{incl.}\ } \mathcal{L}(\mathcal{M})
\xrightarrow{\ \mathrm{proj}\ } G
(38) \qquad \widetilde{\mathfrak{g}} \xhookrightarrow{\ \mathrm{incl}\ } \mathcal{M}
\xrightarrow{\ \mathrm{proj}\ } \mathfrak{g}
Considérons sur \mathcal{M} la forme quadratique bilinéaire
dégénérée sur
chaque fibre, permettant donc d'identifier \mathcal{M} à son dual
i.e.
(40) \qquad \mathcal{M} \simeq \check{\mathcal{M}}
L'orthogonal de \underline{O}_S est \widetilde{\mathfrak{g}}, et on trouve ainsi
un accouplement induisant
la lettre de (39) est surchargée ; la prose qui suit l'écrit \varphi. « bilinéaire » est écrit au-dessus de « quadratique », biffé.
(41) \qquad \widetilde{\mathfrak{g}} \times \mathfrak{g} \longrightarrow \underline{O}_S
dont on déduit les isom. de Modules :
(42) \qquad \widetilde{\mathfrak{g}} \simeq \check{\mathfrak{g}}, \qquad
\mathfrak{g} \simeq \check{\widetilde{\mathfrak{g}}}
également dualisante. Sur \widetilde{\mathfrak{g}} elle
coïncide avec \varphi, et comme \mathrm{Tr}(1) = 2, on a
\Phi_1(1, u) = -\Phi(1, u) = -\mathrm{Tr}\, u
donc l'orth. de \underline{O}_S \cdot 1 pour \varphi_1 est encore
\widetilde{\mathfrak{g}}. L'accouplement \mathfrak{g} \times \widetilde{\mathfrak{g}} \to \underline{O}_S
Considérons la forme quadratique q sur \widetilde{\mathfrak{g}}
(43) \qquad \left\lbrace
\begin{array}{l}
q = Q \,|\, \widetilde{\mathfrak{g}} : \widetilde{\mathfrak{g}} \longrightarrow \underline{O}_S \\
q(u) = -\det u
\end{array}\right.
alors \varphi est donc associée à la forme q
(44) \qquad \left\lbrace
\begin{array}{l}
q(x + y) = q(x) + q(y) + \varphi(x, y) \\
\varphi(x, x) = 2 q(x)
\end{array}\right.
d'ailleurs q est lisse – \varphi est dualisante sauf en car. 2.
[La relation avec la forme de Killing est
(45) \qquad \left\lbrace
\begin{array}{l}
\mathrm{Tr}\bigl(\mathrm{ad}_{\widetilde{\mathfrak{g}}}(u)\, \mathrm{ad}_{\widetilde{\mathfrak{g}}}(v)\bigr) = 4 \varphi(u, v) \\
\mathrm{Tr}\bigl(\mathrm{ad}_{\widetilde{\mathfrak{g}}}(u)^2\bigr) = 8 q(u)
\end{array}\right.
pour u, v sections de \widetilde{\mathfrak{g}}.]
On définit aussi une base
(46) \qquad \omega \in \Gamma\, \underline{\det}\, \widetilde{\mathfrak{g}} \simeq \Gamma\, \underline{\det}\, \mathcal{M}
(le dernier iso provenant de la suite exacte (35') ) compte tenu de
l'isom. local
\mathcal{M} \simeq \underline{\mathrm{End}}(V) \simeq \check{V} \otimes V
et de l'isomorphisme canonique
(47) \qquad \det(\check{V} \otimes V) \simeq \det \check{V} \otimes \det V
\simeq (\det V)^{-1} \otimes \det V \simeq \underline{O}_S
les crochets autour de (45) sont les siens. Dans (47), le troisième terme est souligné sur la page.
qui est évidemment stable par \mathrm{GL}(V) donc par \mathrm{GP}(V) – donc on
déduit une base \omega de \underline{\det}\, \mathcal{M}, donc de
\det \widetilde{\mathfrak{g}}. Il est vrai que dans l'iso (46) il y a une
convention de signe à faire – à défaut, il y a l'ambiguïté du signe
(qui pourrait définir une signe –
et l'invariance par \mathrm{GP}(1) G_0 est claire.
Mais \omega^{\otimes 2} ne dépend plus de cette convention, ce qui dispense de
lever cette ambiguïté :
(48) \qquad \underbrace{\delta'(q)}_{\text{discriminant divisé}} = -\,\omega^{\otimes 2}
d'où
(49) \qquad \delta(\varphi) = \delta(q) = -2\,\omega^{\otimes 2}
la parenthèse ouverte après « signe » n'est pas refermée. Sous \delta'(q), souligné, il écrit « discriminant » puis « divisé » ; les signe sont soulignés sur la page.
On posera
(50) \qquad (E, q, \omega) = (\widetilde{\mathfrak{g}}, q, \omega) \qquad \text{i.e. } E = \widetilde{\mathfrak{g}}
On peut aussi définir,
NB L'hom. fondamental
(51) \qquad f : \widetilde{\mathfrak{g}} \longrightarrow \mathfrak{g}
de (36) n'est autre que l'hom. \widetilde{\mathfrak{g}} \to
\check{\widetilde{\mathfrak{g}}} associé à la forme bilinéaire \varphi,
compte tenu de l'iso \check{\widetilde{\mathfrak{g}}} \simeq \mathfrak{g}.
Ceci signifie en effet que
\underbrace{\langle \bar{u}, f(v) \rangle}_{\mathrm{Tr}\, uv}
= \underbrace{\varphi(u, v)}_{\mathrm{Tr}\, uv}
\qquad u, v \in \Gamma(S, \widetilde{\mathfrak{g}})
Ceci dit, les lois de crochet sur \widetilde{\mathfrak{g}} et
\mathfrak{g} sont alors déductibles canoniquement par ailleurs des
couples (\varphi, \omega) d'une forme bil. sym. dans
\widetilde{\mathfrak{g}} et d'une base \omega de \det \widetilde{\mathfrak{g}}
(c'est ici que la convention de signe s'avère importante
– on prendra
(52) \qquad \boxed{\ \omega = \widetilde{X} \wedge \widetilde{H} \wedge \widetilde{Y}
= -\,\underset{e_1}{\widetilde{X}} \wedge \underset{e_2}{\widetilde{Y}} \wedge \underset{e_3}{\widetilde{H}}\ }
Sans garantie – il
Il reste à voir comment s'explicitent en termes de \mathcal{M} les
objets X, et P \supset X. Bien sûr, on aura
(56) \qquad \left\lbrace
\begin{array}{l}
P = \check{\mathbb{P}}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \simeq \mathbb{P}(\mathfrak{g}) \\
X = \mathbb{V}(q) \subset P
\end{array}\right.
dans (56), l'argument de \check{\mathbb{P}} est surchargé (un premier \mathfrak{g} changé en \widetilde{\mathfrak{g}}, semble-t-il). Dans la marge gauche, en face de (56), une note commençant par « NB » est entièrement biffée et illisible.
La relation
Proposition. Les ss-groupes de Borel B de G correspondent
biunivoquement par image inverse \widetilde{B} : ceux
B_1 de \mathcal{L} = \mathbb{V}(\mathcal{M})^{*} \widetilde{B}
de \widetilde{G}. Un ss-groupe de Borel est connu quand on connaît son
algèbre de Lie \mathfrak{L} (qui est un ss-fibré vectoriel de corang 1 de
\mathfrak{g}), ou celle \mathfrak{L}_1 de \mathcal{L} qui lui
correspond (qui est un ss-fibré de rang 2 vectoriel de corang 1)
image inverse de \mathfrak{L}, dans \mathcal{M} = \underline{\mathrm{Lie}}(\mathcal{L}),
ou celle ou en car. \neq 2 quand on connaît celle
\widetilde{\mathfrak{L}} de \widetilde{B} dans \widetilde{\mathfrak{g}}, qui
n'est autre que \mathfrak{L}_1 \cap \widetilde{\mathfrak{g}} – (et
, puisqu'alors f : \widetilde{\mathfrak{g}} \xrightarrow{\sim}
\mathfrak{g} !). \widetilde{B} En termes de \widetilde{\mathfrak{L}}
, fibré vectoriel aura
(57) \qquad \widetilde{B} = \check{\mathbb{V}}(\widetilde{\mathfrak{L}}) \cap
\underbrace{\mathbb{V}(\mathcal{M})^{*}}_{\mathcal{L}}
\qquad (B = \widetilde{B}/\mathbb{G}_m)
les lettres B, \widetilde{B}, B_1 sont écrites au-dessus des mots qu'elles nomment ; la seconde (lue \widetilde{B}) porte peut-être une barre plutôt qu'un tilde. \mathfrak{L} transcrit sa lettre ronde pour l'algèbre de Lie d'un Borel ; son indice 1 dans « \mathfrak{L}_1 » est peu net. « en car. \neq 2 » est souligné de deux traits. Deux traits verticaux dans la marge gauche tiennent l'énoncé de la Proposition. Le « (B = \widetilde{B}/\mathbb{G}_m » final est coupé par le bord de la feuille.
Pour qu'un sous-fibré vectoriel \mathfrak{L} de \widetilde{\mathfrak{g}} de
corang 1 soit de la forme \underline{\mathrm{Lie}}(B), il f. et s. que le fibré
\mathfrak{L}^{\perp} Question : suffit-il pour \mathfrak{L} isotrope de
ss- \mathfrak{L} i.e. stable par crochet ??
NB Je reprends dire que \mathfrak{L} est
formé d'él. de carré nul de \mathcal{M}
les deux notes marginales sont écrites en oblique dans la marge gauche ; la première est séparée du texte par un trait vertical, la seconde est reliée au texte par un long trait. Les lettres \mathfrak{L} et \mathfrak{L}^{\perp} sont écrites au-dessus de la ligne, la seconde deux fois. La fin de la parenthèse, chargée d'insertions interlinéaires, se lit mal.
NB Plaçons-nous en car. 2. Alors
(58) \qquad \underline{O}_S 1 \subset \widetilde{\mathfrak{g}}
et l'application morphisme
(59) \qquad X \longrightarrow \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}})
allant des Borel de \widetilde{\mathfrak{g}} vers leurs algèbres de
Lie, considérées comme sous-fibrés vect. de corang 1, est celle qui à la section de
X, identifiée à une fibré en droite dans de
\widetilde{\mathfrak{g}} satisfaisant q \,|\, L = 0, associe son orthogonal
dans \widetilde{\mathfrak{g}} pour \varphi. L'image Comme
l'orthogonal contient \underline{O}_S \cdot 1, et dans les
(qui est le noyau de \varphi i.e. de f), et le morphisme
précédent se factorise par
dans (59), un premier mot avant \mathbb{P} est biffé et illisible ; sous le « NB » de « Plaçons-nous », un second « NB » est couvert de hachures, suivi d'une lettre isolée.
\mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}/\underline{O}_S), le morphisme (59) donc (60) était encore un monomorphisme, il
aurait résulterait que (60) est un isomorphisme, donc X serait « banal »
dès qu'on est en car. 2 – or il n'est pas vrai qu'en car. 2 les fibrés en droites
projectives soient tous banals !
En fait, on trouve ici un iso. canonique
(61) \qquad \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}/\underline{O}_S) \simeq X^{(2)}
\quad (\text{frobénisé})
et (60) n'est autre que le morphisme canonique
X \longrightarrow X^{(2)}
qui est un épimorphisme radiciel (et plat fini loc. libre de rang 2^d = 2),
mais en effet nullement un monomorphisme …
« frobénisé » est relié à l'exposant (2) par une flèche. La page s'arrête ici, au bas d'une moitié laissée blanche : c'est la dernière du dossier.