Cote n° 80 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Systèmes de pseudo-droites : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration

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41sa page 6, en haut à gauche ; la suite numérotée commencée page 31 (lot 2) continue sur les rectos, les pages paires étant les versos. Le texte poursuit le « Th. » de la page 39 : le foncteur \(\mathcal{X} \mapsto (K, (D_i), \omega)\) est pleinement fidèle Pour le voir, on va montrer comment la carte \(\mathcal{X}\) peut être reconstruite à partir de l'arrangement \(1\)-dimensionnel orienté. Par le théorème général des cartes, il revient au même, quand les sommets de \(K\) sont d'ordre \(\geqslant 4\) (a fortiori \(\geqslant 3\)), de construire, à partir de \((K, (D_i)_{i \in I}, \omega)\), :

1°) Pour tout \(s \in S\) (ens. des sommets de \(K\)), l'ens \[(19) \qquad \vec{\mathfrak{Z}}_s \subset \mathcal{C}_{\vec{A}_s}\] des deux ordres circulaires (inverses l'un de l'autre) canoniques sur l'ens \(\vec{A}_s\) des arêtes […] de \(K\) d'origine \(s\), qu'on peut identifier à : l'ens \(\vec{I}_s\) des ps. droites orientées \(\vec{D}_i\) passant par \(s\). la formule est encadrée. Le signe entre \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\) et \(\mathcal{C}\) est lu \(\subset\) (on pourrait lire \(\in\)) ; il est suivi d'un « \(A\) » raturé. \(\mathfrak{Z}\) rend sa lettre en forme de 3 surmontée d'une flèche, \(\mathcal{C}_E\) son C bouclé (l'ensemble des ordres circulaires sur \(E\)). « (inverses l'un de l'autre) » est écrit au-dessus de « circulaires » ; « arêtes » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; « \(\vec{D}_i\) » est ajouté au-dessus de « orientées » ; le \(\vec{I}_s\) récrit un premier signe

2°) Pour toute arête orientée \(\vec{a} \in \vec{A}\) de \(K\), d'origine \(s\) et d'extrémité \(s'\), la bijection canonique \[(20) \qquad \psi_{\vec{a}} : \vec{\mathfrak{Z}}_s \xrightarrow{\ \sim\ } \vec{\mathfrak{Z}}_{s'}\] (qui donne lieu à la formule \[(21) \qquad \psi_{\overleftarrow{a}} = (\psi_{\vec{a}})^{-1} \text{)}\] l'indice du premier \(\psi\) de (21) est une flèche inversée sur \(a\) ; nous le rendons \(\overleftarrow{a}\). La parenthèse ouverte avant « qui donne lieu » n'est fermée qu'au bout de (21), par nous

Quand je dis « canonique », j'entends : provenant de la donnée de la carte \(\mathcal{X}\). Inversement, si on a pu, à partir de \((K, (D_i)_{i \in I}, \omega)\), construire intrinsèquement des données (19) et (20) satisfaisant (21), on trouve une immersion cellulaire combinatoire de \(K\) dans une \(\mathcal{X}\) (peut-être pas le plan projectif !).

42Pour savoir que \((D_i)_{i \in I}\) y forme bien un système de ps. droites, il faudra d'abord savoir qu'ils se déduisent de la structure de carte de la façon habituelle, ce qui s'exprime par la condition (\(\forall\, s \in S\)) \[(22) \qquad \text{si } \rho \in \vec{\mathfrak{Z}}_s \text{, et si } \nu_s \text{ est le nb de } D_i \text{ passant par } s \text{, on a } \rho^{\nu_s}(\vec{D}_i) = (-\vec{D}_i)\] pour toute droite orientée \(\vec{D}_i\) passant par \(s\). la condition est écrite sur trois lignes, sous une accolade ; « \(\vec{D}_i\) » est ajouté au-dessus de « orientée » NB Si \(\nu_s = 2\), alors la condition (22) implique déjà la connaissance […] (22) de \(\mathfrak{Z}_s \subset \mathcal{C}_{\vec{I}_s}\).

Enfin il […] […] Il faudra de plus que \(\mathcal{X}\) soit le plan projectif, ce qui s'exprime par la condition d'EP \[(23) \qquad \underbrace{c_0 - c_1}_{1 - c(K)} + c_2 = 1 \qquad \text{soit} \qquad c_2 = c(K)\] sous \(c(K)\) : « degré de connexion de \(K\) », écrit au-dessous d'un mot biffé. EP : Euler-Poincaré, son abréviation […] la connaissance de \(\mathcal{X}\), i.e. l'étude de […] NB On aura a priori \(c_2 \leqslant c(K)\), et la formule (23) exprime qu'on a […]… bien sûr […] […] i.e. l'identité… les deux notes marginales sont écrites en oblique dans la marge gauche ; la première s'enchaîne à la ligne biffée « Enfin … », la seconde est en face de (23)

\(c_0 = \operatorname{card} S\), \(c_1 = \operatorname{card} A\) (nb de sommets et nb d'arêtes) ne dépendent que de \(K\), tandis que \(c_2\) (nb de faces) dépend bien sûr de \(\mathcal{X}\).

Construction des \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\) satisfaisant (22). On va d'abord définir, pour \(\nu_s \geqslant 3\) \[(24) \qquad \mathfrak{Z}^{1}_s \subset \mathcal{C}_{I_s}\] […] les deux ordres circulaires opposés l'un à l'autre, sur l'ens \(I_s\) des ps. droites passant par \(s\). Soit \(\Delta\) \(D\) une ps. droite qui ne passe pas par \(s\). Alors l'un des ps. droites […] passant par \(s\) est un […] […] l'exposant de \(\mathfrak{Z}^{1}\), ici et jusqu'à la page 45, est un petit trait crochu, lu « \(1\) » (peut-être un accent ou un autre signe) ; au-dessus de « ps. droite qui ne », une petite insertion est raturée. Les deux dernières lignes sont biffées d'un trait chacune ; en marge, en face, un renvoi oblique « […] […] polygonales […] »

43sa page 7, en haut à gauche \[(25) \qquad I_s \xrightarrow{\ \varphi = \varphi_{s,\Delta}\ } \text{ens.\ } S_\Delta \text{ des sommets de } K \text{ sur } \Delta\] caractérisée par \[D_i \cap \Delta = \lbrace \varphi(D_i) \rbrace\] « canonique » est écrit au-dessus de \(I_s\) ; un premier symbole est raturé après \(I_s\) et devant « ens. », et un numéro raturé devant la seconde formule Cette application est injective, i.e. \[\varphi_{s,\Delta} : I_s \hookrightarrow S_\Delta\] Comme sur \(S_\Delta\) (ens des sommets d'un polygone) il y a une structure polygonale, il y a sur \(I_s\) une structure polygonale induite, soit \(\mathfrak{Z}^{1}_{s,\Delta}\). On aura alors \[(A1) \qquad \mathfrak{Z}^{1}_{s,\Delta} \text{ est indépendant du choix de } \Delta \in I \setminus I_s \text{, soit } \mathfrak{Z}^{1}_s .\] Condition portant sur les sommets \(s\) tels que \(\nu_s \geqslant 3\). à prouver que c'est vrai quand on part d'une \(\mathcal{X}\) (et qu'on trouve bien le \(\mathfrak{Z}_s\) déduit de \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\)…) item pour la variante […] […] la première note marginale est à gauche de (A1), la seconde, séparée du texte par un trait, court en oblique le long du bord droit jusqu'à (27)

On Considérons l'application \[(26) \qquad \vec{I}_s \longrightarrow I_s \qquad \text{de degré } 2\] Il faut [On aura] alors \[(27) \qquad \begin{cases} \text{si } \vec{u} \in \vec{\mathfrak{Z}}_s \ (\subset \mathcal{C}_{\vec{I}_s}) \text{, } u \text{ par passage au quotient dans (26),} \\ \text{on a } u \in \mathcal{C}_{I_s} \text{, et on a } u \in \mathfrak{Z}^{1}_s . \end{cases}\] « on aura » est écrit au-dessus de deux mots biffés ; « \(\in \mathcal{C}_{\vec{I}_s}\) » est ajouté au-dessus de \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\), et un \(\varphi\) est biffé devant \(\vec{u}\). Au second \(u\) de la deuxième ligne, de petits signes en exposant et en indice sont illisibles C'est là une condition restrictive importante sur la structure polygonale \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\) qu'on veut déterminer, qui limite le choix à \(2^{\nu_s - 1}\) possibilités,

44comme on voit ainsi. On fixe \(u_0 \in \mathfrak{Z}^{1}_s\), et une origine \(i_0 \in I_s\), d'où \(i_1, \ldots, i_{\nu_s - 1}\) définis par \(i_\nu = u_0^\nu i_0\). Soit \(\omega_\nu\) l'une des deux orientations de \(D_{i_\nu}\) i.e. l'un […] […] fibre […] \(i_\nu\) dans (26), donc \(u\) […] et comme ce premier essai est encadré et barré de quatre longs traits obliques

On fixe \(u_0 \in \mathfrak{Z}^{1}_s\), i.e. une orientation du polygone dont l'ens des sommets est \(I_s\), pour dire que pour \(i \in I_s\), on doit se donner une bijection \(d_i\) de \(\vec{I}_i\), la fibre de \(\vec{I}_s\) en \(i\), i.e. de l'ens des deux orientations de \(D_i\), sur \(\omega_j\) où \(j = u_0(i)\) est le sommet suivant de \(i\) — ce qui, pour \(i\) fixé, fait \(2\) choix, donc en tout, a priori, \(2^{\nu_s}\) choix. Mais on veut que la permutation \(u\) de \(\vec{I}_s\) obtenue soit une permutation circulaire, i.e. trans transitive ; si on fixe \(i_0 \in I_s\), cela signifie que les choix de \(\alpha_{i_0}, \alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_{\nu_s - 2}}\) \[(28) \qquad \omega_{i_0} \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{i_0}\ } \omega_{i_1} \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{i_1}\ } \omega_{i_2} \ \cdots\ \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{i_{\nu_s - 2}}\ } \omega_{i_{\nu_s - 1}} \qquad (\nu = \nu_s)\] déterminent le choix du dernier \(\alpha_{i_{\nu - 1}} : \omega_{i_{\nu - 1}} \xrightarrow{\ \sim\ } \omega_{i_\nu} = \omega_{i_0}\) (i.e. qu'on ait l'opposé) par la condition qu'il soit distinct des composés de l'inverse du composé des bij. précédentes. Dans le cas […] à gauche du texte, un dessin : un heptagone aux côtés fléchés, sommets en pointillé, avec « \(u_0(i) = i+1\) » et une flèche courbe au centre. « \(d_i\) » est ajouté au-dessus de « bijection », « de \(\vec{I}_i\) » est lu. Au-dessus de « circulaire, i.e. transitive », une insertion : « ([…] par \(i_\alpha = u_0^\alpha(i_0)\)) ». « \(\nu = \nu_s\) » est écrit dans la marge gauche, en face de (28)

45sa page 8, en haut à gauche Soit \(\vec{\Delta}\) une ps-droite orientée ne passant pas par \(s\), donc l'orientation de \(\vec{\Delta}\) en définit une de \(I_s \hookrightarrow S_\Delta\), i.e. un générateur \(u_0\), noté \(u_{s,\vec{\Delta}}\), de \(\mathfrak{Z}^{1}_s = \mathfrak{Z}^{1}_{s,\Delta}\). Si \(\nu_s = 2\), on prendra \(u_{s,\vec{\Delta}}\) la transposition dans \(I_s\) (de card \(2\)), c'est ici […] […] (i.e. […] ici \(\operatorname{card} \mathfrak{Z}^{1}_s = 1\), et non \(2\)). « ps- » est ajouté au-dessus de « droite » ; dans « \((u_{s,\vec{\Delta}})\) » l'indice récrit un premier indice raturé

On doit doit définir un \(\vec{u}_{s,\vec{\Delta}}\) au-dessus de \(u_{s,\vec{\Delta}}\), ce qui fait (en exigeant que ce soit une permutation circulaire) (\(2^{\nu_s - 1}\) […] a priori possibilités) (le compte est bon, même pour \(\nu_s = 2\)). On est ramené ici, pour une ps. droite \(D_i\) passant par \(s\), désignant par \(D_j\) son « successeur » pour \(u_{s,\vec{\Delta}}\), à décider la bijection \(\omega_i \xrightarrow{\ \sim\ } \omega_j\) induite par \(\vec{\Delta}\), donc pour le choix d'une orientation sur \(D = D_i\), disons \(\vec{D}_i\), il faut décider l'orientation correspondante de \(D_j\) — en utilisant l'orientation de \(\vec{\Delta}\). au-dessus de « possibilités », une insertion : « un choix à déterminer parmi », qui renvoie au nombre \(2^{\nu_s - 1}\)

\[(29)\] figure : un triangle formé de \(\vec{\Delta}\) (horizontale, fléchée vers la droite) et de deux ps. droites se coupant en \(s\) au sommet ; à gauche \(\vec{D}_i = \vec{D}\), fléchée vers le bas, à droite \(D_j = D'\) avec une flèche vers le bas à côté. Les côtés sont marqués \(a\) (de \(s\) à \(t\)), \(b\) (de \(s\) à \(u\)) et \(c\) (de \(t\) à \(u\) sur \(\Delta\)) ; les pieds sont \(t_i = t\) et \(t_j = u\)

La figure montre que l'orientation à choisir sur \(D' = D_j\) est décrite par la condition que l'arête \(a\) joignant \(s\) à \(t = \varphi(i)\) (intersection de \(D\) et \(\vec{\Delta}\)), dans le sens de l'orientation donnée de \(\vec{D}\), et celle \(b\) joignant \(s\) à \(u = \varphi(j)\) (int. de \(D'\) et \(\Delta\)) dans le sens de l'orientation cherchée de \(D'\), et enfin l'arête \(c\) joignant \(t\) à \(u\) dans le sens

46de l'orientation de \(\vec{\Delta}\), soit un syst. […] d'orientations opposé à l'orientation des triangles \(W_{\lbrace i, j, \Delta \rbrace}\) de l'arrangement des trois ps. droites \(\Delta\), \(D\), \(D'\) (ce qui caractérise l'orientation de \(\vec{D}'\), parmi les deux de \(D'\), en termes de celles de \(\Delta\), \(D\)). i.e. (orientations qu'ils bordent) \(=\) triangles … « de l' » est écrit au-dessus de « triangles » biffé ; l'indice de \(W\) est lu \(\lbrace i, j, \Delta \rbrace\)

(A2) Cette prescription — qui définit, pour \(s\), \(\vec{\Delta}\) fixés, une permutation \(\vec{u}_{s,\vec{\Delta}}\) de \(\vec{I}_s\) au-dessus de la permutation \(u_{s,\vec{\Delta}}\) de \(I_s\) — est bien une permutation circulaire […] i.e. […] […] i.e. \((\vec{u}_{s,\vec{\Delta}})^{\nu_s}\) (qui, a priori, est soit l'identité, soit la […] transposition sur chaque fibre de (26)) n'est est la transposition.

(A3) Si \(\vec{\Delta}'\) […]

NB On aura […] \[(30) \qquad \vec{u}_{s,-\vec{\Delta}} = \vec{u}_{s,\vec{\Delta}}^{\,-1} , \qquad \vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta} = \lbrace \vec{u}_{s,\vec{\Delta}}, \vec{u}_{s,-\vec{\Delta}} \rbrace \subset \mathcal{C}_{\vec{I}_s}\] après la première égalité, deux mots à droite, « pour […] », sont d'une lecture incertaine

(A3) Soit \(\Delta'\) une autre ps. droite ne passant pas par \(s\), alors \[\vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta'} = \vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta} \qquad (\text{soit } \vec{\mathfrak{Z}}_s)\]

Bien entendu, les conditions (A1) à (A3) sont satisfaites pour un arrangement \(1\)-dim. orienté de ps. droites provenant d'un arrangement \(2\)-dimensionnel, ce qui permet donc de

47sa page 9, en haut à gauche construire les \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\) (\(s \in S\)), et les l'application surjective \[(31) \qquad \vec{I} \setminus \vec{I}_s \longrightarrow \vec{\mathfrak{Z}}_s\] de l'ens des ps. dr. orientées ne passant pas par \(s\), dans \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\), application compatible avec l'action du groupe des signes \(\pm 1\). « (\(s \in S\)) » est écrit au-dessus de la ligne, un indice raturé après \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\) ; « surjective » est ajouté au-dessus de « application »

Soit maintenant \(\vec{a}\) une arête de \(K\), joignant \(s\) à \(s'\), on veut définir \[\psi_{\vec{a}} : \vec{\mathfrak{Z}}_s \longrightarrow \vec{\mathfrak{Z}}_{s'}\] […] ici […] […] besoin de l'existence d'au moins une ps. droite qui ne passe ni par \(s\) ni par \(s'\). Considérons la ligne biffée porte au-dessus deux mots non biffés, « a priori, d'abord » (lecture), qui la remplacent sans doute \[\vec{J} = \vec{I} \setminus (\vec{I}_s \cup \vec{I}_{s'})\] \[(32)\]

\begin{tikzcd}[column sep=small]
& \vec{J} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\vec{\mathfrak{Z}}_s \arrow[rr, dashed, "\psi_{\vec{a}}"] & & \vec{\mathfrak{Z}}_{s'}
\end{tikzcd}

on obtient deux quotients de \(\vec{J}\) — on a donc la condition que c'est le même, i.e.

(A4) si \(\vec{\Delta}\), \(\vec{\Delta}'\) sont deux ps. droites orientées ne passant pas par les extrémités \(s\), \(s'\) de l'arête \(a\), qui induisent la même orientation en \(s\), elles induisent aussi la même orientation en \(s'\).

48Reste à traiter le cas (très particulier !) où \(\nexists\) ps. droite \(\Delta\) qui ne passe par \(s\) ni par \(s'\). Soit \(\Theta\) la ps. droite déterminée par \(a\), considérons donc une ps. droite \(D\) (\(\neq \Theta\)) passant par \(s\), une \(D'\) (\(\neq \Theta\)) passant par \(s'\), soit où donc \(D \neq D'\), soit \(t\) l'intersection de \(D\) et \(D'\). Soit, \(b\) un des deux \(K' = K_{\lbrace \Theta, D, D' \rbrace}\), le « \(\nexists\) » est son \(\exists\) barré ; « (\(\neq \Theta\)) » est ajouté deux fois au-dessus de la ligne

\[(33)\] figure : un triangle de sommets \(s\), \(s'\) (sur \(\Theta\), horizontale, avec \(\vec{a}\) fléchée de \(s\) vers \(s'\)) et \(t\) au sommet ; le côté \(b\) de \(s\) à \(t\) et le côté \(b'\) de \(t\) à \(s'\) sont fléchés dans le sens \(s \to t \to s'\), plusieurs petites flèches le long de chacun. Une double flèche verticale, dans la marge, descend vers le texte qui suit

soit \(b\) une des arêtes qui joignent \(s\) à \(t\), et prenons l'unique arête \(b'\) de \(K'\) qui joigne \(t\) à \(s'\), et telle que \(\lbrace a, b, b' \rbrace\) soit compatible avec l'orientation de \(K'\) ! Alors \(b\) et \(b'\) ne sont pas des arêtes de \(K\), mais ils sont […] des arêtes de \(K\), se décomposent en succession d'arêtes de \(K\). […] […] : comme \(\vec{\psi}_{\vec{a}} : \vec{\mathfrak{Z}}_s \to \vec{\mathfrak{Z}}_{s'}\), comme on connaît, quand on a un ordre circulaire \(\in \mathfrak{Z}_s\), la restriction de l'ordre […] sur […] la partie de \(\vec{I}_s\), […] deux droites \(\Theta\), \(D'\)… la note marginale est écrite en oblique, en lignes serrées, dans la marge gauche en face de ces lignes

On suppose que \(K\) n'est pas réduit à une sécante (famille de) \(n \geqslant 3\) ps. droites concourantes et une seule sécante (ce qui signifie que les \(n\) ps. droites passant par le sommet privilégié \(s\) sont toutes des bigônes). Dans ce cas, la ps. dr. \(\Theta\) est l'unique ps. droite qui ne soit pas un bigône, donc \(D\) et \(D'\) n'en sont pas […] de \(K\), […] définir les \(\psi_{\vec{c}}\) pour des arêtes portées par \(D\), ou par \(D'\). On définit donc NB Obs. que \(K\) […] […] (\(4\) ps. […]) […] \(3\) […] ps. droites […] (cas […] déjà traité !) « réduit à » est écrit au-dessus de « une sécante » biffé ; « ps. dr. » récrit « droite » biffé. La note marginale d'en bas, oblique, commence sous l'autre et déborde sur le texte ; on n'en lit que des fragments. Les deux dernières lignes de la page sont d'une lecture très incertaine

49sa page 10, en haut à gauche \[(34) \qquad \vec{\psi}_{\vec{a}} = \psi_{\vec{b}'} \, \psi_{\vec{b}}\] où \(\vec{b}\) est \(b\) orienté de \(s\) vers \(t\), \(\vec{b}'\) est \(b'\) orienté de \(t\) vers \(s'\), et \(\psi_{\vec{b}'}\) et \(\psi_{\vec{b}}\) sont définis comme composés des \(\psi_{\vec{c}}\) correspondants aux arêtes de \(K\) composantes des chemins \(\overrightarrow{(s,t)}\) et \(\overrightarrow{(t,s')}\). ici les \(\psi\) sont écrits petits, presque comme des « v » ; « de \(K\) » est ajouté au-dessus de « composantes »

Il faudrait, dans cette optique, pour une (A5) — savoir que ce \(\psi_{\vec{a}}\) ne dépend pas des choix arbitraires qui ont été faits. Mais le cas où \(K\) comporte une ps. droite qui est un bigône […] […] devrait plutôt être traité à part, avec des moyens plus directement adaptés à cette situation. Je n'ai donc pas vérifié que la proposition énoncée soit correcte, sans exclure le cas où \(K\) est formé de \(n\) pseudo-droites concourantes, coupées par une seule autre ps. droite. mais si l'[…] […] de la […] (v. p. précédente) « devrait plutôt être » est écrit au-dessus d'une fin de ligne biffée. La note marginale, oblique, est rattachée par un trait vertical aux lignes « Je n'ai donc pas vérifié … ps. droite »

J'ai maintenant envie de montrer que dans le cas d'un \(K\)… provenant d'une \(\mathcal{X}\), son orientation peut se décrire canoniquement en termes de \((K, (D_i))\) seulement.

50Soit donc un « triangle » subordonné à \((K, (D_i)_{i \in I})\), […] défini par \(J \in \mathfrak{P}_3(I)\), formé de trois ps. droites concourantes. On veut décrire […] l'orientation « canonique » de \(K_J\). on attendrait « non concourantes » pour un triangle ; nous ne lisons pas de « non » sur la page

(1er cas) Il existe une […] ps. droite \(\Delta\), qui ne passe par aucun des trois sommets de \(K_J\) — i.e. telle que les systèmes \(K_{J \cup \lbrace i \rbrace}\) des \(4\) ps. droites soit formé d'un syst. de quatre ps. droites \(3\) à \(3\) non concourantes. On utilise un signe raturé devant « (1er cas) », et devant \(\Delta\)

Proposition Le catégorie des arrangements foncteur […] […] évident \[\begin{pmatrix} \text{arrangements simples} \\ \text{de } 4 \text{ ps.\ droites} \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} \text{arr.\ } 1\text{-dimensionnels} \\ \text{simples de } 4 \\ \text{ps-droites} \end{pmatrix}\] est une équivalence de catégories. « foncteur » et les mots qui suivent sont écrits au-dessus de la ligne biffée. Au-dessus de la formule, deux lignes commencées sont biffées : « 1 – […] », « […] de \(4\) ps. droites », « […] […] »

(On le démontre en comparant les deux groupoïdes, à celui des ens. finis à \(4\) éléments)

Donc, comme \(K_{J \cup \lbrace i \rbrace}\) provient canoniquement d'un arrangement \(2\)-dimensionnel, \(K_J\) hérite d'une orientation, soit \(\omega_{J,i}\), et on aura

51sa page 11, en haut à gauche (A5) l'orientation \(\omega_{J,i}\) de \(K_J\) est indépendante du choix de \(i\).

« 2ème cas » Toute ps. droite de \(K\) passe par un des trois sommets de \(K_J\). Comme on suppose qu'il n'y a pas de bigône dans \(K\), on trouve d'ailleurs que par chaque sommet, il passe au moins une \(D_i\) avec \(i \in I \setminus J\). Si on désigne par \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) les intersections […] […] des trois ps. droites \(D_i\) […] de \(K_J\), et par \(\partial\alpha\), \(\partial\beta\), \(\partial\gamma\) […] […] arêtes de \(K_I\) qui […] […] l'orientation […] \(\partial\alpha\), \(\partial\beta\), \(\partial\gamma\) […] la note marginale est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche, autour de « (A5) » et de « 2ème cas ». Au-dessous, un dessin : un triangle de sommets \(a\), \(b\), \(c\), les trois côtés prolongés

Supposons d'abord qu'on peut trouver des droites \(D_a\), \(D_b\), \(D_c\) passant par les sommets \(a\), \(b\), \(c\), qui ne soient pas concourantes. On trouve une configuration, associée canoniquement à l'ens \(J\) à trois éléments, où comme sommets les \(a_i\) (\(i \in J\)) de \(K_J\), les intersections \(\alpha_i\) (\(i \in J\)) des \(D_{a_i}\) avec \(D_i\) (NB \(a_i\) est le sommet de \(K_J\) opposé à \(D_i\)) et les \(a'_i\) (\(i \in J\)) intersection de \(D_{a_j}\) et \(D_{a_k}\) (où \(J = \lbrace i, j, k \rbrace\)). […] La figure montre comment les sommets se répartissent sur les \(6\) ps. droites \(D_i\), \(D_{a_i}\), et la configuration est (avec les \(6\) ps. droites) est complètement décrite, quand on a décrit les structures polygonales figure, à gauche : six droites, les côtés du triangle \(a\), \(b\), \(c\) et trois droites \(D_a\), \(D_b\), \(D_c\) issues des sommets ; points marqués \(a\), \(b\), \(c\), \(a'\), \(b'\), \(c'\) à l'intérieur, \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) sur les côtés. « \(9\) » est écrit en marge devant « sommets ». Au-dessus de « répartissent », un indice \(D_{J'}\) ; au-dessus de « la configuration est » biffé, « correspondant », lu

52sur chacun des quatre sommets \(a_i\), \(\alpha_i\), \(a'_j\), \(a'_k\) […] se trouvant sur une \(D_{a_i}\), i.e. en […] précisant lequel, parmi les trois sommets \(\alpha_i\), \(a'_j\), \(a'_k\) distincts de \(a_i\), est opposé à \(a_i\). On voit que si la figure \(1\)-dimensionnelle provient d'un arrangement \(2\)-dimensionnel (cas I), il y a un ordre circulaire sur \(J\) (unique), tel que \(a_i\) soit opposé, sur \(D_{a_i}\), à \(a'_{i+1}\). (NB Dans le cas de la figure choisie, cet ordre circulaire est \(abc\)). Il y a une autre possibilité : pour \(i \in J\), \(a_i\) est opposé à \(\alpha_i\) (cas II) « chacun » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; « (cas I) » est ajouté au-dessous de « \(2\)-dimensionnel ». La note marginale, oblique, porte sa parenthèse « (cas II) » au bas de la marge

On trouve les configurations On voit que […] […] […] \(2\)-dimensionnelles \(K_{J'}\), […] et \(K_J\), provenant d'un arr. \(2\)-dimensionnel, donc, les désignant par \(\lambda_i\) (\(i \in J\)) les l'arête de \(K_J\) qui […] portée par \(D_i\) qui contient \(\alpha_i\), les \(\lambda_i\) (\(i \in J\)) forment un syst. d'arêtes compatible avec l'orientation dans le cas I, et non compatible dans le cas II.

(A6) L'orientation Dans le cas d'un système \(J \in \mathfrak{P}_3(I)\) non concourant, de trois ps. droites, tel que toute autre ps. droite passe par un des trois sommets \(a_i\) de \(K_J\), et lorsqu'on peut trouver pour chaque \(a_i\) une \(D_{a_i}\) qui passe par \(a_i\) et

53sa page 12, en haut à gauche distincts de \(\ell\) \(\in I \setminus J\), de façon que les trois \(D_{a_i}\) soient non concourantes, on exige

(1°) que l'arr. \(1\)-dim. configuration \(K_{J'}\) des \(6\) droites obtenu soit du cas (I) ou (II) ci-dessus, et

(2°) que l'orientation de \(K_J\) définie par la prescription précédente ne dépende pas des choix de \(J'\).

Il reste enfin à regarder le cas où […] les systèmes de \(D_{a_i}\) (\(D_{a_i} \in I \setminus J\) passant par \(a_i\)), celles-ci sont concourantes. Mais cela implique que l'arrangement est l'arrangement […] \(\operatorname{card} I = 6\), et que […] standard formé de \(7 = 4 + 3\) sommets (qui sont des triangles), et \(6\) ps. droites, les six ps. droites étant les ps. droites qui relient deux à deux quatre sommets triples, les trois points d'intersection supplémentaires étant les intersections des ps. droites « opposées ». La situation formée de ps. droites \(1\)-dimensionnelle (un complexe combinatoire […] par […] triangles) est entièrement décrite par l'ens des quatre sommets triples. La situation \(2\)-dimensionnelle correspondante (\(=\) groupe d'automorphismes \(\mathfrak{S}_4\)) est aussi standard, […] la description suivante : On trouve […] pour […] \(D_i\) (\(i \in I \setminus J\)) […] que chacune […] par un des trois sommets la note marginale, oblique, est rattachée au mot « où » ; « isomorphe à : » est écrit au-dessus de la fin de la ligne biffée. À gauche, un dessin : un triangle \(a\), \(b\), \(c\) avec ses trois médianes concourantes en \(d\) et une sixième droite, les pieds marqués \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) ; les sommets \(a\), \(b\), \(c\) sont des points noirs. « \(7\) » est son 7 barré. L'arrangement de six ps. droites à quatre sommets triples est, semble-t-il, celui que le lot 2 (p. 24) note \(\mathrm{III}_6\)

54Soient \(a\), \(b\), \(c\) les sommets de \(K_J\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) les sommets « opposés » dans \(K_{J'} = K_I\), intersection de \(D_a\) avec la ps. dr. joignant \(b\) à \(c\) etc., soient \(\lambda_a\), \(\lambda_\beta\), \(\lambda_c\) les arêtes de \(K_I\) contenant \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), alors \(\lbrace \lambda_a, \lambda_b, \lambda_c \rbrace\) est compatible avec l'orientation. les indices des \(\lambda\) sont écrits tels qu'ils se lisent : \(\lambda_\beta\) dans la première énumération, \(\lambda_b\) dans l'accolade

En résumé

Théorème Le foncteur canonique du groupoïde des arrangements de pseudodroites sans bigônes, vers celui des arrangements \(1\)-dimensionnels de pseudo-droites (sans bigônes) est pleinement fidèle. « celui » est écrit au-dessus de « des », rattaché par un trait

Les conditions (A1) à (A6) donnent en principe une voie pour déterminer l'image essentielle — mais il faudrait d'abord simplifier les conditions en question. En principe, il faudrait encore rajouter la relation d'EP (23) — mais je soupçonne que cette dernière est automatique…

56petite carte à l'italienne, dessin à l'encre sans texte suivi : un arrangement de droites à cinq sommets multiples (points noirs), deux verticales, deux horizontales et des obliques en éventail. Chaque région porte le nombre de ses côtés, \(3\), \(4\) ou \(5\) (une seule région \(5\), en bas au centre) ; les régions à l'infini, en haut, sont marquées « id » (ou « i\(\delta\) »). À droite, le décompte (\(+\ 9\) triangles \(+\ 1\) carré)

\(25\) triangles

\(5\) carrés

\(1\) pentagone

\(31\) régions le « \(25\) » récrit un premier chiffre ; après « \(31\) » un mot est biffé. Le décompte « \(31\) régions » est isolé par un double trait vertical

57petite carte à l'italienne, dessin à l'encre sans texte : six droites, deux verticales, deux presque horizontales et deux obliques, qui forment au centre un petit triangle entouré de triangles ; les régions sont marquées \(3\) ou \(4\), celles du haut « id » (ou « i\(\delta\) »). À droite, quatre points isolés

58petite carte à l'italienne : un arrangement d'une dizaine de droites, sans sommet marqué, dont certaines extrémités portent les étiquettes \(5_1\), \(5_2\), \(5_4\), \(5_5\), \(10_3\), \(1_6\), et une région centrale « \(4\) ». À droite, un décompte et une légende \[\begin{array}{r} 5 \\ 15 = 5 + 10 \\ 10 = 5 + 5 \\ 1 \\ \hline 31 \end{array}\] \(1_6 \equiv{}\) icosaèdre

\(5_1 \equiv{}\) hexagone

\(5_4\), \(5_2 \equiv{}\) triangle bordé

\(5_5\), \(10_3 \equiv{}\) carré gammé le « \(10\) » de la troisième ligne récrit un premier chiffre

Système de Pseudodroites

titre souligné, de sa main, en tête de la page 60, écrite au crayon et non numérotée

60Définition : c'est une carte (topologique ou combinatoire) dont la surface sous-jacente \(X\) est un plan projectif\({}^{*}\) réel, dont les ordres des sommets sont pairs \(\geqslant 4\) (d'où la division de l'ensemble des arêtes en classes d'équivalence, appelées les « pseudodroites » de la carte) telles que deux pseudodroites se rencontrent en un point et un seul. \({}^{*}\) i.e. (compacte) non orientable et de car. EP égale à \(1\)… la note, appelée par l'astérisque, est écrite verticalement dans la marge gauche

Premières conséquences : le nb \(n\) des pseudodroites est \(\geqslant 2\). L'immersion de \(\mathbf{S}^1\) dans \(\mathbf{P}^2_{\mathbf{R}}\) correspondant à une ps. dr. est (des deux classes d'isotopie possibles) celle qui est non homotope à \(0\), i.e. le long d'une ps. dr. \(X\) est non orientable, i.e. la situation est la même que pour une droite (projective) dans le plan projectif. On montre que pour des ps dr « en position générale » (sommets tous d'ordre \(4\)) et en nb \(n \leqslant 6\), la situation peut être réalisée par un système de vraies droites dans le plan projectif réel. le « \(n\) » est ajouté au-dessus de « nb », après un signe raturé ; le « \(0\) » de « homotope à \(0\) » récrit un premier signe

Soit \(D\) une pseudodroite dans \(X\), \(\widetilde{X}\) le revêtement des orientations de \(X\) (\(\widetilde{X} \simeq \mathbf{S}^2 \simeq \mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}\)), \(\widetilde{D}\) l'image inverse de \(D\) dans \(X\). Alors \(\widetilde{X} \setminus \widetilde{D}\) a deux comp. connexes (ou « hémisphères ») en corr. 1-1 can. avec l'ens. des deux orientations de \(D\). « dans \(X\) » est écrit tel quel, où l'on attendrait \(\widetilde{X}\)

Notons que [sur] l'ens. des sommets se trouvant « sur » est ajouté au-dessus de la ligne ; la phrase continue au lot suivant